9.2.3 正方形的性质

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9.2.3 正正正正正正

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9.2.3 正方形的性质. 矩 形. 一角为 90°. 两组对边分别平行. 四边形. 平行四边形. 菱 形. 一组邻边 相等. 想一想. 探究(一). 〃. 矩形怎样变化后就成了正方形呢 ?. 〃. 矩 形. 正方形. 探 究(二). 菱形怎样变化后就成了正方形呢 ?. 正方形. 探究小结. 菱 形. 〃. 〃. 矩 形. 正方形. 发现: 一组邻边相等的矩形 叫正方形. 邻边. 相等. 〃. 〃. 正方形. 发现: 一个角为直角的菱形叫正方形. 一个角. - PowerPoint PPT Presentation

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9.2.3 正方形的性质

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四边形

两组对边分别平行 平行四边形

矩 形

菱 形

角为 90°

一组邻边相等

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矩 形正方形〃

矩形怎样变化后就成了正方形呢 ?

探究(一)

Page 4: 9.2.3 正方形的性质

探 究(二)探 究(二)菱形怎样变化后就成了正方形呢 ?

正方形

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探究小结

矩 形

〃〃 正方形

邻边 相等

〃〃

发现: 一组邻边相等的矩形 叫正方形

菱 形

一个角 是直角正方形∟

发现: 一个角为直角的菱形叫正方形

正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形

讨论总结 :正方形有那些性质 ?

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正方形是轴对称图形,它的对称轴是什么?

快速抢答

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性 质边 角 对角线 对称性

图形语言

文字语言

符号语言

A

C

D\

B

A

C

D

B

A

C

D

B

\

\

\

O

\ \

\\

对边平行, 对边平行, 四条边都相 四条边都相等等

四 个 角四 个 角 都是直角都是直角

对角线互相垂直对角线互相垂直平分且相等,每平分且相等,每条对角线平分一条对角线平分一组对角组对角

∵∵四边形四边形 ABCDABCD是正方形是正方形

∴∴ AB CD ∥AB CD ∥AD BC, ∥AD BC, ∥AB=BC=CD=ADAB=BC=CD=AD

∵四边形 ABCD是正方形

∴∠A= B= ∠C= D∠ ∠ =90°

∵四边形 ABCD 是正方形

∴ AC BD,AC=BD⊥,OA=OB=OC=OD

轴对称图形

中心对称图形

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根据图形所具有的性质 , 在下表相应的空格中打”√”

平行四边形 矩形 菱形 正方形

对边平行且相等四边都相等

四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等

√ √

√√

√√

√√

正方形不但具备一般的平行四边形的性质,正方形不但具备一般的平行四边形的性质,而且同时具备矩形和菱形的性质。而且同时具备矩形和菱形的性质。

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平行四边形

矩形

菱菱形形

正正方方形形

正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系?正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系?

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例例11

求证 : 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 .

这是一道文字证明题 , 该怎么做 ? 你会做吗 ?

第一步 : 根据题意画出图形

第二步 : 写出已知、求证

第三步:进行证明

A D

CB

O

已知 : 如图 , 四边形 ABCD 是正方形 , 对 角线 AC 、 BD 相交于点O.

求证 : ABO△ 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 是全等的等腰直角三角形 .

证明证明 : ∵: ∵ 四边形四边形 ABCDABCD 是正方形是正方形 ,,

∴ ∴ AC=BD,AC BD,AO=BO=CO=DO.⊥AC=BD,AC BD,AO=BO=CO=DO.⊥

∴ △ ∴ △ABOABO 、 △、 △ BCOBCO 、 △、 △ CDOCDO 、 、 △△ DAODAO 都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形 ,, 并且并且

△ △ABOABO≌≌ BCO △ BCO △ ≌≌ CDO △ CDO △ ≌≌ DAO△ DAO△

分析分析 :: 利用正方形的性质利用正方形的性质 ,, 对角线互相垂直对角线互相垂直平分且相等平分且相等 ,, 每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角 .. 平分平分可以产生可以产生线段等量关系线段等量关系 ,, 垂直垂直可以产生可以产生直角直角 ,,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形于是可以得到四个全等的等腰直角三角形 ..

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A D

CB

O

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形?拓展讨论 :

结论:

分成八个等腰直角三角形,分别是△ ABC 、 △ ADC 、 △ ABD 、 △ BCD ;

△ AOB 、 △ BOC 、 △ COD 、 △ DOA.

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P101 练习 1 、 2

练习 1 提示:有一组邻边相等的矩形是正方形

A

B

D

C

E

〃 ∟

F

正方形

A D

CB

E

练习 2

提示:寻找直角三角形,运用直角三角形求边长和对角线 .

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练习 1 .

已知:正方形 ABCD 对角线 AC 、 BD相       交于点 O ,且 AB =acm ,如图 (2) 。

练习 2 .

已知:在正方形 ABCD 中,对角线 AC 、

BD 相交于点 O ,且 AC = 6 cm ,如图

求:正方形的面积S 。

2

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例 2 .如图 (3) ,正方形 ABCD 中, AC 、 BD相交于 O , MN AB∥ 且 MN 分别交 OA 、 OB 于M 、 N ,求证: BM =CN 。证明:  ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ OA = OB , ∠ 1 ∠= 2 ∠= 3 = 45° 又∵ MN AB∥ ∴∠OMN ∠= 1 ∠= 3 ∠= ONM = 45° OM∴ = ON

下面大家自己完成证明

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例 3 .已知:如图 (4) 在正方形 ABCD中, F 为 CD 延长线上一点, CE AF⊥ 于 E ,交 AD 于 M ,求证:∠ MFD = 45°证明:

 ∵ CE AF⊥ ADC∴∠ ∠= AEM = 90° 又∵∠ CMD ∠= AME 1∴∠ ∠= 2 又∵ CD = AD ∠, ADF ∠= MDC ∴ Rt CDM Rt ADF△ ≌ △ (AAS) DM=DF∴

下面的证明请大家完成

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练习 1 :在正方形 ABCD中,对角线 AC、BD相交于点 O ,点 Q 是 CD上任意一点,DP⊥AQ 交 BC于点 P .

⑴求证: DQ=CP;

P

O

DA

B C

Q⑵OP与 OQ有何关系?试证明你的结论.

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1 、在正方形 ABCD中 ,AC是对角线 ,AE平分∠ BAC,试猜想 AB、 AC、 BE之间的关系,并证明你的猜想.

G

F

E

DA

B C

拓展拓展

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小结小结1、正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形有那些性质

对边平行,四条边都相等

四个角都是直角

对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

边:

角:

对角线:

正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。

布置作业:《点金教练》 P86~P88布置作业:《点金教练》 P86~P88