BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

BÙI VĂN TUYỂN

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CÓ LỖ RỖNG VI MÔ TRONG

MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SỸ

NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

Hà nội – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

BÙI VĂN TUYỂN

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CÓ LỖ RỖNG VI MÔ

TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9520101

LUẬN ÁN TIẾN SỸ

NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên

2. TS. Trần Thanh Hải

Hà nội – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu và kết quả

được trình bày trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

cứ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Bùi Văn Tuyển

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy

PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên và TS. Trần Thanh Hải. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu

sắc đến các Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.

Trong quá trình thực hiện luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo

điều kiện của tập thể lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên của Học viện

khoa học và công nghệ,Viện hàn lâm khoa học và công nghệ Việt Nam; tập thể ban

lãnh đạo Viện Cơ học; tập thể Ban giám hiệu, khoa cơ khí, bộ môn Máy xây dựng,

các đồng nghiệp trường Đại học Thủy Lợi. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành

về những sự giúp đỡ đó.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến các nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn đã

giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho tôi trong quá trình thực hiện Luận án.

Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã chia

sẻ, động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận án này.

Tác giả Luận án

NCS. Bùi Văn Tuyển

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ....................................................... I

DANH MỤC CÁC BẢNG ......................................................................................... V

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .................................................................. VI

MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ..................................................................................... 6

1.1. Dầm FGM ....................................................................................................... 6

1.2. Tình hình ngiên cứu trên thế giới ................................................................... 9

1.2.1. Ứng xử cơ học của dầm FGM ................................................................ 9

1.2.2. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô .............................................................. 13

1.2.3. Dầm FGM trong môi trường nhiệt độ ................................................. 14

1.2.4. Dầm FGM chịu tải trọng di động ......................................................... 16

1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước ................................................................. 17

1.4. Nhận xét và định hướng nghiên cứu ............................................................. 19

CHƯƠNG 2. DẦM FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ ...................... 21

2.1. Dầm FGM chịu tải trọng di động ................................................................. 21

2.2. Lỗ rỗng vi mô trong dầm FGM .................................................................... 22

2.3. Trường nhiệt độ trong dầm FGM ................................................................. 23

2.4. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tham số vật liệu ................................................ 26

2.5. Các phương trình cơ bản .............................................................................. 29

2.5.1. Trường chuyển vị ................................................................................. 29

2.5.2. Trường biến dạng, ứng suất ................................................................. 29

2.5.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi ............................................................. 30

2.5.4. Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt ban đầu ................................ 30

2.5.5. Động năng ............................................................................................ 31

2.5.6. Thế năng của lực ngoài ........................................................................ 32

2.6. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng của dầm .............................................. 32

2.7. Phương trình chuyển động ............................................................................ 34

2.8. Dầm Euler-Bernoulli .................................................................................... 37

Kết luận chương 2 ................................................................................................ 38

CHƯƠNG 3. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ THUẬT TOÁN SỐ........ 39

3.1. Véc tơ chuyển vị nút ..................................................................................... 39

3.2. Hàm nội suy thứ bậc ..................................................................................... 40

3.3. Trường chuyển vị với ràng buộc .................................................................. 42

3.4. Ma trận độ cứng phần tử ............................................................................... 43

3.5. Ma trận độ cứng do ứng suất nhiệt ban đầu.................................................. 44

3.6. Ma trận khối lượng phần tử .......................................................................... 45

3.7. Phần tử dựa trên các hàm nội suy chính xác ................................................ 46

3.8. Phần tử dầm Euler-Bernoulli ........................................................................ 48

3.9. Phương trình chuyển động rời rạc ................................................................ 49

3.10. Thuật toán Newmark .................................................................................. 50

3.10.1. Họ các phương pháp Newmark .......................................................... 50

3.10.2. Phương pháp gia tốc trung bình ......................................................... 52

3.11. Véc-tơ lực nút ............................................................................................. 53

3.12. Qui trình tính toán ....................................................................................... 53

Kết luận chương 3 ................................................................................................ 55

CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN ................................................... 57

4.1. Kiểm nghiệm mô hình phần tử và chương trình số ...................................... 57

4.2. Tần số dao động cơ bản ................................................................................ 60

4.3. Đáp ứng động lực học ................................................................................... 63

4.3.1. Ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô ............................................ 63

4.3.2. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm .............................................................. 68

4.3.3. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phân bố ............................................. 71

4.3.4. Ảnh hưởng của tần số lực kích động .................................................... 72

4.3.5. Ảnh hưởng của số lượng lực di động ................................................... 74

Kết luận chương 4 ................................................................................................ 77

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 78

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ...................................................... 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 84

PHỤ LỤC ................................................................................................................. 96

I

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

Các ký hiệu thông thường

A Diện tích thiết diện ngang

A11 Độ cứng dọc trục

A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn

A22 Độ cứng chống uốn

A33 Độ cứng chống trượt

E Mô-đun đàn hồi hiệu dụng

Ec Mô-đun đàn hồi của gốm

Em Mô-đun đàn hồi của kim loại

v Vận tốc của lực di động

G Mô-đun trượt hiệu dụng

Gc Mô-đun trượt của gốm

Gm Mô-đun trượt của kim loại

h Chiều cao dầm

I Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I11 Mô-men khối lượng dọc trục

I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-xoay

I22 Mô-men khối lượng xoay (của thiết diện ngang)

l Chiều dài phần tử

L Chiều dài dầm

n Chỉ số mũ (tham số vật liệu)

nE Số lượng phần tử rời rạc dầm

P Tính chất hữu hiệu của FGM

Pc Tính chất của gốm

Pm Tính chất của kim loại

Động năng của dầm

e Động năng của phần tử

II

u0 Chuyển vị dọc trục của điểm nằm trên mặt giữa

U Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

Ue Năng lượng biến dạng đàn hồi của phần tử

UT Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt ban đầu

Vα Tỷ lệ thể tích lỗ rỗng

Vc Tỷ lệ thể tích pha gốm

Vm Tỷ lệ thể tích pha kim loại

Thế năng của dầm

e Thế năng của phần tử

w0 Chuyển vị ngang của điểm nằm trên mặt giữa

wst Độ võng tĩnh tại giữa dầm

Véc-tơ và ma trận

d Véc-tơ chuyển vị nút phần tử

D Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể

D Véc-tơ vận tốc nút tổng thể

D Véc-tơ gia tốc nút tổng thể

f Véc-tơ lực nút phần tử

F Véc-tơ lực nút tổng thể

Fef Véc-tơ lực nút hữu hiệu

k Ma trận độ cứng phần tử

K Ma trận độ cứng tổng thể

Kef Ma trận độ cứng hữu hiệu

m Ma trận khối lượng phần tử

M Ma trận khối lượng tổng thể

NT Lực dọc trục sinh ra do ứng suất nhiệt

III

Ni (i=1..4) Các hàm dạng thứ bậc

Nu Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục

Nw Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang

Nθ Ma trận các hàm nội suy cho góc quay

T Nhiệt độ mô trường (K)

Tc Nhiệt độ ở mặt giàu gốm (mặt trên của dầm)

Tm Nhiệt độ ở mặt giàu kim loại (mặt dưới của dầm)

T0 Nhiệt độ tham chiếu (300K ~ 27oC)

Chữ cái Hy Lạp

t Bước thời gian (trong thuật toán Newmark)

T (K) Lượng nhiệt tăng (Temperature rise)

T* Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm

T (K) Nhiệt độ

T0 (K) Nhiệt độ tham chiếu (300K)

xx Biến dạng dọc trục

xz Biến dạng trượt

Tham số tần số cơ bản

Tần số của lực di động điều hòa

𝜔 Tần số dao động cơ bản của dầm thép

Hệ số điều chỉnh trượt

ρ Khối lượng riêng hiệu dụng (kg/m3)

ρc Khối lượng riêng của gốm (kg/m3)

ρm Khối lượng riêng của lim loại (kg/m3)

σxx Ứng suất pháp

IV

σxxT Ứng suất nhiệt ban đầu

τxz Ứng suất trượt

θ Góc quay của thiết diện ngang

Chữ viết tắt

EBB Phần tử dầm sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli

TBEx Phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất sử dụng

các hàm dạng chính xác

TBHi Phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất sử dụng

các hàm dạng thứ bậc

DQM Phương pháp cầu phương vi phân (Differential Quadrature Method)

DTM Phương pháp biến đổi vi phân (Differential Transform Method)

FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method )

FGM Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Grade Material )

NLTR Trường nhiệt độ phi tuyến

UTR Trường nhiệt độ đồng nhất

V

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 4.1. Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của Al2O3 và SUS304 ......................... 57

Bảng 4.2. So sánh tham số tần số của dầm FGM cho trường hợp NLTR ................ 58

Bảng 4.3. Sự hội tụ của mô hình phần tử trong đánh giá tham số tần số (T=50K và

V= 0.1) ..................................................................................................................... 59

Bảng 4.4. So sánh tham số độ võng không thứ nguyên lớn nhất tại giữa dầm cho

trường hợp một lực di động (V = 0, T = 0)............................................................ 59

Bảng 4.5. Tham số tần số μ với các trường nhiệt độ khác nhau (mô hình TBHi) .... 62

Bảng 4.6. Độ võng không thứ nguyên lớn nhất tại giữa dầm với các giá trị ∆T khác

nhau của trường nhiệt độ NLTR và vận tốc lực di động v (V = 0.1) ....................... 66

Bảng 4.7. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm với các giá

trị T và tỷ số L/h khác nhau (NLTR , V = 0.1, v = 30m/s) .................................... 69

Bảng 4.8. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm trong trường

hợp NLTR nhận được bằng các phần tử khác nhau (V = 0.1, T = 60K) ............... 69

Bảng 4.9. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm trong trường

hợp UTR nhận được bằng các phần tử khác nhau (V = 0.1, T = 60K) ................. 70

Bảng 4.10. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phân bố tới giá trị không thứ nguyên của

độ võng lớn nhất tại giữa dầm (V = 0.1, L/h = 20 ) ................................................. 72

Bảng 4.11. Độ võng không thứ nguyên lớn nhất ở giữa dầm với các giá trị khác

nhau của số lực và khoảng cách giữa các lực (Vα = 0.1, ∆T = 100K, v = 30 m/s). ... 75

VI

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 2.1. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động ................................. 21

Hình 2.2. Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng ...... 28

Hình 2.3. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng trong trường nhiệt

độ UTR và NLTR ...................................................................................................... 28

Hình 2.4. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng dọc trục của dầm FGM với Vα= 0.1:

(a) UTR, (b) NLTR ................................................................................................... 33

Hình 2.5. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng chống uốn của dầm FGM với Vα =

0.1: (a) UTR, (b) NLTR ............................................................................................ 33

Hình 2.6. Mối liên hệ giữa độ cứng và tham số vật liệu n của dầm FGM có các giá

trị Vα khác nhau (T = 300K): (a) độ cứng dọc trục, (b) độ cứng chống uốn ............. 34

Hình 3.1. Chuyển vị nút (a) và lực nút (b) của phần tử dầm .................................... 39

Hình 3.2. a) Hàm dạng thứ bậc; (b) chi tiết về chuyển vị và góc quay..................... 41

Hình 3.3. Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm ........................................ 55

Hình 4.1. Mối liên hệ giữa tham số vật liệu và tham số tần số với các giá trị khác

nhau của trường nhiệt độ phi tuyến: (a) V = 0.1, (b) V = 0.2 ................................. 61

Hình 4.2. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phi tuyến tới tham số tần số của dầm

FGM có lỗ rỗng vi mô: (a) V = 0.1, (b) V = 0.2 .................................................... 62

Hình 4.3. Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng ở giữa dầm theo

thời gian cho các giá trị ∆T khác nhau của NLTR (n = 0.5, V = 0.1)...................... 64

Hình 4.4. Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng ở giữa dầm với

tham số vật liệu n cho trường hợp NLTR, v = 30 m/s: (a) V = 0.1, ∆T thay đổi,

(b) ∆T = 150K, V thay đổi. ...................................................................................... 65

Hình 4.5. Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất ở giữa

dầm với vận tốc v cho trường hợp n = 1 và NLTR: (a) V = 0.1, T thay đổi,

(b) T = 150K, V thay đổi ....................................................................................... 67

VII

Hình 4.6. Phân bố của ứng suất pháp theo chiều cao của thiết diện ngang giữa dầm:

(a) V = 0.1, ∆T thay đổi, (b) ∆T = 100K, Vα thay đổi .............................................. 68

Hình 4.7. Mối liên hệ giữa các độ võng không thứ nguyên ở giữa dầm theo thời gian

của dầm chịu lực điều hòa di động với = 10 rad/s, n = 0.5, v = 50 m/s, NLTR (a)

Vα = 0.1, ∆T thay đổi, (b) ∆T = 100K, Vα thay đổi. ................................................... 73

Hình 4.8. Mối liên hệ giữa các độ võng không thứ nguyên ở giữa dầm theo thời gian

cho các giá trị khác nhau của tần số lực kích động: (a) NLTR, (b) UTR (n = 1,

Vα=0.1, v = 30 m/s) .................................................................................................... 73

Hình 4.9. Ảnh hưởng của số lực di động và khoảng các giữa các lực tới mối liên hệ

giữa độ không thứ nguyên ở giữa dầm theo thời gian cho trường hợp n = 3, Vα= 0.1,

v = 30 m/s, ∆T = 100K: (a) d = L/4 và nF khác nhau, (b) nF = 3 và d khác nhau. .... 75

Hình 4.10. Mối liên hệ giữa độ võng lớn nhất không thứ nguyên tại giữa dầm với

vận tốc của lực di động cho trường hợp nF = 3, n = 1 và Vα = 0.1: (a) d = L/4 và ∆T

thay đổi, (b) ∆T = 100K và d thay đổi. ..................................................................... 76

1

MỞ ĐẦU

Tính thời sự của đề tài luận án

Kết cấu chịu tải trọng di động là bài toán quan trọng trong lĩnh vực giao

thông vận tải và cơ khí, được quan tâm nghiên cứu từ lâu. Nhiều công trình nghiên

cứu liên quan tới bài toán này đã được công bố trên trên tạp chí chuyên ngành, đặc

biệt trong sách chuyên khảo của Frýba [1]

Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) được

khởi tạo ở Sendai bởi các nhà khoa học Nhật Bản vào năm 1984 [2] có khả năng

ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp cao, hiện được nhiều nhà khoa

học quan tâm nghiên cứu. FGM hiện được sử dụng rộng rãi để chế tạo các phần tử

kết cấu dùng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, tính mài mòn và

ăn mòn của a-xít lớn [3]. Với độ cứng cao và tỷ trọng thấp, FGM có tiềm năng làm

vật liệu cho kết cấu chịu tải trọng động nói chung và tải trọng di động nói riêng.

Nghiên cứu gần đây về dầm FGM chịu tải trọng di động [4, 5, 6] chỉ ra rằng các đặc

trưng động lực học của dầm FGM ưu việt hơn hẳn so với dầm làm từ các vật liệu

truyền thống.

Dao động của dầm FGM chịu tải trọng di động được quan tâm nghiên cứu

với công bố đầu tiên vào năm 2009 của Şimşek và Kocatürk [4]. Một số kết quả

tiếp theo trong lĩnh vực này là sự mở rộng của nghiên cứu trong [4] cho các lý

thuyết dầm và tải trọng di động khác nhau [5, 6, 7, 8], hoặc các mô hình dầm mới

[9, 10, 11]. Một số tác giả trong nước [12, 13, 14, 15] mở rộng các kết quả trên sang

trường hợp dầm có mặt cắt ngang thay đổi, dầm đa nhịp hoặc tải trọng có vận tốc

thay đổi.

Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô (porosities) sinh ra trong quá trình chế tạo

FGM tới các đặc trưng dao động của dầm FGM được một số tác giả nghiên cứu

trong thời gian gần đây [16, 17, 18, 19]. Do dầm FGM thường được sử dụng trong

môi trường có nhiệt độ cao, nghiên cứu về ảnh hưởng của nhiệt độ tới dao động tự

do cũng được một số tác giả nghiên cứu [20, 21]. Với bài toán dao động cưỡng

bức của dầm FGM chịu tải trọng di động trong môi trường nhiệt độ, theo hiểu biết

của tác giả mới chỉ có nghiên cứu Wang và Wu [22]. Các tác giả này nghiên cứu

2

đáp ứng động lực học của dầm FGM nằm trong môi trường nhiệt độ tăng đều, chịu

tải trọng di động điều hòa được tính toán bằng phương pháp Lagrange.

Các phân tích nêu trên cho thấy ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi

trường tới dao động của dầm FGM chịu tải trọng di động là đề tài chưa được quan

tâm đúng mức, cần được nghiên cứu. Cần nhấn mạnh rằng, trong [22] các tác giả

chỉ xét dầm FGM hoàn hảo (không có lỗ rỗng vi mô), có cơ tính biến đổi dọc và

trường nhiệt độ được giả định tăng đều. Về mặt toán học, trường nhiệt độ tăng đều

là trường hợp riêng của trường nhiệt độ phi tuyến và khá đơn giản về mặt tính toán.

Nghiên cứu dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô, chịu tải trọng di động với

trường nhiệt độ phân bố phi tuyến trong dầm. Vì thế, bài toán có tính thời sự và có

tính thực tế cao.

Định hướng nghiên cứu

Để nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô tới dao động của dầm FGM, một

mô hình lỗ rỗng, cụ thể mô hình do Wattanasakulpong và Ungbhakorn [18] đề nghị,

được sử dụng để đánh giá các hệ số đàn hồi hiệu dụng và độ cứng của dầm FGM.

Ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường được xét tới trên cơ sở các hệ số đàn hồi phụ

thuộc vào nhiệt độ, trong đó trường nhiệt độ phân bố trong dầm nhận được từ

phương trình truyền nhiệt Fourier. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới các đặc trưng độ

cứng dầm được đánh giá cho các trường nhiệt độ khác nhau. Trên cơ sở các biểu

thức nhận được sẽ xây dựng phương trình dao động và mô hình phần tử để đánh giá

các đặc trưng động lực học của dầm. Một số định hướng cụ thể như sau:

1. Nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường tới các

đặc trưng đàn hồi của dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang theo quy luật

hàm số mũ.

2. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của dầm FGM chịu tải trọng

di động có tính tới ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường.

3. Đánh giá các hệ số độ cứng và mô-men khối lượng của dầm FGM có lỗ

rỗng vi mô, đặt trong môi trường nhiệt độ.

4. Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn, cụ thể là thiết lập các ma trận độ

cứng và ma trận khối lượng cho phần tử dầm FGM có tính tới ảnh hưởng

3

của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô. Mô hình phần tử được xây dựng trong

Luận án dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và các hàm dạng thứ

bậc với ràng buộc cho biến dạng trượt để tăng tính hiệu quả. Mô hình dựa

trên các hàm dạng chính xác phát triển trong [12] và mô hình dựa trên lý

thuyết dầm Euler-Bernoulli cũng được đề cập tới trong Luận án.

5. Phát triển chương trình tính toán số và tiến hành phân tích các bài toán cụ

thể để xác định ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường tới

các đặc trưng động lực học của dầm

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu cụ thể của Luận án là:

1. Dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang (transverse FGM beam) với tính

chất vật liệu tuân theo quy luật hàm số lũy thừa (power-law distribution),

chịu tác động của tải trọng di động. Dầm được giả định được tạo từ FGM

hai pha, pha gốm và pha kim loại, trong đó mặt dưới dầm là hoàn toàn

kim loại còn mặt trên dầm chỉ có gốm. Thiết diện ngang của dầm có

dạng hình chữ nhật và được xem là không đổi dọc theo chiều dài dầm.

2. Tải trọng di động là các lực di động hoặc lực điều hòa di động, tức là ảnh

hưởng quán tính của tải trọng di động không xét tới trong Luận án này.

Lực di động được giả thiết có vận tốc không đổi, luôn tiếp xúc với dầm

trong suốt quá trình chuyển động trên dầm và ở thời điểm ban đầu dầm ở

trạng thái dừng.

3. Lý thuyết dầm sử dụng trong luận án là lý thuyết biến dạng trượt bậc

nhất (lý thuyết dầm Timoshenko). Lý thuyết dầm cổ điển (Lý thuyết dầm

Euler-Bernoulli) cũng được đề cập trong Luận án như là trường hợp

riêng của lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất.

4. Trường nhiệt độ xem xét trong Luận án là phân bố đều hoặc phân bố phi

tuyến theo chiều cao dầm. Trường nhiệt độ phi tuyến nhận được do sự

chênh lệch giữa mặt trên và mặt dưới dầm và hàm phân bố nhận được từ

lời giải phương trình truyền nhiệt Fourier.

4

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp giải tích truyền thống được sử dụng trong Luận án để xây dựng

các phương trình vi phân chuyển động của dầm. Luận án kế thừa các nghiên cứu

trước đây của Phòng Cơ học vật rắn, Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm Khoa học và

Công nghệ Việt Nam, trong đó phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng như là

công cụ chính để giải phương trình chuyển động và tính toán các đặc trưng động lực

học của dầm. Ngoài ra, phần mềm tính toán Symbolic Maple [23] cũng được ứng

dụng để hỗ trợ cho các biến đổi toán học cũng như việc xây dựng mô hình phần tử

hữu hạn và chương trình tính toán số.

Điểm mới của luận án

Với các nội dung nghiên cứu nêu trên, Luận án có một số điểm mới sau đây:

Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường tới các đặc trưng dao

động của dầm FGM chịu tải trọng di động được nghiên cứu lần đầu tiên

trong Luận án.

Công thức phần tử hữu hạn phát triển trong Luận án sử dụng các hàm dạng

thứ bậc với ràng buộc cho biến dạng trượt, có khả năng mô phỏng tốt dao

động của dầm FGM chịu tải trọng di động được xây dựng lần đầu tiên trong

Luận án này.

Kết quả số minh họa cho ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô tới các

đặc trưng động lực học của dầm FGM là những kết quả mới của Luận án,

chưa được các tác giả khác công bố.

Cấu trúc luận án

Luận án được chia làm bốn Chương, phần mở đầu và phần kết luận cùng với

các tài liệu tham khảo. Các công trình công bố của tác giả liên quan tới đề tài Luận

án được liệt ở cuối Luận án. Nội dung chính của các phần và chương như sau:

Phần mở đầu trình bày về tính thời sự của đề tài luận án từ đó đưa ra định

hướng nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu và

các điểm mới của luận án cũng được trình bày trong phần này.

5

Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về

kết cấu dầm FGM, đặc biệt nhấn mạnh tới các nghiên cứu về ảnh hưởng của lỗ rỗng

vi mô và nhiệt độ môi trường tới ứng xử cơ học của dầm FGM. Một số phương

pháp và kết quả trong nghiên cứu dao động của dầm FGM chịu tải trọng di động

được thảo luận chi tiết. Các mục tiêu chính của Luận án cũng được đề cập tới trong

chương này.

Chương 2 sử dụng nguyên lý biến phân Hamilton để xây dựng các phương

trình chuyển động của dầm FGM chịu tải trọng di động. Phương trình dao động

được xây dựng trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất có tính tới ảnh hưởng

của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường. Sự phụ thuộc của mô-đun đàn hồi hiệu

dụng và các hệ số độ cứng dầm vào tỷ lệ thể tích lỗ rỗng và nhiệt độ được khảo sát

chi tiết trong chương này. Phương trình chuyển động của dầm dựa trên lý thuyết

dầm cổ điển (lý thuyết dầm Euler-Bernoulli) cũng được đề cập trong chương này

như là trường hợp riêng của lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất.

Chương 3 trình bày chi tiết việc xây dựng các mô hình phần tử hữu hạn để

giải phương trình vi phân dao động. Mô hình phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết

biến dạng trượt bậc nhất, sử dụng các hàm dạng thứ bậc (hierarchical shape

functions) với ràng buộc cho biến dạng trượt được trình bày chi tiết. Mô hình dựa

trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất sử dụng các hàm dạng chính xác và mô hình

phần tử dựa trên lý thuyết dầm cổ điển với hàm nội suy Hermite cũng được xây

dựng trong chương với mục đích so sánh. Thuật toán số dựa trên phương pháp tích

phân trực tiếp Newmark dùng để phát triển chương trình tính toán số được trình bày

trong chương này.

Chương 4 trình bày các kết quả số nhận được từ phân tích, tính toán các bài

toán cụ thể. Trên cơ sở kết quả số nhận được, một số nhận xét về ảnh hưởng của tỷ

lệ thể tích lỗ rỗng vi mô, nhiệt độ môi trường và các tham số vật liệu, tải trọng tới

đáp ứng động lực học của dầm sẽ được thảo luận chi tiết.

Một số kết luận rút ra từ Luận án được tóm lược trong phần Kết luận. Phần

Kết luận cũng kiến nghị một số nghiên cứu tiếp theo của Luận án.

6

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

Chương này tóm lược một số kết quả chính trong nghiên cứu ứng xử cơ học

của kết cấu dầm FGM của các tác giả trên thế giới. Nghiên cứu liên quan tới ảnh

hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ tới dao động của dầm FGM được trình bày chi

tiết. Các kết quả liên quan tới bài toán dao động của dầm FGM chịu tải trọng di

động được đặc biệt quan tâm và thảo luận. Tình hình nghiên cứu liên quan tới phân

tích kết cấu FGM của một số tác giả trong nước được đề cập. Cuối chương tóm lược

một số kết luận và định hướng nghiên cứu rút ra từ phân tích tổng quan.

1.1. Dầm FGM

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được các nhà khoa học Nhật Bản phát

minh vào năm 1984 ở Sendai [2], hiện được sử dụng rộng rãi để chế tạo các phần tử

kết cấu dùng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao và ăn mòn mạnh.

FGM có thể xem như là vật liệu composite mới, được tạo từ hai hay một vài vật liệu

thành phần với tỷ lệ thể tích thay đổi liên tục theo một hoặc vài hướng không gian.

Có nhiều phương pháp khác nhau để chế tạo FGM, chủ yếu dựa trên quá trình hóa

lỏng và phối trộn các vật liệu thành phần dưới dạng bột [24]. So với vật liệu

composite truyền thống, FGM có nhiều ưu điểm như độ bền phá hủy cao hơn, hệ số

cường độ tập trung ứng suất giảm, cải thiện được sự phân bố của ứng suất dư,

không làm mất tính liên tục của ứng suất, vì thế tránh được các vấn đề liên quan tới

hiện tượng tách lớp thường gặp trong các vật liệu composite truyền thống. Với các

ưu điểm nêu trên, FGM có tiềm năng ứng dụng trong các ngành công nghệ cao như

công nghệ hàng không, vũ trụ, lĩnh vực quân sự, công nghệ hạt nhân, công nghệ

năng lượng và cơ khí chính xác [24].

Dầm FGM, đối tượng quan tâm nghiên cứu trong Luận án này, thường được

tạo từ hai pha vật liệu thành phần là pha gốm và pha kim loại. Tỷ lệ thể tích của các

pha thành phần thay đổi theo hàm số mũ của một tọa độ không gian, chẳng hạn theo

chiều cao của dầm theo quy luật [3]

,1

2,

21

2

n

c c m

hz

zV V V

h

h

(1.1)

7

trong đó Vc, Vm tương ứng là tỉ lệ thể tích của pha gốm và pha kim loại, z là tọa độ

theo chiều cao dầm, chỉ số mũ n (không âm) là tham số vật liệu xác định tỷ lệ và sự

phân bố thể tích của vật liệu thành phần. Với sự phân bố các pha vật liệu như

phương trình (1.1) và trên cơ sở phương pháp đồng nhất hóa lựa chọn ta có thể xác

định được các tính chất hiệu dụng (effective properties) của FGM như mô-đun đàn

hồi, hệ số Poisson, hệ số giãn nở nhiệt…. Với quy luật phân bố (1.1), dầm có cơ

tính biến đổi theo phương ngang (transverse FGM beams), tức là các tính chất vật

liệu chỉ thay đổi theo chiều cao dầm.

Dầm với tính chất cơ lý thay đổi theo chiều dọc (axially FGM beams) nếu tỷ

lệ thể tích của các vật liệu thành phần biến đổi theo trục dầm. Quy luật số lũy thừa

tương tự như (1.1) được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn Lê Thị Hà

[12], Alshorbagy và cộng sự [25], Gan và cộng sự [26], Shahba và cộng sự [27],

Wang và Wu [22]. Tỷ lệ thể tích của các pha vật liệu thành phần của dầm FGM với

cơ tính biến đổi theo chiều dọc cho bởi

0 ,1 , 1n

c c mVx

x LL

V V

(1.2)

trong đó L là chiều dài dầm, x là tọa độ theo chiều dài dầm.

Ngoài quy luật hàm số lũy thừa nêu trên, một số tác giả nghiên cứu dầm với

tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật số mũ (số Euler e - cơ số của logarite tự

nhiên) [28, 29], hoặc quy luật sigmoid [30]. Phân tích kết cấu dầm FGM với tính

chất vật liệu thay đổi theo quy luật số mũ hoặc quy luật sigmoid tương tự như phân

tích kết cấu có tính chất vật liệu thay đổi theo hàm số lũy thừa.

Phân tích dầm FGM có tính chất cơ-lý thay đổi theo hai chiều (Bi-directional

FGM, 2D-FGM), chiều cao và chiều dọc dầm, được một số tác giả quan tâm nghiên

cứu trong thời gian gần đây. Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [9] mở rộng quy luật

hàm số lũy thừa (1.1) cho trường hợp dầm FGM tạo từ bốn pha vật liệu thành phần,

hai pha gốm và hai pha kim loại, với tỷ thệ thể tích thay đổi theo cả chiều cao và

chiều dài dầm theo công thức

8

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 1

2 2

1 1

2

1 ,

1 12

, 1

n n n n

c c

n n n n

m m

Vz x z x

h L h L

z x z x

h L h L

V

V V

(1.3)

trong đó: Vc1, Vc2, Vm1, Vm2 tương ứng là tỉ lệ thể tích của các pha gốm và các pha

kim loại, n1, n2 tương ứng là các tham số vật liệu, biểu thị sự thay đổi của các vật

liệu thành phần theo chiều cao và chiều dọc dầm.

Dầm 2-D FGM với các tính chất cơ-lý biến thiên theo quy luật số mũ cũng

được một số tác giả quan tâm nghiên cứu [10, 31, 32]

21( , ) k x k zLBx z e (1.4)

trong đó ( , )x z là các tính chất hiệu dụng của dầm 2-D FGM (chẳng hạn mô-đun

đàn hồi, mật độ khối...); LB là giá trị của tính chất vật liệu tại góc trái, mặt dưới

dầm, (x, z) = (0, -h/2); k1, k2 là các chỉ số gradient vật liệu theo các hướng x và z.

Quy luật số mũ (1.4), về mặt toán học, đơn giản hơn nhiều so với quy luật (1.3) vì

các hệ số độ cứng của dầm dễ dàng thu nhận được dưới dạng tường minh.

Dầm sandwich FGM với tỷ số độ cứng/khối lượng cao, có tiềm năng ứng

dụng trong lĩnh vực công nghệ hàng không, vũ trụ dành được sự quan tâm của các

nhà khoa học trong thời gian gần đây. Dạng phổ biến của dầm sandwich FGM được

tạo từ hai lớp vỏ FGM với lõi có độ dày h0 là vật liệu đồng nhất với tỷ lệ thể tích

của vật liệu thành phần thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa

0 0

0

0 0

0 0

0

2víi ,

2 2

0 víi ,2 2

2víi ,

2 2

n

c

n

V

z h hhz

h h

h hz

z h hhz

h h

(1.5)

và Vm = 1-Vc. Các nghiên cứu chỉ ra rằng ứng xử uốn và dao động của dầm

sandwich FGM chịu ảnh hưởng rõ nét bởi tính chất của các vật liệu thành phần và

độ dày lớp lõi [11, 33, 34].

9

Sau hơn ba thập kỷ, kể từ khi FGM được tạo ra, số lượng các công trình liên

quan tới vật liệu và kết cấu FGM tăng nhanh đáng kể. Năm 2016 có trên 1000 công

bố liên quan tới vật liệu và kết cấu FGM, trong đó các công bố của Việt Nam góp

phần không nhỏ [24]. Số lượng các bài báo liên quan tới phân tích kết cấu FGM

chịu các loại tải trọng khác nhau khá lớn, dưới đây tóm lược các công trình chủ yếu

liên quan trực tiếp tới luận án này.

1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới

1.2.1. Ứng xử cơ học của dầm FGM

Phương pháp giải tích truyền thống được một số tác giả sử dụng trong nghiên

cứu ứng xử cơ học của dầm FGM. Sử dụng phương pháp Galerkin, Apetre và cộng

sự [35] nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm sandwich có lõi là FGM chịu tác

động của tải trọng va đập với vận tốc thấp. Kết quả nhận được cho thấy kết cấu dầm

sandwich có lõi là FGM đem lại hiệu quả cao và có thể sử dụng một cách hữu hiệu

để giảm bớt hoặc tránh hoàn toàn các hư hỏng va đập của dầm. Lý thuyết dầm cổ

điển và lý thuyết dầm bậc ba được Aydogdu và Taskin [36] sử dụng trong nghiên

cứu dao động tự do của dầm FGM tựa giản đơn với tính chất vật liệu thay đổi theo

hàm số lũy thừa và số mũ Euler. Sử dụng các lý thuyết dầm Euller-Bernoulli và

dầm Rayleigh, Benatta cùng cộng sự [37] xây dựng nghiệm giải tích của bài toán

uốn của dầm FGM có tính tới ảnh hưởng của sự oằn (warping effect). Li [38] đề

nghị một phương pháp mới để đánh giá các đặc trưng dao động riêng, độ võng, sự

phân bố ứng suất và lan truyền sóng trong dầm FGM có tính chất vật liệu thay đổi

tùy ý theo chiều cao dầm. Ying và cộng sự [29] nghiên cứu bài toán dầm FGM nằm

trên nền đàn hồi với cơ tính biến đổi theo quy luật số mũ Euler. Sina cùng đồng

nghiệp [39] trình bày phương pháp giải tích dựa trên lý thuyết dầm mới cho nghiên

cứu dao động tự do của dầm FGM có các điều kiện biên khác nhau. Tần số dao

động riêng trong [39] đã được nhiều tác giả sử dụng để kiểm chứng kết quả nghiên

cứu. Huang và Li [40] trình bày phương pháp phân tích dao động tự do của dầm

FGM có độ cứng chống uốn, mật độ khối và tính chất vật liệu thay đổi dọc theo trục

dầm. Phương pháp nghiên cứu đề xuất trong [40] có thể sử dụng để xác định tần số

dao động riêng của dầm FGM có thiết diện ngang và tính chất vật liệu thay đổi theo

quy luật tùy ý dọc theo trục dầm. Sankar [28] đưa ra nghiệm đàn hồi chính xác cho

10

ứng suất và chuyển vị của dầm FGM chịu tải trọng ngang hình sin tác động lên mặt

dầm. Tác giả chỉ ra rằng sự tập trung ứng suất ở mặt chất tải của dầm FGM cao hơn

so với dầm thuần nhất nếu tải trọng tác dụng trên mặt cứng hơn và ngược lại. Một

phương pháp giải tích mới được Huang và Li đề nghị trong [40] để nghiên cứu dao

động của dầm FGM có cơ tính thay đổi dọc trục. Phương pháp giải tích cũng được

Huang và Li [41] sử dụng trong nghiên cứu mất ổn định của dầm FGM có thiết diện

ngang không đồng nhất và cơ tính biến đổi dọc trục. Sử dụng mô hình dầm thứ bậc

(Hierarchical beam models), Giunta và đồng nghiệp [42] nghiên cứu dao động tự

do của dầm FGM có cơ tính thay đổi theo hàm số lũy thừa. Lý thuyết dầm cổ điển

Euler-Bernoulli và lý thuyến dầm Timoshenko trong [42] nhận được như là các

trường hợp riêng của mô hình dầm thứ bậc. Cũng trên cơ sở lý thuyết dầm thứ bậc,

Giunta và cộng sự [43] nghiên cứu bài toán cơ-nhiệt của dầm phân lớp và dầm

sandwich FGM. Phương pháp Ritz–Galerkin được Wei và Liu [44] dùng trong

nghiên cứu bài toán uốn phi tuyến dầm FGM. Trong [45], Wei và cộng sự trình bày

phương pháp giải tích để nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có vết nứt. Lai

và đồng nghiệp [46] nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm Euler-Bernoulli làm từ

FGM bằng phương pháp giải tích. Ảnh hưởng của điều kiện biên và biên độ dao

động tới tần số dao động riêng của dầm được các tác giả khảo sát chi tiết. Li và

đồng nghiệp [47] đề nghị một phương pháp giải tích để nghiên cứu dao động tự do

của dầm FGM có thiết diện và tính chất vật liệu thay đổi theo trục dầm. Birsan và

cộng sự [48] đưa ra biểu thức giải tích cho các hệ số hữu hiệu của dầm sandwich

FGM có lõi xốp. Bằng cách đưa vào hàm phụ để chuyển hệ phương trình vi phân

tương hỗ với các hệ số biến thiên của chuyển vị và độ võng về một phương trình

duy nhất, Huang và cộng sự [49] nghiên cứu dao động tự do của dầm Timoshenko

có thiết diện và cơ tính biến đổi theo trục dầm. Ảnh hưởng của sự tách lớp được Liu

và Shu [50] xét đến trong phương pháp giải tích nghiên cứu dao động tự do của dầm

FGM có tính chất cơ-lý thay đổi theo hàm số lũy thừa. Kết quả số chỉ ra rằng sự

tăng của tần số dao động riêng của dầm FGM có tỷ số mô-đun đàn hồi cao hơn sẽ

yếu đi khi dải tách lớp của dầm dài hơn. Dao động cưỡng bức của dầm FGM có

chuyển vị tương đối lớn nằm trên nền đàn nhớt chịu kích động của lực dọc trục

được Babilio nghiên cứu trong [51]. Trên cở sở phương pháp Galerkin và phương

pháp cầu phương vi phân, Niknam và cộng sự [52] nghiên cứu bài toán uốn phi

11

tuyến của dầm thon FGM chịu tải trọng cơ-nhiệt. Levyakov [53, 54] xây dựng lời

giải cho bài toán đàn hồi của dầm FGM chịu tải trọng nhiệt. Tác giả nhấn mạnh

rằng ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa cần được xét tới để có được đánh giá chính

xác hơn ứng xử của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều dày trong nghiên cứu

chuyển vị lớn của dầm FGM. Dựa trên khái niệm trục chính tương đương, Li và

cộng sự [55] khảo sát sự phân bố ứng suất của dầm FGM với thiết diện ngang hình

chữ nhật. Kang và Li [56, 57] xác định vị trí của mặt trung hòa và sử dụng làm mặt

quy chiếu để thiết lập biểu thức cho chuyển vị và góc quay của dầm công-xôn FGM

có chuyển vị lớn. Cũng sử dụng mặt trung hòa làm mặt quy chiếu, Taeprasartsit

[58] xây dựng biểu thức cho hàm chuyển dịch và lực mất ổn định của dầm Euler-

Bernoulli làm từ FGM có tính tới yếu tố không hoàn hảo. Cần nhấn mạnh rằng do

hệ số độ cứng tương hỗ kéo-uốn của dầm FGM triệt tiêu khi tính tới ảnh hưởng của

vị trí mặt trung hòa nên phương trình vi phân cân bằng và chuyển động cho dầm

FGM có dạng đơn giản hơn, phương pháp giải tích, vì thế có thể phát huy được

trong trường hợp này.

Phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), được sử

dụng rộng rãi trong nghiên cứu dao động và uốn của dầm làm từ FGM. Sử dụng các

hàm dạng chính xác, Agarwal và cộng sự [59] xây dựng phần tử dầm để nghiên cứu

ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến hình học tới ứng xử của dầm composite và dầm

FGM. Trên cơ sở lý thuyết chữ chi bậc ba, Kapuria và cộng sự [60] trình bày mô

hình phần tử hữu hạn cho phân tích động lực học của dầm FGM nhiều lớp. Phương

pháp phần tử hữu hạn phổ (Spectral finite element method) được Chakraborty và

Gopalakrishman [61] sử dụng để nghiên cứu sự lan truyền sóng trong dầm FGM

chịu tác động của xung lực có tần số cao. Trên cơ sở lý thuyết dầm bậc ba, Kadoli

và cộng sự [62] xây dựng công thức phần tử hữu hạn để phân tích ứng xử tĩnh của

dầm FGM. Kết quả số chỉ ra rằng độ võng và ứng suất của dầm FGM nhận được

cho các trường hợp tải trọng tác dụng trên bề mặt gốm và bề mặt kim loại là khác

nhau. Hein và Feklistova [63] nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM bằng

phương pháp wavelet Haar. Alshorbagy và cộng sự [25] xác định các tần số riêng

và mode dao động của dầm Euler-Bernoulli có tính chất vật liệu thay đổi theo chiều

cao hoặc chiều dọc dầm bằng phần tử hữu hạn hai nút giản đơn. Mô hình phần tử

hữu hạn cũng được Shahba và cộng sự [64] dùng để tính các đặc trưng dao động

12

của dầm FGM. Các hàm nội suy chính xác của phần tử dầm Timoshenko có thiết

diện ngang và vật liệu thuần nhất do Kosmatka [65] đề nghị được Shahba và cộng

sự [27] dùng trong xây dựng phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động tự do và mất

ổn định của dầm thon FGM có cơ tính biến đổi dọc trục. Ảnh hưởng của điều kiện

biên mềm tới các đặc trưng dao động của dầm được khảo sát chi tiết. Mohanty và

đồng nghiệp [66] xây dựng phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt để đánh

giá ảnh hưởng của nền đàn hồi Winkler tới sự mất ổn định của dần sandwich FGM.

Cũng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Mohanty và cộng sự [67] nghiên cứu mất

ổn định và dao động tự do của dầm sandwich có lõi là FGM. Hemmatnezhada cùng

đồng nghiệp [68] nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có chuyển vị lớn bằng

phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp cầu phương vi phân tổng quát được

Asadi và Aghdam [69] dùng trong nghiên cứu bài toán dao động phi tuyến và sau

mất ổn định của dầm FGM nhiều lớp có thiết diện thay đổi theo bề rộng, nằm trên

nền đàn hồi phi tuyến. Gan và Nguyễn Đình Kiên [70] phát triển phần tử dầm trên

cơ sở phương pháp Lagrange toàn phần để phân tích chuyển vị lớn của dầm FGM

nằm trên nền đàn hồi hai tham số. Công thức phần tử dựa trên các hàm nội suy

tuyến tính, xét tới ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa có dạng toán học giản đơn.

Phương pháp phần tử hữu hạn cũng được Gan và cộng sự [71, 72] sử dụng trong

nghiên cứu ứng xử sau tới hạn của dầm và khung phẳng FGM với cơ tính biến đổi

dọc theo trục dầm. Kết quả số chỉ ra rằng quy luật phân bố vật liệu và tính chất của

gối tựa ảnh hưởng rõ nét tới ứng sử sau tới hạn của dầm và khung FGM. Trên cơ sở

lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, Eltaher và cộng sự [73] xét tới vị trí thực của trục

trung hòa trong xây dựng công thức phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động tự do

của dầm có kích thước macro/nano làm từ vật liệu FGM. Cũng trên cơ sở vị trí thực

của trục trung hòa, Eltaher và cộng sự [74] xây dựng phần tử dầm ba nút để tính tần

số dao động riêng của dầm nano-Timoshenko làm từ FGM. Kết quả số trong [73,

74] chỉ ra rằng tần số dao động riêng của dầm FGM bị đánh giá thấp hơn khi bỏ qua

ảnh hưởng vị trí của trục trung hòa. De Pietro và cộng sự [75] xây dựng mô hình

phần tử hữu hạn cho phân tích dầm không gian FGM. Phần tử xây dựng dựa trên

mô hình dầm thứ bậc và các hàm nội suy Lagrange có độ chính xác cao. Jin and

Wang [76] sử dụng phương pháp phần tử cầu phương để xây dựng ma trận độ cứng

và ma trận khối lượng cho nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM. Frikha và

13

cùng đồng nghiệp [77] phát triển phần tử dầm hỗn hợp dựa trên lý thuyết biến dạng

trượt bậc cao dùng trong phân tích uốn của dầm làm từ FGM.

1.2.2. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô

Do sự chênh lệch nhiệt độ trong các pha vật liệu, các lỗ rỗng vi mô có thể

hình thành bên trong FGM trong quá trình chế tạo vật liệu này [78]. Sự xuất hiện

của lỗ rỗng vi mô làm giảm độ cứng của vật liệu, dẫn tới khả năng chịu tải thấp hơn

của các phần tử kết cấu làm từ FGM. Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô tới các đặc

trưng dao động của dầm FGM được một số tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời

gian gần đây. Wattanasakulpong và Ungbhakorn [18], Wattanasakulpong và

Chaikittiratana [19] đề nghị mô hình đơn giản, trong đó thể tích của lỗ rỗng vi mô

được chia đều cho cả pha gốm và pha kim loại để nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng

vi mô tới dao động tự do của dầm FGM. Các tác giả chỉ ra rằng tùy thuộc vào tham

số vật liệu, tần số dao động riêng của dầm có thể tăng hay giảm khi tỷ lệ thể tích lỗ

rỗng vi mô tăng. Mô hình lỗ rỗng vi mô nói trên cũng được Ebrahimi và Zia [79] sử

dụng để xây dựng phương trình chuyển động trong phân tích dao động tự do phi

tuyến của dầm Timoshenko làm từ FGM có lỗ rỗng vi mô. Lời giải số của phương

trình chuyển động với sự trợ giúp của phương pháp biến đổi vi phân (Differential

Transform Method - DTM) chỉ ra rằng sự phụ thuộc của tỷ số giữa tần số dao động

cơ bản phi tuyến và tần số dao động tuyến tính vào thể tích lỗ rỗng được quyết định

bởi giá trị của tham số vật liệu. Chen và cộng sự [16] đưa ra khái niệm hệ số lỗ rỗng

(porosity coefficient) trong nghiên cứu ứng xử uốn và mất ổn định của dầm FGM có

lỗ rỗng vi mô. Các hệ số đàn hồi và mật độ khối của dầm FGM được giả định suy

giảm dọc theo chiều cao dầm, theo hai quy luật hàm số lượng giác khác nhau. Mô

hình lỗ rỗng trong [16] được các tác giả mở rộng cho bài toán dao động phi tuyến

của dầm sandwich với lõi là FGM có lỗ rỗng vi mô [80], bài toán dao động tự do và

cưỡng bức của dầm Timoshenko làm từ FGM [81]. Các tác giả chỉ ra rằng khi hệ số

lỗ rỗng tăng, tần số dao động cơ bản của dầm có thể tăng hay giảm tùy thuộc vào

quy luật hàm số lượng giác lựa chọn, trong khi độ võng động lực học của dầm luôn

giảm. Gần đây, Shafiei và Kazemi [82] mở rộng mô hình lỗ rỗng trong [18, 19]

sang trường hợp lỗ rỗng phân bố không đều trong mặt phẳng thiết diện ngang để

nghiên cứu bài toán mất ổn định của dầm nano/micro làm từ FGM. Mô hình lỗ rỗng

14

phân bố không đều cũng được sử dụng trong nghiên cứu dao động của dầm

nano/micro làm từ 2D- FGM [83].

1.2.3. Dầm FGM trong môi trường nhiệt độ

Dầm FGM được ứng dụng rộng rãi để làm các phần tử kết cấu trong lĩnh vực

công nghiệp hàng không, vũ trụ. Nhiệt độ môi trường trong các ứng dụng này

thường cao hơn nhiệt độ phòng (300K), vì thế ngoài các lực cơ học dầm còn chịu

tác động của tải trọng nhiệt. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới ứng xử cơ học của dầm đã

được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Chakraborty và cộng sự [84] xây dựng

phần tử dầm Timoshenko để nghiên cứu bài toán truyền sóng của dầm sandwich có

lõi FGM tính tới ảnh hưởng tăng đều của nhiệt độ môi trường nhưng không xét tới

ảnh hưởng của nhiệt độ tới tính chất vật liệu. Phần tử dầm trong [84] được xây dựng

dựa trên các hàm dạng chính xác, có tốc độ hội tụ cao. Bhangale và Ganesan [85] sử

dụng FEM để nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ tới tới tần số dao động riêng và hệ

số hao tán của dầm sandwich FGM với lõi là vật liệu đàn nhớt. Các tác giả chỉ ra

rằng hệ số hao tán của dầm tăng lên khi tỷ số giữa độ dày lớp lõi và chiều cao dầm

lớn hơn. Trên cơ sở phương pháp Petrov-Galerkin không lưới, Ching và Yen [86]

trình bày lời giải số cho bài toán biến dạng cơ-nhiệt của dầm FGM với vật liệu phân

bố theo quy luật số mũ. Khảo sát chi tiết ảnh hưởng của nhiệt độ, các tác giả chỉ ra

rằng cả lực tới hạn và tần số dao động riêng của dầm giảm đáng kể khi nhiệt độ môi

trường tăng. Phương pháp cầu phương vi phân (differential quadrature method -

DQM) được Xiang và Yang [87] sử dụng trong nghiên cứu dao động tự do và dao

động cưỡng bức của dầm Timoshenko dự ứng lực do nhiệt độ, làm từ vật liệu FGM

phân lớp có độ dày thay đổi. Trên cơ sở lý thuyết dầm Euller-Bernoulli, Pradhan và

Murmu [88] đã thiết lập phương trình chuyển động để nghiên cứu dao động tự do

của dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn hồi. Phương trình chuyển động có tính

tới ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường được giải bằng DQM để nhận được tần số

dao động riêng. DQM cũng được Malekzadeh [89], Malekzadeh và cộng sự [90] sử

dụng trong nghiên cứu dao động tự do của vòm và dầm cong làm từ FGM, đặt trong

môi trường nhiệt độ cao. Trong các nghiên cứu này, trường nhiệt độ phân bố phi

tuyến do Kim [91] xây dựng được sử dụng để tính toán các hệ số đàn hồi hiệu quả,

phụ thuộc vào nhiệt độ. Trên cơ sở DQM tổng quát, Esfahani và đồng nghiệp [92]

15

khảo sát ảnh hưởng của nền đàn hồi và sự tăng nhiệt độ môi trường tới sự mất ổn

định phi tuyến của dầm Timoshenko làm từ FGM. Phương pháp giải tích truyền

thống cũng được một số tác giả sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ tới

ứng xử của dầm FGM. Chẳng hạn, Kiani và Eslami [93] xây dựng lời giải cho bài

toán mất ổn định nhiệt của dầm Euler-Bernoulli làm từ FGM với các điều kiện biên

khác nhau. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, Mahi cùng cộng sự [30]

xây dựng phương pháp giải tích để đánh giá ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ tới tần

số dao động riêng của dầm FGM. Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba mới của

Shi [94], Wattanasakulpong và đồng nghiệp [21] đã xây dựng các phương trình cơ

bản để nghiên cứu bài toán mất ổn định nhiệt và dao động tự do của dầm FGM. Kết

quả số của các tác giả, chỉ ra rằng tần số dao động cơ bản của dầm giảm dần về 0

khi nhiệt độ môi trường tăng dần tới nhiệt độ tới hạn. Ma và Lee [95] đưa ra nghiệm

giải tích cho bài toán ứng xử phi tuyến của dầm FGM chịu tải trọng nhiệt. Phương

pháp giải tích cũng được Eroglu sử dụng trong nghiên cứu bài toán dao động tự do

của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ [96]. Ảnh hưởng của nhiệt độ đã được một

số tác giả xét tới trong nghiên cứu dao động tự do phi tuyến của dầm FGM nằm trên

nền đàn hồi [20, 97]. Trinh và cộng sự [98] trình bày phương pháp giải tích để

nghiên cứu dao động và mất ổn định của dầm FGM chịu tải trọng cơ-nhiệt. Với sự

trợ giúp của phương pháp Runge-Kutta, Kiani và đồng nghiệp [99] đã khảo sát ảnh

hưởng của nhiệt độ môi trường tới đáp ứng va đập với vận tốc thấp của dầm FGM.

Ghiasian và cộng sự [100] nghiên cứu bài toán mất ổn định tĩnh và động của dầm

Euler-Bernoulli làm từ FGM chịu tải trọng nhiệt tăng đều. Komijani cùng cộng sự

[101] sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko và mối quan hệ biến dạng-chuyển vị phi

tuyến von Kármán để nghiên cứu mất ổn định nhiệt và dao động của dầm FGM nằm

trên nền đàn hồi hai tham số. Trên cơ sở lý thuyết dầm bậc ba, Zhang [102, 103]

khảo sát bài toán mất ổn định nhiệt và dao động phi tuyến của dầm FGM với tính

chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ. Các phương trình cơ bản của bài toán có dạng

giản đơn hơn nhờ việc xét tới vị trí thực của mặt trung hòa. Ebrahimi và cộng sự

[17] thiết lập phương trình chuyển động để nghiên cứu dao động tự do của dầm

Euler-Bernoulli làm từ FGM có lỗ rỗng vi mô, nằm trong môi trường nhiệt độ cao.

Phương pháp cầu phương vi phân được sử dụng để giải phương trình vi phân

16

chuyển động của dầm. Các tác giả chỉ ra rằng tỷ lệ thể tích của lỗ rỗng và trường

nhiệt độ phân bố ảnh hưởng đáng kể tới tần số dao động riêng của dầm.

1.2.4. Dầm FGM chịu tải trọng di động

Kết cấu chịu tải trọng di động là bài toán động lực học đặc biệt trong lĩnh

vực cơ học, trong đó yếu tố động duy nhất sinh ra từ sự thay đổi vị trí của tải trọng

theo thời gian. Phân tích kết cấu chịu tải trọng di động xuất phát từ nhu cầu trong

lĩnh vực giao thông vận tải, có lịch sử lâu đời và được nhiều nhà khoa học quan tâm

nghiên cứu. Một trong số các tài liệu quan trọng nhất trong phân tích kết cấu tải

trọng di động là sách chuyên khảo của Frýba [1], trong đó nghiệm giải tích cho một

loạt bài toán dầm chịu tác dụng của các loại tải trọng di động khác nhau được xây

dựng trên cơ sở biến đổi Fourier và biến đổi Laplace. Với sự ra đời của FGM và

nhu cầu thực tế, nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm FGM chịu tải trọng di

động đã được một số nhà khoa học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây,

bằng cả phương pháp số và phương pháp giải tích. Một số kết quả chính trong

nghiên cứu dầm FGM chịu tải trọng di động được tóm lược dưới đây.

Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, Şimşek và Kocaturk [4] nghiên cứu

dao động của dầm Euler-Bernoulli làm từ FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao

dầm, chịu kích động bởi lực điều hòa di động. Phương trình vi phân dao động của

dầm được rời rạc hóa và đưa về dạng ma trận nhờ xấp xỉ trường chuyển vị bằng các

đa thức. Các đặc trưng động lực học thu nhận được bằng phương pháp tích phân

trực tiếp Newmark chỉ ra rằng đáp ứng động lực học của dầm chịu ảnh hưởng mạnh

bởi sự phân bố vật liệu. Cũng với phương pháp nhân tử Lagrange nói trên và các lý

thuyết dầm khác nhau, Şimşek [5] nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm FGM

chịu khối lượng tập trung di động. Ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến hình học tới dao

động của dầm Timoshenko làm từ FGM dưới tác động của lực điều hòa di động

được Şimşek khảo sát trong [6]. Dao động của dầm Euler-Bernoulli làm từ vật liệu

FGM với cơ-lý tính thay đổi dọc theo chiều dài dầm, chịu tác dụng của lực điều hòa

di động cũng được Şimşek và cộng sự nghiên cứu khảo sát trong [8]. Ứng xử động

lực học của dầm FGM với cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm theo

quy luật số Euler được Şimşek đề cập tới trong [10]. Trong [11], Şimşek và Al-

17

shujairi nghiên cứu bài toán dao động của dầm sandwich FGM dưới tác động của

nhiều lực di động.

Sử dụng phương pháp giải tích, Yang và cộng sự [104] nghiên cứu dao động

của dầm có vết nứt với cơ tính biến đổi theo số mũ Euler, chịu kích động bởi lực di

động. Phương pháp Ritz và DQM được Khalili và đồng nghiệp [105] sử dụng trong

nghiên cứu dao động của dầm FGM chịu kích động bởi khối lượng di động. Phương

pháp được đề nghị tỏ ra khá hữu hiệu, chẳng hạn so với phương pháp Newmark

hoặc phương pháp Wilson. Rajabi và cộng sự [7] sử dụng phương pháp Petrov–

Galerkin để chuyển hệ phương trình vi phân bậc bốn của bài toán dầm FGM chịu hệ

khối lượng-lò xo di động về hệ phương trình vi phân bậc hai và giải hệ phương trình

bằng phương pháp số Runge-Kutta. Sự phụ thuộc của độ võng động lực học, độ

võng cực đại ở giữa dầm vào tham số vật liệu và vận tốc của tải trọng được khảo sát

chi tiết. Wang và Wu [22] sử dụng phương pháp Lagrange trong nghiên cứu ảnh

hưởng của sự tăng nhiệt độ đồng nhất tới ứng xử động lực học của dầm

Timoshenko làm từ FGM với cơ tính biết đổi dọc theo chiều dài dầm chịu lực điều

hòa di động. Các tác giả chỉ ra rằng độ võng động học của dầm tăng nhanh khi nhiệt

độ tiến gần tới nhiệt độ tới hạn. Gan và Nguyễn Đình Kiên [106] xây dựng phần tử

dầm Timoshenko có tính tới ảnh hưởng vị trí của mặt trung hòa và ứng dụng trong

phân tích động lực học của dầm FGM đa nhịp. Ảnh hưởng của sự tăng tốc và giảm

tốc tới độ võng động và phân bố ứng suất theo chiều dày dầm được khảo sát chi tiết.

Phương pháp phần tử hữu hạn cũng được Gan và đồng nghiệp sử dụng trong nghiên

cứu dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc theo trục dầm [26] chịu lực di động và dầm

FGM có gối tựa đàn hồi [107] chịu tải trọng di động.

1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước

Phân tích kết cấu dầm FGM được một số tác giả trong nước quan tâm nghiên

cứu trong những năm gần đây. Một số Luận án tiến sĩ liên quan tới phân tích kết cấu

FGM đã được thực hiện trong thời gian gần đây [108-110]. Một số nghiên cứu liên

quan tới kết cấu dầm FGM được thảo luận dưới đây.

Sử dụng phương pháp giải tích, Nguyễn Trung Kiên và cộng sự [111] nghiên

cứu bài toán uốn và dao động của dầm Timoshenko làm từ FGM chịu lực dọc trục.

Cũng bài toán uốn và dao động của dầm FGM nhưng được Thái Hữu Tài và Võ

18

Phương Thức [112] nghiên cứu bằng các lý thuyết dầm bậc cao khác nhau. Trên cơ

sở lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, Võ Phương Thức và cộng sự [113] xây dựng

phương trình chuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi là vật liệu thuần nhất, sau

đó dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính tần số dao động riêng và các mode

dao động. Trên cơ sở lý thuyết dầm có tính tới ảnh hưởng của cả biến dạng trượt và

sự dãn theo chiều dày dầm, Võ Phương Thức và đồng nghiệp [34] phát triển mô

hình phần tử hữu hạn cho phân tích uốn và dao động tự do của dầm sandwich. Bài

toán dao động và chẩn đoán vết nứt của dầm FGM được Nguyễn Ngọc Huyên

[114], Nguyễn Ngọc Huyên và Nguyễn Tiến Khiêm [115], Nguyễn Tiến Khiêm và

cộng sự [116, 117] nghiên cứu bằng phương pháp giải tích. Nguyễn Đình Kiên và

cộng sự [118, 119, 120] phát triển các phần tử dầm dựa trên phương pháp hệ tọa độ

đồng hành để nghiên cứu bài toán chuyển vị lớn của dầm thon làm từ FGM. Phương

pháp phần tử hữu hạn cũng được Nguyễn Đình Kiên và đồng nghiệp sử dụng trong

phân tích chuyển vị lớn của khung FGM [121], khung sandwich FGM [33]. Ảnh

hưởng của biến dạng dẻo tới ứng xử mất ổn định và uốn phi tuyến của dầm FGM

được quan tâm nghiên cứu bằng phương pháp phần tử hữu hạn trong thời gian gần

đây [122, 123, 124].

Phân tích kết cấu làm từ các vật liệu truyền thống chịu tác động của tải trọng

di động được một số tác giả trong nước quan tâm nghiên cứu bằng cả phương pháp

giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn [129, 130, 131, 132]. Bài toán dao động

của dầm FGM chịu kích động bởi tải trọng di động được một số tác giả trong nước

quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. Phạm Đình Trung [13] phân tích dao

động của dầm FGM dưới tác động của khối lượng hoặc lực điều hòa di động bằng

phương pháp phần tử hữu hạn. Lê Thị Hà và đồng nghiệp xây dựng mô hình phần

tử hữu hạn mới để phân tích dao động của dầm FGM đa nhịp chịu lực điều hòa di

động [14], dầm có mặt cắt ngang thay đổi chịu nhiều lực di động [15]. Nguyễn Đình

Kiên và cộng sự [133] sử dụng hàm dạng Kosmatka để xây dựng mô hình phần tử

hữu hạn trong nghiên cứu dao động của dầm có mặt cắt ngang không đồng nhất

chịu tải trọng di động với vận tốc thay đổi. Hàm dạng Kosmatka cũng được Nguyễn

Đình Kiên và đồng nghiệp [9] dùng để xây dựng biểu thức ma trận độ cứng và ma

trận khối lượng cho phân tích dầm 2-D FGM chịu lực di động.

19

1.4. Nhận xét và định hướng nghiên cứu

Nghiên cứu về kết cấu dầm FGM dưới tác dụng của lực di động, như trong các

mục 1.2.3 và 1.2.4, mới chỉ được một số ít tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời

gian gần đây. Trong [12], tác giả Lê Thị Hà đã thành công trong việc xây dựng công

thức phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của dầm FGM chịu tải trọng di động

nhưng ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường chưa được xét tới. Mặc

dù một số tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi

trường tới dao động của dầm FGM, nhưng mới chỉ dừng lại ở bài toán dao động tự

do. Độ cứng và mô-men khối lượng của dầm sẽ thay đổi khi xét tới ảnh hưởng của

lỗ rỗng vi mô và vì thế sẽ ảnh hưởng tới giá trị độ võng và các tham số động lực học

của dầm. Thêm vào đó, khi nhiệt độ môi trường tăng, dầm không chỉ chịu tải trọng

dưới dạng ứng suất nhiệt mà các hệ số đàn hồi của dầm cũng sẽ suy giảm. Các yếu

tố này ảnh hưởng đáng kể tới ứng xử động lực học của dầm và cần được nghiên

cứu. Từ các lý do nêu trên, Luận án đặt ra một số nội dung nghiên cứu dưới đây:

Thiết lập phương trình chuyển động cho dầm FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi

trường nhiệt độ chịu tải trọng di động trên cơ sở nguyên lý biến phân

Hamilton. Tiến hành nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi

trường tới các tính chất hiệu dụng (effective properties) của dầm FGM, từ đó

đánh giá ảnh hưởng của các yếu tố này tới các đặc trưng độ cứng của dầm.

Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn để giải phương trình chuyển động của

dầm FGM có lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động. Mô hình có xét tới sự phụ

thuộc của các tính chất vật liệu vào nhiệt độ môi trường.

Phát triển chương trình tính toán số dựa trên lý thuyết phần tử hữu hạn và

phương pháp tích phân trực tiếp Newmark dùng trong phân tích dầm FGM

trong môi trường nhiệt độ chịu tải trọng di động. Áp dụng tính toán và phân

tích các bài toán cụ thể để tìm ra quy luật phụ thuộc của các tham số động lực

học dầm vào tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường.

Mặc dù mô hình phần tử hữu hạn dựa trên các hàm dạng chính xác được xây

dựng trong [12] có tốc độ hội tụ cao, cho phép đánh giá khá tốt các đặc trưng dao

động của dầm FGM chịu tải trọng di động, nhưng việc phải xác định lại các hàm

dạng mỗi khi thay đổi lưới phần tử gây nhiều tốn kém và thời gian tính toán. Việc

20

tìm kiếm các mô hình phần tử hữu hạn khác, hữu hiệu hơn được đặt ra như một mục

tiêu chính của Luận án này. Cụ thể, Luận án sẽ tiến hành xây dựng phần tử dầm mới

dựa trên các hàm dạng thứ bậc, cho phép không phải xác định lại các hàm này mỗi

khi thay đổi lưới. Để tăng tính hiệu quả và giảm số bậc tự do của phần tử, ràng buộc

được áp đặt lên biến dạng trượt. Các biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối

lượng phần tử, như sẽ thấy ở Chương 3, có dạng toán học giản đơn hơn, và vì thế dễ

dàng chuyển sang chương trình tính toán số.

21

CHƯƠNG 2. DẦM FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ tới các tính chất hiệu dụng và hệ số

độ cứng của dầm FGM được khảo sát trong chương này. Phương trình chuyển động

cho dầm FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ, chịu tác động của tải

trọng di động được xây dựng trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và

nguyên lý biến phân Hamilton. Phương trình chuyển động cho dầm dựa trên các giả

thiết Euler-Bernoulli, như là trường hợp riêng của lý thuyết biến dạng trượt bậc

nhất, cũng được đề cập tới ở cuối chương.

2.1. Dầm FGM chịu tải trọng di động

Hình 2.1 minh họa dầm FGM với chiều dài L, thiết diện ngang là hình chữ

nhật với chiều rộng b và chiều cao h không đổi. Dầm chịu tác động của các lực F1,

F2, … FnF, di động từ trái sang phải với vận tốc không đổi v. Hệ tọa độ Đề-các (x,z)

trên hình vẽ được chọn sao cho trục x trùng với mặt giữa của dầm, trục z vuông góc

với mặt giữa của dầm và hướng lên trên.

Hình 2.1. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động

Dầm được giả định được làm từ hai vật liệu thành phần là gốm và kim loại

với tỉ lệ thể tích thay đổi theo hàm số lũy thừa như sau

1

, 12

n

c c m

zV V V

h

(2.1)

trong đó Vc , Vm tương ứng là tỉ lệ thể tích của gốm và kim loại; z là tọa độ theo

chiều cao của dầm; số mũ n (không âm) là tham số vật liệu, xác định tỷ lệ và sự

phân bố của các vật liệu thành phần. Trong phương trình (2.1) cũng như các phương

x

yz

bL

h

F1F 2F nF

y

lç rçngz,w

MÆt c¾t ngang dÇm

gèm (Ec, Gc, c)

kim lo¹i (Em, Gm, m) b

h

22

trình sau này, các chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ dùng để chỉ pha gốm và pha kim loại. Ta dễ

dàng nhận thấy từ phương trình (2.1) rằng mặt trên của dầm, ứng với z = h/2, là

hoàn toàn là gốm và mặt dưới của dầm, ứng với z = - h/2, là hoàn toàn là kim loại.

Giữa hai mặt là vật liệu hai pha với tỷ lệ các pha được xác định qua chỉ số mũ n.

2.2. Lỗ rỗng vi mô trong dầm FGM

Lỗ rỗng vi mô hình thành trong FGM do một số nguyên nhân khác nhau

nhưng chủ yếu là sự chênh lệch nhiệt độ giữa các pha vật liệu thành phần trong quá

trình chế tạo FGM [78]. Một số mô hình đã được đề xuất để nghiên cứu ảnh hưởng

của lỗ lỗng vi mô tới ứng xử cơ học của dầm FGM. Như trình bày trong phần tổng

quan, mô hình lỗ rỗng vi mô đề xuất bởi Wattanasakupong và cộng sự [18, 19] là

mô hình đơn giản nhất, được sử dụng trong luận án này. Với mô hình lỗ rỗng vi mô

đề nghị trong [18, 19], tỷ lệ thể tích lỗ rỗng, kí hiệu là V (V<<1), được giả định

phân bố đều theo cả hai pha, pha kim loại và pha gốm. Wattanasakupong và cộng

sự cải tiến luật phối trộn cho vật liệu FGM để tính toán các tính chất hiệu dụng

(chẳng hạn mô-đun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt, khối lượng riêng…) của FGM tính tới

ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô theo công thức [18, 19]

1( )

)

2

2 2

2

( m m c c

c

n

m m c m

V VP z P V P V

VzP P P P P

h

(2.2)

Trong phương trình (2.2) thì P(z) là tính chất hiệu dụng của FGM; Pc, Pm tương ứng

là các tính chất của gốm và kim loại. Khi dầm ở trong môi trường nhiệt độ cao, Pc

và Pm phụ thuộc và nhiệt độ môi trường, vì thế phương trình (2.2) cần được viết lại

dưới dạng sau

1

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

n

c m m c m

z VP z T P T P T P T P T P T

h

(2.3)

trong đó Pc và Pm phụ thuộc vào nhiệt độ T (K) của môi trường. Do Pc, Pm và Vα là

các đại lượng không âm, phương trình (2.3) cho thấy các tính chất hiệu dụng của

dầm FGM suy giảm khi tính tới ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô. Các hệ số độ cứng và

23

mô-men khối lượng của dầm FGM, vì thế sẽ thay đổi khi tỷ lệ thể tích lỗ rỗng Vα

khác không.

2.3. Trường nhiệt độ trong dầm FGM

Giả sử dầm làm việc trong môi trường nhiệt độ và nhiệt độ chỉ thay đổi theo

chiều cao dầm. Sự phân bố của trường nhiệt độ trong dầm có thể thu nhận được khi

biết nhiệt độ ở các mặt trên và dưới dầm [91]. Giả sử nhiệt độ mặt trên của dầm là

Tc(K) và nhiệt độ mặt dưới của dầm là Tm(K). Khi đó, trường nhiệt độ phân bố theo

chiều cao của dầm FGM có thể nhận được từ việc giải phương trình truyền nhiệt

Fourier [91, 103]

( ) 0d dT

zdz dz

(2.4)

với các điều kiện biên T = Tc tại z = h/2 và T = Tm tại z = - h/2. Trong phương trình

(2.4), hệ số dẫn nhiệt κ(z) được giả thiết không phụ thuộc vào nhiệt độ mà chỉ phụ

thuộc vào tỷ lệ thể tích lỗ rỗng và được xác định theo quy luật của phương trình

1

( ) ( ) ( )2 2

n

c m m c m

Vzz

h

(2.5)

Giải phương trình (2.4) ta thu được trường nhiệt độ phân bố theo chiều cao của dầm

dưới dạng

/2/2

/2

( )( )

( )

z

hm c m h

h

dzz

T T T Tdz

z

(2.6)

Để đơn giản ta đặt

2 2

2

( ) 1( ) ( )

2 2

1

1( ) 12 2( )2

z z

nh h

c m m c m

z

nh cm

m c m

m c m

dz dzB

z Vzh

dzdz

V zV h

(2.7)

với κcm = κc- κm. Sử dụng khai triển chuỗi Maclaurin

24

0

1( 1)

1p

p

p xx

(2.8)

cho biểu thức dưới dấu tích phân trong phương trình (2.7) ta thu được

0

1 1( 1)

21 ( )1 22( )2

p

np cm

npcm m c m

m c m

zV hz

V h

(2.9)

Sử dụng phương trình (2.9) ta có thể viết lại B cho bởi phương trình (2.7) dưới dạng

sau đây

0

2

1

0

1 1( 1)

2( ) ( )2 2

11 2

1( ) ( )2 2

p

nzp cm

phm c m m c m

npp

cm

pm c m m c m

zB dz

V V h

zh

V V np

(2.10)

Bằng cách tương tự, ta đặt

2

2

( )

h

h

dzC

z

(2.11)

và áp dụng tính toán như trên ta thu được

0

1 1

1( ) ( )2 2

p

cm

pm c m m c m

CV V np

(2.12)

Sử dụng các phương trình (2.10) và (2.12) ta có thể viết lại phương trình (2.6) dưới

dạng sau

25

1

0

0

12

1( )2( )

11( )

2

npp

cm

pm c m

m c m p

cm

pm c m

zh

V np

T T T T

V np

(2.13)

Chuỗi trong vế phải của phương trình (2.13) hội tụ nhanh [89, 90] và với sáu số

hạng đầu của chuỗi, phương trình (2.13) cho ta trường nhiệt độ phân bố theo chiều

cao dầm như là hàm phi tuyến của z dưới dạng

( )m c mT T T TB

C (2.14)

trong đó

1 2 2 11 1

1 2

3 3 1 4 4 11 1

3 4

5 5 11

5

( ) ( 1) ( ) (2 1)2 2

( ) (3 1) ( ) (4 1)2 2

( ) (5 1)2

n nn cm cm

m c m m c m

n ncm cm

m c m m c m

ncm

m c m

k V k VB V

V Vn n

k V k V

V Vn n

k V

Vn

(2.15)

2

2

3 4

3 4

5

5

1( ) ( 1) ( ) (2 1)2 2

( ) (3 1) ( ) (4 1)2 2

( ) (5 1)2

cm cm

m c m m c m

cm cm

m c m m c m

cm

m c m

k kC

V Vn n

k k

V Vn n

k

Vn

(2.16)

Trong phương trình trên ta sử dụng ký hiệu

1

1

2

zV

h

(2.17)

26

Phương trình (2.14) thể hiện sự phân bố của trường nhiệt độ theo chiều cao

của dầm FGM. Nhiệt độ tại một vị trí trong dầm phụ thuộc vào nhiệt độ ở mặt trên

(Tc), mặt dưới (Tm), các hệ số dẫn nhiệt κc, κm của vật liệu thành phần, tham số vật

liệu n và chiều cao dầm h.

Dễ dàng thấy rằng, khi nhiệt độ mặt trên và mặt dưới dầm bằng nhau, Tc =

Tm, phương trình (2.14) cho ta kết quả T = Tc = Tm, trong trường hợp này nhiệt độ tại

mọi điểm trong dầm là như nhau và được gọi là trường nhiệt độ tăng đều (Uniform

Temperature Rise - UTR). Như vậy, trường nhiệt độ UTR trong dầm FGM là

trường mà nhiệt độ hiện tại T(K) ở mọi điểm của dầm đều như nhau và cao hơn

nhiệt độ quy chiếu T0 một lượng ΔT: T = T0 + ΔT. Đại lượng ΔT được gọi là lượng

tăng nhiệt (Temperature rise). Nhiệt độ quy chiếu T0 thường lấy là nhiệt độ phòng,

tức là T0=300K, tức là 27oC (như trong Luận án này).

Trường hợp Tc ≠ Tm, nhiệt độ tại mọi điểm trong dầm xác định như phương

trình (2.14), như đã nói ở trên, là hàm phi tuyến của tọa độ z. Trường nhiệt độ vì thế

là trường nhiệt độ tăng phi tuyến (Nonlinear Temperature Rise – NLTR). Trong

luận án này, giá trị tăng của nhiệt độ T cho NLTR được định nghĩa theo các

nghiên cứu trước đây, chẳng hạn của Ebrahimi và cộng sự [17], Wattanasakulpong

và cộng sự [21]. Cụ thể là: T = Tc – Tm = Tc - T0 , trong đó T0 là nhiệt độ quy chiếu,

T0 = 300K, như nói ở trên. Như vậy, với cùng một giá trị tăng của nhiệt độ T, nhiệt

độ ở mặt trên dầm (mặt giàu gốm) là như nhau, còn nhiệt độ ở các điểm trong dầm

trong NLTR thay đổi theo phương trình (2.14), trong khi nhiệt độ tại mọi điểm của

dầm là như nhau cho UTR. Sự khác nhau này dẫn tới các đặc trưng động lực học

của dầm với cùng một lượng tăng nhiệt độ nhưng sự phân bố nhiệt khác nhau, như

sẽ trình bày trong Chương 4, sẽ khác nhau.

2.4. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tham số vật liệu

Nhiệt độ không chỉ tác động lên kết cấu dưới dạng các tải trọng nhiệt mà còn

làm thay đổi các tính chất của vật liệu. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tính chất vật

liệu, vì thế cần được xét tới khi kết cấu làm việc trong môi trường nhiệt độ cao. Mô-

đun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt… không chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường mà còn

27

vào chính bản thân vật liệu. Touloukian [130] chỉ ra rằng tính chất P của một vật

liệu liên hệ với nhiệt độ dưới dạng hàm phi tuyến sau

1 2 30 1 1 2 3( 1 )P P P T PT PT PT

(2.18)

trong đó T(K) là nhiệt độ; P0, P-1, P1, P2 và P3 là các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ

(temperature dependent coefficients) và là các giá trị duy nhất đối với từng vật liệu.

Chẳng hạn, mô-đun đàn hồi và hệ số giãn nở nhiệt của gốm và kim loại phụ thuộc

vào nhiệt độ như sau

1 2 30 1 1 2 3

1 2 30 1 1 2 3

1 2 30 1 1 2 3

1 2 30 1 1 2 3

( ) ( 1 )

( ) ( 1 )

( ) ( 1 )

( ) ( 1 )

c c c c c c

m m m m m m

c c c c c c

m m m m m m

E T E E T E T E T E T

E T E E T E T E T E T

T T T T T

T T T T T

(2.19)

Thay (2.19) vào phương trình (2.3) ta thu được biểu thức cho mô-đun đàn hồi

hiệu dụng E, hệ số giãn nở nhiệt và mô-đun trượt của dầm FGM như sau

10 1 0 1 0 0 0 1 0 1

2 30 2 0 2 0 3 0 3

1 2 30 1 1 2 3

10 1 0 1 0 0 0 1 0 1

20 2 0 2 0

( , ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( 1 )

( ) ( ) ( )

( ) (

c c m m c m c c m m

c c m m c c m m c

m m m m m

c c m m c m c c m m

c c m m

E z T E E E E T E E E E E E T

E E E E T E E E E T V

E E T E T E T E T

E E E E T E E E E E E T

E E E E T E

33 0 3 )

2c c m m

VE E E T

(2.20)

10 1 0 1 0 0 0 1

2 30 1 0 2 0 2 0 3 0 3

1 2 30 1 1 2 3 0 1

10 1 0 0 0 1 0 1 0 2

20 2 0

( , ) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

( 1 ) (

) ( ) ( ) (

) (

c c m m c m c c

m m c c m m c c m m c

m m m m m c c

m m c m c c m m c c

m m c

z T T

T T T V

T T T T

T T

T

33 0 3 )

2c m m

VT

(2.21)

( , )

( , )2(1 )

E z TG z T

(2.22)

trong đó là hệ số Poisson, được giả định không phụ thuộc vào nhiệt độ. Thêm vào

đó, do khối lượng riêng ρ ít chịu ảnh hưởng của nhiệt độ [22] nên cũng có thể giả

28

thiết không phụ thuộc vào nhiệt độ và vì thế có thể biểu diễn theo khối lượng riêng

của các vật liệu thành phần dưới dạng

1

( ) ( ) ( )2 2

np

c m m c m

Vzz

h

(2.23)

trong đó c, m lần lượt là khối lượng riêng của gốm và kim loại.

Hình 2.2 và 2.3 minh họa ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô Vα và sự

tăng nhiệt độ ΔT tới mô-đun đàn hồi hiệu dụng của dầm FGM tạo bởi hai vật liệu là

thép không gỉ (SUS304) và ô-xit nhôm (Al2O3) với các giá trị khác nhau của tham

số vật liệu n, tỷ lệ thể tích lỗ rỗng V và giá trị nhiệt độ tăng ΔT =500K.

Hình 2.2. Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng

Hình 2.3. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng trong trường nhiệt độ UTR và NLTR

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5180

200

220

240

260

280

300

320

340

z/h

E (

GP

a)

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5180

200

220

240

260

280

300

320

340

z/h

E (

GPa

)

n=5

n=10

n=0.1

n=0.5

n=10

n=1

n=5

n=1n=0.5

n=0.1

(a) T=0 K,V=0 (b) T=0 K,V=0.1

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5140

160

180

200

220

240

260

280

z/h

E (

GPa

)

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5140

160

180

200

220

240

260

280

z/h

E(

GPa

)

n=0.5

n=1

n=5

n=10

n=0.1

n=0.5

n=5

n=10

(a) NLTR, T=500 K, V=0.1 (b) UTR, T=500 K, V=0.1

n=0.1

n=1

29

Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ tới mô-đun đàn hồi hiệu dụng của

dầm FGM có thể thấy rõ từ các Hình 2.2 và 2.3. Với mọi giá trị của tham số vật liệu

n, Hình 2.2 cho thấy mô-đun đàn hồi hiệu dụng của dầm giảm rõ rệt khi xét tới ảnh

hưởng của lỗ rỗng vi mô. Tương tự như vậy, Hình 2.3 cho thấy mô-đun đàn hồi

hiệu dụng của dầm FGM giảm đáng kể khi dầm ở trong môi trường nhiệt độ cao, cả

trường nhiệt độ phân bố đều và phân bố phi tuyến. So sánh Hình 2.2(b) với Hình

2.3 ta thấy rằng với mọi giá trị của tham số vật liệu n, mô-đun đàn hồi hiệu dụng E

của dầm FGM bị suy giảm trong môi trường nhiệt độ, và sự suy giảm mạnh hơn

trong trường hợp trường nhiệt độ là phân bố đều.

2.5. Các phương trình cơ bản

2.5.1. Trường chuyển vị

Xét dầm FGM trong hệ tọa độ Đề-các (x,z) như Hình 2.1. Dựa trên lý thuyết

biến dạng trượt bậc nhất, chuyển vị dọc trục u và chuyển vị ngang w của một điểm

bất kỳ trong dầm được xác định bởi:

0

0

( , , ) ( , ) ( , )

( , , ) ( , )

u x z t u x t z x t

w x z t w x t

(2.24)

trong đó u0(x,t), w0(x,t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phương

ngang của điểm nằm trên trục giữa của dầm, θ(x,t) là góc quay của thiết diện ngang

của dầm và t là thời gian.

2.5.2. Trường biến dạng, ứng suất

Với trường chuyển vị (2.24) ta nhận được trường biến dạng cho dầm như sau:

, 0, ,

z , , 0,

xx x x x

x z x x

u u z

u w w

(2.25)

trong biểu thức trên kí hiệu (..),x được dùng để chỉ đạo hàm riêng theo biến x và (..),z

là đạo hàm riêng theo biến z; εxx và γxz tương ứng là các biến dạng dọc trục và biến

dạng trượt.

Theo định luật Hook, ứng suất pháp và ứng suất trượt tương ứng với trường

biến dạng (2.25) là:

30

0, ,

0,

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

xx xx x x

xz xz x

z T E z T E z T u z

z T G z T G z T w

(2.26)

trong đó E(z,T) và G(z,T) tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt hiệu dụng

của dầm, phụ thuộc vào nhiệt độ T; ψ là hệ số hiệu chỉnh, giá trị của nó phụ thuộc

vào dạng hình học của thiết diện ngang và tính chất vật liệu. Với dầm có thiết diện

ngang là hình chữ nhật nghiên cứu trong Luận án này thì giá trị của hệ số điều chỉnh

ψ được chọn bằng 5/6.

2.5.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi

Từ trường biến dạng và ứng suất nhận được, biểu thức cho hàm năng lượng biến

dạng đàn hồi (U ) đối với dầm làm từ vật liệu FGM với lỗ rỗng vi mô, nằm trong

môi trường nhiệt độ có thể viết dưới dạng

0

2 20,

0

2 2

0, , 0,

220, , , 0,

22 211 0, 12 0, , 22 , 33 0,

0

(

1( )

2

1( , )

2

( , )

, )

1( , )(

12

2

2 )2

xx xx xz xz

V

x x x

x

L

A

L

x x x

L

x x x x x

x

A

U dV

u z G z T w

u G z T w

E z T dAdx

E z T u z z dAdx

A u A u A A w dx

(2.27)

trong đó V là thể tích dầm, A là diện tích thiết diện ngang của dầm; các đại lượng

A11, A12, A22 và A33 tương ứng là độ cứng dọc trục, độ cứng tương hỗ giữa dọc trục

và uốn, độ cứng chống uốn và độ cứng chống trượt, được định nghĩa như sau:

211 12 22

33

, , ( , )(1, , )

( , )

A

A

A A A E z T z z dA

A G z T dA

(2.28)

2.5.4. Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt ban đầu

Giả sử dầm không có ứng suất nhiệt khi nhiệt độ bằng nhiệt độ quy chiếu T0 và

chịu ứng suất nhiệt do sự thay đổi nhiệt độ. Ứng suất nhiệt ban đầu do sự tăng nhiệt

độ T được định nghĩa bởi [30, 91]

( , ) ( , )Txx E z T z T T (2.29)

31

Trong đó mô-đun đàn hồi E(z,T) và hệ số dãn nở nhiệt (z,T) được tính từ phương

trình (2.20) và (2.21)

Năng lượng biến dạng sinh ra do ứng suất nhiệt ban đầu có dạng [17, 30]

2 20, 0,

0

1 1( , ) ( , )

2 2

L

T x T x

V

U E z T z T Tw dV N w dx (2.30)

trong đó: NT là tổng lực dọc trục sinh ra do ứng suất nhiệt ban đầu, được định nghĩa

bởi

( , ) ( , )T AN E z T z T TdA (2.31)

2.5.5. Động năng

Từ trường chuyển vị (2.24) ta có thể viết được biểu thức động năng của dầm

FGM với lỗ rỗng vi mô dưới dạng sau:

2

0

2

2 2 2 20 0 0

0

2 2 211 0 12 0 22

0

1( )( )

2

1( )( ) 2 ( ) ( )

2

1( ) 2

2

V

L

L

A

z u dV

z u z zu z z dAdx

I u I u I dx

w

w

w

(2.32)

trong đó kí hiệu dấu chấm trên là đạo hàm riêng theo thời gian t; (z) là khối lượng

riêng hiệu dụng, được giả định là không phụ thuộc vào nhiệt độ mà chỉ phụ thuộc

vào biến z; I11, I12 và I22 tương ứng là các mô-men khối lượng (mass moments),

được định nghĩa như sau

211 12 22( , , ) ( )(1, , )

A

I I I z z z dA (2.33)

Vì các mô-men khối lượng, là hàm không phụ thuộc vào nhiệt độ nên ta có

thể viết được biểu thức của chúng dưới dạng tường minh như sau

11

12

2

2

2

23

( )

1 2

( )

2( 1)( 2)

( 2)( ),

4( 1)( 2)( 3) 12 24m

c mc m

c m

c mc m

bh n Vbh

n

bh n

n n

n n Vbh

n n

I

n

I

I

(2.34)

32

2.5.6. Thế năng của lực ngoài

Lực ngoài tác động lên dầm xét trong Luận án là một lực di động, một lực

điều hòa di động hoặc các lực với biên độ không đổi di động. Thế năng của các lực

di động này có thể được biểu diễn dưới dạng sau

1

0 ( , ) ( )nF

i i i ii

F w x t x vt

(2.35)

trong đó nF là số lực, (.) là hàm delta Dirac; w0(xi,t) là độ võng của dầm tại vị trí

lực Fi tác dụng, xi là hoành độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí của lực Fi, và ti là thời

gian tính từ thời điểm lực Fi đi vào nút trái của dầm

2.6. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng của dầm

Ảnh hưởng của nhiệt độ đến độ cứng của dầm được thể hiện bằng các công

thức (2.28). Từ công thức này ta có nhận xét rằng, các giá trị độ cứng của dầm phụ

thuộc vào mô-đun đàn hồi, mô-đun trượt và chiều cao của dầm. Trong khi đó các

mô-đun của dầm lại phụ thuộc vào nhiệt độ theo công thức (2.20) - (2.22) và nhiệt

độ của dầm thay đổi theo chiều cao dầm. Trong thường hợp trường nhiệt độ phân

bố phi tuyến, việc sử dụng phương pháp giải tích để tính các tham số độ cứng dưới

dạng tường minh là không khả thi. Tích phân số, cụ thể phương pháp Simpson 3/8

được sử dụng trong luận án này để tích các giá trị độ cứng của dầm.

Hình 2.4 và 2.5 minh họa sự phụ thuộc của độ cứng dọc trục A11 và độ cứng

chống uốn A22 vào giá trị của sự tăng nhiệt độ ΔT của dầm với thể tích lỗ rỗng vi mô

V = 0.1 trong hai trường hợp, trường nhiệt độ tăng đều (UTR) và trường nhiệt độ

tăng phi tuyến (LNTR). Trên các Hình 2.4 và 2.5 các ký hiệu A110 và A220 là độ cứng

dọc trục và độ cứng chống uốn của dầm thép thuần nhất làm bởi SUS304 ở nhiệt độ

phòng (T0 = 300K), cụ thể là A110 = 207.79x109 N và A220 = 17.316x109 Nm2.

33

Hình 2.4. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng dọc trục của dầm FGM với

Vα= 0.1: (a) UTR, (b) NLTR

Từ các Hình 2.4 và hình 2.5 ta thấy với mọi giá trị của tham số vật liệu n, độ cứng

dọc trục và độ cứng chống uốn giảm dần khi giá trị của ΔT tăng lên. Trong hai

trường nhiệt độ xem xét trong Luận án, so với trường NLTR trường UTR ảnh

hưởng tới độ cứng của dầm mạnh hơn. Thêm vào đó, sự suy giảm độ cứng rõ nét

hơn cho trường hợp dầm có tham số vật liệu n lớn hơn. Điều này được lý giải bởi tỷ

phần kim loại trong dầm lớn hơn, và kim loại chịu sự ảnh hưởng của nhiệt độ mạnh

hơn so với gốm.

Hình 2.5. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng chống uốn của dầm FGM với

Vα = 0.1: (a) UTR, (b) NLTR

0 2 4 6 8 100.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

n

A11

/A11

0

0 2 4 6 8 100.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

n

A11

/A11

0

T=0K

T=100K

T=200K

T=500K

T=0K

T=100K

T=200K

T=500K

(a) (b)

NLTR, V=0.1UTR, V=0.1

0 2 4 6 8 100.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

n

A22

/A22

0

0 2 4 6 8 100.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

n

A22

/A22

0

T=0K

T=100K

T=200K

T=500K

T=0K

T=100K

T=200K

T=500K

(a) (b)

NLTR, V=0.1UTR, V=0.1

34

Hình 2.6 minh họa mối liên hệ giữa độ cứng và tham số vật liệu n của dầm

FGM ở nhiệt độ phòng (T=300K) với các giá trị khác nhau của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng

vi mô Vα. Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô tới các độ cứng dọc trục và độ

cứng chống uốn của dầm FGM có thể thấy rõ từ Hình 2.6. Với mọi giá trị của tham

số vật liệu n, dầm với tỷ lệ thể tích Vα lớn hơn có độ cứng thấp hơn đáng kể. Sự suy

giảm độ cứng của dầm do lỗ rỗng vi mô, như sẽ thấy trong chương 4, làm thay đổi

các đặc trưng động lực học của dầm.

Hình 2.6. Mối liên hệ giữa độ cứng và tham số vật liệu n của dầm FGM có các giá

trị Vα khác nhau (T = 300K): (a) độ cứng dọc trục, (b) độ cứng chống uốn

2.7. Phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động cho dầm được xây dựng từ nguyên lý biến phân

Hamilton. Với hệ cơ học bảo toàn nguyên lý biến phân Hamilton có thể viết dưới

dạng [131]

2 2

1 1

( ) 0t t

T

t t

dt U U dt (2.36)

với các ràng buộc ở hai thời điểm t1 và t2

1 2 1 2 1 2

0, 0, 0t t t t t t

u u w w (2.37)

trong đó là phiếm hàm Lagrange; , , ,TU U lần lượt là động năng, năng

lượng biến dạng đàn hồi, năng lượng biến dạng do nhiệt độ và thế năng của các lực

0 2 4 6 8 10

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n

A11

/A11

0

0 2 4 6 8 10

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n

A22

/A22

0

V=0

V=0.1

V=0.2

V=0

V=0.1

V=0.2

(a) (b)

T=0K T=0K

35

ngoài. Lưu ý rằng, ký hiệu δ trong phương trình trên là toán tử biến phân chứ không

phải là hàm delta Dirac như ở trên.

Từ các biểu thức (2.27) và (2.30) ta nhận được

2 2

1 1

22 2

11 0, 12 0, , 22 ,

01

2 233 0, 0,

2

11 0, 0, 12 0, , 0, , 22 , ,

01

33 0, 0, 0, 0,

( )

12 ( )

2

t t

B T

t t

t L

x x x x

t

x T x

t L

x x x x x x x x

t

x x T x x

Udt U U dt

A u A u A

A w N w dxdt

A u u A u u A

A w w N w w dxdt

(2.38)

Hay

2 2

11 0, 0, 12 0, , 0, , 22 , ,

01 1

33 0, 0, 33 0, 0, 0,

2

11 0, 12 , 0, 12 0, 22 , ,

01

33 0, 0, 0, 33 0,

1

2

t t L

x x x x x x x x

t t

x x x T x x

t L

x x x x x x

t

x T x x x

Udt A u u A u u A

A w w A w N w w dxdt

A u A u A u A

A w N w w A w

2

11 0, 12 , 0 12 0, 22 , 33 0, 0, 00

1

2

11 0, 12 , 0 12 0, 22 , 33 0,

01

33 0, , 0, 0

t L

x x x x x T x

t

t L

xx xx xx xx x

t

xx x T xx

dxdt

A u A u A u A A w N w w dt

A u A u A u A A w

A w N w w dxdt

(2.39)

Từ (2.32) ta tính được

36

2 22 2 2

11 0 0 12 0 22

01 1

2

11 0 0 11 0 0 12 0 12 0 22

01

2

11 0 12 0 11 0 0 12 0 22

01

11 0

12 0

2

0

t t L

t t

t L

t

t L

t

dt I u w I u I dxdt

I u u I w w I u I u I dxdt

I u I u I w w I u I dxdt

I u I

22 212 0 11 0 12 0 11 0 0

110 0 01

2 22

11 0 0 12 0 22 12 0 2210 0 01 1

-

tL L Lt t

ttt

t tL L Lt

tt t

u dx I u I u dxdt I w w dxdt

I w w dxdt I u I dx I u I dxdt

(2.40)

Từ biểu thức (2.35) tính được

22

1 11

0

10

2

1

( , ) ( )

( , ) ( )

t nFt

i i i itit

t nF

i i i iit

dt F w x t x vt dt

F w x t x vt dt

(2.41)

Sử dụng các ràng buộc ở (2.37) ta nhận được

2 2

11 0, 12 , 0 12 0, 22 , 33 0,

01 1

33 0, , 0, 0

t t L

xx xx xx xx x

t t

xx x T xx

Udt A u A u A u A A w

A w N w w dxdt

(2.42)

và

2 2

11 0 12 0 11 0 0 12 0 22

01 1

t t L

t t

dt I u I u I w w I u I dxdt (2.43)

Thế (2.41), (2.42) và (2.43) vào (2.36) ta thu được hệ phương trình vi phân chuyển

động cho dầm như sau

11 0 12 11 0, 12 ,

11 0 33 0, , 0,

22 12 12 0, 22 , 3 0,

1

3

0

(

0

)nF

i

xx xx

xx x T x i ii

x

xx xx x

I u I A u A

I w A w N w

I I u A u A

F x vt

A w

(2.44)

Các điều kiện biên về lưc và mô-men nhận được từ nguyên lý biến phân Hamilton

có dạng:

37

11 0, 12 ,

12 0, 22 ,

33 0,

,

,

x x

x x

x

A u A N

A u A M

A w Q

tại x = 0 và x = L (2.45)

trong đó , ,N M Q là lực dọc trục, mô-men và lực cắt cho trước tại hai đầu dầm.

Hệ phương trình vi phân (2.44) mô tả chuyển động của dầm Timoshenko

FGM có lỗ rỗng trong môi trường nhiệt độ. Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt

độ được thể hiện thông qua sự phụ thuộc của các hệ số phương trình vi phân vào tỷ

lệ thể tích lỗ rỗng và nhiệt độ. Thêm vào đó, ảnh hưởng của ứng suất trước được thể

hiện trong phương trình chuyển động qua sự có mặt của lực dọc trục NT. Ảnh hưởng

của ứng suất trước, như ta thấy từ phương trình vi phân chuyển động trên giống như

lực nén dọc trục.

2.8. Dầm Euler-Bernoulli

Với dầm mảnh, ảnh hưởng của biến dạng trượt có thể bỏ qua. Trong trường

hợp này góc quay θ bằng chính đạo hàm của chuyển vị ngang, θ = w0,x. Biểu thức

cho năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm có dạng giản đơn hơn

20, 0,

0

2 2 20, 0, 0, 0,

0

2 211 0, 12 0, 0, 22 0,

0

1 1( ( , )( )

2 2

1( , )( 2 )

2

1[ 2 ]

2

L

xx xx x xx

V A

L

x x xx xx

A

L

x x xx xx

U dV E z T u zw dAdx

E z T u zu w z w dAdx

A u A u w A w dx

(2.46)

Các hệ số độ cứng A11, A12 và A22 vẫn được định nghĩa giống như trường hợp

lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, phương trình (2.28). Năng lượng biến dạng sinh

ra do ứng suất nhiệt ban đầu giống với trường hợp sử dụng lý thuyết biến dạng trượt

bậc nhất.

Động năng của dầm

2 2 2 2 2 20, 0,

0

2 2 211 12

0 0 0

0 0 0, 22 0,

0

0

1 1( )( ) ( )[( ) 2 ]

2 2

1[ ( ) 2 ]

2

L

x x

V A

L

x x

z u w dV z u w zu w z w dAdx

I u w I u w I w dx

(2.47)

38

Trong phương trình (2.47) các giá trị của mô men khối lượng I11, I12 và I22 được

định nghĩa như trong trường hợp lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, phương trình

(2.33).

Sử dụng nguyên lý biến phân Hamilton ta nhận được phương trình vi phân

chuyển động cho dầm dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli dưới dạng

11 0 12 0, 11 0, 12 0,

11 12 0, 22 0, 22 0, 1 0 01

0 2 , ,

0

( )

x xx xxx

nF

x xx xxxx xxx T xx i i ii

I u I w A u A w

I w I u I w A w A u N w F x vt

(2.48)

Với dầm Euler-Bernoulli hệ phương trình chuyển động chỉ gồm hai phương

trình. Tuy nhiên, do biểu thức của năng lượng biến dạng đàn hồi sử dụng lý thuyết

dầm Euler-Bernoulli chứa các tham biến có đạo hàm cao hơn trường hợp lý thuyết

biến dạng trượt bậc nhất, việc dẫn ra phương trình chuyển động của dầm Euler-

Bernoulli có phức tạp hơn do phải tích phân từng phần hai lần. Ảnh hưởng của lỗ

rỗng vi mô và nhiệt độ được thể hiện trong phương trình chuyển động của dầm

Euler-Bernoulli cũng qua các hệ số của phương trình vi phân và lực dọc trục sinh ra

do ứng suất nhiệt ban đầu.

Kết luận chương 2

Chương 2 trình bày các phương trình cơ bản của bài toán dầm FGM có lỗ

rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ. Các tham số vật liệu dầm được giả định phụ

thuộc vào nhiệt độ môi trường. Hai trường hợp nhiệt độ được xét tới là trường nhiệt

độ tăng đều và trường nhiệt độ tăng phi tuyến. Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và

nhiệt độ tới các hệ số độ cứng của dầm được khảo sát chi tiết. Sử dụng nguyên lý

biến phân Hamilton, đã thiết lập phương trình chuyển động cho dầm dựa trên lý

thuyết biến dạng trượt bậc nhất. Phương trình chuyển động cho dầm với các giả

thiết Euler-Bernoulli cũng được đề cập trong chương.

Các phương trình cơ bản liên quan tới lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất cho

dầm FGM chịu tải trọng di động trong chương này đã được trình bày trong các bài

báo số 2, 3, 5, 6, 10, 11, 12, trong khi lý thuyết dầm Euler-Bernoulli được trình bày

trong các bài báo số 1, 4 và 12 trong mục “ Danh mục công trình của tác giả ”.

39

CHƯƠNG 3. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ THUẬT TOÁN SỐ

Chương này xây dựng mô hình phần tử hữu hạn, tức là thiết lập các biểu thức

cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ lực nút của phần tử dầm FGM

có lỗ rỗng vi mô nằm trong môi trường nhiệt độ. Mô hình phần tử được xây dựng

trên cơ sở các biểu thức năng lượng phần tử. Biểu thức cho ma trận độ cứng, ma

trận khối lượng được thiết lập chi tiết cho mô hình dựa trên lý thuyết biến dạng

trượt bậc nhất với các hàm dạng thứ bậc. Mô hình phần tử dầm dựa trên lý thuyết

biến dạng trượt bậc nhất với các hàm dạng chính xác và mô hình phần tử Euler-

Bernoulli cũng được đề cập. Cuối chương trình bày thuật toán số trên cơ sở phương

pháp tích phân trực tiếp Newmark dùng để tính toán đáp ứng động lực học của dầm

FGM có lỗ rỗng trong môi trường nhiệt độ chịu tải trọng di động.

3.1. Véc tơ chuyển vị nút

Phần tử dầm phẳng hai nút điển hình dùng trong phân tích dao động của dầm

FGM được như minh họa trên hình 3.1. Trên hình vẽ, l là chiều dài phần tử, ui, wi, θi

là chuyến vị dọc trục, chuyển vị ngang và góc quay tại nút i; uj, wj, θj là các đại

lượng tương ứng ở nút j.

Hình 3.1. Chuyển vị nút (a) và lực nút (b) của phần tử dầm

Véc-tơ chuyển vị nút d cho một phần tử dầm đặc trưng (i, j) bao gồm 6 thành phần

Ti i i j j ju w u w d (3.1)

trong đó, chỉ số trên ‘T’ được sử dụng để chỉ chuyển vị của một véc tơ hoặc ma

trận; Ni; Qi; Mi và Nj, Qj ; Mj tương ứng là lực dọc trục, lực cắt và mô men tại các

nút i và j. Để thiết lập biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho

phần tử ta cần đưa vào các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang và

a)

b)

uj

MiQi

Nj

QjMj

i j

ui

wi i

i j

Ni

l

40

góc quay. Khi đó, chuyển vị u0(x), w0(x) và góc quay(x) của tiết diện ngang cho

phần tử dầm được nội suy qua các hàm dạng như sau

0 0, ,u wu w N d N d N d (3.2)

trong đó Nu, Nw và N tương ứng là các hàm nội suy (hàm dạng) cho u0(x), w0(x) và

(x). Một số phần tử dầm với 6 bậc tự do như trong phương trình (3.2) sử dụng các

các nội suy khác nhau dùng trong phân tích dao động của dầm FGM đã được một số

tác giả đề nghị trong thời gian gần đây.

3.2. Hàm nội suy thứ bậc

Mô hình phần tử hữu hạn cho phần tử dầm FGM có thể được xây dựng trên

cơ sở lựa chọn các hàm dạng khác nhau. Trong luận án của Lê Thị Hà [12], ma trận

độ cứng và ma trận khối lượng được xây dựng từ các hàm dạng chính xác, nhận

được từ lời giải phương trình tĩnh học của một phần tử dầm. Mô hình phần tử hữu

hạn xây dựng trên các hàm dạng chính xác với 6 bậc tự do có tốc độ hội tụ cao, tuy

nhiên các hàm dạng này phải tính toán lại mỗi khi thay đổi lưới phần tử, vì thế tốn

thời gian tính toán. Để tránh yếu điểm này, Luận án sử dụng hàm dạng nội suy thứ

bậc (hierachical shap functions) để nội suy các chuyển vị và góc quay của phần tử

dầm. Cần nhấn mạnh rằng số bậc tự do của mô hình dựa trên các hàm dạng thứ bậc

thường cao hơn 6, và không phải tất cả các bậc tự do này đều là các chuyển vị hay

góc quay tại nút phần tử.

Phương pháp PTHH sử dụng các hàm dạng thứ bậc được trình bày chi tiết

trong các tài liệu [132, 133]. Điểm chính của các đa thức thứ bậc là các đa thức bậc

cao luôn chứa tất cả các số hạng của đa thức bậc thấp hơn. Như vậy, để nhận được

một đa thức mới bậc cao hơn, ta chỉ cần thêm vào các đa thức cũ một vài số hạng.

Chẳng hạn, từ phép nội suy bậc nhất cho hàm f(x) trên miền [0,l ]

1 1 2 2 1 2

1 1

2 2f N f N f f f

(3.3)

với 2 1x

l là tọa độ tự nhiên. Phép nội suy bậc 2 cho hàm f(x) có thể được viết

dưới dạng

1 1 2 2 3 3f N f N f N f (3.4)

41

trong đó N3 là đa thức bậc hai, có thể biểu diễn dưới dạng

23 0 1 2N c c c (3.5)

Các hằng số c0, c1, c2 được tìm sao cho N3 triệt tiêu tại hai đầu nút phần tử, =1.

Như vậy có vô số cách chọn N3. Chẳng hạn c2 được chọn sao cho N3 = 1 ở giữa

phần tử ( = 0) ta nhận được biểu thức cho N3

23 1N (3.6)

Tương tự, thêm đa thức bậc ba vào vế phải của (3.4) ta nhận được phép nội

suy bậc 3, trong đó hàm N4 có thể biểu diễn dưới dạng

2 34 0 1 2 3N d d d d (3.7)

Các hằng số d0, d1, d2, d3 được tìm sao cho N4 = 0 tại = 1. Tương tự như trên ta

có vô số cách chọn N4. Một trong số cách chọn là N4 = 0 tại giữa phần tử trong khi

đạo hàm của nó bằng 1. Trong trường hợp này ta nhận được

24 1N (3.8)

Tương tự ta có thể xây dựng được các đa thức bậc cao hơn cho các hàm dạng thứ

bậc. Các hàm dạng N1, N2, N3, N4 cho bởi phương trình (3.3), (3.6) và (3.8) được

minh họa trên Hình 3.2a.

Hình 3.2. a) Hàm dạng thứ bậc; (b) chi tiết về chuyển vị và góc quay

42

Sử dụng các hàm nội suy N1, N2, N3, N4 nêu trên, chuyển vị dọc trục u0,

chuyển vị ngang w0 và góc xoay được nội suy như sau

0 1 1 2 2

1 1 2 2 3 3

0 1 1 2 2 3 3 4 4

u N u N u

N N N

w N w N w N w N w

(3.9)

trong đó u1, u2, 1,…, w4 là giá trị của các biến ở các nút và ở trong phần tử. Hình

3.2(b) minh họa giá trị của chuyển vị và góc xoay theo phương trình (3.9).

3.3. Trường chuyển vị với ràng buộc

Phần tử dầm dùng để phân tích động lực học của kết cấu có thể được xây

dựng từ 9 bậc tự do như trên hình 3.2. Tuy nhiên, phần tử sẽ hiệu quả hơn khi số

bậc tự do ít hơn. Việc này có thể nhận được bằng cách hạn chế biến dạng trượt là

một hằng số [133]. Biến dạng trượt trong (2.25) nhận được từ phép nội suy (3.9) có

dạng

2z 4 3 3 1 2

2 1 4 1 2 3

6 4 1 1

2 2

1 12 2

2

x w wl l

w w wl

(3.10)

Để xz = const, ta cần có

4 3

3 1 2

60

4 1 10

2 2

wl

wl

(3.11)

Từ (3.11) ta rút ra

3 1 2 4 3,8 6

l lw w (3.12)

Sử dụng công thức (3.12) ta có thể viết lại (3.9) như sau

1 2

21 2 3

2 21 2 1 2 3

1 11 1

2 21 1

1 1 12 21 1

1 1 1 12 2 8 6

u u u

l lw w w

(3.13)

43

Và biến dạng trượt bây giờ có dạng

2 1 1 2 3

1 1 2

2 3xz w wl

(3.14)

Phần tử dầm trong luận án này được xây dựng từ trường chuyển vị theo công

thức (3.13) và biến dạng trượt theo công thức (3.14). Véc tơ chuyển vị nút cho một

phần tử có 7 bậc tự do là

1 1 1 3 2 2 2

Tu w u w d (3.15)

Sử dụng công thức (3.15), trường chuyển vị và góc xoay (3.13) có thể được

viết dưới dạng ma trận

0 0, ,u wu w N d N d N d (3.16)

trong đó

1 2 1 3 2

1 3 4 2 3

0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 ,

0 08 6 8

TT

u

T

w

N N N N N

l l lN N N N N

N N

N (3.17)

tương ứng là các ma trận hàm dạng của u0, θ và w0.

3.4. Ma trận độ cứng phần tử

Ma trận độ cứng của dầm được xây dựng dựa trên biểu thức năng lượng biến

dạng. Sử dụng phép nội suy (3.16), (3.17), và với lưu ý (.),x = (.),ξ 2/l và dx = l/2dξ,

ta có thể viết biểu thức cho năng lượng biến dạng đàn hồi cho một phần tử dầm, Ue,

dưới dạng sau

1

22 211 0, 12 0, , 22 , 33 0,

1

111 12 , 22

1 ,

, , , ,

3

,

3 ,( ( )

12

21

)

1

2

e

T

T T Tu u

w

u

w

T

T T

U A u A u A A w dl

A A Ad

l A

N N N N N N

Nd

Nd

N

d

N

kd

(3.18)

trong đó

uu u k k k k k (3.19)

với k là ma trận độ cứng phần tử, và

44

11

12

, 3

1

, ,

1

1

, ,

1

1

, ,

1

1

3 ,

1

2

2

2

2 2

2

Tuu u u

Tu u

T

wT T

w

dl

dl

dl

ld

l

A

Al

A

k N N

k N N

k N N

k N N N N

(3.20)

tương ứng là các ma trận độ cứng sinh ra do biến dạng dọc trục, tương hỗ giữa dọc

trục và uốn, biến dạng uốn và biến dạng trượt. Các ma trận này có dạng toán học

đơn giản và có thể viết dưới dạng tường minh dưới đây

11 12

0 1 0 0 1

1 0 0 1 01 1

, 0 0 0 0 01 1

0 1 0 0 1

1 0 0 1 0

uu u

A A

l l

kk

2 2 2

2 23322 2

2 2 2

21 1

2 3 2

1 0 1 2 4 3 2 416 2 4 20 0 ,3 3 3 9 3 3

1 0 1 21 1

2 3 2

2 4 3 2 4

l l l

l l l l l

AA l l l ll

l l

l l l

l l l l l

k k (3.21)

Để tương thích trong tính toán ma trận dưới đây, các ma trận độ cứng trong phương trình (3.21) cần được mở rộng thành ma trận có kích thước (7x7) bằng cách thêm vào các hàng và cột với các hệ số bằng 0 tương ứng với các hệ số 0 trong ma trận các hàm dạng (3.17)

3.5. Ma trận độ cứng do ứng suất nhiệt ban đầu

Ma trận độ cứng phần tử do ứng suất nhiệt ban đầu được xây dựng dựa trên

năng lượng biến dạng do tăng nhiệt độ phương trình (2.30) cho một phần tử có dạng

, ,

1 120,

1 1

1 1 1

2w wT T T

Te T T TU N w N dl l l

d

d N N d d k d (3.22)

45

với kT là ma trận độ cứng do tăng nhiệt độ

1

, ,

1

2 TT w T wN d

l

k N N (3.23)

Dạng tường minh của kT có dạng đơn giản sau

2 2

2

2 2

1 0 0 1 0

1 10 0 0

12 124

0 0 0 045

1 0 0 1 0

1 10 0 0

12 12

TT

l l

Nl

l

l l

k (3.24)

3.6. Ma trận khối lượng phần tử

Ma trận khối lượng được xây dựng trên các hàm nội suy cho trường chuyển

vị. Vì vậy, ta có thể viết biểu thức động năng cho phần tử dầm công thức (2.32)

dưới dạng sau

12 2 2

11 0 12 0 22

1

1

11 11 12 22

e

1

0( ) 24

( 2 )4

1( )

2

1

2

T T T T Tu u w w u

T Tuu ww u

lI u I u I d

lI I

w

I I d

d N N N N N N N N d

d m m m m d d md

(3.25)

trong đó m = muu + mww + mu + m là ma trận khối lượng của phần tử dầm

1

11

1

1

11

1

1

12

1

1

22

1

2

2

2

2

Tuu u u

Tww w w

Tu u

T

lI

lI

lI

d

d

d

ldI

m N N

m N N

m N N

m N N

(3.26)

46

tương ứng là các ma trận khối lượng sinh ra do chuyển vị theo phương: dọc trục;

phương ngang; tương hỗ giữa chuyển vị dọc trục và sự quay của tiết diện ngang; sự

quay của tiết diện ngang. Thay thế các hàm dạng vào (3.26) và tính tích phân ta

nhận được dạng tường minh cho ma trận khối lượng như sau

2 2

222 11

2 2

w

1 1 11

8 30 2 8

101 1

8 40 8 4028 21 1 , 0 0

3 5 3 30 315 301 11 1 12 2 8 30 8

08 40 8 40

w

l

l l l l

lI lI l l l

l l l

l l l l

m m

11 12

10 1 1 0

21

1 0 0 011 2

2 , 1 0 0 1 013 3

1 10 1 0 12

21

0 0 1 02

uu u

lI lI

m m (3.27)

Các ma trận trong (3.24) và (3.27) cũng cần được mở rộng thành các ma trận có kích thước (7x7) để bảo đảm sự tương thích trong tính toán ma trận.

3.7. Phần tử dựa trên các hàm nội suy chính xác

Để so sánh mô hình phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

và các hàm dạng thứ bậc được xây dựng ở trên. Luận án cũng tiến hành xây dựng

phần tử dầm dựa trên các hàm dạng chính xác.

Kosmatka [65] xây dựng các hàm nội suy chính xác cho phần tử dầm

Timoshenko thuần nhất bằng cách giải phương trình vi phân cân bằng cho một phần

tử và chỉ ra rằng các hàm nội suy này có nhiều ưu điểm, đặc biệt là tốc độ hội tụ

nhanh. Dựa trên ý tưởng này, luận án tiến sỹ của Lê Thị Hà [12] đã tiến hành xây

dựng hàm nội suy chính xác cho phần tử dầm Timoshenko làm từ vật liệu FGM có

47

cơ tính biến đổi ngang. Các hàm dạng chính xác cho phần tử dầm FGM dựa trên lý

thuyết biến dạng trượt có dạng sau

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

N

N

N

u u u u u u u

w w w w w w w

N N N N N N

N N N N N N

N N N N N N

(3.28)

2

2

1 2

2

2

3 4

2 2

2 2

5 6

6 ( ),

(1 )

3 ( ),

(1 )

6 ( ) 3 ( ),

(1 ) (1 )

a

u u

a

u u

a a

u u

x xl x l lN N

l l

x xxl lN N

l l

x x x xl l l lN N

l l

(3.29)

1 4

3 2

2

3 2

3

3 2

5

3

6

0

12 3 1

1

2 11 2 2

12 3

1

11 2

w w

w

w

w

w

N N

x x xN

l l l

l x x xN

l l l

x x xN

l l l

l xN

l

2

2

x x

l l

(3.30)

1 4

2

2

2

3

2

5

2

6

0

6

1

3 4 11

6

1

3 21

N N

x xN

l l l

l x xN

l l

x xN

l l l

l x xN

l l

(3.31)

48

Trong các phương trình (3.30) và (3.31), 12

11a

A

A và 22

233

12A

l A

là tham số biến

dạng trượt, phụ thuộc vào tính chất vật liệu dầm. Chú ý rằng các hàm dạng cho

chuyển vị ngang w0(x) và góc xoay θ(x) theo công thức (3.30) và (3.31) có dạng

giống với hàm nội suy do Kosmatka xây dựng trong [65] ngoại trừ cách định nghĩa

tham số biến dạng trượt . Nếu lấy 2

12EI

l GA

thì các hàm dạng này quay về hàm

Kosmatka. Biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho một phần tử

vẫn có dạng (3.20) và (3.26) nhưng với các hàm dạng cho bởi (3.29)-(3.31).

3.8. Phần tử dầm Euler-Bernoulli

Phần tử dầm dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli có thể xây dựng từ

trường nội suy tuyến tính cho u0 và đa thức Hermit cho w0. Ma trận độ cứng và ma

trận khối lượng cho phần tử dầm Euler-Bernoulli có dạng dưới đây

Ma trận độ cứng phần tử

Sử dụng phép nội suy, biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi và biến dạng do tăng

nhiệt độ cho một phần tử dầm Euler-Becnoulli, được xác định như sau

2 211 0, 12 0, 0, 22 0,

0

11 12 22, , , , , ,0

1( 2 )

2

1( 2 )

2

1 1( )

2 2

e x x xx xx

lT T T T

u u u w w wx x x xx xx xx

T Tuu uw ww

l

U A u A u w A w dx

A A A dx

d N N N N N N d

d k k k d d k d

(3.32)

trong đó

uu uw ww k k k k (3.33)

và

, 11 ,

0

, 12 ,

0

, 22 ,

0

2

lT

uu u x u x

lT

uw u x w xx

lT

ww w xx w xx

A dx

A dx

A dx

k N N

k N N

k N N

(3.34)

49

tương ứng là ma trận độ cứng: dọc trục, tương hỗ giữa dọc trục - chống uốn và độ

cứng chống uốn.

Ma trận độ cứng do ứng suất nhiệt ban đầu được xác định giống với phần tử

dầm Timoshenko được xác định qua phương trình (3.23).

Cũng giống như đối với phần tử dầm dựa trên lý tuyết biến dạng trượt bậc

nhất, ma trận khối lượng của phần tử dầm Euler-Becnoulli được xây dựng trên các

hàm nội suy cho trường chuyển vị. Vì vậy, ta có thể viết biểu thức động năng cho

phần tử dầm

2 2 211 12 0, 22 0,

0

11 11 12 , ,

0 0 0

22 ,

0

1( ( ) 2 )

2

1( 2 )

2

1 1( )

2 2

x x

lT T T T T

u u w w u w x w x w x

T Tu

l

u w u

e

w

I u w I u w I w dx

I I I I dx

d N N N N N N N N d

d m m m m d d md

(3.35)

trong đó m = muu + mww + mu + m là ma trận khối lượng của phần tử dầm

110

110

12 ,0

, 22 ,0

l Tuu u u

l Tww w w

l Tu u w x

l Tw x w x

I dx

I dx

I dx

I dx

m N N

m N N

m N N

m N N

(3.36)

tương ứng là các ma trận khối lượng sinh ra do chuyển động theo phương dọc trục,

phương ngang, tương hỗ giữa chuyển vị dọc trục và sự quay của tiết diện ngang, sự

quay của tiết diện ngang. Giống như phần tử TBHi, các ma trận độ cứng và ma trận

khối lượng trong các phương trình (3.34) và (3.36) cần được bổ sung các hệ số bằng

0 tạo thành ma trận có kích thước (6x6) để đảm bảo sự tương thích cho việc cộng

các ma trận trong các phương trình (3.33) và (3.35).

3.9. Phương trình chuyển động rời rạc

Các biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử được

nối ghép để tạo thành các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng tổng thể cho dầm.

Bỏ qua ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, phương trình chuyển động cho dầm FGM

50

có lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động có thể viết dưới dạng ngôn ngữ phần tử hữu

hạn như sau

Bex

T( ) MD K K D F (3.37)

trong đó

nE nE

1 1

,i i

D d D d (3.38)

tương ứng là các véc-tơ chuyển vị và gia tốc tổng thể tại các điểm nút của dầm

nE

enE nE nE

B T1 1 1

xT

1

,, ,i i i i

K k K k M m F f (3.39)

tương ứng là các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc - tơ tải trọng nút tổng

thể. Trong các phương trình (3.38) và (3.39), nE là tổng số phần tử dầm được rời

rạc và ký hiệunE

1i được hiểu theo nghĩa ghép nối các ma trận và véc-tơ lực nút phần

tử thành các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ lực nút tổng thể theo

phương pháp phần tử hữu hạn.

3.10. Thuật toán Newmark

3.10.1. Họ các phương pháp Newmark

Phương pháp tích phân trực tiếp thay các đạo hàm riêng trong phương trình

(3.37) bằng các sai phân hữu hạn, tức là thay thế ,D D bằng sai phân của chuyển vị

nút D tại một số thời điểm khác nhau. Nhiều phương pháp tích phân trực tiếp khác

nhau được trình bày trong các sách chuyên khảo và việc lựa một phương pháp phụ

thuộc vào bài toán cũng như kinh nghiệm của người phân tích.

Ý tưởng trung tâm của phương pháp tích phân trực tiếp là chia tổng thời gian

t ra thành các phần nhỏ, gọi là bước thời gian. Phương trình chuyển động được

viết tại một thời điểm có dạng sau

exi i i MD KD F (3.40)

trong đó chỉ số dưới i dùng để chỉ thời điểm it với t là bước thời gian. Xuất phát

từ thời điểm ban đầu i = 0 (với các chuyển vị và vận tốc ban đầu đã biết, thường là

bằng không) ta sẽ xác định được chuyển vị, vận tốc và gia tốc nút tại thời điểm tiếp

51

theo (i+1)t. Tập hợp các giá trị của chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại tất cả các điểm

thời gian cho ta bức tranh đáp ứng động lực học kết cấu của dầm theo thời gian.

Phương pháp tích phân trực tiếp có thể chia làm hai nhóm: phương pháp tích

phân trực tiếp hiển và phương pháp tích phân trực tiếp ẩn. Trong phương pháp tích

phân trực tiếp hiển, véc-tơ chuyển vị nút tại thời điểm mới (i+1)t được xác định

hoàn toàn qua các thông tin đã biết ở các thời điểm trước đó, tức là chuyển vị, vận

tốc và gia tốc tại các thời điểm it, (i-1)t…

1 1 1 1( , , , , , ...)i i i i i i if D D D D D D D (3.41)

Chuyển vị tại thời điểm mới (i+1)t trong phương pháp tích phân trực tiếp ẩn

không chỉ được xác định qua chuyển vị, vận tốc và gia tốc ở các thời điểm trước đó

mà còn qua vận tốc và gia tốc tại chính thời điểm hiện tại

1 1 1( , , , , )i i i i i if D D D D D D (3.42)

Bởi vì các véc-tơ vận tốc nút 1iD và gia tốc 1iD trong phương trình (3.42)

là các đại lượng chưa biết, vì thế trong nhiều trường hợp thuật toán lặp cần được sử

dụng trong phương pháp tích phân trực tiếp ẩn [134].

Các phương pháp tích phân trực tiếp khác nhau được biết tới trong lĩnh vực

động lực học kết cấu dưới tên gọi họ các phương pháp Newmark (Newmark family

of methods). Véc-tơ chuyển vị nút và vec-tơ vận tốc nút thời điểm mới (i+1)t trong

họ các phương pháp Newmark có thể viết dưới dạng tổng quát như sau

2

1 11

11 1

1 2 22

1

i i i i ii

ii i ii i

tt

t

D D D D D

D D D D

(3.43)

trong đó và là các hằng số được lựa chọn để kiểm soát tính hội tụ của thuật toán

số và độ chính xác của lời giải số. Tùy theo giá trị của và ta có các thuật toán

tích phân trực tiếp khác nhau.

Một đặc tính quan trọng trong việc lựa chọn phương pháp tích phân trực tiếp

đó là tính ổn định của phương pháp trên quan điểm số. Người ta đã chứng minh

được rằng, phương pháp sẽ là ổn định không điều kiện nếu các hằng số và thỏa

mãn điều kiện [131]

52

1

22

(3.44)

3.10.2. Phương pháp gia tốc trung bình

Trên quan điểm toán học, véc-tơ chuyển vị và vận tốc tại các điểm nút trong

phương pháp gia tốc trung bình có thể nhận được từ khai triển Taylor của véc-tơ

chuyển vị nút quanh thời điểm it và (i+1)t. Cụ thể

2

1

2

1 1 1

2

2

i i i i

i i i i

tt

tt

D D D D

D D D D

(3.45)

Cộng và trừ các phương trình (3.45) cho nhau và bỏ qua các số hạng bé bậc cao ta

nhận được

1 1

1 1

( )2

( )2

i i i i

i i i i

t

t

D D D D

D D D D

(3.46)

từ phương trình (3.46) ta cũng có thể giải để tính các véc-tơ vận tốc và gia tốc nút

tại thời điểm (i+1)t như sau

1 1

1 12

2( )

4 4( )

i i i i

i i i i i

t

t t

D D D

D D D D D

D

(3.47)

Phương trình chuyển động (3.40) viết tại thời điểm (i+1)t là

1ex

1 1i i i MD KD F (3.48)

Kết hợp phương trình (3.47) với phương trình (3.48) ta nhận được phương

trình để xác định véc-tơ chuyển vị nút tại thời điểm mới (i+1)t như sau

ef ef1 1i i K D F (3.49)

trong đó Kef, Fef tương ứng là các ma trận độ cứng và véc-tơ lực nút hữu hiệu

(effective stiffness matrix and effective load vector) với biểu thức cụ thể như sau

ex

ef2

. ..ef

1 1 2

4

4 4i ii i i

t

t t

K M K

F F M D D D (3.50)

53

Như vậy các phương trình (3.48), (3.49) và (3.50) cho phép ta hoàn toàn xác

định được các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm mới (i+1)t.

3.11. Véc-tơ lực nút

Véc-tơ lực nút Fex trong phương trình (3.37) nhận được bằng cách nối ghép

véc-tơ lực nút phần tử f gồm các số hạng bằng không ngoại trừ các số hạng liên

quan tới phần tử trên đó có lực di động, tức là

ex1 1

.0 0 0... | | .0 0. 0.. .T

T Tw x nF w xF

F FF N N (3.51)

trong đó xe là hoành độ của lực F tính từ nút trái của phần tử trên đó có lực này.

Như vậy, để xác định véc-tơ Fex ta cần biết hoành độ xi. Hoành độ này dễ dàng xác

định được khi biết quãng đường mà lực di động Fi đi được kể từ khi nó tiến vào nút

trái dầm tới thời điểm hiện tại.

Giả sử si là khoảng cách hiện tại từ lực Fi tới đầu trái của dầm. Thuật toán số

để tính véc-tơ lực nút tổng Fex cho dầm được chia thành các phần tử có cùng độ dài,

chịu nF lực di động cách đều nhau một khoảng d gồm các bước sau:

Bước 1: Lặp trên số lượng các lực di động: for i=1:nF

Bước 2: Tính quãng đường si mà lực Fi đã đi được tính từ đầu trái dầm: si=s1-d(i-1)

Bước 3: Xác định số thứ tự của phần tử trên đó lực Fi đang tác động, chẳng hạn

bằng cách lấy phần nguyên của tỷ số si/l, trong đó l là chiều dài phần tử. Với Matlab

ta có thể dùng lệnh “fix” để lấy phần nguyên: ni = fix(si/l). Số thứ tự phần tử trên đó

có chứa lực Fi sẽ là ni+1.

Bước 4: Xác định hoành độ của lực Fi so với nút trái của phần tử ni+1:x = si - nil

Bước 5: Đánh giá ma trận các hàm dạng Nw tại hoành độ x nhận được từ bước 3.

Bước 6: Tính toán véc-tơ lực nút cho phần tử này: f = Fi NT

w.

Bước 7: Nối ghép véc-tơ f vào véc-tơ lực nút tổng thể.

3.12. Qui trình tính toán

Để giải bài toán giá trị ban đầu bằng phương pháp gia tốc trung bình, ngoài

các điều kiện về hình học, vật liệu dầm và các thông số về lực di động cần đưa vào

54

các giá trị ban đầu là các véc-tơ chuyển vị nút D và vận tốc nút Ḋ tại thời điểm ban

đầu t = 0. Gia tốc D tại thời điểm ban đầu t = 0 là đại lượng chưa biết nhưng có thể

tính được từ phương trình chuyển động viết tại thời điểm t = 0

0 0 0ex M KD FD (3.52)

vậy gia tốc ban đầu 0D là

ex1

0 0 0

D M F KD (3.53)

Sơ đồ khối để tính toán đáp ứng động lực học của dầm FGM chịu các lực di

động theo phương pháp gia tốc trung bình được minh họa trên Hình 3.3. Trong đó,

'nSTEP' là tổng số bước dùng trong thuật toán Newmark; , ,D D D các véc-tơ

chuyển vị, vận tốc và gia tốc nút tại thời điểm mới (i+1)t; 0 0 0, ,D D D là các véc-tơ

chuyển vị, vận tốc và gia tốc nút tại thời điểm cũ it. Hình 3.3 đưa ra sơ đồ khối

chương trình tính. Sử dụng các vòng lặp trên số bước của thuật toán Newmark,

trong đó vị trí hiện tại của các lực di động và véc-tơ tải trọng nút được tính ở mỗi

bước thời gian. Các giá trị của véc-tơ chuyển dịch, vận tốc và gia tốc mới được gán

thành các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc cũ ở đầu vòng lặp bằng các lệnh:

00 0, , D D D D D D

Sau khi xác được vec-tơ chuyển vị kết cấu D, sự phân bố của ứng suất pháp

σxx trên mặt cắt ngang nào đó của dầm có thể tính toán từ phương trình (2.26). Để

làm điều đó vec-tơ chuyển vị nút của phần tử (d) có chứa mặt cắt ngang đang xét

được trích ra từ vec-tơ D, và ứng suất σxx được biểu diễn qua chuyển vị nút phần tử

và các hàm dạng. Chẳng hạn với phần tử TBHi phát triển trong luận án, σxx có dạng

55

Hình 3.3. Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm

1 2

21 2 3

1( , ) 1 1

21

( , ) 1 1 (1 )2

xx E z T u u

zE z T

(3.54)

Trong đó u1, u2, θ1, θ2, θ3 là giá trị của chuyển vị dọc trục và góc quay tại

hai nút và giữa của phần tử đang xét. Ứng với mỗi giá trị của nhiệt độ T, mô-đun

đàn hồi hiệu quả E(z,T) trong phương trình (3.54) được xác định theo phương trình

(2.20). Vị trí của thiết diện ngang đang xem xét cho phép xác định giá trị ξ và như

vậy phương trình (3.54) cho bức tranh phân bố ứng suất pháp theo chiều cao dầm

của thiết diện xem xét.

D0 = Di+1, D0 = Di+1, D0 = Di+1

. .. ...

i = i+1

sai

B¾t ®Çu

k, kT, m, f

K=n(k+kT)

L, b, h, E-1c, E0c, E1c, E2c, E3c, E-1m,E0m, E1m, E2m, E3m, -1c, 0c, 1c,2c, 3c, -1m, 0m, 1m, 2m, 3m,Kc, Km, c, m, Tc, Tm, VnSTEP,F0 ,

T , Ec(T ), Em(T ) ,c(T), m(T)

M=nm

Kef , Fefi+1

Kef .Di+1= Fefi+1

Di+1 , Di+1

...

i< nSTEP

KÕt qu¶: chuyÓn vÞ, øng suÊt

KÕT THóC

(z,T ), (z,T ), z

dúng

D0 = 0, D0 = 0.

Aij , NT , I ij

Fex=nf

i = 0

D0 = M-1(F0ex - K.D0)

..

56

Kết luận chương 3

Chương 3 đã xây dựng mô hình phần tử hữu hạn, tức là thiết lập biểu thức cho

ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho một phần tử dầm đặc trưng. Mô hình

phần tử dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất sử dụng các hàm dạng thứ bậc

được trình bày chi tiết. Ngoài ra trong chương 3 còn trình bày phương pháp tích

phân trực tiếp để giải phương trình chuyển động dưới dạng ngôn ngữ phần tử hữu

hạn. Phương pháp gia tốc trung bình đảm bảo sự ổn định không điều kiện được

chọn để phân tích và được trình bày chi tiết. Các thuật toán và sơ đồ khối trong

chương 3 đủ để phát triển chương trình tính đáp ứng động lực học của dầm FGM

trong môi trường nhiệt độ cao có lỗ rỗng vi mô.

Mô hình phần tử dầm dựa trên các hàm dạng thứ bậc trong chương này được

trình bày trong các bài báo số 11 và 13, trong khi mô hình phần tử phần tử dầm dựa

trên hàm dạng chính xác được sử dụng trong bài báo số 3, 5, 6, 7; mô hình phần tử

dầm Euler-Bernoulli được giới thiệu trong bài báo số 12 trong mục “Danh mục

công trình của tác giả”.

57

CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN

Chương này trình bày kết quả số nhận được trong phân tích dao động của

dầm FGM chịu tác dụng của các lực di động. Các kết quả số trình bày trong chương

này chỉ cho dầm với gối tựa giản đơn. Nếu không có lưu ý gì đặc biệt, dầm với tỷ lệ

L/h = 20, được giả thiết làm từ ôxít nhôm (Al2O3) và thép không gỉ (SUS304) được

sử dụng trong tính toán. Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của Al2O3 và SUS304 lấy

từ tài liệu [17] được liệt kê trong Bảng 4.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu, sự tăng

nhiệt độ, tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô và các tham số của tải trọng di động tới tần số

dao dộng cơ bản và ứng xử động lực học của dầm FGM được khảo sát chi tiết.

Bảng 4.1. Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của Al2O3 và SUS304

Vật liệu Tham số P0 P-1 P1 P2 P3

Al2O3 E (Pa)

ρ (kg/ m3)

α (K-1)

κ (Wm/K)

349.55e+9

3800

6.8269e-6

-14.087

0

0

0

-1123.6

-3.853e-4

0

1.838e-4

-6.227e-3

4.027e-7

0

0

0

-1.673e-10

0

0

0

SUS304 E (Pa)

ρ (kg/ m3)

α (K-1)

κ (Wm/K)

201.04e+9

8166

12.330e-6

15.379

0

0

0

0

3.079e-4

0

8.085e-4

-1.264e-3

-6.534e-7

0

0

2.092e-6

0

0

0

-7.223e-10

4.1. Kiểm nghiệm mô hình phần tử và chương trình số

Trước khi tính toán các đặc trưng động lực học của dầm, tính chính xác và

khả năng hội tụ của mô hình phần tử hữu hạn và chương trình tính toán số cần được

kiểm nghiệm. Việc kiểm nghiệm được thực hiện trên cơ sở so sánh kết quả số nhận

được trong Luận án với các kết quả của các tác giả đã công bố trước. Trong Bảng

4.2 tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô nhận được trong trường

hợp NLTR được so sánh với các kết quả của Ebrahimi và cộng sự [17]. Tham số tần

số µ trong Bảng 4.2 được định nghĩa như sau [17]

2

1 0m

m

L

h E

(4.1)

58

trong đó 1 là tần số dao động cơ bản của dầm, 0mE và ρm tương ứng là mô-đun đàn

hồi và khối lượng riêng của SUS304 ở nhiệt độ tham chiếu, T = 300K. Như ta thấy

từ Bảng 4.2, tham số nhận được từ cả ba mô hình phần tử dầm phát triền trong Luận

án khá gần với các kết quả sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và phương pháp

cầu phương vi phân của Ebrahimi và cộng sự trong [17].

Bảng 4.2. So sánh tham số tần số của dầm FGM cho trường hợp NLTR

T (K) V Nguồn n = 0.1 n = 0.2 n = 0.5 n = 1

20 0.1 Luận án, TBHi 4.8138 4.5205 3.9812 3.5651

Luận án, TBEx 4.8294 4.5352 3.9941 3.5769

Luận án, EBB 4.8458 4.5432 3.9950 3.5769

Tài liệu [17] 4.8766 4.5627 3.9914 3.5545

0.2 Luận án, TBHi 5.0757 4.7224 4.0897 3.6149

Luận án, TBEx 5.0524 4.6969 4.0608 3.5839

Luận án, EBB 5.0723 4.7063 4.0617 3.5836

Tài liệu [17] 5.1064 4.7282 4.0572 3.5558

40 0.1 Luận án, TBHi 4.7719 4.4794 3.9405 3.5236

Luận án, TBEx 4.7877 4.4942 3.9536 3.5355

Luận án, EBB 4.7582 4.4553 3.9058 3.4855

Tài liệu [17] 4.7889 4.4694 3.8814 3.4280

0.2 Luận án, TBHi 5.0003 4.6469 4.0131 3.5365

Luận án, TBEx 5.0166 4.6620 4.0262 3.5482

Luận án, EBB 4.9964 4.6302 3.9840 3.5037

Tài liệu [17] 5.0308 4.6471 3.9580 3.4354

80 0.1 Luận án, TBHi 4.5938 4.3005 3.7579 3.3357

Luận án, TBEx 4.6102 4.3158 3.7716 3.3483

Luận án, EBB 4.5788 4.2747 3.7207 3.2945

Tài liệu [17] 4.6083 4.2766 3.6516 3.1597

0.2 Luận án, TBHi 4.8474 4.4931 3.8557 3.3737

Luận án, TBEx 4.8642 4.5087 3.8692 3.3860

Luận án, EBB 4.8425 4.4751 3.8243 3.3379

Tài liệu [17] 4.8761 4.4805 3.7513 3.1811

59

Sự hội tụ của các mô hình phần tử hữu hạn phát triển trong Luận án trong

đánh giá tần số dao động cơ bản của dầm FGM được minh họa trong Bảng 4.3 cho

trường hợp trường nhiệt độ NLTR với T = 50K và V = 0.1. Như ta thấy từ Bảng

4.3, cả ba mô hình phần tử phát triển trong luận án hội tụ khá nhanh, chỉ với 16

phần tử, với mọi giá trị của tham số vật liệu n. Mô hình phần tử TBHi sử dụng các

hàm dạng thứ bậc có dạng toán học đơn giản hơn, nhưng tốc độ hội tụ không thua

kém phần tử TBEx sử dụng các hàm dạng chính xác.

Bảng 4.3. Sự hội tụ của mô hình phần tử trong đánh giá tham số tần số (T=50K và

V= 0.1)

n Phần tử nE = 10 nE = 12 nE = 14 nE = 16 nE = 18 nE = 20

0.5 TBHi 3.8959 3.8958 3.8958 3.8957 3.8957 3.8957

TBEx 3.9085 3.9087 3.9088 3.9088 3.9089 3.9089

EBB 3.9097 3.9096 3.9095 3.9095 3.9095 3.9095

1 TBHi 3.4780 3.4778 3.4778 3.4777 3.4777 3.4777

TBEx 3.4895 3.4896 3.4896 3.4897 3.4897 3.4897

EBB 3.4896 3.4894 3.4893 3.4893 3.4893 3.4893

5 TBHi 2.8863 2.8862 2.8861 2.8861 2.8861 2.8861

TBEx 2.8969 2.8970 2.8971 2.8971 2.8971 2.8971

EBB 2.8971 2.8969 2.8969 2.8969 2.8969 2.8969

Bảng 4.4. So sánh tham số độ võng không thứ nguyên lớn nhất tại giữa dầm

cho trường hợp một lực di động (V = 0, T = 0)

Nguồn Al2O3 n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 2 SUS304

(252 m/s)* (222m/s) (198m/s) (179m/s) (164m/s) (132m/s)

Luận án, TBHi 0.9382 1.0307 1.1509 1.2569 1.3450 1.7422

Luận án, TBEx 0.9380 1.0402 1.1505 1.2566 1.3446 1.7420

Luận án, EBB 0.9329 1.0346 1.1445 1.2504 1.3377 1.7326

Tài liệu [4] 0.9328 1.0344 1.1444 1.2503 1.3376 1.7324

Tài liệu [105] 0.9317 1.0333 1.1429 1.2486 1.3359 1.7301

Chú thích: * vận tốc của lực di động

60

Bảng 4.4 so sánh tham số độ võng không thứ nguyên nhất tại giữa dầm,

max(w0(L/2,t)/wst) trong đó wst = FL3/48EsI là độ võng tĩnh của dầm thép, cho

trường hợp V = 0 và T = 0K của dầm FGM chịu một lực di động với các vận tốc

khác nhau nhận được trong luận án với kết quả của Şimşek và Kocaturk [4], Khalili

và cộng sự [105]. Lưu ý rằng, kết quả số trong Bảng 4.4 nhận được trên cơ sở sử

dụng các tham số hình học và vật liệu cho trong tài liệu [4]. Với mọi giá trị của

tham số vật liệu và vận tốc lực di động, như ta thấy từ Bảng 4.4, độ võng lớn nhất

tại giữa dầm nhận được trong Luận án rất sát với các giá trị sử dụng phương pháp

bán giải tích của Şimşek và Kocaturk trong [4], và phương pháp cầu phương vi

phân của Khalili và cộng sự trong [105]. Các nghiên cứu trong [4, 105] đều sử dụng

lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, vì thế độ võng lớn nhất nhận được trong Luận án

trên cơ sở các mô hình phần tử TBEx và TBHi cao hơn chút ít so với các giá trị

trong các tài liệu [4, 105].

4.2. Tần số dao động cơ bản

Ảnh hưởng của tham số vật liệu n và sự tăng nhiệt độ ∆T tới tham số tần số

dao động cơ bản µ của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô được minh họa tương ứng trên

các Hình 4.1 và 4.2. Từ các Hình 4.1 và 4.2 ta có thể rút ra một số nhận xét sau đây:

Với mỗi giá trị của ∆T, Hình 4.1 cho thấy với mọi giá trị của tỷ lệ thể tích lỗ

rỗng vi mô Vα, tần số dao động cơ bản của dầm giảm dần khi tham số vật liệu

n tăng lên. Điều này có thể lý giải bởi sự tăng tỷ lệ thể tích của kim loại trong

dầm FGM khi dầm có tham số vật liệu n lớn hơn. Dầm FGM với hàm lượng

kim loại lớn hơn có độ cứng thấp hơn, vì thế tần số dao động cơ bản của dầm

sẽ nhỏ hơn.

Nhiệt độ ảnh hưởng mạnh tới tần số dao động của dầm. Tần số dao động cơ

bản của dầm giảm dần khi giá trị ∆T tăng lên, với mọi giá trị của tham số vật

liệu và tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô. Tần số dao động cơ bản của dầm giảm

dần về không khi nhiệt độ tăng dần tới giá trị nhiệt độ tới hạn của dầm [21].

Giá trị nhiệt độ tới hạn phụ thuộc vào giá trị của tham số vật liệu và tỷ lệ thể

tích lỗ rỗng và có thể xác định được từ bài toán giá trị riêng với thuật toán

lặp khi tham số vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ [21]. Sự suy giảm tần số dao

động riêng của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ cao cũng được giải thích

61

bởi sự suy giảm độ cứng của dầm. Mô-đun đàn hồi hiệu quả của dầm giảm

khi dầm ở trong môi trường nhiệt độ cao và vì thế dẫn tới sự suy giảm độ

cứng. Các Hình 4.1 và 4.2 cũng cho thấy dầm với tham số vật liệu n lớn hơn

sẽ chịu ảnh hưởng bởi nhiệt độ mạnh hơn. Điều này có thể lý giải bởi sự

nhạy cảm của kim loại với nhiệt độ so với gốm: mô-đun đàn hồi của kim loại

giảm nhiều hơn so với mô-đun đàn hồi của gốm khi nhiệt độ tăng lên. Dầm

với tham số vật liệu n lớn hơn, như nói ở trên, có hàm lượng kim loại cao

hơn, và vì thế mô-đun đàn hồi hữu hiệu giảm nhiều hơn khi nhiệt độ tăng.

Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô tới tần số dao động cơ bản của

dầm FGM trong môi trường nhiệt độ, như thấy từ Bảng 4.2 và Hình 4.1, liên

quan chặt chẽ tới giá trị của tham số vật liệu n. Khi n nhỏ, tần số dao động cơ

bản của dầm cao hơn trong trường hợp dầm có tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô

lớn hơn. Điều ngược lại xảy ra khi tham số vật liệu n lớn. Ảnh hưởng của tỷ

lệ thể tích lỗ rỗng vi mô tới tần số dao động của dầm nhận được trong Luận

án như trình bày trên đây, phù hợp với kết quả của Kiani và Eslami nhận

được bằng phương pháp cầu phương vi phân trong tài liệu [94] và có thể giải

thích bởi mối liên hệ giữa độ cứng và tỷ phần thể tích vật liệu trong dầm

FGM có tỷ lệ thể tích lỗ rỗng khác nhau.

Hình 4.1. Mối liên hệ giữa tham số vật liệu và tham số tần số với các giá trị khác nhau của trường nhiệt độ phi tuyến: (a) V = 0.1, (b) V = 0.2

0 2 4 6 8 102

3

4

5

6

n0 2 4 6 8 10

2

3

4

5

6

n

T=0

T=50K

T=100K

T=0

T=50K

T=100K

(a) (b)

62

Hình 4.2. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phi tuyến tới tham số tần số của dầm

FGM có lỗ rỗng vi mô: (a) V = 0.1, (b) V = 0.2

Bảng 4.5. Tham số tần số μ với các trường nhiệt độ khác nhau (mô hình TBHi)

V T(K) Nhiệt độ n = 0.1 n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 5

0.1 20 UTR 4.7647 4.4684 3.9252 3.5081 2.9282

NLTR 4.8138 4.5205 3.9812 3.5651 3.0306

40 UTR 4.5779 4.2762 3.7240 3.3010 2.7160

NLTR 4.7719 4.4794 3.9405 3.5236 2.9352

60 UTR 4.3833 4.0745 3.5094 3.0772 2.4811

NLTR 4.6836 4.3908 3.8503 3.4311 2.8358

80 UTR 4.1797 3.8616 3.2789 2.8327 2.2168

NLTR 4.5938 4.3005 3.7579 3.3357 2.7318

0.2 20 UTR 4.9926 4.6353 3.9975 3.5211 2.8826

NLTR 5.0757 4.7224 4.0897 3.6149 2.9728

40 UTR 4.8304 4.4677 3.8213 3.3395 2.6970

NLTR 5.0003 4.6469 4.0131 3.5365 2.8891

60 UTR 4.6631 4.2935 3.6350 3.1448 2.4934

NLTR 4.9242 4.5705 3.9351 3.4561 2.8022

80 UTR 4.4902 4.1118 3.4371 2.9346 2.2673

NLTR 4.8474 4.4931 3.8557 3.3737 2.7116

0 200 400 6000

1

2

3

4

5

T (K)

0 200 400 6000

1

2

3

4

5

T (K)

n=0.5n=1n=5

n=0.5n=1n=5

(a) (b)

63

Để đánh giá ảnh hưởng của nhiệt độ và trường nhiệt độ phân bố tới tần số

dao động cơ bản của dầm kỹ lưỡng hơn, Bảng 4.5 liệt kê các giá trị của tham số tần

số dao động cơ bản μ với các giá trị khác nhau của ΔT, Vα và n, nhận được trên cơ

sở sử dụng mô hình phần tử TBHi. Bảng 4.5 cho thấy ảnh hưởng của sự tăng nhiệt

độ ΔT tới tham số tần số μ phụ thuộc vào giá trị của tham số vật liệu n và trường

nhiệt độ phân bố. Tham số tần số μ của dầm với giá trị n lớn hơn chịu ảnh hưởng

bởi nhiệt độ rõ nét hơn. Chẳng hạn, với Vα = 0.1, tham số tần số dao động cơ bản

của dầm với n = 0.1 giảm 12.28% khi trường nhiệt độ UTR tăng từ 20K lên 80K,

trong khi giá trị tương ứng là 24.29% cho dầm với n = 5. Với trường nhiệt độ

NLTR, tham số tần số cơ bản chỉ giảm 2.70% cho dầm với n = 0.1 và 9.86% cho

dầm với n = 5 khi tăng ΔT từ 20K lên 80K. Như vậy, tần số dao động cơ bản của

dầm FGM với lỗ rỗng vi mô trong trường nhiệt độ UTR giảm mạnh hơn so với

trường nhiệt độ NLTR. Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích của lỗ rỗng vi mô Vα tới tham

số tần số dao động cơ bản μ cũng phụ thuộc vào giá trị của tham số vật liệu n. Với

mỗi giá trị của ΔT, khi n đủ nhỏ, tham số tần số cơ bản tăng khi tăng tỷ lệ thể tích

của lỗ rỗng vi mô từ 0.1 lên 0.2 nhưng điều ngược lại xảy ra khi n lớn. Chẳng hạn

với ΔT = 20K của trường nhiệt độ UTR, tham số μ của dầm với n = 0.1tăng 4.56%

khi Vα tăng từ 0.1 lên 0.2 trong tham số này của dầm với n = 5 giảm 1.56%. Các giá

trị tương ứng cho trường hợp NLTR là 5.16% và 1.91%. Như vậy, khác với ảnh

hưởng của nhiệt độ, ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô tới tần số dao động cơ bản trong

trường hợp NLTR rõ nét hơn trường hợp UTR.

4.3. Đáp ứng động lực học

4.3.1. Ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô

Do ảnh hưởng của tham số vật liệu tới dao động của dầm đã được kháo sát

kỹ lưỡng trong Luận án của Lê Thị Hà [12], Luận án này sẽ tập trung nghiên cứu

ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô tới đáp ứng động lực học của dầm FGM

chịu lực di động. Mục này dầm giả định chịu một lực F di động với vận tốc không

đổi v từ trái qua phải. Nếu không có lưu ý gì, các đặc trưng động lực học của dầm

64

trong cả Mục 4.3 nhận được trên cơ sở sử dụng mô hình phần tử TBHi và 500 bước

thời gian cho thuật toán Newmark.

Trên Hình 4.3 minh họa mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ

võng tại giữa dầm, w0(L/2,t)/wst (với wst = FL3/48 0mE I là độ võng tĩnh lớn nhất của

dầm thép), với giá trị không thứ nguyên của thời gian, t/ΔT*, cho trường hợp n =

0.5, Vα = 0.1 và các giá trị khác nhau ΔT của trường nhiệt độ phi tuyến và hai giá trị

của vận tốc lực di động, v = 30 m/s và v = 60 m/s. Trên hình vẽ, ∆T* là tổng thời

gian cần thiết để lực F đi hết chiều dài dầm. Như ta thấy từ Hình 4.3, với cả hai giá

trị của vận tốc lực di động, độ võng ở giữa dầm lớn hơn khi giá trị của sự tăng nhiệt

độ ∆T cao hơn trong phần lớn thời gian lực di động trên dầm. Với cả hai giá trị của

vận tốc lực di động khảo sát, dầm có khuynh hướng thực hiện ít chu trình dao động

(vibration cycle [135]) hơn khi giá trị của trường nhiệt độ lớn hơn. Hiện tượng này

có thể được lý giải bởi thực tế là tần số dao động cơ bản của dầm thấp hơn khi giá

trị của sự tăng nhiệt độ ΔT lớn hơn, và điều này dẫn tới sự tăng của tỷ số giữa vận

tốc của lực di động và vận tốc tới hạn, v/vcr với vcr = Lω1/π. Olsson [135] đã chỉ ra

rằng khi tỷ số v/vcr càng lớn, số chu trình dao động mà dầm thực hiện càng ít đi.

Hình 4.3 cũng cho ta thấy rằng độ võng động lực học lớn nhất đạt được ở thời điểm

chậm hơn khi giá trị ∆T lớn hơn và khuynh hướng này rõ nét hơn khi vận tốc của

lực di động lớn hơn.

Hình 4.3. Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng ở giữa dầm theo

thời gian cho các giá trị ∆T khác nhau của NLTR (n = 0.5, V = 0.1)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

t/T*

w0(L

/2,t

)/w

st

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

t/T*

w0L/

2,t)

/wst

T = 0

T = 50K

T = 100K

T = 150K

T = 0

T = 50K

T = 100K

T = 150K

(b) v = 60 m/s(a) v = 30 m/s

65

Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm

và tham số vật liệu n của dầm chịu tác động của một lực di động F với vận tốc

v=30m/s được minh họa trên Hình 4.4 cho các giá trị ∆T khác nhau của trường nhiệt

độ NLTR và tỷ lệ thể tích lỗ rỗng V.

Hình 4.4. Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng ở giữa dầm với

tham số vật liệu n cho trường hợp NLTR, v = 30 m/s: (a) V = 0.1, ∆T thay đổi,

(b) ∆T = 150K, V thay đổi.

Ảnh hưởng của nhiệt độ và tỷ lệ thể tích lỗ rỗng tới độ võng động lực học

của dầm FGM có thể thấy rõ nét từ Hình 4.4. Với các giá trị đã cho của tỷ lệ thể tích

lỗ rỗng Vα và vận tốc v, Hình 4.4(a) cho thấy, với mọi giá trị của tham số vật liệu n,

giá trị lớn nhất ở giữa dầm tăng rõ rệt khi ∆T tăng và khuynh hướng này rõ nét hơn

cho dầm có tham số vật liệu n cao hơn. Thêm vào đó, khi tham số vật liệu n lớn

hơn, ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô tới độ võng lớn nhất tại giữa dầm

mạnh hơn. Ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ ∆T tới độ võng động lực học của dầm

FGM có thể nhận thấy rõ hơn từ Bảng 4.6, trong đó liệt kê các giá trị không thứ

nguyên của độ võng lớn nhất ở giữa dầm FGM với Vα = 0.1 cho các giá trị khác

nhau của vận tốc lực di động v và tham số vật liệu n. Khảo sát kỹ lưỡng Bảng 4.6 ta

có thể thấy rằng ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ mạnh hơn với dầm có chỉ số n lớn

hơn, với mọi giá trị của vận tốc lực di động. Ví dụ: với v = 20 m/s, độ võng lớn nhất

tại giữa dầm tăng 20.42% khi ∆T tăng từ 50K lên 150K cho dầm với n = 0.2, trong

khi giá trị tương ứng là 37.53% cho dầm với n = 10, tức là cao hơn tới 40.67% so

với trường hợp n = 0.2. Điều này có thể được giải thích bởi thực tế là với cùng một

0 2 4 6 8 100.5

1

1.5

2

2.5

n

ma

x(w

0(L

/2,t)

/wst

)

0 2 4 6 8 101

1.5

2

2.5

n

ma

x(w

0(L

/2,t)

/wst

)

V=0

V=0.1

V=0.15

V=0.2

T=0T=50KT=100KT=150K

(a) (b)

66

giá trị tăng của ∆T, như ta thấy từ Bảng 4.1, mô-đun đàn hồi của thép giảm nhiều

hơn so với mô-đun đàn hồi của ô-xít nhôm. Vì dầm FGM với tham số vật liệu n lớn

hơn chứa hàm lượng thép cao hơn nên sự suy giảm độ cứng của nó do sự tăng nhiệt

độ nhiều hơn so với dầm có tham số n nhỏ hơn. Với giả thiết khối lượng riêng

không phụ thuộc vào nhiệt độ, sự suy giảm độ cứng nhiều hơn khi tăng ∆T dẫn tới

độ võng lớn nhất của dầm FGM với tham số n cao hơn sẽ lớn hơn.

Bảng 4.6. Độ võng không thứ nguyên lớn nhất tại giữa dầm với các giá trị ∆T khác

nhau của trường nhiệt độ NLTR và vận tốc lực di động v (V = 0.1)

v(m/s) T(K) n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 3 n = 5 n = 10

20 50 0.9039 1.0024 1.0914 1.2115 1.2718 1.3534

100 0.9963 1.1383 1.2385 1.4708 1.5525 1.6630

150 1.1359 1.3022 1.5053 1.8252 1.9359 2.1665

50 50 0.9967 1.1012 1.1640 1.2261 1.3196 1.4481

100 1.1153 1.2322 1.2940 1.5702 1.7157 1.9203

150 1.2547 1.3835 1.5401 2.1058 2.3708 2.7597

80 50 1.0001 1.2040 1.4031 1.6705 1.7721 1.9123

100 1.1563 1.4144 1.6865 2.0765 2.2350 2.4594

150 1.3507 1.6973 2.0822 2.6931 2.9652 3.3673

100 50 1.1659 1.3752 1.5755 1.8323 1.9289 2.0638

100 1.3356 1.6047 1.8723 2.2409 2.3890 2.6003

150 1.5488 1.9037 2.2816 2.8575 3.1095 3.4810

Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô Vα tới giá trị không thứ nguyên

của độ võng lớn nhất tại giữa dầm, như ta thấy từ Hình 4.4(b), tương tự như ảnh

hưởng của sự tăng nhiệt độ ∆T, tức là với mọi giá trị của tham số vật liệu n, giá trị

lớn nhất của độ võng không thứ nguyên tại giữa dầm tăng lên khi tỷ lệ thể tích lỗ

rỗng lớn hơn. Lý do của sự tăng độ võng giữa dầm khi tăng tỷ lệ thể tích lỗ rỗng có

thể được giải thích bởi sự suy giảm độ cứng nhiều hơn so với sự suy giảm của quán

tính thiết diện ngang khi tăng Vα, như Chen và cộng sự đã giải thích trong [81].

Để minh họa ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ và tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô

tới ứng xử động lực học của dầm FGM kỹ lưỡng hơn, Hình 4.5 minh họa mối liên

hệ giữa độ võng không thứ nguyên lớn nhất ở giữa dầm với vận tốc của lực di động

67

v với các giá trị khác nhau của ∆T và Vα cho trường hợp trường nhiệt độ phân bố phi

tuyến và n = 1. Dáng điệu đường cong biểu thị mối liên hệ giữa giá trị lớn nhất của

độ võng giữa dầm vào vận tốc của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ cao trên

Hình 4.5 không khác so với trường hợp dầm thuần nhất ở nhiệt độ bình thường [1].

Như ta thấy từ Hình 4.5, giá trị lớn nhất của độ võng ở giữa dầm tăng lên khi các

giá trị ∆T và Vα tăng lên, bất kể giá trị của vận tốc lực di động. Thêm vào đó, như ta

thấy từ Hình 4.5(a), giá trị cực trị của độ võng ở giữa dầm có khung hướng đạt được

ở vận tốc nhỏ hơn khi giá trị của sự tăng nhiệt độ ∆T cao hơn. Điều ngược lại xảy ra

với tỷ lệ thể tích lỗ rỗng, như thấy từ Hình 4.5(b), mặc dù không rõ nét như trên

Hình 4.5(a).

Hình 4.5. Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất ở giữa

dầm với vận tốc v cho trường hợp n = 1 và NLTR: (a) V = 0.1, T thay đổi,

(b) T = 150K, V thay đổi

Sự phân bố của ứng suất pháp theo chiều cao của thiết diện tại giữa dầm

được minh họa trên Hình 4.6 cho trường hợp NLTR với v = 20 m/s, n = 0.5 và các

giá trị khác nhau của ∆T và Vα. Ứng suất pháp trên hình vẽ được tính tại thời điểm

khi tải trọng tới giữa dầm và chúng được trực chuẩn bởi giá trị F/A, tức là

σxx∗=σxxA/F, trong đó A và F tương ứng là diện tích thiết diện ngang và biên độ của

lực di động. Ảnh hưởng của vật liệu, sự tăng nhiệt độ và tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô

tới sự phân bố ứng suất có thể thấy rõ từ Hình 4.6. Như ta thấy từ Hình 4.6, khác

với dầm làm từ vật liệu đồng nhất, ứng suất pháp trong dầm FGM không phân bố

0 100 200 3000.8

1

1.5

2

2.5

v (m/s)

max

(w0(L

/2,t)

/wst

)

0 100 200 3000.8

1

1.5

2

2.5

v (m/s)

max

(w0(L

/2,t)

/wst

)

V=0

V=0.1

V=0.15

V=0.2

T=0T=50KT=100KT=150K

(a) (b)

68

theo quy luật tuyến tính và đường cong ứng suất pháp không triệt tiêu ở mặt giữa

dầm. Với giá trị của tham số vật liệu và vận tốc lực di động khảo sát, biên độ của

của ứng suất pháp như ta thấy từ Hình 4.6(a), tăng lên khi tăng giá trị ∆T. Ảnh

hưởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô tới ứng suất trái với ảnh hưởng của sự tăng

nhiệt độ. Hình 4.6(b) cho thấy giá trị cực đại của ứng suất pháp suy giảm nhẹ khi tỷ

lệ thể tích lỗ rỗng tăng lên.

Hình 4.6. Phân bố của ứng suất pháp theo chiều cao của thiết diện ngang giữa dầm:

(a) V = 0.1, ∆T thay đổi, (b) ∆T = 100K, Vα thay đổi

4.3.2. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm

Với dầm có thiết diện ngang là hình chữ nhật, độ mảnh của dầm được định

nghĩa qua tỷ số L/h. Để minh họa ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới đáp ứng động lực

học của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ cao chịu tải trọng di động, Bảng 4.7

liệt kê các giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm với Vα = 0.1,

v = 30 m/s và các giá trị khác nhau của ∆T và tỷ số L/h cho trường hợp trường nhiệt

độ phân bố phi tuyến. Kết quả trong Bảng 4.7 cho thấy, như mong đợi, khi tăng tỷ

số giữa chiều dài và chiều cao dầm, độ võng tại giữa dầm tăng lên, bất kể giá trị của

tham số vật liệu n và sự tăng nhiệt độ ∆T. Bảng 4.7 cũng chỉ ra rằng sự ảnh hưởng

của tỷ số L/h tới độ võng lớn nhất tại giữa dầm mạnh hơn khi tham số vật liệu n và

giá trị nhiệt độ tăng ∆T lớn hơn. Ví dụ, với n = 0.2 Bảng 4.7 cho thấy độ võng

không thứ nguyên tại giữa dầm tăng 8.36% khi tỷ số L/h tăng từ 10 lên 20 cho

trường hợp ∆T = 50K, trong khi các giá trị tương ứng là 15.94% và 23.31% cho

trường hợp ∆T = 100K và ∆T = 150K. Với n = 10, các giá trị tương ứng của độ

-50 -40 -20 0 20 40-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

xx*

z/h

T=0 T=50K T=150K

-50 -40 -20 0 20 40-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

xx*

z/h

V=0

V=0.1

V=0.2

(a) (b)

69

võng trực chuẩn tại giữa dầm là 16.44%, 29.78% và 43.01% tương ứng với

∆T=50K, ∆T = 100K và ∆T = 150K, lớn hơn nhiều so với trường hợp n = 0.2.

Bảng 4.7. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm với các giá

trị T và tỷ số L/h khác nhau (NLTR , V = 0.1, v = 30m/s)

T(K) L/h n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 3 n = 5 n = 10

50 10 0.8530 0.9244 1.0057 1.0796 1.1270 1.1867

15 0.8791 0.9663 1.0317 1.1648 1.2058 1.2616

20 0.9308 1.0358 1.1012 1.2568 1.3263 1.4201

100 10 0.8778 0.9493 1.0421 1.1303 1.1796 1.2480

15 0.9358 1.0278 1.1277 1.2784 1.3262 1.3889

20 1.0443 1.1619 1.2756 1.5413 1.6427 1.7772

150 10 0.9032 0.9829 1.0791 1.1879 1.2427 1.3120

15 0.9982 1.0937 1.2382 1.4114 1.4649 1.5361

20 1.1778 1.3074 1.5618 1.9492 2.1008 2.3022

Bảng 4.8. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm trong trường

hợp NLTR nhận được bằng các phần tử khác nhau (V = 0.1, T = 60K)

L/h v (m/s) Phần tử n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 3 n = 5 n = 10

20 30 TBHi 0.9520 1.0590 1.1225 1.3058 1.3806 1.4815

EBB 0.9364 1.0450 1.1103 1.2852 1.3584 1.4581

60 TBHi 1.0148 1.0515 1.1943 1.4694 1.5769 1.7242

EBB 1.0004 1.0384 1.1753 1.4422 1.5476 1.6934

10 30 TBHi 0.8579 0.9295 1.0129 1.0896 1.1378 1.1987

EBB 0.8240 0.8992 0.9758 1.0465 1.0912 1.1515

60 TBHi 0.8881 0.9832 1.0425 1.1411 1.1991 1.2763

EBB 0.8532 0.9494 1.0105 1.0950 1.1494 1.2231

5 30 TBHi 0.9082 0.9962 1.0543 1.1358 1.1719 1.2232

EBB 0.7946 0.8635 0.9265 1.0009 1.0281 1.0773

60 TBHi 0.9178 0.9862 1.0719 1.1604 1.2094 1.2724

EBB 0.8088 0.8789 0.9513 1.0156 1.0549 1.1108

70

Bảng 4.9. Giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm trong trường

hợp UTR nhận được bằng các phần tử khác nhau (V = 0.1, T = 60K)

L/h v(m/s) Phần tử n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 3 n = 5 n = 10

20 30 TBHi 1.1172 1.2510 1.4436 1.7428 1.8449 1.9854

EBB 1.0981 1.2331 1.4179 1.7110 1.8121 1.9502

60 TBHi 1.1469 1.2990 1.6062 2.0534 2.2323 2.4820

EBB 1.1304 1.2740 1.5766 2.0130 2.1856 2.4312

10 30 TBHi 0.8916 0.9684 1.0637 1.1590 1.2096 1.2745

EBB 0.8570 0.9348 1.0251 1.1120 1.1593 1.2229

60 TBHi 0.9269 1.0290 1.0862 1.2190 1.2811 1.3630

EBB 0.8892 0.5000 1.0524 1.1687 1.2270 1.3063

5 30 TBHi 0.9179 1.0042 1.0701 1.1549 1.1923 1.2439

EBB 0.8050 0.8755 0.9401 1.0161 1.0455 1.0954

60 TBHi 0.9315 1.0030 1.0899 1.1830 1.2324 1.2938

EBB 0.8199 0.8902 0.9660 1.0323 1.0323 1.1306

Ảnh hưởng của biến dạng trượt tới các đặc trưng dao động của dầm đóng vai

trò quan trọng hơn khi dầm có tỷ lệ L/h nhỏ. Để minh họa cho khả năng mô phỏng

biến dạng trượt của phần tử TBHi phát triển trong luận án, Bảng 4.8 liệt kê các giá

trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất tại giữa dầm cho trường hợp NLTR với

Vα = 0.1, ∆T = 60K và các giá trị khác nhau của tỷ số L/h. Các giá trị tương ứng của

độ võng lớn nhất tại giữa dầm cho trường hợp UTR được liệt kê trong Bảng 4.9.

Khảo sát kỹ lưỡng các bảng này ta thấy sự khác nhau giữa giá trị độ võng lớn nhất

nhận được từ mô hình phần tử TBHi và mô hình phần tử EBB lớn dần khi giảm giá

trị của tỷ số L/h. Chẳng hạn, trong trường hợp NLTR với n = 0.2 và v = 30 m/s, sự

sai khác giữa hai giá trị độ võng nhận được từ mô hình phần tử TBHi và mô hình

phần tử EBB chỉ là 1.64% cho L/h = 20, trong khi các giá trị tương ứng là 3.95%

cho L/h = 10 và 12.51% cho L/h = 5. Trong trường hợp UTR và với các tham số

vật liệu, vận tốc nói trên, sự sai khác giữa độ võng nhận được từ hai mô hình phần

tử, như ta thấy từ Bảng 4.9, là 1.71%, 3.88% và 12.30% tương ứng với L/h = 20, 10

và 5. Sự sai khác giữa độ võng nhận được từ hai mô hình phần tử cũng tương tự cho

các giá trị khác của tham số vật liệu n và vận tốc của lực di động v. Kết quả số trên

các Bảng 4.8 và 4.9 chứng tỏ khả năng mô phỏng ảnh hưởng của độ mảnh của mô

71

hình phần tử TBHi xây dựng trong luận án tới đáp ứng động lực học của dầm FGM.

Nói cách khác, mô hình phần tử TBHi có khả năng mô phỏng biến dạng trượt của

dầm FGM và nó cần được sử dụng thay cho mô hình phần tử EBB trong phân tích

ứng xử động lực học của dầm FGM có tỷ số L/h nhỏ.

4.3.3. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phân bố

Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phân bố tới ứng xử động lực học của dầm

FGM chịu tải trọng di động được minh họa trong Bảng 4.10, trong đó giá trị không

thứ nguyên của độ võng trực lớn nhất tại giữa dầm được liệt kê cho hai trường nhiệt

độ khảo sát, trường nhiệt độ phân bố đều (UTR) và trường nhiệt độ phân bố phi

tuyến (NLTR). Với mọi giá trị của vận tốc lực di động v và sự tăng nhiệt ∆T,

trường nhiệt độ tăng đều cho độ võng lớn nhất ở giữa dầm cao hơn đáng kể so với

trường nhiệt độ phi tuyến. Sự khác nhau này thể hiện rõ nét hơn khi dầm có tham số

vật liệu n lớn hơn. Chẳng hạn, với v = 80 m/s và ∆T = 50K, độ võng lớn nhất tại

giữa dầm nhận được từ UTR cao hơn giá trị tương ứng trong trường hợp NLTR là

15.55% cho dầm có tham số vật liệu n = 0.2, trong khi giá trị tương ứng là 22.99%

cho dầm với tham số vật liệu n = 10. Sự khác biệt còn rõ nét hơn khi giá trị của sự

tăng nhiệt độ ΔT cao hơn: 32.17% với n = 0.2 và 53.73% với n = 10 cho trường hợp

v = 80 m/s và ∆T = 100K, cao hơn hẳn so với các giá trị tương ứng với v = 80 m/s

và ∆T = 50K. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phân bố cũng có thể giải thích bởi sự

suy giảm độ cứng của dầm do nhiệt độ. Trong trường hợp NLTR, nhiệt độ nửa dưới

dầm, vùng giàu kim loại, không thay đổi nhiều so với mặt trên, vì thế mô-đun đàn

hồi của dầm suy giảm ít hơn. Trường hợp UTR, nhiệt độ tại mọi điểm của dầm như

nhau, dẫn tới mô-đun đàn hồi của dầm suy giảm nhiều hơn. Kết quả là, độ võng lớn

nhất nhận được trong trường hợp NLTR thấp hơn đáng kể trong trường hợp UTR.

Dầm với tham số n lớn hơn có hàm lượng kim loại cao hơn, do đó sự suy giảm độ

cứng trong môi trường nhiệt độ sẽ lớn hơn hơn, vì thế ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ

võng dầm rõ nét hơn.

72

Bảng 4.10. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ phân bố tới giá trị không thứ nguyên của

độ võng lớn nhất tại giữa dầm (V = 0.1, L/h = 20 )

T(K) v (m/s) Nhiệt độ n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 3 n = 5 n = 10

50 40 UTR 1.0645 1.2583 1.4190 1.5511 1.5810 1.6527

NLTR 0.9168 1.0640 1.1902 1.3102 1.3459 1.3941

80 UTR 1.1801 1.4595 1.7476 2.1330 2.2778 2.4831

NLTR 1.0001 1.2040 1.4031 1.6705 1.7721 1.9123

100 40 UTR 1.4718 1.8098 2.0495 2.9617 3.4309 4.1801

NLTR 1.0453 1.2238 1.3782 1.5237 1.5628 1.6340

80 UTR 1.7047 2.3000 2.9946 4.0988 4.5778 5.3148

NLTR 1.1563 1.4144 1.6865 2.0765 2.2350 2.4594

4.3.4. Ảnh hưởng của tần số lực kích động

Để nghiên cứu ảnh hưởng của tần số lực kích động tới ứng xử động lực học

của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ cao, các đặc trưng động

lực học của dầm được tính toán cho trường hợp dầm chịu tác động của một lực điều

hòa F = F0cos(Ωt), di động với vận tốc không đổi v từ nút trái sang nút phải của

dầm. Giống như dầm làm từ vật liệu thuần nhất, các đặc trưng động lực học của

dầm phụ thuộc mạnh vào tần sốΩ của lực kích động. Do tần số dao động cơ bản

của dầm FGM chịu ảnh hưởng bởi nhiệt độ và tỷ lệ thể tich lỗ rỗng nên đặc trưng

động lực học của dầm cũng phụ thuộc vào các tham số này.

Hình 4.7 minh họa mối liên hệ giữa độ võng không thứ nguyên với thời gian

của dầm FGM với lỗ rỗng vi mô chịu lực điều hòa di động với tần số = 10 rad/s

cho trường hợp NLTR, n = 0.5, v = 50 m/s và các giá trị khác nhau của ΔT và Vα.

Giống như trường hợp một lực di động, Hình 4.7(a) cho thấy với các giá trị của tỷ lệ

thể tích lỗ rỗng vi mô và tham số của lực di động khảo sát trên hình, trong phần lớn

thời gian lực di động trên dầm độ võng động lực học của dầm lớn hơn khi giá trị

của sự tăng nhiệt độ ∆T cao hơn. Tình huống tương tự xảy ra khi thay đổi giá trị của

tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô, như ta thấy từ Hình 4.7(b), độ võng ở giữa dầm lớn hơn

khi dầm có tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô cao hơn. Hình 4.7 cũng cho thấy thời điểm

tại đó giá trị độ võng ở giữa dầm đạt giá trị lớn nhất xảy ra chậm hơn khi giá trị ∆T

cao hơn, nhưng thời điểm xảy ra giá trị cực đại này ít thay đổi khi tăng giá trị Vα.

73

Hình 4.7. Mối liên hệ giữa các độ võng không thứ nguyên ở giữa dầm theo thời gian

của dầm chịu lực điều hòa di động với = 10 rad/s, n = 0.5, v = 50 m/s, NLTR (a)

Vα = 0.1, ∆T thay đổi, (b) ∆T = 100K, Vα thay đổi.

Hình 4.8. Mối liên hệ giữa các độ võng không thứ nguyên ở giữa dầm theo thời gian

cho các giá trị khác nhau của tần số lực kích động: (a) NLTR, (b) UTR (n = 1,

Vα=0.1, v = 30 m/s)

Để minh họa rõ hơn ảnh hưởng của tần số lực kích động tới ứng xử động lực

học, Hình 4.8 biểu diễn mối liên hệ giữa độ võng không thứ nguyên ở giữa dầm

theo thời gian của dầm FGM chịu lực điều hòa di động với các giá trị khác nhau của

tần số lực kích động và với n = 1, Vα = 0.1, v = 30 m/s cho cả hai trường nhiệt độ

phân bố NLTR và UTR. Như ta thấy từ hình 4.8, với cả hai trường nhiệt độ phân

bố, tần số lực kích động ảnh hưởng mạnh tới ứng xử động lực học và độ võng tại

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t/T*

w0(L

/2,t

)/w

st

T = 0

T = 50K

T = 150K

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t/T*

w0(L

/2,t

)/w

st

V = 0

V = 0.1

V = 0.2

(b)(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1

0

1

2

t/T*

w0(L

/2,t

)/w

st

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-2

0

2

4

6

t/T*

w0(L

/2,t

)/w

st

(b)(a)

= 10 rad/s

= 15 rad/s

= 20 rad/s

74

giữa dầm, trong đó giá trị lớn nhất của độ võng ở giữa dầm thay đổi rõ nét khi tăng

tần số lực kích động . Đặc biệt, trong trường hợp UTR, độ võng tại giữa dầm ứng

với tần số = 20 rad/s lớn hơn nhiều so với độ võng với tần số = 10 rad/s và =

15 rad/s. Tần số dao động cơ bản của dầm tương ứng với các trường hợp NLTR và

UTR là 41.4787 rad/s và 32.3051 rad/s, vì thế sự tăng của độ võng có thể được giải

thích bởi hiện tượng cộng hưởng khi tần số lực kích động tiến gần tới tần số dao

động cơ bản của dầm. Trong cả hai trường nhiệt độ phân bố, dầm có khuynh hướng

thực hiện nhiều chu trình dao động hơn khi chịu lực di động điều hòa với tần số số

kích động cao hơn. Vì tần số dao động cơ bản của dầm phụ thuộc vào Vα và ΔT cho

nên ảnh hưởng của tần số lực kích động tới đáp ứng động lực học của dầm không

chỉ phụ thuộc vào kích thước hình học và vật liệu dầm mà còn phụ thuộc vào giá trị

của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường.

4.3.5. Ảnh hưởng của số lượng lực di động

Mục này nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô,

trong môi trường nhiệt độ cao chịu tác dụng của nhiều lực di động. Khoảng cách

giữa các lực di động d, biên độ của các lực và vận tốc di động của các lực v được

giả định là không đổi. Dầm với tỷ số L/h = 20, làm từ SUS304 và Al2O3 nghiên cứu

trong các mục trên, được sử dụng trong tính toán trong mục này. Trường nhiệt độ

được giả định là NLTR.

Hình 4.9 minh họa ảnh hưởng của số lực di động nF và khoảng cách giữa các

lực d tới mối liên giữa độ võng không thứ nguyên ở giữa dầm theo thời gian cho

trường hợp n = 3, Vα = 0.1, v = 30 m/s và ∆T = 100K. Trên hình vẽ, ∆T* là tổng thời

gian cần thiết để một lực đi hết chiều dài dầm và wst vẫn là độ võng tĩnh lớn của

dầm thép chịu một lực đặt tại giữa dầm. Khi t ≤ ∆T*/4, tất cả các đường cong trên

Hình 4.9(a) trùng nhau bởi lẽ trong khoảng thời gian này dầm chỉ chịu tác động của

một lực duy nhất. Hình 4.9 (a) cho ta thấy số lực di động ảnh hưởng rõ nét tới mối

quan hệ giữa động võng tại giữa dầm và thời gian. Dầm thực hiện nhiều chu trình

dao động hơn và giá trị của độ võng lớn nhất tại giữa dầm lớn hơn khi dầm chịu tác

động của nhiều lực di động hơn. Thêm vào đó, khi số lượng lực nhiều hơn, thời

điểm tại đó độ võng tại giữa dầm đạt giá trị cực đại có khuynh hướng tăng lên. Hình

4.9(b) cho thấy tầm quan trọng của khoảng cách giữa các lực di động tới ứng xử

75

động lực học của dầm, cụ thể số chu trình dao động mà dầm thực hiện nhiều hơn

khi khoảng cách giữa các lực di dộng lớn hơn. Tuy nhiên, ảnh hưởng của khoảng

cách giữa các lực di động tới đáp ứng động lực học của dầm khác với ảnh hưởng

của số lượng lực di động, trong đó giá trị của độ võng lớn nhất tại giữa dầm giảm rõ

rệt khi khoảng cách giữa các lực tăng lên.

Hình 4.9. Ảnh hưởng của số lực di động và khoảng các giữa các lực tới mối liên hệ giữa độ không thứ nguyên ở giữa dầm theo thời gian cho trường hợp n = 3, Vα= 0.1,

v = 30 m/s, ∆T = 100K: (a) d = L/4 và nF khác nhau, (b) nF = 3 và d khác nhau.

Bảng 4.11. Độ võng không thứ nguyên lớn nhất ở giữa dầm với các giá trị khác

nhau của số lực và khoảng cách giữa các lực (Vα = 0.1, ∆T = 100K, v = 30 m/s).

nF d n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 3 n = 5 n = 10

2 L/8 1.9127 2.1460 2.3490 2.6902 2.8756 3.1350

L/5 1.9046 2.2132 2.4815 2.6851 2.7246 2.9768

L/3 1.7788 1.8813 2.0693 2.4747 2.5897 2.9138

L/2 1.4221 1.4889 1.8090 2.1931 2.2681 2.3417

3 L/8 2.7307 3.0575 3.4752 3.8514 3.9569 4.3391

L/5 2.6627 3.0334 3.2586 3.6619 3.7887 3.9876

L/3 2.0772 2.1241 2.4482 2.8840 3.2172 3.6327

L/2 1.4985 1.6414 1.9328 2.4121 2.2934 2.4024

4 L/8 3.4739 3.8899 4.2247 4.8319 5.0178 5.5135

L/5 3.0267 3.6334 3.9150 4.1416 4.4856 4.9096

L/3 2.1630 2.3387 2.5413 2.8840 3.2172 3.9023

L/2 1.5233 1.6414 1.9761 2.2350 2.3949 2.5543

0 0.5 1 1.5 2-1

0

1

2

3

4

t/T*

w(L

/2,t)

/wst

0 0.5 1 1.5 2-1

0

1

2

3

4

t/T*

w(L

/2,t)

/wst

nF=1

nF=2

nF=3

nF=4

d=L/8d=L/5d=L/3d=L/2

(a) (b)

76

Để minh họa ảnh hưởng của số lực di động vào khoảng cách giữa các lực di

động chi tiết hơn, Bảng 4.11 liệt kê các giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn

nhất tại giữa dầm cho trường hợp Vα = 0.1, ∆T = 100K, v = 30 m/s và các giá trị

khác nhau của số lượng lực di động nF và khoảng cách giữa các lực d. Bảng 4.11

cho thấy độ võng lớn nhất ở giữa dầm suy giảm mạnh khi khoảng cách giữa các lực

tăng lên. Khảo sát kỹ lưỡng Bảng 4.11 ta thấy rằng ảnh hưởng của khoảng cách

giữa các lực di động ít bị ảnh hưởng bởi tham số vật liệu n. Tuy nhiên, ảnh hưởng

của khoảng cách giữa các lực di động chịu chi phối rõ rệt bởi số lượng lực di động.

Với hai lực di động, Bảng 4.11 cho thấy giá trị lớn nhất của độ võng ở giữa dầm

giảm 25.65% khi khoảng cách giữa các lực di động tăng từ L/8 lên L/2 cho dầm với

tham số vật liệu n = 0.2. Với trường hợp dầm chịu tác động của ba lực di động, độ

võng lớn nhất ở giữa dầm giảm 45.12% khi khoảng cách giữa các lực di động tăng

từ L/8 lên L/2. Giá trị tương ứng cho trường hợp dầm chịu tác động của bốn lực di

động là 56.15%, gấp hơn hai lần so với trường hợp dầm chỉ chịu tác động của hai

lực di động.

Hình 4.10. Mối liên hệ giữa độ võng lớn nhất không thứ nguyên tại giữa dầm với vận tốc của lực di động cho trường hợp nF = 3, n = 1 và Vα = 0.1: (a) d = L/4 và ∆T

thay đổi, (b) ∆T = 100K và d thay đổi.

Ứng xử động lực học của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ cao dưới tác

động của nhiều lực di động có thể nhận thấy từ Hình 4.10, trong đó mối liên hệ

giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn nhất ở giữa dầm với vận tốc của lực

0 100 200 300 4001

2

3

4

5

6

v (m/s)

max

(w0(L

/2,t)

/wst

)

0 100 200 300 4001

2

3

4

5

6

v (m/s)

ma

x(w

0(L

/2,t)

/wst

)

T=0 T=50K T=100KT=150K

d=L/8d=L/5d=L/4d=L/2

(a) (b)

77

di động được minh họa cho trường hợp nF = 3, n = 1 và Vα = 0.1 và các giá trị khác

nhau của lượng tăng nhiệt độ ΔT và khoảng cách giữa các lực di động d. Tương tự

như trường hợp dầm chịu một lực di động, với mọi giá trị của vận tốc lực di động,

giá trị lớn nhất của độ võng ở giữa dầm tăng lên khi ∆T tăng. Đường cong biểu diễn

mối liên hệ giữa vận tốc và độ võng lớn nhất ở giữa dầm, như thấy từ Hình 4.10(a),

khi khoảng cách giữa các lực di động nhỏ, dáng điệu tương tự như trong trường hợp

một lực di động, tức là bao gồm một phần tăng giảm liên tục khi vận tốc đủ nhỏ

trước khi tăng đơn điệu tới giá trị cực đại. Tuy nhiên, khi khoảng cách giữa các lực

di động đủ lớn, giá trị cực trị của đường cong trở nên bất thường. Chẳng hạn, đường

cong tương ứng với trường hợp d = L/2 trên Hình 4.10(b) đạt giá trị lớn nhất ngay

khi vận tốc của lực di động còn tương đối nhỏ. Hiện tượng này liên quan tới dao

động của dầm như thảo luận liên quan tới Hình 4.9(b) ở trên. Kết quả số nhận được

trong mục này cho thấy khoảng cách giữa các lực di động đóng vai trò quan trọng

tới ứng xử động lực học của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô chịu tác động của nhiều lực

di động.

Kết luận chương 4

Chương 4 trình bày các kết quả số liên quan tới dao động của dầm FGM có

lỗ rỗng vi mô nằm trong môi trường nhiệt độ cao chịu tác động của tải trọng di

động. Đáp ứng động lực học được tính toán cho dầm chịu các tải trọng di động khác

nhau, một lực di động, một lực điều hòa di động và nhiều lực di động. Ảnh hưởng

của sự tăng nhiệt độ, trường nhiệt độ phân bố tỷ lệ thể tích lỗ rỗng, tham số của lực

di động tới các đặc trưng dao động của dầm đã được khảo sát chi tiết. Ảnh hưởng

của độ mảnh dầm tới ứng xử động lực học của dầm cũng được khảo sát. Ngoài sự

phụ thuộc của các đặc trưng dao động vào các tham số vật liệu, nhiệt độ, tỷ lệ lỗ

rỗng, tham số tải trọng, kết quả nhận được trong chương này cho thấy tính chính

xác và khả năng mô phỏng biến dạng trượt của mô hình phần tử TBHi xây dựng

trên các hàm dạng thứ bậc mà Luận án phát triển.

Kết quả số trình bày trong chương này đã được đăng tải trên các bài báo số

[1], [3], [4], [6], [9], [11], [12] và [13] trong mục “Danh mục công trình của tác

giả”.

78

KẾT LUẬN

Luận án đã tiến hành xây dựng mô hình phần tử hữu hạn và ứng dụng trong

nghiên cứu ứng dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô, nằm trong môi trường

nhiệt độ chịu tác dụng của tải trọng di động. Mô hình phần tử dầm trong luận án

được xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, sử dụng các hàm dạng

thứ bậc để nội suy các tham biến chuyển vị và góc quay của dầm. Với mục đích so

sánh, mô hình phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, sử dụng các

hàm dạng chính xác và phần tử dầm dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli sử dụng

các hàm nội suy Hermite cũng được xây dựng trong Luận án. Một số kết luận chính

rút ra từ Luận án có thể tóm lược dưới đây:

1) Luận án đã thiết lập phương trình vi phân chuyển động của dầm FGM có lỗ

rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ, chịu tải trọng di động dựa trên nguyên lý

biến phân Hamilton. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, luận án đã nghiên

cứu chi tiết ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường tới dao động

của dầm FGM với cơ tính biến đổi ngang theo quy luật hàm số lũy thừa. Các

tính chất của vật liệu dầm được giả định tuân theo quy luật hàm số lũy thừa và

phụ thuộc vào nhiệt độ. Ảnh hưởng của hai trường nhiệt độ là trường nhiệt độ

đồng nhất và trường nhiệt độ phân bố phi tuyến theo chiều cao dầm tới tần số

dao động cơ bản và đáp ứng động lực học của dầm được khảo sát chi tiết trong

luận án.

2) Luận án đã xây dựng được các mô hình phần tử hữu hạn dùng trong nghiên cứu

đáp ứng động lực học của dầm FGM có tính tới ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ

rông vi mô. Ngoài mô hình phần tử TBEx sử dụng hàm dạng chính xác và mô

hình EBB sử dụng các đa thức Hermite, mô hình phần tử mới dựa trên lý thuyết

biến dạng trượt bậc nhất TBHi xây dựng từ các hàm dạng thứ bậc với ràng buộc

cho biến dạng trượt có tốc độ hội tụ nhanh, chỉ với 16 phần tử, mô hình TBHi

có thể đánh giá tốt các đặc trưng dao động của dầm FGM với lỗ rỗng vi mô

nằm trong môi trường nhiệt độ. Biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối

lượng của mô hình phần tử TBHi có dạng toán học giản đơn, dễ dàng chuyển

sang chương trình tính toán số. Mô hình phần tử TBHi cũng có khả năng mô

79

phỏng tốt ảnh hưởng của biến dạng trượt tới ứng xử động lực học của dầm chịu

tải trọng di động.

3) Sử dụng các mô hình phần tử hữu hạn xây dựng được và thuật toán tích phân

trực tiếp Newmark, Luận án đã phát triển chương trình tính toán số và áp dụng

phân tích một loạt các bài toán dầm FGM chịu các loại tải trọng di động khác

nhau: một lực di động, một lực điều hòa di động và nhiều lực di động. Ảnh

hưởng của sự tăng nhiệt độ, tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi mô và các tham số của tải

trọng di động tới đáp ứng động lực học của dầm được khảo sát chi tiết trong

Luận án.

Từ kết quả phân tích số nhận được trong Luận án, một số kết luận liên quan

tới ảnh hưởng của nhiệt độ, lỗ rỗng vi mô và các tham số của tải trọng di động tới

ứng xử động lực học của dầm có thể tóm lược dưới đây:

1) Tần số dao động cơ bản của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô giảm khi nhiệt độ môi

trường tăng lên và sẽ giảm dần về 0 khi nhiệt độ tiến dần tới nhiệt độ tới hạn

của dầm. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tần số dao động cơ bản phụ thuộc tham

số vật liệu n, cụ thể với cùng một giá trị tăng nhiệt độ, tần số dao động cơ bản

của dầm với n lớn lớn sẽ suy giảm nhiều hơn. Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích của

lỗ rỗng vi mô tới tần số dao động cơ bản của dầm cũng phụ thuộc vào giá trị

của tham số vật liệu n. Khi tham số vật liệu n nhỏ, tần số dao động cơ bản cao

hơn khi dầm có tỷ lệ thể tích lỗ rỗng lớn hơn, nhưng điều ngược lại xảy ra khi

n đủ lớn.

2) Ảnh hưởng của nhiệt độ tới đáp ứng động lực học của dầm FGM có lỗ rỗng vi

mô chịu lực di động phụ thuộc vào giá trị của tham số vật liệu. Chẳng hạn, với

cùng một lượng tăng nhiệt độ là 100K của trường nhiệt độ phân bố phi tuyến,

sự tăng của độ võng lớn nhất ở giữa dầm khác nhau trên 40% cho dầm có tỷ lệ

thể tích lỗ rỗng vi mô Vα = 0.1 chịu một lực di động với vận tốc 20 m/s nhưng

với tham số vật liệu n = 0.2 và n = 10. Lỗ rỗng vi mô cũng ảnh hưởng tới độ

võng động lực học của dầm nhưng không rõ nét như nhiệt độ.

3) Ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô tới ứng suất pháp là trái ngược nhau.

Giá trị lớn nhất của ứng suất pháp tăng lên khi nhiệt độ cao hơn. Điều ngược

80

lại xảy ra với lỗ rỗng vi mô, tức là giá trị lớn nhất của ứng suất nhỏ hơn khi tỷ

lệ thể tích lỗ rỗng vi mô cao hơn.

4) Ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới độ võng lớn nhất tại giữa dầm chịu ảnh

hưởng bởi nhiệt độ và tham số vật liệu dầm. Độ mảnh dầm ảnh hưởng tới độ

võng giữa dầm rõ nét hơn khi giá trị của nhiệt độ và tham số vật liệu lớn hơn.

5) Tần số của lực kích động đóng vai trò quan trọng tới dao động của dầm FGM

chịu lực điều hòa di động. Do tần số dao động cơ bản của dầm FGM thấp hơn

khi xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô, cộng hưởng của dầm

FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ sẽ xảy ra ở tần số kích động

thấp hơn, đặc biệt khi dầm FGM có tham số vật liệu cao hơn, tức hàm lượng

kim loại lớn hơn.

6) Ảnh hưởng của số lượng lực di động tới đáp ứng động lực học của dầm FGM

chịu nhiều lực di động phụ thuộc vào khoảng cách giữa các lực. Khoảng cách

giữa các lực di động tăng không chỉ làm giảm độ võng lớn nhất tại giữa dầm

mà còn thay đổi ứng xử động lực học của dầm. Nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô ảnh

hưởng tới đáp ứng động lực học của dầm FGM chịu nhiều lực di động tương

tự như trong trường hợp dầm chịu một lực di động.

Hướng nghiên cứu tiếp theo

Phân tích dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô nằm trong môi trường

nhiệt độ, chịu tác động của tải trọng di động là bài toán có ý nghĩa thực tiễn nhưng

hiện còn ít được quan tâm nghiên cứu. Những vấn đề trình bày trong Luận án mới

chỉ là các kết quả ban đầu của tác giả trong lĩnh vực này. Nhiều vấn đề liên quan tới

đề tài cần được nghiên cứu để có thể mô phỏng tốt hơn các yếu tố thực tế của bài

toán dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm FGM nằm trong môi trường

nhiệt độ. Một số bài toán dưới đây có thể mở rộng và tiếp tục phát triển trực tiếp từ

Luận án:

1. Dao động của dầm FGM với các mô hình lỗ rỗng vi mô khác nhau. Mô hình

lỗ rỗng vi mô sử dụng trong Luận án là mô hình đơn giản trong đó tỷ lệ thể tích

lỗ rỗng được giả thiết phân bố và chia đều cho hai pha gốm và kim loại. Một

mô hình với các lỗ rỗng phân bố không đều có thể phản ánh tốt hơn bức tranh

thực tế của vật liệu FGM. Nghiên cứu dao động của dầm FGM trong môi

81

trường nhiệt độ cao với các mô hình lỗ rỗng khác nhau, vì thế có ý nghĩa thực

tiễn và cần được quan tâm.

2. Dao động của dầm FGM với trường nhiệt độ thay đổi theo hai hướng. Trường

nhiệt độ trong Luận án được giả định chỉ thay đổi theo chiều cao dầm. Trên

thực tế, nhiệt độ có thể thay đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm. Phát triển

mô hình phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi

mô với trường nhiệt độ phân bố phi tuyến theo cả chiều cao và chiều dài dầm là

bài toán có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.

3. Dao động của dầm sandwich FGM trong môi trường nhiệt độ. Kết cấu

sandwich nói chung và dầm sandwich FGM nói riêng có nhiều ưu điểm và được

sử dụng rộng rãi trong thực tế. Nghiên cứu dao động của dầm FGM có lỗ rỗng

vi mô nằm trong môi trường nhiệt độ cao, theo hiểu biết của tác giả, hiện chưa

được quan tâm nghiên cứu. Bài toán này có thể giải quyết được bằng cách mở

rộng công thức phần tử hữu hạn phát triển trong Luận án.

4. Mô hình phần tử hữu hạn dựa trên các lý thuyết dầm khác nhau. Phát triển

các mô hình phần tử hữu hạn có khả năng mô phỏng tốt hơn ứng xử của kết cấu

là vấn đề luôn được đặt ra. Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất sử dụng trong

luận án có dạng toán học khá đơn giản. Tuy nhiên, lý thuyết này đòi hỏi sử

dụng hệ số điều chỉnh trượt và sự lựa chọn hệ số này cho kết cấu FGM vẫn là

vấn đề còn tranh cãi. Mô hình phần tử hữu hạn dựa trên các lý thuyết dầm khác,

chẳng hạn lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, không chỉ có ý nghĩa khoa học mà

còn giúp cho không phải sử dụng hệ số biến dạng trượt.

82

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

1. Bui Van Tuyen, Tran Thi Thom, Nguyen Dinh Kien, Le Thi Ha (2015), Vibration of functionally graded Euler-Bernoulli beams in thermal environment excited by a moving force, Tuyển tập Công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, 7/8/2015, Tập 2, trang 1622-1629 (ISBN 978–604–913–458-6).

2. Tran Thi Thom, Bui Van Tuyen, Nguyen Dinh Kien (2015), Free vibration of functionally graded sandwich beams in high temperature environment, Tuyển tập hội nghị khoa học toàn quốc cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XII, đại học Duy Tân, Đà Nẵng 2015, Tập 2, trang 1388-1395 (ISBN 978-604-913-458-6).

3. Bui Van Tuyen, Tran Thi Thom, and Nguyen Dinh Kien (2016), Dynamic response of functionally graded Timoshenko beams in thermal environment due to a moving harmonic load, Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc vật liệu và kết cấu Composite–Cơ học, Công nghệ và Ứng dụng, Nha Trang 2016, trang 781-788 (ISBN 978-604-82-2026-6).

4. Bùi Văn Tuyển, Nguyễn Đình Kiên (2016), Dao động của dầm có cơ tính biến thiên trong môi trường nhiệt độ cao dưới tác dụng của lực điều hòa di động, Tạp chí khoa học kỹ thuật thủy lợi và môi trường, số 55, tháng 11 năm 2016, trang 110-116 (ISSN: 1859-3941).

5. Van Tuyen Bui, Quang Huan Nguyen, Thi Thom Tran, Dinh Kien Nguyen (2015), Vibration of functionally graded sandwich beam excited by a moving harmonic point load, Kỷ yếu hội nghị khoa học – công nghệ toàn quốc về cơ khí lần thứ IV, 11/2015, trang 750-757 (ISBN: 978-604-73-3691-3).

6. Thanh Huong Trinh, Van Tuyen Bui, Ngoc Huyen Nguyen, Dinh Kien Nguyen and Buntara S. Gan (2016), Dynamic behavior of functionally graded beams in thermal environment due to a moving harmonic load, International Journal of Mechanical Systems Engineering,Vol.2, 2016, http://dx.doi.org/10.15344/2455-7412/2016/119 (ISSN: 2455-7412).

7. Nguyen Dinh Kien, Tran Thi Thom, BS Gan, Bui Van Tuyen (2016), Influences of dynamic moving forces on the functionally graded porous-nonuniform beam, International Journal of Engineering and Technology Innovation, Vol. 6, no. 3, pp. 173 – 189 (Tạp chí Scopus, ISSN: 2223-5329).

8. Le Thi Ha, Bui Van Tuyen, Nguyen Dinh Kien (2016), Vibration analysis of FG sandwich beams subject to a moving load by using a new higher-order shear deformation theory, Proceedings of the 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation - ICEMA4, Hanoi 2016, pp. 269-276 (ISBN: 978-604-62-8730-8).

83

9. Tran Thi Thom, Nguyen Quang Huan, Nguyen Dinh Kien, Bui Van Tuyen (2016), Fundamental frequency analysis of FG porous beams in thermal environment based on the improved third-order shear deformation theory, Proceedings of the 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation - ICEMA4, Hanoi 2016, pp. 393-400 (ISBN: 978-604-62-8730-8).

10. Dinh Kien Nguyen, Quang Huan Nguyen, Thi Thom Tran, Van Tuyen Bui (2017), Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load, Acta Mechanica, Vol. 228, pp. 141-155 (Tạp chí ISI, ISSN: 0001-5970).

11. Dinh Kien Nguyen, Van Tuyen Bui (2017), Dynamic analysis of functionally graded Timoshenko beams in thermal environment using a higher-order hierarchical beam element, Mathematical Problems in Engineering, Article ID 7025750, 12 pages https://doi.org/10.1155/2017/7025750 (Tạp chí ISI, ISSN: 1024-123X).

12. Bui Van Tuyen (2017), Effect of temperature and porositieson dynamic response of functionally graded beams carrying a moving load, Journal of Science and Technology Development, Vol20, No.K2-2017, pp. 24-33 (ISSN: 1859-0128).

13. Bui Van Tuyen, Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Dinh Kien (2017), Vibration of FG porous beams in thermal environment under moving load using new first-order shear deformable beam element, Báo cáo tại Hội nghị Cơ học Toàn quốc lần thứ X, Hà Nội 12/2017.

84

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. L. Frýba, Vibration of solids and structures under moving loads. (Third edition), Thomas Telford House, Prague., 1999.

2. M. AKoizumi, FGM activities in Japan, Composites Part B: Engineering, 1997, 28: 1-4.

3. K. Wakashima, T. Hirano, and M. Niino, Space applications of advanced structural materials, European Space Agency, Noordwijk, The Netherlands, 1990.

4. M. Şimşek, and T. Kocatürk, Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load, Composite Structures, 2009, 90, 465-473.

5. M. Şimşek, Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theories, Composite Structures, 2010, 92, 904-917.

6. M. Şimşek, Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load, Composite Structures, 2010, 92, 2532-2546.

7. K. Rajabi, M.H. Kargarnovin, and M. Gharini, Dynamic analysis of a functionally graded simply supported Euler-Bernoulli beam to a moving oscillator, Acta Mechanica, 2013, 224, 425-446.

8. M. Simsek, T. Kocaturk, and D. Akbas, Dynamic behavior of an axially functionally graded beam under action of a moving harmonic load, Composite Structures, 2012, 94, 2358-2364.

9. Nguyen Dinh Kien, Nguyen Quang Huan, Tran Thi Thom, and Bui Van Tuyen, Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load, Acta Mechanica, 2017, 228, 141–155.

10. M. Şimşek, Bi-directional functionally graded materials (BDFGMs) for free and forced vibration of Timoshenko beams with various boundary conditions, Composite Structures, 2015, 133, 968-978.

11. M. Şimşek, and M. Al-shujairi, Static, free and forced vibration of functionally graded (FG) sandwich beams excited by two successive moving harmonic loads, Composites Part B: Engineering, 2017, 108, 18-34.

12. Lê Thị Hà, Phân tích dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dưới tác dụng của tải trọng di động, Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật. Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt nam, 2016.

85

13. Phạm Đình Trung, Phân tích động lực học của dầm phân lớp chức năng trên nền đàn hồi chịu khối lượng di động, Tạp chí xây dựng - Bộ xây dựng, 2014, Số 2, 105-109.

14. Le Thi Ha, B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, and Nguyen Dinh Kien, Finite element analysis of multi-span functionally graded beams under a moving harmonic load, Mechanical Engineering Journal, Bulletin of the JSME, 2014, 1, 1-13.

15. Le Thi Ha, Nguyen Dinh Kien, and Vu Tuan Anh, Dynamic behaviour of nonuniform functionally graded Euler-Bernoulli beams under multiple moving forces, Vietnam Journal of Mechanics, 2015, 37, 151-168.

16. D. Chen, J. Yang, and S. Kitipornchai, Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam, Composite Structures, 2015, 133, 54-61.

17. F. Ebrahimi, F. Ghasemi, and E. Salari, Investigating thermal effects on vibration behavior of temperature-dependent compositionally graded Euler beams with porosities, Meccanica, 2015, 51, 223-249.

18. N. Wattanasakulpong, and V. Ungbhakorn, Linear and nonlinear vibration analysis of elastically restrained ends FGM beams with porosities, Aerospace Science Technology, 2014, 32, 111-120.

19. N. Wattanasakulpong, and A. Chaikittiratana, Flexural vibration of imperfect functionally graded beams based on Timoshenko beam theory: Chebyshev collocation method, Meccanica, 2015, 50, 1331-1342.

20. H.-S. Shen, and Z.X. Wang, Nonlinear analysis of shear deformable FGM beams resting on elastic foundation in thermal environment, International Journal of Mechanical Science, 2014, 81, 195-206.

21. N. Wattanasakulpong, B.G. Gangadhara, and D.W. Kelly, Thermal buckling and elastic vibration of third-order shear deformable functionally graded beams, International Journal of Mechanical Sciences, 2011, 53, 734-743.

22. Y.Wang, and D.Wu, Thermal effect on the dynamic response of axially functionally graded beam subjected to a moving harmonic load, Acta Astronautica, 2016, 127, 171-181.

23. D.B. Meade, and S.I. Michel, Getting started with Maple, Chanpman, Hall/CRC, 2009.

24. M. Naebe, and K. Shirvanimoghaddam, Functionally graded materials: A review of fabrication and properties (Review), Applied Materials Today, 2016, 5, 223-245.

86

25. A. E. Alshorbagy, M.A. Eltaher, and F.F. Mahmoud, Free vibration characteristics of a functionally graded beam by finite element method, Applied Mathematical Modelling, 2011, 35, 412-425.

26. B.S. Gan, T.H. Trinh, T.H. Le, and D.K. Nguyen, Dynamic response of non-uniform Timoshenko beams made of axially FGM subjected to multiple moving point loads, Structural Engineering and Mechanics, 2015, 53, 981-995.

27. A. Shahba, R. Attarnejad, M. T. Marvi, and S. Hajilar, Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams with classical and non-classical boundary conditions, Composites Part B: Engineering, 2011, 42, 801-808.

28. B.V. Sanka, An elasticity solution for functionally graded beams, Composites Science and Technology, 2001, 61, 689-696.

29. J. Ying, C.F. Lu, and W.Q. Chen, Two-dimensional elasticity solutions for functionally graded beams resting on elastic foundation, Composite Structures, 2008, 84, 209-219.

30. A. Mahi, E.A. Adda Bedia, A. Tounsi, and I. Mechab, An analytical method for temperature-dependent free vibration analysis of functionally graded beams with general boundary conditions, Composite Structures, 2010, 92, 1877-1887.

31. C.F. Lu, W.Q. Chen, R.Q. Xu, and C.W. Lim, Semi-analytical elasticity solutions for bi-directional functionally graded beams, International Journal of Solids and Structures, 2008, 45, 258-275.

32. Z. Wang, X. Wang, S G. Xu, and T. Zen Cheng, Free vibration of two-directional functionally graded beams, Composite Structures, 2016, 135, 191-198.

33. Nguyen Dinh Kien, and Tran Thi Thom, A corotational formulation for large displacement analysis of functionally graded sandwich beam and frame structures, Mathematical Problems in Engineering, http://dx.doi.org/ 10.1155/2016/5698351, 2016.

34. T.P. Vo, H.T. Thai, T.K. Nguyen, and J. Lee F. Inam, A quasi-3D theory for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams, Composite Structures, 2015, 119, 1-12.

35. N.A. Apetre, B.V. Sankar, and D.R. Ambur, Low-velocity impact response of sandwich beams with functionally graded core, International Journal of Solids and Structures, 2006, 43, 2479-2496.

87

36. M. Aydogdu, and V. Taskin, Free vibration analysis of functionally graded beams with simply supported edges, Materials and Design, 2007, 28, 1651-1656.

37. M.A. Benatta, I. Mechab, A. Tounsi, and E.A. Adda Bedia, Static analysis of functionally graded short beams including warping and shear deformation effects, Computational Materials Science, 2008, 44, 765-773.

38. X.F. Li, A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams, Journal of Sound and Vibration, 2008, 318, 1210-1229.

39. S.A. Sina, H.M. Navazi, and H. Haddadpour, An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams, Materials and Design, 2009, 30, 741-747.

40. Y. Huang, and X.F. Li, A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section, Journal of Sound and Vibration, 2010, 329, 2291-2303.

41. Y. Huang, and X.F. Li, Buckling analysis of non-uniform and axially graded beams with varying flexural rigidity, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 2011, 137, 73-81.

42. G. Giunta, D. Crisafulli, S. Belouettar, and E. Carrera, Hierarchical theories for the free vibration analysis of functionally graded beams, Composite Structures, 2011, 94, 68-74.

43. G. Giunta, D. Crisafulli, S. Belouettar, and E. Carrera, A thermomechanical analysis of functionally graded beams via hierarchical modelling, Composite Structures, 2013, 95, 676-690.

44. D. Wei, and Y. Liu, Analytic and finite element solutions of the power-law EulerBernoulli beams, Finite Elements in Analysis and Design, 2012, 52, 31-40.

45. D. Wei, Y. Liu, and Z. Xiang, An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams with edge cracks, Journal of Sound and Vibration, 2012, 331, 1686-1700.

46. S.K. Lai, J. Harrington, Y. Xiang, and K.W. Chow, Accurate analytical perturbation approach for large amplitude vibration of functionally graded beams, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2012, 47, 473–480.

47. X.F. Li, Y.A Kang, and J.-X. Wu, Exacy frequency equations of free vibration of exponentially functionally graded beams, Applied Acoustics, 2013, 74, 413-420.

88

48. M. Birsan, T. Sadowski, L. Marsavina, and D. Pietras E. Linul, Mechanical behavior of sandwich composite beams made of foams and functionally graded materials, International Journal of Solids and Structures, 2013, 50, 519-530.

49. Y. Huang, L.-E. Yang, and Q.-Z. Luo, Free vibration of axially functionally graded Timoshenko beams with non-uniform crosssection, Composites Part B: Engineering, 2013, 45, 1493-1498.

50. Y. Liu, and D.W. Shu, Free vibration analysis of exponential functionally graded beams with a single delamination, CompositesPart B: Engineering, 2014, 59, 166-172.

51. E. Babilio, Dynamics of Functionally Graded Beams on Viscoelastic Foundation, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2014, DOI: 10.1142/S0219455414400148.

52. H. Niknam, A. Fallah, and M.M. Aghdam, Nonlinear bending of functionally graded tapered beams subjected to thermal and mechanical loading, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2014, 65, 141-147.

53. S.V. Levyakov, Elastica solution for thermal bending of a functionally graded beam, Acta Mechanica, 2013, 224, 1731–1740.

54. S.V. Levyakov, Thermal elastica of shear-deformable beam fabricated of functionally graded material, Acta Mechanica, 2015, 226, 723-733.

55. Y.D. Li, H.C. Zhang, N. Zhang, and Y. Dai, Stress analysis of func-tionally gradient beam using effective principal axes, International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2005, 2, 157-164.

56. Y.A. Kang, and X.F. Li, Bending of functionally graded cantilever beam with power-law nonlinearity subjected to an end force, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2009, 44, 696-703.

57. Y.A. Kang, and X.F. Li, Large deflection of a non-linear cantilever functionally graded beam, Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2010, 29, 1761-1774.

58. S. Taeprasartsit, A buckling analysis of perfect and imperfect functionally graded columns, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part L: Journal of Materials: Design and Applications, 2012, 226, 16-33.

59. S. Agarwal, A. Chakraborty, and S. Gopalakrishnan, Large deformation analysis for anisotropic and inhomogeneous beams using exact linear static solutions, Composite Structures, 2006, 72, 91-104.

89

60. S. Kapuria, M. Bhattacharyya, and A.N. Kumar, Bending and free vibration response of layered functionally graded beams: a theoretical model and its experimental validation, Composite Structures, 2008, 82, 390-402.

61. A. Chakraborty, and S. Gopalakrishman, A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams, International Journal of Solids and Structures, 2003, 40, 2421-2448.

62. R. Kadoli, K. Akhtar, and N. Ganesan, Static analysis of funtionally graded beams using higher order shear deformation beam theory, Applied Mathematical Modelling, 2008, 32, 2509-2525.

63. H. Hein, and L. Feklistova, Free vibration of non-uniform and axially funcyionally graded beams using Haar wavelets, Engineering Structures, 2011, 33, 3696-3701.

64. A. Shahba, R. Attarnejad, M. T. Marvi, and S. Hajilar, Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Euler-Bernoulli beams, Shock and Vibration, 2011, 18, 683-696.

65. J.B. Kosmatka, An improve two-node finite element for stability and natural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams, Computers and Structures, 1995, 57, 141-149.

66. S.C. Mohanty, R.R. Dash, and T. Rout, Parametric instability of a functionally graded Timoshenko beam on Winkler elastic foundation, Nuclear Engineering and Design, 2011, 241, 2698-2715.

67. S.C. Mohanty, R.R. Dash, and T. Rout, Static and dynamic stability analysis of a functionally graded Timoshenko beam, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2012, 12, DOI: 10.1142/S0219455412500253.

68. M. Hemmatnezhada, R. Ansarib, and G.H. Rahimic, Largeamplitude free vibrations of functionally graded beams by means of a finite element formulation, Applied Mathematical Modelling, 2013, 37, 8495-8504.

69. H. Asadi, and M.M. Aghdam, Large amplitude vibration and post-buckling analysis of variable cross-section composite beams on nonlinear elastic foundation, International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 79, 47-55.

70. B.S. Gan, and Nguyen Dinh Kien, Large Deflection Analysis of Functionally Graded Beams Resting on a Two-Parameter Elastic Foundation, Journal of Asian Architecture and Building Engineering, 2014, 13, 649-656.

71. B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, Nguyen Dinh Kien T. Hara, and Tran Thi Thom, Effects of support conditions to the post-buckling behaviors of axially functionally graded material rods, Key Engineering Materials, 2017, 730, 502-509.

90

72. B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, and Nguyen Dinh Kien, Post-buckling behaviour of axially FGM planar beams and frames, Procedia Engineering, 2017, 117, 147-158.

73. M.A. Eltaher, A.E. Alshorbagy, and F.F. Mahmoud, Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams, Composite Structures, 2013, 99, 193-201.

74. M.A. Eltaher, A.A. Abdelrahman, A. Al-Nabawy, M. Khater, and A. Mansour, Vibration of nonlinear graduation of nano-Timoshenko beam considering the neutral axis position, Applied Mathematics and Computation, 2014, 235, 512-529.

75. G. De Pietro, Y. Hui, G. Giunta, S. Belouettar, E. Carrera, and H. Hu, Hierarchical onedimensional finite elements for the thermal stress analysis of three-dimensional functionally graded beams, Composite Structures, 2016, 153, 514-528.

76. C. Jin, and X. Wang, Accurate free vibration analysis of Euler functionally graded beams by the weak form quadrature element method, Composite Structures, 2015, 125, 41-50.

77. A. Frikha, A. Hajlaoui, and F. Dammak M. Wali, A new higher order C0 mixed beam element for FGM beams analysis, Composites Part B: Engineering, 2016, 106, 181-189.

78. J. Zhu, Z. Lai, Z. Yin, J. Jeon, and S. Lee, Fabrication of ZrO2-NiCr functionally graded material by powder metallurgy, Materials Chemistry and Physics, 2001, 68, 130-135.

79. F. Ebrahimi, and M. Zia, Large amplitude nonlinear vibration analysis of functionally graded Timoshenko beams with porosities, Acta Astronautica, 2015, 116, 117-125.

80. S. Kitipornchai D. Chen, J. Yang, Nonlinear free vibration of shear deformable sandwich beam with a functionally graded porous core, Thin-Walled Structures, 2016, 107, 39-48.

81. D. Chen, J. Yang, and S. Kitipornchai, Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams, International Journal of Mechanical Sciences, 2016, 108-109, 14-22.

82. N. Shafiei, and M. Kazemi, Nonlinear buckling of functionally graded nano-/microscaled porous beams, Composite Structures, 2017, 178, 483-492.

83. N. Shafiei, S.S. Mirjavadi, B. MohaselAfsharic, and M. Kazemi S. Rabby, Vibration of two-dimensional imperfect functionally graded (2D-FG) porous nano-/micro-beams, Computer Methods in Applied Mechanics Engineering, 2017, 322, 615–632.

91

84. A. Chakraborty, S. Gopalakrishman, and J.N. Reddy, A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials, International Journal of Mechanical Science, 2003, 45, 519-539.

85. R.K. Bhangale, and N. Ganesan, Thermoelastic buckling and vibration behavior of a functionally graded sandwich beam with constrained viscoelastic core, Journal of Sound and Vibration, 2006, 295, 294-316.

86. H.K. Ching, and S.C. Yen, Transient thermoelastic deformations of 2-D functionally graded beams under nonuniformly convective heat supply, Composite Structures, 2006, 73, 381-393.

87. H.J. Xiang, and J. Yang, Free and forced vibration of a laminated FGM Timoshenko beam of variable thickness under heat conduction, Composites: Part B, 2009, 39, 292-303.

88. S.C. Pradhan, and T. Murmu, Thermo-mechanical vibration of FGM sandwich beam under variable elastic foundations using differential quadrature method, Journal of Sound and Vibration, 2009, 321, 342-362.

89. P. Malekzadeh, Two-dimensional in-plane free vibrations of functionally graded circular arches with temperature-dependent properties, Composite Structures, 2009, 91, 38-47.

90. P. Malekzadeh, M.R. Golbahar Haghighi, and M.M. Atashi, Out-of-plane free vibration of functionally graded circular curved beams in thermal environment, Composite Structures, 2010, 92, 541-552.

91. Y.W. Kim, Temperature dependent vibration analysis of functionally graded rectangular plates, Journal of Sound and Vibration, 2005, 284, 531-549.

92. S.E. Esfahani, Y. Kiani, and M.R. Eslam, Non-linear thermal stability analysis of temperature dependent FGM beams supported on non-linear hardening elastic foundations, International Journal of Mechanical Sciences, 2013, 69, 10-20.

93. Y. Kiani, and M.R. Eslami, Thermal buckling analysis of functionally graded material beams, International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2010, 6, 229-238.

94. G. Shi, A new simple third-order shear deformation theory of plates, International Journal of Solids and Structures, 2007, 44, 4399-4417.

95. L.S. Ma, and D.W. Lee, Exact solutions for nonlinear static responses of a shear deformable FGM beam under an in-plane thermal loading, European Journal of Mechanics A/Solids, 2012, 31, 13-20.

92

96. U. Eroglu, In-plane free vibrations of circular beams made of functionally graded material in thermal environment: Beam theory approach, Composite Structures, 2015, 122, 217-228.

97. A. Fallah, and M.M. Aghdam, Nonlinear free vibration and postbuckling analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, European Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30, 571-583.

98. L.C. Trinh, T.P. Vo, H.-T. Thai, and T.-K. Nguyen, An analytical method for the vibration and buckling of functionally graded beams under mechanical and thermal loads, Composites Part B: Engineering, 2016, 100, 152-163.

99. Y. Kiani, M. Sadighi, S. Jedari Salami, and M.R. Eslami, Low velocity impact response of thick FGM beams with general boundary conditions in thermal field, Composite Structures, 2013, 104, 293-303.

100. S.E. Ghiasian, Y. Kiani, and M.R. Eslami, Dynamic buckling of suddenly heated or compressed FGM beams resting on nonlinear elastic foundation, Composite Structures, 2013, 106, 225-234.

101. M. Komijani, S.E. Esfahani, J.N. Reddy, Y.P. Liu, and M.R. Eslami, Nonlinear thermal stability and vibration of pre/post-buckled temperature- and microstructure-dependent functionally graded beams resting on elastic foundation, Composite Structures, 2014, 112, 292-307.

102. D.-G. Zhang, Nonlinear bending a nalysis of FGM beams based on phys- ical neutral surface and high order shear deformation theory, Composite Structures, 2013, 100, 121-126.

103. D.-G. Zhang, Thermal post-buckling and nonlinear vibration analysis of FGM beams based on physical neutral surface and high order shear deformation theory, Meccanica, 2014, 49, 283–293.

104. J. Yang, Y. Chena, Y. Xiang, and X.L. Jia, Free and forced vibration of cracked inhomogeneous beams under an axial force and a moving load, Journal of Sound and Vibration, 2008, 312, 166-181.

105. S.M.R. Khalili, A.A. Jafari, and S.A. Eftekhari, A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads, Composite Structures, 2010, 92, 2497-2511.

106. B.S. Gan, and Nguyen Dinh Kien, Dynamic analysis of multispan functionally graded beams subjected to a variable speed moving load, Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics, EURODYN 2014, Porto, Portugal, June 2014, 2014, 3879-3886.

107. B.S. Gan, Nguyen Dinh Kien, and Le Thi Ha, Effect of intermediate elastic support on vibration of functionally graded Euler-Bernoulli beams excited by

93

a moving point load, Journal of Asian Architecture and Building Engineering, 2017, 16, 363-369.

108. Vũ Hoài Nam, Phân tích phi tuyến động lực của vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, Luận án Tiến sĩ Cơ học kỹ thuật, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 2014.

109. Nguyễn Thi Phương, Nghiên cứu ổn định tĩnh của tấm và vỏ composite cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Học Viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội 2014.

110. Lê Khả Hòa, Phân tích ổn định tinh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, Luận án Tiến sĩ Cơ học kỹ thuật, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 2014.

111. Trung-Kien Nguyen, Thuc P. Vo, and Huu-Tai Thai, Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory, Composites: Part B, 2013, 55, 147-157.

112. Huu-Tai Thai, and Thuc P. Vo, Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories, International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 62, 57-66.

113. Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, A. Maheri, and J. Lee, Finite element model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation theory, Engineering Structures, 2014, 64, 12-22.

114. Nguyễn Ngọc Huyên, Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm FGM, Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật. Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt nam, 2017.

115. Nguyen Ngoc Huyen, and Nguyen Tien Khiem, Modal analysis of functionally graded Timoshenko beam, Vietnam Journal of Mechanics, 2017, 39, 31-50.

116. Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Ngọc Huyên (2014). Lý thuyết dao động của dầm FGM trong miền tần số. Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, pp.93-98.

117. Nguyen Tien Khiem, and Nguyen Ngoc Huyen, A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam, Journal of Nondestructive Testing and Evaluation, 2016, 32, 319-341.

118. Nguyen Dinh Kien, Large displacement response of tapered cantilevers beams made of axially functionally graded material, Composites: Part B, 2013, 55, 298-305.

94

119. Nguyen Dinh Kien, Large displacement behaviour of tapered cantilever Euler-Bernoulli beams made of functionally graded material, Applied Mathematics and Computation, 2014, 237, 340-355.

120. Nguyen Dinh Kien, and B.S. Gan, Large deflection tapered functionally graded beams subjected to end forces, Applied Mathematical Modelling, 2014, 38, 3054-3066.

121. Nguyen Dinh Kien, B.S. Gan, and Trinh Thanh Huong, Geometrically nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally graded materials, Structural Engineering and Mechanics, 2014, 49, 727-743.

122. Nguyen Dinh Kien, B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, and S. Alexandrov, Post-buckling behavior of elastic-plastic functionally graded beams subjected to eccentric axial load, Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology, 2015, 2, 1129-1135.

123. Nguyen Dinh Kien, Tran Thi Thom, S. Alexandrov, and Le Thi Ha, Elasto-plastic analysis of functionally graded metal-ceramic beams under mechanical loading, Vietnam Journal of Mechanics, 2017, 39, 13-29.

124. Trinh Thanh Huong, B.S. Gan, and Nguyen Dinh Kien, Post-buckling responses of elastoplastic FGM beams on nonlinear elastic foundation, Structural Engineering and Mechanics, 2015, Vol. 58, pp. 515-532.

125. Nguyễn Minh Phương, Tính toán dao động uốn của dầm liên tục và tấm trực hướng hình chữ nhật chịu tác dụng của nhiều vật thể di động, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, 2008.

126. Nguyễn Trọng Phước, and Huỳnh Văn Mãi, Ảnh hưởng vận tốc phương tiện di chuyển đến ứng xử động lực học của dầm liên tục nhiều nhịp, Tạp chí xây dựng - Bộ xây dựng, 2014, 4, 117-122.

127. Nguyen Dinh Kien, Tran Thanh Hai, Dynamic analysis of prestressed Bernoulli beams resting on two-parameter foundation under moving harmonic load, Vietnam Journal of Mechanics, 2006, 28, 176-188.

128. Nguyen Dinh Kien, Dynamic response of prestressed Timoshenko beams resting on two-parameter foundation to moving harmonic load, Technische Mechanik, 2008, 28, 237-258.

129. Nguyen Dinh Kien, B.S. Gan, and Le Thi Ha, Dynamic response of non-uniform functionally graded beams subjected to a variable speed moving load, Journal of Computational Science and Technology, 2013, 7, 12-27.

130. Y.S. Touloukian, Thermophysical properties of high temperature solid materials, Macmillan, New York, 1967.

95

131. M. Géradin, and D. Rixen, Mechanical vibrations. Theory and application to structural dynamics, 2nd edition, John Wiley & Sons, Chichester, 1997.

132. O.C. Ozienkienwicz, R.L. Taylor, The finite element method, 4th edition, Volum1: Basic formulation and Linear problems, Mc Graw-Hill Book company, Lon don, 1997.

133. A. Tessler, and S. B. Dong, On a hierarchy of conforming Timoshenko beam elements, Computers & Structures, 1981, 14, 3-4, 335-344.

134. Nguyễn Đình Kiên, Phương pháp phần tử hữu hạn trong cơ học kết cấu và vật rắn biến dạng, nhà xuất bản khoa học và công nghệ, 2009.

135. M. Olsson, On the fundamental moving load problem, Journal of Sound and Vibration, 1991, 152, 229-307.

96

PHỤ LỤC

Phụ lục này liệt kê Matlab function tính độ cứng của dầm FGM trong môi

trường nhiệt độ và các ma trận độ cứng phần tử, ma trận khối lương và ma trận độ

cứng sinh ra do ứng suất nhiệt.

function

[A11,A12,A22,A33]=AijTi(nP,h,b,n,Tc,Tm,Kc,Km,E_1c,E0c,E1c,E2c,E3c,E_1m,

E0m,E1m,E2m,E3m,mu);

% Computing rigidities of Timoshenko beam

Kcm=Kc-Km;

A11=0;A12=0;A22=0;A33=0;

dS=h/nP;

Val=0;

for i=0:nP

z = -h/2+dS*i; V1c = (z/h+1/2); A = V1c-(Kcm*((V1c)^(n+1))/((n+1)*(Km-… (Kc+Km)*Val/2)))+((Kcm^2)*((V1c)^(2*n+1))/((2*n+1)*((Km-… (Kc+Km)*Val/2)^2)))-((Kcm^3)*((V1c)^(3*n+1))/... ((3*n+1)*((Km-Kc+Km)*Val/2)^3)))+((Kcm^4)*((V1c^(4*n+1))/… ((4*n+1)*((Km-(Kc+Km)*Val/2)^4)))-((Kcm^5)*(V1c^(5*n+1))/… ((5*n+1)*((Km-(Kc+Km)*Val/2)^5)))); B = 1-(Kcm/((Km-(Kc+Km)*Val/2)*(n+1)))+((Kcm^2)/(((Km-… (Kc+Km)*Val/2)^2)*(2*n+1)))-((Kcm^3)/(((Km-… (Kc+Km)*Val/2)^3)*(3*n+1)))+... (((Kcm^4)/(((Km-(Kc+Km)*Val/2)^4)*(4*n+1))))-… ((Kcm^5/(((Km-(Kc+Km)*Val/2)^5)*(5*n+1)))); T = Tm+(Tc-Tm)*A/B; Ec = E0c*(E_1c*T^(-1)+1+E1c*T+E2c*T^(2)+E3c*T^(3)); Em = E0m*(E_1m*T^(-1)+1+E1m*T+E2m*T^(2)+E3m*T^(3)); E = (Ec-Em)*((V1c)^n)+Em; if i==0|i==nP

97

weight=1; elseif mod(i,2)==0 weight=2; elseif mod(i,2)==1 weight=4; end G=E/(2*(1+mu)); A11 = A11 + b*dS/3*E*weight; A12 = A12 + b*dS/3*E*z*weight; A22 = A22 + b*dS/3*E*z^2*weight; A33 = A33 + b*dS/3*G*weight; end function [Ke]=KeTiCon(L,A11,A12,A22,A33); % computing element stiffness matrix for % shear constrain hierachcal Timoshenko beam element psi=5/6; t1 = 1/L; t2 = A11*t1; t3 = A12*t1; t4 = psi*A33; t5 = t4*t1; t6 = t4/2; t7 = 2.D0/3.D0*t4; t8 = A22*t1; t9 = t4*L; t10 = t9/4; t11 = t8+t10; t12 = t9/3; t13 = -t8+t10; Ke(1,1) = t2; Ke(1,2) = 0; Ke(1,3) = -t3; Ke(1,4) = 0; Ke(1,5) = -t2; Ke(1,6) = 0; Ke(1,7) = t3; Ke(2,1) = 0; Ke(2,2) = t5; Ke(2,3) = -t6; Ke(2,4) = -t7; Ke(2,5) = 0;

98

Ke(2,6) = -t5; Ke(2,7) = -t6; Ke(3,1) = -t3; Ke(3,2) = -t6; Ke(3,3) = t11; Ke(3,4) = t12; Ke(3,5) = t3; Ke(3,6) = t6; Ke(3,7) = t13; Ke(4,1) = 0; Ke(4,2) = -t7; Ke(4,3) = t12; Ke(4,4) = 16.D0/3.D0*t8+4.D0/9.D0*t9; Ke(4,5) = 0; Ke(4,6) = t7; Ke(4,7) = t12; Ke(5,1) = -t2; Ke(5,2) = 0; Ke(5,3) = t3; Ke(5,4) = 0; Ke(5,5) = t2; Ke(5,6) = 0; Ke(5,7) = -t3; Ke(6,1) = 0; Ke(6,2) = -t5; Ke(6,3) = t6; Ke(6,4) = t7; Ke(6,5) = 0; Ke(6,6) = t5; Ke(6,7) = t6; Ke(7,1) = t3; Ke(7,2) = -t6; Ke(7,3) = t13; Ke(7,4) = t12; Ke(7,5) = -t3; Ke(7,6) = t6; Ke(7,7) = t11; function [Me]=MeTiCon(L,I11,I12,I22); % computing element mass matrix for % shear constrain hierachcal Timoshenko beam element t1 = L*I11; t2 = t1/3; t3 = I12*L; t4 = t3/3; t5 = t1/6; t6 = t3/6;

99

t7 = L^2; t8 = I11*t7; t9 = t8/24; t10 = t8/90; t12 = I11*t7*L; t13 = t12/120; t14 = I22*L; t15 = t14/3; t16 = t13+t15; t18 = -t13+t14/6; Me(1,1) = t2; Me(1,2) = 0; Me(1,3) = -t4; Me(1,4) = -t4; Me(1,5) = t5; Me(1,6) = 0; Me(1,7) = -t6; Me(2,1) = 0; Me(2,2) = t2; Me(2,3) = -t9; Me(2,4) = t10; Me(2,5) = 0; Me(2,6) = t5; Me(2,7) = t9; Me(3,1) = -t4; Me(3,2) = -t9; Me(3,3) = t16; Me(3,4) = t15; Me(3,5) = -t6; Me(3,6) = -t9; Me(3,7) = t18; Me(4,1) = -t4; Me(4,2) = t10; Me(4,3) = t15; Me(4,4) = 2.D0/945.D0*t12+8.D0/15.D0*t14; Me(4,5) = -t4; Me(4,6) = -t10; Me(4,7) = t15; Me(5,1) = t5; Me(5,2) = 0; Me(5,3) = -t6; Me(5,4) = -t4; Me(5,5) = t2; Me(5,6) = 0; Me(5,7) = -t4; Me(6,1) = 0; Me(6,2) = t5;

100

Me(6,3) = -t9; Me(6,4) = -t10; Me(6,5) = 0; Me(6,6) = t2; Me(6,7) = t9; Me(7,1) = -t6; Me(7,2) = t9; Me(7,3) = t18; Me(7,4) = t15; Me(7,5) = -t4; Me(7,6) = t9; Me(7,7) = t16; function [kT]=kTTiCont(L,NT); % computing stiffness matrix due to temperature rise % of shear constrain hierachcal Timoshenko beam element t2 = NT/L; t3 = NT*L; t4 = t3/12; kT(1,1) = 0; kT(1,2) = 0; kT(1,3) = 0; kT(1,4) = 0; kT(1,5) = 0; kT(1,6) = 0; kT(1,7) = 0; kT(2,1) = 0; kT(2,2) = t2; kT(2,3) = 0; kT(2,4) = 0; kT(2,5) = 0; kT(2,6) = -t2; kT(2,7) = 0; kT(3,1) = 0; kT(3,2) = 0; kT(3,3) = t4; kT(3,4) = 0; kT(3,5) = 0; kT(3,6) = 0; kT(3,7) = -t4; kT(4,1) = 0; kT(4,2) = 0; kT(4,3) = 0; kT(4,4) = 4.D0/45.D0*t3; kT(4,5) = 0;

101

kT(4,6) = 0; kT(4,7) = 0; kT(5,1) = 0; kT(5,2) = 0; kT(5,3) = 0; kT(5,4) = 0; kT(5,5) = 0; kT(5,6) = 0; kT(5,7) = 0; kT(6,1) = 0; kT(6,2) = -t2; kT(6,3) = 0; kT(6,4) = 0; kT(6,5) = 0; kT(6,6) = t2; kT(6,7) = 0; kT(7,1) = 0; kT(7,2) = 0; kT(7,3) = -t4; kT(7,4) = 0; kT(7,5) = 0; kT(7,6) = 0; kT(7,7) = t4;