1

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 1

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA

PROSTORNI NOSAČI

Prof. Mira Petronijević

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 2

*1*2

*12

q

q

q

q

Y

X

q4* q1

*

q5*

q3*

q6*

q2*

q*10

q*12

q*8 q*7

Z

k q*11

q*9i

*1*

* 2

*12

q

q

q

q

Prostorni puni nosači Vektor pomeranja q i q* prostornog štapa

Y

XZ

q4q1

q5

q3q6

q8

q7

q11

q12

kx

i q9

q2

q10

z

y

Lokalni koordinatni sistem Globalni koordinatni sistem

2

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 3

Vektori sila i pomeranja u lokalnom koordinatnom sistemu:

Vektori sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:

R

RR

12

2

1

R

q

qq

12

2

1

q

R

RR

*12

*2

*1

*

R

q

q

q

*12

*2

*1

*

q

Matrica krutosti štapa

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 4

Aksijalno naprezanje: 1,7

Torzija: 4, 10

Savijanje oko z-ose2,6,8,12

Savijanje oko y-ose

3,5,9,112 2

y

3

2 2

12 -6l -12 -6l

EI -6l 4l 6l 2l

-12 6l 12 6ll

-6l 2l 6l 4l

sy

K

1 1EF

1 1la

K

2 2

z3

2 2

12 6l -12 6l

6l 4l -6l 2lEI

-12 -6l 12 -6ll

6l 2l -6l 4l

sz

K

1 1GJ

1 1lt

K

3

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 5

3 2 3 2

3 2 3 2

2 2

2 2

3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 612 120 0 0 0 0 0 0 0

6 612 120 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 64 20 0 0 0 0 0 0 0

6 64 20 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

120 0 0 0

z zz z

y y y y

y y y y

z zz z

z

EF EF

l lEI EIEI EI

l l l lEI EIEI EI

l l l lGJ GJ

l lEI EIEI EI

l ll lEI EIEI EI

l ll lEF EF

l lEI

l

K

2 3 2

3 2 3 2

2 2

2 2

6 6120 0 0 0

6 612 120 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 62 40 0 0 0 0 0 0 0

6 62 40 0 0 0 0 0 0 0

zz z

y y y y

y y y y

z zz z

EI EIEI

l l lEI EIEI EI

l l l lGJ GJ

l lEI EIEI EI

l ll lEI EIEI EI

l ll l

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 6

Transformacija vektora

*iR

z

Ri2

x

y

Ri1

Ri3

i1

i2

i3

* *1 1 1

* *2 2 2

* *3 3 3

cos

cos

cos

i i i i i

i i i i i

i i i i i

R R R

R R R

R R R

i=1,2,3

*iR

X, i=1

4

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 7

*1 11 21 31 1 11 21 31

*2 12 22 32 2 12 22 32

*3 13 23 33 3 13 23 33

cos( , ), cos( , ), cos( , )

, cos( , ), cos( , ), cos( , )

cos( , ), cos( , ), cos( , )

X x Y x Z x

X y Y y Z y

X z Y z Z z

R R

R R

R R

*

*

*

*

* *

- vektor sila u čvoru

- vektor momenata u čvoru

- vektor generalisanih sila u čvoru

,

is is

im im

is is

im im

i i k k

i

i

i

i

R λ R

R λ R

R λ R

R λ R

R t R R t R

λt

λ

R

R

*

*, matrica transformacije

Problem je odrediti !!

i

k k

ij

t tRT

t tR

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 8

Transformacija koordinata

y

Y

Z

xX

l

l

l

Z

22 l

l

x

Y

i

k

Y

Z

X

XY

Z

5

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 9

Određivanje uglova i

22sin

22

cos

22cos l

ZZl

YYl

XX

ik

ik

ik

sin

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 10

Rotacija oko Y ose za ugao

Z

Ry =Ry

R*

X

Y=Y

Rx

Rz

Ry =Ry

Rx

X

Z

Rz

x

6

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 11

Matrica

*

*

*

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

x x

y y

z z

R R

R R

R R

*RR

R R*

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 12

Rotacija oko Z za ugao

Rx

Ry

Z

x =X

X

Y

R*

Rx

Ry

RzRz

Y

7

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 13

Matrica

z

y

x

z

y

x

R

R

R

R

R

R

100

0cossin

0sincos

R R

*RRR

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 14

Određivanje ugla

ppp ZYX r

*rr

r

Z

X

Y

P

XpZp

Yp

tačka u ravni štapa xOy

xy vektor položaja tačke P

u sistemu XZY

ppp ZYX * rvektor položaja tačke Pu sistemu X Z Y

8

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 15

ppp

pppp

pppp

ZXZ

ZYXY

ZYXX

2222

22

22

22

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 16

22cos

pp

p

ZY

Y

22sin

pp

p

ZY

Z

P-tačka u ravni xOy

y

YP

ZP

z

P

Z

Y

9

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 17

Rotacija oko X za ugao

x=X

Rz

y

z

Y

R*

Rx=Rx

Ry

Rz

Ry

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 18

Matrica transformacije

** tRRRRR

z

y

x

z

y

x

R

R

R

R

R

R

cossin0

sincos0

001

R R

10

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 19

Matrica transformacije vektora

t

22

22

22

22

22

22

cossinsin

cossin

sincoscos

sincos

t

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 20

Matrica transformacije za prostorni štap

t

t

t

t

T

11

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 21

Štapovi paralelni sa X odnosno Z – osom

Y, y

X, x

Z, z

0

0

0

i k

90o

0o

0o

X

Z

x

k

i

i

k

Y

X

Z, x

270o

0o

180o

Y

X

Z

x

180o

0o

180ok i

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 22

Štapovi paralelni sa Y osom

Matrica T je singularna – koristi se matrica

( 0, 0)

*R R λ

Y, x

X

Z

0

90

i

k

Y

X

Z

0

270o

k

xi

0 0

cos 0 sin

sin 0 cos

λ cos(Y,x)= ±1

λ

12

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 23

Prostorne rešetke

q,1 1R

Y

y loka

lni

siste

m

q R,2

*q *R

2 , R 2

,q *

3*

R 3

,1 1

*

2

q *

glob

alni

siste

m

q *6 , 6

*R

X

*

*q4 ,

q R*

,5

*4R

5

x

Z* *1 1* *2 2* *

* *3 3* *4 4* *5 5* *6 6

R q

R q

R q

R q

R q

R q

R q

globalni koordinatni sistem

lokalni koordinatni sistem

1 1

2 2

R q

R q

R q

Vektori sila i pomeranja

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 24

Matrica krutosti prostog štapa u lokalnomsistemu

Matrica transformacije za prost štap:

11

11

lEFK

000

000T

13

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 25

gde je:

l

XXx,Xcos ik l

ZZx,Zcos ik

l

YYx,Ycos ik

ZZYYXXl ik2

ik2

ik2

PROSTORNI NOSAČI MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 26

Matrice krutosti

EFˆl

K K T

* T EF

le e

e e

K K

K K

K T K

2

2

2eK