9 [Modo de compatibilidad] - EFA ORETANA | Módulos ... · seno γ= = γy conozco el valor de seno...
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TRIGONOMETRIA
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� Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,
navegación e ingeniería.
� Podemos desarrollar el tema de trigonometría por medio de dos enfoques, éstos son:
– El círculo– El triángulo rectángulo
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Trigonometría
Enfocada por medio del
TRIANGULO RECTANGULO
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Triángulo Rectángulo
Triángulo
hipotenusaγγγγ
Triángulo rectángulo αααα ββββ
catetos
Característica principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900
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Observaciones importantes sobre los triángulos rectángulos.
�Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.
�La suma de los tres ángulos es 1800γγγγ �La suma de los tres ángulos es 180
�La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
�Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2
γγγγ
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� Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;
γγγγ “gamma”; αααα“alpha” ; ββββ “betha”
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� Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.
� Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.
� Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.
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RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO
Relaciones básicas Relaciones recíprocas
opuestoladoseno =γ opuestolado
hipotenusa
senecante ==
γγ 1
cos
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusaseno
=
=
=
γ
γ
γ
tangente
coseno
opuestoladosenγ
adyacentelado
hipotenusa
enoante ==
γγ
cos
1sec
opuestolado
adyacenteladoangente ==
γγ
tan
1cot
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Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo
� Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo γγγγ
γγγγ
Lado adyacente
a “gamma”
Lado opuesto a “gamma
”
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestoladoseno
=
=
=
γ
γ
γ
tangente
coseno
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EJEMPLO 1
4==
opuestoladoγ
5
2591634 22
22
==+=+=
+=
c
c
bac
HIPOTENUSALADEMEDIDA
γγγγ
4
3
51 ==γ
3
4 tangente
5
3 coseno
5
4
= =
= =
==
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestoladoseno
γ
γ
γ4
51cos ==
γγ
senecante
3
5
cos
1sec ==
γγ
enoante
4
3
tan
1cot ==
γγangente
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Continuación EJEMPLO 1
33.13
4 tangente6.0
5
3 coseno8.0
5
4= = == == γγγseno
γγγγ
25.14
5cos ==γecante 67.1
3
5sec ==γante 75.0
4
3cot ==γangente
Podemos utilizar cualquiera de γγγγ
4
3Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la medida del ángulo γγγγVeamos el siguiente ejemplo
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γγγγ
4
3Hallar la medida del ángulo indicado.
La razón seno γγγγ es 0.8 , si necesito hallar la medida de
Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información
que te provea el ejercicio. 8.05
4==γseno
La razón seno γγγγ es 0.8 , si necesito hallar la medida de
γ y conozco el valor de seno γ , la función inversade seno me permite encontrar el valor de γγγγ de la siguiente forma:
)8.0(,8.0 1−== senoentoncessenoSi γγ
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)8.0(
,8.0
1−=
=
seno
entonces
senoSi
γ
γ
CALCULAR LA INVERSA DE SENO
Presenta la respuesta en :
Grados___
Utilizaremos la calculadora
ENTRADA EN LA CALCULADORA
0.8 SEN-1 =
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ENTRADA EN LA CALCULADORA
0.8 SEN-1 =
Pantalla
Grado53.13
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4
3ββββ
Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.
PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para ββββββββ2. Halla el valor de ββββ , en grados utilizando la
relación coseno.
3. Halla el valor de ββββ , en grados utilizando la relación tangente.
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Respuestas -PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para ββββ
75.04
3 tangente
8.05
4 coseno
6.05
3
= =
==
==
β
β
βseno67.1
3
5cos ==βecante
25.14
5sec ==βante
33.13
4cot ==βangente
2. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes, utilizando la relación 2. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno.
87.36
)8.0(1
cos8.05
4 coseno
grados
eno =−==β
3. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.
087.36
)75.0(1
tan;75.04
3 tangente
grados
γβ =−= =
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Compara las relaciones trigonométricas
seno y coseno de γγγγ y ββββ
4
6.05
3==βseno
ββββ = 36.870γγγγ=53.130
3
8.05
4==γseno
8.05
4 coseno ==β6.0
5
3 coseno == γ
La suma de γγγγ y ββββ es 900
Por tanto γγγγ y ββββ son ángulos complementarios.
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SeanSeanSeanSean γγγγ y ββββ dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes
relaciones:
βγβγ
seccsc
cos
== sen
γβγβ
seccsc
cos
== sen
βγβγ
cottan
seccsc
==
γβγβ
cottan
seccsc
==
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Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.
PRACTICA 2
1. Halla el valor de ββββ , en grados.
2
2
3 γγγγββββ
1. Halla el valor de ββββ , en grados.
2. Halla el valor de γγγγ, en grados.
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Respuestas -PRACTICA 2
1. Halla el valor de ββββ , en grados.
11.49
)1547.1(1
tan1547.13
2 tangente
grados
gente =−==β
2. Halla el valor de γγγγ, en grados.En la forma corta tenemos que γγγγ + ββββ= 90,En la forma corta tenemos que γγγγ + ββββ= 90,
Por lo tanto γ= 90 -βγ= 90-49.11=40.89
Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos
89.40
)866(.1
tan866.02
3 tangente
grados
gente =−==β
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Observación
Si conozco dos de los lados de un triángulo rectángulo puedo hallar la
medida de sus ángulos.
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Ejemplo 2
Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo.
4012 es la medida del lado opuesto a 40 grados
12 es la medida del lado adyacente de 50 grados
12
668.186428.
12
126428.
1240
==
=
=
xx
xparadespejamosx
xseno
668.186428.
12
126428.
1250cos
==
=
=
xx
xparadespejamosx
xeno
ó
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PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo
a
30
25b
a
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Respuestas-PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo
30
25b
a
25
5.12)25)(5.0(
2525.0
2530
==
=
=
b
bparadespejamos
b
bseno
65.21)25)(87.0(
2587.0
2530cos
==
=
=
b
bparadespejamos
a
aeno
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3 m
APLICACION
Halla la medida del largo de la escalera como función del ángulo θθθθ tal como se ilustra .
4 mθθθθescalera
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3 m
4 mθθθθescalera
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Obtén los ángulos a y ß
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Para medir la anchura de un río se han medido losángulos de la figura desde dos puntos de una orilla
distantes 160 m. ¿Qué anchura tiene el río?
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