METODE NUMERIK

9. INTEGRASI NUMERIK

TUJUAN

- Mahasiswa memahami arti Integrasi Numerik

- Mahasiswa memahami penggunaan Integrasi Numerik

- Mahasiswa dapat menjelaskan langkah-langkah menghitung Integrasi Numerik

Materi Integrasi Numerik

1. Pengertian Integrasi Numerik2. Metode:

- Metode Trapesium- Metode Trapesium Dengan Banyak

Bias- Metode Simpson- Metode Kuadratur

INTEGRASI NUMERIK Umum

Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk :

(6.1)

Dan merupakan integral suatu fungsi f(x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi

adalah dari x = a dan x = b. Seperti yang ditunjukkan dalam gambar 6.1 dan persamaan 6.1

yang dimaksud dengan integral nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan

sumbu x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam integral analistis, persamaan 6.1 dapat

diselesaikan menjadi :

𝐼= න𝑓ሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥𝑏𝑎

න𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥𝑏𝑎 = ሾ𝐹ሺ𝑥ሻሿ𝑏𝑎 = 𝐹ሺ𝑎ሻ− 𝐹(𝑏)

Integral numerik apabila :

1. Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analistis

2. Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analistis, tetapi secara numerik dalam

bentuk angka.

Metoda integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada

hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan mendekati fungsi yang

diintegralkan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling

sederhana adalah apabila tersedia dua titk data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order

satu yang merupakan garis lurus (linier). Dalam integral numerik, pendekatan tersebut dikenal

dengan metode trapesium.

a b

F1(x)

F(x)

y

x a b c

F(c)

F(x)F(b)

F(a)

y

x

a b

F2(x)F(x)

y

x

Gambar 6.2 metode integrel numerik

Dalam integral numerik, pendekatan tersebut dikenal dengan metode trapesium.

Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luas bidang yang diarsir

(gambar 6.2) sedang kesalahan.nya sama dengan luas bidang yang tidak diarsir.

Apabila hanya terdapat dua data f(a) dan f(b) hanya bisa dibentuk satu trapesium,

dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. Jika tersedia lebih dari dua data dapat

dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium,dan luas total adalah jumlah dari

trapesium-trapesium yang terbentuk. Cara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias.

Seperti terlihat dalam gambar 6.2.b. Dangan tiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas

kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan dari integral fungsi. Hasil

pendekatan ini lebih baik daripaada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih

banyak trapesium hasilnya akan lebih baik.

Metode Trapesium

Metode trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik dengan

persamaan polinominal orde satu. Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x)

digantikan oleh garis lurus.

seperti terlihat dalam gambar 6.2. luasan bidang dibawah fungsi f(x) antara x=a

dan x=b didekati oleh luas satu trapesium yang terbentuk oleh garis lurus yang

menghubungkan f(a) dan f(b) dan sumbu x serta antara x=a dan x=b.pendekatan dilakukan

dengan satu pias (trapesium). Menurut rumus geometri, luas trapesium adalah lebar kali tinggi

rerata, yang berbentuk :

(6.2)𝐼= (𝑏− 𝑎)𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓(𝑏)2

Seperti terlihat dalam gambar 6.3, penggunaan garis lurus untuk mendekati garis

lengkung menyebabkan terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir.

Besarnya kesalahan yang terjadi dapat diperkirakan dari persamaan berikut :

Dengan ξ adalah titik yang terletak didalam interval a dan b.

𝐸= − 112𝑓′′ሺ𝜉ሻ(𝑏− 𝑎) (6.3)

a b

y

x

F(x)

F(a)

F(b)

Gambar 6.3 metode trapesium

Contoh 1

Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung

Penyelesaian

Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analistis :

Hitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (6.2):

𝐼= න𝑒𝑥𝑑𝑥.40

𝐼= න𝑒𝑥𝑑𝑥= ሾ𝑒𝑥ሿ40 = ሺ𝑒4 − 𝑒0ሻ= 53,59815040

𝐼= ሺ𝑏− 𝑎ሻ𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻ2 = ሺ4− 0ሻ𝑒0 + 𝑒42 = 111,1963

Untuk mengutahui tingkat ketelitian dari integral numerik, hasil hitungan numerik

dibandingkan dengan hitungan analistis. Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah

Terlihat bahwa penggunaan metode trapesium satu pias memberikan kesalahan

sangat besar (lebih dari 100%)

ℇ = 53,598150 − 111,196353,598150 × 100% = −107,46%

Metode Trapesium Dengan Banyak Pias

dari contoh 1 terlihat bahwa pendekatan dengan menggunakan satu pias

(trapesium) menimbulkan kesalahan yang sangat besar. Untuk mengurangi kesalahan yang

terjadi maka kurva lengkung didekati oleh sejumlah garis lurus, sehingga terbentuk banyak

pias (gambar 6.4). Luas bidang adalah jumlah dari luas beberapa pias tersebut. Semakin kecil

pias yang digunakan, hasil yang didapat semakin teliti.

Dalam gambar 6.4 panjang tiap pias adalah ∆x. Apabila terdapat n pias, berarti

panjang masing-masing pias adalah :∆𝑥= 𝑏− 𝑎𝑛

x0=a x1 x2 x3 xn-3 xn-2 xn-1 x0=b

y

x

Gambar 6.4. metode trapesium dengan banyak pias

Batas-batas pias diberi notasi :

x0 = a, x1, x2. . . . . . ,xn = b

Integral total dapt ditulis dalam bentuk :

Subtitusi persamaan (6.2) ke dalam persamaan (6.4) akan didapat :

Atau :

Atau :

𝐼= න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥+ න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥+𝑥2𝑥1

𝑥1𝑥0

……………+ න 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥𝑥𝑛𝑥𝑛−1

(6.4)

𝐼= ∆𝑥𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥0)2 + ∆𝑥𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥1)2 + …………+ ∆𝑥𝑓(𝑥𝑛) + 𝑓(𝑥𝑛−1)2

𝐼= ∆𝑥2 [𝑓ሺ𝑥0ሻ+ 2 𝑓ሺ𝑥𝑖ሻ+ 𝑓𝑥𝑛)]𝑛−1𝑖=1

(6.5)

𝐼= ∆𝑥2 [𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻ+ 2 𝑓ሺ𝑥𝑖ሻ]𝑛−1𝑖=1

(6.6)

Besarnya kesalahan yang terjadi pada penggunaan banyak pias adalah :

Yang merupakan kesalahan orde dua. Apabila kesalahan tersebut diperhitungkan dalam

perhitungan integral, maka akan didapat hasil yang lebih teliti.

Bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi adalah :

Untuk kebanyakan fungsi, bentuk dapat didekati oleh :

Subtitusi persamaan (6.9) kedalam persamaan (6.8) didapat :

𝐸𝑡 = −∆𝑥212 ሺ𝑏− 𝑎ሻ𝑓′′(𝑥𝑖) (6.7)

𝐼= ∆𝑥2 [𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻ+ 2 𝑓(𝑥𝑖)] − ∆𝑥212 ሺ𝑏− 𝑎ሻ𝑓′′(𝜉) − 𝑂(∆𝑥4)𝑛−1𝑖=1

𝑓′′(ξ)

𝑓′′ሺξሻ= 𝑓′ሺ𝑏ሻ− 𝑓′(𝑎)𝑏− 𝑎

(6.8)

(6.9)

𝐼= ∆𝑥2 [𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻ+ 2 𝑓(𝑥𝑖)] − ∆𝑥212 [𝑓′ሺ𝑏ሻ− 𝑓′(𝑎)]𝑛−1𝑖=1

(6.10)

Contoh 2

Gunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias adalah ∆x=1 untuk menghitung :

Penyelesaian :

Metode trapesium dengan 4 pias, sehingga panjang pias adalah :

Luas bidang dihitung dengan persamaan (6.6) :

𝐼= න 𝑒𝑥𝑑𝑥40

∆𝑥= (𝑏− 𝑎)𝑛 = (4− 0)4 = 1

𝐼= ∆𝑥2 [𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻ+ 2 𝑓ሺ𝑥𝑖ሻ]𝑛−1𝑖=1

= 12ሾ𝑒0 + 𝑒4 + 2ሺ𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3ሻሿ= 57,991950

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :

Apabila digunakan metode trapesium dengan koreksi ujung, maka integral dihitung dengan

persamaan (6.10). Dalam persamaan tersebut koreksi ujung mengandung turunan pertama dari

fungsi. Apabila f(x) = ex turunan pertamanya adalah f’= ex, sehingga :

= 57,991950 - 4,466513 = 53,525437

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :

𝜀= 53,598150− 57,99195053,598150 × 100% = −8,2%

𝐼= ∆𝑥2 [𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻ+ 2 𝑓(𝑥𝑖)] − ∆𝑥212 [𝑓′ሺ𝑏ሻ− 𝑓′(𝑎)]𝑛−1𝑖=1

= 12ሾ𝑒0 + 𝑒4 + 2ሺ𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3ሻሿ− 112ሺ𝑒4 − 𝑒0ሻ= 57,991950

𝜀= 53,598150 − 53,52543753,598150 × 100% = 0,14%

Metode simpson

Disamping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara

lain untuk mendapatkan perkiraan yang lebihtinggi untuk menghubungkan titik-titik data.

Misalnya, apabila ada suatu titik tambahn diantara f(a) dan f(b), maka ketiga titik dapat

dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 6.5.a). Apabila terdapat dua titik tambahan

dengan jarak yang sama anatara f(a) dan f(b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan

dengan polinomial orde tiga (Gambar 6.5.b). Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah

polinomial tersebut dikenal dengan metode aturan simpson.

a b a b

y y

x x(a) (b)Gambar 6.5. aturan Simpson

Aturan simpson 1/3

Di dalam aturan simpson 1/3 digunakan aturan polinomial orde dua (persamaan

parabola)yang melalui titik f(xi-1) , f(xi) dan f(xi+1) untuk mendekati fungsi. Rumus simpson

dapat diturunkan berdasarkan deret taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.

Apabila bentuk tersebut dideferensialkan terhadap xi akan menjadi :

Dengan memperlihatkan gambar 6.6 dan persamaan (6.12) maka persamaan deret taylor adalah :

𝐼ሺ𝑥ሻ= න𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥𝑥𝑎

𝐼′ሺ𝑥ሻ= 𝑑 𝐼(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝐼(𝑥𝑖+1) = 𝐼ሺ𝑥𝑖 + ∆𝑥ሻ= 𝐼ሺ𝑥𝑖ሻ+ ∆𝑥𝑓ሺ𝑥𝑖ሻ+ ∆𝑥22 𝑓′ሺ𝑥𝑖ሻ+ ∆𝑥33! 𝑓′′ + ∆𝑥44! 𝑓′′′ሺ𝑥𝑖ሻ+ 𝑂(∆𝑥5)

𝐼ሺ𝑥𝑖−1ሻ= 𝐼ሺ𝑥𝑖 − ∆𝑥ሻ= 𝐼ሺ𝑥𝑖ሻ− ∆𝑥𝑓ሺ𝑥𝑖ሻ− ∆𝑥22 𝑓′ሺ𝑥𝑖ሻ− ∆𝑥33! 𝑓′′ − ∆𝑥44! 𝑓′′′ሺ𝑥𝑖ሻ− 𝑂(∆𝑥5)

(6.11)

(6.12)

(6.13)

(6.14)

Seperti terlihat dalam Gambar 6.6 nilai I (xi+1) adalah luasan di bawah fungsi f(x)

anatara batas a dan xi+1. Sedangkan nilai I (xi-1) adalah luasan antara batas a dan xi-1. Dengan

demikian luasan di bawah fungsi antara batas x i-1 dan xi+1 yaitu (Ai ) adalah luasan I (xi+1)

dikurangi I (xi-1) atau persamaan (6.13) dikurangi (6.14).

Ai = I(xi+1) – (xi-1)

Atau

a xi-1 xi xi+1

f(x)

x

f(x)

I(xi-1)I(xi+1)

Gambar 6.6. Penurunan metode simpson

𝐴𝑖 = 2∆𝑥𝑓ሺ𝑥𝑖ሻ+ ∆𝑥33 𝑓′′ሺ𝑥𝑖ሻ+ 𝑂(∆𝑥5)

Nilai f’’(xi) ditulis dalam bentuk differensial terpusat :

Kemudian bentuk di atas disubtitusikan ke dalam persamaan (6.15). Untuk

memudahkan penulisan, selanjutnya notasi f(x i) ditulis dalam bentuk fb sehingga persamaan

(6.15) menjadi :

Atau :

Persamaan (6.16) dikenal dengan metode Simpson 1/3. Diberi tambahan nama 1/3

karena ∆x dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias,

𝑓′′ሺ𝑥𝑖ሻ= 𝑓ሺ𝑥𝑖−1ሻ− 2𝑓ሺ𝑥𝑖ሻ+ 𝑓(𝑥𝑖+1)∆𝑥2 + 𝑂(∆𝑥2)

𝐴𝑖 = 2∆𝑥𝑓𝑖 + ∆𝑥3 (𝑓𝑖−1 − 2𝑓𝑖 + 𝑓𝑖+1) + ∆𝑥33 𝑂ሺ∆𝑥2ሻ+ 𝑂(∆𝑥5)

𝐴𝑖 = ∆𝑥3 ሺ𝑓𝑖−1 + 4𝑓𝑖 + 𝑓𝑖+1ሻ+ 𝑂(∆x5) (6.16)

∆𝑥= 𝑏− 𝑎2

Sehingga persamaan (6.16) dapat ditulis dalam bentuk :

Dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b

Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah :

Oleh karena , maka :

𝐴𝑖 = 𝑏− 𝑎6 [𝑓ሺ𝑎ሻ+ 4𝑓ሺ𝑐ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻ]

𝐸𝑡 = − 190∆𝑥5𝑓′′′′ (ξ)

∆𝑥= 𝑏− 𝑎2

𝐸𝑡 = −(𝑏− 𝑎)52880 𝑓′′′′ (ξ)

Contoh 3

Hitung dengan aturan simpson 1/3

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persmaan (6.17) maka luas bidang adalah :

Kesalahan terhadap nilai eksak :

Terlihat bahwa pada pemakaian satu pias, metode Simpson 1/3 memberikan hasil

lebih baik dari rumus trapesium.

𝐼= න𝑒𝑥𝑑𝑥.40

𝐴𝑖 = 𝑏− 𝑎6 ሾ𝑓ሺ𝑎ሻ+ 4𝑓ሺ𝑐ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻሿ= 4− 06 ሺ𝑒0 + 4𝑒2 + 𝑒4ሻ= 56,7696

𝐸𝑡 = 53,598150 − 56769653,598150 × 100% = 5,917%

Aturan Simpson 1/3 dengan banyak pias

Seperti dalam metode trapesium, metode simpson dapat diberikan dengan

membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama :

Dengan n adalah jumlah pias.

∆𝑥= 𝑏− 𝑎𝑛

a 1 2 3 4 5 n-1 b

A1 A3 A5 An-1

f(x)

x

f(x)

Gambar 6.7. MetodeSimpson dengan banyak pias

Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti terlihat dalam gambar 6.7

Dalam metode simpson ini jumlah interval adalah genap. Apabila persamaan (6.16)

disubtitusikan ke dalam persamaan (6.18) akan diperoleh :

Atau :

Seperti terlihat dalam gambar (6.7) dalam penggunaan metode simpson dengan

banyak pias ini jumlah interval adalah genap. Dalam persamaan (6.19) suku 4∑f(x i) adalah

untuk nilai i ganjil (i=1,3,5,....), sedang 2∑f(xi) adalah untuk nilai i genap (i=2,4,6,....).

Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan simpson untuk banyak pias adalah :

න𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥= 𝐴1 + 𝐴3 + ………+ 𝐴𝑛−1𝑏

𝑎 (6.18)

න𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥= ∆𝑥3 ሺ𝑓0 + 4𝑓1 + 𝑓2ሻ+ ∆𝑥3 (𝑓2 + 4𝑓3 + 𝑓4 + ………+ ∆𝑥3 (𝑓𝑛−2 + 4𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛)𝑏𝑎

න𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥= ∆𝑥3 [𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓ሺ𝑏ሻ+ 4 𝑓ሺ𝑥𝑖ሻ+ 2 𝑓(𝑥𝑖)]𝑛−2𝑖=2

𝑛−1𝑖=1

𝑏𝑎

𝐸𝑎 = −(𝑏− 𝑎)5180𝑛4 𝑓′′′′

Dengan f’’’’ adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.

Contoh 4

Hitung dengan metode Simpson dengan ∆x=1

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan (6.19) maka luas bidang adalah :

Kesalahan nilai eksak :

න𝑒𝑥𝑑𝑥40

𝐼= 13ሾ𝑒0 + 𝑒4 + 4ሺ𝑒1 + 𝑒3ሻ+ 2𝑒2ሿ= 53,863846

𝐸𝑡 = 53,598150 − 53,86384653,598150 × 100% = 0,5%

Metode Simpson 3/8

Metode simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial orde tiga yang

mempunyaiempat titik

Dengan cara yang sama seperti dalam penurunan aturan simpson 1/3, akhirnya diperoleh :

Dengan :

Persamaan (6.20) disebut dengan metode Simpson 3/8 karena ∆x dikalikan dengan 3/8.

metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk :

𝐼= න𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥≈ න𝑓3ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥𝑏𝑎

𝑏𝑎

𝐼= 3∆𝑥8 [𝑓ሺ𝑥0ሻ+ 3𝑓ሺ𝑥1ሻ+ 3𝑓ሺ𝑥2ሻ+ 𝑓ሺ𝑥3ሻ]

∆𝑥= 𝑏− 𝑎3

𝐼= (𝑏− 𝑎) [𝑓ሺ𝑥0ሻ+ 3𝑓ሺ𝑥1ሻ+ 3𝑓ሺ𝑥2ሻ+ 𝑓(𝑥3)8

(6.20)

(6.21)

Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar :

Mengingat , maka :

Contoh 5

Dengan aturan simpson 3/8 hitung . Hitung integral tersebut dengan menggunakan

gabungan dari metode simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan lima pias dengan ∆x=0,8

Penyelesaian :

a. Metode simpson 3/8 dengan satu pias.

Intgral dihitung dengan persamaan (6.21) :

𝐸𝑡 = − 380∆𝑥3𝑓′′′′ (ξ)

∆𝑥= 𝑏− 𝑎3

𝐸𝑡 = −(𝑏− 𝑎)56480 𝑓′′′′ (ξ)

(6.22.a)

(6.22.b)

න𝑒𝑥𝑑𝑥40

𝐼= ሺ4− 0ሻ(𝑒0 + 3𝑒1,3333 + 3𝑒2,6667 + 𝑒4)8 = 55,07798

Besarnya kesalahan adalah :

b. Apabila digunakan lima pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah :

Integral untuk dua pias pertama dihitung dengan metode simpson 1/3 (persamaan 6.17)

Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8 :

Integral total adalah jumlah dari kedua hasil di atas :

ℇ = 53,598150 − 55,0779853,598150 × 100% = −2,761%

𝑓ሺ0ሻ= 𝑒0 = 1 𝑓ሺ0,8ሻ= 𝑒0,8 = 2,22554 𝑓ሺ1,6ሻ= 𝑒1,6 = 4,95303

𝑓ሺ2,4ሻ= 𝑒2,4 = 11,02318

𝑓ሺ3,2ሻ= 𝑒3,2 = 24,53253 𝑓ሺ4ሻ= 𝑒4 = 54,59815

𝐼= 1,66 ሺ1+ 4× 2,22554 + 4,95303ሻ= 3,96138

𝐼= 2,4(4,95303 + 3× 11,02318 + 3× 24,53253 + 54,59815)8 = 49,865549

ℇ = 53,598150 − 53,82687353,59815 × 100% = −0,427

Integral dengan panjang pias tidak sama

Di dalam praktek sering dijumpai suatu keadaan dimana diperlukan pembagian

pias dengan panjang tidak sama, seperti terlihat dalam gambar6.8. pada kurva yang

melengkung dengan tajam diperlukan jumlah pias yang lebih banyak sehingga panjang pias

lebih kecil dibanding dengan pada kurva yang relatif datar.

Gambar 6.8. Integral dengan panjang pias tidak sama

X0 X1 X2 Xn

y

x

Diantara beberapa aturan yang telah dibicarakan, yang digunakan untuk keadaan

ini adalah metode trapesium dengan banyak pias, dan bentuk persamaannya adalah :

dengan :

Metode Kuadratur

Dimana dalam metode trapesium dan simpson, fungsi yang diintegralkan secara

numerik terdiri dari dua bentuk yaitu tabel data atau fungsi. Didalam metode kuadratur,

terutama yang akan dibahas dalam sub bab ini adalah metode Gauss Kuadatur, data yang

diberikan berupa fungsi.

Pada aturan trapesium dan simpson, integral didasarkan pada nilai-nilai diujung-

ujung pias. Seperti tampak dalam Gambar 6.9.a. Metode trapesium didasarkan pada luasan

dibawah garis lurus yang menggambarkan nilai-nilai dari fungsi pada ujung-ujung interval

integrasi. Rumus yang digunakan untuk menghitung luasan adalah :

𝐼=∆𝑥1𝑓ሺ𝑥1ሻ+𝑓(𝑥0)2 +∆𝑥2𝑓ሺ𝑥2ሻ+𝑓(𝑥1)2 + ………..+∆𝑥𝑛 ሺ𝑥𝑛ሻ+ (𝑥𝑛−1)2

∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−𝑥𝑖 − 1

𝐼= (𝑏− 𝑎) 𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑓(𝑏)2 (6.24)

(6.23)

Dengan a dan b adalah batasan integrasi dan (b-a) adalah lebar dari interval integrasi. Karena

metode trapesium harus melalui titik-titik ujung, maka seperti terlihat dalam gambar 6.9.a.

Rumus trapesium memberikan kesalahan cukup besar.

Dalam metode trapesium, persamaan integral seperti diberikan oleh persamaan (6.24) dapat

ditulis dalam bentuk :

dengan c adalah konstanta. Dari persamaan tersebut akan dicari koefisien c1 dan c2

(a) (b)

f(x) f(x)

x x

Gambar 6.9. bentuk grafis metode trapesium dan Gauss Kuadratur

𝐼= 𝑐1𝑓ሺ𝑎ሻ+ 𝑐2𝑓(𝑏) (6.25)

Seperti halnya dengan metode trapesium, dalam metode gauss kuadratur juga akan dicari

koefisien-koefisien dari persamaan yang berbentuk :

Dalam hal ini variabel x1 dan x2 adalah tidak tetap, dan akan dicari, seperti terlihat dalam

Gambar 6.10

𝐼= 𝑐1𝑓ሺ𝑥1ሻ+ 𝑐2𝑓(𝑥2) (6.26)

f(x1)

f(x)f(x2)

-1 x1 x2 1

𝑓ሺ𝑥ሻ= 𝑥3:𝑐1𝑓ሺ𝑥1ሻ+ 𝑐2)𝑓ሺ𝑥2ሻ= න𝑥3𝑑𝑥= 0 = 𝑐1𝑥13 + 𝑐2𝑥231

−1

𝑓ሺ𝑥ሻ= 𝑥2:𝑐1𝑓ሺ𝑥1ሻ+ 𝑐2)𝑓ሺ𝑥2ሻ= න𝑥2𝑑𝑥= 23 = 𝑐1𝑥12 + 𝑐2𝑥221

−1

Sehingga didapat sistem persamaan :

𝑓ሺ𝑥ሻ= 𝑥:𝑐1𝑓ሺ𝑥1ሻ+ 𝑐2)𝑓ሺ𝑥2ሻ= න𝑥𝑑𝑥= 0 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥21

−1

𝑓ሺ𝑥ሻ= 1:𝑐1𝑓ሺ𝑥1ሻ+ 𝑐2)𝑓ሺ𝑥2ሻ= න𝑥𝑑𝑥= 2 = 𝑐1 + 𝑐21

−1

𝑐1𝑥13 + 𝑐2𝑥23 = 0 𝑐1𝑥12 + 𝑐2𝑥22 = 23 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 = 0 𝑐1 + 𝑐2 = 2