Distribución normal

La variable aleatoria X tiene una distribución normal con parámetros µ y σ2 (σ2 > 0) si su función de densidad de probabilidad es

2121( )

2

x

f x e−µ⎛ ⎞− ⎜ ⎟σ⎝ ⎠=

σ π ; x ∈ IR

Se denota X ~ N (µ, σ2) y se lee que la variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros µ y σ2.

Media ( ) µµ == XE

Varianza ( ) 22 σσ == XV

La función de densidad de una variable normal tiene forma de campana y es simétrica, por lo que las medidas de tendencia central coinciden.

El rango de la variable aleatoria normal es el conjunto de los números reales. Ejemplos de gráficas de distribuciones normales con diferentes medias y varianzas.

Distribución normal con media 15 y desviación estándar 1

0.00.10.10.20.20.30.30.40.40.5

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Distribución normal con media 15 y desviación estándar 0,5

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Distribución normal con media 15 y desviación estándar 1,8

0.0

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Áreas bajo la curva normal

Propiedad de la distribución normal

Sea X ~ N(µ, σ2), si Y = mX + b, entonces, Y ~ N(µY, σY2)

µY = m µ + b σY

2 = m2 σ2 σY = |m| σ

Estandarización de una variable normal

Sea X ~ N(µ,σ2), si σµ−

=XZ entonces la variable aleatoria Z tiene distribución normal y se

cumple µZ = 0 y σZ2 = 1. Se dice que la variable Z ~ N(0,1) tiene distribución normal estándar.

La función de densidad de Z se denota 𝜑(𝑧) La función de distribución acumulada de Z se denota: Φ 𝑧 = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧)

Cálculo de probabilidades para una variable normal Sea X ~ N(µ, σ2), entonces:

( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤≤

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤

−≤

−=≤≤

σµ

σµ

σµ

σµ

σµ

σµ

σµ

ab

bZaPbXaPbXaP

Ejemplo 1 Si ( )1,0 2 == σµNZ ~

Calcule P(Z < 1,25), P(Z < -1,25), P(-1,25 < Z < 1,25), P(Z > 2,16), P(Z < 4), P(Z = 2,05) Determine c para que P(Z < c) = 0,975 Determine c para que P(-c < Z < c) = 0,95

Ejemplo 2 Si ( )25,10 2 == σµN~X

Calcule )47,7( ≤XP , )45,12( ≥XP , )128( ≤≤ XP , ( )911 >< XXP

Determine c para que P(X < c) = 0,7549 Ejemplo 3 Si los puntajes de los postulantes en un examen de ingreso se distribuyen como una variable aleatoria normal con una media de 1 200 y una desviación estándar de 300 puntos. a. Encontrar la probabilidad de que el puntaje de un postulante sea de por lo menos 1 300. b. Si ingresa el 12,3 % de los postulantes con puntajes más altos, hallar el puntaje mínimo

para ingresar.

Solución

Definamos la variable aleatoria X := puntaje de un postulante. µ = 1 200, σ = 300, σ2 = 3002 → X ~ N(1 200, 3002)

a. La probabilidad pedida es

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −<

−−=<−=≥

σµ

σµ 30011300113001 XPXPXP

= ( ) ( ) 3707,033,0133,01300

2001300130020011 =Φ−=<−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −<

−− ZPXP

b. Sea k el puntaje mínimo para ingresar. Se tiene 123,0)( =≥ kXP , luego

877,0)( =< kXP . Estandarizando tendremos que

877,03002001

3002001

3002001

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −<=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −<

− kZPkXP

De lo cual, se tiene que 877,03002001

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φk

En la tabla N(0, 1) observamos que ,8770,0)16,1( =Φ luego 16,13002001

=−k , de donde k =

1 548. Ejemplo 4 En una ciudad se estima que la temperatura máxima en un día del mes de enero puede modelarse con una variable normal con media 30°C y desviación estándar 2°C. a. Si se escoge al azar un día del mes de enero, calcule la probabilidad de que la temperatura

máxima sea menor a 31°C. b. Si se escoge al azar un día del mes de enero, calcule la probabilidad de que la temperatura

máxima esté entre 28,5 y 32°C. Ejemplo 5 Una compañía ha comprado una prueba para seleccionar personal. Los que han diseñado la prueba saben que las notas siguen una distribución normal con una media de 75 puntos y una desviación estándar de 10 puntos. Calcule la probabilidad de que una persona que rinda esta prueba obtenga una nota superior a 90 puntos.

Propiedad reproductiva de la normal

Sean X e Y dos variables aleatorias normales e independientes, tales que ( )2, XXNX σµ~ e

( )2,~ YYNY σµ , c1 y c2 constantes reales, entonces se cumple que:

( )222

2212121 , YXYX ccccNYcXcW σσµµ +++= ~

Esta propiedad se puede generalizar para la suma de más variables normales

independientes.

Si Xi ~ N(µ, σ2) (i = 1, 2,…, n) son variables aleatorias independientes, entonces la

variable ( )∑=

=n

ii nnNXS

1

2,~ σµ

Ejemplo 6 Sean X ~ N(5, 6) e Y ~ N(4, 10) variables aleatorias independientes, calcular la distribución de las siguientes variables: W = X + Y, W = X – Y, W = 2X +Y, W = 4X - 5Y Ejemplo 7 El peso de un adulto peruano puede modelarse con una variable aleatoria normal. El peso medio para los varones es de 72 kilos y de 64 kilos para las mujeres, mientras que sus desviaciones estándar fueron de 8 kilos y 4 kilos respectivamente. a. Si se elige, al azar, a un hombre y una mujer, calcular la probabilidad de que la mujer

pese más que el hombre. b. Si se elige a dos hombres y a dos mujeres, calcular la probabilidad de que la suma total de

pesos supere los 260 kilos.

Teorema central del límite Si n variables aleatorias independientes X1, X2, X3,...Xn tienen la misma distribución de probabilidad con media µ y varianza σ2, entonces para la variable aleatoria S = X1 + X2 + X3 +...+ Xn se tiene:

Media ( ) µnSE =

Varianza ( ) 2σnSV =

S tiende a seguir una distribución normal a medida que n crece. Se considera aproximadamente una distribución normal si n ≥ 30.

Del Teorema Central del Límite se deduce que, a medida que crece el tamaño de la muestra n, la distribución muestral de la media X se acerca a la normal, independientemente de la distribución de la población de origen de los datos de la muestra.

Ejemplo 8 La cantidad de mango que exporta una empresa mensualmente es una variable con una media de 25 toneladas y una desviación estándar de 4 toneladas. Encontrar la probabilidad de que la cantidad exportada en tres años sea menor a 920 toneladas. Asuma independencia entre las cantidades mensuales exportadas. Ejemplo 9 Los ingresos por factura en un restaurante pueden modelarse con una variable aleatoria de media 84 soles y desviación estándar 12 soles. ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos totales por 100 facturas elegidas al azar sean de más de 8650 soles?

Aplicaciones del Teorema Central del Límite

Si n variables aleatorias independientes X1, X2, X3,...Xn tienen la misma distribución de probabilidad, con media µ y varianza σ2, entonces la distribución de la variable aleatoria

Media Muestral: 𝑋 = !!

𝑋!!!!! se puede aproximar por una distribución 𝑁(𝜇, !

!

!)

siempre y cuando n ≥ 30. La distribución de una variable aleatoria X ~ B(n, p) se puede aproximar por una

distribución N(np, np(1-p)) siempre y cuando n ≥ 30. La aproximación es buena si, además, se verifica que np > 5 y n(1-p) > 5.

Sea X ~ B(n, p), entonces la distribución de la variable aleatoria Proporción Muestral:

𝑃 = !!

se puede aproximar por una distribución 𝑁(𝑝, !(!!!)!

) siempre y cuando n ≥ 30.

Ejemplo 10 El peso de los pasajeros que abordan un ómnibus de transporte interprovincial tiene una media de 60 kilogramos y una desviación estándar de 19 kilogramos. Si se sabe que los 72 asientos de pasajeros están ocupados, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio de los pasajeros supere los 65 kilogramos? Ejemplo 11 Por un estudio previo se estima que la probabilidad de que un elector vote por la elección del candidato oficialista es del 25%. Si 1000 electores son entrevistados uno por uno de manera independiente, encontrar la probabilidad de que por lo menos 275 de ellos voten por el candidato oficialista. Ejemplo 12 El porcentaje de los clientes de una tienda por departamentos que paga con la tarjeta de crédito de la tienda es 72%. Si se toma una muestra aleatoria de 250 clientes, calcule la probabilidad de que menos de 75% de los clientes de la muestra paguen con tarjeta de crédito.