9-10.Μικροκύματα Ι&ΙΙ

9-10. Οπτική Μικροκυμάτων Ι & ΙΙ

Σελίδα 1. Σκοπός των ασκήσεων ............................................................................................ 1 2. Στοιχεία θεωρίας ..................................................................................................... 1 2.1 Δημιουργία, διάδοση και ανίχνευση μικροκυμάτων ............................................... 1 2.2 Διάθλαση μικροκυμάτων ........................................................................................ 2 2.3 Πόλωση μικροκυμάτων ........................................................................................... 3 2.4 Συμβολή μικροκυμάτων & προσδιορισμός του μήκους κύματός τους .................. 4 2.4.1 Συμβολή δύο τρεχόντων κυμάτων: Συμβολόμετρο Michelson ........................................... 4 2.4.2 Συμβολή πολλαπλών δεσμών: Συμβολόμετρο Fabry-Perot ............................................... 5 2.5 Περίθλαση μικροκυμάτων σε κρυστάλλους ........................................................... 6 2.5.1 Κρυσταλλικά συστήματα και επίπεδα ................................................................................. 6 2.5.2 Περίθλαση Bragg ............................................................................................................... 8 3. Πειραματική διάταξη .............................................................................................. 9 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων .............................................. 10 4.1 Εξάρτηση της έντασης από την απόσταση πομπού-δέκτη ................................... 10 4.2 Εξάρτηση της έντασης από τη διεύθυνση διάδοσης ............................................. 11 4.3 Διάθλαση μικροκυμάτων: Προσδιορισμός δείκτη διάθλασης στυρίνης ............... 11 4.4 Μελέτη πόλωσης μικροκυμάτων χωρίς μεταλλικό πολωτή ................................ 12 4.5 Μελέτη πόλωσης μικροκυμάτων με μεταλλικό πολωτή ...................................... 13 4.6 Προσδιορισμός μήκους κύματος μικροκυμάτων με συμβολόμετρο Michelson . 13 4.7 Προσδιορισμός μήκους κύματος μικροκυμάτων με συμβολόμετρο Fabry-Perot 14 4.8 Περίθλαση μικροκυμάτων σε κρυστάλλους ........................................................ 14 5. Βιβλιογραφία. ......................................................................................................... 16

Οπτική Μικροκυμάτων Ι & ΙΙ 1/16

Οπτική Μικροκυμάτων Ι & ΙΙ 1. Σκοπός των ασκήσεων. Στα πειράματα αυτών των ασκήσεων θα ασχοληθείτε πάλι με ηλεκτρομαγνητικά κύματα αλλά στην μικροκυματική περιοχή. Η γνωριμία σας με τις πηγές και ανιχνευτές μικροκυμάτων του εργαστηρί-ου θα ξεκινήσει με το χαρακτηρισμό τους όσον αφορά τη διάδοση, γωνιακή κατανομή και πόλωσή τους. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όσον αφορά την πόλωση έχει η χρήση μεταλλικού διχροϊκού πολωτή. Τέτοιου είδους πολωτές έχετε ξανασυναντήσει στις ασκήσεις της πόλωσης του φωτός (πολωτικά φύλλα Polaroid) αλλά εδώ, λόγω του μεγάλου, μακροσκοπικού, μήκους κύματος των μικροκυμά-των ο αντίστοιχος πολωτής έχει και αυτός μακροσκοπικές διαστάσεις, οπότε η αρχή λειτουργίας του μπορεί να γίνει ευκολότερα κατανοητή. Στη συνέχεια θα μελετηθεί η διάθλαση των μικροκυ-μάτων και θα βρεθεί ο δείκτης διάθλασης της στυρίνης. Τέλος, πάλι επωφελούμενοι του μεγάλου μήκους κύματος των μικροκυμάτων, θα εξοικειωθείτε με τα κλασικά συμβολόμετρα Michelson και Fabry-Perot των οποίων η χρήση με ορατό φως1 είναι κάπως απαιτητικότερη, καθώς και με την πε-ρίθλαση Bragg από “κρυσταλλική” δομή. Αυτό το τελευταίο πείραμα θα σας φέρει σε επαφή με κλασσικές μεθόδους χαρακτηρισμού κρυσταλλικών υλικών ως προς τα κρυσταλλογραφικά τους επίπεδα, μέθοδοι που τυπικά εφαρμόζονται με τη χρήση ακτίνων Χ. 2. Στοιχεία θεωρίας. 2.1 Δημιουργία, διάδοση και ανίχνευση μικροκυμάτων.

Τα μικροκύματα (ΜΚ) είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα (ΗΜ) όπως και το φως αλλά με μήκος κύματος 0.1 cm < λ < 30 cm, με αντίστοιχες συχνότητες 109 Hz < ν < 1011 Hz και ταχύτητα μετάδοσης στο κενό (ή και κατά πολύ καλή προσέγγιση και στον αέρα) cο=3×108 m/s. Γενικά τα μικροκύματα έχουν μεγάλη διαπερατότητα σε κτήρια, νερό και αέρα και αξιοποιούνται για τη με-ταφορά πληροφορίας στις τηλεπικοινωνίες (ραδιοφωνία, ασύρματη και κινητή τηλεφωνία, δορυφο-ρική τηλεπικοινωνία, Radar και αστρονομία). Τα μικροκύματα μεταφέρονται με ορθογώνιους με-ταλλικούς κυματοδηγούς που έχουν πολύ μικρές απώλειες. Η εξάρτηση της έντασης από την από-σταση πομπού-δέκτη, I=F(R), και η εξάρτησή της από την διεύθυνση διάδοσης, I=F(θ), εξαρτώνται από τον τρόπο που εξέρχεται το ΗΜ κύμα από τον κυματοδηγό. Η ανοικτή οπή ενός κυματοδηγού εκπέμπει ως κεραία με περιορισμένη κατευθυντικότητα ενώ η προθήκη μεταλλικής χοάνης μεγι-στοποιεί την κατευθυντικότητα τους (σχήμα 1(γ)).

Η ακτινοβολούμενη ένταση ιδανικής σημειακής πηγής ΗΜ κυμάτων (σχήμα 1(α)) που εκπέμπει προς όλες τις κατευθύνσεις ομοιόμορφα και σε ισότροπο μέσο διάδοσης, χωρίς απώλειες, ακολου-θεί το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου

1 Η μελέτη των συμβολομέτρων Michelson και Fabry-Perot με ορατό φως μπορεί να πραγματοποιηθεί στο μάθημα επι-λογής των Εργαστηρίων Νεώτερης Φυσικής.

Σχήμα 1.

I Rβ β=-2

I Rβ -1>β>-2

(α) (β)

I Rβ -1>β>-2

(γ)


2

2

R

CERI (1)

όπου Ε είναι το ηλεκτρικό πεδίο, R η απόσταση του εκάστοτε σημείου από τη πηγή και C μια στα-θερά. Η απόκλιση λοιπόν από την αναμενόμενη εξάρτηση ΙR-2 είναι ένδειξη ότι τουλάχιστον μία από τις παραπάνω παραδοχές ή υποθέσεις δεν ισχύει. Πράγματι, οι πομποί και οι δέκτες μικροκυ-μάτων αποτελούνται συνήθως από κρυσταλλοδιόδους ορθογώνιου σχήματος που περιβάλλονται από κατάλληλη κοιλότητα συντονισμού και εμφανίζουν μη-γραμμική αντίσταση. Ο συγκεκριμένος πομπός του εργαστηρίου εκπέμπει μονοχρωματική (σύμφωνη) ΗΜ ακτινοβολία, με μήκος κύματος λ= 2.86 cm και συχνότητα 10.525 GHz. Η ακτινοβολία παρουσιάζει έντονη κατευθυντικότητα λό-γο της ύπαρξης κυματοδηγού-χοάνης (σχήμα 1(γ)). Σε σχετικά μικρές αποστάσεις τα εκπεμπόμενα ΗΜ κύματα μπορούν να χαρακτηριστούν ως σφαιρικά, ενώ σε μεγάλες αποστάσεις ως σχεδόν επί-πεδα. Προσεγγιστικά, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η δέσμη προέρχεται από σημειακή πηγή, της οποίας όμως το ενεργό κέντρο τοποθετείται στο εσωτερικό της χοάνης και σε απόσταση ~5 cm από το άκρο εξόδου της. Είναι αξιοσημείωτο ότι λόγω της μη-γραμμικής απόκρισης του δέκτη, το σήμα του, έστω Μ, για χαμηλές εντάσεις ΜΚ (μικρά πλάτη Ε) είναι ανάλογο της έντασης της ακτινοβολίας Ι Μ Ι, για μικρά πλάτη Ε (2α) ενώ στην αντίθετη περίπτωση επέρχεται κορεσμός και είναι χονδρικά ανάλογη της έντασης του η-λεκτρικού πεδίου Ε, Μ Ι1/2, για μεγάλα πλάτη Ε. (2β) Τα παραπάνω έχουν ως αποτέλεσμα το σήμα λήψης να μην ακολουθεί επακριβώς το νόμο του α-ντίστροφου τετραγώνου (1) (ακόμη και όταν αυτός ισχύει) αλλά ένα νόμο της μορφής Μ Rβ, β<0 όπου το β αποκλίνει από τη τιμή β=–2 για την ιδανική πηγή, συνήθως δε βρίσκεται μεταξύ των ο-ρίων 1≤|β|≤2. Μάλιστα η τιμή του β μπορεί να αλλάζει με την απόσταση. Για το λόγο αυτό ενδεί-κνυται οι μετρήσεις σας να πραγματοποιούνται σε σχετικά μεγάλες αποστάσεις R μεταξύ πομπού και δέκτη. 2.2 Διάθλαση μικροκυμάτων.

Το φαινόμενο της διάθλασης έχει μελετηθεί ήδη για το φως στην άσκηση της Ανάκλασης & Διάθλασης του Φωτός. Εδώ θα σημειώσουμε α-πλώς ότι ο νόμος του Snell ισχύει το ίδιο καλά και στη μικροκυματική πε-ριοχή και ότι μπορούμε εύκολα να με-τρήσουμε το δείκτη διάθλασης διαφό-ρων υλικών (τα οποία μάλιστα μπορεί να είναι αδιαφανή για το ορατό φως) στη φασματική περιοχή των μικροκυ-μάτων. Παρουσιάζουμε εδώ την συ-γκεκριμένη μέθοδο που θα χρησιμοποιήσετε στα πειράματά σας. Έστω λοιπόν ότι nα και nυ είναι οι δείκτες διάθλασης του αέρα και του υλικού του πρίσματος θλαστικής γωνίας Α του σχήματος 2. Έστω επίσης ότι το πρίσμα είναι ορθογώνιο και ότι τα μικροκύματα προσπίπτουν κάθετα στη μία από τις πλευρές του (μηδενική γωνία πρόσπτωσης). Σύμφωνα με το νόμο της διάθλασης η πορεία τους δεν θα μεταβληθεί κατά την είσοδο στο πρίσμα. Θα διαθλαστούν όμως κατά την έξοδό τους από αυτό, δηλαδή στην μεσεπιφάνεια υλικού-αέρα στην υποτείνουσα του πρίσματος. Όπως μπορεί να αποδειχθεί γεωμετρικά πολύ εύκολα, η γωνία πρόσπτωσης στην επιφάνεια αυτή θα είναι ίση με τη θλαστική γωνία Α, δηλαδή θπ=Α. Η γωνία διάθλασης δίνεται από το νόμο του Snell, nυsinθπ = nasinθδ. Επειδή όμως θδ = θπ + ε = Α + ε (σχήμα 2), όπου ε η γωνία εκτροπής (όχι η ελάχιστη) και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι na≈1 τελικά έχουμε,

θπ=Α

nυ

nα

θδ

Σχήμα 2.

Α nα

θπ

ε

Πομπός

Δέκτης


Asin

Asin

sin

sin

n . ( 3)

Συνεπώς, μπορούμε να βρούμε το δείκτη διάθλασης του υλικού του πρίσματος εάν είναι γνωστές η θλαστική γωνία Α και η γωνία εκτροπής ε για τη συγκεκριμένη γεωμετρία εισόδου των μικροκυμά-των στο πρίσμα. 2.3 Πόλωση μικροκυμάτων.

Η ακτινοβολία που εκπέμπεται από τους πομπούς που περιγράφηκαν παραπάνω είναι γραμμικά πολωμένη (βλέπε ασκήσεις Πόλωσης του Φωτός Ι & ΙΙ) κατά τη διεύθυνση του άξονα της κρυσταλοδιόδου του πομπού ενώ οι (πανομοιότυπες) κρυσταλλοδίοδοι λήψης ενεργοποιούνται μόνο από την συνιστώσα του προσπίπτοντος ηλεκτρικού πεδίου του ΗΜ κύματος που είναι παράλ-ληλη με τον άξονά τους. Για το λόγο αυτό τόσο ο πομπός όσο και ο δέκτης λειτουργούν και ως γραμμικοί πολωτές. Υποθέστε ότι ο δέκτης βρίσκεται ακριβώς απέναντι από τον πομπό. Εάν ο άξο-νας της κρυσταλοδιόδου του δέκτη είναι στραμμένος σε σχέση με αυτόν του πομπού κατά γωνία θ τότε ισχύει ο νόμος του Malus, Ι=Ιοcos2θ, όπου Ιο η ένταση των μικροκυμάτων που προσπίπτουν στον δέκτη. Η συμπεριφορά του σήματος Μ από τη γωνία θ όμως θα εξαρτηθεί επιπλέον από το εάν ισχύει η σχέση (2α) (οπότε Μ cos2θ) ή η σχέση (2β) (οπότε Μ |cosθ|). Τη συμπεριφορά αυ-τή θα τη διερευνήσετε πειραματικά. Σε ένα άλλο πείραμα που αφορά την πόλωση θα χρησιμοποιήσετε το μεταλλικό πολωτή τους σχήμα-τος 3. Αποτελείται από μεταλλικό φύλλο που φέρει παράλληλα ανοίγματα σε σχήμα μακρόστενων ορ-θογώνιων λωρίδων. Το ηλεκτρικό πεδίο προσπίπτο-ντος ΗΜ κύματος θέτει σε ταλάντωση τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του μετάλλου. Αυτά ταλαντώνονται ε-λεύθερα κατά τη διεύθυνση των λωρίδων απορρο-φώντας την ΗΜ ενέργεια. Κάθετα στη διεύθυνση αυτή όμως η ταλάντωσή τους περιορίζεται από το μικρό πάχος των λωρίδων, οπότε και η απορρόφη-ση ΗΜ ενέργειας είναι αμελητέα. Συνεπώς έχουμε επιλεκτική απορρόφηση της ακτινοβολίας ανάλογα με τη διεύθυνση του επιπέδου πόλωσης του προσπίπτοντος κύματος, δηλαδή το φαινόμενο του διχροϊσμού. Για προσπίπτον κύμα του οποίου το επίπεδο πόλωσης σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα διέλευσης του πολωτή (ο οποίος είναι κάθε-τος στη διεύθυνση των λωρίδων) αναλύουμε το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου σε δύο συνι-στώσες, μία παράλληλη Ε║ και μία κάθετη Ε στις λωρίδες. Η παράλληλη συνιστώσα απορροφάται εξ’ ολοκλήρου ενώ η κάθετη ελάχιστα. Η ένταση μετά τον πολωτή δίνεται και εδώ από το νόμο του Malus, Ι=Ιοcos2θ. Σημειώνουμε ακόμη ότι η απόσταση μεταξύ των λωρίδων και το πλάτος τους πρέπει να είναι μικρότερο του μήκους κύματος για την αποφυγή φαινομένων περίθλασης. Η λει-τουργία του πολωτή αυτού είναι εντελώς ανάλογη με αυτή των πολωτικών φύλλων Polaroid για το ορατό φως, μόνο που εκεί το ρόλο των λωρίδων αναλαμβάνουν τα πολυμερή.

Στα πειράματα θα τοποθετήσετε τον παραπάνω μεταλλικό πολωτή μεταξύ του πομπού και του δέκτη. Το σύστημα αυτό ισοδυναμεί με σύστημα τριών γραμμικών πολωτών (σχήμα 4) με το οποίο έχετε ήδη εξοικειωθεί από τις ασκήσεις Πόλωσης του Φωτός Ι & ΙΙ. Σε αυτές κρατήσατε ακίνητους τους δύο πρώτους πολωτές και πε-ριστρέψατε τον τρίτο (αναλυτή). Εδώ θα εργαστείτε κά-πως διαφορετικά, δηλαδή θα περιστρέφετε ταυτόχρονα και προς την ίδια κατεύθυνση και γωνία τόσο τον πομπό όσο και το δέκτη (εντελώς ισοδύναμο εί-ναι να περιστρέφεται μόνο ο μεταλλικός πολωτής με ακίνητους τους πομπό και δέκτη αλλά η πει-

Άξονας διέλευσης

Ε

Σχήμα 3. Ε║

Εο

Ε

θ

Σχήμα 4.

Π1 Π2

θ

Π3

θ

Π ΜΚ

Δ ΜΚ


ραματική διάταξη δεν το επιτρέπει). Η γωνία θ στο σχήμα 4 σχηματίζεται από τους (παράλληλους) άξονες διέλευσης του πομπού και δέκτη και τον άξονα του μεταλλικού πολωτή. Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί με διπλή εφαρμογή του νόμου του Malus ότι η ένταση στο δέκτη γράφεται, Ι cos4θ. (4) Το σήμα Μ του δέκτη λοιπόν θα είναι είτε ανάλογο του cos4θ (εάν ισχύει η (2α)) είτε ανάλογο του cos2θ (εάν ισχύει η (2β)). Θα διερευνήσετε πειραματικά και αυτή τη συμπεριφορά. 2.4 Συμβολή μικροκυμάτων & προσδιορισμός του μήκους κύματός τους. 2.4.1 Συμβολή δύο τρεχόντων κυμάτων: Συμβολόμετρο Michelson.

Θεωρήστε δύο σύμφωνα, επίπεδα και μονοχρωματικά ηλεκτρομαγνητικά κύματα ίδιας συ-χνότητας με παράλληλα επίπεδα πόλωσης (εάν τα επίπεδα πόλωσης είναι κάθετα μεταξύ τους τα κύματα δεν μπορούν να συμβάλλουν). Τα ηλεκτρικά πεδία των κυμάτων γράφονται, tEE iii coso , i=1, 2 (5)

όπου οι φάσεις ψi είναι ανεξάρτητες του χρόνου αλλά εξαρτώνται από τις χωρικές συντεταγμένες

(πχ ψi= rki ). Έστω ότι σε κάποιο σημείο του χώρου τα δύο κύματα συνυπάρχουν. Αποδεικνύεται

τότε ότι η ένταση του συνολικού πεδίου γράφεται ως

cos2 2/1212112 IIIII (6)

όπου Ιi |Εio|2 και Δφ η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων η οποία, λόγω της ίδιας συχνότητάς

τους, είναι ίση με ψ2-ψ1 και συνεπώς και αυτή ανεξάρτητη του χρόνου. Αν και εδώ υποθέσαμε επί-πεδα κύματα η σχέση (6) ισχύει για οποιοδήποτε τύπο κυμάτων. Προβλέπει δε μέγιστη ένταση (ε-νισχυτική συμβολή)

212121max 2 /IIIII για Δφ = 2nπ, n=0,1,2,… (7α)

και ελάχιστη ένταση (αποσβεστική συμβολή)

212121min 2 /IIIII για Δφ =(2n+1)π, n=0,1,2,… (7β)

Εάν οι επιμέρους εντάσεις είναι ίσες (Ι1=Ι2=Ιο) τότε έχουμε Ιmax = 4Ιο και Ιmin = 0. Η εισαγωγή δια-φοράς φάσης μεταξύ των δύο κυμάτων μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους π.χ. μέσω της διαφο-ράς γεωμετρικού δρόμου ή την παρεμβολή διαφανών υλικών στη διαδρομή του ενός από τα δύο κύματα (διαφορά οπτικού δρόμου) ή απλώς και μόνο μέσω της διαφορετικής κατεύθυνσης διάδο-σης των κυμάτων.

Ένα παράδειγμα εισαγωγής διαφοράς φάσης μέσω της διαφοράς γεωμετρικού δρόμου α-ποτελεί η διπλή σχισμή (συμβολόμετρο Young) που χρησιμοποιήσατε στην άσκηση της Συμβολής & Περίθλασης του Φωτός Ι & ΙΙ. Στην περίπτωση αυτή το πεπερασμένο εύρος των σχισμών είχε ως αποτέλεσμα την εμφάνιση και του παράγοντα περίθλασης και την παρατήρηση του συνδυασμού συμβολής-περίθλασης. Εδώ θα γνωρίσετε έναν άλλο τύπο συμβολομέτρου του οποίου οι κροσσοί είναι αποτέλεσμα μόνον της συμβολής. Πρόκειται για το συμβολόμετρο Michelson που φαίνεται στο σχήμα 5. Η δέσμη των μικροκυμάτων του πομπού προσπίπτει στο διαχωριστή δέσμης (ή ημια-νακλαστήρα) δ όπου χωρίζεται σε δύο περίπου ίσα μέρη. Το ένα μέρος διαδίδεται προς το επίπεδο κάτοπτρο Μ1, προσπίπτει κάθετα σε αυτό, ανακλάται και επιστρέφει στο διαχωριστή. Συνεπώς, δι-ανύει απόσταση 2l1 (σχήμα 5). Το άλλο μέρος διαδίδεται προς το κάτοπτρο Μ2 και φτάνει στο δια-χωριστή έχοντας διανύσει απόσταση 2l2. Μέρος των κυμάτων που επέστρεψαν οδεύουν προς το δέκτη, διανύοντας κάποια κοινή απόσταση. Είναι φανερό ότι η διαφορά γεωμετρικού δρόμου είναι ίση με Δlγ=2|l2- l1|. (8α) Εάν το πείραμα εκτελείται στο κενό ή στον αέρα τότε η διαφορά γεωμετρικού δρόμου συμπίπτει με τη διαφορά οπτικού δρόμου Δlo=2na|l2- l1|. (8β) Στη γενικότερη περίπτωση η διαφορά φάσης που οφείλεται στη διαφορά Δlo γράφεται,


λ

2 ol

. (9)

Εάν λοιπόν κρατήσουμε ακίνητο το ένα κάτο-πτρο και μετακινήσουμε το άλλο (το Μ1 στο σχήμα 5), ο δέκτης θα καταγράψει διαδοχικά μέγιστα και ελάχιστα. Οι θέσεις του Μ1 μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων απέχουν απόσταση λ/2 (αντίστοιχα και για τα ελάχιστα). Μπορού-με να χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω για να μετρήσουμε το μήκος κύματος των μικροκυμά-των. Έστω ότι όταν το κάτοπτρο Μ1 βρίσκεται αρχικά σε απόσταση l1 παρατηρούμε μέγιστο στο δέκτη. Στη συνέχεια το μετακινούμε κατά απόσταση x, τέτοια ώστε στο δέκτη να παρα-τηρούμε πάλι μέγιστο. Οι διαφορές φάσεων στις δύο αυτές θέσεις γράφονται (θεωρώντας l2>l1)

112 2

λ

221

nll

l

(10α)

212 2

λ

221

nxll

xl

(10β)

όπου οι ακέραιοι n1,2 μας είναι άγνωστοι. Αφαιρώντας τις σχέσεις (10α,β) κατά μέλη έχουμε:

121212 2

λ

22nn

xllll

→ nnn

x 12λ

2

οπότε

n

x2λ . (11)

Το μήκος κύματος λοιπόν προσδιορίζεται από τη μέτρηση της απόστασης x κατά την οποία μετακι-νήθηκε το κάτοπτρο και του αριθμού εμφάνισης μέγιστων ενδείξεων στο δέκτη κατά τη μετακίνη-ση αυτή, n = n2 - n1. 2.4.2 Συμβολή πολλαπλών δεσμών: Συμβολόμετρο Fabry-Perot.

Θεωρήστε τη διάταξη του σχήματος 6. Η δέσμη μικροκυμάτων του πομπού συναντά τον ημιανακλα-στήρα δ1 και ένα μέρος της τον διαπερ-νά συνεχίζοντας την πορεία του προς ένα δεύτερο πανομοιότυπο ημιανακλα-στήρα δ2. Στο σημείο αυτό η δέσμη δια-χωρίζεται πάλι σε δύο μέρη, όπου το ένα οδεύει προς το δέκτη και το άλλο επιστρέφει στον δ1. Στο χώρο μεταξύ των δύο ημιανακλα-στήρων έχουμε διαδοχικές μερικές ανακλάσεις ενώ ένα μέρος της εκάστοτε προσπίπτουσας δέσμης περνά έξω από το χώρο αυτό, οδεύοντας είτε προς τον πομπό είτε προς το δέκτη. Η συνολικά ανα-κλώμενη και συνολικά διερχόμενη δέσμη αποτελούνται λοιπόν από ένα μεγάλο αριθμό τρεχόντων κυμάτων που συμβάλουν. Ας επικεντρώσουμε την προσοχή μας στη διερχόμενη δέσμη που ανι-χνεύεται από το δέκτη. Σε αυτή, κύματα που προέρχονται από διαδοχικές διελεύσεις από τον ημια-νακλαστήρα δ2 έχουν διαφορά γεωμετρικού δρόμου ίση με το διπλάσιο της απόστασης d μεταξύ των ημιανακλαστήρων (στο σχήμα 6 για να γίνουν κατανοητά τα παραπάνω οι ανακλώμενες και διερχόμενες δέσμες έχουν σχεδιαστεί υπό γωνία, θα θεωρήσουμε όμως εδώ ότι η γωνία αυτή είναι μηδενική). Είναι δηλαδή η διαφορά ενός «πήγαινε-έλα». Όπως και πριν, εάν το πείραμα εκτελείται

Σχήμα 5.

δ

nα

x

Δ

l2

Π

l1

M1

M2

Σχήμα 6.

δ1

x

Π

d

Δ

δ2


στο κενό ή στον αέρα τότε η διαφορά γεωμετρικού δρόμου συμπίπτει με τη διαφορά οπτικού δρό-μου 2nad. Συνεπώς, η διαφορά φάσης μεταξύ δύο διαδοχικά διερχόμενων δεσμών είναι ίση με

λ

22 dn . (12)

Για να βρούμε την ένταση της συνολικής διερχόμενης δέσμης πρέπει να αθροίσουμε τις συνεισφο-ρές των επιμέρους κυμάτων, λαμβάνοντας υπ’ όψη τις μεταξύ τους διαφορές φάσης και τα διαφο-ρετικά πλάτη τους (όσο μεγαλύτερος ο αριθμός ανακλάσεων που έχει υποστεί μία δέσμη πριν από την έξοδο, τόσο μικρότερο το πλάτος της αφού η ανάκλαση είναι μερική). Αποδεικνύεται ότι η έ-νταση αυτή γράφεται ως εξής (σχέση Airy),

/2sin1

12max

F

II (13)

ενώ υπάρχει και αντίστοιχη σχέση για την συνολικά ανακλώμενη δέσμη. Ο παράγοντας F ονομάζε-ται “παράγοντας λεπτότητας (finesse)” και εξαρτάται από το ποσοστό ανακλαστικότητας των δ1 και δ2. Όσο μεγαλύτερη η τιμή του ποσοστού αυτού τόσο μεγαλύτερος ο F και τόσο οξύτεροι οι κροσ-σοί συμβολής που παρατηρούμε. Εάν, Δφ = 2nπ, n=0,1,2,…, παρατηρούμε μέγιστα έντασης Ι=Ιmax (14α) ενώ εάν Δφ =(2n+1)π, n=0,1,2,…, παρατηρούμε ελάχιστα έντασης Ι=Ιmax/(1+ F). (14β) Η διάταξη του σχήματος 6 ονομάζεται συμβολόμετρο Fabry-Perot. Γενικά, η συμβολή πολλαπλών δεσμών μπορεί να μελετηθεί είτε με την συνολικά ανακλώμενη δέσμη είτε με τη συνολικά διερχό-μενη, που, αξίζει να σημειωθεί, αποτελούνται από τρέχοντα κύματα. Αντίθετα, στο χώρο μεταξύ των δύο ημιανακλαστήρων δημιουργούνται στάσιμα κύματα που προέρχονται από τη συνύπαρξη-συμβολή κυμάτων που οδεύουν προς αντίθετες κατευθύνσεις (ιδέ Στοιχεία Θεωρίας της άσκησης Ακουστικής Υπερήχων).

Μπορούμε και με αυτό το συμβολόμετρο να μετρήσουμε το μήκος κύματος των μικροκυ-μάτων. Έστω λοιπόν ότι όταν οι ημιανακλαστήρες απέχουν απόσταση d παρατηρούμε μέγιστο στο δέκτη. Στη συνέχεια μετακινούμε τον δ2 κατά απόσταση x, τέτοια ώστε στο δέκτη να παρατηρούμε πάλι μέγιστο. Οι διαφορές φάσεων στις δύο αυτές θέσεις γράφονται

12λ

22n

dd (15α)

22λ

22n

xdxd

(15β)

όπου και πάλι οι ακέραιοι n1,2 μας είναι άγνωστοι. Αφαιρώντας τις σχέσεις (15α,β) κατά μέλη κα-ταλήγουμε στη σχέση (11) όπως και στο συμβολόμετρο Michelson. 2.5 Περίθλαση μικροκυμάτων σε κρυστάλλους. 2.5.1 Κρυσταλλικά συστήματα και επίπεδα.

Τα μικροκύματα είναι διεισδυτικά σε στέρεα σώματα και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παρατήρηση περίθλασης από τρισδιάστατα κρυσταλλικά (κρυσταλλογραφικά) πλέγματα των οποίων οι διαστάσεις είναι συγκρίσιμες με το μήκος κύματός τους (με το ίδιο τρόπο που οι α-κτίνες Χ χρησιμοποιούνται για το χαρακτηρισμό κρυσταλλικών δομών διαστάσεων μερικών Å). Για την καλύτερη κατανόηση των σχετικών πειραμάτων που θα εκτελέσετε, θα δοθεί εδώ μια περι-ληπτική ανασκόπηση των κρυσταλλικών συστημάτων. Οι κρυσταλλικές δομές είναι πλέγματα ατό-μων με περιοδικές διατάξεις. Η μικρότερη μονάδα του πλέγματος λέγεται Μοναδιαία ή Θεμελιώδης Κυψελίδα που επαναλαμβάνεται περιοδικά για να δημιουργήσει τον κρύσταλλο. Στην κρυσταλλο-γραφία υπάρχουν 7 διαφορετικοί τύποι μοναδιαίων κυψελίδων που δίδουν ισάριθμα κρυσταλλο-γραφικά συστήματα και 14 περιπτώσεις κρυσταλλικών πλεγμάτων. Κάθε κρυσταλλογραφικό σύ-


στημα προσδιορίζεται από: (i) τα σταθερά μήκη των πλευρών της μοναδιαίας κυψελίδας a, b, c σε αντιστοίχους κρυσταλλογραφι-κούς άξονες Οx, Οy, Οz. (ii) τις σταθερές γωνίες α, β, γ που σχη-ματίζουν οι άξονες αυτοί μεταξύ τους. Να σημειωθεί ότι το σύ-στημα κρυσταλλογραφικών αξόνων Oxyz δεν πρέπει να συγχέεται με το σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων. Στο σχήμα 7, που αναφέρεται στο λεγόμενο τετραγωνικό πλέγμα (a=bc και α=β=γ=90ο), τα δύο συστήματα απλώς τυχαίνει να συμπίπτουν. Τέλος, η επανάληψη της μοναδιαίας κυψελίδας μπορεί να πραγ-ματοποιηθεί με διάφορους τρόπους, όπως περιστροφή (rotation), κατοπτρισμό (reflection), στροφοκατοπτρισμό (reflection-rotation) και αναστροφή (inversion).

Η θέση και ο προσανατολισμός ενός κρυσταλλογραφικού επιπέδου διερχόμενου από συ-γκεκριμένα σημεία του κρυστάλλου προσδιορίζεται από τα σημεία τομής του με τους τρεις κρυ-σταλλογραφικούς άξονες. Για το χαρακτηρισμό του επιπέδου χρησιμοποιούνται οι λεγόμενοι δεί-κτες Miller που είναι τρεις ακέραιοι αριθμοί h, k και l. Ο συμβολισμός (hkl) αναφέρεται σε επί-πεδο που τέμνει τη μοναδιαία κυψελίδα στα σημεία a/h, b/k και c/l στους άξονες Ox, Oy και Oz αντίστοιχα. Εάν το επίπεδο δεν τέμνει κάποιο άξονα (ή τον «τέμνει» στο άπειρο), ο αντίστοιχος δείκτης Miller είναι 0. Στο δισδιάστατο σχήμα 8 απεικονίζονται έξι ομάδες κρυσταλλικών επιπέδων για το λεγόμενο κυβικό πλέγμα (a = b = c και α = β = γ = 90ο) το οποίο θα χρησιμοποιήσετε στην παρούσα άσκηση.

Σχήμα 8.

d100

120 (5)

230 (6)

y

x

310 (4) 210 (3) 100 (1) 110 (2)

z

d110

d210 d310

d120

d230

Η αρίθμηση των επιπέδων στις παρενθέσεις αναφέρεται στην αντίστοιχη αρίθμηση του πίνακα 1 όπου συνοψίζονται τα στοιχεία τους. Τα μήκη τομών είναι κατάλληλα πολλαπλασιασμένα ώστε να εμφανίζονται ως ελάχιστοι ακέραιοι.

Πίνακας 1. Κυβικό πλέγμα: a = b = c, α = β = γ = 90ο

Α/Α Μήκη τομών Δείκτες

Miller a b c 1 1 ∞ ∞ 1 0 0 2 1 1 ∞ 1 1 0 3 1 2 ∞ 2 1 0 4 1 3 ∞ 3 1 0 5 2 1 ∞ 1 2 0 6 3 2 ∞ 2 3 0

Σχήμα 7.

x

y

z

a b

c

Ο

α β

γ


Τέλος, ο συναφής συμβολισμός {hkl} αναφέρεται στις οικογένειες παράλληλων μεταξύ τους επι-πέδων. Σημαντική παράμετρος των οικογενειών {hkl} είναι η κάθετη ή ελάχιστη απόσταση μεταξύ γειτονικών κρυσταλλικών επιπέδων (hkl), dhkl, που δίνεται από τη σχέση,

2

2

2

2

2

2

1d

c

l

b

k

a

hhkl

. (17)

Είναι εύκολο να διαπιστώσετε ότι για το κυβικό πλέγμα και το κρυσταλλικό επίπεδο (100) έχουμε

d100=a ενώ για το επίπεδο (110) βρίσκουμε ότι d110=a/ 2 . 2.5.2 Περίθλαση Bragg.

Όταν ένα μονοχρωματικό ΗΜ κύμα διέρχεται από ένα κρυσταλλικό πλέγμα και το μήκος κύματός του είναι συγκρίσιμο με τις αποστάσεις του πλέγματος a, b και c, παρατηρείται έντονη πε-ρίθλαση της ακτινοβολίας σε συγκεκριμένες κατευθύνσεις. Η πρώτη παρατήρηση έγινε με ακτίνες Χ από τους πατέρα και γιο Bragg (βραβείο Nobel 1915) το 1913, που υποστήριξαν ότι τα κρυσταλ-λικά επίπεδα (hkl) ανακλούν την ΗΜ ακτινοβολία ως επίπεδα κάτοπτρα και ότι τα επιμέρους ανα-κλώμενα κύματα μπορούν να συμβάλλουν ενισχυτικά μόνο σε αυτές τις κατευθύνσεις. Το φαινόμε-νο αυτό ονομάσθηκε ανάκλαση ή περίθλαση Bragg.

Σχήμα 9.

d100

Δl= hklBragghkl sind2

φ φ

θBragg θBragg

Έστω λοιπόν ότι παράλληλη, μονοχρωματική δέσμη ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων προ-

σπίπτει στον κρύσταλλο υπό συγκεκριμένη γωνία πρόσπτωσης φ (σχήμα 9). Για ιστορικούς λόγους η λεγόμενη γωνία Bragg, θBragg, ορίζεται ως η συμπληρωματική της γωνίας πρόσπτωσης θBragg = 90ο – φ (18) Για κάθε συγκεκριμένο κρυσταλλικό επίπεδο ενισχυτική συμβολή μεταξύ των ανακλώμενων κυμά-των θα έχουμε για συγκεκριμένες μόνο γωνίες για τις οποίες η διαφορά δρόμου Δl μεταξύ δύο δια-δοχικά ανακλώμενων κυμάτων θα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος. Συνεπώς, με τη βοήθεια του σχήματος 9, η συνθήκη Bragg γράφεται, λsind2 mhkl

m,Bragghkl , m = 0,1,2... . (19)

Στην άσκηση αυτή θα διερευνήσετε την περίθλαση Bragg από τα δύο επίπεδα (100) και (110) του κυβικού πλέγματος. Για το πλέγμα που θα χρησιμοποιήσετε ισχύει a=b=c=3.85 cm, και από την (17) βρίσκουμε d100 = 3.85 cm και d110 = 2.72 cm. Για το επίπεδο (100) έχουμε,

1001

100

1001 d2

λsin ,Bragg,Bragg =21.7ο

και 100

2100

1002 d2

λ2sin ,Bragg,Bragg =47.8ο.


Για m>2, 1sin 100 m,Bragg και συνεπώς μεγαλύτερες τάξεις δεν υφίστανται. Τέλος για το επίπεδο

(110) έχουμε, 110

1110

1101 d2

λsin ,Bragg,Bragg =31.6ο

και για τον ίδιο λόγο όπως και παραπάνω δεν έχουμε τάξεις περίθλασης για m>1. 3. Πειραματική διάταξη.

Πριν ξεκινήσετε οποιοδήποτε πείραμα πρέπει να λάβετε υπ’ όψη σας τα ακόλουθα: Δεν πρέπει να εκτίθεστε απευθείας στα μικροκύματα καθώς η ισχύς τους(~15 mW) μπορεί

να είναι επικίνδυνη και ιδιαίτερα εάν υπάρχουν ιατρικές ηλεκτρονικές συσκευές (βηματο-δότες). Φοιτητές με αυτού του είδους τις συσκευές πρέπει να ειδοποιήσουν τον διδάσκοντα.

Σε όλες τις μετρήσεις πρέπει να αποφεύγετε τις μετακινήσεις που δεν είναι απαραίτητες για την ελαχιστοποίηση των ανακλάσεων.

Μεταξύ πομπού και δέκτη δημιουργούνται στάσιμα κύματα λόγω ανακλάσεων (ιδέ Στοι-χεία Θεωρίας της άσκησης Ακουστικής Υπερήχων). Πρέπει να μεριμνήσετε ώστε η παρου-σία τους να μην επηρεάσει τις μετρήσεις σας (στα πειράματα που επηρεάζονται περισσότε-ρο θα υπάρχει παρακάτω ειδική υπενθύμιση).

Στο σχήμα (10α) φαίνεται ο πομπός και στο (10β) ο δέκτης των μικροκυμάτων. Αποτε-

λούνται από την μεταλλική χοάνη, που κατευθύνει τη δέσμη μικροκυμάτων, και από το «σώμα» που περιέχει τις κρυσταλλοδιόδους και τα ηλεκτρονικά. Η ευαισθησία του δέκτη μπορεί να μετα-βάλλεται μέσω περιστροφικού επιλογέα και η ένδειξή του διαβάζεται στο ενσωματωμένο γαλβανό-μετρο. Χρειάζεται προσοχή στην ανάγνωση της ένδειξης που πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την κλίμακα της μέτρησης (πχ ένδειξη 1 mΑ στην κλίμακα 30 είναι 1 mΑ(×30) = 30 mΑ). Σε κάθε πεί-ραμα η εκάστοτε κλίμακα πρέπει να επιλέγεται ανάλογα με το μέγεθος του σήματος.

(α) Πομπός

(β) ΔέκτηςΣχήμα 10.

Επιλογέας ευαισθησίας

Γαλβανόμετρο

Πολλαπλασιαστής κλίμακας

Σχήμα 11.

Γωνιακός μεταφορέας με ενσωματωμένη κλίμακα


Λόγο της συγκεκριμένης γεωμετρίας της χοάνης, το ενεργό σημείο παραγωγής και ανί-χνευσης των μικροκυμάτων δεν βρίσκεται στις κρυσταλλοδιόδους, αλλά στο εσωτερικό της χοάνης και σε απόσταση ~5 cm από το άκρο εξόδου της. Πομπός και δέκτης μπορούν να περιστρέφονται γύρω από οριζόντιο άξονα συμμετρίας. Η γωνία περιστροφής διαβάζεται από την κλίμακα του εν-σωματωμένου γωνιακού μεταφορέα. Η κρυσταλλοδίοδος του πομπού εκπέμπει γραμμικά πολωμένα κύματα με το επίπεδο πόλωσης να είναι κατακόρυφο όταν η ένδειξη στην κλίμακα γωνιών είναι ίση με 0ο/360ο μοίρες. Αντίστοιχες παρατηρήσεις ισχύουν και για το δέκτη.

Οι πομπός, δέκτης και τα άλλα στοιχεία της διάταξης τοποθετούνται σε ειδική ράγα που αποτελείται από δύο στελέχη ενωμένα με γωνιομετρικό κύκλο. Τα δύο στελέχη λοιπόν μπορούν να περιστρέφονται το ένα σε σχέση με το άλλο γύρω από κατακόρυφο άξονα (σχήμα 11). Περισσότε-ρες πληροφορίες θα δίνονται στο εκάστοτε παρακάτω πείραμα. 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων.

Από τα πειράματα που ακολουθούν οι παράγραφοι 4.1-4.5 αναφέρονται στις εργαστηρια-κές ασκήσεις της Οπτικής Μικροκυμάτων Ι ενώ οι 4.6-4.8 στις εργαστηριακές ασκήσεις της Οπτι-κής Μικροκυμάτων ΙΙ. 4.1 Εξάρτηση της έντασης από την απόσταση πομπού-δέκτη. Σε αυτό το πείραμα θα καταγρα-φεί η ένδειξη του δέκτη ως συ-νάρτηση της απόστασης πομπού-δέκτη. Καθώς μεταβάλλεται η α-πόσταση αυτή θα παρατηρήσετε αυξομείωση του πλάτους του δέ-κτη λόγω ανακλάσεων και επακό-λουθης δημιουργίας στασίμων κυμάτων. Για το λόγο αυτό φρο-ντίστε ώστε όλες οι μετρήσεις σας να πραγματοποιηθούν σε αποστά-σεις που αντιστοιχούν σε μέγιστες ενδείξεις (όχι απαραίτητα ίσες με-ταξύ τους). Επίσης, για να αποφύ-γετε όσο το δυνατόν κορεσμό του δέκτη (σχέση (2β)) επιλέξτε σχετικά μεγάλες αποστάσεις. Η πειραματική διάταξη δίδεται στο σχή-μα 12. Ακολουθήστε τα εξής βήματα: 1. Επιλέξτε κάποια απόσταση πομπού-δέκτη R (έξοδοι χοανών) που αντιστοιχεί σε τοπικά μέγιστη ένδειξη του δέκτη (λόγω στασίμων κυμάτων). 2. Μετρήστε την ένδειξη Μ του δέκτη. 3. Επαναλάβατε τα βήματα 1-2 για αρκετές αποστάσεις Ri (imax~9). Συγκεντρώστε τις μετρήσεις Ri και Μi σε πίνακα. 4. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές Ri και Μi, να περιέχει και τις τιμές Ri,ενεργό = Ri+ 5 + 5 = Ri + 10 cm. Κατασκευάστε τη γραφική πα-ράσταση Μi = F(Ri,ενεργό) (log-log-χαρτί) που αναμένουμε να είναι ευθεία της μορφής ΜRβ, β<0. Προσδιορίστε την κλίση β της ευθείας αυτής. Συγκρίνετε της κλίση που βρήκατε με την τιμή που αντιστοιχεί σε σφαιρικό κύμα βσ = –2 και σχολιάστε τα αποτελέσματά σας λαμβάνοντας υπ’ όψη τις σχέσεις (2α,β).

Σχήμα 12.5 cm

R

Rενεργό

Πομπός

5 cm

Δέκτης


4.2 Εξάρτηση της έντασης από τη διεύθυνση διάδοσης.

Σε αυτό το πείραμα θα μελετηθεί η γωνιακή κατανομή της δέσμης των μικροκυμάτων. Η πειραματική διάταξη απεικονίζεται στο σχήμα 13. Η έξοδος της χοάνης του πομπού πρέπει να το-ποθετηθεί στο κέντρο του γωνιομετρικού κύκλου. Λόγω της δημιουργίας στασίμων κυμάτων πρέ-πει και εδώ οι μετρήσεις σας να πραγματοποιηθούν σε γωνίες του στελέχους της ράγας του δέκτη ως προς αυτό του πομπού που αντιστοιχούν σε μέγιστες ενδείξεις. Ακολουθήστε τα εξής βήματα: 1. Με τον πομπό τοποθετημένο σε γωνία θ=0ο τοποθετήστε τον δέκτη στην μέγιστη δυνατή από-σταση από αυτόν. 2. Επιλέξτε κάποια γωνία θ στην περιοχή -70ο<θ <+70ο που αντιστοιχεί σε τοπικά μέγιστη ένδειξη του δέκτη. 3. Μετρήστε την ένδειξη Μ του δέκτη. 4. Επαναλάβατε τα βήματα 1-2 με γωνίες θi που δια-φέρουν κατά ~5ο. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις θi και Μi σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι κατα-σκευάστε τη γραφική παράσταση Μi = F(θi) (πολικό-χαρτί που θα προμηθευτείτε από το εργαστήριο). Εκτιμήστε το γωνιακό εύρος της δέσμης (όπου η έν-δειξη εκατέρωθεν της γωνίας θ=0ο έχει μειωθεί στο μισό του μεγίστου). Σχολιάστε την καμπύλη. 4.3 Διάθλαση Μικροκυμάτων: Προσδιορισμός δείκτη διάθλασης στυρίνης.

Εδώ θα προσδιορίσετε το δείκτη διάθλασης της στυρίνης (αναμενόμενη τιμή nσ=1.30) χρησιμοποιώντας ένα ορθογώνιο πρίσμα, κατασκευασμένο από φελιζόλ με δείκτη διάθλασης nφελιζόλ≈1, που το γεμίζετε με κόκκους στυρίνης. Θα χρησιμοποιήσετε τη μεθοδολογία που αναπτύ-χθηκε στα στοιχεία θεωρίας (ιδέ 2.2). Πριν τοποθετήσετε στυρίνη πρέπει να βεβαιωθείτε για τα ε-ξής: (ι) Το πρίσμα πρέπει να είναι τοποθετημένο στην περιστρεφόμενη τράπεζα κατά τέτοιο τρόπο ώστε το κέντρο περιστροφής του συστήματος να συμπίπτει με το μέσον της υποτείνουσας, στην εσωτερική επιφάνεια του πρίσματος (σχήμα 14(β)). (ιι) Η προσπίπτουσα δέσμη μικροκυμάτων εί-ναι κάθετη στην μια ορθογώνια πλευρά του πρίσματος. Για να το επιτύχετε, φέρετε σε επαφή τη χοάνη του πομπού με αυτή την πλευρά (σχήμα 14(γ)). Αφού βρείτε το σημείο, καρφιτσώστε το πρίσμα στη βάση. (ιιι) Σε αυτή τη θέση, και για να βρείτε τη θλαστική γωνία του πρίσματος, περι-στρέψτε το στέλεχος της ράγας του δέκτη ώστε αυτός να έλθει σε επαφή με την υποτείνουσα (σχή-μα 14(γ)).

Σχήμα 14.

Πομπός

Δέκτης

Κέντρο περιστροφής

90ο

(α)

Α

nσ

περιστρεφόμενη τράπεζα

κέντρο περιστροφής

περιστρεφόμενη τράπεζα

ε ε

(β)

Π

Δ Α

(γ)

Σχήμα 13.

Πομπός

θ

Δέκτης

Κέντρο περιστροφής


Η γωνία κατά την οποία περιστράφηκε ο δέκτης είναι ίση με Α (δικαιολογήστε το) και μπορεί να διαβαστεί στο γωνιομετρικό κύκλο. Εναλλακτικά (ή επιπρόσθετα), χαράξτε το αποτύπωμα του πρί-σματος σε ένα χαρτί και μετρείστε την Α με μοιρογνωμόνιο. Τώρα γεμίστε το πρίσμα με στυρίνη και ακολουθήστε τα εξής βήματα. 1. Απομακρύνετε τον πομπό και το δέκτη από το πρίσμα και σε μεγάλη σχετικά απόσταση (σχήμα 14(α)). Φέρτε το δέκτη απέναντι από το πομπό (μηδενική μεταξύ τους γωνία). 2. Από αυτή τη θέση, περιστρέψτε αργά το στέλεχος της ράγας του δέκτη προς την κατεύθυνση που αναμένετε τη διαθλώμενη δέσμη μέχρι να έχετε μέγιστη ένδειξη. Καταγράψτε τη γωνία στροφής από τον γωνιομετρικό κύκλο. Η γωνία αυτή είναι η θλαστική γωνία ε. 3. Επαναλάβατε το βήμα 2 αρκετές φορές (τουλάχιστον τρεις φορές για κάθε μέλος της ομάδας). Συγκεντρώστε σε πίνακα τις τιμές εi και τη θλαστική γωνία Α. 4. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, βρείτε τη μέση τιμή της γωνίας εκτροπής και το σφάλμα της εσε . Βρείτε και τη γωνία Aε και εφαρμόστε τη σχέση (3) για να υπολογίστε το δείκτη διάθλασης της στυρίνης και το σφάλμα του. Βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή που δόθηκε παραπάνω. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. 4.4 Μελέτη πόλωσης μικροκυμάτων χωρίς μεταλλικό πολωτή.

Σε αυτό το πείραμα μελετάται η απόκριση του δέ-κτη στην πολωμένη δέσμη μι-κροκυμάτων του πομπού. Η διάταξη φαίνεται στο σχήμα 15. Για την αποφυγή σύγχυσης με το συμβολισμό του πειρά-ματος της γωνιακής κατανο-μής, η γωνία στροφής του δέ-κτη θα συμβολίζεται με το μη-πλάγιο σύμβολο θ. Τοποθετή-στε στην ευθεία τα δύο στελέ-χη της ράγας. Ο πομπός και ο δέκτης πρέπει να απέχουν αρκετά (>0.6 m) ώστε να αποφευχθεί κατά το δυνατόν κορεσμός του δέκτη. Η γωνία περιστροφής της κρυσταλοδιόδου του δέκτη (της οποίας η διεύθυνση ορίζει τον άξονα δι-έλευσής της εάν θεωρήσουμε το δέκτη ως πολωτή-αναλυτή) μεταβάλλεται και διαβάζεται από τον ενσωματωμένο γωνιακό μεταφορέα. Μέσω του αντίστοιχου μεταφορέα του πομπού, θέτουμε τον τελευταίο σε σταθερή γωνία θ=0 (πόλωση εξερχόμενων μικροκυμάτων κατακόρυφη). Ακολουθήστε τα εξής βήματα: 1. Επιλέξτε κάποια γωνία περιστροφής στην περιοχή -100ο≤θ≤100ο και μετρήστε την ένδειξη Μ του δέκτη. 2. Επαναλάβατε τη διαδικασία 1 με βήμα Δθ =10ο. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις θi και Μi σε πίνα-κα. 4. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές θi και Μi, να περιέχει και τις τιμές Μi/Μmax και |cos(θi)|. Κατασκευάστε τις γραφικές παραστάσεις Μi/Μmax=F(θi) (mm-χαρτί) και Μi/Μmax=F(|cos(θi)|) (log-log-χαρτί). Σχολιάστε την πρώτη καμπύ-λη. Όσο για τη δεύτερη, υποθέτοντας σχέση της μορφής Μ[|cos(θ)|]β, βρείτε την κλίση β. Προ-σέξτε ότι πιθανόν το διάγραμμα να περιέχει τμήματα διαφορετικών κλίσεων. Εάν αυτό ισχύει βρείτε όλες τις επιμέρους κλίσεις. Συγκρίνετε την κλίση (ή κλίσεις) που βρήκατε με τις αναμενόμενες τι-μές που δίδονται στα στοιχεία θεωρίας (ιδέ 2.3) για αυτή την περίπτωση και σχολιάστε τα αποτελέ-σματά σας λαμβάνοντας υπ’ όψη τις σχέσεις (2α,β).

Σχήμα 15.

περιστροφή Δέκτη (γωνία θ)

Πομπός σε γωνία θ=0

Ενσωματωμένος γωνιακός μεταφορέας


4.5 Μελέτη πόλωσης μικροκυμάτων με μεταλλικό πολωτή.

Εδώ θα προστεθεί και ο με-ταλλικός πολωτής στην προηγούμενη διάταξη (σχήμα 16). Καθώς η περι-στροφή του μεταλλικού πολωτή είναι δύσκολη, για πρακτικούς λόγους αυ-τός θα παραμείνει ακίνητος και οι με-τρήσεις θα γίνουν με την περιστροφή πομπού και δέκτη κατά την ίδια γωνία και ίδια γωνιακή κατεύθυνση κάθε φορά. Εκτός αυτής της ιδιαιτε-ρότητας θα ακολουθήστε τα βήματα του προηγούμενου πειράματος 4.4. Καλό θα είναι επίσης οι μετρήσεις σας να επεκταθούν στην περιοχή γωνιών -120ο≤θ≤120ο. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις θi και Μi σε πίνα-κα. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές θi και Μi, να περιέχει και τις τιμές Μi/Μmax και |cos(θi)|. Κατασκευάστε τις γραφικές παραστάσεις Μi/Μmax=F(θi) (mm-χαρτί) και Μi/Μmax=F(|cos(θi)|) (log-log-χαρτί). Σχολιάστε την πρώτη καμπύ-λη και σε σχέση με την αντίστοιχη του προηγούμενου πειράματος. Όσο για τη δεύτερη, υποθέτο-ντας σχέση της μορφής Μ[|cos(θ)|]β, βρείτε την κλίση β. Προσέξτε ότι πιθανόν το διάγραμμα να περιέχει πάλι τμήματα διαφορετικών κλίσεων. Εάν αυτό ισχύει βρείτε όλες τις επιμέρους κλίσεις. Συγκρίνετε την κλίση (ή κλίσεις) που βρήκατε με τις αναμενόμενες τιμές που δίδονται στα στοιχεία θεωρίας (ιδέ 2.3) για αυτή την περίπτωση και σχολιάστε τα αποτελέσματά σας λαμβάνοντας υπ’ όψη τις σχέσεις (2α,β). 4.6 Προσδιορισμός μήκους κύματος μικροκυμάτων με συμβολόμετρο Michelson.

Για την μέτρηση του μήκους κύματος με το συμβολόμετρο Michel-son δημιουργήστε με κατάλληλα στοι-χεία και βάσεις τη διάταξη του σχήμα-τος 17 με τον πομπό και τον δέκτη να έχουν το ίδιο, κατακόρυφο, επίπεδο πόλωσης. Θα χρησιμοποιηθούν δύο μεταλλικοί ανακλαστήρες ΜΑ1,2 και ένας ημιανακλαστήρας. Ο ανακλα-στήρας ΜΑ2 παραμένει σταθερός ενώ ο ΜΑ1 μετακινείται αργά για τον ε-ντοπισμό των μεγίστων ενδείξεων στο δέκτη. Θα εφαρμόσετε τη μεθοδολο-γία που αναπτύχθηκε στο θεωρητικό μέρος (2.4.1). Ο προσδιορισμός του μήκους κύματος θα πραγματοποιηθεί γραφικά. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Μετακινήστε τον ανακλαστήρα ΜΑ1 σε κάποια θέση όπου παρατηρείτε μέγιστο στο δέκτη. Ση-μειώστε αυτή την αρχική θέση lαρχική = ln1

, όπου n1 άγνωστος ακέραιος.

2. Μετακινήστε από αυτή τη θέση τον ΜΑ1 αργά ώστε να παρατηρήσετε n=2 μέγιστες ενδείξεις (όχι απαραίτητα ίσου πλάτους μεταξύ τους). Σημειώστε την απόσταση ln1+2.

3. Μετακινήστε από αυτή τη θέση ln1+2 τον ΜΑ1 ώστε να παρατηρήσετε ακόμη 2 μέγιστες ενδείξεις

και σημειώστε τη νέα θέση ln1+4. Επαναλάβετε για n=6, 8, 10… (συνολικά ~10 μετρήσεις). Συγκε-

ντρώστε τις μετρήσεις ln1, n, ln1+n σε πίνακα.

Σχήμα 16.

περιστροφή Δέκτη (γωνία θ)

άξονας διέλευσης

περιστροφή Πομπού (γωνία θ)

Σχήμα 17.

Π ln1

ΜΑ2

ΜΑ1

ln1+n

Δ

ΗΑ


4. Κατά την εργασία στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές n, ln1+n να περιέχει

και τις τιμές Δln= ln1+n - ln1 (για n=0 προφανώς Δl0 =0). Κατασκευάστε γραφική παράσταση Δln=

F(n) (mm-χαρτί) που από τη σχέση (11) αναμένουμε να είναι ευθεία με σημείο οδηγό το (0,0) και κλίση κ ίση με το μισό του μήκους κύματος κ=λ/2. Βρείτε την κλίση και το σφάλμα της. Βρείτε και το μήκος κύματος και το σφάλμα του καθώς και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή που δίνεται στο θεωρητικό μέρος (2.1). Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής c=νλ και τη συχνό-τητα των μικροκυμάτων, που επίσης δίδεται στο ίδιο θεωρητικό μέρος, βρείτε κα τη ταχύτητα c των μικροκυμάτων στον αέρα. Βρείτε τέλος και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή c≈cο=3×108 m/sec και σχολιάστε τα αποτελέσματα. 4.7 Προσδιορισμός μήκους κύματος μικροκυμάτων με συμβολόμετρο Fabry-Perot.

Στο πείραμα αυτό θα προσδιορίσετε πάλι το μήκος κύμα-τος και τη ταχύτητα των μικροκυ-μάτων αλλά με συμβολόμετρο Fab-ry-Perot αυτή τη φορά. Επίσης δεν θα χρησιμοποιήσετε γραφική μέθο-δο αλλά θα προσδιορίσετε τα παρα-πάνω μεγέθη υπολογιστικά. Η διά-ταξη φαίνεται στο σχήμα 18 και τα κύρια στοιχεία της είναι οι δύο ημι-ανακλαστήρες ΗΑ1,2. Πομπός και δέκτης βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έχουν το ίδιο, κατακόρυφο, επί-πεδο πόλωσης. Ο ημιανακλαστήρας ΗΑ1 παραμένει σταθερός ενώ ο ΗΑ2 μετακινείται αργά για τον εντοπισμό των μεγίστων ενδείξεων στο δέκτη. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Μετακινήστε τον ΗΑ2 σε κάποια απόσταση lαρχική από τον ΗΑ1 ώστε να παρατηρήσετε μέγιστη ένδειξη στο δέκτη. Σημειώστε την απόσταση αυτή. 2. Μετακινήστε από αυτή τη θέση τον ΗΑ2 αργά ώστε να παρατηρήσετε n μέγιστα όπου n προεπι-λεγμένος ακέραιος (n~5). Σημειώστε αυτή την απόσταση, έστω l+n. 3. Ξεκινήστε από μία άλλη αρχική θέση lαρχική,i (την οποία πρέπει να σημειώσετε) διαφορετική από την πρώτη όπου όμως πάλι το σήμα του δέκτη είναι μέγιστο. Μετακινήστε από αυτή τη θέ-ση τον ΗΑ2 αργά ώστε να παρατηρήσετε n μέγιστα και σημειώστε τη νέα απόσταση l+n,i. Επαναλά-βατε τη διαδικασία για (imax~10) φορές. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις lαρχική,i, l+n,i και τον ακέραιο n σε πίνακα. 4. Κατά την εργασία στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές lαρχική,i, l+n,i να πε-ριέχει και τις τιμές Δln,i= l+n,i - lαρχική,i. Από τις διαφορές αυτές υπολογίστε τη μέση τιμή και το σφάλμα Δln σ(Δln). Μέσω της σχέσης (11) υπολογίστε και τη μέση τιμή και το σφάλμα του μή-κους κύματος λ σ(λ) καθώς και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή. Βρείτε κα την πειραμ-τική τιμή της ταχύτητας c των μικροκυμάτων στον αέρα. Βρείτε τέλος και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή c≈cο=3×108 m/sec και σχολιάστε τα αποτελέσματα. Συγκρίνετε τις δύο μεθόδους προσδιορισμού του μήκους κύματος. 4.8 Περίθλαση μικροκυμάτων σε κρυστάλλους.

Στο πείραμα αυτό θα προσδιορίσετε τις γωνίες Bragg κυβικού πλέγματος (επίπεδα (100) και (110)) αποτελούμενου από μεταλλικές σφαίρες διαμέτρου 12.65 mm, ενσωματωμένες σε κύβο

Π

lαρχική

l+n

Δ

ΗΑ2

ΗΑ1

Σχήμα 18.


από φελιζόλ. Τα σχετικά αριθμητικά δεδομένα αναφέρονται στο θεωρητικό μέρος (2.5). Το κυβικό πλέγμα τοποθετείται στην περιστρεφόμενη τράπεζα μεταξύ του πομπού και του δέκτη (σχήμα 19).

Σχήμα 19.

(100)

θBragg

ω= 2θBragg

(β)

(γ)

Δ Π

Π

Δ

θBragg

φ

Γωνία πρόσπτωσης φ (επίπεδο (100))

θBraggκέντρο περιστροφής

Περιστρεφόμενη τράπεζα

Γωνιομετρικός δίσκος

ω=2θBragg

Π

Δ

(α)

Ακολουθήστε τα εξής βήματα: 1. Ευθυγραμμίστε πομπό, κρύσταλλο και δέκτη όπως φαίνεται στο σχήμα 19(β). Θέστε τον δέκτη στην μικρότερη δυνατή ευαισθησία (x30). 2. Περιστρέψτε την περιστρεφόμενη τράπεζα με τον κρύσταλλο κατά γωνία θBragg στην περιοχή 0ο≤θBragg≤55ο. Περιστρέψτε το στέλεχος της ράγας με το δέκτη κατά γωνία ω=2θBragg (σχήμα 19(γ)). Ο λόγος που μετακινούμε κατά γωνία ω φαίνεται στο σχήμα σε συνδυασμό με τη σχέση (18). Σημειώστε την ένδειξη του δέκτη Μ. 3. Επαναλάβατε την παραπάνω διαδικασία για αρκετές γωνίες θBragg,i και καταγράψτε τις ενδείξεις Μi. Τα βήματα ΔθBragg εξαρτώνται από τις διακυμάνσεις της ένδειξης του δέκτη. Εάν αυτή μετα-βάλλεται έντονα ίσως απαιτηθεί και το μικρότερο δυνατό βήμα ΔθBragg=1ο. Συγκεντρώστε τις με-τρήσεις θBragg,i, Μi σε πίνακα. 4. Κατά την εργασία στο σπίτι κατασκευάστε γραφική παράσταση Μi = F(θBragg,i) (mm-χαρτί) και χαράξτε ομαλή καμπύλη που περνά από τα πειραματικά σημεία. Εντοπίστε τις γωνίες Bragg όπου


εμφανίζονται μέγιστα στο γράφημα και συγκρίνετε τις με τις θεωρητικά αναμενόμενες τιμές τους (επίπεδο (100), m=1,2 και επίπεδο (110) m=1) που αναφέρονται στο θεωρητικό μέρος (2.5). Υπο-λογίστε από τις πειραματικές γωνίες Bragg και τη σταθερά του πλέγματος a. Σχολιάστε τα αποτε-λέσματά σας. 5. Βιβλιογραφία.

[1] D. Halliday& R. Resnick, Φυσική, Τόμος Β (1976). [2] Γ. Ασημέλλης, Μαθήματα Οπτικής, Σύγχρονη Γνώση (2008). [3] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, MA, Second Edition (1987). [4] Α. Χριστοδουλλίδης, Εργαστηριακά Πειράματα Φυσικής 3, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων (2005). (αντίτυπα υπάρχουν στο αναγνωστήριο). [5] A. M. Portis & H. D Young, Microwave Optics, Berkley Physics Laboratory, 2nd edition McGraw-Hill Co., New York (1971). [6] C. Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, 5η έκδοση (Γ. Πνευματικού, Αθήνα) (1979).

9-10.Μικροκύματα Ι&ΙΙ

Documents

Transcript of 9-10.Μικροκύματα Ι&ΙΙ