9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 1( 27 ธ.ค. 2558)

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

1/42

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

2/42

รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 1 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.

ตอนท 1 แบบระบายตัวเลขท เปนคาตอบ จานวน 10 ขอ ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน

1. ให S = { x | x เปนจานวนเตมท สอดคลองกับอสมการ 6 x 3 5x }จานวนสมาชกของ S เทากับขอใดตอไปน 1. 14 2. 15

3. 16 4. 17

5. 18

2. กาหนดให P(x) = 5ax bx cx d เม อ a, b, c และ d เปนคาคงตัว ถา x – 1 หาร P(x) เหลอเศษ 10 และ x หาร P(x) เหลอเศษ 6แลว x + 1 หาร P(x) เหลอเศษเทากับขอใดตอไปน 1. –10 2. –6

3. 2 4. 4

5. 6

3. ถา u และ v เปนเวกเตอรในระบบพกัดฉาก 3 มต

โดยท u 5 และ v 3 แลว 2 2u v u v เทากับขอใดตอไปน

1. 15 2. 5 3

3. 8 4. 5 3 3 5

5. 15

4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ถา แลว เทากับขอใดตอไปน

1. 2.

3. 4. 10

5. 20

2alog b 5 2b

log a

1

20

1

10

1

5

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

3/42


5. ถา S เปนเซตของจานวนจรง a ซ งทาใหระบบสมการ ax + 2y – 2z = –1

x + y – z = 0

2x + y + 2z = 2

มคาตอบเพยงคาตอบเดยว แลว S คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( ,1) (1, ) 2. ( , 1) (0, )

3. ( ,2) (2, ) 4. ( , 2) ( 2, )

5. { 2, 1,1, 2}

6.3

tan[ arcsin( )]4 5

มคาเทากับขอใดตอไปน

1. 17

2. 19

3.1

9 4.

1

7

5. 9

7. ตารางแจกแจงความถ สัมพัทธของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนักเรยนกล มหน งเปนดังน

คะแนนสอบ ความถ สัมพัทธ 0 – 19 0.1

20 – 39 0.1

40 – 59 0.3

60 – 79 0.3

80 – 99 0.2

คาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบของนักเรยนกล มน เทากับขอใดตอไปน 1. 57.5 คะแนน 2. 58.5 คะแนน 3. 60.5 คะแนน 4. 62.5 คะแนน 5. 63.5 คะแนน

8. พจารณา2x 2

2 1 8lim

x 2 x 2 x 4

ขอใดตอไปนเปนจรง

1. หาคาไมได 2. มคาเทากับ 34

3. มคาเทากับ 1

4


4


8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

4/42


9. ถา 1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เปนลาดับเรขาคณต โดยท 1a 96 และ 4a 12

แลว nn 1

a

เทากับขอใดตอไปน

1. 120 2. 128

3. 144 4. 192

5. 288

10. ถา2

2

(x 1) 5 x 1

f(x) 5 1 x 1

(x 1) 5 x 1

แลว (f f) (2) เทากับขอใดตอไปน 1. –12 2. –8

3. 0 4. 8

5. 12

ตอนท 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลอก เลอก 1 คาตอบท ถกท สด จานวน 20 ขอ ขอละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน

11. กาหนดให 1 2z , z และ 3z เปนรากท 3 ของจานวนเชงซอนจานวนหน ง ถา 1z เปนรากท อย ควอดรันตท 1 โดยท 1z 2 และ 3 1z z แลว 2 3z z เทากับขอใดตอไปน

1. 1 3 i 2. 1 3 i

3. 1 3 i 4. 2 2 i

4. 2 2 i

12. เศษเหลอท ไดจากการหาร 11111 ดวย 1,210 เทากับขอใดตอไปน 1. 1 2. 11

3. 111 4. 121

5. 211

เม อ เม อ เม อ

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

5/42


13. ถา a และ b เปนคาคงตัว ซ งอสมการ มเซตคาตอบคอ ชวง (1, )

แลว a + b เทากับขอใดตอไปน 1. –2 2. –1

3. 0 4. 1

5. 2

14. กาหนดให ABC เปนสามเหล ยมหนาจ ัวซ งมดาน AB = ACถามม A = o150 และดาน BC ยาวเทากับ 16 หนวยแลว พ นท สามเหล ยม ABC เทากับขอใดตอไปน

1. ตารางหนวย 2. ตารางหนวย

3. ตารางหนวย 4. 64 ตารางหนวย

5. 64(2 3) ตารางหนวย

15. ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพกัดฉากสามมต พจารณาขอความตอไปน

ก. (u v) w u (v w)

ข. (u v) w u (v w) ค. 2 2(u v) (u v) u v ง. (u v) (u v) 2(u v)

จานวนขอความท ถกตอง เทากับขอใดตอไปน 1. 0 (ไมมขอความใดถก) 2. 13. 2 4. 3

5. 4

2

x a0

(x b)

64

364(2 3)

32(3 2)

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

6/42


16. ให s เปนวงกลมท อย ในควอดรันตท 1 ซ งสัมผัสแกน X และ แกน Yและเสนตรง ซ งมสมการเปน 3x 4y 24 0 ถา C เปนจดศนยกลางของวงกลม s และ P เปนจดท วงกลม s สัมผัสเสนตรง แลวสมการเสนตรงท ผานจด C และจด P คอขอใดตอไปน 1. 4x + 3y – 28 = 0 2. 4x + 3y – 32 = 0

3. 4x + 3y – 40 = 0 4. 3x + 4y – 28 = 0

5. 3x + 4y – 32 = 0

17. กาหนดให A เปนเมทรกซมต 3 3 ซ ง [A : I] [I : P]

โดยท I เปนเมทรกซเอกลักษณมต 3 3 และ P =

1 2 00 1 21 0 1

ถา1 a

A 2 b3 c

แลว a มคาเทากับขอใดตอไปน

1. –17 2. –5

3.17

5 4. 5

17

5. 17

5

18. ผลบวกของคาตอบของสมการ log x log x9 10(3 ) 9 0 เทากับขอใดตอไปน 1. 11 2. 99

3. 101 4. 111

5. 1001

19. กาหนดให S x 0 x 2 และ 24 cos 2x 4 cos x125 5 4 5 25 S เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. 3 5 10 12 14, , , , ,8 8 8 8 8 8

2. 2 4 7 8 9, , , , ,6 6 6 6 6 6

3. 2 3 5 6 7, , , , ,4 4 4 4 4 4

4.

5.

3 3 8 7, , , , ,6 4 6 4 6 4

2 3 5 7

, , , , ,3 4 3 4 3 4

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

7/42


20. ความสง(เซนตเมตร) ของเดกกล มหน งจานวน 9 คน152 , 153 , 155 , 158 , 159 , 160 , 162 , 166 , 175

ถาส มเลอกเดกกล มน มา 3 คน ความนาจะเปนท เดกทังสามคนเตยกวาคาเฉล ยเลขคณตขงความสงของเดก กล มนเทากับขอใดตอไปน

1.3

84 2.

5

42

3. 5

28 4. 5

15

5.25

42

21. มเลขโดด 9 จานวน คอ –7 , –5 , –3 , –1 , 0 , 2 , 4 , 6 , 10ถาส มเลขโดดนมา 4 จานวน แลวความนาจะเปนท ผลคณของเลขโดด 4 จานวนนไมเปนจานวนลบเทากับขอใดตอไปน

1.47

126 2.

70

126

3. 41

63 4. 47

63

5.56

63

22. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนักเรยนหองหน งมการแจกแจงปกต ถาผลตางของคะแนนท เปอรเซนไทล 67 และเปอรเซนไทลท 33 เทากับ 11 คะแนนแลว สวนเบ ยงเบนมาตรฐานคอ ขอใดตอไปน เม อกาหนดตารางแสดงพนท ใตเสนโคงปกต

z 0.17 0.33 0.44 0.67

พนท ใตเสนโคง 0.066 0.13 0.17 0.25

1. 9.5 คะแนน 2. 11 คะแนน 3. 12.5 คะแนน 4. 14 คะแนน 5. 15.5 คะแนน

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

8/42


23. ให 1 2 3 11x , x , x , ... , x เปนขอมล 11 จานวน ซ งเรยงกันเปนลาดับเรขาคณต

ถาผลคณ 33 221 2 3 11x x x ... x 2 3 แลวมัธยฐานของขอมลชดน เทากับขอใดตอไปน

1. 36 2. 723. 144 4. 216

5. 426

24. ถาลาดับ

n(n 2)

2

n 2n

1a dx

x

แลวn

n 1

a

n


1.1

4 2.

1

2

3.3

4 4. 1

5.5

4

25. กาหนดให f(x) เปนฟังกชันพหนาม ซ ง2

f (x) 3x 6x

และx 5

G(x)

f(x)

ถา G(x) ตอเน องท x = –1 แลว f มคาต าสดสัมพัทธเทากับขอใดตอไปน 1. –2 2. –1

3. 2 4. 3

5. 4

26. ผลการสอบวชาประวัตศาสตรซ งมคะแนนเตม 20 คะแนนของนักเรยน 10 คน เปนดังน x , 16 , 8 , 12 , 13 , 7 , 9 , 11 , 18 , y

ถาคาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากับ 12.7 คะแนนแลวมัธยฐานของคะแนนสอบเทากับขอใดตอไปน 1. 10 คะแนน 2. 11 คะแนน 3. 11.5 คะแนน 4. 12 คะแนน 5. 12.5 คะแนน

เม อ x < – 1

เม อ x – 1

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

9/42


27. ถา f(x) =100 2k 1

k 1

k x

แลว 1 f ( 2)

2 มคาเทากับขอใดตอไปน

1. 991 99 2 2. 991 100 2

3. 992 99 2 4. 1001 99 2

4. 1001 100 2

28. กาหนดให A = {1, 2, 3, ..., 155} และ i เปนจานวนเชงซอน ซ ง 2i 1

ถา 2x 5 x 21 iB x A ( ) i1 i

แลวจานวนสมาชกของ B เทากับขอใดตอไปน

1. 19 2. 20

3. 35 4. 38

5. 39

29. กาหนดใหcos sin

3 3Asin cos

3 3

และ S = {1, 2, 3, ..., 100}ถาส มสมาชก 1 ตัวจาก S แลวความนาจะเปนท จะไดจานวนนับ k

ซ ง kA I โดยท I เปนเมทรกซเอกลักษณ เทากับขอใดตอไปน

1.9

100 2.

16

100

3. 18

100 4. 24

100

5.29

100

30. กาหนดให P(x) เปนพหนามซ งมสัมประสทธ เปนจานวนเตมบวก ถา P(1) = 10 และ P(10) = 2,116แลว P(–1) เทากับขอใดตอไปน 1. 4 2. 10

3. 51 4. 106

5. 1,053

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

10/42

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

11/42


ตอนท 1 แบบระบายตัวเลขท เปนคาตอบ จานวน 10 ขอ ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน

1. ให S = { x | x เปนจานวนเตมท สอดคลองกับอสมการ 6 x 3 5x }จานวนสมาชกของ S เทากับขอใดตอไปน 1. 14 2. 15

3. 16 4. 17

5. 18

เฉลย ตัวเลอก 3.แนวคด

จากอสมการ 6 x 3 5x ... (1)จะได 5x 0 x > 0ยกกาลังสองทังสองขางของ (1) จะได

2 2

2 26 x 3 (5x)

(6 x 18) (5x)

2 2(6 x 18) (5x) 0

[(6 x 18) 5x ][(6 x 18) 5 x ] 0

(x 18)(11x 18) 0

เซตคาตอบของอสมการ 6 x 3 5x คอ 18 ,1811

ดังนัน S = {2, 3, 4, 5, ... , 17}แสดงวาจานวนสมาชกของ S เทากับ 16

1818

11

เง อนไข x > 0

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

12/42


2. กาหนดให P(x) = 5 3ax bx cx d เม อ a, b, c และ d เปนคาคงตัว ถา x – 1 หาร P(x) เหลอเศษ 10 และ x หาร P(x) เหลอเศษ 6

แลวx + 1

หารP(x)

เหลอเศษเทากับขอใดตอไปน

1. –10 2. –6

3. 2 4. 4

5. 6


จาก P(x) =5 3

ax bx cx d โดยท x – 1 หาร P(x) เหลอเศษ 10

จะได P(1) = 10 5 3a(1) b(1) c(1) d 10 a + b + c + d = 10 ... (1)

โดยท x หาร P(x) เหลอเศษ 6

จะได P(0) = 6 5 3a(0) b(0) c(0) d 6 d = 6

แทนd = 6

ใน(1)

จะไดa + b + c + 6 = 10

a + b + c = 4 ... (2)

โดยท P(–1) = 5 3a( 1) b( 1) c( 1) d = –a – b – c + d

= –(a + b + c) + d

= –4 + 6

= 2

ดังนัน x + 1 หาร P(x) เหลอเศษ 2

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

13/42


3. ถา u และ v เปนเวกเตอรในระบบพกัดฉาก 3 มต

โดยท u 5

และv 3

แลว

2 2u v u v


1. 15 2. 5 3

3. 8 4. 5 3 3 5

5. 15


จากสมบัต u v u v cos และ u v u v sin และโจทยกาหนดให u 5 และ v 3

จะได u v u v cos 5 3 cos 15 cos

และ u v u v sin 5 3 sin 15 sin

ดังนัน

2 22 2

2 2

2 2

2 2

u v u v 15 cos 15 sin

15 cos 15 sin

15 cos sin

15 1 [ cos sin 1]

15

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

14/42


4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก ถา 2

a

log b 5 แลว 2b

log a เทากับขอใดตอไปน

1.1

20 2.

1

10

3.1

5 4. 10

5. 20


จากท กาหนดให 2alog b 5

จะได a1

log b 52

[ n aa1

log b log bn

]

alog b 10 ...(1)

ดังนัน 2 bb1

log a log a2

[ n aa1

log b log bn

]

a

1 1

2 log b

[b

a

1log a

lo g b

]

1 1

2 10

[จาก (1) a: log b 10 ]

1

20

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

15/42


5. ถา S เปนเซตของจานวนจรง a ซ งทาใหระบบสมการ ax + 2y – 2z = –1

x + y – z = 0

2x + y + 2z = 2

มคาตอบเพยงคาตอบเดยว แลว S คอเซตในขอใดตอไปน 1. ( , 1) (1, ) 2. ( , 1) (0, )

3. ( , 2) (2, ) 4. ( , 2) ( 2, )

5. { 2, 1,1, 2}


จากระบสมการax + 2y – 2z = –1

x + y – z = 0

2x + y + 2z = 2

ใหa 2 2 x 1

A 1 1 1 , X y , B 0

2 1 2 z 2

จะไดระบบสมการดังกลาวสมมลกับสมการเมทรกซ AX = B 1X A B

ซ งสมการดังกลาวนจะมคาตอบเพยงคาตอบเดยวเม อ 1A สามารถหาได นั นคอ det A 0

a 2 2

1 1 1 0

2 1 2

[ 2a + (–4) + (–2) ] – [ –4 + 4 + (–a)] 0

3a – 6 0

a 2

ดังนัน S = (–, ) – {2} = (–, 2)(2, )

คาตอบเดยวนั นคอ 1X A B

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

16/42


6.3

tan[ arcsin( )]4 5


1. 17 2. 1

9

3.1

9 4.

1

7

5. 9


ให 3A arcsin( )5 3sinA5

จะได 3tanA4

ดังนัน 3tan[ arcsin( )]4 5

= tan[ A]4

=

tan tan A4

1 tan tan A4

[ tan A tan B

tan(A B) 1 tan A t an B

]

=

31 ( )

43

1 (1)( )

=1 4

4 7

=1

7

35

A4

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

17/42


7. ตารางแจกแจงความถ สัมพัทธของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนักเรยนกล มหน งเปนดังน

คะแนนสอบ ความถ สัมพัทธ 0 – 19 0.1

20 – 39 0.1

40 – 59 0.3

60 – 79 0.3

80 – 99 0.2

คาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบของนักเรยนกล มน เทากับขอใดตอไปน 1. 57.5 คะแนน 2. 58.5 คะแนน 3. 60.5 คะแนน 4. 62.5 คะแนน 5. 63.5 คะแนน


สมมตให N แทนจานวนนักเรยนกล มน

โดย ความถ สัมพัทธ =ความถ ของอันตรภาคชัน

จานวนขอมลทังหมด =if

N เม อ i = 1, 2, 3, 4, 5

จะได if N ความถ สัมพันธ

คะแนนสอบ ความถ สัมพัทธ ความถ if

จดก งกลางชัน ( ix )มาก+นอย

2 i

i

x 49.5d

20

i if d

0 – 19 0.1 0.1N 0 192 9.5 –2 –0.2N

20 – 39 0.1 0.1N20 39

2

29.5–1 –0.1N

40 – 59 0.3 0.3N40 59

2

49.5 0 0

60 – 79 0.3 0.3N60 79

2

69.51 0.3N

80 – 99 0.2 0.2N80 99

2

89.5 2 0.4N

5i i

i 1

f d = 0.4N

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

18/42


ดังนันคาเฉล ยเลขคณต =

5

i ii 1

f d0.4N

20 49.5 20 49.5 57.5N N

8. พจารณา 2x 2 2 1 8lim x 2 x 2 x 4 ขอใดตอไปนเปนจรง

1. หาคาไมได 2. มคาเทากับ 34




เฉลย ตัวเลอก 5.

แนวคด

2x 2 x 2

x 2

x 2

x 2

2 1 8 2 x 2 1 x 2 8lim lim

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (x 2)(x 2)x 4

(2x 4) (x 2) 8lim

(x 2)(x 2)

3x 6lim

(x 2)(x 2)

3 (x 2)lim

(x 2)

x 2

(x 2)

3lim

x 2

3

4

หมายเหต การตรวจสอบร ปแบบท ไมกาหนด

x 2

x 2

x 2

2 2

lim x 22 0lim

x 2 2 2lim

x 2 0

2x 2

2x 2

2x 2

8 8

lim8 x 4 0lim

8 8x 4 limx 4 0

และx 2

1 1lim

x 2 4

ดังนัน เม อ x 2 จะได2

x 2

2 1 8 1lim ( )

x 2 x 2 4x 4

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

19/42


เม อ x 2 จะได2

x 2

2 1 8 1lim

x 2 x 2 4x 4

แสดงวา2x 2

2 1 8lim

x 2 x 2 x 4

เปนรปแบบท ยังไมกาหนด(Indeterminate Form)

9. ถา 1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เปนลาดับเรขาคณต โดยท 1a 96 และ 4a 12

แลว nn 1

a


1. 120 2. 128

3. 144 4. 192

5. 288


โดยท 1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เปนลาดับเรขาคณต และม 1a 96 , 4a 12

จะได 3 34 13

a a r 12 96 r

1r

8

1r2

และจะไดn 1

n 1n 1

1a a r 96

2

ดังนันn 1

nn 1 n 1

n 1

2 11 1 1 1

1a 96

2

1 1 196 1 ... ( ) ...

2 4 2

a1 196 [ a a r a r ... , a 1, r ]

1 1 r 21

2

192

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

20/42


10. ถา2

2

(x 1) 5 x 1

f(x) 5 1 x 1

(x 1) 5 x 1

แลว (f f) (2) เทากับขอใดตอไปน 1. –12 2. –8

3. 0 4. 8

5. 12


เพราะวา (f f) (2) f (f(2)) f (2)

หา f(2) , f (2)

เม อ x > 1 จะได f(x) = 2(x 1) 5

f (x) 2(x 1)

ดังนัน f(2) = 2(2 1) 5 = –4และ f (2) = 2(2 – 1) = 2

หา f (f(2)) f ( 4)

เม อx < 1

จะไดf(x) = 2(x 1) 5

f (x) 2(x 1)

ดังนัน f ( 4) = 2(–4 + 1) = –6นั นคอ f (f(2)) 6

จากขางตนเราไดวา f (2) 2 และ f (f(2)) 6

เม อ เม อ เม อ

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

21/42


ดังนัน (f f) (2) f (f(2)) f (2)

6 2

12

ตอนท 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลอก เลอก 1 คาตอบท ถกท สด จานวน 20 ขอ ขอละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน


1. 1 3 i 2. 1 3 i

3. 1 3 i 4. 2 2 i

4. 2 2 i

เฉลย ตัวเลอก 2.แนวคด 1

1 2z , z และ 3z เปนรากท 3 ของจานวนเชงซอนจานวนหน ง และ 1z 2 จะได 2 3z z 2

และผลตางของอารกวเมนทของ 1 2 3z , z , z เทากับo

o360 1203

สมมตให 1z 2 cos i sin

จะได o o2z 2 cos( 120 ) isin( 120 ) และ o o3z 2 cos( 240 ) isin( 240 ) แตโจทยกาหนดวา 3 1z z

ดังนัน

o o

o o

2 cos( 240 ) i sin( 240 ) 2 cos i sin

2 cos( 240 ) i sin( 240 ) 2 cos( ) i sin( )

แสดงวา cos( 240) cos( ) และ sin( 240) sin( )

ดังนัน

o o

o o

o o

o

o

cos( ) sin( 240 ) sin( ) cos( 240 )

cos sin( 240 ) sin cos( 240 )

cos sin( 240 ) sin cos( 240 ) 0

sin ( 240 ) 0

sin 2 240 0

แต o o0 90 ดังนัน o o o2 240 360 60 จะได o o o o2z 2 cos( 120 ) isin( 120 ) 2 cos 180 isin 180 2( 1 0i) 2

1z

3z

2z

y

x

ถา z r(cos i sin ) จะได z r(cos( ) i sin( ))

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

22/42


o o o o3 1 3z 2 cos( 240 ) isin( 240 ) 2 cos 300 ) isin 300 2( i) 1 3i2 2

ดังนัน2 3z z 2 (1 3 i) 1 3 i


1. 1 3 i 2. 1 3 i

3. 1 3 i 4. 2 2 i

4. 2 2 i

เฉลย ตัวเลอก 2.แนวคด 2

สมมต 1 2z , z และ 3z เปนรากท 3 ของจานวนเชงซอนจานวนหน ง จะได3 3 31 2 3

z z z

ให 1z x yi จะได 3 1z z x yi

จาก3 3

1 3z z 3 3

(x yi) (x yi) 3x 2 2 3 33x (yi) 3x(yi) (yi) x 2 2 3

2 2

3x (yi) 3x(yi) (yi)

3x y i 3x y

3 2 2y i 3x y i 3x y 3

2 3

2 2

y i

6x y i 2 y i 0

2y(3 x y ) i 0

2y( 3 x y)( 3 x y) i 0

ดังนัน y = 0 หรอ y 3x หรอ y 3x แต 1z เปนรากท อย ควอดรันตท 1 จะไดวา y 3x

จะพบวา ytan 3x

เม อ 1Arg(z )

จะได o60

โดยท 1z 2 จะไดo o

1z 2(cos 60 isin 60 )

ดังนันo o

2z 2(cos(120 60) isin(120 60)) 2(cos180 is in180 ) 2

1z

3z

2z

y

xo60o120

o

o360 1203

o120

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

23/42


o o3

1 3z 2(cos(120 180) isin(120 180)) 2(cos 300 i sin 300 ) 2( i) 1 3 i

2 2

ดังนัน 2 3z z 2 (1 3 i) 1 3 i

12. เศษเหลอท ไดจากการหาร 11111 ดวย 1,210 เทากับขอใดตอไปน 1. 1 2. 11

3. 111 4. 121

5. 211


แนวคด 1 เพราะวา 111 2 10911 11 11 และ 1210 = 211 10

พจารณา 109 10911 (10 1)

โดยทฤษฎบททวนามจะได เศษของการหาร 10911 ดวย 10 จากเศษของการหาร 1091 ดวย 10 ซ งมเศษเหลอเทากับ 1

ดังนันจะม จานวนเตม q ซ ง 10911 10q 1 2 109 2

111

11 11 11 (10 q 1)

11 1210q 121

โดย q เปนจานวนเตม

แสดงวา 11111 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121

แนวคด 2

เพราะวา 111 3 37 37 3711 (11 ) (1331) (1210 121)

โดยทฤษฎบททวนามจะได เศษของการหาร 11111 ดวย 1210 จากเศษของการหาร 37121 ดวย 1210 โดยอปนัย ดังน 1121 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 1212121 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 1213121 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121

ดังนัน 37121 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121

นั นคอ 11111 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

24/42


แนวคด 3 แนวคดน ตองระวังเร องการหารในระบบจานวนเตม เก ยวกับเศษของการหาร109111 2 109 109 (10 1)11 11 11 11 1 121

10q 10q1210 121 10 10 10 10 1210

เม อ q เปนจานวนเตม

ดังนัน 11111 หารดวย 1210 มเศษเหลอ 121

13. ถา a และ b เปนคาคงตัว ซ งอสมการ2

x a0

(x b)

มเซตคาตอบคอ ชวง (1, )

แลว a + b เทากับขอใดตอไปน 1. –2 2. –1

3. 0 4. 1

5. 2


เพราะวา 2(x b) 0 เม อ x –b

ดังนันจากท โจทยกาหนดให2

x a0

(x b)

แสดงวาเม อ x –b คาของ x + a 0x –a

ทาใหเซตคาตอบคอ [–a, ) – {–b}

แตโจทยกาหนดใหเซตคาตอบคอ (1, )แสดงวา –a = 1 และ –a ไมเปนคาตอบของอสมการ แสดงวา –a = –bดังนัน a = –1 และ a = bนั นคอ a = –1 และ b = –1

ดังนัน a + b = –2

a

1

b

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

25/42


14. กาหนดให ABC เปนสามเหล ยมหนาจ ัวซ งมดาน AB = AC

ถามม A = o150 และดาน BC ยาวเทากับ 16 หนวยแลว พ นท สามเหล ยม ABC เทากับขอใดตอไปน

1.64

3 ตารางหนวย 2. 64(2 3) ตารางหนวย

3. 32(3 2) ตารางหนวย 4. 64 ตารางหนวย

5. 64(2 3) ตารางหนวย


กาหนดให ABC เปนสามเหล ยมหนาจ ัว

ซ งมดาน AB = AC และมม A = o150

จะได o oABC 15 , ACB 15

แนวคดท จะหาพนท น จะหาจาก 1 ˆAB AC sinBAC2

จงตองหา AB และ AC โดยอาศัย Law of Sines : AB AC BCˆ ˆ ˆsin ACB sin ABC sin BAC

พจารณาAB BC

ˆ ˆsin ACB sin BAC

o o

AB 16

sin 15 sin 150

o

o

16AB sin 15

sin150

o o

o

16AB sin(45 30 )

sin150

o o o oo

16AB sin 45 cos 30 cos 45 sin 30

sin150

16 2 3 2 1AB

1 2 2 2 2

2

AB 8 2 3 1

จะได AB AC 8 2 3 1

B C

A

o150

o15 o15

16

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

26/42


ดังนัน พ นท สามเหล ยม ABC = 1 ˆAB AC sinBAC2

= o1

8 2( 3 1) 8 2( 3 1) sin1502

=

1 1

8 2( 3 1) 8 2( 3 1)2 2 = 64(2 3) (ปาลม Keep Onรวมแสดงแนวคด)

15. ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพกัดฉากสามมต พจารณาขอความตอไปน

ก. (u v) w u (v w) ข. (u v) w u (v w)

ค.2 2

(u v) (u v) u v ง. (u v) (u v) 2(u v)

จานวนขอความท ถกตอง เทากับขอใดตอไปน 1. 0 (ไมมขอความใดถก) 2. 13. 2 4. 3

5. 4

เฉลย ตัวเลอก 4แนวคด

ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพกัดฉากสามมต ก. โดยท (u v) w (v w) u u (v w)

ดังนัน ก. ถก

ข. กาหนดให u v 2 i j และ w k จะพบวา u v 0 ทาให (u v) w 0 w 0

แต

i j k

v w 2 1 0 i 2 j0 0 1 ทาให

i j k

u (v w) 2 1 0 5k1 2 0

จะพบวาถา u v 2 i j และ w k (u v) w u (v w) ดังนัน ข. ผด

ค. โดยท (u v) (u v) u u v u u v 2 2

v v

u v

ดังนัน ค. ถก

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

27/42


ง. โดยท (u v) (u v) u u v u u v v v0 u v u v 0

2(u v)

ดังนัน ง. ถก

ดังนันมขอความท ถกตอง 3 ขอความ

16. ให s เปนวงกลมท อย ในควอดรันตท 1 ซ งสัมผัสแกน X และ แกน Yและเสนตรง ซ งมสมการเปน 3x 4y 24 0 ถา C เปนจดศนยกลางของวงกลม s และ P เปนจดท วงกลม s สัมผัสเสนตรง

แลวสมการเสนตรงท ผานจด C และจด P คอขอใดตอไปน 1. 4x + 3y – 28 = 0 2. 4x + 3y – 32 = 0

3. 4x + 3y – 40 = 0 4. 3x + 4y – 28 = 0

5. 3x + 4y – 32 = 0

เฉลย ตัวเลอก 1 แนวคด

เน องจากวงกลม s สัมผัสแกน x และแกน yดังนัน h = k = รัศมวงกลม(r) ...(1)และเน องจากเสนตรง 3x 4y 24 0 สัมผัสวงกลม sดังนัน รัศมวงกลม = ระยะทางจากจด (h, k) ไปยัง

นั นคอ r = 2 23h 4k 24

3 ( 4)

r =3h 4k 24

5

...(2)

จาก (1) และ (2) จะได 3h 4h 24

h5

5h = |24 – h|

5h = 24 – h หรอ 5h = h – 24

h = 4 หรอ h = –6แต h > 0 ดังนัน h = 4 ทาใหจดศนยกลางวงกลม s คอ C(4, 4)

y

x

: 3x 4y 24 0

C

P

(h, k)

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

28/42


เน องจากเสนตรง 3x – 4y + 24 มความชันเทากับ 34

ดังนันเสนตรงท ผานจด P และ C ซ งตังฉากกับเสนตรง มความชันเทากับ 43

จะไดสมการเสนตรงท ผานจด P และ C คอ 4

y 4 (x 4)3

4x + 3y – 28 = 0

17. กาหนดให A เปนเมทรกซมต 3 3 ซ ง [A : I] [I : P]

โดยท I เปนเมทรกซเอกลักษณมต 3 3 และ P =1 2 00 1 21 0 1

ถา1 a

A 2 b3 c

แลว a มคาเทากับขอใดตอไปน

1. –17 2. –5

3.17

5 4. 5

17

5.17

5

เฉลย ตัวเลอก 5. แนวคด

จากท กาหนดให [A : I] [I : P] จะไดวา 1A P

และ1 a

A 2 b3 c

จะได 11 a2 A b3 c

1 a2 P b

3 c

1 1 2 0 a2 0 1 2 b3 1 0 1 c

โดยการแกระบบสมการวธการของคราเมอร(Cramer’s Rule)

a + 2b = 1

–b + 2c = 2

a – c = 3

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

29/42


จะได

1 2 0

2 1 2

3 0 1 (1 12 0) (0 4 0) 17a

1 2 0 (1 0 4) (0 0 0) 5

0 1 2

1 0 1

18. ผลบวกของคาตอบของสมการlog x log x

9 10(3 ) 9 0

เทากับขอใดตอไปน 1. 11 2. 993. 101 4. 111

5. 1001

เฉลย ตัวเลอก 3แนวคด

จากสมการlog x log x

9 10(3 ) 9 0 กาหนดให logxA 3

จะได log x 2 log x log x 2 29 (3 ) (3 ) A

จัดสมการใหมไดเปน 2A 10A 9 0 (A – 9)(A – 1) = 0

A = 9 หรอ A = 1

ดังนันlogx

3 9 หรอlogx

3 1 log x 23 3 หรอ log x 03 3

log x = 2 หรอ log x = 0

x = 210 หรอ x = 010x = 100 หรอ x = 1

เซตคาตอบของสมการคอ {100, 1}

ผลบวกของคาตอบเทากับ 100 + 1 = 101

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

30/42


19. กาหนดให S x 0 x 2 และ 24 cos 2x 4 cos x125 5 4 5 25

S เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. 3 5 10 12 14, , , , ,8 8 8 8 8 8

2. 2 4 7 8 9, , , , ,

6 6 6 6 6 6

3. 2 3 5 6 7, , , , ,4 4 4 4 4 4

4. 3 3 8 7, , , , ,

6 4 6 4 6 4

5. 2 3 5 7, , , , ,3 4 3 4 3 4


24 cos 2x 4 cos x125 5 4 5 25

2 2

2 2

22

22

2 2

2 2

4(2 cos x 1) 4 cos x

4(2 cos x) 4 4 cos x

4(2cos x)4 cos x

4

24 cos x4 cos x

24 cos x 4 cos x

24 cos x 4 cos x

125 5 4 5 25

125 5 4 5 25

5125 4 5 25

5

54 5 25

5

5 20 5 125

5 20 5 125 0

ให24cos xA 5 ; 2A 20A 125 0

(A – 25)(A + 5) = 0

A = 25, –5

แต A > 0 ดังนัน A = 25

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

31/42


24 cos x 25 5 24 cos x 2 2 2cos x

4

1cosx2

2cosx

2

ดังนัน x = 3 5 7, , ,4 4 4 4

นั นคอ S = 3 5 7, , ,4 4 4 4

2 3 5 6 7, , , , ,4 4 4 4 4 4

20. ความสง(เซนตเมตร) ของเดกกล มหน งจานวน 9 คน152 , 153 , 155 , 158 , 159 , 160 , 162 , 166 , 175

ถาส มเลอกเดกกล มน มา 3 คน ความนาจะเปนท เดกทังสามคนเตยกวาคาเฉล ยเลขคณตของความสง ของเดกกล มนเทากับขอใดตอไปน

1.3

84 2.

5

42

3.5

28 4.

5

15

5. 2542


คาเฉล ยของความสง(เซนตเมตร) ของเดกกล มหน งจานวน 9 คน

= 152 153 155 158 159 160 162 166 175

9

= 160 เซนตเมตร

การทดลองส มเลอกเดกกล มน มา 3 คน จะได n(S) = 9 39 !

C 843 !6 !

ให E แทนเหตการณส มเลอกเดกกล มน มา 3 คนมความสงเตยกวาคาเฉล ยเลขคณต โดยท มนักเรยน 5 คน ท มความสงเตยกวาคาเฉล ยเลขคณต

ดังนัน n(E) =5

3

5 !

C 2 ! 3 ! = 10

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

32/42


ดังนัน

ความนาจะเปนท เดกทังสามคนเตยกวาคาเฉล ยเลขคณตของความสงของเดกกล มน = 1084

=5

42

21. มเลขโดด 9 จานวน คอ –7 , –5 , –3 , –1 , 0 , 2 , 4 , 6 , 10ถาส มเลขโดดนมา 4 จานวน แลวความนาจะเปนท ผลคณของเลขโดด 4 จานวนนไมเปนจานวนลบเทากับขอใดตอไปน

1.47

126 2.

70

126

3.41

63 4.

47

63

5.56

63


มเลขโดด 9 จานวน คอ –7 , –5 , –3 , –1 , 0 , 2 , 4 , 6 , 10

การทดลองส มเลขโดดนมา 4 จานวน จะได n(S) = 9 49 !

C 1264 ! 5 !

ให E แทนเหตการณส มเลอกเลขมา 4 จานวน ผลคณของเลขโดด 4 จานวนน ไมเป นจานวนลบ E แทนเหตการณส มเลอกเลขมา 4 จานวน ผลคณของเลขโดด 4 จานวนนเป นจานวนลบ

[ตอไปจะหา n(E ) ]

โดยท จานวน 4 จานวนจะมผลคณเปนจานวนลบ เม อ กรณท 1 : ใน 4 จานวนนันเปนจานวนบวก 1 จานวน เป นจานวนลบ 3 จานวน

เลอกจานวนบวก 1 จานวนจากจานวนบวก 4 จานวน ม 4 1C 4 วธ

เลอกจานวนลบ 3 จานวนจากจานวนลบ 4 จานวน ม 4 3C 4 วธดังนันเลอกจานวน 4 จานวนจะมผลคณเปนจานวนลบ ม 4 4 16 วธ

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

33/42


กรณท 2 : ใน 4 จานวนนันเปนจานวนบวก 3 จานวน เป นจานวนลบ 1 จานวน

เลอกจานวนบวก 3 จานวนจากจานวนบวก 4 จานวน ม 4 3C 4 วธ

เลอกจานวนลบ 1 จานวนจากจานวนลบ 4 จานวน ม 4

1C 4 วธดังนันเลอกจานวน 4 จานวนจะมผลคณเปนจานวนลบ ม 4 4 16 วธ

ดังนัน n(E ) 16 16 32 นั นคอ n(E) n(S) n(E) 126 32 94

P(E) = 5 394 47

C126 63

22. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนักเรยนหองหน งมการแจกแจงปกต ถาผลตางของคะแนนท เปอรเซนไทล 67 และเปอรเซนไทลท 33 เทากับ 11 คะแนนแลว สวนเบ ยงเบนมาตรฐานคอ ขอใดตอไปน เม อกาหนดตารางแสดงพนท ใตเสนโคงปกต

z 0.17 0.33 0.44 0.67

พนท ใตเสนโคง 0.066 0.13 0.17 0.25

1. 9.5 คะแนน 2. 11 คะแนน 3. 12.5 คะแนน 4. 14 คะแนน 5. 15.5 คะแนน

เฉลย ตัวเลอกแนวคด

ให 1 2z , z เปนคะแนนมาตรฐานของคะแนนท ตรงกับเปอรเซนไทลท 67 และ 33 ตามลาดับ

พจารณาคะแนนท เปอรเซนไทล 67พ นท ทางซายของคะแนนนเทากับ 0.67ดังนันพ นท ระหวางคามาตรฐาน 0 และ 1z เทากับ 0.67 – 0.5 = 0.17จากตารางแสดงพนท ใตเสนโคงปกตท กาหนด จะได 1z 0.44 ...(1)

พจารณาคะแนนท เปอรเซนไทล 33พ นท ทางซายของคะแนนนเทากับ 0.33

0.33

0.5 0.33 0.17

0.67

0.67 0.5 0.17

0 1z

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

34/42


ดังนันพ นท ระหวางคามาตรฐาน 0 และ 2z เทากับ 0.5 – 0.33 = 0.17จากตารางแสดงพนท ใตเสนโคงปกตท กาหนด

จะได 2z 0.44 ...(2)จาก xz

และโจทยกาหนดให 66 33P P 11

ดังนันจาก (1) และ (2) จะได 661 66P

z 0.44 P

...(3)

332 33

Pz 0.44 P

...(4)

(3) – (4);66 33

110.88 P P 12.5

0.88

23. ให 1 2 3 11x , x , x , ... , x เปนขอมล 11 จานวน ซ งเรยงกันเปนลาดับเรขาคณต

ถาผลคณ 33 221 2 3 11x x x ... x 2 3 แลวมัธยฐานของขอมลชดน เทากับขอใดตอไปน

1. 36 2. 72

3. 144 4. 216

5. 426


แนวคดกาหนดให 1 2 3 11x , x , x , ... , x ซ งเรยงกันเปนลาดับเรขาคณต

จาก 33 221 2 3 11x x x ... x 2 3

จะได 4 5 33 226 6 6 6 65 4x x

x (x r )(x r ) 2 3r r

11 3 2 116x (2 3 )

6x 72

ตาแหนงมัธยฐานเทากับ 1 (11 1) 62

ถา r 1

จะไดวา 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x x x x x x x x x x x ทาใหมัธยฐานเทากับ 6x 72 ตรงกับตัวเลอกท 2

ถา 0 < r < 1

จะไดวา 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1x x x x x x x x x x x

ทาใหมัธยฐานเทากับ 6x 72 ตรงกับตัวเลอกท 2

เปล ยนทกคาในรปของ 6x

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

35/42

รหัสวชา 39 วชาคณตศาสตร 1 หนา 34 วันอาทตยท 27 ธันวาคม 2558 เวลา 08.30 -10.00 น.ถา –1 < r < 0

เน องจาก 6x 72 0 ดังนัน 1x 0 จะไดวา 1 3 5 7 9 11 10 8 6 4 2x x x x x x x x x x x

ทาใหมัธยฐานเทากับ 11x < 0

แตในตัวเลอกไมมคาใดนอยกวา0

ถา r –1

เน องจาก 6x 72 0 ดังนัน 1x 0 จะไดวา 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10x x x x x x x x x x x ทาใหมัธยฐานเทากับ 1x < 0 แตในตัวเลอกไมมคาใดนอยกวา 0

24. ถาลาดับn(n 2)

2

n 2n

1a dx

x

แลว nn 1

a

n


1.1

4 2.

1

2

3.3

4 4. 1

5. 54


n(n 2)

2

n 2n

n(n 2)

2

n

1a dx

x

1

x

1 1

n(n 2) n

2

2 1

n(n 2) n

n

2 (n 2)a

n(n 2)

n

n(n 2)

n

n (n 2)

1

n 2

ดังนัน

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

36/42


n

n 1 n 1

n 1

n

n

a 1

n n(n 2)

1 1 1

2 n n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1lim ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

2 1 3 2 4 3 5 4 6 n 1 n 1 n n 2

1 1 1 1 1lim

2 1 2 n 1 n

1 1 10 0

2 1 2

3

4

25. กาหนดให f(x) เปนฟังกชันพหนาม ซ ง 2f (x) 3x 6x

และx 5

G(x)

f(x)

ถา G(x) ตอเน องท x = –1 แลว f มคาต าสดสัมพัทธเทากับขอใดตอไปน

1. –2 2. –13. 2 4. 3

5. 4


เน องจาก G(x) ตอเน องท x = –1 จะได x 1

G( 1) lim G(x)

x 1f ( 1) lim G(x)

x 1f( 1) lim (x 5)

f( 1) 1 5

f( 1) 4

จาก 2f (x) 3x 6x จะได 2f(x) (3x 6x) dx 3 2

3

3x 6xc

3 2

x 3x c

เม อ x < – 1

เม อ x – 1

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

37/42


แต f(–1) = 4 จะได 3 2( 1) 3( 1) c 4 c = 8

ดังนัน f(x) = 3 2x 3x 8 และ 2f (x) 3x 6x

หาคาวกฤต ให 2f (x) 0 ; 3x 6x 0

3x(x 2) 0

x 0, 2

จากกราฟทดสอบฟังกชันเพ มลด จะไดf(0) เปนคาสงสดสัมพัทธ

f(2) เปนคาต าสดสัมพัทธ ซ งเทากับ f(2) = 32 – 23(2) + 8 = 4

26. ผลการสอบวชาประวัตศาสตรซ งมคะแนนเตม 20 คะแนนของนักเรยน 10 คน เปนดังน x , 16 , 8 , 12 , 13 , 7 , 9 , 11 , 18 , y

ถาคาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากับ 12.7 คะแนนแลวมัธยฐานของคะแนนสอบเทากับขอใดตอไปน 1. 10 คะแนน 2. 11 คะแนน 3. 11.5 คะแนน 4. 12 คะแนน 5. 12.5 คะแนน


จากคะแนนของนักเรยน 10 คน มคะแนนดังน x , 16 , 8 , 12 , 13 , 7 , 9 , 11 , 18 , y

คาเฉล ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากับ 12.7 คะแนน

จะได x 16 8 12 13 7 9 11 18 y 12.710

x y 94 12.7 10

x y 94 127

x y 33

เน องจากคะแนนเตมเทากับ20

คะแนน

ดังนัน ถามคา x หรอ y คาใดคาหน งเทากับ 20 อกคาหน งเปน 13

0 2f (x)

f เพ ม f ลด f เพ ม

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

38/42


แสดงวา 13 x 20 และ 13 y 20

จากคะแนนของนักเรยน 10 คน เรยงคะแนนจากนอยไปหามากไดดังน

7 , 8 , 9 , 11 , 12 , 13 , 16 , 18

ตาแหนงมัธยฐาน คอ 10 1 5.52

ดังนัน มัธยฐาน เทากับ 12 13 12.52

27. ถา f(x) =100 2k 1

k 1

k x

แลว 1 f ( 2)

2 มคาเทากับขอใดตอไปน

1. 991 99 2 2. 991 100 2

3. 992 99 2 4. 1001 99 2

4. 1001 100 2


100 2k 1

k 1

3 5 7 9 199

k x

f(x) x 2x 3x 4x 5x ... 100x ...(

f(x)

1)

xf(x); 2 3 5 7 9 11 201x f(x) x 2x 3x 4x 5x ... 100x ...(2)

(1) – (2); 2 3 5 7 9 199 201f(x) x f(x) x x x x x ... x 100x

2 1002 201

2

1 (x )(1 x )f(x) x 100x

1 x

...(3)

แทน x = 2 ใน (3) ;

x y

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

39/42


2 1002 201

2

1002 100

100 100

100 100

100 100

100

1 (( 2) )(1 ( 2) )f( 2) 2 100( 2)

1 ( 2)

1 2(1 2)f( 2) 2 100 2(( 2) )

1 2

( 1)f( 2) 2 1 2 100 2 (2 )

f( 2) 2 1 2 100 2 (2 )

f( 2) 2 2(2 ) 100 2 (2 )

f( 2) 2 99 2(2 )

ดังนัน1 1

f( 2)2 2 2 99 2 100

100

(2 )

1 99(2 )

28. กาหนดให A = {1, 2, 3, ..., 155} และ i เปนจานวนเชงซอน ซ ง 2i 1

ถา 2x 5 x 21 iB x A ( ) i

1 i

แลวจานวนสมาชกของB เทากับขอใดตอไปน

1. 19 2. 20

3. 35 4. 38

5. 39


จากสมการ2x 5 x 21 i

( ) i1 i

จะได2x 5

x 21 i 1 i i1 i 1 i

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

40/42


2x 5x 2

2 2

2x 5x 2

2x 5 x 2

2x 5

x 2

x 3

1 2i 1i

1 1

2ii

2

i i

i1

i

i 1

โดยท ni 1 เม อ n หารดวย 4 ลงตัว ดังนัน x – 3 มคาเปน 0, 4, 8, 12, 16, ..., 152

x มคาเปน 3, 7, 11, 15, 19, ... , 155

แสดงวา B = {3, 7, 11, 15, 19, ..., 155}โดยสมาชกใน B มคาเรยงเปนลาดับเลขคณต มพจนท 1 เทากับ 3 มผลตางรวมเทากับ 4ดังนัน พจนทั วไป n(a ) = 3 + (n – 1)4

= 4n – 1

ถาให na 155 จะได 4n 1 155 n = 39

แสดงวาสมาชกในเซต B ม 39 จานวน

29. กาหนดใหcos sin

3 3Asin cos

3 3

และ S = {1, 2, 3, ..., 100}

ถาส มสมาชก 1 ตัวจาก S แลวความนาจะเปนท จะไดจานวนนับ k

ซ ง kA I โดยท I เปนเมทรกซเอกลักษณ เทากับขอใดตอไปน

1.9

100 2.

16

100

3.18

100 4.

24

100

5.29

100


8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

41/42


เพราะวา1 3

cos sin3 3 2 2A

3 1sin cos3 3 2 2

พบวา 21 3 1 3 1 32 2 2 2 2 2A3 1 3 1 3 1

2 2 2 2 2 2

3 2

1 3 1 31 0

2 2 2 2A AA0 13 1 3 1

2 2 2 2

4 3

1 3 1 31 0

2 2 2 2A AA0 13 1 3 1

2 2 2 2

5 4

1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2A AA3 1 3 1 3 1

2 2 2 2 2 2

6 5

1 3 1 31 0

2 2 2 2A AA I0 13 1 3 1

2 2 2 2

n(S) = 100

E ={ k S | kA I } = {6, 12, 18, ..., 96} 96 6n(E) 1 166

ดังนัน P(E) = 16100

30. กาหนดให P(x) เปนพหนามซ งมสัมประสทธ เปนจานวนเตมบวกถา P(1) = 10 และ P(10) = 2,116 แลว P(–1) เทากับขอใดตอไปน 1. 4 2. 10

3. 51 4. 106

5. 1,053

เฉลย ตัวเลอก 1แนวคด 1

สาหรับจานวนนับ n

กาหนดใหพหนามn n 1

n n 1 1 0P(x) a x a x ... a x a

เม อ 0 1 2a ,a ,a , . . . เปนจานวนเตมบวก

โดยท P(10) = 2,116

เม อคณตอไปเร อยๆจะพบวา A = 7 13A A ...

2 8 14A A A ... 3 9 15A A A ... 4 10 16A A A ... 5 11 17A A A ... 6 12 18A A A ... I

แนวคด 2

เน องจาก 3 22116 (2 10 ) (1 10 ) (1 10) 6

ถากาหนด 3 2P(x) 2x x x 6 จะพบวา P(1) = 10 และ P(10) =2116 ตามท กาหนด ดังนัน P(–1) = 4

8/18/2019 9 1( 27 . . 2558)

42/42


ดังนัน n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0a (10 ) a (10 ) a (10 ) ... a (10) a 2116

จะพบวา ถา n > 3 จะทาให n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0a (10 ) a (10 ) a (10 ) ... a (10) a 2116

ถา n < 3 จะทาให n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0a (10 ) a (10 ) a (10 ) ... a (10) a 2116

แสดงวา n = 3ดังนันจาก P(10) = 2,116 จะไดวา 3 2 1 01000a 100a 10a a 2116 ...(1)จากสมการ (1)

ถา 3a 3, 4, 5,... จะทาให 3 2 1 01000a 100a 10a a 2116 ถา 3a 1 จะทาให 3 2 1 01000a 100a 10a a 2116 แสดงวา 3a 2

จากสมการ (1) และ 3a 2

จะได 2 1 02000 100a 10a a 2116 2 1 0100a 10a a 116 ...(2) จะพบวา ถา 2a 2, 3, 4, ... จะทาให 2 1 0100a 10a a 116 แสดงวา 2a 1

จากสมการ (2) และ 2a 1 จะได 1 0100 10a a 116 1 010a a 16 ...(3)จะพบวา ถา 1a 2, 3, 4,... จะทาให 1 010a a 16 แสดงวา 1a 1

จากสมการ (3) และ 1a 1 จะได 010 a 16 0a 6 ดังนัน 3 2 1 0a 2 , a 1 , a 1 , a 6

นั นคอ 3 2P(x) 2x x x 6 ซ งสอดคลองกับ P(1) = 10

ดังนัน P(–1) = 3 22( 1) ( 1) ( 1) 6 4

9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 1( 27 ธ.ค. 2558)

Documents

Transcript of 9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 1( 27 ธ.ค. 2558)