第8章 分散分析の基礎全体の目次

統計学の標準の教程では,

1⃝推定

(最尤法, モーメント法等)

−→2⃝

信頼区間 −→3⃝

統計的仮説検定 −→4⃝

分散分析

のように進むのが定番である. 前章では, 2⃝と 3⃝に関わった. この章では,量子言語の言葉で 4⃝を説明する.

本章の詳細は,

ANOVA (analysis of variance) in the quantum linguistic formulation

of statistics ( arXiv:1402.0606 [math.ST] 2014 )

を見よ.

8.1 零元配置分散分析 (スチューデント t-分布)

同時正規測定の「スチューデント化した仮説検定」は前に述べた. これの多元化が,分散分析であ

る. 　したがって,同時正規測定の「スチューデント化した仮説検定」をもう一度ここで復習する. 　も

ちろん,多元化し易い形で復習するわけで,この意味で, 「零元配置分散分析」というタイトルをつけた.

さて,

古典系の基本構造 [C0(Ω) ⊆ L∞(Ω, ν) ⊆ B(L2(Ω, ν))]

に集中しよう.

ここで,

Ω = R× R+ = (µ, σ) | µは実数, σは正数

として, 同時正規測定ML∞(R×R+) (OnG = (Rn,BnR, G

n), S[(µ,σ)]) ( in L∞(R × R+)) を考えよう. 繰り

返しになるが, L∞(R×R+)内の同時正規測定ML∞(R×R+) (OnG = (Rn,BnR, G

n), S[(µ,σ)]) は以下のよう

に定めた.

[Gn(×nk=1Ξk)](ω) =×n

k=1[G(Ξk)](ω)

=1

(√

2πσ)n

∫· · ·

∫×n

k=1Ξk

exp[−∑n

k=1(xk − µ)2

2σ2]dx1dx2 · · · dxn (8.1)

(∀Ξk ∈ BR(k = 1, 2, . . . , n), ∀ω = (µ, σ) ∈ Ω = R× R+).

175

8.1零元配置分散分析 (スチューデント t-分布) 第 8 章 分散分析の基礎

状態空間 Ω = R× R+, 測定値空間X = Rn. 第二状態空間 (=パラメータ空間) Θ = R としよう. ま

た,推定量E : X(= Rn)→ Θ(= R) を次のように定める.

E(x) = E(x1, x2, . . . , xn) = µ(x) =x1 + x2 + · · ·+ xn

n(8.2)

システム量 π : Ω(= R× R+)→ Θ(= R) を次のように定める.

Ω(= R× R+) ∋ ω = (µ, σ) 7→ π(µ, σ) = µ ∈ Θ(= R) (8.3)

スチューデント化の要点は, パラメータ空間Θ(= R)の半距離 dxΘ(∀x ∈ X)で,次のように定めたことで

あった：

dxΘ(θ(1), θ(2)) =|θ(1) − θ(2)|√

nσ(x)=|θ(1) − θ(2)|√

SS(x)(∀x ∈ X = Rn, ∀θ(1), θ(2) ∈ Θ = R) (8.4)

ここで,

SS(x) = SS(x1, x2, . . . , xn) =

n∑k=1

(xk − µ(x))2 (∀x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn)

であった.

前章で述べたように, 我々の問題は,以下の通りであった.

問題 8.1. [零元配置分散分析]. 同時正規測定ML∞(R×R+) (OnG = (Rn,BnR, G

n), S[(µ,σ)])を考えよう. ここで,

µ = µ0

と仮定しよう. すなわち,帰無仮説をHN = µ0 (⊆ Θ = R)) と仮定する. 0 < α ≪ 1とする. このとき,次を満たす Rα;ΘHN

(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (しかも, σに依存しないもの)」を見つけよ

(A1) ML∞(R×R+) (OnG = (Rn,BnR, G

n), S[(µ0,σ)])の測定値 x(∈ Rn)が,

E(x) ∈ Rα;ΘHN

を満たす確率は, α以下である.

さて, 任意の ω = (µ0, σ)( ∈ Ω = R× R+)に対して, 次のように計算する.

[Gn(x ∈ X : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ η)](ω)

=[Gn(x ∈ X :|µ(x)− µ0|√

SS(x)≥ η)](ω)

=1

(√

2πσ)n

∫· · ·

∫η√n−1≤ |µ(x)−µ0|√

SS(x)/√

n−1

exp[−∑n

k=1(xk − µ0)2

2σ2]dx1dx2 · · · dxn

176 全体の目次

8.1零元配置分散分析 (スチューデント t-分布) 第 8 章 分散分析の基礎

=1

(√

2π)n

∫· · ·

∫η2n(n−1)≤ n(µ(x))2

SS(x)/(n−1)

exp[−∑n

k=1(xk)2

2]dx1dx2 · · · dxn (8.5)

(A2) ここで,ガウス積分の公式 8.9(A)によって,次を得る

=

∫ ∞η2n(n−1)

pF(1,n−1)(t)dt = α ( e.g., α = 0.05) (8.6)

ここに, pF(1,n−1) は自由度 (1, n− 1)の F -分布の確率密度関数とする.

ここで, 自由度 (n1, n2)の F -分布の確率密度関数 pF(n1,n2)(t) は, B(·, ·)はベータ関数を使って,

pF(n1,n2)(t) =

1

B(n1/2, n2/2)

(n1n2

)n1/2 t(n1−2)/2

(1 + n1t/n2)(n1+n2)/2(t ≥ 0) (8.7)

と定義されることを思い出そう. また、

自由度 (1, n− 1)の F -分布= 自由度 (n− 1)のスチューデントの t-分布

も注意しよう。

正数 αとして, α-点：Fn2n1,α (> 0) を次のように定める.∫ ∞F

n2n1,α

pF(n1,n2)(t)dt = α (0 < α≪ 1. e.g., α = 0.05) (8.8)

よって,次を解けばよい.

η2n(n− 1) = F 1n−1,α (8.9)

したがって,

(ηαω)2 =F 1n−1,α

n(n− 1)(8.10)

として, 結局,棄却域 Rα;ΘHN( (or Rα;XHN

) として, 次を得る. ;

Rα;ΘHN=

∩ω=(µ,σ)∈Ω(=R×R+) such that π(ω)=µ∈HN (=µ0)

E(x)(∈ Θ) : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ ηαω

= µ(x) ∈ Θ(= R) :|µ(x)− µ0|√

SS(x)≥ ηαω = µ(x) ∈ Θ(= R) :

|µ(x)− µ0|σ(x)

≥ ηαω√n

=µ(x) ∈ Θ(= R) :

|µ(x)− µ0|σ(x)

≥

√F 1n−1,αn− 1

=

µ(x) ∈ Θ(= R) : µ0 ≤ µ(x)− σ(x)

√F 1n−1,αn− 1

or µ(x) + σ(x)

√F 1n−1,αn− 1

≤ µ0

(8.11)

177 全体の目次

8.1零元配置分散分析 (スチューデント t-分布) 第 8 章 分散分析の基礎

そして,

Rα;XHN= E−1(Rα;ΘHN

)

=x ∈ X(= Rn) : µ0 ≤ µ(x)− σ(x)

√F 1n−1,αn− 1

or µ(x) + σ(x)

√F 1n−1,αn− 1

≤ µ0

(8.12)

注意 8.2. 上の議論で,多少なりとも数学を使った部分 (計算した部分)があるとしたら, (A2)のガウス

積分の公式だけであることに注意しよう.

178 全体の目次

8.2一元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎

8.2 一元配置分散分析

各 i = 1, 2, · · · , a,に対して, 自然数 ni が定まっているとしよう. また, n =∑a

i=1 ni としよう. 前節の

多少の一般化として, 次のような並行同時正規観測量OnG = (X(≡ Rn),BnR, G

n) ( in L∞(Ω(≡ (Ra×R+))

) を以下のように考えよう.

[Gn(Ξ)](ω) =1

(√

2πσ)n

∫· · ·

∫Ξ

exp[−∑a

i=1

∑nik=1(xik − µi)2

2σ2]a

×i=1

ni×k=1

dxik (8.13)

(∀ω = (µ1, µ2, . . . , µa, σ) ∈ Ω = Ra × R+, Ξ ∈ BnR)

したがって,次のような並行同時正規測定

ML∞(Ra×R+)(OnG = (X(≡ Rn),Bn

R, Gn), S[(µ=(µ1,µ2,··· ,µa),σ)])

を考える.

次のように, aiを定める.

αi = µi −∑a

i=1 µia

(∀i = 1, 2, . . . , a) (8.14)

として,

Θ = Ra (8.15)

そして, システム量 π : Ω→ Θ を次のように定める.

Ω = Ra × R+ ∋ ω = (µ1, µ2, . . . , µa, σ) 7→ π(ω) = (α1, α2, . . . , αa) ∈ Θ = Ra (8.16)

帰無仮説HN (⊆ Θ = Ra) を次のように考える.

HN = (α1, α2, . . . , αa) ∈ Θ = Ra : α1 = α2 = . . . = αa = α

= (a︷ ︸︸ ︷

0, 0, . . . , 0) (8.17)

ここで,次の同値性に注意しよう.

”µ1 = µ2 = . . . = µa”⇔ ”α1 = α2 = . . . = αa = 0”⇔ ”(2.17)”

我々の問題は,以下の通りである.

問題 8.3. [一元配置分散分析]. n =∑a

i=1 niとする. 並行同時正規測定ML∞(Ra×R+)(OnG = (X(≡ Rn),

BnR, G

n), S[(µ=(µ1,µ2,··· ,µa),σ)]) を考えよう. ここで,

µ1 = µ2 = · · · = µa

179 全体の目次

8.2一元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎

と仮定しよう. すなわち,

π(µ1, µ2, · · · , µa) = (0, 0, · · · , 0)

を仮定する. 　つまり帰無仮説をHN = (0, 0, · · · , 0) (⊆ Θ = R)) と仮定する. 0 < α ≪ 1とする.

このとき,次を満たす Rα;ΘHN(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (しかも, σに依存しないもの)」を見つ

けよ

(B1) ML∞(Ra×R+)(OnG = (X(≡ Rn),Bn

R, Gn), S[(µ=(µ1,µ2,··· ,µa),σ)]) の測定値 x(∈ Rn)が,

E(x) ∈ Rα;ΘHN

を満たす確率は, α以下である.

また, Θ = Ra内に重み付きユークリッドノルムを次のように定める.

∥θ(1) − θ(2)∥Θ =

√√√√ a∑i=1

ni

(θ(1)i − θ

(2)i

)2(8.18)

(∀θ(ℓ) = (θ(ℓ)1 , θ

(ℓ)2 , . . . , θ(ℓ)a ) ∈ Ra, ℓ = 1, 2)

また,

X = Rn ∋ x = ((xik)k=1,2,...,ni)i=1,2,...,a

xi· =

∑nik=1 xikni

, x·· =

∑ai=1

∑nik=1 xik

ni, (8.19)

としておこう. フィッシャーの最尤法の動機づけにより, σ(x)(=

√SS(x)n )を次のように定義・計算する.

各 x ∈ X = Rnに対して,

SS(x) = SS(((xik) k=1,2,...,ni)i=1,2,...,a )

=

a∑i=1

ni∑k=1

(xik − xi·)2

=

a∑i=1

ni∑k=1

(xik −∑ni

k=1 xikni

)2

=a∑i=1

ni∑k=1

((xik − µi)−∑ni

k=1(xik − µi)ni

)2

=SS(((xik − µi) k=1,2,...,ni)i=1,2,...,a ) (8.20)

各 x ∈ X = Rnに対して, 半距離 dxΘ in Θ を次のように定める.

dxΘ(θ(1), θ(2)) =∥θ(1) − θ(2)∥Θ√

SS(x)(∀θ(1), θ(2) ∈ Θ)). (8.21)

180 全体の目次

8.2一元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎

更に,推定量E : X(= Rn)→ Θ(= Ra) を次のように定める.

E(x) =E((xik)i=1,2,...,a,k=1,2,...,n)

=(∑ni

k=1 x1kn

−∑a

i=1

∑nik=1 xikn

,

∑nik=1 x2kn

−∑a

i=1

∑nik=1 xikn

, . . . ,

∑nik=1 xakn

−∑a

i=1

∑nik=1 xikn

)=(∑ni

k=1 xikn

−∑a

i=1

∑nik=1 xikn

)i=1,2,...,a

= (xi· − x··)i=1,2,...,a (8.22)

よって,次を得る.

∥E(x)− π(ω)∥2Θ

=||(∑ni

k=1 xikn

−∑a

i=1

∑nik=1 xikn

)i=1,2,...,a

− (αi)i=1,2,...,a||2Θ

=||(∑ni

k=1 xikn

−∑a

i=1

∑nik=1 xikn

− (µi −∑a

i=1 µia

))i=1,2,...,a

||2Θ (8.23)

帰無仮説HN (i.e., µi −∑a

k=1 µia = αi = 0(i = 1, 2, . . . , a)) に注意して,

=||(∑ni

k=1 xikn

−∑a

i=1

∑nik=1 xikn

)i=1,2,...,a

||2Θ =a∑i=1

ni(xi· − x··)2 (8.24)

したがって, 任意の ω = ((µik)i=12,...,a, k=1,2,...,n, σ)( ∈ Ω = Rn × R+)に対して, 正数 ηαω ( > 0) を次の

ように定める.

ηαω = infη > 0 : [Gn(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η))](ω) ≥ α (8.25)

ここに

BallcdxΘ(π(ω); η) = θ ∈ Θ : dxΘ(π(ω), θ) > η (8.26)

帰無仮説HN (i.e., µi −∑a

k=1 µia = αi = 0(i = 1, 2, . . . , a)) を確認して, ηαω を計算していこう.

E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)) = x ∈ X = Rn : dxΘ(E(x), π(ω)) > η

=x ∈ X = Rn :∥E(x)− π(ω)∥2Θ

SS(x)=

∑ai=1 ni(xi· − x··)2∑a

i=1

∑nik=1(xik − xi·)2

> η2 (8.27)

π(ω)(= (α1, α2, . . . , αa)) ∈ HN (= 0, 0, . . . , 0))を満たす任意のω = (µ1, µ2, . . . , µa, σ) ∈ Ω = Ra×R+

に対して,

[Gn(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)))(ω)

=1

(√

2πσ)n

∫· · ·

∫∑a

i=1ni(xi·−x··)2∑a

i=1

∑nik=1

(xik−xi·)2>η

2

exp[−∑a

i=1

∑nik=1(xik − µi)2

2σ2]a

×i=1

ni×k=1

dxik

181 全体の目次

8.2一元配置分散分析 第 8 章 分散分析の基礎

=1

(√

2π)n

∫· · ·

∫(∑a

i=1ni(xi·−x··)2/(a−1)

(∑a

i=1

∑nik=1

(xik−xi·)2)/(n−a)

>η2(n−a)(a−1)

exp[−∑a

i=1

∑nik=1(xik)

2

2]a

×i=1

ni×k=1

dxik (8.28)

(B2) ここで,ガウス積分の公式 8.9(B)によって,次を得る,

=

∫ ∞η2(n−a)(a−1)

pF(a−1,n−a)(t)dt = α ( e.g., α=0.05) (8.29)

ここで, pF(a−1,n−a) は自由度 pF(a−1,n−a)の F -分布の確率密度関数とする.

したがって,次の方程式を解けばよい.

η2(n− a)

(a− 1)= F a−1n−a,α(= ”α-点”) (8.30)

これを解いて,

(ηαω)2 = F a−1n−a,α(a− 1)/(n− a) (8.31)

よって, 次の棄却域 Rα;Θx (or, Rα;Xx ; (α)-棄却域 of HN = (0.0. . . . , 0)(⊆ Θ = Ra) ) を結論できる

Rα;ΘHN=

∩ω=((µi)ai=1,σ)∈Ω(=Ra×R+) such that π(ω)=(µ)ai=1∈HN=(0,0,...,0)

E(x)(∈ Θ) : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ ηαω

= E(x)(∈ Θ) :(∑a

i=1 ni(xi· − x··)2)/(a− 1)

(∑a

i=1

∑aik=1(xik − xi·)2))/(n− a)

≥ F a−1n−a,α (8.32)

さらに,

Rα;Xx = E−1(Rα;ΘHN) = x ∈ X :

(∑a

i=1 ni(xi· − x··)2)/(a− 1)

(∑a

i=1

∑nik=1(xik − xi·)2)/(n− a)

≥ F a−1n−a,α (8.33)

となる.

182 全体の目次

8.3ニ元配置分散分析　 第 8 章 分散分析の基礎

8.3 ニ元配置分散分析　

8.3.1 設定

前節の一元配置分散分析の拡張として, もうすこし一般的な並行同時正則観測量OabnG = (X(≡ Rabn),

BabnR , Gabn) ( in L∞(Ω(≡ (Rab × R+)) ) を以下のように考えよう.

[Gabn(Ξ)](ω)

=1

(√

2πσ)abn

∫· · ·

∫Ξ

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)2

2σ2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk (8.34)

(∀ω = ((µij)i=1,2,...,a,j=1,2,...,b, σ) ∈ Ω = Rab × R+, Ξ ∈ BabnR )

したがって,次のような並行同時正規測定

ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn

R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)])

を考える.

ここで,

µij = µ(= µ·· =

∑ai=1

∑bj=1 µij

ab)

+ αi(= µi· − µ·· =

∑bj=1 µij

b−

∑ai=1

∑bj=1 µij

ab)

+ βj(= µ·j − µ·· =

∑ai=1 µija

−∑a

i=1

∑bj=1 µij

ab)

+ (αβ)ij(= µij − µi· − µ·j + µ··) (8.35)

として,

X = Rabn ∋ x = (xijk)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, k=1,2,...,n

xij· =

∑nk=1 xijkn

, xi·· =

∑bj=1

∑nk=1 xijk

bn, x·j· =

∑ai=1

∑nk=1 xijk

an,

x··· =

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 xijk

abn(8.36)

とする.

8.3.2 帰無仮説: µ1· = µ2· = · · · = µa· = µ··

さて,

Θ = Ra (8.37)

183 全体の目次

8.3ニ元配置分散分析　 第 8 章 分散分析の基礎

と置いて, システム量 π : Ω(= Rab × R+)→ Θ(= Ra) を次のように定める.

Ω = Rab × R+ ∋ ω = ((µij)i=1,2,...,a,j=1,2,...,b, σ) 7→ π1(ω) = (αi)ai=1(= (µi· − µ··)ai=1) ∈ Θ = Ra

(8.38)

帰無仮説HN (⊆ Θ = Ra) を次のように定める.

HN = (α1, α2, . . . , αa) ∈ Θ = Ra : α1 = α2 = . . . = αa = α (8.39)

= (a︷ ︸︸ ︷

0, 0, . . . , 0) (8.40)

”(8.39)⇔(8.40)”の理由は,

aα =

a∑i=1

αi =

a∑i=1

(µi· − µ··) =

∑ai=1

∑bj=1 µij

b−

a∑i=1

∑ai=1

∑bj=1 µij

ab= 0 (8.41)

だからである. 推定量E : X(= Rabn)→ Θ(= Ra) を次のように定める.

E(x) =(∑b

j=1

∑nk=1 xijk

bn−

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 xijk

abn

)i=1,2,...,a

=(xi·· − x···

)i=1,2,...,a

(8.42)

我々の問題は,以下の通りである.

問題 8.4. [二元配置分散分析]. 並行同時正規測定

ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn

R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)])

を考えよう. ここで,

µ1· = µ2· = · · · = µa· = µ··と仮定しよう. すなわち,

π1(µ1, µ2, · · · , µa) = (0, 0, · · · , 0)

を仮定する. 　つまり帰無仮説をHN = (0, 0, · · · , 0) (⊆ Θ = Ra)) と仮定する. 0 < α≪ 1とする.

このとき,次を満たす Rα;ΘHN(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (しかも, σに依存しないもの)」を見つ

けよ

(C1) ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn

R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)]) の測定値 x(∈Rabn)が,

E(x) ∈ Rα;ΘHN

を満たす確率は, α以下である.

さらに,

∥θ(1) − θ(2)∥Θ =

√√√√ a∑i=1

(θ(1)i − θ

(2)i

)2(8.43)

184 全体の目次

8.3ニ元配置分散分析　 第 8 章 分散分析の基礎

(∀θ(ℓ) = (θ(i)1 , θ

(ℓ)2 , . . . , θ(ℓ)a ) ∈ Ra, ℓ = 1, 2)

フィッシャーの最尤法に動機付けられて,標準偏差 σ(x)(

=√SS(x)/(abn)

)を次のように定めて,計算

する.

SS(x) = SS((xijk)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b,k=1,2,...,n)

:=

a∑i=1

b∑j=1

n∑k=1

(xijk − xij·)2 =

a∑i=1

b∑j=1

n∑k=1

(xijk −∑n

k=1 xijkn

)2

=a∑i=1

b∑j=1

n∑k=1

((xijk − µij)−∑n

k=1(xijk − µij)n

)2

=SS(((xijk − µij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b)k=1,2,··· ,n) (8.44)

半距離 dxΘ ( in Θ = Ra) を次のように定める.

dxΘ(θ(1), θ(2)) =∥θ(1) − θ(2)∥Θ√

SS(x)(∀θ(1), θ(2) ∈ Θ = Ra, ∀x ∈ X = Rabn) (8.45)

推定量E : X(= Rabn)→ Θ(= Ra) を次のように定めたことを思い出そう.

E(x) =(∑b

j=1

∑nk=1 xijk

bn−

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 xijk

abn

)i=1,2,...,a

=(xi·· − x···

)i=1,2,...,a

(8.46)

したがって,

∥E(x)− π(ω)∥2Θ

=||(∑b

j=1

∑nk=1 xijk

bn−

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 xijk

abn

)i=1,2,...,a

−(αi

)i=1,2,...,a

||2Θ

=||(∑b

j=1

∑nk=1 xijk

bn−

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 xijk

abn

)i=1,2,...,a

−(∑b

j=1 µij

b−

∑ai=1

∑bj=1 µij

ab

)i=1,2,...,a

||2Θ

=||(∑n

k=1

∑bj=1(xijk − µij)bn

−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)

abn

)i=1,2,...,a

||2Θ (8.47)

ここで,帰無仮説HN (i.e., µi· − µ·· = αi = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a) ) を確認して

=||(∑n

k=1

∑bj=1 xijk

bn−

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 xijk

abn

)i=1,2,...,a

||2Θ =a∑i=1

(xij· − x···)2 (8.48)

したがって, 任意の ω = (µ1, µ2)( ∈ Ω = R× R)に対して, 正数 ηαω ( > 0) を次のように定める.

ηαω = infη > 0 : [G(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η))](ω) ≥ α (8.49)

帰無仮説HN を思い出して, ηαω を以下のように計算する.

E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)) = x ∈ X = Rabn : dxΘ(E(x), π(ω)) > η

185 全体の目次

8.3ニ元配置分散分析　 第 8 章 分散分析の基礎

=x ∈ X = Rabn :abn

∑ai=1

∑bj=1(xij· − x···)2∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − xij·)2

> η (8.50)

更に,帰無仮説π(ω)(= (α1, α2, . . . , αa)) ∈ HN (= 0, 0, . . . , 0))を満たす任意のω = ((µij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, , σ)

∈ Ωに対して,

[Gabn(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)))(ω)

=1

(√

2πσ)abn

∫· · ·

∫E−1(Ballc

dxΘ(π(ω);η))

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)2

2σ2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk

=1

(√

2πσ)abn

∫· · ·

∫abn

∑ai=1

∑bj=1

(xij·−x···)2∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1

(xijk−xij·)2>η

2

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)2

2σ2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk

=1

(√

2π)abn

∫· · ·

∫∑a

i=1

∑bj=1

(xij·−x···)2)

(a−1)∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1

(xijk−xij·)2

ab(n−1)

>η2(ab(n−1))abn(a−1)

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk)

2

2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk (8.51)

(C2) ここで,ガウス積分の公式 8.9(C)によって,次を得る,

=

∫ ∞η2(n−1)n(a−1)

pF(a−1,ab(n−1))(t)dt = α (e.g., α = 0.05) (8.52)

ここに, pF(a−1,ab(n−1)) は自由度 (a− 1, ab(n− 1))の F -分布の確率密度関数である.

式 (8.31)で見たように, F -分布 F a−1ab(n−1),αの α-点を計算すれば

(ηαω)2 = F a−1ab(n−1),α · n(a− 1)/(n− 1) (8.53)

したがって, 棄却域 Rα;Θx (or, Rα;Xx ) — 帰無仮説 HN = (0.0. . . . , 0)(⊆ Θ = Ra) の (α)-棄却域—

を,次のように得る.

Rα;ΘHN=

∩ω=((µi)ai=1,σ)∈Ω(=Ra×R+) such that π(ω)=(αi)ai=1∈HN=(0,0,...,0)

E(x)(∈ Θ) : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ ηαω

= E(x)(∈ Θ) :(∑a

i=1

∑bj=1(xij· − x···)2)/(a− 1)

(∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − xij·)2)/(ab(n− 1))

≥ F a−1ab(n−1),α (8.54)

また,

Rα;XHN= E−1(Rα;ΘHN

) = x(∈ X) :(∑a

i=1

∑bj=1(xij· − x···)2)/(a− 1)

(∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − xij·)2)/(ab(n− 1))

≥ F a−1ab(n−1),α (8.55)

186 全体の目次

8.3ニ元配置分散分析　 第 8 章 分散分析の基礎

8.3.3 帰無仮説: µ·1 = µ·2 = · · · = µ·b = µ··

我々の問題は,以下の通りである.

問題 8.5. [二元配置分散分析]. 並行同時正規測定

ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn

R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)])

を考えよう. ここで,帰無仮説を

µ·1 = µ·2 = · · · = µ·b = µ··と仮定しよう. 0 < α≪ 1とする. このとき,次を満たす Rα;ΘHN

(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (しかも, σに依存しないもの)」を見つけよ

(C1)′ ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn

R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)]) の測定値 x(∈Rabn)が,

E(x) ∈ Rα;ΘHN

を満たす確率は, α以下である.

aと bは,同等の役割をしているので, 8.3.2節と同じ議論をすればよい.

8.3.4 帰無仮説: (αβ)ij = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b )

さて、

Θ = Rab (8.56)

そして, システム量 π : Ω→ Θ を次のように定める.

Ω = Rab × R+ ∋ ω = ((µij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, σ) 7→ π(ω) = ((αβ)ij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b ∈ Θ = Rab

(8.57)

ここで,以下を思い出そう.

(αβ)ij = µij − µi· − µ·j + µ·· (8.58)

また,推定量E : X(= Rabn)→ Θ(= Rab) を次のように定める.

E((xijk)i=1,...,a, j=1,2,...b, k=1,2,...,n)

=(∑n

k=1 xijkn

−∑b

j=1

∑nk=1 xijk

bn−

∑bj=1

∑nk=1 xijk

an+

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 xijk

abn

)i=1,2,...,a j=1,2,...b,

=(xij· − xi·· − x·j· + x···

)i=1,2,...,a j=1,2,...b,

(8.59)

187 全体の目次

8.3ニ元配置分散分析　 第 8 章 分散分析の基礎

我々の問題は,以下の通りである.

問題 8.6. [二元配置分散分析]. 並行同時正規測定

ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn

R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)])

を考えよう. 帰無仮説HN (⊆ Θ = Rab) を次のように定める.

HN = ((αβ)ij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b ∈ Θ = Rab : (αβ)ij = 0, (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b)(8.60)

すなわち

(αβ)ij = µij − µi· − µ·j + µ·· = 0 (i = 1, 2, · · · , a, j = 1, 2, · · · , b) (8.61)

を仮定する. 　 0 < α≪ 1とする. このとき,次を満たす Rα;ΘHN(⊆ Θ)で,「出来るだけ大きいもの (し

かも, σに依存しないもの)」を見つけよ

(D1) ML∞(Rab×R+)(OabnG = (X(≡ Rabn),Babn

R , Gabn), S[(µ=(µij | i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b),σ)]) の測定値 x(∈Rabn)が,

E(x) ∈ Rα;ΘHN

を満たす確率は, α以下である.

さて,

∥θ(1) − θ(2)∥Θ =

√√√√ a∑i=1

b∑j=1

(θ(ℓ)ij − θ

(ℓ)ij

)2(8.62)

(∀θ(ℓ) = (θ(ℓ)ij )i=1,2,...,a, j=1,2,...,b ∈ Rab, ℓ = 1, 2)

として, 半距離 dxΘ in Θ を次のように定める.

dxΘ(θ(1), θ(2)) =∥θ(1) − θ(2)∥Θ√

SS(x)(∀θ(1), θ(2) ∈ Θ, ∀x ∈ X) (8.63)

E((xijk − µij)i=1,...,a, j=1,2,...b, k=1,2,...,n)

=(∑n

k=1(xijk − µij)n

−∑b

j=1

∑nk=1(xijk − µij)bn

−∑b

j=1

∑nk=1(xijk − µij)an

+

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)

abn

)i=1,2,...,a j=1,2,...b,

=(

(xij· − µij)− (xi·· − µi·)− (x·j· − µ·j) + (x··· − µ··))i=1,2,...,a j=1,2,...b,

=(xij· − xi·· − x·j· + x···

)i=1,2,...,a j=1,2,...b

(注意：帰無仮説 (αβ)ij = 0) (8.64)

188 全体の目次

8.3ニ元配置分散分析　 第 8 章 分散分析の基礎

したがって,

E((xijk)i=1,...,a, j=1,2,...b, k=1,2,...,n) = E((xijk − µij)i=1,...,a, j=1,2,...b, k=1,2,...,n) (8.65)

よって, 各 i = 1, ..., a, j = 1, 2, ...b,

Eij(xijk − µij)

=

∑nk=1(xijk − µij)

n−

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)bn

−∑b

j=1

∑nk=1(xijk − µij)an

+

∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)

abn

=Eij(x)− (αβ)ij

=xij· − xi·· − x·j· + x··· − (αβ)ij (8.66)

そして,　次を得る.

∥E(x)− π(ω)∥2Θ

=||(Eij(x)− (αβ)ij

)i=1,2,...,a j=1,2,...b

||2Θ (8.67)

帰無仮説 HN (i.e., (αβ)ij = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b) )に注意して,

=

a∑i=1

b∑j=1

(xij· − xi·· − x·j· + x···)2 (8.68)

よって, 任意の ω = (µ, σ)( ∈ Ω = Rab × R)に対して, 正数 ηαω ( > 0) を次のように定める.

ηαω = infη > 0 : [G(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η))](ω) ≥ α (8.69)

帰無仮説HN (i.e., (αβ)ij = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b) )を考慮して, ηαω を計算すると,

E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)) = x ∈ X = Rabn : dxΘ(E(x), π(ω)) > η

=x ∈ X = Rabn :abn

∑ai=1

∑bj=1(xij· − xi·· − x·j· + x···)2∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − xij·)2

> η2 (8.70)

すなわち, π(ω) ∈ HN (⊆ Rab) (i.e., (αβ)ij = 0 (∀i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b) ) を満たす任意の状態

ω = ((µij)i=1,2,...,a, j=1,2,...,b, , σ) ∈ Ω = Rab × R+に対して, 以下の計算を得る.

[Gabn(E−1(BallcdxΘ(π(ω); η)))(ω)

=1

(√

2πσ)abn

∫· · ·

∫E−1(Ballc

dxΘ(π(ω);η))

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)2

2σ2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk

189 全体の目次

8.3ニ元配置分散分析　 第 8 章 分散分析の基礎

=1

(√

2πσ)abn

∫· · ·

∫x∈X : dxΘ(E(x),π(ω)≥η

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − µij)2

2σ2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk

=1

(√

2π)abn

∫· · ·

∫∑a

i=1

∑bj=1

(xij·−x

i··−x·j·+x···)2∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1

(xijk−xij·)2 > η2

abn

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk)

2

2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk

=1

(√

2π)abn

∫· · ·

∫∑a

i=1

∑bj=1

(xij·−x

i··−x·j·+x···)2(a−1)(b−1)∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1

(xijk−xij·)2

ab(n−1)

>η2(ab(n−1))

abn(a−1)(b−1)

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk)

2

2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk

(8.71)

(D2) ここで,ガウス積分の公式 8.9(D)によって,次を得る,

=

∫ ∞η2(n−1)

n(a−1)(b−1)

pF((a−1)(b−1),ab(n−1))(t)dt = α( e.g., α = 0.05) (8.72)

ここに, pF((a−1)(b−1),ab(n−1)) は自由度 ((a− 1)(b− 1), ab(n− 1))の F -分布の確率密度関数である.

ここまでくれば,前の議論と同様に, 次の方程式を解けばよい.

η2(n− 1)

n(a− 1)(b− 1)= F

(a−1)(b−1)ab(n−1),α (= ”α-点”) (8.73)

よって,

(ηαω)2 = F(a−1)(b−1)ab(n−1),α n(a− 1)(b− 1)/(n− 1) (8.74)

したがって, 次のような棄却域 Rα;Θx (or, Rα;Xx ; HN = ((αβ)ij)i=1,2,··· ,a,j=1,2,··· ,b : (αβ)ij = 0 (i =

1, 2, · · · , a, j = 1, 2, · · · , b)(⊆ Θ = Rab) の (α)-棄却域) を得る.

Rα;ΘHN=

∩ω=((µij)ai=1

bj=1,σ)∈Ω(=Ra×R+) such that π(ω)=(αβ)ij∈HN

E(x)(∈ Θ) : dxΘ(E(x), π(ω)) ≥ ηαω

= E(x)(∈ Θ) :(∑a

i=1

∑bj=1(xij· − x···)2)/((a− 1)(b− 1))

(∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − xij·)2)/(ab(n− 1))

≥ F (a−1)(b−1)ab(n−1),α (8.75)

また,

Rα;XHN= E−1(Rα;ΘHN

) = x(∈ X) :(∑a

i=1

∑bj=1(xij· − x···)2)/((a− 1)(b− 1))

(∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk − xij·)2)/(ab(n− 1))

≥ F (a−1)(b−1)ab(n−1),α (8.76)

190 全体の目次

8.4補遺（ガウス積分の公式) 第 8 章 分散分析の基礎

8.4 補遺（ガウス積分の公式)

ここまでで, 計算の部分はあまり多くない。以下に、「計算公式」として、まとめておく。多分、これ

からもこれ以上の計算はしない。

8.4.1 正規分布、χ二乗分布、スチューデントの t-分、F -分布

定義 8.7. [F 分布]. ここで実数 t ≥ 0 に対し n1 と n2 は正の整数とする。自由度 (n1, n2)の F -分布の

確率密度関数 pF(n1,n2)(t) は,

pF(n1,n2)(t) =

1

B(n1/2, n2/2)

(n1n2

)n1/2 t(n1−2)/2

(1 + n1t/n2)(n1+n2)/2(t ≥ 0) (8.77)

と定義される。ここで、B(·, ·)はベータ関数で、x, y > 0として、

B(x, y) =

∫ 1

0tx−1(1− t)y−1dt

である。また、

自由度 (1, n− 1)の F -分布= 自由度 (n− 1)のスチューデントの t-分布

にも注意しよう。

二つの写像 µ : Rn → R to SS : Rn → Rを次のように、定める。

µ(x) = µ(x1, x2, · · · , xn) =

∑nk=1 xkn

SS(x) = SS(x1, x2, · · · , xn) =n∑k=1

(xk − µ(x))2

(∀x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn)

公式 8.8. 　 [ガウス積分 (正規分布と χ二乗分布)]. 既に、(7.6)と (7.7)で述べた。

公式 8.9. 　 [ガウス積分 (F -分布)]. c ≥ 0として、

(A):1

(√

2π)n

∫· · ·

∫c≤ n(µ(x))2

SS(x)/(n−1)

exp[−∑n

k=1(xk)2

2]dx1dx2 · · · dxn =

∫ ∞c

pF(1,n−1)(t)dt (8.78)

(B): n =∑a

i=1 niとして、

1

(√

2π)n

∫· · ·

∫(∑a

i=1ni(xi·−x··)2/(a−1)

(∑a

i=1

∑nik=1

(xik−xi·)2)/(n−a)

>c

exp[−∑a

i=1

∑nik=1(xik)

2

2]a

×i=1

ni×k=1

dxik

191 全体の目次

8.4補遺（ガウス積分の公式) 第 8 章 分散分析の基礎

=

∫ ∞c

pF(a−1,n−a)(t)dt (8.79)

(C):1

(√

2π)abn

∫· · ·

∫∑a

i=1

∑bj=1

(xij·−x···)2

(a−1)∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1

(xijk−xij·)2

ab(n−1)

>c

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk)

2

2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk

=

∫ ∞c

pF(a−1,ab(n−1))(t)dt (8.80)

同じことであるが、

(D):1

(√

2π)abn

∫· · ·

∫∑a

i=1

∑bj=1

(xij·−x

i··−x·j·+x···)2(a−1)(b−1)∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1

(xijk−xij·)2

ab(n−1)

>c

exp[−∑a

i=1

∑bj=1

∑nk=1(xijk)

2

2]n

×k=1

b

×j=1

a

×i=1

dxijk

=

∫ ∞c

pF((a−1)(b−1),ab(n−1))(t)dt (8.81)

192 全体の目次