KUADRATİK FORMLAR

KUADRATİK FORM

Tanım: Kuadratik Form

Bir q(x1,x2,…,xn) fonksiyonu nq :x şeklinde tanımlı ve xixj bileşenlerinin

doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur. Bir kuadratik

form şu şekilde yazılabilir:

AxxxT

q

Burada A, nn boyutlu eşsiz bir simetrik matristir. Aynı zamanda A, q karesel formunun

tanım matrisi olarak da adlandırılır.

Kuadratik formlar kümesi 1 2, ,...,n n

Q q x x x , n uzayından uzayına tanımlı tüm

doğrusal fonksiyonların bir alt kümesidir.

KUADRATİK FORM

Örnek:

Aşağıdaki kuadratik form için A matrisini bulunuz.

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 9 7 3 2 4 6q x x x x x x x x x x x x

Çözüm:

iia

2

ix ‘lerin katsayısı

1(

2ij ji i j

a a x x ‘lerin katsayısı)

O halde,

9 1 2

1 7 3

2 3 3

A

KÖŞEGENLEŞTİRME

Teorem: Bir Kuadratik Formun Köşegenleştirilmesi

AxxxT

q bir kuadratik form ve A, n×n boyutlu simetrik bir matris olsun.

, A için ortanormal bir baz ve 1 2, ,...,

n de ilgili özdeğerler olsun. O halde

1

1

2

1

0 0

0 0

0 0

n

n

n

c

c c

c

2 2 2

1 1 2 2( ) ...n n

q x c c c

Burada ic ‘ler ’ya göre x’in koordinatlarıdır.

KÖŞEGENLEŞTİRME

Örnek:

2 2

1 1 2 213 10 13 25x x x x şeklinde tanımlanmış kuadratik formu ele alalım.

12 2

1 1 2 2 1 2

2

13 513 10 13

5 13

xx x x x x x

x

şeklinde matris notasyonunu kullanabiliriz.

13 50

5 13

1 8 , 2 18

1 8 için, özvektör 1

1

1v

; 2 18 için özvektör 2

1

1v

’dir. Bulunan bu

özvektörler ortogonaldir.

O halde bu kuadratik form şu şekilde yazılabilir:

2 2

1 28 18 25c c

Teorem: Herhangi bir gerçel A matrisi ve tüm gerçel x vektörleri için

xTAx=0 eşitliği ancak ve ancak A matrisi çarpık simetrik ise sağlanır.

Teorem: Eğer A ve B matrisleri simetrik ise tüm gerçel x vektörleri için xTAx= x

TBx

eşitliği ancak ve ancak A=B ise sağlanır.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Aşağıdaki denklem üzerinden özdeğerleri ele alalım.

2 2

1 1 2 22ax hx x bx c

Burada a, h, b sıfırdan farklıdır. 2 2

1 1 2 22ax hx x bx İfadesi x1 ve x2’ye göre

bir kuadratik form olarak adlandırılır. Bu eşitlik aynı zamanda şu şekilde

de gösterilebilir:

12 2

1 1 2 2 1 2

2

2 Txa h

ax hx x bx x xxh b

x Ax

Burada1

2

x

x

x vea h

h b

A ’dir. A kuadratik formun tanım matrisi olarak

adlandırılır.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Şimdi x1 ve x2 eksenlerini saat yönünün tersine θ kadar çevirerek yeni eksenler '

1x ve '

2x

elde edilsin. Eksenlerin dönüşümünü gösteren denklemler şu şekilde elde edilir:

Bir P matrisinin x1 ve x2 eksenine bağlı koordinatları (x1, x2), '

1x ve '

2x eksenine bağlı

koordinatları da ' '

1 2,x x olsun. Aşağıdaki şekil göz önüne alınarak,

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

1x

'

1x '

2x

x2

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

1 cos( )x OQ OP

cos cos sin sinOP

cos cos sin sinOP OP

cos sinOR PR

' '

1 2cos sinx x

Not: cos( ) cos cos sin sinx y x y x y

Aynı şekilde,

2 sin( )x QP OP

(sin sin cos cos )OP

( sin )sin ( cos )cosOP OP

' '

2 1 2sin cosx x x

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Bu dönüşüm denklemleri matris formunda şu şekilde gösterilebilir:

'1 1

'2 2

cos sin

sin cos

x x

x x

Burada cos sin

sin cosP

olmak üzere, P matrisi ortogonaldir. Yani 2

T PP I

dir. Ayrıca det(P)=1’dir. Bu özellikleri taşıyan matrislere “rotasyon matrisi” denir.

Ayrıca yeni koordinatları eski koordinatlar cinsinden elde etmek mümkündür.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

'11

'22

cos sin

sin cos

Txx

xx

Y P x

Böylece '

1 1 2cos sinx x x ve '

2 1 2sin cosx x x olur. O halde,

TT T T x Ax PY A PY Y P AP Y Olur.

Buradan anlaşılacağı gibi TP AP ’yi 1 2,diag gibi köşegen matris haline

getirecek herhangi bir θ açısı seçmek mümkündür.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

'

2 21' ' ' '1

1 2 1 1 2 2'2 2

0

0

T xx Ax x x x x

x

2 22ax hxy by c Denklemi yeni eksenlere göre 2 2' '

1 1 2 2x x c haline

dönüşmüştür. 1p ve

2p , P matrisinin sütunları olmak üzere aşağıdaki eşitlikler

sağlanmaktadır:

1 1 1Ap p ve 2 2 2Ap p

Bu denklemler 1 ve2 üzerine bir takım kısıtlamalar getirmektedir. Örneğin,

1

1

1

u

v

p olsun. İlk denklem,

1 1

1

1 1

u ua h

v vh b

ya da

1 1

1 1

0

0

a h u

h b v

şekline dönüşür.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

İki bilinmeyenli, iki doğrusal denklemli bir homojen sistemle ilgilenildiği için,

1

1

0a h

h b

Aynı şekilde 2 de bu eşitliği sağlamaktadır. Genişletilmiş formda bu ifade

2 2 0a b ab h olur. Bu denklemin reel kökleri

2 22 24 4

2 2

a b a b ab h a b a b h

2 2 0a b ab h denklemi, A matrisinin özdeğer denklemidir.

Yukarıdaki örnekte p1 ve p2 ,sırasıyla λ1 ve λ2’ye karşılık gelen özvektörlerdir.

TEMEL EKSENLER

Tanım: Temel Eksenler

AxxxT

q bir kuadratik form, A ise n×n boyutlu ve n farklı

özdeğere sahip simetrik bir matris olsun. A’nın öz uzayları

(eigenspaces)’na q’nun temel eksenleri denir.

ELİPSLER VE HİPERBOLLER

Teorem: Elipsler ve Hiperboller

2 ‘de tanımlı bir eğri olan C, şu şekilde tanımlanmıştır:

2 2

1 2 1 1 2 2( , ) 1q x x ax bx x cx

q’nun matrisi olan 2

2

ba

b c

‘nın özdeğerleri 1 ve 2 olsun.

Eğer 1 ve 2 pozitifse C bir elips, biri pozitif diğeri negatifse C bir hiperboldür.

ELİPSLER VE HİPERBOLLER

1.durum: 2 2

1 2 1 1 2 2( , ) 1q x x ax bx x cx , b>a>0. Bu durumda eğri bir elipstir ve

eksenleri kestiği noktalar 1 a ve 1 b ’dir. O halde,

2

2

a b

b c

1

2

01cos sin

0 1

x a

x b

2.durum: 2 2

1 2 1 1 2 2( , ) 1q x x ax bx x cx , a>0 ve b<0. Bu durumda eğrü hiperboldür.

2

2

a b

b c

ELİPSLER VE HİPERBOLLER

1.durum 2.durum

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Tanım: Temel Alt Matrisler ve Pozitif Tanımlılık

A, nxn boyutlu simetrik bir matris olmak üzere; 1,...,m n için ( )mA de A’nın

m’ye kadar olan satır ve sütunlarının çıkarılmasıyla elde edilen mxm’lik bir matris

ise bu ( )m

A matrislerine A’nın temel alt matrisleri denir.

A matrisi tüm 1,...,m n için ( )det( ) 0mA koşulu sağlanıyorsa pozitif tanımlıdır.

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Örnek:

9 1 2

1 7 3

2 3 3

A

matrisi pozitif tanımlı mıdır?

Çözüm:

(1)det( ) det 9 9 0A

(2)9 1

det( ) det 62 01 7

A

(3)det( ) det 89 0A A

Böylece A’nın pozitif tanımlı olduğunu söyleyebiliriz.

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Tanım: Özdeğerler ve Pozitif Tanımlılık

Simetrik bir A matrisi sadece ve sadece tüm özdeğerleri pozitif olduğunda pozitif

tanımlıdır. Eğer özdeğerleri pozitif veya sıfırsa A matrisi yarı pozitif tanımlıdır.

Determinant, özdeğerlerden oluştuğu için pozitif tanımlı bir matrisin determinantı da

pozitiftir. Fakat tersi durum geçerli değildir.

Özdeğerlerinden biri pozitif ve diğer ikisi negatif olan 3×3 boyutlu bir A matrisini

ele alalım. det(A) pozitiftir fakat AxxxT

q pozitif tanımlı değildir.

A matrisi nn boyutlu simetrik bir matris ve x vektörü n elemanlı bir sütun

vektörü ise karesel formun genel yapısı,

2

11 1 12 2 13 1 3 1 12 2 2T

1 n na x a x x a x x a x x x Ax

nn xxaxxaxa 2232232222 22

nn xxaxa 332333 2

2n xann

ifadesi ile verilebilir.

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Tanım: Bir Kuadratik Formun Tanımlılığı

AxxxT

q bir kuadratik form ve A, n×n boyutlu simetrik bir matris olsun.

Eğer n ‘de x’in tüm sıfır olmayan değerleri için ( )q x pozitifse A pozitif tanımlı,

( ) 0q x ise A pozitif yarı tanımlıdır.

Eğer q hem pozitif hem de negatif değerler alabiliyorsa A belirsiz (indefinite)’dir.

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Tüm x≠0 sütun vektörleri için eğer xTAx>0 ise karesel form ve A matrisi

pozitif tanımlıdır. Eğer tüm x≠0 sütun vektörleri için xTAx0 ise karesel

form ve matris pozitif yarı tanımlıdır. Yukarıdaki eşitsizliklerin yönü

değiştirilerek negatif tanımlı ve negatif yarı tanımlı karesel form ve matrisler

tanımlanabilir. Eğer bir form bazı x vektörleri için pozitif, diğerleri için negatif

ise tanımsızdır.