8.3.Ejercicios de integrales resueltos por substitución · Matemáticas de 2º de bachillerato...
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Matemáticas de 2º de bachillerato página 41 Integral indefinida
8.3.Ejercicios de integrales resueltos por substituciónHagamos algunos ejercicios de resolución de integrales utilizando el método de
substitución o cambio de variable.
Ejercicio 64.-
Resolver la integral Ix
xdx=
−∫
252
Solución:Resolvemos por substitución.
Hacemos t xdt x dx
= −=
2 52
Substituyendo: { {Ix
xdx
dtt
L t C L x Cinmediata deshaciendo
el cambio
=−
= = + = − +∫∫2
552
2
Ejercicio 65.-
Resolver la integral Ix dx
x=
+∫ 2 3
Solución:Resolvemos por substitución.
Hacemos t x
dt x dx y despejando x dx dt
= +
= =
2
2
3
2
Substituyendo: { {Ix dx
x tL t C L x C
dtdtt
inmediata deshaciendoel cambio
=+
= = = + = + +∫∫∫ 22 1
212
12
23
3
Ejercicio 66.-Dada la función f (x) = cos 7x , se pide:a) Halla el conjunto de sus primitivas.b) Halla la primitiva de f (x) cuya gráfica pasa por el punto P(0,1).
Solución:a) Buscamos I x dx= ∫ cos7
Por el método de substitución, hacemos: t x
dt dx dx dt
=
= → =
7
7 17
Substituyendo:
{I x dx t dt t dt sen t C sen x Cdeshaciendoel cambio
= = ⋅ = = + = +∫∫ ∫cos cos cos7 717
17
17
17
Por tanto: F x sen x C( ) = +1
7 7←
b) De la infinitas primitivas de f (x) buscamos aquella cuya gráfica pasa por el punto P(0,1).
Conjunto de las funciones primitivas dela función f (x) = cos 7x
Matemáticas de 2º de bachillerato página 42 Integral indefinida
F x sen x C( ) = +17 7
F x sen x( ) = +17 7 1
Ejercicio 67.-Resolver la integral , siendo a,b0úI sen ax b dx= +∫ ( )
Solución:Resolvemos por substitución.
Hacemos t ax b
dt a dx despejando dx dta
= +
= → =
Substituyendo:
{ ( ) {I sen ax b dx sen t dt sen t dt t Cax ba
Ca ainmediata
adeshaciendoel cambio
= + = ⋅ = = − + = −+
+∫∫∫ ( ) coscos( )1 1 1
Ejercicio 68.-Resolver la integral I dxx= − −∫ 4
53 2
2cosSolución:
Por cambio de variable, hacemos: t
dt dx dx dt
x=
= → =
− −
− −
3 223
22
3Substituyendo:
I dx t dt t dt
sen t C sen C
x
x
= = ⋅ = ⋅ =
= + = +
− − − −
− − − −
∫∫ ∫45
3 22
45
23
23
45
815
815
3 22
cos cos cos
Ejercicio 69.-Resolver la integral I x sen x dx= ∫ 2
Solución:
Por cambio de variable, hacemos: t u x x
dt u x dx x dx x dx dt
= =
= ′ = → =
( )
( )
2
122
Substituyendo:
( )I x sen x dx sen t dt sen t dt t C x C= = = = − + = − +∫∫ ∫2 12
12
12
12
2cos cos
Se debe verificar que F (0) = 1, es decir, sen
C0
7 1+ =Por tanto: 0 + C = 1 ; C = 1
es la función buscada
Matemáticas de 2º de bachillerato página 43 Integral indefinida
I x x dx t t dt C t C t Cx
x Cdt t t= + = = = + = + = + =
++ +∫ ∫ ∫1 4
1 412
1 428
18
18
224
312
221
2
32
32
Ejercicio 70.-
Resolver la integral Ix x
x xdx=
−
−∫
3 6
3
2
3 2
Solución:
Por cambio de variable, hacemos: ( )t u x x x
dt u x dx x x dx
= = −
= ′ = −
( )
( )
3 2
2
3
3 6Substituyendo:
Ix x
x x dxdx
dtt
dt
tt dt
tC
tC t C x x C=
−
−= = = =
− ++ = + = + = − +∫∫ ∫ ∫ −
− +3 6
3 12 2 3
2
3 2
1
12
12
3 21
2
12
12
12
Ejercicio 71.-Resolver la integral I x dx= −∫ 5 7
Solución:
Por cambio de variable, hacemos: t x
dt dx dx dt
= −
= → =
5 7
5 5Substituyendo:
I x dx t dt t dtt
C
tC t C t C t t C x x C
= − = = = + =
= + = + = + = + = − − +
∫∫ ∫+
+5 7
15
15
215
215
215
215
5 7 5 7
15
15
1
1
32
3 3
12
12
12
32
( )
Ejercicio 72.-Dada la función , se pide:f x x x( ) = +1 4 2
a) Determina el conjunto de sus primitivas.b) Encuentra aquella primitiva cuya gráfica pasa por el punto P(0,1)
Solución:a) Debemos resolver la integral I f x dx x x dx= = +∫ ∫( ) 1 4 2
Por el método de substitución o cambio de variable: t x
dt x dx x dx dt
= +
= → =
1 4
8
2
8Substituyendo en la integral:
( )
F xx x
C( ) =+ +
+1 4 1 4
12
2 2 Para cada valor de C 0ú tenemosuna función F(x) primitiva de f (x).
Matemáticas de 2º de bachillerato página 44 Integral indefinida
( )F C C C( )0
1 4 0 1 4 0
121
121 1
112
1112
2 2
=+ ⋅ + ⋅
+ = + = ⇒ = − =
b) Buscamos aquella primitiva que pasa por el punto P(0,1):La función F(x) buscada debe verificar que F (0) = 1, es decir:
Por tanto:
es la función primitiva de f (x) cuya gráficapasa por el punto P(0,1).
Ejercicio 73.-
Resolver la integral I x e dxx= −∫ 2 23
Solución:
Por cambio de variable, hacemos: t x
dt x dx x dx dt
= −
= → =
3
2 23
2
3
Substituyendo en la integral:
{ {I x e dx e e dt e Ce
Cx t dt t
inmediata
t
deshaciendoel cambio
x= = = = + = +−
−
∫ ∫ ∫2 23
13
13
23
3
3
Ejercicio 74.-
Resolver la integral Ix dx
e x= ∫
35 2
Solución:Expresamos la integral de otra forma: I x e dxx= −∫ 3 5 2
Por el método de substitución, hacemos: t x
dt x dx x dx dt
= −
= − → = −
5
10
2
10Substituyendo en la integral:
I x e dx e e dt e C e Cx t dt t t x= = = − = − + = − +−−
−∫∫ ∫3 3510
310
310
310
52 2
Ejercicio 75.-Resolver la integral I sen x
dxx
= ⋅∫ 12
Solución:
Hacemos el siguiente cambio de variable: t
dt dx dtx
xdxx
=
= → = −
−
1
12 2
( )F x
x x( ) =
+ ++
1 4 1 4
121112
2 2
Matemáticas de 2º de bachillerato página 45 Integral indefinida
Substituyendo en la integral:
I sen dx sen t dt sen t dt t C t C Cx x x= ⋅ = ⋅ − = − = − − + = + = +∫ ∫ ∫1 1 12 ( ) ( cos ) cos cos
Ejercicio 76.-
Resolver la integral ( )
Ix
xdx=
+ +∫
2
1 2
2
3 2
Solución:
Por el método de substitución, hacemos: t x
dt x dx x dx dtdespejando
= +
= → =
3
2 2 13
2
3
Substituyendo en la integral:
( ) ( )I
x
xdx
dt
t tdt arc tg t C arc tg x C=
+ +=
+=
+= + = + +∫ ∫ ∫
2
1 22
11
12
2
3 2
13
223 2
23
23
3
Ejercicio 77.-
Resolver la integral ( )Idx
x sen L xL= ∫ 2 4
es logaritmo neperiano
Solución:
Por el método de cambio de variable: t L x
dt dx dxx x
=
= =
4
414
1
Substituyendo en la integral:
{Idx
x sen L x sen tdt t C L x C
deshaciendo el cambio= = = − + = − +∫∫ 2 24
14 cotg cotg
Ejercicio 78.-Resolver la integral ( )I x a dx siendo a y ax= ∈ >∫
2
0RSolución:
Por el método de cambio de variable: t x
dt x dx x dxdespejando dt
=
= → =
2
22
Substituyendo en la integral:
I x a dx a dt a dtaLa
Ca
LaC
aLa
Cx t tt x x
= = = = + = + = +∫∫ ∫2
2 2
12
12
12 22
Matemáticas de 2º de bachillerato página 46 Integral indefinida
Ejercicio 79.-Resolver la integral ( )I e e dxx x= −∫ 6
3
Solución:
Por el método de cambio de variable: t e
dt e dx
x
x
= −
=
6
Substituyendo en la integral:
( ) {( )
I e e dx t dt Ce
Cx x t
deshaciendo el cambio
x
= − = = + =−
+∫∫ 66
43
4
44
Ejercicio 80.-Hallar el conjunto de las funciones primitivas de la función g x sen x x dx( ) = ⋅ cos4
Posteriormente hallar aquella cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.Solución:
Se trata de resolver la integral I sen x x dx= ⋅∫ cos4
Hacemos el siguiente cambio de variable: t xdt sen x dx sen x dx dt
== − ⇒ = −
cos
Substituimos en la integral:
I sen x x dx x sen x dx t dt t dt C Ct x= ⋅ = ⋅ = − = − = − + = +∫ ∫ ∫∫cos cos -cos5
4 4 4 455 5
( )Por tanto:
es el conjunto de las funciones primitivas de g(x)
Busquemos aquella cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas:Para x debe ser G
C C Cx
= =
− + = − + = =
⇒
0 0 0
0 05 51
515
( )
; ;cos5
Ejercicio 81.-Resolver la integral I dxx
x=
+∫ 21 4
Solución:
Por el método de cambio de variable: t xdt x dx
==
2
2Substituyendo en la integral:
( )
Ix
dxx
dxdt
tarc tg t C arc tg x C=
+=
+=
+= + = +∫∫ ∫
11 4
1
1 12 2 22
G xx
C( ) = − +cos
5
5
G xx
( ) = − +cos
5
5 15
Matemáticas de 2º de bachillerato página 47 Integral indefinida
Ejercicio 82.-
Resolver la integral Iee
dxx
x=+
∫1 2
Solución:
Por el método de cambio de variable: t e
dt e dx
x
x
=
=
Substituyendo en la integral:
( )
Iee
dxe
edx
dtt
arc tg t C arc tg e Cx
x
x
xx=
+=
+=
+= + = +∫ ∫ ∫
1 1 12 2 2
Ejercicio 83.-Halla el conjunto de las primitivas de y encuentra aquella cuya gráficaf x x( ) = +
13 2
pasa por el origen de coordenadas.
Solución:
Debemos resolver la integral I dxx= +∫ 13 2
Hacemos el cambio de variable: t x
dt dx dx dtdespejando
= +
= → =
3 2
3 13
Substituyendo en la integral:
I dx dt L t C L x C Lx t= = = + = + ++ ∫∫ 13 2
13
1 13
13 3 2 : logaritmo neperiano
Por tanto:
Para cada valor de C 0ú tenemos una primitiva de f (x)
Buscamos aquella función F(x) tal que F(0) = 0
F L C Buscamos C
C LL
( )0 0 3 0 2 0
2
13
13
23
= ⇒ ⋅ + + =
= − = −
es la función primitiva de cuya gráficaf x x( ) = +1
3 2pasa por el origen de coordenadas.
Ejercicio 84.-Resolver I tg x dx= ∫ 2
Solución:
F x L x C( ) = + +13 3 2
F x L xL
( ) = + −13
233 2
Matemáticas de 2º de bachillerato página 48 Integral indefinida
Expresamos el integrando de otro modo: I dxsen x
x= ∫22cos
Por el método de substitución :t x
dt sen x dx sen x dxdespejando dt
=
= − → = −
cos2
2 2 2 2Substituyendo en la integral:
I tg x dx dx dt dt L t C L x Csen x
x t t= = = = − = − + = − +∫∫ ∫ ∫−2 222
1 12
12
1 12
12cos cos
Ejercicio 85.-Resolver I x dx= −∫ 3
Solución:
Por el método de cambio de variable, hacemos: t xdt dx
= −=
3
Sustituyendo en la integral:
I x dx t dt t dtt
Ct
Ct
Cx
C= − = = =+
+ = + = + =−
+∫ ∫∫+
31
23
2 33
12
12
321
12
32
3 3( )
Ejercicio 86.-
Resolver la integral Idx
x arc sen x=
− ⋅∫
1 2
Solución:
Hacemos el cambio :
t u x arc sen x
dt u x dxx
dx
= =
= ′ =−
( )
( )1
1 2
Substituyendo en la integral tenemos:
Idx
x arc sen x tdt L t C L arc sen x C=
− ⋅= = + = +∫ ∫
1
12
Ejercicio 87.-Resolver la integral I sen x x dx= ⋅∫ 3 3cos
Solución:La fórmula fundamental de la trigonometría dice: sen x x2 2 1+ =cos
Despejando: sen x x sen x x2 2 21 1= − = −cos cos;
Substituyendo en la integral: ( )I sen x x dx x x dx= ⋅ = −∫ ∫3 3 2 3 31cos cos cos
Resolvemos por cambio de variable.
Matemáticas de 2º de bachillerato página 49 Integral indefinida
Hacemos el cambio: t x
dt sen x dx dx dtsen x
dtt
=
= − → = =
− −
−
cos
1 2
Substituyendo en la integral:
( ) ( ) }
( ) ( ) ( )
{
I sen x x dx x x dx t tt
dt
t t dt t t dt t t dt t dt t dt C
x xC
simplificando
t t
deshaciendo el cambio
= ⋅ = − = −−
−=
= − − = − − = − − = − + = − + + =
= − + +
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫∫∫
3 3 2 3 3 2 3 32
2 2 3 2 3 3 5 3 54 6
3 6
1 11
1
1 1
4 6
4 6
cos cos
cos cos
cos
Ejercicio 88.-
Resolver la integral ( ) ( )Ix
x L xdx=
− ⋅ −∫
2
3 32 2
Solución:
Por cambio de variable, hacemos: ( )t L x
dtx
xdx
= −
=−
2
2
3
23
Substituyendo en la integral:
( ) ( ) ( ) ( )Ix
x L xdx
L x
xx
dxt
dt L t C L L x C=− ⋅ −
=−
⋅−
= = + = − +∫ ∫ ∫2
3 3
1
3
23
132 2 2 2
2
Ejercicio 89.-
Resolver la integral Ix
sen xdx=
−+∫
51
cos
Solución:
Por el método de substitución: Hacemos el cambio t sen xDiferenciando dt x dx
= +=
1: cos
Substituyendo en la integral:
{Ix
sen xdx
tdt
tdt
tdt t C sen x C
multiplico por=
−+
=−
= − = − ⋅ = − + = − + +∫ ∫ ∫ ∫5
15
51
5 21
210 10 1
22
cos
Ejercicio 90.-Resolver la integral I x sen x dx= ⋅∫ cos2 3 3
Solución:
Por cambio de variable : Hacemos t xDiferenciando dt sen x dx
== −
cos33 3:
Matemáticas de 2º de bachillerato página 50 Integral indefinida
Substituyendo en la integral:
I x sen x dx t dt t dt C Cx
Ct t= ⋅ = = = + = − + = − +∫ ∫∫ − − −coscos2 2 1
31
32 1
3 3 9
33 3
39
3 3
Ejercicio 91.-
Resolver la integral Ix k
dx con k=+
∈∫1
2 2 R
Solución:
Por el método de substitución : Hacemosel cambio t
Diferenciando dt dx dx k dt
xk
kdespejando
=
= → =
: 1
Substituyendo en la integral:
( )Idx
x kk dt
k t kk
k tdt
k tdt
karc tg t C
karc tg
xk
C=+
=+
=+
=+
= + = +∫ ∫∫ ∫2 2 2 2 2 2 2 21
1 11
1 1
Ejercicio 92.-
Resolver la integral Ix
dx=+
∫3
42
Solución:
Expresamos la integral de la forma Ix
dxx
dx=+
=+
∫ ∫3
43
22 2 2
Por el método de cambio de variable:t x t
dt dx dx dt
x= → =
= → =
212
2
2Substituyendo en la integral:
( )Ix
dxdt
tdt
t
dtt
arc tg t C arc tgx
C=+
=+
=+
=+
= + = +∫∫ ∫ ∫3
23
22 2
32
4 1
32 1
32
32 22 2 2 2 2 2 2
Ejercicio 93.-
Resolver la integral Ik x
dx siendo k=−
∈∫1
2 2R
Solución:
Por cambio de variable. Hacemos: t x k t
dt dx dx k dt
xk
despejando
kdespejando
= → =
= → =
1
Substituyendo en la integral:
( )I
dx
k x
k dt
k k t
k dt
k t
k dt
k t
dt
tarc sen t C arc sen Cx
k=−
=−
=−
=/
/ −=
−= + = +∫∫∫ ∫ ∫2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1
Matemáticas de 2º de bachillerato página 51 Integral indefinida
Ejercicio 94.-
Resolver la integral Idx
x=
−∫
7
9 2
Solución:
Expresamos el integrando de otra forma: Idx
x
dx
x=
−=
−∫∫
7
97
32 2 2
Hacemos el siguiente cambio de variable: t x t
dt dx dx dt
x= → =
= → =
313
3
3Substituyendo en la integral:
( )I
dx
x
dt
t
dt
t
dt
t
dt
t
arc sen t C arc sen Cx
=−
=−
=−
=−
=−
=
= + = +
∫ ∫ ∫∫ ∫73
73
3 37
3
3 17
3
3 17
1
7 7
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
Ejercicio 95.-Resolver la integral I dxLx
x= ∫Solución:
Realizamos el siguiente cambio de variable: t Lx
dt dxx
=
=
1
Substituyendo en la integral:
{( )
I dx Lx dx t dt CL x
CLx Lx
CLxx x
t
deshaciendo el cambio= = ⋅ = = + = + =
⋅+∫∫ ∫1
2
22
2 2
Ejercicio 96.-
Resolver la integral Iarc tg x
xdx=
+∫
1 2
Solución:
Por el método de substitución: t u x arc tg x
dt u x dxx
dx
= =
= ′ =+
( )
( )1
1 2
Substituyendo en la integral :
( )I
arc tg xx
dx arc tg xx
dx t dtt
Carc tg x
C=+
= ⋅+
= = + = +∫∫∫1
11 2 22 2
2 2
Ejercicio 97.-Resolver la integral I tg x dx= ∫ 3
Matemáticas de 2º de bachillerato página 52 Integral indefinida
Solución:
Hacemos el cambio: ( )t tg x
dt dxx
dxsen x x
xdx tg x dx
sen xx
=
=
= =
+= +
′
cos cos cos1
12
2 2
22cos
Manipulando el integrando a nuestra conveniencia y substituyendo:
( ) ( )[ ]
( )I tg x dx tg x tg x dx tg x tg x dx tg x tg x tg x dx
tg x tg x dx tg x dx I I
= = ⋅ = ⋅ + − = ⋅ + − =
= ⋅ + − = −
∫∫∫∫
∫∫
3 2 2 2
21 2
1 1 1
1
Resolvemos la integral ( )I tg x tg x dx12 1= ⋅ +∫
( )I tg x tg x dx t dt C Ct tg x1
22 2 112 2
= ⋅ + = = + = +∫∫Resolvemos la integral I tg x dx2 = ∫
I tg x dx ver ejercicio en pagina L x C2 145 24= = = − +∫ ( & ) cosPor tanto:
I tg x dx I I L x C Ctg x
= = − = + + ∈∫ 31 2 2
2
cos R
Ejercicio 98.-
Resolver la integral Nota : Hacer el cambio de variable x = sen tIx
xdx=
−∫
2
21Solución:
En este caso el enunciado nos ayuda recomendándonos el cambio a efectuar. Por tanto:x sen t t arc sen x
dx t dt dtx
dx
= → =
= → =−
cos
1
1 2
Substituyendo en la integral:
{
{ {
Ix
xdx
sen t
sen tt dt
sen tt dt sen t dt
C C C
como sen t t
ver ejercicio
t sen t t sen t t
deshaciendo el cambio
arc sen x x x
=−
=−
= = =
= − + = − + = + +
∫ ∫ ∫ ∫− =
⋅ −
2
2
2
21
22
602
24 2
24 2
2 14
1 1 2
2
coscos
cos
costcos
Ejercicio 99.-
Resolver la integral Nota : Hacer el cambio de variable x = cos tIx
xdx=
−∫
1 2
2
Solución:
Realizamos el cambio aconsejado: x t t arc x
dx sen t dt dtx
dx
= → =
= − → =−
−
cos cos1
1 2
Matemáticas de 2º de bachillerato página 53 Integral indefinida
Substituyendo en la integral:
{Ix
xdx
tt
sen t dtsen t
tdt
sen tt
dt tg t dt I
al ser t sen t
=−
=−
− = − =
= − = − = −
∫∫ ∫
∫ ∫
− =
1 12
2
2
21
2
2
22
1
2
coscos cos
cos
cos
( )
Hemos llamado I tg t dt12= ∫
Resolvemos la integral I1 :
( ) ( )I tg t dt tg t dt tg t dt dt I I12 2 2
2 21 1 1 1= = + − = + − = −∫∫∫ ∫Hemos llamado ( )I tg t dt y I dt dt2
231 1= + = =∫∫ ∫
Resolvemos la integral I2 :
( ) ( ) {I tg t dt dt dt dt tg t Csen tt
t sen tt t
inmediata2
2 11 12
2
2 2
2 2= + = + = = = ++∫∫∫ ∫coscos
cos cos
Resolvemos la integral I3 :I dt t C3 = = +∫
Como I1 = I2 & I3 :I tg t t C con C1 = − + ∈ R
Como la integral buscada es I = & I1 tenemos que I tg t t C= − − +Deshaciendo el cambio de variable:
Ejercicio 100.-Comprobar el resultado obtenido en el ejercicio anterior.
Solución:Si llamamos al conjunto de la funcionesF x tg arc x arc x C( ) ( )= − + +cos cos
primitivas de la función , se debe verificar que f x xx
( ) = −1 2
2 F x f x′ =( ) ( )
Comprobemos:
( ){
{( )
( )( )
( ) { {
F xarc x
arc x x x x x x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
xx
f x
ver nota
x
racionalizando simplificando comprobado
′ = −′
+−
−+ = − −
−=
−−
−=
=−
−=
− −
−=
− −
−=
−=
−−( )
( )
( )¡ !
cos
cos cos2 2
11
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
1
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
2
NOTA:Es evidente que cos (arc cos x) = x, es decir, “el coseno del arco cuyo coseno es x es igual
a x”. No obstante, en la figura 9 explicamos esta evidencia.
Ix
xdx tg arc x arc x C=
−= − + +∫
1 2
2 ( )cos cos
Matemáticas de 2º de bachillerato página 54 Integral indefinida
Ejercicio 101.-Resolver la integral I x dx= −∫ 1 2
Solución:
Por el método de substitución, hacemos: x sen t t arc sen x
dx t dt dt dxx
= → =
= → =
−cos 1
1 2
Substituyendo en la integral:
{ {
{
I x dx sen t dt t dt C
C C C
sen t t ver ejercicio n
t sen t
t sen t t arc sen x sen arc sen x arc sen x
ver nota
arc sen x sen x x
= − = − ⋅ = = + + =
= + + = + + = + +
∫∫ ∫− =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
1 12 2
1
2
592
24
22
4 2 2 21
2
2
2
cost coscos
cos cos
º
( ) ( )
NOTA:
En la figura 10 explicamos las igualdades siguientes: sen arc sen x x
arc sen x x
( )
( )
=
= −
cos 1 2
En la figura 9 hemos dibujado el círculotrigonométrico y tenemos:
AB arco de circunferenciaangulo central correspondiente a ese arco
AB OQ x
AB arco cuyo es x esdecir AB arc x
AB arc x x
Por arc x x
∩
∩
∩ ∩
∩
==
= = =
= =
= =
=
α
α
&
, ,
( cos )
, ( cos )
cos cos
coseno cos
cos cos
tanto cos2 2
En la figura 10 hemos dibujado el círculotrigonométrico y tenemos:
{
AB arco de circunferenciaangulo central correspondiente a ese arco
AB BQ x
AB arco cuyo es x esdecir AB arc x
AB arc sen x x
AB arc sen x OQ BQ x
Por arc sen x x
Pitagoras
∩
∩
∩ ∩
∩
∩
==
= = =
= =
= =
= = = − = −
= −
α
α
&
, ,
( )
( )
: cos( )
&
sen sen
seno sen
sen sen
cos cos
tanto
1 1
1
2 2
2
Matemáticas de 2º de bachillerato página 55 Integral indefinida
Ejercicio 102.-
Resolver la integral Ix
xdx=
−∫
1 2
Solución:
Por el método de cambio de variable, hacemos : t x
dt xdx x dxdespejando dt
= −
= − → =
−
1
2
2
2Substituyendo en la integral:
Ix
xdx
dtt t
dt t C x C=−
=−
= − = − + = − − +∫∫ ∫1 2
12
12
2
Ejercicio 103.-
Resolver la integral NOTA: hacer el cambio x = 2 sen tIdx
x x=
−∫ 2 24
Solución:
Realizamos el cambio aconsejado: x sen t sen t t arc sen
dx t dt
x x= → = → =
=
2
22 2
cosSubstituyendo en la integral:
( ){ { ( )
( ){
Idx
x x
t dt
sen t sen t
t dt
sen t sen t
t dt
sen t sen t
t dtsen t t
dtsen t
t Ct
C
arc senC
xx
C
sen t t ver pagina
x
ver NOTA
=−
=⋅ −
=⋅ −
=⋅ −
=
=⋅
= = − + = − + =
= − + = −−
+
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫− =
2 2 2 2 2 2 2 2
12 2
15
22
4
2
4 4 4 2 4 1 2 2 1
414
14 4
44
2
cos cos cos
coscos &cos
cotgcotg
cotg
4
NOTA:
Explicamos la última igualdad de la integral anterior para hallar ( )cotg arc sen x2
L Supongamos una arco de circunferencia AB sen AB x∩ ∩
=tal que 2
L Entonces, AB arc sen x∩
= 2
L El coseno de ( )AB sera AB sen ABxx x x
∩ ∩ ∩−= − = − = − = =
−& cos 1 1 1
42
22
24
44
22 2
L Por tanto: ( )cotg cotgcos
senarc sen AB
AB
AB
xx
xx
x2
42
2
22
4= = = =
−∩∩
∩
−
L En definitiva: Ix
xC con C= −
−+ ∈
44
2R
Matemáticas de 2º de bachillerato página 56 Integral indefinida
Ejercicio 104.-Considera la función integrada en el ejercicio anterior.f x
x x( ) =
−
1
42 2
Determina la primitiva que tiene la propiedad de que el punto P(0,1) está en su gráficaSolución:
En el ejercicio anterior obteníamos el conjunto de las primitivas de f (x), es decir:
F xx
xC conjunto de las primitivas de f x
x x( ) ( )= −
−+ =
−
44
1
4
2
2 2
Buscamos aquella que verifica que F (0) = 1:
{F C pero observese queno es igualdadnumerica
( ) , &
&
04 04 0
14 04 0
20
2 2= −
−⋅
+ =−⋅
= ∉ R
Es decir: “Por el punto P(0,1) no pasa ninguna gráfica de las primitivas de f (x) “
Ejercicio 105.-Hallar el conjunto de las funciones primitivas de h x x( ) = + −9 2
Solución:
Se trata de resolver la integral I x dx= −∫ 9 2
Por el método de cambio de variable: x sen t t arc sen
dx t dt
es decir x= → =
=
3
33
cosSubstituyendo en la integral:
( ){
( ) ( ) ( )[ ] {
I h x dx x dx sen t t dt sen t t dt
sen t t dt t t dt t dt C
t sen t t arc sen sen arc sen arc sen C
arc sen C
t sen t
x x x
ver nota
x x x
= = − = − = − =
= ⋅ − = ⋅ = = +
=
= + ⋅ = + ⋅ + =
= + +
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫+
−
( ) 9 9 9 3 3 9 1
3 3 1 9 9 9
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
60
2 24
94
94 3 3 3
94 3 3
93
2
cos cos
cos cos cos cos
cos cos
ver ejercicio
= + − +92 3
12
29arc sen x x K siendo k unax constante.
Ejercicio 106.-Resolver la integral I x x dx= −∫ 2 42
NOTA:Por el mismo razonamiento hecho en lanota del ejercicio 102 , página 54, tenemos:
( )( ) ( )
sen arc sen
arc sen
x x
x x x
3 3
3 32 9
312
=
= − = −cos
El conjunto de las funciones primitivasde la función h(x) viene dado por:
H x arc sen x x K Kx( ) = + − + ∈92 3
12
29 R
Matemáticas de 2º de bachillerato página 57 Integral indefinida
Solución:
Modificamos la integral: ( )I x x dx x x dx x x dx= − = − = −∫∫ ∫2 4 2 2 22 1 2 1 2
Por el método de cambio de variable: t x
dt x dx x dx dtdespejando
= −
= − → = −
1 2
4
2
14
Substituyendo en la integral:
( )I x x dx x x dx t dt t dt t dt
tC
tC
xC
= − = − = = − = − =
= − + = − + = −−
+
∫∫ ∫ ∫ ∫−2 4 2 14
14
14
32
3 3 3
2 1 2
14 6
1 2
6
12
32
Ejercicio 107.-Resolver la integral I dx
e x=+∫ 1
Solución:Modificamos el integrando dividiendo numerador y denominador entre ex:
Idx
edx
ee
dxx
dxe
ee
eee e
x
xx
x
x
x
x
x x
=+
= =+
=++
−
−∫∫ ∫ ∫1 11
1
1
Efectuamos el cambio de variable: t e
dt e dx e dx dt
x
x despejando x
= +
= − → = −
−
−
1
Substituyendo en la integral:
Ie
edx
dtt t
dt L t C L e C L Cx
xx
e x=+
=−
= − = − + = − + + = − + +−
−−∫ ∫∫
11
1 1 1
Como ex es positivo para cualquier valor de x, entonces también lo es y, por supuesto, se1e x
verifica que , por lo que podemos poner que 1 01+ >e x 1 11 1+ = + ∀ ∈
e ex x x R
Entonces, la integral queda:
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )I dx L C L C L e Le C
Le L e C x Le L e C x L e C x L e C
e ee
ex x
x x x x x
x x
x
x= = − + + = − + = − + − + =
= − + + = − + + = ⋅ − + + = − + +
++
∫ 11
1 11 1
1 1 1 1 1En definitiva:
( )I x L e Cdxe
xx= = − + +
+∫ 11
Matemáticas de 2º de bachillerato página 58 Integral indefinida
Ejercicio 108.-
Resolver la integral , siendo a 0ú.Ia x
dx=+
∫1
2 2
Solución:
( ) ( )I
a xdx
adx
adx
xa
xa
=+
=+
=+
= ∗∫ ∫ ∫1 1
1
1 1
12 2 2 2 22
2
( )
Realizamos el siguiente cambio de variable:t
dt dx dx a dt
xa
adespejando
=
= → =
1
(*) Substituimos en la integral:
( )∗ =+
=+
=+
= + = +∫ ∫ ∫Ia t
a dta
a tdt
a tdt
aarc tg t C
aarc tg
xa
C1 1
11
11 1
11 1
2 2 2 2 2
Ejercicio 109.-
Resolver la integral siendo a,b 0úIa b x
dx=+
∫1
2 2 2
Solución:Operamos en el integrando:
( )Ia b x
dxa
dxa
dxb x
ab xa
=+
=+
=+
= ∗∫∫ ∫1 1
1
1 1
12 2 2 2 2 22 2
2
( )
Realizamos el siguiente cambio de variable:t
dt dx dx dt
bxaba
despejando ab
=
= → =
(*) Substituimos en la integral:
Ia t
ab
dta
a b tdt
a barc tg t C
a barc tg
bxa
C=+
=⋅ +
=⋅
+ =⋅
+∫ ∫1 1
11
11 1
2 2 2 2
Ejercicio 110.-
Resolver la integral Ix
dx=+
∫3
2 5 2
Solución:Operamos en el integrando:
( )Ix
dx dx dxx x
=+
=+
=+
= ∗∫ ∫ ∫3
2 53
1
2 1
32
1
12 5
252
22 ( )
Realizamos el siguiente cambio de variable:t
dt dx dx dt
x
despejando
=
= → =
5252
25
Matemáticas de 2º de bachillerato página 59 Integral indefinida
(*) Substituimos en la integral:
It
dtt
dt arc tg t C arc tgx
C=+
=+
= + = +∫ ∫32
11
25
3 22 5
11
3 2 52 5 5
2 1010
522 2
Simplificando:
Ejercicio 111.-
Resolver la integral Ixx
dx=+
∫2
3 4 4
Solución:Operamos en la función integrando:
( )Ixx
dxx
dxx
dxx x
=+
=+
=+
= ∗∫ ∫ ∫2
3 42
3 1
23
14 4
32
3
24 2( )
Por el método de substitución, hacemos: t
dt dx x dx dt
x
x despejando
=
= → =
23
43
34
2
(*) Substituyendo en la integral:
It
dtt
dt arc tg t C arc tgx
C=+ +
=⋅ +
= + = +∫ ∫23
1 34
2 33 4
11
36
36
232 2
2
Ejercicio 112.-
Resolver la integral Ix x
dx=−∫
11
Solución:
Realizamos el siguiente cambio de variable: t x
dtx
dx
= −
=−
11
2 1
Operando en dicho cambio: t x x t
x dt dx t dt dx
2 21 1
2 1 2
= − = +
− = =
;
;Substituyendo en la integral:
( )Ix x
dxt
t tdt
tdt
tdt arc tg t C arc tg x C=
−=
+=
+=
+= + = − +∫∫∫∫
11
2
12
11
21
12 2 12 2 2
Ix
dx arc tgx
C=+
= +∫3
2 5105
522
Matemáticas de 2º de bachillerato página 60 Integral indefinida
Ejercicio 113.-
Resolver la integral Ix
dx=−
∫2
3 25 2
Solución:Operamos en la función integrando:
( )
( ) ( )
Ix
dxx
dx dx dx
dx dx
x x
x x
=−
=−
=−
=−
=
=⋅
−=
−= ∗
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
3 25
23
1
5
23
1
5 1
23
1
5 1
23 5
1
1
215
1
1
2 2 2 25 5
52
52
2
2
2
2
( )
Por el método de cambio de variable, hacemos: t
dt dx dx dt
x
despejando
=
= → =
515 5
(*) Substituyendo en la integral:
It
dtt
dt arc sen t C arc senx
C=−
=⋅
−= + = +∫ ∫
215
1
15
2 515
1
1
23
23 52 2
Ejercicio 114.-
Resolver la integral Ix
dx=−
−∫
2
8 2
Solución:Operando en el integrando:
( ) ( ) ( )
Ix
dxx
dx dx dx
dx dx dx
x x
x x x
=−
−= −
−= −
−
= −
⋅ −
=
=−
−
=−
−
=−
−
= ∗
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
2
82
1
82
1
8 1
21
8 1
28
1
1
22 2
1
1
12
1
1
2 2 2 2
8 8
2
8
2
8
2
8
2
2
2
( )
Efectuamos el siguiente cambio de variable:t
dt dx dx dt
x
despejando
=
= → =
818
8
(*) Substituyendo en la integral y racionalizando:
It
dtt
dt arc sen t C arc senx
C=−
−= −
⋅
−= − + = − +∫ ∫
22
1
18
2 82
1
1
162
282 2
Ejercicio 115.-
Resolver la integral Ix
dx=−
∫4
2 5 2
Matemáticas de 2º de bachillerato página 61 Integral indefinida
Solución:Operamos en la función integrando:
( )
Ix
dx dx dx dxx x x
=−
=−
=
⋅ −
=
−
= ∗∫∫ ∫ ∫4
2 54
1
2 14
1
2 1
42
1
12 5
252
2 52
22( )
Efectuamos el siguiente cambio de variable: t
dt dx dx dt
x
despejando
=
= → =
5252
25
(*) Substituyendo en la integral y racionalizando:
I
tdt
tdt arc sen t C arc sen x C
arc sen x C arc sen x C
=−
=⋅⋅ −
= + = + =
=⋅
+ = +
∫ ∫42
1
1
25
4 22 5
1
1
45
4 55
52
4 55
5 22
4 55
102
2 2
Ejercicio 116.-
Resolver la integral I dxx
=−∫ 2
3 2 2
Solución:Operamos en la función integrando:
( )
Ix
dxx
dx dx dxx x
=−
=−
=
⋅ −
=
−
= ∗∫ ∫ ∫ ∫2
3 22
1
3 12
1
3 1
23
1
12 2
32 2
3
2 23
2( )
Por cambio de variable: t
dt dx dx dt
x
despejando
=
= → =
2323
32
(*) Substituyendo en la integral y racionalizando:
It
dtt
dt arc sen t C arc sen x C
arc sen x C arc sen x C
=−
=⋅⋅ −
= + = + =
=⋅
+ = +
∫ ∫=
23
1
1
32
2 33 2
1
1
32
3 22
62
2
1
2124 34
Ejercicio 117.-
Resolver la integral Ix
xdx=
−∫
5
4 3
2
2
Solución: Es recomendable ver previamente el ejercicio 98 en página 52.Operamos en la función integrando:
Matemáticas de 2º de bachillerato página 62 Integral indefinida
( )
Ix
xdx
xdx
xdx
xdx
x x x=
−=
−=
⋅ −
=
−
= ∗∫∫ ∫ ∫5
4 35
4 15
4 1
52
1
2
2
2
34
2
32
2
2
32
22( )
Por cambio de variable: sen t x sen t sen t x
t dt dx dx t dt
es decir x es decir
despejando
= → = → =
= → =
32
2 34
43
2 2
32
23
2
cos cos
(*) Substituyendo en la integral y racionalizando:
Isen t
sen tt dt
sen t tt
dt sen t dt I=−
=⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅
= = ∗ ∗∫ ∫ ∫52 1
23
5 4 22 3 3
203 3
20 39
43
2
2
22
1 coscos
cos( )
Resolvemos la integral I sen t dt12= ∫
Recordemos la expresión del “seno del ángulo mitad ”: sen A A2
12=
− cos
En el caso en que el ángulo sea t, tendremos: sen t de donde sen tt t
= =− −1 2
22 1 2
2cos cos
,
Por tanto:
I sen t dt dt t dt dt t dt
t C C C
t
sen t t sen t t t sen t t1
2 1 22
12
12
12
12
12
22 1 2
24 1 2 2 1
1 2 2= = = − = − =
= − + = − + = − +
−
⋅ ⋅
∫∫∫ ∫ ∫cos
cos cos( )cos cos
Deshaciendo el cambio y considerando que , tenemos:sen t x t arc senx
= ⇒ =32
32
I arc sen C arc sen C
arc senx x
C
xx x
x x x
x
112
32
32
34
112
32
34
34 1
12
32
2
1
1
21
3 4 38
2
2
= −⋅ −
+ = − ⋅ − + =
= −⋅ −
+
(**) Volviendo a la integral I :
I I arc sen
x x xC
arc senx x x
C
= = ⋅ − ⋅⋅ −
+ =
= −−
+
20 39
20 39
12
32
20 39
3 4 34
10 39
32
5 4 33
1
2
2
En definitiva:
Ejercicio 118.-Resolver la integral I x dx= −∫ 4 2
Ix
xdx arc sen
x x xC=
−= −
−+∫
5
4 3
10 39
32
5 4 33
2
2
2
Matemáticas de 2º de bachillerato página 63 Integral indefinida
Solución: Operamos en el integrando:
( ) ( )I x dx dx dx dx Ix x x= − = − = ⋅ − = − = ∗ ∗∫∫ ∫ ∫4 4 1 4 1 2 1 224 4 2
21
2 2
( )
Resolvamos la integral (conviene ver el ejercicio 101 en página 54)( )I dxx1 2
21= −∫
Efectuamos el siguiente cambio de variable: x es decir x
es decir
sen t t arc sen
dx t dt dx t dt
2 212 2
= → =
= → =
cos cosSubstituyendo en la integral I1 :
( )I dx sen t t dt t t dt t dt Ix1 2
2 2 221 1 2 2 2 2= − = − ⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫ ∫cos cos cos cos
Hemos llamado I t dt22= ∫ cos
Por tanto: I I I I= = ⋅ =2 2 2 41 2 2
Resolvamos la integral I t dt22= ∫ cos
Recordemos algunas igualdades trigonométricas que aplicaremos en este caso:
Aplicando la fórmula anterior a la integral I2 :
( )I t dt dt t dt dt t dt
t C C C C
t
sen t t sen t t sen t t t sen t t2
2 1 2 12
12
12
12
12
22 2
24 2
24 2 2
1 2 2= = = + = + =
= + ⋅ + = + + = + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫∫+
⋅ ⋅
cos cos coscos2
cos cos
Deshaciendo el cambio de variable:
( )I
arc senC arc sen
xC
arc sen C arc senx x
C
x x xx
x
xx x
x
22 2 2
2
2
44
2
42
2
2
2
1
212 4
12 4
12
48
2
2
= +⋅ −
+ = + + =
= + + = +−
+
−
−
En definitiva:
Si A es un angulo y su mitad se verifica
Para el caso en que t sera t
A A A
A t
& , :
, &
2 21
2
21 2
2
cos
cos
cos
cos
=
= =
+
+
I I arc senx x
Cx= = +−
+4 2422 2
2