83358140-FUNCŢII-TRIGONOMETRICE
-
Upload
claudiamorosanu -
Category
Documents
-
view
250 -
download
3
description
Transcript of 83358140-FUNCŢII-TRIGONOMETRICE
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
FUNCŢII TRIGONOMETRICE
Funcţia sinus
Funcţia [ ] ( ) xxff sin,1,1: =−→ℜ este o funcţie periodică, de perioadă principală π20 =T . Acest fapt ne permite să reducem studiul unor proprietăţi la un interval de lungimea unei perioade principale, de exemplu [ )π2,0 . Dacă o proprietate are loc pe intervalul ( ) [ )π2,0, ⊂ba , atunci submulţimea lui ℜ pe care această proprietate este adevărată se obţine adăugând la capetele intervalului ( )ba, multiplu de π2 , adică ( ) Ζ∈++ kkbka ,2,2 ππ .
Graficul funcţiei sinusPentru trasarea graficului funcţiei pe ℜ, vom aplica metoda trasării prin
puncte, pe [ )π2,0 (utilizând tabelul de valori) precum şi periodicitatea funcţiei ( ) ( )( )Ζ∈∀ℜ∈∀=+ kxxfkxf ,,2 π , ceea ce înseamnă că graficul funcţiei îl generăm pe
intervalele [ )ππ 4,2 , [ )λπ6,4 ,… şi respectiv …, [ )ππ 2,4 −− , [ )0,2π− , translatând graficul de pe [ )π2,0 la dreapta şi respectiv la stânga de-a lungul axei Ox.
În tabelul de mai jos, redăm principalele caracteristici ale funcţiei sinus. Recomandăm ca aceste proprietăţi să fie prezentate utilizând graficul funcţiei.
1
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
2
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Funcţia arcsinus
Fie [ ] ( ) xxff sin,1,12
,2
: =−→
− ππ
, funcţie inversabilă.
Notăm funcţia inversă [ ] ( ) xxgg arcsin,2
,2
1,1: =
−→− ππ
. Atunci, ştim de la
proprietăţile generale ale funcţiilor numerice, că graficele lor sunt simetrice în raport cu prima bisectoare a axelor (dreapta de ecuaţie xy = ).
De asemenea, dacă f este strict crescătoare, atunci este la fel şi g. Alte proprietăţi vor fi prezentate în tabelul de mai jos.
Graficul funcţiei arcsinusTrasarea graficului funcţiei g se poate realiza, aşa cum am spus mai sus, prins
simetrie în raport cu y=x sau prin puncte. Îl vom realiza pin aceste tehnici mai jos.
Redăm în continuare principalele proprietăţi ale funcţiei arcsinus.
3
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
În concluzie avem tabele următoare, care dau funcţie directă şi funcţia inversă.
Probleme rezolvate
1. Determinaţi domeniul maxim de definiţie D pentru funcţia ℜ→Dg : ,
( )1
1arcsin
+=
xxg .
Rezolvare. Se impune condiţia 1,11
11 −≠≤
+≤− xx
. Găsim
( ] [ )∞∪−∞−∈ ,02,x .
2. Să se determine unghiul 4
3arcsin
3
1arcsin + .
Rezolvare. Fie 4
3arcsin,
3
1arcsin == βα . Deci
−∈
2;
2,
ππβα şi 3
1sin =α ,
4
3sin =β . Cum 0sin,sin >βα se poate restrânge intervalul în care se află unghiurile,
adică
∈
2;0,πβα . Prin urmare ( )πβαγ ;0∈+= . Să observăm că din
12
267cossincossinsin
+=+= αββαγ nu putem spune că 12
267arcsin
+=γ , deoarece
nu ştim dacă 2
πβα <+ . Totuşi din 66
sin2
1
3
1sin
παπα <⇒=<= , iar din
33sin
2
3
3
4sin
πβπβ <⇒=<= şi deci 236
πππβα =+<+ . Prin urmare 12
267 +=+ βα
3. Să se calculeze ( )10sinarcsin .
4
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Rezolvare. Fie ( )10sinarcsin=α . De aici 10sinsin =α şi
−∈
2;
2
ππα . Se
observă că [ ]ππ 4;310 ∈ . Punctele α şi 10 sunt simetrice faţă de 2
3π. Deci
.2
3
2
310 αππ −=− . De aici 103 −= πα .
Funcţia cosinus
Funcţia [ ]1;1: −→ℜf , ( ) xxf cos= este o funcţie periodică, de perioadă principală π20 =T . Din acest motiv, studiul proprietăţilor acestei funcţii se va reduce la un interval de lungime 0T , de exemplu [ )π2;0 .
Principalele caracteristici ale funcţiei cosinus sunt redate în tabelul de mai jos.
5
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
6
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Funcţia arccosinus
Fie [ ] [ ] ( ) xxff cos,1;1;0: =−→π , funcţie inversabilă. Notăm funcţia inversă [ ] [ ]π;01;1: →−g , ( ) xxg arccos= . Graficele acestor funcţii sunt simetrice în raport cu
prima bisectoare ( )xy = .
7
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Probleme rezolvate
1. Determinaţi domeniul maxim D de definiţie pentru funcţia ℜ→Dg : , ( ) ( )12arccos −= xxg .
Rezolvare. Funcţia g există dacă 1121 ≤−≤− x . Rezolvând această dublă inecuaţie se obţine [ ]1;0∈x . Deci [ ]1;0∈D .
2. Să se calculeze: 3
1arccos
3
1arcsin + .
Rezolvare. Notăm 3
1arccos,
3
1arcsin == βα . De aici
3
1sin =α şi
∈
2;0πα ,
3
1cos =β şi
∈
2;0πβ . De aici [ ]πβαγ ;0∈+= .
Avem: ( ) 0sinsincoscoscoscos =−=+= βαβαβαγ . De aici 2
πγ = .
3. Să se arate că: [ ]1;1,2
arccosarcsin −∈∀=+ xxxπ
.
Rezolvare. Fie xx arccos,arcsin == βα . De aici xx =
−∈= βππαα cos,
2;
2,sin ,
[ ]πβ ;0∈ . Scriem relaţia de demonstrat sub forma βπα −=2
. Cum unghiurile din cei doi
membrii sunt în
−
2;
2
ππ, adică mulţimea pe care funcţia sinus este injectivă, este
suficient să arătăm că
−= βπα
2sinsin . Avem ( ) xx == arcsinsinsin α şi
( ) xx ===
− arccoscoscos
2sin ββπ
. Deci
−= βπα
2sinsin şi de aici βπα −=
2, adică
egalitatea propusă.
8
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Funcţia tangentă
9
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Funcţia arctangentă
Fie ( ) tgxxff =ℜ→
− ,
2;
2:
ππ, funcţie inversabilă. Notăm funcţia inversă
( ) arctgxxgg =
−→ℜ ,
2;
2:
ππ. Graficele funcţiilor f şi g sunt simetrice în raport cu prima
bisectoare ( )xy = . Cum f este strict crescătoare, deducem că g are aceeaşi proprietate.
În tabelul de mai jos, prezentăm principalele caracteristici ale funcţiei arctangentă
10
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
În concluzie, avem mai jos tabelele care dau funcţia directă şi funcţia inversă:
Probleme rezolvate
1. Să se compare numerele 2
1,
3
1arctgarctg .
Rezolvare. Am văzut că funcţia ( ) arctgxxg = este strict crescătoare. Din 2
1
3
1 <
rezultă
<
2
1
3
1gg , adică
2
1
3
1arctgarctg < .
2. Să se exprime 5
1arctg în funcţiile arcsin şi arccos.
Rezolvare. Ni se cere să găsim [ ]1;1−∈x , pentru care xarctg arcsin5
1 = . Fie
5
1arctg=α . Deci
5
1=αtg şi
∈
2;0πα (deoarece 0
5
1 > ). Din xarcsin=α rezultă
11
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
x=αsin . Pentru a da o formă mai simplă lui x utilizăm formula ααα
21sin
tg
tg
+±= . Cum
∈
2;0πα luăm semnul + în faţa radicalului.
Deci x
arctgtg
arctgtg
xtg
tg ==+
=
+
=+
=26
26
25
11
5
1
5
11
5
1
1sin
22
αα . În final
26
26arcsin
5
1 =arctg . Analog determinăm [ ]1;1−∈y pentru care yarctg arccos5
1 = . Fie
5
1arctg=α . De mai sus
∈=
2;0,
5
1 πααtg . Din yarccos=α rezultă y=αcos . Din
formula αα
21
1cos
tg+= se obţine y==
26
265cos α . Aşadar
26
265arccos
5
1 =arctg .
Funcţia cotangentă
Funcţia { } ( )x
xctgxxfkkf
sin
cos,;: ==ℜ→Ζ∈−ℜ α , este o funcţie periodică, de
perioadă π=0T . Studiul acestei funcţii se realizează pe intervalul de lungime T0. Acest interval este ( )π;0 .
Tabelul de mai jos, conţine principalele caracteristici ale funcţiei cotangentă.
12
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
13
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Funcţia arccotangentă
Fie ( ) ( ) ctgxxff =ℜ→ ,;0: π , funcţie inversabilă. Notăm funcţia inversă ( )π;0: →ℜg , ( ) arcctgxxg = . Graficele funcţiilor f şi g sunt simetrice în raport cu dreapta
de ecuaţie xy = . Din f strict descrescătoare, va rezulta că şi g este strict descrescătoare.
În prezentarea principalelor caracteristici ale funcţiei arccotangentă recomandăm utilizarea graficului.
14
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
În concluzie, dăm mai jos tabelele care oferă informaţii despre funcţia directă şi funcţia inversă.
Probleme rezolvate
1. Să se exprime 3arcctg în funcţie de arcsin, arccos, arct.Rezolvare. Trebuie să determinăm [ ]1;1−∈x pentru care xarcctg arcsin3 = .
Dacă 3arctg=α , atunci 3=αctg şi
∈
2;0πα . Din xarcsin=α rezultă x=αsin . Se
exprimă αsin în funcţie de αctg . Avem: αα
21
1sin
ctg+±= . Cum
∈
2;0πα rezultă
0sin >α şi deci în faţa radicalului luăm semnul +. Deci
10
10
10
1
91
1
1
1sin
2==
+=
+=
αα
ctg. Aşadar
10
10=x şi 10
10arcsin3 =arcctg . Să găsim
acum [ ]1;1−∈y pentru care yarcctg arccos3 = . Ca mai sus
∈=
2;0,3πααctg , iar din
yarccos=α avem y=αcos , 0cos >α . Exprimăm αcos în funcţie de αctg şi avem:
10
103
10
3
1cos
2==
+==
αααctg
ctgy . Aşadar
10
103arccos3 =arcctg . Să determinăm ℜ∈z
pentru care arctgzarcctg =3 . Ca mai sus
∈=
2;0,3πααctg , iar din ztg =α avem
3
11 ===α
αctg
tgz . Deci 3
13 arctgarcctg = .
2. Să se arate că ( ) ℜ∈∀=+ xarcctgxarctgc ,2
π.
15
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Rezolvare. Scriem egalitatea sub forma arcctgarctgx −=2
π şi notăm
arcctgxarctgx == βα , . De aici
−∈
2;
2
ππα şi ( )πβα ;0, ∈= xtg şi .xctg =β Membrul
drept este unghiul
−∈−
2;
22
ππβπ. Deci cei doi membri sunt unghiuri în intervalul
−
2;
2
ππ. Arătăm că
−= βπα
2tgtg . De aici (funcţia tg este injectivă), va rezulta relaţia
de demonstrat. Avem ( ) xarctgxtgtg ==α şi ( ) xarcctgxctgctgtg ===
− ββπ
2.
16
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
ECUAŢII TRIGONOMETRICE
Definiţie. Se numeşte ecuaţie trigonometrică o ecuaţie în care necunoscuta figurează ca argument al uneia sau mai multor funcţii trigonometrice.
Exemple.
1.2
1sin =x ;
2. 032cos2sin4 =−+ xx ;
3. 012
sin =−+ xtgx .
Definiţie. Un număr ℜ∈0x se numeşte soluţie a ecuaţiei trigonometrice dacă înlocuind x cu x0 în ecuaţie se obţine o egalitate.
Exemple.
1.6
π=x este soluţia ecuaţiei 2
1sin =x deoarece
2
1
6sin =π
.
2.6
π=x este soluţie a ecuaţiei 032cos2sin4 =−+ xx , deoarece
031232
12
2
143
3cos2
6sin4 =−+=−⋅+⋅=−+ ππ
.
A rezolva o ecuaţie trigonometrică înseamnă a-i determina toate soluţiile. În cele ce urmează vom rezolva cele mai simple ecuaţii trigonometrice, indicând pentru fiecare tip de ecuaţie şi metoda de rezolvare.
Ecuaţii trigonometrice fundamentale
Ecuaţiile cuprinse sub această titulatură sunt:ax =sin bx =cos ctgx = dctgx = , ℜ∈dcba ,,,
1. Ecuaţia ax =sin . Arcsinus. Are loc următoarea.Teoremă. Mulţimea S de soluţii a ecuaţiei ax =sin este:
Φ=S , dacă 1>a ; ( ){ }Ζ∈+−= kkaS k πarcsin1 , dacă 1≤a .
Are loc următoarea proprietate imediată:
Exemple.
17
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
1. 00arcsin = , deoarece
−∈
2;
20
ππ şi 00sin = .
2.2
1arcsinπ= , deoarece
−∈
2;
22
πππ şi 1
2sin =π
.
Problemă rezolvatăSă se rezolve ecuaţiile:
a)2
2sin =x ;
Rezolvare. Mulţimea de soluţii a ecuaţiei este
( ) ( )
Ζ∈+−=
Ζ∈+−= kkkkS kk πππ4
12
2arcsin1 .
b)2
1sin −=x ;
Rezolvare. Soluţiile ecuaţiei sunt: ( ) .2
1arcsin1
Ζ∈+
−−= ππkS k
Dar
62
1arcsin
2
1arcsin
π−=−=
− şi deci S se mai poate scrie ( )
Ζ∈+−= + kkS k ππ
61 1
.
c)3
1sin =x .
Rezolvare. Avem mulţimea de soluţii ( )
Ζ∈+−= kkS k π
3
1arcsin1 . În acest caz
3
1arcsin se poate calcula utilizând tabele trigonometrice sau calculatorul de buzunar.
Când unghiul 1,arcsin ≤aa , nu-l putem indica, rezultatul îl lăsăm sub forma aarcsin .
2. Ecuaţia bx =cos . Arccosinus. Soluţiile ecuaţiei sunt date de următoarea:Teoremă. Mulţimea S de soluţii a ecuaţiei bx =cos este egală cu:
a) Φ=S , dacă 1≥b ;b) { }Ζ∈+±= kkbS π2arccos , dacă 1≤b .
Exemple.
1.2
0arccosπ= , deoarece [ ]ππ
;02
∈ şi 02
cos =π;
18
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
2.32
1arccos
π= , deoarece [ ]ππ;0
3∈ şi
2
1
3cos =π
;
3.3
2
32
1arccos
2
1arccos
ππππ =−=−=
− .
Problemă rezolvatăSă se rezolve ecuaţiile:a) 0cos =x ;Rezolvare. Ecuaţia are soluţii deoarece [ ]1;10 −∈ şi mulţimea cestora este
{ }
Ζ∈+±=Ζ∈+±= kkkkS πππ 2
220arccos .
b) 6cos =x ;Rezolvare. Ecuaţia nu are soluţii deoarece [ ]1;16 −∉ . Deci Φ=S .
c)5
1cos =x .
Rezolvare. Cum [ ]1;15
1 −∈ , ecuaţia are soluţiile
Ζ∈+±= kkS π2
5
1arccos .
3. Ecuaţia ctgx = . Arctangentă. Dacă ℜ∈c , atunci ecuaţia ctgx = are soluţii date de:
Teoremă. Soluţiile ecuaţiei ℜ∈= cctgx , sunt date de mulţimea { }Ζ∈+= kkarctgcS π .
Exemple:
1) 00 =arctg , deoarece
−∈
2;
20
ππ şi 00 =tg ;
2)4
1π=arctg pentru că
−∈
2;
24
πππ şi 1
4=π
tg ;
3) ( )4
11π−=−=− arctgarctg .
Analog se introduce arccotangenta. Pentru un nr. real d. numărul arcctgdx = este definit de două condiţii: π<< x0 şi dctgx = .
19
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
Problemă rezolvatăSă se rezolve ecuaţiile:a) 1=tgx ;
Rezolvare. { }
Ζ∈+=Ζ∈+= kkkkarctgS πππ
41 ;
b) 3−=tgx ;Rezolvare. ( ){ } { }Ζ∈+−=Ζ∈+−= kkarctgkkarctgS ππ 33 ;c) 0=ctgx ;
Rezolvare. { }
Ζ∈+=Ζ∈+= kkkkarcctgS πππ
20 ;
d) 3−=ctgx .
Rezolvare. ( ){ } { }
Ζ∈+=Ζ∈+−=Ζ∈+−= kkkkarcctgkkarcctgS ππππ
6
533 .
Tipuri de ecuaţii trigonometrice
20
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
21
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
22
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
23
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
24
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
25
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
26
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
BIBLIOGRAFIE
Manual de matematică pentru clasa a X-a de Mircea Ganga, editura Mathpress.
27
- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -
CUPRINS
FUNCŢII TRIGONOMETRICESinusul……………………………………………………………………………………...1Arcsinusul...………………………………………………………………………………...3Cosinusul…………………………………………………………………………………...5Arccosinusul………………………………………………………………………………..7Tangenta……………………………………………………………………………………9Arctangenta………………………………………………………………………………..10Cotangenta………………………………………………………………………………...12Arccotangenta……………………………………………………………………………..14
ECUAŢII TRIGONOMETRICEArcsinusul…………………………………………………………………………………17Arccosinusul………………………………………………………………………………18Arctangenta………………………………………………………………………………..19Arccotangenta……………………………………………………………………………..19Ecuaţii care conţin funcţii de acelaşi nume……………………………………………….20Ecuaţii care se reduc la ecuaţii algebrice………………………………………………….21Ecuaţii omogene de gradul 2 în xsin şi xcos…………………………………………….22Ecuaţia liniară în xsin şi xcos ……………………………………………………………22Ecuaţia simetrică în xsin şi xcos …………………………………………………………25Ecuaţii care conţin sume de sinusuri sau cosinusuri………………………………………26Alte tipuri de ecuaţii………………………………………………………………………26
Bibliografie………………………………………………………………………………..27Cuprins…………………………………………………………………………………….28
28