8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek...
Transcript of 8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek...
8. modul
Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek
Készítette: Darabos Noémi Ágnes
Matematika „A” – 11. évfolyam – 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 2
A modul célja Trigonometriai alapismeretek ismétlése (trigonometrikus függvények és transzformációik, szögfüggvények és a
közöttük levő kapcsolatok). Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. Időkeret 8 óra Ajánlott korosztály 11. évfolyam Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: Alkalmazás fizikai, biológiai, kémiai törvényszerűségek leírására.
Szűkebb környezetben: Függvények grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal; egyenletek, egyen-lőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Ajánlott megelőző tevékenységek: Hegyesszögek szögfüggényei, a szögfüggvények kiterjesztése. Forgásszög szögfüggvényei, trigonometrikus függvények. Ajánlott követő tevékenységek: Szinusz- és koszinusztétel
Matematika „A” – 11. évfolyam – 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 3
A képességfejlesztés fóku-szai
Számolás, számlálás, számítás: Zsebszámológép biztos használata. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása. A mennyiségek folytonossága, fogal-mának továbbfejlesztése. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásai számának a meghatározása. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A geometriai feladok algebrai meg-oldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége. Függvények grafikonjának ábrá-zolása függvénytranszformációkkal; egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőt-lenségek megoldása a függvény tulajdonságainak ismeretében. Másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenletek. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.
TÁMOGATÓ RENDSZER
A modul mellékleteként készült a 8.1 kártyakészlet dominójátékhoz. Ezen kívül javasoljuk, hogy a tanár készítsen kártyákat diákkvartetthez,
amelyeken A, B, C vagy D betű található. 4 fős csoportonként 1-1 ilyen kártyakészletre van szükség.
ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK
Középszint Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja a szög-függvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő
Matematika „A” – 11. évfolyam – 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 4
szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismer-je és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő tri-gonometrikus egyenleteket megoldani.
Emelt szint Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni egyszerű feladatokban az addíciós össze-függéseket ( )sin( βα ± , )cos( βα ± , )tg( βα ± ).
JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS
1. Trigonometrikus függvények és transzformációik ismétlése 2. Szögfüggvények közötti összefüggések ismétlése 3. Trigonometrikus egyenletek megoldása a függvények grafikonjainak felhasználásával 4. Trigonometrikus egyenletek megoldása a szögfüggvények közötti összefüggések felhasználásával 5. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek 6. Feladatok megoldása 7. Trigonometrikus egyenlőtlenségek 8. Vegyes feladatok
Matematika „A” – 11. évfolyam – 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 5
Modulvázlat
Lépések, tevékenységek
Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/
Gyűjtemény
I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés) 1. A mintapélda közös megbeszélése.
Szinus, koszinus, tangensfüggvény grafikonjának, valamint tulaj-donságainak átismétlése (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, periodicitás, monotonitás, szélsőérték, paritás).
Számolás, számítás. Kombinatív gondol-kodás. Induktív és deduktív következtetés.
1. mintapélda
2. Szakértői mozaik. Egyszerű függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal és a függvények jellemzése.
Számolás, számítás. Kombinatív gondol-kodás. Induktív és deduktív következtetés.
2–5. mintapélda 5. feladat
3. Feladatok megoldása 1–4. és 6.–7. feladatokból válo-gatva
II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés)
1. Dominójáték. A nevezetes szögek szögfüggvényeinek ismétlése.
Számolás, számítás. 8.1 kártyakészlet
2. A mintapéldák közös megbeszélése. Szögfüggvények közötti összefüggések ismétlése.
Kombinatív gondolkodás. Induktív és de-duktív következtetés.
6–7. mintapélda
3. Szakértői mozaik. Szögfüggvények közötti összefüggések gyakorlása.
Kombinatív gondolkodás. Induktív és de-duktív következtetés.
10–13. feladat
4. Feladatok megoldása 8–9. és 14. feladatokból válogatva
Matematika „A” – 11. évfolyam – 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 6
III. Trigonometrikus egyenletek 1. A mintapéldák közös megbeszélése.
A grafikon segítségével megoldható egyszerű egyenletek. Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.
8–10. mintapélda
2. Szakértői mozaik. A grafikon segítségével megoldható egyszerű egyenletek megoldá-sának gyakorlása.
Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.
15–18. feladat
3. A mintapéldák közös megbeszélése. Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.
11–13. mintapélda
4. Feladatok megoldása 19–31. feladatokból válogatva
Trigonometrikus egyenletek megoldása a szögfüggvények közötti összefüggések felhasználásával 5. Szakértői mozaik.
Egyenletmegoldás szögfüggvényekre vonatkozó összefüggések felhasználásával.
Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.
14–17. mintapélda
6. A mintapélda közös megbeszélése. Egyenletmegoldás a pótszögekre vonatkozó összefüggések felhasz-nálásával.
Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.
18. mintapélda
7. Feladatok megoldása 32–35. feladatokból válogatva
Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek
8. A mintapéldák közös megbeszélése. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek.
Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.
19–21. mintapélda
9. Torpedójáték. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek meg-oldásának gyakorlása.
Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.
36. feladat
10. Feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek megoldása. Az eddig meg-ismert módszerek rendszerezése.
Számolás, számítás. Rendszerezés, kom-binatív gondolkodás.
19–37. feladatokból válogatva
Matematika „A” – 11. évfolyam – 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 7
IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek
1. A mintapéldák közös megbeszélése. Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása.
Számolás, számítás, kombinatív gondol-kodás.
22–24. mintapélda
2. Vegyes feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megol-dása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése, gyakorlása.
Számolás, számítás. Rendszerezés, kom-binatív gondolkodás.
A 38–40., valamint a kimaradt feladatokból válogatva
V. Vegyes feladatok
1. Vegyes feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megol-dása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése, gyakorlása.
Számolás, számítás. Rendszerezés, kom-binatív gondolkodás.
A 41–65., valamint a kimaradt feladatokból válogatva
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 8
I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés)
Minden valós számnak mint radiánban megadott szögnek létezik szinusza, illetve koszinusza,
valamint minden szöghöz pontosan egy szinusz-, illetve koszinuszérték tartozik. Ezért készít-
hetünk olyan függvényt, amely minden valós számhoz hozzárendeli azok szinuszát, illetve
koszinuszát. Ismételjük át ezeknek a függvények a grafikonját, illetve legfontosabb tulajdon-
ságaikat!
Mintapélda1
Készítsük el a következő függvények grafikonját, majd jellemezzük a függvényeket!
a) ( ) xxf sin= b) ( ) xxg cos= c) ( ) xxh tg=
Megoldás:
a) Jellemzés:
1. É.T.: R
2. É.K.: [ ]1;1−
3. Zérushely:
∈=⇒= kkxx ,0sin π Z
4. Periódus: π2
5. Monotonitás:
Szigorúan monoton növekvő: ∈+≤≤+− llxl ,22
22
ππππ Z
Szigorúan monoton csökkenő: ∈+≤≤+ mmxm ,22
322
ππππ Z
6. Szélsőérték:
Maximumhely: ∈+= nnx ,22
ππ Z
Maximumérték: 1sin =x
Minimumhely: ∈+= ssx ,22
3 ππ Z
Minimumérték: 1sin −=x
7. Paritás: Páratlan, mert ( )xx −−= sinsin
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 9
b) Jellemzés:
1. É.T.: R
2. É.K.: [ ]1;1−
3. Zérushely:
∈+=⇒= kkxx ,2
0sin ππ Z
4. Periódus: π2
5. Monotonitás:
Szigorúan monoton csökkenő: ∈+≤≤ llxl ,22 πππ Z
Szigorúan monoton növekvő: ∈+≤≤+ mmxm ,222 ππππ Z
6. Szélsőérték:
Maximumhely: ∈= nnx ,2 π Z
Maximumérték: 1cos =x
Minimumhely: ∈+= ssx ,2 ππ Z
Minimumérték: 1cos −=x
7. Paritás: Páros, mert xx coscos −=
c) Jellemzés:
1. ÉT: R ∈⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ + kk ,
2\ ππ Z
2. ÉK: R
3. Zérushely: ∈=⇒= llxx ,0tg π Z
4. Periódus: π
5. Monotonitás:
Szigorúan monoton növekvő: ∈⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ ++− mmm ,
2;
2ππππ Z
6. Szélsőérték: Nincs
7. Paritás: Páratlan, mert ( )xx −−= tgtg
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 10
Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása
Alakítsunk ki négy fős csoportokat! Minden csoportban mindenki kap egy-egy kártyát. A kár-
tyákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot alkotnak azok a tanulók,
akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a legkönnyebb, a D
pedig a legnehezebb. A munkacsoportok feldolgozzák a kapott mintapéldát, megoldják a 3.
feladatból a megfelelő részt, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csopor-
tokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután közösen megbeszéljük a felada-
tokat.
A trigonometrikus függvényekkel a fizikában is találkozhatunk. (Például a harmonikus rez-
gőmozgás, az elektromágneses rezgések, a hanghullámok tanulmányozásakor.) Azonban a
gyakorlatban sokszor nem az egyszerű xsin vagy xcos függvény fordul elő, hanem ennél
bonyolultabb, összetettebb alakokkal találkozunk, amelyek az alapfüggvényekből bizonyos
függvénytranszformációval származtathatók.
y tengely menti eltolás
A jelűek feladata
Mintapélda2
Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) 2cos −= xxf függvényt!
Módszertani megjegyzés: Megállapodás, hogy ha nem adjuk meg az értelmezési tartományt,
akkor az a valós számoknak az a legbővebb halmaza, amelyen a függvény értelmezhető.
Megoldás:
Jellemzés:
1. É.T.: R
2. É.K.: [ ]3;1 −−
3. Zérushely:
⇒=− 02cos x
⇒= 2cos x
nincs zérushelye
4. Periódus: π2
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 11
5. Monotonitás:
Szigorúan monoton növekvő: ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ 222 Z
Szigorúan monoton csökkenő: ∈⋅+≤≤⋅+ llxl πππ 220 Z
6. Szélsőérték:
Maximumhely: ∈⋅= kkx π2 Z
Maximumérték: ( ) 1−=xf
Minimumhely: ∈⋅+= llx ππ 2 Z
Minimumérték: ( ) 3−=xf
7. Paritás: Páros
y tengely menti nyújtás / zsugorítás
B jelűek feladata
Mintapélda3
Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) xxf sin2= függvényt!
Megoldás:
Jellemzés:
1. É.T.: R
2. É.K.: [ ]2;2−
3. Zérushely:
⇒= 0sin2 x
⇒= 0sin x
∈⋅= kkx ,π Z
4. Periódus: π2
5. Monotonitás:
Szigorúan monoton növekvő: ∈⋅+≤≤⋅+− kkxk ππππ 22
22
Z
Szigorúan monoton csökkenő: ∈⋅+≤≤⋅+ llxl ππππ 22
322
Z
6. Szélsőérték:
Maximumhely: ∈⋅+= kkx ππ 22
Z
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 12
Maximumérték: ( ) 2=xf
Minimumhely: ∈⋅+−= llx ππ 22
Z
Minimumérték: ( ) 2−=xf
7. Paritás: Páratlan
x tengely menti eltolás
C jelűek feladata
Mintapélda4
Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
4sin πxxf függvényt!
Megoldás:
Jellemzés:
1. É.T.: R
2. É.K.: [ ]1;1−
3. Zérushely:
∈⋅+=⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − kkxx πππ
40
4sin Z
4. Periódus: π2
5. Monotonitás:
Szigorúan monoton növekvő: ∈⋅+≤≤⋅+− kkxk ππππ 2
432
4Z
Szigorúan monoton csökkenő: ∈⋅+≤≤⋅+ llxl ππππ 24
724
3 Z
6. Szélsőérték:
Maximumhely: ∈⋅+= kkx ππ 24
3 Z
Maximumérték: ( ) 1=xf
Minimumhely: ∈⋅+= llx ππ 24
7 Z
Minimumérték: ( ) 1−=xf
7. Paritás: nem páros, nem páratlan
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 13
x tengely menti nyújtás / zsugorítás
D jelűek feladata
Mintapélda5
Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) xxf 2cos= függvényt!
Megoldás:
Jellemzés:
1. É.T.: R
2. É.K.: [ ]1;1−
3. Zérushely:
∈⋅+=⇒= kkxx24
02cos ππ Z
4. Periódus: π
5. Monotonitás:
Szigorúan monoton növekvő: ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ2
Z
Szigorúan monoton csökkenő: ∈⋅+≤≤⋅+ llxl πππ2
0 Z
6. Szélsőérték:
Maximumhely: ∈⋅= kkx π Z
Maximumérték: ( ) 1=xf
Minimumhely: ∈⋅+= llx ππ2
Z
Minimumérték: ( ) 1−=xf
7. Paritás: Páros
Feladatok
1. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!
a) ( ) 3sin −= xxf b) ( ) xxh sin2−= Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 14
2. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!
a) ( ) xxg sin−= b) ( ) ( )xxh −= cos Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
3. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!
a) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
3sin πxxf b) ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
2cos πxxg
Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
4. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!
a) ( ) xxf 2sin= b) ( )2
sin xxg = c) ( )2
cos xxh =
Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
5. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett követke-
ző függvényeket és a h függvényt jellemezd!
A jelűek feladata
a) ( ) xxf sin= ( ) xxg sin2= ( ) 2sin2 −= xxh
B jelűek feladata
b) ( ) xxf cos= ( ) xxg cos2−= ( ) xxh cos22 −=
C jelűek feladata
c) ( ) xxf cos= ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2cos πxxg ( ) 1
2cos +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
πxxh
D jelűek feladata
d) ( ) xxf sin= ( ) xxg 2sin= ( ) xxh 2sin2=
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 15
Megoldás: A függvények jellemzése az ábráról leolvasható.
a) b)
c) d)
6. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!
a) ( ) 12sin −= xxf b) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
4sin2 πxxh
Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 16
II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés)
Nevezetes szögek szögfüggvényei
8.1. kártyakészlet alkalmazása
Módszertani megjegyzés: Dominó játék
A nevezetes szögek szögfüggvényeinek felelevení-
tésére minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát.
Feladatuk felfelé fordítva kirakni a dominókat úgy,
hogy minden nevezetes szögfüggvényhez megta-
lálják a hozzá tartozó értéket. Ha nem emlékezné-
nek, segítségül felrajzolhatjuk a nevezetes szögeket
tartalmazó derékszögű háromszögeket.
°30sin 0 6
sin2 π 1− 3sin π 3− °− 60sin 3
4cosπ
21 °− 60cos
41 °− 45cos
23
6cos2 π
23
−
°45tg 22 6
tg π 21
− °60tg2 22
− °− 30tg 43
°− 45ctg 1 3ctgπ− 3
3 °30ctg 3 2
ctg π 33
−
α αsin αcos αtg αctg
30° 6π
21
23
33 3
45° 4π
22
22 1 1
60° 3π
23 2
1 3 33
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 17
Pitagoraszi azonosság
Pótszögek szögfüggvényei
A tangens és kotangens szögfüggvényekre vonatkozó
összefüggések
Mintapélda6
A számológép használata nélkül állítsuk növekvő sorrendbe az alábbi kifejezések pontos érté-
keit!
a) °+−° 130cos2130sin 22 ; b) °−° 27cos63sin ;
c) ( ) °⋅°− 65ctg115tg ; d) 3125sin
12sin 22 −+
ππ .
Megoldás:
Csak a nevezetes azonosságokkal meghatározott értékeket fogadjuk el.
a) 1212130cos130sin 22 −=−=−°+°
b) ( ) 063sin63sin2790sin63sin =°−°=°−°−°
c) ( ) 165ctg65tg65ctg115180tg =°⋅°=°⋅°−°
∈°⋅+°≠= kk 18090cossintg α
ααα Z
∈°⋅≠= ll 180sincosctg α
ααα Z
1cossin 22 =+ αα
( )αα −°= 90cossin
( )αα −°= 90sincos
( ) ∈°⋅+°≠−°= kk 1809090ctgtg ααα Z
( ) ∈°⋅≠−°= ll 18090tgctg ααα Z
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 18
d) 231312
cos12
sin3125
126cos
12sin 2222 −=−=−+=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
πππππ
d) < a) < b) < c)
Mintapélda7
Az α szög meghatározása nélkül számítsuk ki a többi szögfüggvényértéket, ha 8,0cos =α !
Megoldás:
Minden α szögre teljesül, hogy 1cossin 22 =+ αα , ebből αα 22 cos1sin −= .
Behelyettesítve: 36,08,01sin 22 =−=α , ebből 6,0sin =α
6,0sin6,0sin 21 −== αα
4375,0
8,06,0
cossintg
4375,0
8,06,0
cossintg
2
22
1
11 −=−=
−======
αα
ααα
α
34
75,01
tg1ctg
34
75,01
tg1ctg
22
11 −=
−=====
αα
αα
Feladatok
8. Keresd meg a párját (számológép használata nélkül)!
a) °420sin A) 1
b) ( )°− 210cos B) 22
c) °210tg C) 1−
d) °660ctg D) 3
e) ( )°−150ctg E) 33
−
f) °300tg F) 23
−
g) °1935ctg G) 33
h) ( )°− 315tg H) 21
−
i) ( )°− 300cos I) 3−
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 19
j) ( )°− 30sin J) 23
k) °225cos K) 21
l) °135sin L) 22
−
Megoldás:
a) ↔ J), b) ↔ F), c) ↔ G), d) ↔ E), e) ↔ D), f) ↔ I),
g) ↔ C), h) ↔ A), i) ↔ K), j) ↔ H), k) ↔ L), l) ↔B).
9. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke?
a) °⋅°+°⋅° 11cos79sin79cos11sin ; b) °−° 150sin330cos 22 ;
c) 22
10cos
10sin
10cos
10sin ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
ππππ .
Megoldás:
a) 111cos11sin11cos11cos11sin11sin 22 =°+°=°⋅°+°⋅°
b) 21
21
23 22
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
c) 2
Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása
A következő négy feladat megoldásához szakértői mozaik módszert javaslunk.
A jelűek feladata
10. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, αsin pontos értékét, ha 6,0cos −=α !
Megoldás:
A trigonometrikus pitagorasz azonosságot alkalmazva: ( ) 64,06,01sin 22 =−−=α ,
ebből 8,0sin8,0sin8,0sin 21 −==⇒= ααα
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 20
B jelűek feladata
11. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, αcos pontos értékét, ha 36,0sin =α !
Megoldás:
( ) 8704,036,01cos 22 =−=α , ebből
933,0cos933,0cos933,0cos 21 −==⇒= ααα
C jelűek feladata
12. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, αtg pontos értékét, ha 32cos =α !
Megoldás:
95
321sin
22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=α , ebből
35sin
35sin
35sin 21 −==⇒= ααα
25
3235
tg25
3235
tg 21 −=−
=== αα
D jelűek feladata
13. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, αctg pontos értékét, ha 53sin −=α !
Megoldás:
2516
531cos
22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−=α , ebből
54cos
54cos
54cos 21 −==⇒= ααα
34
5354
ctg34
53
54
ctg 21 =−
−=−=
−= αα
14. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki a többi szögfüggvényértéket, ha
a) 3
22sin =α b) 7102cos −=α c)
53tg =α
Megoldás:
a) 31cos
31cos
91
3221cos 21
2
2 −==⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ααα
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 21
22
31
322
tg22
313
22
tg 21 −=−
=== αα
42
221ctg
42
221ctg 21 −=−=== αα
Vagy felhasználható a következő derékszögű háromszög:
b) 73sin
73sin
499
71021sin 21
2
2 −==⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= ααα
1023
710273
tg1023
7102
73
tg 21 −=−
=== αα
3102ctg
3102ctg 21 −== αα
Vagy felhasználható a következő derékszögű háromszög:
c) 35ctg =α
3425cos1cos
5cos3
5cos3sin
53
cossin 22
2
=⇒=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=⇒= ααααα
αα
345cos
345cos 21 −== αα
343sin
343sin
349
34251sin 21
2 −==⇒=−= ααα
Vagy felhasználható a következő derékszögű háromszög:
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 22
III. Trigonometrikus egyenletek Azokat az egyenleteket és egyenlőtlenségeket, amelyekben az ismeretlen valamilyen szög-
függvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük.
Ezeknek az egyenleteknek a megoldásához a tanult trigonometrikus azonosságok nyújtanak
segítséget.
Mintapélda8
Oldjuk meg a 21sin =x egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a xsin definíciója az egységsugarú
körben, akár az ( ) xxf sin= függvény grafikonja.
Két különböző egységvektor van, amelyek második koordinátája 21 . Az ezekhez tar-
tozó forgásszögek a 21sin =x egyenlet megoldásai:
∈°⋅+°= kkx 360301 Z
∈°⋅+°= llx 3601502 Z
A megoldások ívmértékben: ∈⋅+= kkx ππ 261 Z
∈⋅+= llx ππ 26
52 Z
Ellenőrizhetjük, hogy 21 és xx valóban gyökei a 21sin =x egyenletnek.
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 23
Módszertani megjegyzés: Azokban a feladatokban, amelyekben nincs kimondva, hogy az
eredményt fokban vagy radiánban várjuk, ott fogadjuk el a helyes megoldást, akár fokban,
akár radiánban adja meg a tanuló, vagy jelezzük, hogy mit várunk. Az emelt szintű érettségin
a valós számokon megoldandó trigonometrikus feladatok végeredményét radiánban kérik.
Ha a feladatban radián szerepel, akkor a periódust is ívmértékben kell megadni, ha fokban
mérik a szöget, akkor pedig fokban.
Ha a tanár úgy látja, hogy a tanulók könnyebben dolgoznak fokokkal, akkor engedje meg,
hogy az eredményt először fokban adják meg, még akkor is, ha a feladatban valós számok
szerepelnek. Kívánjuk meg, hogy a végeredményt a feladatban előírtak szerint adják meg.
Mintapélda9
Oldjuk meg a 03cos2 =+x egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
Rendezzük az egyenletet: 23cos −=x
Két különböző egységvektor van, amelyek első koordinátája 23
− . Az ezekhez tarto-
zó forgásszögek a 23cos −=x egyenlet megoldásai:
Az egyenlet megoldásai: ∈°⋅+°= kkx 3601501 Z
∈°⋅+°= llx 3602102 Z
A megoldások ívmértékben: ∈⋅+= kkx ππ 26
51 Z
∈⋅+= llx ππ 26
72 Z
melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 24
Módszertani megjegyzés: A következő mintapéldában számológépet használunk, mert nem
nevezetes szögre visszavezethető.
Mintapélda10
Oldjuk meg a 3tg 5−=x egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
Rendezzük az egyenletet: tg35
−=x .
Számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével kapjuk a megoldást:
A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a xtg definíciója az egységsugarú
körben, akár az ( ) xxf tg= függvény grafikonja.
∈°⋅+°−≈ kkx 1807,36 Z
Ívmértékben: ∈π⋅+−≈ kkx 64,0 Z
Ennek helyességéről az ellenőrzés során meggyőződhetünk.
Megjegyzés: A trigonometrikus egyenletek gyökeit általában radiánban adjuk meg, mert az
valós szám, és a megoldásokat nagy részben ezen a halmazon keressük. Vigyázzunk a számo-
lógép DRG beállítására!
Feladatok
Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása
A következő négy feladat megoldásához szakértői mozaik módszert javaslunk.
A jelűek feladata
15. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
alábbi egyenlőség!
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 25
a) 0sin =α b) 21sin −=α
Megoldás:
a) °=°=°= 360,180,0 321 ααα ; b) °=°= 330,210 21 αα .
B jelűek feladata
16. Add meg azoknak az α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!
a) 0cos =α b) 32cos −=α
Megoldás:
a) 2
3,2 21
παπα == ; b) °≈α°≈α 85,241,13,118 21 .
C jelűek feladata
17. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
alábbi egyenlőség!
a) tg33
=α b) tg 4−=α
Megoldás:
a) °=°= 210,30 21 αα ; b) °≈α°≈α 03,28403,104 21 .
D jelűek feladata
18. Add meg azoknak a 0 és π2 közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
alábbi egyenlőség!
a) ctg3
2−=α b) ctg 0=α
Megoldás:
a) 569,5,428,2 21 ≈α≈α ; b) nincs ilyen szög.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 26
19. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 6,0sin =α b) 5,1sin =α c) 4sin8 =α
Megoldás:
a) ∈°⋅+°≈ kk 36087,361α Z, ∈°⋅+°≈ ll 36013,1432α Z
b) nincs ilyen szög, mert minden x-re: 1sin1 ≤≤− x
c) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 26
360301 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lll ππα 26
53601502 Z
20. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 4,0cos −=α b) 23cos =α c) 01cos2 =+α
Megoldás:
a) ∈°⋅+°≈ kk 36058,1131α Z, ∈°⋅+°≈ ll 36042,2462α Z
b) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 26
360301 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lll ππα 26
113603302 Z
c) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 23
23601201 Z ∈⋅+=°⋅+°= lll ππα 23
43602402 Z
21. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 75,2tg =x b) 32tg −=x c) 023tg =−x
Megoldás:
a) ∈°⋅+°≈ kkx 18002,70 Z
b) ∈°⋅+°≈ kkx 18069,123 Z
c) ∈°⋅+°≈ kkx 18069,33 Z
22. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 25,1ctg −=x b) 52ctg =x c) 013ctg =+x
Megoldás:
a) ∈°⋅+°≈ kkx 18034,141 Z
b) ∈°⋅+°≈ kkx 18080,21 Z
c) ∈°⋅+°≈ kkx 18043,108 Z
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 27
Mintapélda11
Oldjuk meg xx sincos3 = egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
Oszthatunk xcos -szel, mert 0cos ≠x , ui. sinx és cosx nem lehet egyszerre 0.
xxx tg
cossin3 ==
∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ3
18060 Z
Ez valóban megoldása az egyenletünknek.
Mintapélda12
Oldjuk meg a xxxx cos3cos4cossin2 =+ egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
Rendezzük nullára az egyenletet: 0coscossin2 =+ xxx
Alakítsunk szorzattá: ( ) 01sin2cos =+xx
Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért
vagy ⇒= 0cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ2
180901 Z
vagy ⇒−=21sin x ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 2
673602102 Z,
∈⋅+=°⋅+°= mmmx ππ 26
113603303 Z
Ez valóban megoldása az egyenletünknek.
Feladatok
Megjegyzés: A feladatok megoldásához az ellenőrzés vagy az ekvivalens lépésekre való hi-
vatkozás hozzátartozik.
23. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) xx sin3cos = b) 0sincos2 =− xx c) xxx cos3cossin5 =+−
Megoldás:
a) ∈°⋅+°≈ kkx 18043,18 Z
b) ∈°⋅+°≈ kkx 18043,63 Z
c) ∈°⋅+°≈ kkx 1802,158 Z
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 28
24. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) ( ) 01cos2sin =−xx b) 0coscos4 2 =+ xx
Megoldás:
Nullára redukálunk. Szorzattá alakítunk.
Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.
a) ⇒= 0sin x ∈⋅=°⋅= kkkx π1801 Z
⇒=21cos x ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 2
3360602 Z,
∈⋅+=°⋅+°= mmmx ππ 23
53603003 Z
b) ( ) 0cos1cos4 =+ xx
⇒= 0cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ2
180901 Z
⇒−=41cos x ∈π⋅+π≈°⋅+°≈ lllx 259,036048,1042 Z,
∈π⋅+π≈°⋅+°≈ mmmx 242,136052,2553 Z
25. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 91sin2 =x b) 1sin4 2 =x c)
21cos2 =x
Megoldás:
a) ⇒=31sin x ∈°⋅+°≈ kkx 36047,191 Z
∈°⋅+°≈ llx 36053,1602 Z
∈°⋅+°≈ mmx 36047,1993 Z
∈°⋅+°≈ nnx 36053,3404 Z
b) ⇒=21sin x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ
6180301 Z
∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ6
51801502 Z
c) ⇒=2
1cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx24
90451ππ Z
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 29
Mintapélda13
Oldjuk meg a 013
43cos2 =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
πx egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
Rendezzük az egyenletet: 21
343cos −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
πx
Vezessünk be új változót: 3
43 πα −= x
Ebből: 21cos −=α
∈⋅+= kk ππα 23
21 Z
πππ 23
23
43 1 ⋅+=− kx
32
32
1ππ ⋅
+=kx
∈⋅+= ll ππα 23
41 Z
πππ 23
43
43 1 ⋅+=− lx
32
98
2ππ ⋅
+=lx
Az egyenlet megoldásai: ( ) ∈+π
=π⋅
+π
= kkkx 13
232
32
1 Z
( ) ∈+π
=π⋅
+π
= lllx 349
232
98
2 Z
Ezek helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 30
Feladatok
26. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) ( ) 02sin =− x b) ( ) 5261,0252sin =°+x
Megoldás:
a) ∈⋅=°⋅= kkkx2
90 π Z
b) ∈°⋅+°≈ kkx 18037,31 Z, ∈°⋅+°≈ llx 18063,612 Z
27. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 5,03cos =x b) 14
5cos =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
πx
Megoldás:
a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx3
29
120201ππ Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx
32
951201002
ππ Z
b) ∈⋅+= kkx ππ 24
5 Z
28. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) tg332 =x b) tg 1
42 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
πx
Megoldás:
a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx212
9015 ππ Z
b) ∈⋅+= kkx22ππ Z
29. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) ctg 13 =x b) ctg 36
2 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
πx
Megoldás:
a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx312
6015 ππ Z
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 31
b) ∈⋅+= kkx23ππ Z
30. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 36
2sin4 2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
πx b) 12
3cos2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
πx
Megoldás:
a) ⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
23
62sin πx ∈⋅+= kkx ππ
41 Z
∈⋅+= llx ππ125
2 Z
∈⋅+= mmx ππ12
113 Z
∈⋅+= nnx ππ4
34 Z
b) ⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 1
23cos πx ∈⋅+= kkx
36ππ Z
31. Határozd meg, hogy mely valós x számokra értelmezhetők a következő kifejezések!
a) xsin b) xsin
1 c) xcos1+ d) x2sin1−
Megoldás:
A négyzetgyök definíciója miatt:
a) 0sin ≥x A határszögek: π=°==°=⇒= 180000sin 21 xxx
Értelmezési tartomány: °⋅+°≤≤°⋅ 360180360 kxk , vagy
∈⋅+≤≤⋅ kkxk πππ 22 Z
b) 0sin >x A határszögek: π=°==°=⇒= 180000sin 21 xxx
Értelmezési tartomány: °⋅+°<<°⋅ 360180360 kxk , vagy
∈⋅+<<⋅ kkxk πππ 22 Z
c) ⇒≥+ 0cos1 x 1cos −≥x ez minden valós számra telesül.
Értelmezési tartomány: R
d) ⇒≥− 0sin1 2 x 0cos2 ≥x ez minden valós számra telesül.
Értelmezési tartomány: R
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 32
Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása
A következő négy mintapélda feldolgozásához szakértői mozaik módszert javaslunk.
A jelűek feladata
Mintapélda14 Oldjuk meg a ( ) ( )°+=°− 100sin203sin xx egyenletet!
Megoldás:
Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlőek:
I. eset II. eset
Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri-
ódus egész számú többszörösével térnek el
egymástól:
∈°⋅+°+=°− kkxx 360100203 Z
°⋅+°= 3601202 kx
°⋅+°= 18060 kx
Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illet-
ve csak a periódus egész számú többszörösé-
vel térnek el egymástól:
( ) ∈°⋅+°+−°=°− llxx 360100180203 Z
°⋅+°= 3601004 lx
°⋅+°= 9025 lx
Az egyenlet megoldásai: ∈°⋅+°= kkx 180601 Z
∈°⋅+°= llx 90252 Z
Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg.
B jelűek feladata
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 33
Mintapélda15
Oldjuk meg a ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
32cos
62cos ππ xx egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek koszinuszai egyenlőek:
I. eset II. eset
Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri-
ódus egész számú többszörösével térnek el
egymástól:
∈⋅+−=+ kkxx πππ 23
26
2 Z
ππ 26
5⋅+−= kx
Ha a két szög egymás ellentettje, illetve csak
a periódus egész számú többszörösével térnek
el egymástól:
∈⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=+ llxx πππ 2
32
62 Z
ππ 22
3 ⋅+= lx
32
6ππ ⋅
+=lx
Az egyenlet megoldásai: ∈⋅+−= kkx ππ 26
51 Z
∈⋅
+= llx32
62ππ Z
Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg.
C jelűek feladata
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 34
Mintapélda16 Oldjuk meg a tg ( ) =°− 428x tg ( )°+1325x egyenletet!
Megoldás:
Két szög tangense csak akkor egyenlő, ha a két szög megegyezik, illetve csak a perió-
dus egész számú többszörösével térnek el egymástól:
∈°⋅+°+=°− kkxx 1801325428 Z
°⋅+°= 1801743 kx
°⋅+°= 6058 kx
Az egyenlet megoldásai: ∈°⋅+°= kkx 6058 Z, melyek igazzá is teszik az ere-
deti egyenletet.
D jelűek feladata
Mintapélda17
Oldjuk meg a ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − xx 2
52sin
576sin ππ egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
I. eset II. eset
Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri-
ódus egész számú többszörösével térnek el
egymástól:
∈⋅+−=− kkxx πππ 225
25
76 Z
ππ 25
98 ⋅+= kx
Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illet-
ve csak a periódus egész számú többszörösé-
vel térnek el egymástól:
∈⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=− llxx ππππ 22
52
576 Z
ππ 24 ⋅+= lx
24ππ⋅+= lx
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 35
4409 ππ
⋅+= kx
Az egyenlet megoldásai: ∈⋅+= kkx440
91
ππ Z
∈⋅+= llx242ππ Z
Ellenőrizzük, hogy 21 és xx valóban gyökei az eredeti egyenletnek.
Feladatok
32. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) xx sin2sin = b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6sin
32sin ππ xx
c) xx cos3cos = d) ( )xx −°= 25cos4cos
Megoldás:
a) ∈⋅=°⋅= kkkx π23601 Z, ∈⋅
+=°⋅+°= lllx32
3120602
ππ Z
b) ∈⋅+= kkx ππ 22
31 Z, ∈
⋅+= llx
32
185
2ππ Z
c) ∈⋅=°⋅= kkkx π1801 Z, ∈⋅
=°⋅= lllx2
902π Z
d) ∈°⋅+°
= kkx 1203
3351 Z, ∈°⋅+°= llx 7252 Z
33. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) xx tg2tg = b) xx 3tg5tg = c) ( )°+= 702tg6tg xx
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 36
Megoldás:
a) ∈⋅=°⋅= kkkx π180 Z
b) ∈⋅=°⋅= kkkx2
90 π Z
c) ∈°⋅+°= kkx 455,17 Z
34. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) xx 5sin3sin −= b) xx 6cos2cos −=
Megoldás:
a) ∈= kkx41π Z, ∈⋅+−= llx ππ
22 Z
b) ∈+= kkx481ππ Z, ∈= llx
42π Z
Mintapélda18 Oldjuk meg a ( ) xx cos203sin =°+ egyenletet!
Megoldás:
Az egyenlet mindkét oldalát úgy alakítjuk át, hogy mindkét oldalon azonos szögfügg-
vények szerepeljenek. Felhasználjuk, hogy egy szög koszinusza megegyezik pótszög-
ének szinuszával:
( ) ( )xx −°=°+ 90sin203sin
Fordítva is gondolkodhatunk. Egy szög szinusza megegyezik pótszögének koszinu-
szával: ( ) xx cos20390cos =°−−° .
Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlők:
I. eset II. eset
Ha a két szög megegyezik, illetve csak a peri-
ódus egész számú többszörösével térnek el
egymástól:
Zkkxx ∈°⋅+−°=°+ 36090203
°⋅+°= 360704 kx
Zkkx ∈°⋅+°= 905,17
Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illet-
ve csak a periódus egész számú többszörösé-
vel térnek el egymástól:
( ) Zllxx ∈°⋅+−°−°=°+ 36090180203
°⋅+°= 360702 lx
Zllx ∈°⋅+°= 18035
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 37
Az egyenlet megoldásai: Zkkx ∈°⋅+°= 905,171
Zllx ∈°⋅+°= 180352
A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.
Feladatok
35. Oldd meg a következő egyenleteket! (A megoldáshoz használd fel a pótszögek szög-
függvényei közötti összefüggéseket!)
a) xx cos3sin = b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
3sin
65cos ππ xx
Megoldás:
a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx28
905,221ππ Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ
4180452 Z
b) ∈⋅+= kkx ππ21 Z
Mintapélda19
Oldjuk meg a tg3
42 −x tg 01=+x egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
Az egyenletnek csak ott van értelme, ahol a 0cos ≠x , azaz ∈⋅+≠ kkx ππ2
Z
Ez xtg -ben másodfokú egyenlet.
Vezessük be az yx =tg új ismeretlent, ekkor 013
42 =+− yy , majd oldjuk meg az
így kapott másodfokú egyenletet: 333 21 == yy .
⇒= 3tg x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ3
180601 Z
⇒=33tg x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ
6180302 Z
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 38
Mintapélda20 Oldjuk meg a xx 2sin6cos78 =+ egyenletet!
Megoldás:
A pitagoraszi összefüggés alapján: xx 22 cos1sin −=
Ezt helyettesítsük be az eredeti egyenletbe: ( )xx 2cos16cos78 −=+
Rendezzük az egyenletet: 02cos7cos6 2 =++ xx
Ez xcos -ben másodfokú egyenlet.
Vezessük be az xy cos= új ismeretlent, ekkor 0276 2 =++ yy majd oldjuk meg az
így kapott másodfokú egyenletet: 32
21
21 −=−= yy
⇒−=21cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 2
323601201 Z
∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 23
43602402 Z
⇒−=32cos x ∈°⋅+°≈ mmx 36081,1313 Z
∈°⋅+°≈ nnx 36019,2884 Z
Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg.
Mintapélda21 Oldjuk meg a 1sin2cos3 −= xx egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás:
Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: 1sin4sin4cos3 22 +−= xxx
A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, ezért bővülhet a gyökök halmaza, és
hamis gyökök léphetnek fel. Ezért fontos, hogy a kapott értékeket ellenőrizzük.
Mivel xx 22 sin1cos −= , ezért ( ) 1sin4sin4sin13 22 +−=− xxx
Rendezzük az egyenletet: 02sin4sin7 2 =−− xx
Ez xsin -ben másodfokú egyenlet.
Vezessük be az xy sin= új ismeretlent, ekkor 0247 2 =−− yy majd oldjuk meg az
így kapott másodfokú egyenletet: 3204,08918,0 21 −== yy .
⇒= 8918,0sin x ∈°⋅+°≈ kkx 36010,631 Z
∈°⋅+°≈ llx 36090,1162 Z
⇒−= 3204,0sin x ∈°⋅+°≈ mmx 36031,3413 Z
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 39
∈°⋅+°≈ nnx 36069,1984 Z
Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy 41 és xx valóban gyökei az eredeti
egyenletnek, 32 és xx azonban nem. Ez abból is látható, hogy ezekre az értékekre sin x
és cos x előjele különböző, továbbá 1sin2 2 >x .
Feladatok
Módszertani megjegyzés: Torpedójáték
A játékban páros számú csoportra bontjuk az osztályt, majd megbeszéljük, hogy melyek a
szembenálló csoportok. A csoportok egy-egy hadiflottának a parancsnokai; céljuk az ellenfél
flottájának elsüllyesztése. Az első teendő a flotta elhelyezése a bal oldali 10x10-es táblán úgy,
hogy a többi csoport ne láthassa. Minden csoportnak 3 db 1-mezős, 2 db 2-mezős, 1-1 db 3-,
4- és 5 mező nagyságú hajója van (a 2 vagy többmezős hajóknak a mezőknek legalább egy
oldalával érintkezniük kell). Ügyeljünk arra, hogy az elhelyezett hajók ne érintsék egymást.
Ha az összes csoport minden hajóját elhelyezte, kezdődhet a munka. Minden csoportnak az a
feladata, hogy a 36. feladatot legjobb tudása szerint megoldja. Minden jó feladatért adjunk 5
torpedót. Ha a feladatok megoldása nem tökéletes, de bizonyos része értékelhető adhatunk
érte résztöltényeket is. Ezután összegezzük, hogy melyik csoport hány lövéssel rendelkezik,
majd kezdődhet az ütközet. A csoportok felváltva indítják a torpedóikat, és bemondják az
éppen célzott mezőt (pl. C2). Válaszul az ellenfél bemondja, hogy sikeres volt-e a találat (pl.:
nem talált, talált, süllyedt). A jobb oldali táblán jelölhetik a csoportok az ellenfél flottájának
elhelyezkedését. A játék nyertese az a csoport, aki előbb lövi ki az ellenfél összes hajóját.
Természetesen aki nem akarja a torpedót használni, az frontális munka formájában is megold-
hatja az ott található egyenleteket.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 40
A B C D E F G H I J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A B C D E F G H I J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
36. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
a) 05sin9sin2 2 =−+ xx b) xx 2cos4cos85 =+
c) 11cos5cos2cos3 2 +=−+ xxx d) 3sincos7cos 22 +=+ xxx
e) xxx sin342cossin5 22 =++ f) ( ) ( ) 41sin2sin3 −=−⋅− xx
g) 3tg xx cos2= h) tg +x ctg 2=x
i) ctg −= 3x tg x j) xx cos1sin =−
Megoldás:
a) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 26
360301 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 26
53601502 Z
b) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23
23601201 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 23
43602402 Z
c) ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23601801 Z
d) Alkalmazzuk a 1cossin 22 =+ xx pitagoraszi összefüggést! Megoldjuk az így ka-
pott másodfokú egyenletet.
∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23
360601 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 23
53603002 Z
e) Alkalmazzuk a 1cossin 22 =+ xx pitagoraszi összefüggést! Megoldjuk az így kapott
másodfokú egyenletet. ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23
360601 Z,
∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 23
23601202 Z
f) Nincs olyan valós szám, amely az egyenletet kielégíti.
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 41
g) Alkalmazzuk a xxx
cossintg = azonosságot!
0cos ≠x , azaz ∈⋅+=°⋅+°≠ kkkx ππ2
18090 Z
∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 26
360301 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ 26
53601502 Z
h) Alkalmazzuk a x
xtg1ctg = azonosságot!
0cos,0sin ≠≠ xx , azaz ∈π⋅=°⋅≠ kkkx2
90 Z
∈π⋅+π
=°⋅+°= kkkx4
180451 Z
i) 0cos,0sin ≠≠ xx , azaz ∈⋅=°⋅≠ kkkx2
90 π Z
∈°⋅+°≈ kkx 18091,201 Z, ∈°⋅+°≈ llx 18009,692 Z
j) Négyzetre emelünk.
∈π⋅=°⋅= kkkx 23601 Z, ∈π⋅+π
=°⋅+°= lllx 22
360902 Z
37. Derékszögű háromszögben az α hegyesszögre teljesül, hogy 1114,3ctgtg =+ αα .
Határozd meg az α szöget?
Megoldás:
α=α
tg1ctg , α= tgy , ekkor ⇒=+− 011114,32 yy 364,0,7474,2 21 ≈≈ yy .
°≈°≈ 20,70 21 αα
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 42
IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek
Megjegyzés: Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásakor célszerű először megkeresni a
határszögeket, majd ezután az egységkörön szemléltetni a megoldást.
Mintapélda22
Oldjuk meg a 232cos ≤x egyenlőtlenséget!
Megoldás:
Legyen α=x2 . A határszögek: 6
306
3023cos 21
π−=°−=α
π=°=α⇒=α
°⋅+°≤≤°⋅+° 360330236030 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ 26
11226
Z
Az egyenlőtlenség megoldása:
°⋅+°≤≤°⋅+° 18016518015 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ12
1112
Z
Megjegyzés: A határszögeket elég az első négy negyedben meghatározni, de utána ne feled-
kezzünk meg a periodicitásról.
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 43
Mintapélda23
Oldjuk meg a xxx sincossin2 < egyenlőtlenséget!
Megoldás:
Rendezzük az egyenlőtlenséget, úgy hogy a jobb oldalon 0 legyen:
0sincossin2 <− xxx
Kiemelünk xsin -et: ( ) 01cos2sin <−xx
Egy két tényezős szorzat akkor negatív, ha tényezői ellenkező előjelűek, ezért a követ-
kező két eset fordulhat elő:
I. eset: Ha 0sin >x és 01cos2 <−x
0sin >x
A határszögek: π=°==°=⇒= 180000sin 21 xxx
°⋅+°<<°⋅+° 3601803600 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅ kkxk πππ 22 Z
21cos <x
A határszögek: 3
53003
6021cos 21
ππ=°==°=⇒= xxx
°⋅+°<<°⋅+° 36030036060 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 23
523
Z
A két intervallum metszete:
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 44
°⋅+°<<°⋅+° 36018036060 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 223
Z
II. eset: Ha 0sin <x és 01cos2 >−x
0sin <x
A határszögek: ππ 23601800sin 21 =°==°=⇒= xxx
°⋅+°<<°⋅+° 360360360180 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 222 Z
21cos >x
A határszögek: 3
603
6021cos 21
ππ−=°−==°=⇒= xxx
°⋅+°−>>⋅+° 3606036060 kxk , vagy ∈⋅+−>>⋅+ kkxk ππππ 23
23
Z
A két intervallum metszete:
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 45
°⋅+°<<⋅+° 360360360300 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 2223
5 Z
Összefoglalva, az egyenlőtlenség megoldása:
°⋅+°<<°⋅+° 36018036060 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 223
Z
°⋅+°<<⋅+° 360360360300 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 2223
5 Z
Mintapélda24
Oldjuk meg a ( ) 1153tg >°+x egyenlőtlenséget!
Megoldás:
Értelmezési tartomány: ∈°⋅+°≠ kkx 6025 Z
Legyen °+= 153xα . A határszög: °=⇒= 451tg αα
Ebből: ∈°⋅+°<°+<°⋅+° kkxk 1809015318045 Z
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 46
∈°⋅+°<<°⋅+° kkxk 18075318030 Z
Az egyenlőtlenség megoldása: ∈°⋅+°<<°⋅+° kkxk 60256010 Z
Ezt mutatja az első négy negyedben az alábbi ábra:
Feladatok
38. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket, majd keresd meg a feladathoz tartozó áb-
rát!
a) 0sin ≥x A)
b) 21cos <x B)
c) 23sin −≤x
C)
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 47
d) 22cos −>x
D)
e) 3tg >x E)
f) 1ctg −≤x F)
Megoldás:
a) A határszögek: π=°==°=⇒= 180000sin 21 xxx
°⋅+°≤≤°⋅ 360180360 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅ kkxk πππ 22 Z
b) A határszögek: 3
53003
6021cos 21
ππ=°==°=⇒= xxx
°⋅+°<<⋅+° 36030036060 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ 23
523
Z
c) A határszögek: 3
53003
424023sin 21
ππ=°==°=⇒−= xxx
°⋅+°≤≤°⋅+° 360300360240 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ 23
523
4 Z
d) A határszögek: 4
31354
313522cos 21
ππ−=°−==°=⇒−= xxx
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 48
°⋅+°<<⋅+°− 360135360135 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+− kkxk ππππ 24
324
3 Z
e) A határszög: 3
603tg π=°=⇒= xx
°⋅+°<<°⋅+° 1809018060 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ33
Z
f) A határszög: 4
31351ctg π=°=⇒−= xx
°⋅+°≤≤°⋅+° 180180180135 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ4
3 Z
39. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!
a) 21sin >x b)
23cos ≤x
c) 21sin 2 <x d)
43cos2 ≥x
Megoldás:
a) °⋅+°<<°⋅+° 18015018030 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+ kkxk ππππ6
56
Z
b) °⋅+°≤≤°⋅+° 18015018030 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ6
56
Z
c) °⋅+°<<°⋅+°− 1804518045 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+− kkxk ππππ44
Z
d) °⋅+°≤≤°⋅+°− 1803018030 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+− kkxk ππππ66
Z
40. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!
a) 212sin −≥x b)
223cos −≤x
Megoldás:
a) °⋅+°≤≤°⋅+°− 18010518015 kxk , vagy másképp
∈⋅+≤≤⋅+− kkxk ππππ127
12Z
b) °⋅+°≤≤°⋅+° 1207512045 kxk , vagy ∈⋅
+≤≤⋅
+ kkxk32
125
32
4ππππ Z
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 49
V. Vegyes feladatok
41. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!
a) ( ) 2cos += xxg b) ( ) xxf cos21
=
Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
42. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!
a) ( ) ( )xxf −= tg b) ( ) xxg tg=
Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
43. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket!
a) ( ) xxg 2cos3= b) ( ) 13
cos +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
πxxi
Megoldás: ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.
44. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke?
a) ( ) °⋅°+° 30sin60cos45tg ; b) 6
tg
3sin
4tg3 ππ
π
⋅+
;
c) °−°⋅°−° 20cos55ctg55tg70sin ; d) °+°⋅°−° 55cos55cos35sin235sin 22 .
Megoldás:
a) ( ) 75,05,05,01 =⋅+
b) 38
33
2313
=⋅+
c) 170sin170sin −=°−−°
d) ( ) ( ) 035sin35sin55cos35sin 22 =°−°=°−°
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 50
45. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
alábbi egyenlőség!
a) 23sin =α b)
22sin −=α
Megoldás:
a) °=°= 120,60 21 αα b) °=°= 315,225 21 αα
46. Add meg azoknak a 0 és π2 közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
alábbi egyenlőség!
a) 21cos =α b) 1cos −=α
Megoldás:
a) 3
5,3 21
παπα == b) πα =
47. Add meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
alábbi egyenlőség!
a) tg 1−=α b) tg 3−=α
Megoldás:
a) °=°= 315,135 21 αα b) °=°= 300,120 21 αα
48. Add meg azoknak a 0 és π2 közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az
alábbi egyenlőség!
a) ctg 1=α d) ctg 3=α
Megoldás:
a) 4
5,4 21
παπα == b) 6
7,6 21
παπα ==
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 51
49. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 1sin =α b) 7231,0sin −=α c) 03sin2 =−α
Megoldás:
a) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 22
36090 Z
b) ∈°⋅+°≈ kk 36069,3131α Z, ∈°⋅+°≈ ll 36031,2262α Z
c) ∈⋅+=°⋅+°= kkk ππα 23
360601 Z, ∈⋅+=°⋅+°= lll ππα 23
23601202 Z
50. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 3cos −=α b) 3492,0cos =α c) 03cos3 =−α
Megoldás:
a) nincs ilyen szög, mert minden x-re: 1cos1 ≤≤− x
b) ∈°⋅+°≈ kk 36056,691α Z, ∈°⋅+°≈ ll 36044,2902α Z
c) ∈°⋅+°≈ kk 36074,541α Z ∈°⋅+°≈ ll 36026,3052α Z
51. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:
a) xxx sinsincos −=⋅ b) 43cos3 2 =x c)
29sin3 2 =x
Megoldás:
a) Nullára redukálunk. Szorzattá alakítunk.
Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.
⇒= 0sin x ∈⋅=°⋅= kkkx π1801 Z
⇒−= 1cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ 23601802 Z
b) ⇒=21cos x ∈⋅+=°⋅+°= kkkx ππ
3180601 Z
∈⋅+=°⋅+°= lllx ππ3
21801202 Z
c) ⇒=23sin x nincs megoldás
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 52
52. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) 213sin −=x b) 02
8sin2 =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
πx
Megoldás:
a) ∈°⋅+°= kkx 1201101 Z, ∈°⋅+°= llx 120702 Z
b) ∈⋅+= kkx ππ 281 Z, ∈⋅+= llx ππ 2
85
2 Z
53. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) ( ) 14cos =− x b) ( ) 5152cos3 =°+x
Megoldás:
a) ∈°⋅= kkx 90 Z
b) ∈°⋅+°≈ kkx 18041,131 Z, ∈°⋅+°≈ llx 18060,1512 Z
54. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) tg 36
3 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
πx b) ctg33
32
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
πx
Megoldás:
a) ∈⋅+= kkx318ππ Z; b) ∈⋅= kkx π Z.
55. Egy háromszög α szögére a következő összefüggést kaptuk: ( ) 8192,030sin =°+α .
a) Mekkora lehet α ? b) Mekkora a harmadik. szög, ha a háromszög derékszögű?
Megoldás:
a) °≈°≈ 95,25 21 αα ; b) °≈α 25 .
56. Egy derékszögű háromszög α és β hegyesszögeire fennáll, hogy
2856,1cossin =+ βα . Mekkorák a háromszög hegyesszögei?
Megoldás:
( ) 6428,0sinsin2sinsin90cossin =⇒=+=−°+ αααααα
°≈°≈ 50,40 βα
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 53
57. Igazoljuk, hogy minden derékszögű háromszögben ( )°<α>α+α 901cossin !
Megoldás:
Derékszögű háromszögben c
bacb
ca +
=+=α+α cossin (a és b befogók, c az átfogó).
A háromszög egyenlőtlenség miatt cba >+ , ezért 1>+c
ba , vagyis 1cossin >α+α .
58. Egy háromszög területe 94,64 cm2, két oldala 15 cm és 22 cm. Mekkora lehet a két
oldal által közbezárt szög?
Megoldás:
⇒=⇒⋅⋅
=⇒⋅⋅
= 5736,0sin2
sin221564,942sin γγγbaT
°≈°≈ 145,35 21 γγ
59. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza14 cm, a másik oldalhoz tartozó magasság
hossza 5,92 cm. Mekkorák a paralelogramma szögei?
Megoldás:
⇒≈= 4229,014
5,92sinα °≈°≈ 155,25 21 γγ
60. Egy 5 m hosszú létrát a ház falának támasztottak, úgy hogy a lába 1,5 m-re volt a fal-
tól. Mekkora szöget zár be a létra a talajjal? Milyen magasan van létra a falhoz tá-
masztva?
Megoldás:
°≈⇒== 54,723,055,1cos αα
m77,45
54,72sin ≈⇒=° xx
61. Sík terepen egy férfitől 50 m távolságban van egy 30 m magas torony. Mekkora szög-
ben látja a férfi a tornyot, ha szemmagassága 180 cm-re van a földtől?
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 54
Megoldás:
°≈⇒== 06,2036,050
8,1tg αα
°≈β
==−
=β
42,29
564,050
2,2850
8,130tg
°=°+°=+ 48,3142,2906,2βα
Megjegyzés: Az ábra nem méretarányos.
62. Egy pontra ható két, egymásra merőleges erő nagysága N830N,570 21 == FF .
Mekkora az eredő erő nagysága és 1F -gyel bezárt szöge!
Megoldás:
°≈⇒≈= 52,554561,1570830tg αα
N89,100652,55sin
830≈
°=F
63. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) ( )°+= 18sin3sin xx b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
233cos
22cos ππ xx
Megoldás:
a) ∈°⋅+°= kkx 18091 Z, ∈°⋅+°= llx 905,402 Z
b) ∈⋅= kkx π21 Z, ∈⋅
+= llx52
52ππ Z
64. Oldd meg a következő egyenleteket!
a) xx 5sin2cos = b) ( ) ( )°−=°+ 20cos15sin xx
Megoldás:
a) ∈⋅
+=°⋅
+°
= kkkx72
147360
790
1ππ Z, ∈
⋅+=°⋅+°= lllx
32
6120302
ππ Z
b) ∈°⋅+°= kkx 1805,471 Z
8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 55
65. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!
a) ( ) 0cos1sin >+ xx b) xx sinsin 3 ≥ c) xx cos2cos 2 ⋅<
Megoldás:
a) °⋅+°<<°⋅+°− 3609036090 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+− kkxk ππππ 22
22
Z
b) °⋅+°≤≤°⋅+° 360360360180 kxk , vagy ∈⋅+≤≤⋅+ kkxk ππππ 222 Z
c) °⋅+°<<°⋅+°− 3609036090 kxk , vagy ∈⋅+<<⋅+− kkxk ππππ 22
22
Z
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 56
Kislexikon
Pitagoraszi azonosság: 1cossin 22 =+ αα
Pótszögek szögfüggvényei
( )αα −°= 90cossin
( )αα −°= 90sincos
( ) ∈π⋅+π
≠αα−°=α kk2
90ctgtg Z
( ) ∈°⋅≠−°= ll 18090tgctg ααα Z
Összefüggés egy szög tangense és kotangense között
∈°⋅≠
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=kk 90
tg1ctg
ctg1tg
α
αα
αα
Z
1ctgtg =⋅ αα
Trigonometrikus egyenlet (egyenlőtlenség): Az olyan egyenleteket és egyenlőtlenségeket,
amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenletek-
nek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük.
Megjegyzés: A fogalmak definíciói részletesebben a 10. évfolyam 11. moduljának kislexi-
konában találhatók.