8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen ... · Das Bild kann nicht angezeigt werden....
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( )n
n 0
Für jede Folge mit dem Grenzwert gilt:
Fun
lim
damentallemm
1
a:
.!
n kn
k
w w
w wn k
∞
→∞ =
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
2 3
0
Definition der Exponentialfunktion :
exp( ) : 1 1 ...! 2! 3!lim
n k
n k
z z z zz zn k
∞
→∞ =
⎛ ⎞= + = = + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
→
∑
£ £
8.1 Definition der Exponentialfunktion
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( ) ( )( )
( )
1 2
1
2 z 0
Die Exponentialfunktion hat die Eigenschaften E und E :
E exp( ) exp( ) exp( ) für alle , ,exp( ) 1E lim 1
Satz:
.
z w z w z wzz→
+ = ⋅ ∈− =
£
( )
( )1
2 0
Zu jedem gibt es genau eine Funktion : mitE ( ) ( ) ( ) für alle , ,
( ) 1E li
Sa
m .
Diese ist gegeben durch ( ) e
tz:
xp( ).
c
z
c ff z w f z f w z w
f z cz
f z cz→
∈ →+ = ⋅ ∈
− =
=
£ £ ££
( )( )
1
1
0
a) exp( ) exp( ) und exp( ) 0 für alle
b) exp( ) für komplexes . Dabei verwenden wir
Folgerunge
die Bezeic
n aus dem Additionst
hnung
1 1: exp
he
(1) l
orem
m!
E
i 1 .
:
r
n
n k
z z z z
r e r
en k
−
∞
→∞ =
− = ≠ ∈
=
⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟⎝ ⎠∑
£
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8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente
a) Für ist reell und >0.b) exp : wächst streng monoton.c) exp : ist bijektiv.
Satz:xx e
+
∈→→
°° °° °
Für jede (noch so grosse) natürliche Zahl gilt:
i) l
Satz vom Wachstu
im .
ii) li m
:
m li 0.
m
x
nx
nn x
x
nex
x eeξξ
ξ→∞
→−∞ →∞
=∞
= =
ist irratiSa
o .tz:
nale
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8.3 Der natürliche Logarithmus+ Die Exponentialfunktion bildet bijektiv auf ab. Die dazugehörige Umkehrfunktion
ln :
heisst . Definitionsgemäß si ndnatürlicher Logarithmus+ →
° °° °
also und lnäquivalente Gleichungen.
yx e y x= =
1
2 0
Der natürliche Logarithmus hat die Eigenschaften(L ) ln( ) ln( ) ln( ) ( , )
ln(1 )(L ) lim 1
Satz:
.x
x y x y x yx
x
+
→
⋅ = + ∈+ =
°
Der natürliche Logarithmus wächst für schwächer als jede Wurzel;d.h., für jede natürliche Zahl gilt
ln( )
Satz vom Wachstum
lim 0.
:
nx
xn
xx→∞
→∞
=
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8.4 Exponentialfunktion zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenz.
ln( )
1
ln2
Es sei : für , .
Die Funktion , heißt
De
. Sie hat folgende charakteristische Eigenschaften:
(E
fini
) für
tio
alle , ,
(E )
n
l
:
i
z z a
z
z w z w
a
Exponentialfunktion zurBas
a e a zz a z
a ais a
a z w
⋅+
+
= ∈ ∈
→ ∈
= ⋅ ∈
° ££
£1m ln( )
z
z
a az→∞
− =
+
Weitere Eigenschaften dieser Funktion:a) Sie ist stetig
wachsend a>1b) Sie ist auf streng monoton , falls ist.
fallend a<1c) Im Fall a 1 nimmt sie auf jeden Wert aus genau ein-
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
≠
°
° °mal an.
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( )
( )
( )
( )
x
x 0
x
x 0
für 0, lim
0 für 0;
0 für 0,' lim
für 0;ln lim 0 für 0;
' lim ln 0 f
Wichtige Gren
ür 0.
zwerte:
a
a
a
a
aa x
aa
a xa
xb ax
b x x a
→∞
→
→∞
→
∞ >⎧= ⎨ <⎩
>⎧= ⎨∞ <⎩
= >
= >
( )Ist 0, so kann die Funktion nach ' stetig in den
Nullpunkt fortgesetzt werden; man definiert dahe
Definit
r: 0 : 0 für
ion
0.
:a
a
a x x a
a
> →
= >
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8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe
( )
( )
0
1
1
Die Reihe
: , ( 1;1); .
heisst die Binomialreihe zum Parameter .
Die Reihe( 1): , ( 1
Definition
;1)
heisst die Logarithmusrei
e
.
n
e
:
h
ns
n
nn
n
sB x x x s
ns
L x x xn
∞
=
−∞
=
⎛ ⎞= ∈ − ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
−= ∈ −
∑
∑
£
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( )
( )
2 3
0
1 2 3 4 5
1
1
1
Für jedes und ( 1;1) gilt:
(1 ) 1 ...,2 3
( 1)ln(1 ) ... .2 3 4 5
Insbesondere ist( 1) 1 1 1 1ln(2) 1 ...,
2 3 4 5
l
Satz:
s ns
n
nn
n
k
k
s xs s s
x B x x sx x xn
x x x xx L x x xn
k
∞
=
−∞
=
−∞
=
∈ ∈ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−+ = = = − + − + −
−= = − + − + −
∑
∑
∑
£
2 1 3 5 7
0
1n 2 2 ... .1- 2 1 3 5 7
n
n
x x x x xxx n
+∞
=
⎛ ⎞+⎛ ⎞ = = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
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8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen
Für beliebiges setzen wir
cos : , sin : .2 2
iz iz iz iz
ze e e ez z
i
− −
∈+ −= =
£
2 2
Für alle gilt:i) cos sin (Eulersche Formel)ii) cos sin 1.
iz
ze z i z
z z
∈= +
+ =
£
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Additionstheoreme:Für alle , gilt:i) cos( ) cos cos sin sin ,ii) sin( ) sin cos cos sin .
z wz w z w z wz w z w z w
∈+ = −+ = +
£
Potenzreihendarstellungen:2 2 4 6
0
2 1 3 5 7
0
cos ( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!
sin ( 1) ...(2 1)! 3! 5! 7!
kk
k
kk
k
z z z zzkz z z zz zk
∞
=
+∞
=
= − = − + − +
= − = − + − ++
∑
∑
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Tangens und Cotangens:
Außerhalb der Nullstellen des Cosinus bzw. Sinus definiert manweiter die Funktionen Tangens und Cotangens:
sin cos
Es gil
tan : , cot : .cos sin
tan tantan( ) .1 tan t
t:
an
z zz zz z
z wz wz w
= =
++ =−
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8.7 Nullstellen und Periodizität.
2 2 4
3
Für (0;2] gilt:
i) 1 cos 1 ,2 2
Ei
24
ii) sin .6
Insbesondere ist sin 0 in (0;2].
nschließungslemma:
xx x xx
xx x x
x
∈
− < < − +
− < <
>
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Folgerung:
Satz und Definition der Zahl :πDer Cosinus hat im Intervall [0;2] genau eine Nullstelle. Diese
bezeichnet man mit . Damit gilt2
cos 0 und sin 1.2 2
π
π π= =
Der Cosinus fällt in [0;2] streng monoton.
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2
2
Für alle gilt:
i) ,ii) ,iii) .
iz z
z i z
z i z
z
e iee ee e
π
π
π
+
+
+
∈
== −=
£
Satz:
Korollar:
( ) ( )
( ) ( )
Für alle gilt:
cos sin , cos cos , cos 2 cos ,2
sin cos , sin sin , sin 2 sin .2
z
z z z z z z
z z z z z z
π π π
π π π
∈
⎛ ⎞+ = − + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ = + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
£
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Satz:Der Cosinus hat auf genau die Nullstellen mit ;
2der Sinus genau die Nullstellen mit .
k k
k k
π π
π
+ ∈
∈
° ¢
¢
Folgerung 1:2 ist die kleinste positive Periode der Funktionen Cosinus und Sinus.π
Folgerung 2:Genau dann gilt 1, wenn ein ganzes Vielfaches von 2 istze z iπ=
Korollar:Cosinus und Sinus haben in nur die im letzten Satz angegebenenreellen Nullstellen.
£
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8.9 Polatkoordinaten komplexer ZahlenS
.
Jede komplexe Zahl 0 besitzt eine Darstellung mit und ;
dabei ist bis auf die Addition einer ganzen Vielfach
atz
en von 2 bestimmt
:
i
zz re r zφ φ
φ π
≠= = ∈R;
( )( ) ( )
1
1 2 1 2
Die Abbildung: , : cos sin
ist surjektiv, und gilt genau dann, wenn sich und um ein ganzes vielfaches von 2 unterscheide
Korollar
n
:
.
ie S e e i
e e
φφ φ φφ φ φ φ
π
→ = = +
=
R
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8.9 Polatkoordinaten komplexer Zahlen
2
k
Die Gleichung 1, n , besitzt genau die n Lösungen
2 2: cos sin , k=1,...,n.
Satz:n
ikn
z
e k i kn n
π π πζ
= ∈
= = +
N
1
Die Gleichung mit c hat eine Lösung. Mit e
Ko
iner Lösung sind ,..., ihre sämtlichen Lösun
rollar:
gen.
n
n
z cw w wς ς= ∈C
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8.10 die Geometrie der Exponentialabbildung
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Diese Bilder können wir vernünftig lesen.Das verdanken wir den Polarkoordinaten in undden Potenzreihen über !
CC
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Eigenschaften des Hauptzweiges:
{ }1 2
r
11 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1. , seien in der rechten Halbebene : : Re 0 .
Dann liegen und in , und es gilt
ln = ln + ln , ln ln ln
w wz z
ww ww
w w w w w w w w
−
= ∈ >
= −
£
g £
g
1
1 .
H :
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Eigenschaften des Hauptzweiges:
( ) ( ) ( )1
1
2 1
0
2. Sei 1, so gilt 1 und es gilt
1ln 1 .
3. Für 1 gilt die Potenzreihendarstellung
1ln 2 .1 2 1
nn
n
n
n
w w
w w L wn
w
w ww n
−
−∞
=
+∞
=
< + ∈
−+ = =
<
+ =− +
∑
∑
£
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Tangens und Arcustangens
2
2
1 1 1tan1
iz iz iz
iz iz iz
e e ezi e e i e
−
−
− −= ⋅ = ⋅+ +
( ) 3 52 1
0
1arctan
2 1 3 5
nn
n
w ww w wn
∞+
=
−= = − + −
+∑ L
( )0
1 1 1 11 .4 2 1 3 5 7
k
k kπ ∞
=
−= = − + − ±
+∑ L
wegen arctan1 4 gilt:π=
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8.12 Die hyperbolischen Funktionen
( ) ( )In vielen Anwendungen kommt die Exponentialfunktion
1 1in den Kombinationen und vor.2 2
Man definiert:
z z z ze e e e− −+ −
( )cosh : ,2
z ze ez (Cosinus hyperbolicus)
.
−+=
( ) ( )( )
coshcoth : .
sinhz
z (Cotangens hyperbolicus)z
=
( )sinh : ,2
z ze ez (Sinus hyperbolicus)−−=
( ) ( )( )
sinhtanh : ,
coshz
z (Tangens hyperbolicus)z
=
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Es gilt:
Additionstheoreme:
2 2gilt im FaSpe ll : cosh sinhe 1zi ll w z z z= − − =
Potenzreihendarstel
lung
en:
1cosh cos , sin h sin .z iz z izi
= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cosh cosh cosh sinh sinh ,
z w z w z w+ = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sinh sinh cosh cosh sinh .z w z w z w+ = +
( ) ( )2
0cosh ,
2 !
k
k
zzk
∞
=
=∑
( ) ( )2 1
0 sinh .
2 1 !
k
k
zzk
+∞
=
=+∑
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Die Beschränkung auf reelle Argumente:
a) cosh wächst streng monoton auf 0,∞⎡⎣ );b) sinh wächst streng monoton auf !;c) tanh wächst streng monoton auf !.