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ÍNDICE Pagina
01 Generalidades 03
02 Evolução da hidráulica 04
03 Dimensões, símbolos e unidades 05
04 Sistema de unidades 07
05 Grandezas mecânicas 09
06 Transformação de unidades 10
07 Grafia de números 11
08 Prefixos 11
09 Analise do comportamento dos fluidos 12
10 Exercícios (S.U e Prop. fund.fluidos) 14
11 Exercícios resolvidos 15
12 Exercícios conversão unidades 18
13 Exercícios (S.U e Prop. fund. fluidos) 19
14 Hidrostática 20
15 Manometria 25
16 Empuxo 31
17 Exercícios de hidrostática 34
18 Exercícios empuxo 35
19 Exercícios manometria 39
20 Exercícios sistema de unidades 43
21 Fundamentos da cinemática dos fluidos 44
22 Teste múltipla escolha 48
23 Teorema de Bernoulli 50
24 Potencia da corrente fluida 52
25 Aplicações da equação de Bernoulli 52
26 Exercícios (eq. continuidade e Bernoulli) 56
27 Orifícios 58
28 Bocais 61
29 Vertedores 63
30 Hidrometria 65
31 Condutos livres 65
32 Condutos forçados 71
33 Exercícios hidrometria 75
34 Exercícios condutos forçados e hf 75
35 Dimensionamento de canais 77
36 Elementos geométricos 78
37 Exercícios resolvidos canais 82
38 Exercícios propostos canais 83
39 Escoamento em tubulações 84
40 Determinação da perda de carga 84
41 Exercícios de perda de carga 88
42 Bombas Hidráulicas 91
43 Cavitação 94
44 Potências e rendimentos 95
45 Curvas Características De Bombas Centrífugas 100
46 Método Básico Para Seleção De Uma Bomba Centrífuga 105
47 Esquema típico de instalação de motobomba 109
48 Referencias 112
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1. GENERALIDADES
A ciência da engenharia denominada mecânica dos fluidos desenvolveu-
se através de um entendimento das propriedades dos fluidos1 (tanto em
repouso quanto em movimento), da aplicação das leis fundamentais da
mecânica e da termodinâmica e da experimentação metódica.
O significado etimológico da palavra hidráulica é a “condução de
água” (do grego hydor, água e aulos, tubos condução). Entretanto a
engenharia hidráulica envolve a aplicação de princípios e métodos da
engenharia para o controle, conservação e utilização dos fluidos. A
hidráulica pode ser dividida em Geral ou Teórica e Aplicada ou
Hidrotécnica. A Hidráulica Geral se aproxima muito da mecânica dos
fluidos e pode ser subdividida em Hidrostática2, Hidrocinemática
3 e
Hidrodinâmica4; já a Hidráulica Aplicada é a aplicação prática dos
conhecimentos científicos da Mecânica dos Fluidos e da observação
criteriosa dos fenômenos relacionados à água parada ou em movimento.
As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada são: Urbana (sistemas de
abastecimento de água, sistema de esgotamento sanitário, sistema de
drenagem pluvial, canais); Rural: (sistemas de drenagem, sistemas de
irrigação, sistemas de água potável e esgotos); Instalações Prediais:
(industriais, comerciais, residenciais e públicas); Lazer e Paisagismo;
Estradas (drenagem); Defesa contra inundações; Geração de energia;
Navegação e Obras Marítimas e Fluviais.
Os instrumentos utilizados na atividade profissional da Hidráulica
Aplicada são: analogias, cálculos teóricos, e empíricos, modelos físicos,
modelos matemáticos de simulação, hidrologia. Os acessórios, materiais e
estruturas utilizados na prática da Hidráulica Aplicada são: Tubulações,
aterros, barragens, bombas, canais, válvulas, vertedores, etc.
1 Definição de fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de
cisalhamento. Outra definição seria “fluidos são substancias que são capazes de escoar e cujo volume toma a forma de seus recipientes”. 2 Trata dos fluidos em repouso.
3 Estuda velocidades e trajetórias, sem considerar forças ou energia.
4 Refere-se às velocidades, às acelerações e às forças que atuam nos fluidos em movimento.
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2. EVOLUÇÃO DA HIDRÁULICA
Os trabalhos hidráulicos são conhecidos desde a mais remota
antiguidade. As grandes civilizações antigas que se fixaram em regiões
áridas, mas próximas de cursos de água facilmente aproveitáveis, foram
nascidas e conservadas graças à utilização eficiente de seus recursos
hídricos. Há mais de 3000 anos a.C5., entre os rios Tigre e Eufrates, os
egípcios já haviam construído obras hidráulicas para irrigação de suas
lavouras e em Nipur (Babilônia), existiam coletores de esgoto desde 3750
a. C.
O principio de Arquimedes pertence quase ao inicio da época Romana;
da autoria de FRONTINUS do Imperador Nero, é o primeiro tratado de
Hidráulica, particularmente dedicado aos aquedutos de Roma, considerados
obras de primária importância para o desenvolvimento da civilização.
O primeiro sistema público de abastecimento de água de que se tem
noticia, o aqueduto de Jerwan, foi construído na Assíria, 691 a.C. Alguns
princípios da hidrostática foram enunciados por Arquimedes, no seu
“Tratado sobre corpos flutuantes”, 250 a.C.
Deve-se a Euler as primeiras equações gerais para o movimento dos
fluidos. No seu tempo, os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica
dos Fluidos apresentavam-se separados em dois campos distintos: a
Hidrodinâmica Teórica, que estudava os líquidos perfeitos, e a Hidráulica
Empírica, em que cada problema era investigado isoladamente.
Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de
ferro fundido, capazes de resistir a pressões internas, relativamente
elevada, com o crescimento das cidades e importância cada vez maior do
serviço de abastecimento de água e ainda em conseqüência de novas
maquinas hidráulicas é que a Hidráulica teve um progresso rápido e
acentuado.
Finalmente, pode-se admitir que a Hidráulica é jovem como ciência
sendo que novas e importantes descobertas se desenvolverão ano após ano
nesse campo de atividades.
5 Primeiro relato da irrigação no mundo.
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3. DIMENSÕES, SIMBOLOS E UNIDADES
O estudo da mecânica dos fluidos envolve uma variedade de
características. Assim, torna-se necessário desenvolver um sistema de
descrevê-la de modo qualitativo (comprimento, tempo, velocidade) e
quantitativo (fornece uma medida numérica para as características). A
descrição qualitativa é conveniente realizada em função de certas
quantidades primarias tais como o comprimento, L, tempo, T, massa, M.
Estas quantidades primárias podem ser combinadas e utilizadas para
descrever, qualitativamente, outras quantidades ditas secundarias, por
exemplo: área = L2, velocidade = L T
-1 e massa especifica = M L
-3. O
símbolo = é utilizado para indicar a dimensão de quantidade secundaria em
função das dimensões das quantidades primarias. Assim nós podemos
descrever qualitativamente a velocidade, V, do seguinte modo:
1 LTV
e dizer que a dimensão da velocidade é igual ao comprimento dividido pelo
tempo. As quantidades primárias são também denominadas dimensões básicas.
É interessante notar que são necessárias apenas três dimensões
básicas (L, T e M) para descrever um grande numero de problemas de
mecânica dos fluidos e da hidráulica. Nós aceitamos como premissa básica
que todas as equações que descrevem os fenômenos físicos precisam ser
dimensionalmente homogêneas. Por exemplo, a equação para a velocidade de
um corpo uniformemente acelerado é:
atVoV
Onde: Vo é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o intervalo de
tempo. Em termos dimensionais a forma desta equação é:
111 LTLTLT
podendo concluir desta forma que a equação para a velocidade de um corpo
é dimensionalmente homogênea.
Exemplo: Dada a equação para determinar a vazão do escoamento de um
liquido através de um orifício localizado na lateral de um tanque é:
ghAQ 261,0
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Onde: A é área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura
da superfície livre do liquido em relação ao orifício. Investigue a
homogeneidade dimensional desta equação.
Solução: as dimensões dos componentes da equação são:
LalturahTLgravidadeaceleracaog
LareaATLtempovolumeQ
..............
...................../
2
213
Se substituirmos estes termos na equação, obtemos a forma dimensional:
2/12/12213 )()()2)()(61,0()( LLTLTL Ou )()2)(61,0()( 1313 TLTL
Este resultado mostra que a equação é dimensionalmente homogênea, ou
seja, os dois lados da equação apresentam a mesma dimensão
L3 T
-1, sendo 0,61 e 2 adimensionais.
Obs 1.: uma equação é dita homogênea dimensionalmente, quando os seus diferentes
termos apresentam o mesmo grau com relação às grandezas fundamentais
Obs 2: uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente
homogênea.
Quadro: Unidades de diversas grandezas mecânicas nos principais sistemas.
Designação Dimensões Sistema
CGS
S I Sist.
Técnico
MLT FLT (MLT) (MLT) (FLT)
Unid.
fundam
Comprimento L L cm m m
Massa M FT2
L-1
g kg UTM
Força ML T-2 F dina
(dyn)
N kgf
Tempo T T s s s
Unidades derivadas
Superfície L2 L
2 cm
2 m
2 m
2
Volume L3 L
3 cm
3 m
3 m
3
Velocidade L T-1 L T
-1 cm/s m/s m/s
Aceleração L T-2 L T
-2 cm/s
2 m/s
2 m/s
2
Trabalho M L2 T
-2 FL erg joule(J) kgf.m
Potencia M L2 T
-3 FL T
-
1
erg/s watt(W) kgf.m/s
Visc
din.()
M L-1
T-
1
FT L-
2
poise decapoise(d
a)
kgf s/m2
Visc
cin..()
L2 T
-1 L
2T cm
2/s
(stokes)
m2/s m
3/s
Massa esp
()
M L-3 FT
2
L-4
g/cm3 kg/ m
3 Kgfs
2/m
4
(UTM/ m3)
Peso
esp.()
M L-2T-2 F L
-3 dyn/cm
3 N/m
3 Kgf/m
3
U.T.M = 9.81 kg 1 N = 0.102 kgf 1 kgf = 9.81 N 1 N = kgf.m.s-2
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4. SISTEMAS DE UNIDADES
Normalmente, além de termos que descrever qualitativamente uma
quantidade, é necessário quantificá-la. Existem vários sistemas de
unidades em uso e consideraremos apenas três dos sistemas utilizados em
engenharia.
- Sistema Internacional (S.I.) 6
- Sistema Técnico (utilizado nos EUA)
- Sistema C.G.S.
Ainda são toleradas algumas unidades de outros sistemas. Por exemplo:
Unidades de Pressão:
-Atmosfera 1 atm = 101 435 Pa = 101,435 kPa = 1,01 bar = 14,22 lb/pol2
ou PSI
-Bar 1 bar = 100.000 Pa = 100 kPa =
0.985 atm
-Metro de Coluna de Água
1 m.c.a. = 10 kPa
-Milímetro de Mercúrio
1 mmHg = 133, 322 Pa
Unidades de Potência:
-Cavalo-Vapor 1 cv =735,5 watt
(muito utilizado em motores)
-Horse-Power 1 hp = 746 watt
Unidades de Força:
-Quilograma-Força 1 kgf = 9,81 N
Obs: Em Hidráulica, os sistemas de
unidades mais utilizados são o S.I. e o
Sistema Técnico.
Obs.: 1200 cfm ("cubic feet per minute", ou pé cúbico por minuto)
6 O decreto n 81.621 de 03/05/1979, tornou oficial no Brasil o uso do Sistema Internacional de Unidades
(S.I.).
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Exemplo: Um tanque contem 36 kg de água e está apoiado no chão de um
elevador. Determine a força que o tanque exerce sobre o elevador quando
este movimenta para cima com uma aceleração de 7 ft s-2.
Solução: A fig. Mostra o diagrama de corpo livre para o
tanque. Note que W é o peso do tanque e da água. A
expressão da segunda lei de Newton é: maF
Eq. 1
Aplicando esta lei ao problema, temos:
maWFf (considerando positivo para cima).
Como W = m g, a eq. 1 pode ser reescrita como:
Ff = ma + mg ficando
Ff = m(g+a).
Se quisermos conhecer o valor de Ff em Newton, é necessário exprimir
todas as quantidades no SI.
Assim: ..97,42913,281,936 222 mskgmsmskgFf
Como 1 N = 1 kgf.m.s-2, temos que a força Ff é igual a 429,97 N (atua no
sentido positivo). O sentido que a força atua no elevador é para o solo
porque a força mostrada no diagrama de corpo livre é a força que atua
sobre o tanque.
5. ALGUMAS GRANDEZAS MECÂNICAS
MASSA: U.T.M. Unidade Técnica de Massa.
Definição: É a massa de um corpo pesando “9,81” kgf
Obs dimensão : L
TF
T
L
F
A
FMAMF
2
2
..
Força = massa x aceleração
Massa = 9,81 kgf 1 U.T.M = 1 kgf . s2
9,81 m.s-2 m
1 U.T.M = 9,81 kg
Exemplo: Um corpo pesa 250 Kgf. Qual sua massa no sistema técnico?
m = 250 kgf = 25,5 U.T.M.
9,81 m /s2
W
Ff
a
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FORÇA 2
.
T
LMDimensao C.G.S
2
.
s
cmg = dina (dyn)
S.I. 2
.
s
mkg = Newton (N)
Obs: Newton: Força que comunica à massa 1 kg, a aceleração de 1 m/s2.
S. Técnico Força = Quilograma-força (kgf)7.
1F = 1 kg . 9,81 m/s2
1F = 9,81 kg . m/s2
1F = 9,81 N ainda 1 kgf = 9810 N
Observação: A massa no S.I. possui o mesmo módulo que a força no Sistema
Técnico.
Exemplo: 2 kg (massa no S.I) de banana pesam 2 kgf (força no Sistema
Técnico), porém em sistemas diferentes !!!
O Quadro abaixo exemplifica a questão:
S.I. Sistema Técnico
Massa = 2 kg Massa = kg
kg
81,9
2 = 0,204 U.T.M = 0,204
m
skgf 2.
Peso = m . g
Peso = 2 kg . 9,812s
m
Peso = 19,62 N
Peso = m . g
Peso = 0,204m
skgf 2.. 9,81
2s
m
Peso = 2 kgf
Observação: Na resolução de problemas é necessária a utilização de um mesmo
sistema de unidades.
A massa específica ( ) no S.I. = Peso específico () no Sistema
Técnico
(S.Tec.) = g
(S.I) (S.Tec) =
g
(S.I.) (S.I.) = (S. Tec)
água = 1 000 kgf/m3 (S. Téc.) água = 9 810 N/m
3 (S.I.)
7 Peso do protótipo internacional do quilograma, quando submetido à ação da gravidade normal (9,81 m/s
2).
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6. TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI (Século XVIII)
A pressão atmosférica em um local pode ser
medida pela coluna de mercúrio na experiência
de Torricelli.
Sendo: hpEpBpBpo .'
Mas: pE=zero(pressão em E, vácuo parcial);
Hg=13590 kgf m-3 (peso espec. merc.)
Então: 23 328 10760,0*590 13 kgfmmkgfmpo ou
mmHgkgfcmpo 760033,1 2
Que é o valor da pressão atmosférica ao nível
do mar, correspondendo a 1 atmosfera normal.
Ao emborcar a proveta cheia de mercúrio (Hg)
na cuba, permaneceu uma coluna de 760 mmHg. Concluiu-se com isto, que a
Pressão Atmosférica corresponde à 760 mmHg.
Como Hg = 13 590 Kgf/m3
e P = . h, então: 13 590 kgf/m
3 x 0,760 m = 10 328 kgf/m
2 = 1,033 kgf/cm
2(Atmosfera física).
Como a densidade do Hg () = (Hg) / (água) = 13,59 A mesma pressão atmosférica equilibraria uma coluna de água de:13,59 X
0,760 m = 10,33 m.c.a.
Atmosfera Padrão (ao nível do mar, 40º de latitude)
760 mmHg = 10.340 kgf/m2 = 1,034 kgf/cm
2 = 10,34 m.c.a.
Atmosfera Técnica (usada para cálculos em engenharia)
735mmHg = 10.000 kgf/m2 = 1,0 kgf/cm
2 = 10 m.c.a. = 1 atm = 100kPa =
14,22 PSI (1 kgf = 10 N).
Observação: Para uma elevação de 100 m na altitude, ha uma redução de
0,012 atm (0,12 m.c.a. ou 120 kgf/m2) na pressão atmosférica local.
Exemplo: Determinar o valor da Pressão Atm. para Lavras Altitude=920 m)
Sabemos que a atmosfera padrão, ao nível do mar, é igual a 1,034 atm =
10.340 kgf/m2 = 10,34 m.c.a. e também que a pressão é reduzida de 120
kgf/m2 para cada 100 m acima do nível do mar, portanto:
Patm local = 10 340 kgf/m2 – (120 kgf/m
2 x Altitude/100)
Patm local = 10 340 kgf/m2 – (120 kgf/m
2 x 920 m / 100)
Patm local = 9 236 kgf/m2
Exercício: calcular a pressão atm para a cidade de Diamantina (1350m).
h =760mm de Hg
Hg
B‟
po
B
E
F
Vácuo parcial
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7. GRAFIA DE NÚMEROS
A fim de facilitar a leitura, os números podem ser repartidos em
grupos de três algarismos cada um, esses grupos nunca será separados por
virgula ou ponto (9ª CGPM/1948-resolução 7).
Exemplo: 100 000,0 sendo representativo de cem mil e zero unidades.
8. PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
Fator Prefixo Simbolo Fator Prefixo Simbolo
1018 exa E 10
-1 deci d
1015 peta P 10
-2 centi c
1012 tera T 10
-3 mili m
109 giga G 10
-6 micro
106 mega M 10
-9 nano n
103 quilo k min. 10
-12 pico p
102 hecto h 10
-15 femto f
101 deca da 10
-18 atto a
9. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DOS FLUIDOS
Definição de Fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando
submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena
possa ser essa tensão.
a) Peso especifico (γ). É o peso da unidade de volume da substancia.
V
W
Onde: V é o volume da substância e W é peso da substancia.
obs W=mg.
Dimensões MLT22TL
M e FLT
3L
F
b) Massa especifica (ρ). É a massa contida na unidade de volume, também
conhecida como “densidade absoluta”.
V
m
Onde: m é a massa da substancia.
Dimensões MLT3L
M e FLT
4
2
L
FT
Obs: Entre a massa especifica e o peso específico existe a seguinte
relação: V
W
V
mgsendo
V
m logo g. onde g é a aceleração da
gravidade.
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Massa especifica de algumas substancias.
Substancia ρ (g cm-3) ρ (kg m
-3)
Agua (4ºC) 1,0 1 000
Gelo 0,92 920
Álcool 0,79 790
Ferro 7,8 7 800
Chumbo 11,2 11 200
Mercurio 13,6 13 600
Obs.: água, peso especifico 101,94 UTM/m3 sendo UTM=
m
skgf 2.
c) Densidade (δ). É a relação entre a massa especifica de uma substancia
e a massa específica de outra substância, tomada como referência.
1
sendo adimensional.
Geralmente a substancia tomada como referência é a água a 4ºC que
apresenta massa específica de 1000 kg m-3.
d) Viscosidade (atrito interno). é a propriedade dos fluidos responsável
pela sua resistência à deformação. Obs: em conseqüência da viscosidade o
escoamento dos fluidos dentro das canalizações somente se verifica com
perda de energia denominada “perda de carga”.
e) Coeficiente de viscosidade dinâmica (μ). É o parâmetro que traduz a
existência de esforços tangencias nos líquidos em movimento.
n
VSF
Onde: ΔF é força necessária para o deslocamento, S é superfície contato,
Δn é distancia de deslocamento e ΔV é velocidade relativa.
f) Coeficiente de viscosidade cinemática (υ). É o quociente de
viscosidade dinâmica pela massa especifica.
Obs: coeficiente de viscosidade cinemática da água (υ) = 1,01.10-6 m
2 s
-1 =
1,01 centistokes.
g) Coesão. Permite às partículas fluidas resistirem a pequenos esforços
de tensão.
Por exemplo: formação da gota d’água.
h) Adesão. Quando um liquido está em contato com um sólido, a atração
exercidas pelas moléculas do sólido é maior que a atração existente entre
as moléculas do próprio liquido.
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i) Tensão superficial (σs). Na superfície de contato entre dois fluidos
não miscíveis (água e ar), forma-se uma película elástica capaz de
resistir a pequenos esforços.
Por exemplo, pernilongo sobre a água.
j) Capilaridade. As propriedades de adesão, coesão, tensão superficial
são responsáveis pelo fenômeno da capilaridade. É a elevação (ou
depressão no Hg) de um liquido dentro de um tubo de pequeno diâmetro.
gr
sh
cos.2
Onde: α é o ângulo formado pela superfície do liquido com a parede do
tubo, ρ é a massa específica da água, g é a aceleração da gravidade e r é
o raio do tubo capilar.
l) Compressibilidade. Para efeitos práticos, os líquidos são considerados
incompressíveis.
Por exemplo, 1 000 L de água à pressão de 7 kgf cm-2, sofre uma redução de
0,0033 m3 ou de 3,3 L.
m) Solubilidade dos gases. Os líquidos dissolvem os gases (água dissolve
o ar). Implicação: causa do desprendimento de ar e aparecimento de bolhas
de ar nos pontos altos das tubulações.
FLUIDO NEWTONIANO
Definimos fluido como “toda substancia que se deforma
continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento” na
ausência deste, não existe deformação. Os fluidos podem se
classificar, de forma geral, segundo a relação entre os esforços
cortantes aplicados e a rapidez de deformação resultante. Aqueles
fluidos onde o esforço cortante é proporcional a rapidez de
α
Patm h
menisco
agua
Fig.: tubo capilar de vidro em água
Coesão >
adesao Adesão >
Coesão
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deformação, se denominam fluidos Newtonianos, p.e. água, ar,
gasolina, e o termo Não Newtoniano se utiliza para classificar
todos os fluido onde o esforço cortante no é diretamente
proporcional a rapidez de deformação, p.e. creme dental, tintas. Na
nossa apostila, somente faremos menção a fluidos Newtonianos.
Obs. VISCOSIDADE
Considerando a deformação dos fluidos Newtonianos diferentes, por exemplo,
a água e a glicerina se deformam em diferentes tempos para uma mesma força
cortante. A glicerina oferece muito mais resistência à deformação do que a água,
então, diz-se que a glicerina é muito mais viscosa. Outro exemplo seria o mel
com o álcool, qual seria mais viscoso?
10. LISTA 1.
HIDRÁULICA (Sist. de Unidades e Prop.Fundamentais dos fluidos)
1. Transformar a pressão de 35.000 2m
kgf em :
a) kgf / cm2 (Resp.: 3,5 kgf / cm
2)
b) m.c.a. (Resp.: 35 m.c.a)
c) atm (Resp.: 3,5 atm)
d) Pascal (Pa) (Resp.: 350.000 Pa)
e) kPa (Resp.: 350 kPa)
Obs: Utilizar atmosfera técnica
2. Sabe-se que 3 dm3 de um líquido pesam 2.550 gf. Calcular o peso específico, massa específica e a densidade deste líquido no Sistema
Técnico.
Resposta: = 850 kgf/m3 = 86,65 kgf . s2 / m4 = 0,85
3. Um frasco de densidade tem massa igual a 12g quando vazio e 28g quando cheio de água. Retirando-se a água, enche-se o frasco com um
ácido e Obtém-se uma massa total de 37,6g (frasco + ácido).
Calcular a densidade relativa do ácido. Resposta: = 1,6 4. Sabendo-se que a massa de 3 950 kg de álcool ocupa um volume de 5 000
litros, calcular o peso específico do álcool em N / m3.Resposta: =
7 750 N / m3
5. Há 4 200 kgf de gasolina em um tanque com 2 m de largua, 2 m de
comprimento e 1,5 m de altura. Determinar a massa específica da
gasolina em g/cm3. Resposta: = 0,7 g/cm3
6. Um tubo cilíndrico mede 50 cm de comprimento e 12 mm de diâmetro
interno. Determinar a massa de mercúrio (Hg = 13,6 g/cm3) necessária
para encher o referido tubo. Resposta: massa = 769 g
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11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
(Sistemas de Unidades e Propriedades Fundamentais dos Fluidos)
1- Determinar o peso em kgf de uma massa de 8,76 U.T.M. num local onde
a aceleração da gravidade (g) é igual a 8,94 m/s2.
Resolução:
U.T.M. = m
skgf 2* W (peso) = m.g
W = s
m
m
skgf94,8*
*76,8
2
W = 78,31 kgf
2- A massa específica () de uma substância é 1,76 g/cm3. Determinar no Sistema Internacional:
a) Densidade ( ); b) Peso específico ( ).
Resolução: = 1,76 g/cm3 massa (m) = 1,76 g = 0,00176 kg
1 cm = 0,01 m 1 cm3 = (0,01 m)
3 = 0,000001 m
3
= 3610*1
00176,0
m
kg
= 1.760 kg/m3
a) = 3
3
/000.1
/760.1
mkg
mkg
água
= 1,76
b) = 23
81,9*760.1*s
m
m
kgg = 17.265 N/m3
Obs.: N = 2
*
s
mkg
3 - Se 8 m3 de óleo pesam 7 200 kgf , Calcule seu peso específico (),
massa específica () e sua densidade ().
Resolução:
Vamos resolver utilizando o sistema técnico: V = 8 m3; W= 7 200 kgf
= 38
200.7
m
kgf
V
P = 900 kgf/m3
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= V
m ou =
2
3
/81,9
/900
sm
mkgf
g
= 91,74
4
2*
m
skgf
=
água
ou =
3
3
/000.1
/900
mkgf
mkgf
água
= 0,9
4. Enche-se um frasco (até o afloramento) com 5,23g de ácido sulfúrico.
Repete-se a experiência, substituindo o ácido por 2,98g de água. Calcule
a densidade, massa específica e peso específico do ácido sulfúrico no
Sistema Técnico.
Resolução:
Obs.: Volumes iguais (mesmo recipiente ).
Densidade: ácido =
água
água
ácido
ácido
água
ácido
V
m
Vm
ácido =
água
ácido
m
m
ácido = g
g
98,2
23,5 ácido = 1,75
Massa Específica: =
água
= 1,75 * 102
3
...
m
MTU
= 178,5 3
...
m
MTU
Obs.: U.T.M = 3
2*
m
skgf
Peso Específico: = * g = 178,5 4
2*
m
skgf * 9,81
2s
m logo
5,23g de ácido
Vfrasco
2,98g de água
Vfrasco
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= 1 751 3m
kgf
5. Sendo a densidade relativa da cerveja 1,03; calcular a sua massa
específica () e peso específico () no Sistema Internacional.
Resolução:
Massa Específica: cerveja = água
cerveja
cerveja = * água
cerveja = 1,03 * 1000 kg/m3 cerveja = 1.030 kg/m
3
Peso Específico: = * g cerveja = 1.030 kg/m3 * 9,81 m/s
2
cerveja = 10.104 N/m3
6. Transformar a pressão de 2,5 atm (atmosfera) em:
a) kgf/cm2 ; b) kgf/m
2 ; c) m.c.a. ; d) kPa
Obs.: Utilizar a atmosfera técnica (1 atm = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 10
000kgf/m2 = 100 000 Pa)
Resolução:
a) 1 atm ------- 1 2cm
kgf x =
atm
cmkgfatm
1
.15,2 2 = 2,5
2cm
kgf
2,5 atm ----- x 2cm
kgf
b) 1 atm ---------------- 10 000 kgf/m2 x = 25 000 kgf/m
2
2,5 atm -------------- x kgf/m2
c) 1 atm -------------- 10 m.c.a. x = 25 m.c.a.
2,5 atm ------------ x m.c.a.
d) 1 atm --------- 100 000 Pa x = 250 000 Pa = 250 kPa
2,5 atm ------ x Pa
2,5 atm = 2,5 kgf/cm2 = 25 000 kgf/m2 = 25 m.c.a. = 250 kPa
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12. LISTA 2 Exercícios de sistemas de unidades
1) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema técnico.
Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m3/s (vazão)
a) 9 810 dinas (g.cm.s-2);
Conversão de dina para N
1 ( g.cm.s-2) ------ 10
-5 kg.m.s
-2
9 810 ----- X logo X = 0,0981 kg.m s-2.
Conversão de N para kgf
1 kgf --------- 9,81 N
X --------- 0,0981 N
x= 0,01 kgf
b) 250g; c) 7814 N; d) 200 cm/s2; e) 80 km/h;f) 200 000 KN;
g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas); i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2;
k) 5 PSI (libras por polegada quadrada); l) 7,0 kgf/cm2;
m) 9,81 g/cm3; n) 8 000 000 cm
2/s; o) 20 000 kW; p) 10 H.P;
q) 10 c.v;
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13. LISTA 3 (Sistemas de Unidades e Prop. Fundamentais dos Fluidos)
1 - Se 7 m3 de um óleo tem massa de 6 300 Kg, calcular sua massa
específica ( ), densidade relativa ( ) e peso específico no Sistema Internacional ( S.I. ). Considere g = 9,81 m/s
2 .
2 - Repita o problema do exercício anterior usando o Sistema Técnico.
Compare os resultados.
3 - Dois dm3 de um líquido pesam 1 640 gf. Calcular seu peso específico,
massa específica e densidade.
4 - Um fluido pesa 25 N / m3 em um local onde a aceleração da gravidade
9,81 m / s2 . Determinar:
a) Massa específica do fluido no referido local em kg / m3 ; b) O peso esp. do mesmo fluido em outro local onde g=9,83 m/s2 .
5 - Para um líquido cuja massa específica é = 85,3 4
2*
m
skgf , calcular
o respectivo peso específico e a densidade relativa. (Sistema Técnico).
6 - Um frasco de densidade cheio de gasolina pesa 31,6 g, quando cheio
de água ele pesa 40 g, e quando vazio, pesa 12 g. Determine a densidade
relativa da gasolina ( ).
7 - Calcular o peso de uma massa de 5,55 U.T.M. em um local onde a
aceleração gravitacional é 9,65 m / s2 .
8 - Transformar a pressão de 15 m.c.a. em:
a) kgf / cm2 ; b) kgf / m
2 ; c) atm ; d) kPa.
Obs.: Utilizar atmosfera técnica ( 1 atm = 1 kgf / cm2 = 10 000 kgf / m
2
= 10 m.c.a. = 100 kPa)
9 - Para uma viscosidade dinâmcia ( ) de 0,6 poise
2
*
cm
sdina e
densidade igual a 0,6, qual o valor da viscosidade cinemática () ?
(Usar o Sist. Técnico)
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14. HIDROSTÁTICA
A estática dos fluidos é o estudo dos fluidos no qual não há
movimento relativo entre as partículas do fluido. A pressão é a única
tensão que existe onde não há movimento.
Conceito de pressão e empuxo.
Pressão: Pode ser definida relacionando-se uma força a uma unidade de
área.dA
dFp
Onde:
ApE
pDaE
.
Se pressão for a mesma em toda a área.
Pressão nos líquidos.
O que é pressão? Muitas pessoas pensam que pressão é sinônimo de força.
Pressão, no entanto, leva em conta não apenas a força que você exerce mas
também a área em que a força atua. A Fig. abaixo representa um bloco de 1
decímetro quadrado por dois decímetros de altura, pesando 4 kgf. O peso
do bloco é distribuído sobre uma área de 1dm2, de modo que exerce uma
pressão de 4kg* por decímetro quadrado. Se o bloco estiver apoiado na
face lateral (Fig. B) de modo que a área em contato com a mesa seja de 2
dm2, a pressão será de 2kg* por dm2. Um pneu de automóvel de cerca de 20
centímetros de largura tem uma grande superfície em contato com o chão.
Com esse pneu um carro pesado roda mais suavemente que com um pneu menor
que exigiria maior pressão?
dA
dF A
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Exemplo: Uma caixa pesando 150kg* mede 1,20m de comprimento por 0,5m de
largura. Que pressão exerce ela sobre o chao?
120 kg* = peso da caixa;
0,5 m = largura da caixa;
1,2 m = comprimento da caixa.
Determinar a pressão.
Resolva os problemas
1. Um tanque contém agua pesando 480kg*. O tanque tem 1,20m de
comprimento por 80 cm de largura. Qual a pressão no fundo do tanque, em
quilograma-força por decímetro quadrado?
2. A base de um monumento tem uma área de 4 m2. Se seu peso é de 6
toneladas. Que pressão ele exerce (em kgf/m2)?
3. O vapor de uma caldeira exerce a pressão de 100kgf/cm2 na base de um
pistão de 40cm2. Que força o vapor exerce sobre o pistão?
4. A água de uma represa exerce uma pressão média de 0,3kgf/cm2 contra a
muralha de 6 m ele altura por 18 m de largura. Determine a força total
sobre a muralha.
Respostas:
Pressão
1) 5 kgf/dm2; 3) 4000 kgf.
Pressão de água
1) 22 kgf/dm2; 3) 450 kgf/dm
2 e 4,5 kgf/cm
2; 5) (a) 600 gf/cm
2 e (b) 0,6
kgf/cm2.
Densidade e pêso específico
1) 2,25; 3) (a) 1,11 (b)36 cm2.
Pressão num líquido qualquer
1) 410 gf/cm2; 3) 0,062 kgf/dm2.
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E
w ou P
Exercícios
1. uma caixa de concreto armado pesa 540 kgf sendo suas diemnsoes 1,2 x
0,5 x 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão estando
vazia? E cheia ? e cheia com mercúrio?
2. A pressão d’água numa torneira A é de 0,3
kgf/cm2. calcule a altura da coluna de água (ver
figura ao lado).
3. determine a pressão em kgf/m2 a uma profundidade
de 10 m de um óleo de .75,0
Resp.: 7 500 kgf/m2.
4. Determine a pressão absoluta em kgf/m2 do
problema anterior num local onde o barômetro indica
720 mmHg .57,13
5. um tubo vertical de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto
na extremidade auperior, contem volumes iguais de água e mercurio.
Pergunta-se:
a) qual a pressão manométrica, em kgf/cm2 no fundo do tubo?
b) Qual os pesos liquidos nele contidos ?
Princípio de Arquimedes
Um corpo imerso num liquido está sujeito a um empuxo vertical (γ V) de
intensidade igual ao peso do liquido deslocado.
Seja (Vf) o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do
fluido deslocado é dado por:
Vfdfmf .
A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa deslocada:
gdfVfgmfE ..
Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao
próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do
empuxo são dados por:
gVcdfEegVcdcP ...............................
A resultante das forças (Fr) será:
PesoforçadaeEmpuxof ....
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Quando um corpo mais denso que um liquido é totalmente imerso nesse
liquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse liquido, é
aparentemente menor que o do ar. A diferença entre o valor do peso real e
do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo liquido.
ErealPaparenteP ..
Lei de Pascal: Em qualquer ponto no interior de um
liquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as
direções.
Consideremos um liquido em equilíbrio colocado em um
recipiente. Supondo as pressões hidrostáticas, 0.2 e
0.5 nos pontos A e B, respectivamente.
Demonstração da lei de Pascal: Considerar mo interior de um liquido, um
prisma imaginário de dimensões elementares.
Para que haja equilíbrio é necessário que a resultante das forças seja
nula:
Na direção x: .... sendspsdypx
px.dy.1 = ps.ds.sen.α ficando px dy = ps ds dy / ds Logo px = ps
Na direção y: cos... dspsdxpy
ps.ds
dx
px.dy
dw α
py.dx
A
B
F Se através de um embolo
comprimirmos o liquido,
produzindo uma pressão de 0,1
atm, todos os pontos sofrerão o
mesmo acréscimo de pressão.
Logo A=0,3atm
B=0,6atm.
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py.dx.1 = ps.ds.cos.α ficando py dx = ps ds dx / ds Logo py = ps
Princípio da Prensa Hidráulica.
1
212
A
AFF
F1 = esforço aplicado
F2 = força obtida
A 1,2 = seção do embolo.
Exemplo: Em um macaco hidráulico aplica-se uma força de 280kgf no embolo
menor (diâmetro=52mm). Calcular o esforço no embolo maior (364mm).
Logo F2 = 280 * A2 / A1;
F2 = 280 * 104 062,72 / 2 123,72 = 13 720kgf
Vasos Comunicantes
Quando dois líquidos não se misturam
(imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente,
eles se dispõem de modo que o liquido de maior
densidade ocupe a parte de baixo e o de menor
densidade a parte de cima.
Caso os líquidos imiscíveis colocados num
sistema constituído por vasos comunicantes, como
um tubo em U, eles se dispõem de modo que as
alturas de colunas liquidas, medidas a partir da
superfície de separação, sejam proporcionais às
respectivas densidades.
d2
d1 h2 h1
Sendo d1 a densidade do liquido
menos denso, d2 a densidade do
liquido mais denso, h1 e h2 as
respectivas alturas das colunas,
obtemos:
d1.h1=d2.h2
d1 ( óleo)
d2 (água)
d2 > d1
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Equação Fundamental da Fluidostática (Lei de Stevin)
Obs: para água γ = 1 kg. m-3 = 10
4 N. m
-3
No caso de se querer medir a pressão no interior de um massa
liquida, a partir de uma superfície, basta:
Poder-se-ia pensar que o líquido contido em B, pelo facto de B ter maior diâmetro do que A, e portanto conter uma porção de líquido de maior peso, obrigasse esse mesmo líquido a ascender mais em A. Tal não sucede.
Exercício
1. Em um recipiente há 2 líquidos não-misciveis e de densidades diferentes. Através da lei de Stevin (Equação geral da
fluidostatica) mostrar que a superfície de separação dos 2 líquidos
é plana e horizontal.
Solução:
Sejam M e N dois pontos na superfície de separação dos 2 liquidos, cujos
pesos específicos são 1 E 2 . Deve-se demonstrar que M e N é horizontal
(Fig. Acima). Considerando o liquido cujo o peso especifico é 1 , acima
da superfície de separação , tem-se pela lei de Stevin:
Pn-Pm= 1 .h
Para o liquido cujo peso é 2 , abaixo da mesma superfície:
Pn-Pm= h2
Subtraindo membro a membro: )21(0 h
Sendo 21 O que implica em 0h
Conclusão : os pontos M e N têm a mesmas cotas, o que ocorrerá também com
todos os outros pontos da superfície de separação.
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15. MANOMETRIA
Manometria: É a medida das pressões.
Manômetros: São instrumentos (dispositivos) utilizados na medição da
Pressão Efetiva (função da altura da coluna líquida)
Pabs = P + Patm
P Pressão efetiva ou manométrica ou piezométrica (medida através de
manômetros ou piezômetros);
Patm Pressão atmosférica local (medida através de barômetros, de
mercúrio ou aneróide).
Lista de Exercícios de Hidrostática
1. Uma caixa d’água de concreto armado pesa 840 kgf, sendo suas dimensões
1,2 * 0,5 * 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão
vazia? E quando cheia de água? E com material de densidade = 6?
2. a pressão de água em uma torneira A é de 1,3kgf/cm2, segundo a figura.
Calcule a altura de coluna de água.
3. Um tambor com 2 ft (pés-foot) de diametro esta cheio de água e tem um
tubo vertical com 0,5 in (inch-polegada) de diâmetro ligado a sua parte
superior. Quantos litros de água devem ser adicionados pelo tubo para que
seja exercida uma força de 1000 lb (libra-força)no topo do tambor?
4. Determinar a pressão em kgf/cm2 a uma profundidade de 10 m em um óleo
de densidade = 0,75?
5. Determinar a pressão absoluta em kgf/m2 do problema anterior num local
onde o barômetro indica 700 mm Hg (densidade = 13,57).
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6. Qual o peso especifico do liquido B do esquema abaixo.
7. Um tubo vertical, de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto
na sua extremidade superior, contem volumes iguais de água e mercúrio.
Pergunta-se:
a. qual a pressão manométrica em kgf/cm2 no fundo do tubo?
b. qual os pesos líquidos nele contidos?
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2. Pressão efetiva e pressão absoluta
A pressão em um ponto também pode ser calculada a partir do zero absoluto
(vácuo), obtendo nesse caso a pressão absoluta. Agora a pressão nula
corresponde ao vácuo total e, portanto a pressão absoluta é sempre
positiva.
Pab. B = Pef.B. + Po e Pab. D = Pef.D + Po e Pab. E = Pef.E + Po
II - CLASSIFICAÇÃO DOS MANÔMETROS
1) Manômetro de Coluna Líquida
a) Piezômetro Simples ou Tubo Piezométrico;
b) Tubo ou Manômetro em “U”;
c) Manômetro Diferencial;
d) Manômetro ou Tubo
Inclinado.
2) Manômetro Metálico
a) “Bourdon”;
b) Digital
(Eletrônico).
a) Piezômetro ou Tubo
Piezométrico
- É o dispositivo mais simples para a medição de pressão;
- Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente
(tubulação) onde se quer medir a pressão;
- O líquido subirá no Tubo Piezométrico a uma altura “h”,
correspondente à pressão interna;
Po
E
D
B
P ef B = pressão efet em B.
P ef D = pressão efet em D.
P ef E = pressão efet em E.
a pressão efetiva pode ser:
positiva: quando > Po
nula: quando = Po
negativa: quando < Po(vácuo)
Obs: a pressão efetiva é também chamada de pressão manométrica (manômetros)
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- Devem ser utilizados Tubos Piezométricos com diâmetro superior a
1cm para evitar o fenômeno da capilaridade;
- Não serve para a medição de grandes pressões ou para
gases.
b) Tubo em “U”
- Utilizado para medir pressões muito pequenas ou pressões muito
grandes;
- Utiliza-se um líquido indicador ou líquido manométrico com a
finalidade de aumentar ou diminuir o comprimento da coluna
líquida.
Pressões muito pequenas:
Densidade () do líquido manométrico densidade () do líquido do
recipiente
Líquidos manométricos:Água (=1,0),Tetracloreto de carbono (= 1,6)
Exemplo: P = 10.000 kgf / m2
Água h = 10 m.c.a. Mercúrio h = 0,735 mHg
P = . h
h = P/
A
água
h
Patm Patm Patm
PA = água . h
Exemplo: Um oleo de = 0,8, está submetido a uma pressão
de 4 kgf/cm2. Exprimir esta pressão em coluna de liquido.
Sendo P=γ h Logo: h = 40 000 / 800 = 50 m de coluna de
óleo.
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Pressão muito grande:
Densidade do líquido manométrico > densidade do líquido do
recipiente
Líquido manométrico: Mercúrio ( = 13,6)
Líquido do recipiente: Água ( = 1,0 )
Exemplos de Tubos em “U “: a) Tubo U.
Obs.: Pontos situados na mesma cota
e na mesma porção fluida, estão
submetidos à mesma pressão (para
fluidos em repouso).
P1 = Patm + 2 . h2 P2 =
Patm + 2 . h2 = 0 + 2 . h2
PA + 1 . h1 = 2 . h2 PA =
Patm + 2 . h2 - 1 . h1
a) Duplo “U”.
P (1) P(2) P(3) PE = PD e PB = PC
PE = Patm + 2 . h2 = PD
PD = 1 . y + PF
PF = PD - 1 . y (PD = PE)
PF = PG PC = 2 . h1 + PG
PC = PB
PB = 1 . (h1 + x) + PA
Ou, inicia-se em um ponto e percorre todo o manômetro:
PA + 1 . (x + h1) - 2 . h1 + 1 .y - 2 . h2 = 0
PA + 1 . (x + h1 + y) - 2 . (h1 + h2) = 0
PA = 2 . (h1 + h2) - 1 . (x + h1 + y)
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b) Manômetro Diferencial: É utilizado para medir a diferença de pressão
entre dois pontos.
MANÔMETRO METÁLICO DE “ BOURDON ”
- São utilizados em estações de bombeamento, indústrias, etc.;
- Funcionamento: Em seu interior existe uma tubulação recurvada que,
sob o efeito da pressão tende a se alinhar, fazendo assim a
movimentação de um ponteiro sobre uma escala graduada;
- Sujeitos a deformações permanentes, por isso de baixa precisão.
Obs: Vacuômetros são manômetros que medem pressões efetiva negativas
Manômetro Diferencial:
PA = PC + h1. γ1 + h3. γ3 = PD = PE + h2. γ2
Logo: PA – PE = + h1. γ1 + h3. γ3 - h2. γ2
PA > PB
PC = Pa
PC = PA + 1 . x
PB + 2 . h + 1 . y
PA + 1 . x = PB + 2 . h + 1 . y
PA - PB = 2 . h + 1 . h - 1 . x
B A
C
D
y
x
h 1
2
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MANÔMETRO ELETRÔNICO (DIGITAL )
- Não possui peças móveis, portanto mais resistente a vibrações;
- Substitui tanto os manômetros convencionais como os vacuômetros
- É alimentado por baterias de 09 V, com duração de até um ano;
B
γ3
C
E
h1
h3
D
h2
A
γ1
γ2
γ3
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16. EMPUXO
Freqüentemente o engenheiro encontra problemas relativos a projetos
de estruturas que devem resistir a pressões exercidas por líquidos. Tais
são os projetos de comportas, de barragens, tanques, canalizações, etc.
A força agindo em dA será:
dAsenyAdhAdpdF ........
Cada uma das forças dF será normal à respectiva área:
A resultante ou empuxo (total) sobre toda a área, também normal,
será dado por:
dAysenydAsenydFFAA
........
dAyA
.. é o momento da área em relação à interseção O; portanto AÿdAyA
..
onde ÿ é a distancia do centro de gravidade da área ate O, e A é a área
total.
AsenÿF .... como hseny ... AhF ..
A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o
teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à
interseção O deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF.
A h-
B
CG CP
dA
O
h
yp
A
B
ÿ
y
α
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FydyF p ...
Na dedução anterior; dAsenydF .... ou AsenyF ....
Substituindo: AA
p AdysendAsenyyAseny ............. 2
logo yA
I
yA
Ady
y A
p
..2
expressão em que I é o momento de inércia em relação ao eixo-intersecao.
Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que
passa pelo centro de gravidade, sendo conveniente a substituição.
2.yAII o yyA
Iy
yA
yAIy o
p
o
p
2
Como 2k
A
I o , quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo,
passando pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, yy
ky p
2
.
O centro de pressão esta sempre abaixo do centro de gravidade a uma
distancia igual a y
k 2
, medida no plano da área.
O
y p sen θ
yp
F
B
ÿ
y
θ
y sen θ
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17. LISTA 4
EXERCÍCIOS (Hidrostática: Lei de Stevin e Lei de Pascal)
1 - Determinar a pressão (efetiva) em kgf / m2 a uma profundidade de 8,5
m abaixo da superfície livre de um volume de água.
Resposta: P = 8 500 kgf / m2
2 - Determinar a pressão em kgf / m2 a uma profundidade de 17 m em um
óleo de densidade igual a 0,75.
Resposta: P = 12 750 kgf / m2
3 - Determine a pressão absoluta em kgf / m2 no problema anterior quando
um barômetro instalado no local indica uma pressão de 760 mmHg (densidade
do Hg = 13,6).
Resposta: Pabs = 23 086 kgf / m2
4 - Que profundidade de óleo, com densidade 0,85, produzirá uma pressão
de 4,6 kgf / cm2 ? Qual a profundidade em água?
Resposta: Profundidade em óleo (h) = 54,1 m
Profundidade em água (h) = 46,0 m
5 - Converter a altura de carga de 6,5 m de água para metros de óleo
(densidade de 0,75).
Resposta: Altura de óleo (h) = 8,7 m
6 - Converter a pressão de 640 mmHg para metros de óleo (densidade =
0,75).
Resposta: Altura de óleo (h) = 11,6 m
7 - Em um tanque de querosene, tem-se uma diferença de pressão igual a
0,288 kgf / cm2 entre dois pontos da massa líquida, distanciados de 4
metros na vertical. Obter o peso específico do querosene. Resposta:
= 720 kgf / m3
8 - Calcular as pressões efetiva e absoluta em um ponto à profundidade
de 17 m em água do mar (densidade = 1,025). A atmosfera local é 750 mmHg
(densidade do Hg = 13,6).
Resposta: Pefe. = 17 425 kgf / m2
Pabs. = 27 629 kgf / m2
9 - A pressão atmosférica em uma determinada cidade corresponde a 630
mmHg. Calcular as pressões efetiva e absoluta (kgf / cm2) para um ponto
situado a 15 m de profundidade da superfície livre de uma lagoa desta
cidade. Resp. Pefe. =1,50 kgf/cm2 Pabs. = 2,357 kgf/cm
2
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 35
10 - Um tanque cilíndrico fechado possui em sua parte superior um tubo
com 12 m de altura. Ele contém água até o nível de 0,90 m acima do
fundo e óleo daí para cima. Sendo os pesos específicos da água e do óleo
1.000 kgf / m3 e 850 kgf /m
3 respectivamente, determinar as pressões
nos pontos 1, 2 e 3 situados na face interna da parede do tanque.
Resposta:
P1 = 12 000 kgf / m2
P2 = 12 935 kgf / m2
P3 = 13 835 kgf / m2
11. Calcular a pressão efetiva em A, em N/cm2.
12 m
1,10 m
0,90 m Água
Óleo
P1
P2
P3
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18. EXERCÍCIOS (Empuxo)
1 - Determinar o valor do Empuxo (E) e a profundidade do centro de
pressão ou empuxo (hp) para uma comporta retangular de 1,50m X 3,0m cujo
plano faz com a vertical um ângulo de 45º e cuja aresta superior (que
corresponde ao lado de 1,50m) está a 1,30m de profundidade e é paralela à
superfície livre da água.
Respostas: E = 10 620 kgf; hp = 2,519 m
2 – Calcular o Empuxo (E), posição do centro de gravidade (Y) e posição
do centro de empuxo (Yp) na comporta retangular (5,0m X 2,0m) da figura
abaixo.
Respostas: E = 32 930 kgf Y = 4,658 m Yp = 4,730 m
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3 - Determinar a posição do centro de empuxo (Yp) da figura abaixo.
Resposta: Yp = d*3
2
4 - Um túnel T é fechado por uma comporta retangular com 1,50 m de
largura. Calcular o Esforço (E) suportado pela comporta e o respectivo
ponto de aplicação (Yp).Resposta: E = 12 727,92 kgf Yp = 4,400 m
5 - Calcular o Empuxo (E) e determinar a posição do centro de pressão
(Yp) numa comporta retangular inclinada, como a da figura abaixo.
Respostas: E = 4 362,37 kgf; Yp = 2,383 m
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6 - Uma comporta quadrada de 0,6 m de lado, faz um ângulo de 60º com a
horizontal, tendo a aresta superior horizontal submersa de 0,90 m, num
líquido cuja densidade () é 3,0. Calcular o Empuxo (E) sobre ela e
determinar o centro de aplicação (Yp) dessa força.
Resposta: E = 1 252,8 kgf; Yp = 1,362
7 - Uma comporta circular vertical de 0,90 m de diâmetro, trabalha sob
pressão de melado (=1,50) cuja superfície livre está 2,40 m acima do topo da mesma. Calcular o empuxo (E) e a posição do centro de pressão
(Yp).
Respostas: E = 2 719,64 kgf; Yp = 2,868 m
8 - Uma comporta circular de 1,50 m de diâmetro, inclinada 45
º, está
sujeita à pressão do mar (=1,06), a profundidade de 9 m, contados de seu centro de gravidade. Qual o empuxo sobre a comporta e a posição do centro
de pressão?
Respostas: E = 16 858,57 kgf; Yp = 12,739 m
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9 - Uma caixa d’água tem 2 m de largura, 2 m de comprimento e 0,90 m de
altura. Calcular o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e
obter o ponto de aplicação do empuxo, supondo a caixa totalmente cheia de
água.
Respostas: E = 810,0 kgf; Yp = 0,60 m
10 - Uma comporta circular com 100 cm de diâmetro está localizada na
parede e um reservatório inclinado de 60º. O ponto mais alto da comporta
está 150 cm abaixo do N.A.
Calcular:
a) O empuxo da água sobre a comporta;
b) A posição do centro de empuxo.
Respostas: a) E = 1 518,18 kgf; b) Yp = 2,260 m
11. Qual o empuxo e o yp do centro de pressão exercido pela água em uma
comporta vertical de 3 x 4 m cujo topo se encontra a 5 m de profundidade?
Resp.: F = 764 400 N e Yp = 6,615 m.
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19. EXERCÍCIOS (MANOMETRIA)
1 - Determinar a pressão manométrica em A, devido a deflexão do mercúrio
do manômetro em “U” da figura abaixo.
Resposta: PA = 10 280 kgf/m2
2- De acordo com a figura e os dados abaixo, pede-se:
a) Determinas a diferença de pressão entre A e B em kgf/cm2; b) Se a pressão em B = 0,75 kgf/cm2,qual será a pressão em A ?
Resposta: a) PA – PB = -0,013 kgf/cm2 b) PA = 0,74 kgf/cm
2
A
água
mercúrio
3,0 m
3,6 m
3,8 m
Cotas
B C
D
A
B
h1
h2
h3
h1 = 25 cm
h2 = 15 cm
h3 = 50 cm
Água ( = 1,0)
Azeite ( = 0,8)
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3- Os recipientes A e B da figura que contém água sob pressão de 3
kgf/cm2 e 1,5 kgf/cm
2 ,respectivamente. Qual será a deflexão do mercúrio
(h) no manômetro diferencial ?
Resposta: h = 1,34 m
4 - Sabendo-se que a leitura de um piezômetro é de 0,6 m e está
preenchido com água, calcule a pressão, em kgf/m2, no interior da
tubulação a que ele está ligado.
A
B
h
x
y
2,0 m
Água ( = 1000 kgf/m3)
Mercúrio ( = 13600 kgf/m3)
Obs.: y + x = 2,0 m
0,6 m
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5 - Calcular a pressão no ponto “A “.
6 - Calcular a diferença de pressão entre os pontos A e B .
A
0,95m
E‟ E
D‟ D
C‟ C
B
0,8m 0,6m
Água
Mercúrio
0,9m
A
1,2m
D‟ D
C
Água
Mercúrio
B 0,1m
0,9m
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7 - Na Figura abaixo, determinar o valor de “z”, sabendo-se que a
pressão no ponto A é igual a 2.795 kgf/m2.
8 - Calcular a diferença das pressões a montante e jusante do diafragma,
de acordo com a indicação do manômetro diferencial do esquema abaixo.
Líquido em escoamento (Água), líquido manométrico (Mercúrio).
A
Óleo ( = 0,80)
Bromofórmio ( = 2,87)
z
2,40m
eixo do
conduto
0,6m
Z
A B
Água
Mercúrio
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9 - Dado o tensiômetro esquematizado a seguir, determine:
a) Potencial matricial (tensão) no ponto A em atmosfera técnica (atm),
para um valor de h = 37 cm;
b) Para um potencial matricial igual a tensão de 0,5 atm, qual o valor
da leitura da coluna de mercúrio?
20. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE UNIDADES
2) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema técnico.
Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m3/s (vazão)
a) 9 810 dinas (g.cm.s-2);
Conversão de dina para N
1 (g.cm.s-2)____10
-5 kg.m.s
-2
9 810___________ X logo X = 0,0981 kg.m s-2.
Conversão de N para kgf
1 kgf____________ 9,81 N
X________________0,0981 N logo x= 0,01 kgf
b) 250g; c) 7 814 N; d) 200 cm/s2; e) 80 km/h;
f) 200 000 KN; g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas);
i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2;
k) 5 PSI (libras por polegada quadrada);
l) 7,0 kgf/cm2; m) 9,81 g/cm
3; n) 8 000 000 cm
2/s;
o) 20 000 kW; p) 10 H.P; q) 10 c.v;
h
60 cm
A
20 cm
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21. FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Escoamento
O cisalhamento deforma o fluido, dando a este a propriedade de
escoar, ou seja, de mudar de forma facilmente. Portanto, o escoamento é a
fácil mudança de forma do fluido, sob a ação do esforço tangencial. É a
chamada fluidez.
Finalidade
A cinemática dos fluidos estuda o escoamento dos líquidos e gases,
sem considerar suas causas.
Corrente fluida
É o escoamento orientado do fluido, isto é, seu deslocamento com
direção e sentido bem determinados.
Método de Lagrange
Um dos métodos de estudo na cinemática dos fluidos é o de Lagrange,
que descreve o movimento de cada partícula, acompanhado-a na trajetória
total. Apresenta grandes dificuldades nas aplicações praticas.
Método de Euler
Consiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolher um ponto do
espaço e considerar todas as partículas que passam por este ponto. Neste
método observador é fixo, e é o preferido para se estudar o movimento dos
fluidos.
Linhas de corrente
No método de Euler, tomemos os vetores v1, v2, v3, etc., que
representam as diversas velocidades da partícula nos instante
considerados, no interior da massa fluida. Tracemos a curva que seja
tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade (v1, v2, v3,
etc.). Tal curva é conhecida como linha de corrente ou linha de fluxo. A
linha de corrente é uma curva imaginaria.
As linhas de corrente não podem cortar-se, pois, em caso positivo a
partícula teria velocidades diferentes ao mesmo tempo, o que não é
possível. Em cada instante e em cada ponto, passa uma e somente uma linha
de corrente. Considerando um conjunto de linhas de corrente, em cada
instante, o fluido move-se sem atravessá-la.
Linha de
corrente
V1
V2
V3
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Tubo de Corrente
Suponhamos duas curvas fechadas A e A’, que não sejam linhas de
corrente. Por outro lado consideremos todas as linhas de corrente que
toquem nessas duas curvas fechadas em um instante dado. Se o campo de
velocidades for continuo, formar-se-á então um tubo de corrente, que não
pode ser atravessado pelo fluido nesse instante porque não há componente
normal de velocidade. O tubo de corrente também é conhecido como veia
liquida.
Laminar
Turbulento
Permanente
Não- Permanente
Uniforme
Variado
Rotacional
Irrotacional
Quanto a
direção da
trajetória
Quanto a
variação no
tempo
Quanto à
variação na
trajetória
Quanto ao
Movimento
de rotação
Classificação dos
movimentos dos
fluidos.
A
A‟ Fig. Tubo de corrente
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Classificação do escoamento dos fluidos.
1.1 Escoamento laminar.
As partículas dos fluidos percorrem trajetórias paralelas, também
chamadas de escoamento lamelar, tranqüilo ou de Poiseuille.
As trajetórias das partículas em movimento são bem definidas, não se cruzam.
1.2 Escoamento turbulento
As trajetórias são curvilíneas, elas se cruzam. Na pratica o
escoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. P.e. encontrado nas
obras de engenharia, adutoras, vertedores de barragens, etc.
Número de Reynolds
Fez experiência variando o diâmetro e a viscosidade do liquido.
DV .Re Onde; V = velocidade de escoamento (m/s).
D = diâmetro (m).
υ = viscosidade cinemática (m2/s).
Re <= 2 000 Regime laminar.
2 000 < Re < 4 000 Regime critico.
Re >= 4 000 Regime turbulento.
Exemplo: Calcular Re para a seguinte situação: V=1,5m/s. D=100mm.
υ=1. 610 m
2/s. turbulentoregimeo
sm
msm..log.150000
/10.1
1,0*/5,1Re
26
1,3 Escoamento Não Permanente
Neste caso, a velocidade e a pressão, em determinado ponto, variam
com o tempo. variam também de um ponto pra outro, também chamado de
transitório, e diz que a corrente é instável. Agora a velocidade e a
pressão em um ponto A (x,y,z) dependem tanto das coordenadas como também
do tempo t. p.e. o escoamento não permanente ocorre quando se esvazia um
recipiente através de um orifício.
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1,4 Escoamento Permanente
Os elementos que definem o escoamento (P, V, Q e t) permanecem
constantes ao longo do tempo em uma determinada seção. Todas as
partículas que passam por um ponto determinado no interior da massa
liquida terão, a qualquer tempo, a mesma velocidade.
1,5 Escoamento Uniforme
A velocidade é constante ao longo do tempo e em todas as seções da
trajetória.
OBS: No escoamento uniforme, a seção transversal da corrente é
invariável.
1,6 Escoamento Variado
Neste caso, os diversos pontos da mesma trajetória não apresentam
velocidade constante no intervalo de tempo considerado.
p.e. vertedouro de uma barragem.
V1
V3 V2
Acelerado
V3>V2>V1
comporta
agua
V1 V2 V3
Retardado
V3<V2<V1
agua
Q1
V1
t1
Q2
V2
T2
agua Q1= Q2
V1= V2
t1 diferente t2
0dT
dQ 0
dT
dV 0
dT
dP
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Equação da continuidade
Vazão: é definido como sendo o volume do liquido que atravessa uma
determinada seção por unidade de tempo.
Exercício 1: verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa
linha de recalque é de 1,05m/s. A vazão necessária a ser fornecida pela
bomba é de 450m3/h. Determinar o diâmetro da linha. Resp.: 0,39m
Exercício 2: Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável,
devido ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de
60mm de diâmetro, é de 7,5 l/s.
Determinar a velocidade de escoamento. Resp.: 2,65m/s.(Obs: esta veloc. é
admitida pela norma NBR 5626).
22. Teste de Múltipla escolha
1) o escoamento de um fluido é: a) a resistência a sua mudança de forma;
b) a sua viscosidade;
c) a sua facilidade em aquecer-se;
d) a sua fácil mudança de forma.
2) a corrente fluida é: a) o escoamento orientado do fluido; b) o deslocamento do fluido, com direção e sentido bem
determinados;
c) qualquer volume do fluido; d) a massa fluida em quantidade considerável.
3) no método de Lagrange a) cada partícula é acompanhada na sua trajetória total; b) o observador desloca-se simultaneamente com a partícula; c) o observador é fixo; d) cada partícula corresponde a uma trajetória e vice versa.
4) no método de Euler a) consideram-se todas as partículas que passam por um ponto
escolhido;
b) o observador é fixo; c) estuda-se o comportamento individual de cada partícula; d) adota-se o principio dos deslocamentos virtuais da mecânica
geral.
5) a linha de corrente é: a) uma curva real;
A
dS
V=A.dS
% dT
V / dT=A dS / dT
Q=A.V
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 50
b) conhecida também como linha de fluxo; c) a curva que tem a propriedade de ser tangente, em cada ponto,
ao respectivo vetor-velocidade;
d) uma curva imaginaria.
6) as linhas de corrente: a) não podem cortar-se; b) são atravessadas pelo fluido; c) indicam a direção da velocidade em diversos pontos; d) passam todas, ao mesmo tempo, a cada instante, pelo ponto
7) o tubo de corrente: a) é qualquer conjunto de linhas de corrente; b) é um conjunto de todas as linhas de correntes que toquem em
curvas fechadas
c) não podem ser atravessadas pelos fluidos; d) pressupõe um campo continuo de velocidades.
8) o filamento de corrente: a) é um fino tubo de corrente; b) é cada corrente fluida, de reduzidas dimensões; c) é a porção da corrente limitada por uma diretriz que abrange
uma área infinitesimal.
d) é a corrente liquida que permite a entrada e saída das
partículas fluidas.
9) quanto à variação no tempo, o escoamento classifica-se em: a) rotacional e irrotacional; b) permanente e não permanente; c) continuo e descontinuo; d) escoamento médio.
10) quanto à direção da trajetória, o escoamento pode ser: a) laminar e turbulento; b) tranqüilo e turbilhonário; c) lamelar e hidráulico; d) de Poiseuille e turbulento
11) quanto a variação na trajetória, os escoamento são: a) uniformes e variados; b) contínuos e descontínuos; c) de Reynolds e trajetórias errantes; d) rotacional e irrotacional.
Obs.: as velocidades da água no interior das tubulações de recalque devem
estar compreendidas entre 0,8 e 2,4 m/s.
Exercício:
1. Qual a máxima velocidade de escoamento da água e óleo lubrificante SAE-30 e temp. 40
oC numa tubulação de 118,11 polegadas sob regime
laminar ? Dados: visc. Cin água = 0,66.10-6 m
2/s.
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 51
2. Caracterize o tipo de escoamento numa canalização de 10” de diâmetro que transporta 360 000 l/s de água a 20
oC (1,007.10
-6
m2/s).Resp. V=1,97 m/s Reynolds=501 396 regime turbulento.
23. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS OU IDEAIS
Nesta parte apresentamos a equação que provavelmente é a mais usada na
aplicação de escoamento do que qualquer outra equação. A obtenção desta
importante equação começa com a aplicação da segunda lei de Newton para
uma partícula do fluido.
Para a dedução desse teorema é necessário considerarmos os fluidos como
perfeitos ou ideais (não possuem viscosidade, coesão, elasticidade, etc).
Teorema das forças vivas.
“a variação da energia cinética de um sistema é igual ao trabalho
por todas as forças do sistema”.
2.2
1VmEc todeslocamenxforça .. forçasastodasdetrabalhoEc .....
Forças: Devido a pressão dF = p d A logo p = dF / dA.
Devido ao peso w = γ vol. Logo γ = w / vol
Ec2-Ec1 = dF1* dS1 - dF2*dS2 + w (z1-z2)
½ m2 V22 – ½ m1 V1
2 = P1dA1 * dS1 – P2dA2 * dS2 + γ vol (z1-z2)
½ m2 V22 – ½ m1 V1
2 = P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2)
sendo ρ = m / vol logo m = ρ / vol
dS1
A2‟
A1‟ A1
A2
Plano referencia Z2
dS2
Z1
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 52
½ ρ / vol V22 – ½ ρ / vol V1
2 = P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2) //
dividindo por vol. :
½ ρ V22 – ½ ρ V1
2 = P1 – P2 + γ (z1-z2) sendo ρ = γ / g
substituindo temos:
½ γ / g V22 – ½ γ / g V1
2 = P1 – P2 + γ (z1-z2) dividindo por γ :
½ V22 – ½ V1
2 = P1 / γ – P2 / γ + (z1-z2)
teconszP
g
Vz
P
g
Vtan..
.2
.1..
.2
.12
2
2
21
1
2
1
ou seja
“ao longo de qualquer linha de corrente é constante o somatório das
energias piezométrica, cinética e potencial”.
O teorema de Bernoulli não é senão o principio de conservação da
energia. Cada um dos termos representa uma forma de energia
g
V
.2
2
energia cinética = )....arg.(../
/2
22
dinamicaouvelocidadedeacmsm
sm
P energia de pressão ou piezométrica = )..arg.(..
/
/3
2
pressaodeacmmkgf
mkgf
Z = energia de posição ou potencial = m = carga geométrica ou de posição.
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Demonstração experimental
Instalando-se piezômetros nas diversas seções verifica-se que a água
sobe a alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é
maior e, portanto, também é maior a carga cinética, resultando menor
carga de pressão.
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 54
h
Sejam:
h= profundidade do centro do orifício;
g= aceleração da gravidade;
V=velocidade media da veia liquida.
Orificio
agua
Lei da conservação da massa
Q = A.V
24. POTENCIA DA CORRENTE FLUIDA
Em qualquer seção do tubo de corrente, a potencia da corrente fluida
é, por definição:
g
VPZQN
2**.
2
onde Q, é vazão em volume.
Sendo He (energia total do sistema)= g
VPZ
2
2
Logo: N = γ * Q * He
25. APLICAÇÕES IMEDIATAS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
1. Teorema de Torricelli Suponhamos um recipiente de paredes delgadas e admitamos que a
superfície livre do liquido seja constante. Em uma parede
vertical do recipiente, há um orifício pelo qual escoa o liquido.
hgV **2
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2. Tubo de Venturi (fluido ideal hf = 0)
Serve para medir, diretamente a vazão Q em tubulações. O venturimetro,
tubo de venturi ou apenas venturi, consiste em um trecho estrangulado
da tubulação. Em um venturi horizontal, sejam:
Q= vazão da tubulação;
A1=seção transversal do ponto 1; seção convergente,
A2=seção transversal no ponto 2; seção divergente
Obs.: também utilizado como injetor de fertilizantes.
onde: g= aceleração da gravidade;
γ= peso especifico do fluido;
p1= pressão unitária no ponto 1;
p2= pressão unitária no ponto 2.
21**2
*2*1
22
12
ppg
AA
AAQ
Em cada tubo de venturi é constante o produto dos dois primeiros fatores
do 2º membro.
21* ppKQ
Observe-se que o orifício e o tubo de pitot fornecem a velocidade da
corrente, ao passo que o venturi indica a vazão da tubulação.
3. tubo de Pitot Serve para medir a velocidade em um ponto qualquer de uma corrente
liquida (rio, canal, etc). consiste em um tubo de vidro recurvado, de
pequeno diâmetro e aberto nas duas extremidades.
Sejam:
V1= velocidade da corrente na
entrada do tubo de Pitot;
g= aceleração da gravidade;
h=altura que subiu o liquido no tubo,
acima da superfície livre;
hgV **21
2 1
A1 A2 Tubulação
Tubo de venturi
agua
h
corrente Tubo de
Pitot
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 56
Exercício 1. A água escoa pelo tubo indicado abaixo, cuja seção varia do
ponto 1 para o ponto 2, de 100cm2 para 50cm
2. em 1, a pressão é de
0,5kgf/cm2 e a elevação 100, ao passo que no ponto 2, a pressão é de
3,38kgf/cm2 na elevação 70. calcular a vazão em litros por segundo.
Resp.: 28l/s.
Exercício 2. Na tubulação que parte da barragem a vazão é de 28l/s. A
pressão no ponto 1 é p1=29,6mca. Calcular a seção da tubulação
desprezando as perdas de energia. Resp.: A=100cm2.
Exercício 3. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente,
em um tubo tronco-conico de 1,83m de altura. As extremidades superior e
inferior tem os diâmetros de 100 e 50mm, respectivamente. Se a vazão é de
23l/s, achar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo. Resp.:
p2-p1=4 586 kgf/m2.
30m
1
2
agua 1
2
70 100
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Exercício 4. De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250mm de
diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para
125m; do tubo de 125, a água passa para a atmosfera sob a forma de jato.
A vazão foi medida, encontrando-se 105 l/s. Calcular a pressão na seção
inicial da tubulação de 250mm; a altura de água H na barragem; a potencia
do jato. Resp: H=3,71m; Potencia = 5,2cv.
Exercicio 5. deduzir a expressão que determina a velocidade da corrente
liquida na entrada do Tubo de Pitot.
H
Ponto 2
Jato agua
Ponto 1
Q=105L/s
125mm
250mm
V12
2g
1
2
1,83m
50mm
100mm
P R
h
1p
g
v
2
1
H
V1 PR A B
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25cm
h Pitot
agua
Exercício 6: O centro de um orifício circular está a 8,5m abaixo da
superfície livre de água de um reservatório. Determinar o diâmetro deste
orifício para que a vazão seja de 25,34litros/s
(desprezar as perdas de energia) supor escoamento permanente. Resp.:
50mm.
Exercício 7: Com um tubo de Pitot mede-se a velocidade da água no centro
de um conduto com 25cm de diâmetro. A diferença de carga é h=0,1mca.
Devido ao grande diâmetro, supõe-se que a velocidade media da água neste
tubo corresponde a 2/3 da velocidade no seu centro. Calcular a vazão
(l/s). Resp.: 45,6l/s.
26. EXERCÍCIOS (Equação da Continuidade e Teorema de Bernoulli)
1 - 50 litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8” . Esta
tubulação, de fofo, sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”.
Sabendo-se que a parede da tubulação é de ½” , calcule a velocidade nos
dois trechos e verifique se ela está dentro dos padrões.
orificio
8,5m
7” ½”
8”
½”
Visualização, em corte, do diâmetro interno ( Di ) no primeiro trecho.
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2 - No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão é de 250
litros/h. Ao longo deste trecho são instalados gotejadores com vazão de 4
litros/h cada, distanciados de 0,5 m. Calcule a vazão no final do trecho.
3 - Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão Q1, originando um
diâmetro D1. Mantendo-se V1 e duplicando-se Q1, demonstre que o diâmetro
terá que aumentar 41%.
4 - A água com = 1,01 x 10-6 m2/s escoa num tubo de 50 mm de diâmetro. Calcule a vazão máxima para que o regime de escoamento seja laminar.
5 - Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um
tubo tronco-cônico de 1,83 m de altura. As extremidades superior e
inferior do tubo têm os diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente. Se
a vazão é de 23 litros/s, achar a diferença de pressão entre as
extremidades do tubo. (desprezar as perdas de carga).
6 - A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2 na horizontal, liga-se um
manômetro diferencial . Sendo Q = 3,14 litros/s e V1 = 1 m/s, calcular os
diâmetros D1 e D2 do Venturi, desprezando-se as perdas de carga.
0,05 m
Q
1
2 P.R.
1 (D1) 2 (D2)
P.R.
Q
0,29 m
0,03 m água
mercúrio
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7 - No tubo recurvado abaixo, a pressão no ponto 1 é de 1,9 kgf/cm2.
Sabendo-se que a vazão transportada é de 23,6 litros/s, calcule a perda
de carga entre os pontos 1 e 2 .
8- Em um canal de concreto a profundidade é de 1,2 m e as águas escoam
com uma velocidade media de 2,4 m/s, até um determinado ponto, onde,
devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12 m/s, reduzindo-se a
profundidade a 0,6 m . desprezando-se as possíveis perdas por atrito.
Determinar a diferença de nível entre as partes do canal.
Resp.: y = 6,3 m.
27. ORIFÍCIOS
São aberturas por onde os líquidos escoam mediante as seguintes
características:
a) tem forma geométrica definida; b) o perímetro é fechado; c) a abertura esta situada na parede do reservatório;, tanque, canal
ou encanamento;
d) a abertura esta abaixo da superfície livre do liquido.
Foronomia: estuda o escoamento por orifícios.
Finalidade: medir vazão.
Classificação:
Quanto a forma: circulares e retangulares;
Quanto a divisões: pequenos e grandes;
Quanto a condições das bordas: em parede delgada e parede espessa.
1
2 D1 = 125 mm
D2 = 100 mm
1,25 m
P.R.
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Orifícios pequenos e grandes
Orifícios em parede delgada e espessa (bocais)
Orifícios pequenos em paredes delgadas:
L = (0,5 a 1,0) d
No caso da água: L = 0,5 . d
Logo a
accc
ccaac .
onde: ac = área da seção contraída;
a = área seção do orifício;
cc = coeficiente de contração.
L
Seção contraída
V Max.
ac
d
Veia liquida Inversão jato
X P
Seção contraída
y
h
e < d d
e
Parede delgada Parede espessa (bocais)
e
d
h
d
d<=1/3 . h d > 1/3 . h
Orifícios
pequenos
Orifícios
grandes
d
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Cc varia muito pouco, adota-se 62,0cc
Para orifícios retangulares
Vimos que no teorema de Torricelli hgV ..2 eq. 1. é a velocidade media
ideal que ocorreria na veia liquida se não houvesse atrito no orifício.
Sendo U = velocidade media veia liquida < V, entra coeficiente de redução
CVVUV
UCV . __________________________________eq. 2.
Substituindo 1 em 2: hgCVU ..2. _________________________eq. 3.
como U<V na pratica adotamos CV=0,985.
Por definição o volume do liquido em escoamento no orifício é:
UacQ . //sendo: ccaac . e hgCVU ..2.
hgCVccaQ ..2... //a=área orifício
sendo cc.CV = cd coef. Descarga
logo: hgcdaQ ..2..
Equação Para Vazão Em Orifícios Pequenos
OBS: na pratica adotamos: cd=cc.cv=0,62*0,985= cd= 0,61
Orifícios de grandes dimensões
Em orifícios grandes não se pode admitir que todas as partículas tenham
mesma velocidade. V = raiz(2.g.h) logo varia h, varia v.
A carga para este trecho elementar será:
hgdhLCddQ ..2..
a vazão para todo orifício será:
h2 dh
Parede delgada
h h1 L
b>h cc = 0,611
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2
1
2
1
*..2....2..
h
h
h
h
dhhhgLcdhgdhLCdQ
12/1.2....2..
12/12
1
2/1 hgLcddhhgLCdQ
h
h
2/32/3 12..2..3
2hhgLCdQ
Sendo: 12 hh
AL
Logo:
12
12..2..
3
2 2/32/3
hh
hhgACdQ
28. BOCAIS
São pequenos tubos adaptados a orifícios em paredes delgadas, pelos quais
escoam líquidos dos reservatórios.
Finalidade: a principal é dirigir o jato d’água e regular a vazão.
Bocal interior:
Bocal exterior:
OBS: Cd obtido no bocal exterior é maior do que o obtido no interior.
Classificação dos bocais:
Quanto a forma geométrica;
Quanto a dimensões relativas.
Forma geométrica:
Tubo fora reservatório. D
L
Tubo esta dentro do
reservatório e seu L=D D
L
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Bocal curto: Bocal longo:
D <=L<=2.D escoamento oscila entre orifício de parede delgada e orifiocio
parede espessa
2.D<=L<=3.D o escoamento é característico de bocal longo funcionando à
semelhança de orifício de parede espessa;
3.D<L<=100.D tubo curto
L>100.D considerado como encanamento
OBS: bocal padrão: L=2,5*D
Vazão nos Bocais: aplica-se a equação geral deduzida para os orifícios
pequenos.
hgAcdQ ..2.. Onde:
Q= vazão e m3/s;
A= seção do tubo, m2;
G=9,8 m/s2;
h=carga inicial disponível, m;
cd=coef. de descarga (coef. de velocidade).
Para orifícios de parede delgada 61,0.log.5,0 cdoD
L
Para bocais 82,0.log.32 cdoD
L
Obs: bocal padrão: cd=2,5
L>D. D
L
L<D. D
L
cilíndrico Cônico
divergente
Cônico
convergente
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29. VERTEDORES
Definição: são orifícios incompletos,
pois tem perímetro aberto, Localizam-se
na parte superior do reservatório,
canais, etc.
Finalidade: medir vazão de córregos,
galerias pluviais, etc.
Classificação: o vertedor pode ter
qualquer forma, mas são preferíveis as
geométricas, a logarítmica, etc.
Quanto a forma geométrica:
Vertedor simples;
Vertedor composto.
Vertedor composto:
Reunião das formas geométricas acima
indicadas.
Denominações
Vertedor retangular: mais usado, fácil execução.
Sendo orifício de parede delgada de grande dimensão:
L
D
L L
D D
1 contração 2 contrações sem
contração
5 x h
mínimo
régua
Veia
liquida
b
h
soleira
a
Veia
liquida
Vertedor simples:
Retangular;
Triangular;
Trapezoidal;
Circular;
Parabólico, etc.
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12
12..2..
3
2 2/32/3
hh
hhgACdQ
e adotando h1=0 e h2 = h a eq anterior fica:
0
0..2..
3
2 2/32/3
h
hgACdQ
sendo A=b.h //b=soleira e bh
A
substituindo fica:
2/3..2..3
2hgbCdQ Equação de DU Buat.
Que também se escreve da forma:
2/3
2
.211 hbah
hCCQ
onde: C1 e C2 são coeficientes em função de h, g, cd, etc).
Vertedor triangular: Vertedor circular:
2/5.15
.28hcd
gQ
807,1963,0 ..518,1 HDQ
h
d
h α Para α=90
0
Obs: indicado p/
carga muito
pequenas
h2 dh
Parede delgada
h h1 L
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30.HIDROMETRIA (Processos de medidas hidráulicas)
I - INTRODUÇÃO
Definição: é uma das partes mais importantes da hidráulica, cuida das
questões tais como, medidas de profundidade, de variação de nível de
água, das seções de escoamento, das pressões, das velocidades das
vazões, ensaio de bombas, etc.
Importância
Quantificar a vazão disponível para projetos de irrigação;
Controlar a vazão (volume) de água de irrigação a ser aplicada em projetos (racionalizar o uso da água);
Quantificar a vazão disponível para acionar uma roda d’água ou carneiro hidráulico;
Sistemas de abastecimento de água e lançamento de esgoto;
Instalações hidrelétricas.
A escolha do método depende:
Do volume do fluxo de água;
Das condições locais;
Do custo (existem equipamentos caros e outros simples e baratos);
Da precisão desejada
II - MÉTODOS
1) CONDUTOS LIVRES (CANAIS)
a) MÉTODO DIRETO
Volumétrico
Gravimétrico (Alta precisão, usado como calibração de outros
métodos).
Utilização: Pequenas vazões (Q 10 L/s)
a-1) Volumétrico
Baseia-se no tempo gasto para que um determinado fluxo de água ocupe
um recipiente com volume conhecido.
t
VolQ onde: Q ( L/s ) ; Vol ( L ) ; t ( s )
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Importante: Realizar 3 repetições e obter a média 3
321 QQQQméd
a-2) Gravimétrico
Consiste na pesagem de um determinado volume de água obtido em um
determinado tempo.
t
VolQ mas,
Vol
Peso
PesoVol
t
PesoQ
*
Exemplo: Balança: 20 kg (massa no S.I) ou 20 kgf (peso no Sist.
Técnico)
Tempo: 10 s
b) MÉTODO DO FLUTUADOR
Através de flutuadores (pode ser utilizada uma garrafa plástica,
bóia, etc.) determina-se a velocidade superficial do escoamento. Esta
velocidade superficial é, na maioria das vezes, superior a velocidade
média do escoamento. A velocidade média corresponde a 80/90% da
velocidade superficial. Multiplicando-se a velocidade média pela área
molhada (área da seção transversal por onde está ocorrendo o escoamento),
obteremos a vazão.
médiamédia AVQ *
10 a 20
litros
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Determinação da área
Obs.: a seguinte equação nos dá o numero de verticais a serem levantadas
em função da largura do rio.
𝑁 = 4𝐿0,3 + 1 onde L é a largura do rio (m).
Determinação da velocidade
t
xV
Ex.O flutuador demorou 20 s para percorrer do ponto 1 ao 2 (10m).
sm
s
mV 5,0
20
10
Continuando o exemplo anterior:
VMED = 0,85 x 0,5 m/s VMED = 0,425 m/s
Supondo uma área da seção transversal igual a 1,5 m2 :
Q = 0,425 m/s x 1,5 m2
Q = 0,64 m3/s ou Q = 640 L/s
A
A área é determinada por
batimetria
A determinação em escritório, é feita utilizando-se
planímetros, papel milimetrado, etc
1 2 10 m
-Fazer 3 repetições -Trecho mais reto e uniforme -Baixa precisão
Vmáx
Vméd
V 0
-0,6 h
-0,2 h
VMED = 0,85 . VSUP.
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c) MÉTODO DO VERTEDOR
Vertedores são simples aberturas ou entalhes na parte superior de
uma parede por onde o líquido escoa. Podem ser instalados em cursos
d’água naturais ou artificiais.
Utilização: pequenos cursos d’água, canais. (Q 300
L/s)
L largura da soleira
H altura da lâmina de água que passa sobre a soleira
P distância do fundo d’água à soleira
P’ profundidade do curso de água à jusante do vertedor
Alguns cuidados na instalação do Vertedor
- A soleira deve estar nivelada;
- Face de montante na verticale deve ser lisa;
- Paredes delgadas ou cantos em bisel;
- Não deve ser afogado. A água não deve escoar pela parede de jusante;
- P 2H ( P deve ser superior a 20 cm );
- 5 cm H 60 cm;
- Escolher um trecho retilíneo, de pelo menos 3 m para a instalação do
vertedor;
- Fazer a medição de H 1,5 m antes do vertedor.
P
H
Soleira ou crista Faces
H
P
1,5 m
P‟
P’ < P
(vertedouro livre)
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Tipos de Vertedores e suas equações para a determinação da vazão
1- Vertedor Triangular:
Maior precisão para pequenas vazões
2- Vertedor Retangular
2.1 – Com duas contrações laterais
As contrações ocorrem nos vertedores cuja largura é inferior à
largura do curso d’água.
2.2 - Sem contração lateral
H Q = 1,4 . H5/2
( Q = m3/s ; H = m ; = 90º )
H
L
Q = 1,84 . L . H3/2
(Q = m3/s ; H = m ; L = m )
H
L
Q = 1,85 . L . H3/2
(Q = m3/s ; H = m ; L = m )
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2.3 - Vertedor trapezoidal (CIPOLETTI)
2.4 - Vertedor circular
d) MEDIDOR “WSC FLUME” ( Calha )
Muito utilizado para medir a vazão em sulcos de irrigação ou canais.
Neste equipamento, a água praticamente não se eleva ( represamento ) à
montante do ponto de instalação. Por este motivo é muito utilizado em
projetos de irrigação por superfície ( sulcos );
São construídas em três tamanhos diferentes: pequena, média e
grande;
Para a medição da vazão, somente a leitura de uma régua graduada em
milímetros, encostada na parede lateral da entrada, é suficiente. A
leitura é convertida em vazão através de tabelas ou de prévia calibração
com outros métodos.
e) MOLINETES
São pás ou hélices que giram impulsionadas pela velocidade de
escoamento;
Estabelece-se uma proporcionalidade entre o número de voltas por
unidade de tempo e velocidade de escoamento;
É necessário a determinação da área da seção de escoamento para a
determinação da vazão ( Q = A . V );
Podem ser utilizados em condutos “livres” ou “forçados” ;
São muito precisos na determinação da velocidade de escoamento.
H
L
Q = 1,86 . L . H3/2
(Q = m3/s ; H = m ; L = m )
inclinação: 1:4
4
1
D
H
Q = 1,518 . D0,963 . H1,807
(Q = m3/s ; H = m ; D = m )
Q = a . Hb
a , b coeficientes experimentais, H altura ( cm ), Q vazão ( l/s )
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2) CONDUTOS FORÇADOS (Tubulações)
f) MÉTODO DIRETO
Volumétrico
Gravimétrico (Alta precisão, usado como calibração de outros
métodos).
Utilização: Pequenas vazões (Q 10 L/s)
MÉTODO DO VENTURI ( Venturímetro)
É um medidor “diferencial”
Ou:
1 2 Q
h
x
1 2 Q
h
h1
h2
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21
2
2
2
1
2
2
2
1 ..
...2.
PP
AA
AAgCdQ
21..PP
KCdQ
hKCdQ ..
Exemplo Venturi :
D1 = 31,75 mm (0,03175 m) ; D2 = 15 mm (0,015 m) ; Cd = 0,98
21
4
2
2
2
2 .
1
.2.
4..
PP
D
D
gDCdQ hKCdQ ..
K = 0,000803 Cd = 0,98 portanto:
hQ *000803,0*98,0 hQ *000787,0
g) MÉTODO DO ORIFÍCIO ( Diafragma )
Medidor Diferencial
Obs.: O diâmetro do orifício deve ser da ordem de 30% a 80% do
diâmetro do tubo.
hgACdQ ..2.. 2
Q = m3/s
h = m
Q 1 2 D2 D1
h1
h2
h
D1 D1/2
Q = m3/s A2 = m2
h = m
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Orifício ou Diafragma
A = 3,14 x 10-4 m
2 Cd = 0,63
hgQ *2*10*14,3*63,0 4 hQ *000876,0
Exemplo: h = 10 cm (0,10 m)
Q = 0,000277 m3/s ou Q = 0,28 L/s
h) ROTÂMETRO ( Medidor de área variável)
Obs.: O rotâmetro deve ser instalado sempre em
tubulações na vertical e com fluxo ascendente.
i) MEDIDOR ELETRONICO DE PÁS
Existem modelos com leituras digital ou direta.
Q
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33. LISTA DE EXERCÍCIOS (Hidrometria)
01 - Um vertedor retangular, sem contração lateral, tem 1,25 m de
soleira (largura) e esta fica 70 cm distante do fundo do curso d’água.
Sendo 45 cm a carga do vertedor, calcular sua vazão.
Resposta: Q = 0,698 m3 /s ou 698 litros /s
02 - Determinar a descarga ( vazão ) de um vertedor retangular, com 2,5 m
de soleira, situado no centro de um curso d’água com 4 m de largura, para
uma carga de 0,35 m sobre a soleira. A distância da soleira ao fundo do
curso d’água é de 0,90 m. Resposta: Q = 0,95 m3 / s
03 - A vazão de 850 litros /s ocorre em um vertedor cipolletti
(trapezoidal), sob carga de 37,8 cm. Calcular a largura que a lâmina de
água terá sobre a soleira. Resposta: L = 1,97 m.
04 - Deseja-se construir um vertedor trapezoidal (Cipolletti) para medir
uma vazão de 2m3/s. Determine a largura da soleira deste vertedor, para
que a altura d’água sobre a soleira NÃO ultrapasse a 60 cm.
Resposta: L = 2,31 m.
05 - Qual a descarga (vazão) de um vertedor triangular, de 90, sob uma carga de 15 cm ? Resp. 12,2l/s
06 - Um flutuador leva 1,5 minuto para percorrer 35 metros em um canal
retangular. Sabendo que o canal tem uma largura de 3,5 m e a lâmina
d’água no interior deste é de 2,0m, calcule a provável vazão deste canal
( Considerar Vmédia = 0,85 . Vsuperf ). Resposta: Q = 2,31 m3 / s
1,25 m
70 cm
45 cm
0,35m
2,5m
4,0m
0,9m
H
L
H = 37,8 cm
L = ?
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34. EXERCÍCIOS (Conduto Forçado por Gravidade e Perda de Carga Contínua)
01 - Admite-se que uma tubulação de ferro fundido com D = 600 mm,
prevista para 35 anos de uso (C = 90), tenha a perda de carga unitária de
24 m / km. Com a fórmula de Hazen-Williams, obter a velocidade média e a
vazão da água nessa tubulação.
Respostas: V = 3,08 m/s Q = 0,87014 m3/s
02 - A água escoa em tubos de PVC com 50 mm de diâmetro, à
velocidade média de 1,6 m/s. Calcular a vazão e a perda de carga
unitária, segundo a fórmula de Flamant.
Respostas: J = 0,05198 m/m Q = 0,00314 m3 / s
03 - Em certa tubulação de PVC com 50 mm de diâmetro, mede-se a perda de
carga unitária J = 0,0212 m / m. Utilizando a fórmula de Flamant,
calcular a velocidade média e a vazão.
Respostas: V = 0,96 m/s Q = 0,00188 m3/s.
04 - Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço (C = 130 (Equação de
Hazen-Williams)) que veicula uma vazão de 250 l/s, com uma perda de
carga de 1,7 m / 100 m. Calcular também a velocidade.
Respostas: D = 0,3487 m V = 2,6 m/s.
05 - Para o abastecimento de água de uma grande fábrica, será executado
uma linha adutora com tubos de ferro fundido novo ( C = 130 ) numa
extensão de 2.000 m. Dimensionar a canalização com capacidade para 25
l/s. A cota do nível da água na barragem de captação é 615 m e a cota na
entrada do reservatório de distribuição é de 599,65 m.
Resposta: D = 0,1711 m.
06 - Calcular o volume d’água que pode ser obtido diariamente com uma
adutora de ferro fundido usada ( C = 90 ), com 200 mm de diâmetro e 3.200
m de comprimento, alimentada por um reservatório cujo nível está na cota
338 m. O conduto descarrega no ar e a sua extremidade está na cota 290 m.
Resposta: V = 1,19 m/s e Q = 0,0374 m3/s . Portanto, em 1 dia:
Volume = 3 231,36 m3
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35. CONDUTOS LIVRES (Canais)
O escoamento de superfície livre é provavelmente o fenômeno de
escoamento mais comumente encontrado na superfície da
terra. Correntes de rios e escoamento de água da chuva são
exemplos que ocorrem na natureza. As situações induzidas
pelo homem incluem escoamentos em canais e galerias
pluviais, drenagem sobre materiais impermeáveis, tais como
telhados e áreas de estacionamento. Em todas essas
situações o escoamento se caracteriza por uma interface
entre o ar e a superfície da água, chamada superfície
livre, nela a pressão é constante e, para quase todas as
situações, é atmosférica.
I - DIMENSIONAMENTO
a) Equação da Resistência
21
32
.. JRKV (STRICKLER) 21
32
..1
JRn
V (MANNING)
b) Equação da Continuidade
Q = A.V
Onde:
Q = Vazão ( m3/s );
A = Área da seção molhada ( m2 );
K = Coeficiente de rugosidade de Strickler;
n = Coeficiente de rugosidade de Manning;
V = Velocidade de escoamento ( m/s );
R = Raio hidráulico ( m ) R = A / P ( P = Perímetro molhado
);
J = Declividade do fundo ( m/m ).
Existem basicamente dois casos distintos para resolução de problemas
envolvendo condutos livres:
CASO I :
Dados: K, A, R , J Deseja-se conhecer: Q ou V
Dados: K, A, R , Q Deseja-se conhecer: J
Neste caso, a solução é encontrada com a aplicação direta da equação:
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21
32
... JRKAQ ou n
AJRQ
.2/1.3/2 Lembrar que: Q = A.V
CASO II :
Dados: Q, K, J Deseja-se conhecer: A Seção do Canal (A, R )
Neste caso, existem três maneiras de se solucionar o problema:
MÉTODO DA TENTATIVA (será utilizado em Hidráulica);
Algebricamente;
Graficamente.
MÉTODO DA TENTATIVA:
21
32
... JRKAQ 2
13
2
..
JK
QRA
Existem diversas combinações de GEOMETRIA que satisfazem os dados
fornecidos. SOLUÇÃO: Fixar b ou h.
ou
36. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
As seções transversais dos canais podem ser consideradas regulares
ou irregulares, a forma de canal mais simples é a de seção retangular. O
canal trapezoidal é, muitas vezes utilizado, em condições onde se tem
problemas de estabilização dos taludes.
b
h
b
h
Dados conhecidos
m.h m.h
b
B
h 1
m
Talude :
m
1
Talude:
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Tabela: Equações de área, perímetro molhado raio hidráulico e largura de
algumas figuras geométricas.
Forma da seção
Área (A)
( m2 )
Perímetro
molhado (P)
( m )
Raio hidráulico
(R) ( m )
Largura do
Topo (B)
( m )
hb.
hb .2
hb
hb
P
A
.2
.
b
hhmb ..
21..2 mhb
P
A
hmb ..2
2.hm
21..2 mh
P
A
hm..2
2.sen.8
1D
RAD
2
.D
D.sen
1.4
1
D.2
sen
8
2.D
2
.D
24
hD
hD .2
Obs.: D
h.21arccos.2 , onde deve ser calculado em radianos.
b
h
h
b 1
m
h
1
m
h D
h
B = D
h = D/2
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III - INFORMAÇÕES IMPORTANTES
a) Declividade de canais:
Vazão ( m3/s)
Declividade ( % ) Porte
> 10
0,01 a 0,03
Grande
3 a 10
0,025 a 0,05
Mediano
0,1 a 3
0,05 a 0,1
Pequeno
< 0,1
0,1 a 0,4
Muito pequeno
b) Inclinação dos Taludes (valores de m):
Material das paredes
Canais pouco profundos
( h < 1 m ) Canais profundos
( h > 1 m)
Rochas em boas condições
0
0,25
Argilas Compactas
0,5
1,0 ou 0,75
Limo Argiloso
1,0
1,0 ou 1,50
Limo Arenoso
1,5
2,0
Areias Soltas
2,0
3,0
c) Limites de velocidade:
Material Velocidade máxima ( m/s )
Terreno Arenoso Comum
0,76
Terreno de Aluvião
0,91
Terreno Argila Compacta
1,14
Cascalho grosso , Pedregulho, Piçarra
1,83
Concreto
6,00
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d) Coeficiente de Rugosidade de Strikler ( K )
Material
K ( m1/3 / s )
Concreto
60 a 100
Tubos de Concreto
70 a 80
Asfalto
70 a 75
Tijolos
60 a 65
Argamassa de cascalho ou britas
50
Pedras assimétricas
45
Canal aberto em rocha 20 a 55
Canal em Terra ( sedimentos médios) 58 a 37
Canal gramado 35
e) Folga ou borda-livre
f) Canal de máxima eficiência hidráulica
Um canal é chamado de Max. Efic. Quando
transporta uma máxima vazão por unidade de
área.
Dimensões do canal:
Tipo de
canal
Area Perímetro Raio hidráulico
retangular 2.y2 4.y 𝑦
2
Trapezoidal 𝑦2(2 1 +𝑚2 −𝑚) 2𝑦(2 1 +𝑚2 −𝑚) 𝑦
2
Base menor do canal b = 2.y
h
folga Folga 20 cm ( mínima )
Folga = 0,2 h ( 20% de h )
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37. EXERCÍCIO RESOLVIDO (CANAIS)
1 - Um projeto de irrigação precisa de 1.500 litros / s de água, que
deverá ser conduzida por um canal de concreto, com bom acabamento ( K =
80 ). A declividade do canal deverá ser de 1 %0 e sua seção trapezoidal
com talude de 1 : 0,5 ( V : H ). Qual deve ser a altura útil do canal,
se sua base for de 60 cm.
Dados:
Canal de seção trapezoidal
Q = 1.500 litros / s = 1,5 m3 / s
K = 80 ( coef. de rugosidade de STRICKLER )
J = 1 %o = 0,1 % = 0,001 m/m
m = 0,5 ( talude da parede do canal )
b = 60 cm = 0,6 metros.
h = ?
Q = A.V (Eq. Continuidade) V = K.R2/3.J
1/2 (Eq. de Strickler)
Portanto: Q = A.K.R2/3.J
1/2
2/1
3
2/1
3/2
001,0.80
/5,1
..
sm
JK
QRA 593,0. 3/2 RA
Solução: Resolvendo pelo Método da Tentativa, devemos encontrar um valor
de h que satisfaça a condição de: 593,0. 3/2 RA . Para isto, montamos a
seguinte tabela auxiliar:
h hhmbA )..( 21.2 mhbP R=A/P R
2/3 A.R
2/3 Valor
conhecido
1,00 1,10 2,84 0,387 0,531 0,584 < 0,593
1,20 1,44 3,28 0,439 0,577 0,832 > 0,593
1,05 1,15 2,95 0,390 0,534 0,614 > 0,593
1,02 1,12 2,88 0,389 0,533 0,597 > 0,593
1,01 1,11 2,86 0,388 0,532 0,591 0,593
Supor h = 1,0 m logo A = 115,06,0 xx = 1,10 m2
P = 25,01126,0 xx = 2,84 m
R = A / P = 1,10 / 2,84 = 0,387
h = 1,01 m V = Q / A = 2
3
11,1
/5,1
m
sm = 1,35 m/s ok!!
(VMáx = 6,0 m/s) Folga = 0,20 x 1,01 m Folga = 0,20 m
h = ?
folga
b= 0,6m 1
m = 0,5
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38. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (CANAIS)
1. Dimensionar um canal de seção retangular para escoar uma vazão de
25m3/s, com declividade de 0,003m/m e rugosidade Manning igual a 0,03.
Utilizar critério de máxima eficiência onde A=2y2, P=4.y e R=y/2. o
critério de máxima eficiência hidráulica considera menor volume de
escavação do canal.
Resp.: y = 2,45m, b = 4,9m.
2 - Calcular a Vazão transportada por um canal revestido de nata de
cimento (n = 0,012 ou K = 83) tendo uma declividade de 0,3%o . As
dimensões e forma estão na figura abaixo. Verificar o valor da velocidade
média de escoamento.
3 - Calcular a vazão transportada por um canal de terra dragada (n =
0,025), tendo declividade de 0,4%o . As dimensões e formas estão na
figura abaixo.obs. m=1,5
4 - Calcular a vazão transportada por um tubo de seção circular,
diâmetro de 500 mm, construído em concreto (n = 0,013). O tubo está
trabalhando à meia seção, em uma declividade é de 0,7%.
5 – Um canal de concreto mede 2m de largura e foi projetado para
funcionar com uma profundidade útil de 1m. A declividade é de 0,0005 m/m.
Determinar: vazão e velocidade da água no canal.
Resp.: Q = 2,17m3/s e V = 1,08m/s.
b = 4,0 m
h = 2,0 m
h = 1,6 m
b = 1,20 m
1
1,5
D h
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6- Qual a profundidade de escoamento num canal trapezoidal (m=1) que aduz
uma vazão de 2,4m3/s e com velocidade de escoamento de 0,81m/s? Dados:
n=0,018, b=2m e I=0,0004m/m.
Resp.: y = 1 m
7- Um canal de drenagem em más condições e fundo de barro (n=0,02), com
m=1, I=40cm/km. Foi dimensionado para uma vazão Q, tendo-se chegado às
dimensões da figura abaixo: Resp.: Q = 3,37m3/s
8 - Um canal de forma trapezoidal com taludes laterais com m=1,5 deve dar
escoamento a 45m3/s. quais as dimensões do canal tendo o mesmo um
comprimento de 10km sendo 1,3m a diferença de cota entre seus extremos.
Impõe-se como condição do problema que o fundo do canal deve ter b=15m
obs: k=40,81. Resp.: h=2,9m e B=23,7m.
9 – Um canal de concreto mede 2,5m de largura e foi projetado para
funcionar com uma profundidade útil de 1,5m. A declividade é de 0,0005
m/m. Determinar: vazão e velocidade da água no canal.
10 - Calcular a Vazão transportada por um canal revestido de argamassa de
cascalho tendo uma declividade de 0,035% . As dimensões e forma estão na
figura abaixo. Verificar o valor da velocidade média de escoamento.
11 - Um canal de forma trapezoidal com taludes laterais com m=1,5 deve
dar escoamento a 20m3/s. quais as dimensões do canal tendo o mesmo um
comprimento de 10km sendo 1,2m a diferença de cota entre seus extremos.
Impõe-se como condição do problema que o fundo do canal deve ter b=15m
obs: k=40,81.
12 – Um canal de concreto mede 1,5m de largura e foi projetado para
funcionar com uma profundidade útil de 2,0m. A declividade é de 0,0003
m/m. Determinar: vazão e velocidade da água no canal.
h = 1,5 m
b = 1,66 m
b = 2,0 m
h = 2,0 m
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39. ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES
Obs: Rios e canais é o melhor exemplo de condutos livres.
40. PERDAS DE CARGA:
É a “perda de energia na forma de calor, ou seja, parte da energia
disponível se dissipa na forma de calor”.
Ljhf .
Onde: hf é a perda de carga continua, j é a perda de carga unitária (m m-
1) e L é o comprimento da tubulação.
Classificação das perdas de carga:
Perda de carga continua (hf). Ocasionada pelo movimento da água na
tubulação.
Perda de carga localizada (hfLoc.) . Provocada pelas peças especiais; por
exemplo registros, curvas, etc.
V12/2g
V22/2g P1/γ
P2/γ
Z1
Z2
hf = j. L
Plano de referência
Canalização
Linha Piezométrica
Linha Energética
Corte A
A‟
Pressão
A
A‟
B
B‟
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Dimensionamento das Tubulações das Redes de Irrigação
Etapas de um projeto de irrigação ou de um sistema de bombeamento:
Dimensionamento da tubulação.
É possível se conhecer o regime de fluxo em uma tubulação por meio de um
parâmetro adimensional denominado numero de Reynolds (Re), que se obtém
mediante a relação:
VDRe
Onde: V é velocidade média do fluxo, D é o diâmetro da tubulação e ν é a
viscosidade cinemática do liquido.
Com base em resultados experimentais
Re < 2000..................... Regime laminar;
Re > 4000..................... Regime turbulento;
2000 <= Re <= 4000.... Regime crítico.
Perda de carga continua (hf). Ocasionada pelo movimento da água na
tubulação.
Equações:
a) Darcy-Weisbach (Equação Universal)
LjQD
Lf
g
V
D
Lfhf .0826,0
2
2
5
2
Onde
hf = perda de carga (m);
f = fator de atrito (adimensional), depende em geral do número de
Reynolds (Re=V D υ-1) e da rugosidade relativa (K D
-1);
V = velocidade média na seção (m s-1);
D = diâmetro interno do tubo (m);
υ = viscosidade cinemática da água (1,14.10-6 m
2 s
-1, para água a 15°C);
K = rugosidade absoluta do tubo (K=0,15 mm para aço galvanizado novo);
L = comprimento da tubulação (m);
g = aceleração da gravidade (9,81 m s-2);
Q = vazão em (m3 s
-1).
Para regime laminar o fator de atrito pode ser calculado pela equação
Re
64f (Hagen-Pouseuille) o qual depende exclusivamente das propriedades
do fluido, do diâmetro do tubo e da velocidade do escoamento.
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Para regime turbulento usa-se a equação de White-Colebrook:
f
DK
f Re
51,2
71,3
/log2
1
Ver diagrama de Moody no apêndice.
Onde K é rugosidade absoluta em função do tipo de material.
Material da tubulação Rugosidade absoluta (K, mm)
Polietileno 0,002
PVC 0,02
Aço 0,06-008
Cimento amianto 0,07-0,08
Concreto 0,3-0,5
Ferro fundido 0,25-0,6
Uma boa aproximação de f se consegue com a equação de Swamer e Jain
(1976):
2
9,0Re
51,2
7,3
/log
25,0
DK
f
obs: Válida para 10-6 < K/D < 10
-2 e 10
3 < Re < 10
8, com erro relativo de
+-1%, apresentado erros inferiores a 0,5% para 10-5 < K/D < 10
-3 e 10
4 < Re
< 107.
Uma outra maneira para qualquer valor de Re e tipo de tubo pode-se obter
utilizando a equação desenvolvida por Churchill (1977):
12
1
5,1
121
Re
88
BAf sendo:
16
9,0
27,0Re
7
1ln457,2
D
KA
16
Re
0,37530
B
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b) Equação de Hazen-Willians
852,1
87,4
1*66,10
C
Q
Dj Obs: hf = j.L
Onde: j é perda de carga unitária (m m-1), Q é vazão em (m
3 s
-1), D é o
diâmetro da tubulação (m) e C é coeficiente de atrito ou coeficiente de
Hazen-Willians.
Material da tubulação Coeficiente atrito (C)
Polietileno 150
PVC 145
Aço galvanizado 125
Cimento amianto 140
Aluminio 130
Perda de carga localizada (hfLoc.). As conexões e peças especiais provocam
perdas denominadas localizadas.
Métodos para se determinar:
a) g
Vk
2hf
2
1Loc
Onde hfLoc é a perda de carga localizada em mca, k1 é coeficiente da perda
correspondente a peça especial considerada, V é velocidade do fluxo à
jusante da peça em m s-1 e g é a aceleração da gravidade.
Conexão Valores de k1
Inferior Superior
Valvula de pé crivo 12 - 30
Curva de 45o 0,18 - 0,20
Redução gradual 0,1 - 30
Cotovelo de 90o 0,6 - 0,90
b) Método do comprimento equivalente.
O método consiste em se adicionar à extensão da canalização, para
simples efeito de calculo, comprimentos tais que correspondam à mesma
perda de carga que causaria as peças especiais existentes na
canalização.
Se igualar hf com hfLoc, fica:
g
V
D
Lfhf
2
2
com g
Vk
2
21hf Loc fica
g
Vk
2
21
g
V
D
Lf
2
2
e isolando L fica:
Lf
Dk
1
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Conexão Comprimento equivalente
Válvula de pé crivo 250 * diâmetro
Curva de 90o 30 * diâmetro
Registro de gaveta 8 * diâmetro
Curva de 45o 15 * diâmetro
Válvula retenção 100 * diâmetro
Cotovelo de 90o 45 * diâmetro
Exemplo: Curva de 900 de 3 polegadas equivale a uma canalização retilínea
de 30 x o seu diâmetro.
L equiv. = 30 * D = 30 * 0,075m = 1,5m.
c) Método da estimativa: Na pratica 10-20 % da perda de carga continua é
considerada perda de carga localizada. Exceto filtros, reguladores de
pressão, limitadores de vazão, etc.
41. EXERCÍCIOS:
1. Determinar a perda de carga (hf) de uma tubulação de cimento amianto
de 400m de comprimento e 200mm de diâmetro, que transporta uma vazão de
30L s-1 a uma temperatura de 20
oC. A rugosidade absoluta do tubo é 0,07mm.
Obs. 20oC a viscosidade cinem. da água é 1,004.10
-6m2 s
-1. Resp. 1,735mca
(HW) e 1,672mca (Eq. Univ.).
2. Deseja-se saber qual diâmetro usar para conduzir água do ponto até o
ponto B, utilizar tubo de aço. E se usar PVC? Qual seria o novo diâmetro?
3. Para abastecimento de água de uma grande fabrica será executada uma
linha adutora com tubos de ferro fundido numa extensão de 2 100 m.
dimensionar a canalização com capacidade de 25 l/s. O nível de água na
barragem de captação é 615m e a cota da canalização na entrada do
reservatório de distribuição é de 599,65 m.
Resp.: D=0,20 m, j=0,0073m/m
4. Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço usada (C=90), que veicula
uma vazão de 250 l/s com uma perda de carga de 1,70 m por 100 m. Calcular
tambem a velocidade.
D=400mm e V=1,99m/s
Cota 615m
Cota 599,65m
L=2100m
Q=25L s-1
A
B
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5. Calcular a vazão que escoa por um tubo de ferro fundido usado (C=90),
de 200mm de diâmetro, desde o reservatório na cota 200 ate outro
reservatório na cota zero. O comprimento do conduto é de 10000 m.
Calcular também a velocidade.
Q= 44 l/s - V=1,4 m/s
6. Deseja-se conhecer a vazão e o diâmetro da tubulação com C=120, de
forma que a velocidade seja 3 m/s e a perda de carga seja 5m/100m.
D=200mm e Q= 94 l/s
7. Em uma usina hidrelétrica, o nível de água no canal de acesso está na
elevação 550m e, na saída da turbina, na cota 440m. A tubulação tem 660
m de extensão. Determinar o seu diâmetro de modo que a potencia perdida
sob a forma de perda de carga nos tubos seja 2% da potencia total
aproveitável. A vazão é 330l/s
D=0,60m V=1,16m/s
8. Para um sistema de irrigação precisa-se conduzir uma vazão de 30l/s,
numa distancia de 2km, sendo a tubulação de fereo fundido usado, na qual
estão instalados uma curva de 45, uma curva de 90, um registro de gaveta
e uma válvula de retenção. Determinar o diâmetro da tubulação, velocidade
e a perda de carga correspondente. Resp.: j==0,03275m/m, hf loc.=0,63m
hf total=66,14m. Veloc.=1,7m/s.
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 92
BOMBAS HIDRÁULICAS
São máquinas hidráulicas operatrizes, isto é maquinas que recebem
energia potencial (força motriz de um motor ou turbina), e transformam
parte desta potencia em energia cinética (movimento) e energia de pressão
(força), cedendo estas duas energias ao fluido bombeado, de forma a
recirculá-lo ou transportá-lo de um ponto a outro.
Ou ainda: Bomba é uma maquina hidráulica capaz de elevar a pressão de um
liquido.
Motores hidráulicos: transformam a energia de trabalho hidráulico em
energia mecânica rotativa. Os motores hidráulicos trabalham no principio
inverso das maquinas hidráulicas.
Classificação:
Quanto à forma do rotor
a) escoamento radial. Pressão desenvolvida
pela força centrifuga;
b) escoamento misto. Pressão desenvolvida
pela força centrifuga e pela sucção das
pás;
c) escoamento axial. Pressão desenvolvida
pela ação da sucção .
Vazão: é o volume de liquido bombeado na unidade de tempo.
Altura de elevação: é o aumento de pressão que a bomba pode comunicar ao
fluido (H).
NPSH E CAVITAÇÃO
DEFINIÇÃO: A sigla NPSH, vem da expressão Net Positive Suction Head, a
qual sua tradução literal para o Português não expressa clara e
tecnicamente o que significa na prática. No entanto, é de vital
importância para fabricantes e usuários de bombas o conhecimento do
comportamento desta variável, para que a bomba tenha um desempenho
satisfatório, principalmente em sistemas onde coexistam as duas situações
descritas abaixo:
Bomba trabalhando no inicio da faixa, com baixa pressão e alta vazão;
Existência de altura negativa de sucção;
Quanto maior for a vazão da bomba e a altura de sucção negativa, maior
será a possibilidade da bomba cavitar em função do NPSH.
Em termos técnicos, o NPSH define-se como a altura total de sucção
referida a pressão atmosférica local existente no centro da conexão de
sucção, menos a pressão de vapor do líquido.
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 93
NPSH = (Ho - h - hs - R) - Hv Onde:
Ho = Pressão atmosférica local , em mca (tabela 1);
h = Altura de sucção, em metros (dado da instalação);
hs = Perdas de carga no escoamento pela tubulação de sucção, em metros;
R = Perdas de carga no escoamento interno da bomba, em metros (dados do
fabricante);
Hv = Pressão de vapor do fluído escoado, em metros (tabela 2);
Para que o NPSH proporcione uma sucção satisfatória à bomba, é necessário
que a pressão em qualquer ponto da linha nunca venha reduzir-se à pressão
de vapor do fluído bombeado. Isto é evitado tomando-se providências na
instalação de sucção para que a pressão realmente útil para a
movimentação do fluído, seja sempre maior que a soma das perdas de carga
na tubulação com a altura de sucção, mais as perdas internas na bomba,
portanto:
Ho - Hv > hs + h + R
NPSH DA BOMBA E NPSH DA INSTALAÇÃO: Para que se possa estabelecer,
comparar e alterar os dados da instalação, se necessário, é usual
desmembrar-se os termos da fórmula anterior, a fim de obter-se os dois
valores característicos (instalação e bomba), sendo:
Ho - Hv - h - hs = NPSHd (disponível), que é uma característica da
instalação hidráulica. É a energia que o fluído possui, num ponto
imediatamente anterior ao flange de sucção da bomba, acima da sua pressão
de vapor. Esta variável deve ser calculada por quem dimensionar o
sistema, utilizando-se de coeficientes tabelados e dados da instalação;
R = NPSHr (requerido), é uma característica da bomba, determinada em seu
projeto de fábrica, através de cálculos e ensaios de laboratório.
Tecnicamente, é a energia necessária para vencer as perdas de carga entre
a conexão de sucção da bomba e as pás do rotor, bem como criar a
velocidade desejada no fluído nestas pás. Este dado deve ser
obrigatoriamente fornecido pelo fabricante através das curvas
características das bombas (curva de NPSH);
Assim, para uma boa performance da bomba, deve-se sempre garantir a
seguinte situação:
NPSHd > NPSHr
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EXEMPLO: Suponhamos que uma bomba de modelo hipotético Ex.1 seja colocada
para operar com 35 mca de AMT, vazão de 32,5 m3 /h, altura de sucção de
2,5 metros e perda por atrito na sucção de 1,6 mca. A altura em relação
ao nível do mar onde a mesma será instalada é de aproximadamente 600
metros, e a temperatura da água é de 30ºC, verificaremos:
A. VERIFICAÇÃO DO NPSHr:
Conforme curva característica do exemplo citado, para os dados de altura
(mca) e vazão (m³/h) indicados, o NPSHr da bomba é 4,75 mca, confira:
B. CÁLCULO DO NPSHd:
Sabendo-se que:
NPSHd = Ho - Hv - h - hs Onde:
Ho = 9,58 (tabela 1)
Hv = 0,433 (tabela 2)
h = 2,5 metros (altura sucção)
hs = 1,60 metros (perda calculada para o atrito na sucção)
Temos que: NPSHd = 9,58 - 0,433 - 2,5 - 1,60
NPSHd = 5,04 mca
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Analisando-se a curva característica abaixo, temos um NPSHr de 4,95 mca.
Portanto: 5,04 > 4,95 Então NPSHd > NPSHr
A bomba nestas condições funcionará normalmente, porém, deve-se evitar:
1. Aumento da vazão;
2. Aumento do nível dinâmico da captação;
3. Aumento da temperatura da água.
Havendo alteração destas variáveis, o NPSHd poderá igualar-se ou adquirir
valores inferiores ao NPSHr , ocorrendo assim a cavitação.
CAVITAÇÃO: Quando a condição NPSHd > NPSHr não é garantida pelo sistema,
ocorre o fenômeno denominado cavitação. Este fenômeno dá-se quando a
pressão do fluído na linha de sucção adquire
valores inferiores ao da pressão de vapor do
mesmo, formando-se bolhas de ar, isto é, a
rarefação do fluído (quebra da coluna de
água) causada pelo deslocamento das pás do
rotor, natureza do escoamento e/ou pelo
próprio movimento de impulsão do fluído.
Estas bolhas de ar são arrastadas pelo fluxo
e condensam-se voltando ao estado líquido
bruscamente quando passam pelo interior do
rotor e alcançam zonas de alta pressão. No
momento desta troca de estado, o fluído já
está em alta velocidade dentro do rotor, o
que provoca ondas de pressão de tal
intensidade que superam a resistência à tração do material do rotor,
podendo arrancar partículas do corpo, das pás e das paredes da bomba,
inutilizando-a com pouco tempo de uso. O ruído de uma bomba cavitando é
diferente do ruído de operação normal da mesma, pois dá a impressão de
que ela está bombeando areia, pedregulhos ou outro material que cause
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 96
impacto. Para evitar a cavitação, deve-se adotar as seguintes
providências:
A. Reduzir a altura de sucção e o comprimento desta tubulação,
aproximando-se ao máximo a bomba da captação;
B. Reduzir as perdas de carga na sucção, com o aumento do diâmetro dos
tubos e conexões;
C. Refazer todo o cálculo do sistema e a verificação do modelo da bomba;
D. Quando possível, sem prejudicar a vazão e/ou a pressão final
requeridas no sistema, pode-se eliminar a cavitação trabalhando-se com
registro na saída da bomba "estrangulado", ou, alterando-se o(s)
diâmetro(s) do(s) rotor(es) da bomba. Estas porém são providências que só
devem ser adotadas em último caso, pois podem alterar substancialmente o
rendimento hidráulico do conjunto.
CONCLUSÃO: A Pressão Atmosférica é a responsável pela entrada do fluído
na sucção da bomba. Quando a altura de sucção for superior a 8 metros (ao
nível do mar), a Pressão Atmosférica deixa de fazer efeito sobre a lâmina
d'água restando tecnicamente, nestes casos, o uso de outro tipo de bomba
centrífuga.
POTENCIAS E RENDIMENTOS
Potencia útil da bomba (Pu). Corresponde ao trabalho (w) realizado pela
bomba.
s
mkgf
s
mm
m
kgfQHPu
.....
3
3
ou 75
..)(
QHCVPu
ou 98,0*
100
..)(
QHkWPu
Potencia absorvida pela bomba (Pa). Corresponde a potencia fornecida no
eixo da bomba.
Rendimento da bomba (η) é igual a Pa
Pu
Ou 75.
..)(
QHCVPa ou
75.
..763,0)(
QHkWPa
EXEMPLO: Uma bomba operando com 42 m³/h em 100 mca, que apresenta na
curva característica um rendimento de 57%. Qual a potência necessária
para acioná-la?
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PERDAS DE CARGA(hf), No DE REYNOLDS(Re),VELOCIDADE DE ESCOAMENTO (V),
DIÂMETROS DOS TUBOS, E ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT)
PERDAS DE CARGA (hf): Denomina-se perda de carga de um sistema, o atrito
causado pela resistência da parede interna do tubo quando da passagem do
fluído pela mesma.
As perdas de carga classificam-se em:
CONTÍNUAS: Causadas pelo movimento da água ao longo da tubulação. É
uniforme em qualquer trecho da tubulação (desde que de mesmo diâmetro),
independente da posição do mesmo.
LOCALIZADAS: Causadas pelo movimento da água nas paredes internas e
emendas das conexões e acessórios da instalação, sendo maiores quando
localizadas nos pontos de mudança de direção do fluxo. Estas perdas não
são uniformes, mesmo que as conexões e acessórios possuam o mesmo
diâmetro.
FATORES QUE INFLUENCIAM NAS PERDAS DE CARGA:
A. Natureza do fluído escoado (peso específico, viscosidade): Como as
bombas são fabricadas basicamente para o bombeamento de água, cujo peso
específico é de 1.000 Kgf/cm3, não há necessidade de agregar-se fatores
ao cálculo de perdas de carga, em se tratando desta aplicação;
B. Material empregado na fabricação dos tubos e conexões (PVC, ferro) e
tempo de uso: Comercialmente, os tubos e conexões mais utilizados são os
de PVC e Ferro Galvanizado, cujas diferenças de fabricação e acabamento
interno (rugosidade e área livre) são bem caracterizadas, razão pela qual
apresentam coeficientes de perdas diferentes.
C. Diâmetro da tubulação: O diâmetro interno ou área livre de escoamento,
é fundamental na escolha da canalização já que, quanto maior a vazão a
ser bombeada, maior deverá ser o Ø interno da tubulação, afim de
diminuir-se as velocidades e, conseqüentemente, as perdas de carga. São
muitas as fórmulas utilizadas para definir-se qual o diâmetro mais
indicado para a vazão desejada. Para facilitar os cálculos, todas as
perdas já foram tabeladas pelos fabricantes de diferentes tipos de tubos
e conexões. No entanto, para efeito de cálculos, a fórmula mais utilizada
para chegar-se aos diâmetros de tubos é a Fórmula de Bresse, expressa
por:
Onde:
D = Diâmetro interno do tubo, em metros;
K = 0,9 - Coeficiente de custo de investimento x custo operacional.
Usualmente aplica-se um valor entre 0,8 e 1,0;
Q = Vazão, em m³/ s;
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A Fórmula de Bresse calcula o diâmetro da tubulação de recalque, sendo
que, na prática, para a tubulação de sucção adota-se um diâmetro
comercial imediatamente superior;
Obs.: para funcionamento intermitente utiliza-se a seguinte equação:
𝐷 = 1,3𝑇
24
0,25
√𝑄
onde: T= tempo de funcionamento do sistema por dia, Q é vazão em m3/s e D
é diamentro em m.
D. Comprimento dos tubos e quantidade de conexões e acessórios: Quanto
maior o comprimento e o nº de conexões, maior será a perda de carga
proporcional do sistema. Portanto, o uso em excesso de conexões e
acessórios causará maiores perdas, principalmente em tubulações não muito
extensas;
E. Regime de escoamento (laminar ou turbulento): O regime de escoamento
do fluído é a forma como ele desloca-se no interior da tubulação do
sistema, a qual determinará a sua velocidade, em função do atrito gerado.
No regime de escoamento laminar, os filetes líquidos (moléculas do fluído
agrupadas umas às outras) são paralelos entre si, sendo que suas
velocidades são invariáveis em direção e grandeza, em todos os pontos
(figura abaixo). O regime laminar é caracterizado quando o nº de Reynolds
(Re), for menor que 2.000.
No regime de escoamento turbulento, os filetes movem-se em todas as
direções, de forma sinuosa, com velocidades variáveis em direção e
grandeza, em pontos e instantes diferentes. O regime turbulento é
caracterizado quando o nº de Reynolds (Re), for maior que 4.000
Obviamente, o regime de escoamento mais apropriado para um sistema de
bombeamento é o laminar pois, acarretará menores perdas de carga por
atrito em função do baixo número de interferências existentes na linha.
Nº DE REYNOLDS (Re):
É expresso por: Onde:
Re = N0 de Reynolds;
V = Velocidade média de escoamento, em m/s;
D = Diâmetro da Tubulação, em metros;
u = Viscosidade cinemática do Liquido, em m2 /s;
Para a água doce, ao nível do mar e a temperatura de 250C, a viscosidade
cinemática (u) é igual a 0,000001007 m²/s;
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O escoamento será: Laminar: Re < 2.000
Turbulento: Re > 4.000
Entre 2.000 e 4.000, o regime de escoamento é considerado crítico.
Na prática, o regime de escoamento da água em tubulações é sempre
turbulento;
VELOCIDADE DE ESCOAMENTO (V): Derivada da equação da continuidade, a
velocidade média de escoamento aplicada em condutos circulares é dado
por:
onde:
V = Velocidade de escoamento, em m/s;
Q = Vazão, em m³/s;
(Pi) = 3,1416, (constante);
D = Diâmetro interno do tubo, em metros;
Para uso prático, as velocidades de escoamento mais econômicas são:
Velocidade de Sucção 1,5 m/s (limite 2,0 m/s)
Velocidade de Recalque 2,5 m/s (limite 3,0 m/s)
DIÂMETRO DOS TUBOS:
A. Tubulação de Recalque: Com a utilização de equações calcular o
diâmetro mais adequado para os tubos de recalque;
Custo de Investimento: Custo total dos tubos, bomba, conexões,
acessórios, etc. Quanto menor o diâmetro dos tubos, menor o investimento
inicial, e vice-versa;
Custo Operacional: Custo de manutenção do sistema. Quanto maior o
diâmetro dos tubos, menor será a altura manométrica total (AMT), a
potência do motor, o tamanho da bomba e o gasto de energia.
Consequentemente, menor será o custo operacional, e vice-versa;
B. Tubulação de Sucção: Na prática, define-se esta tubulação usando-se o
diâmetro comercial imediatamente superior ao definido anteriormente para
recalque, analisando-se, sempre, o do sistema.
ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT): A determinação desta variável é de
fundamental importância para a seleção da bomba hidráulica adequada ao
sistema em questão. Pode ser definida como a quantidade de trabalho
necessário para movimentar um fluído, desde uma determinada posição
inicial, até a posição final, incluindo nesta "carga" o trabalho
necessário para vencer o atrito existente nas tubulações por onde
desloca-se o fluído. Matematicamente, é a soma da altura geométrica
(diferença de cotas) entre os níveis de sucção e descarga do fluído, com
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a perdas de carga continua e localizadas ao longo de todo o sistema
(altura estática + altura dinâmica).
Portanto: Hman = Hgeo + hf
A expressão utilizada para cálculo é:
AMT = AS + AR + Perdas de Cargas Totais (hfr + hfs)
NOTA: Para aplicações em sistemas onde existam na linha hidráulica,
equipamentos e acessórios (irrigação, refrigeração, máquinas, etc.) que
requeiram pressão adicional para funcionamento, deve-se acrescentar ao
cálculo da AMT a pressão requerida para o funcionamento destes
equipamentos.
Rotação específica (ηs) é o numero de rotações dado na unidade de tempo
por uma bomba geometricamente semelhante que, com carga total igual a uma
unidade eleva a unidade de vazão.
4/3
.
H
Qs
Obs. ηs é a mesma para todas as bombas semelhantes e, para uma
mesma bomba, não muda com a rotação.
Representa para a bomba o mesmo que o Reynolds para os condutos.
Quando ηs é usada para caracterizar uma bomba deve-se calcular para
rendimento ótimo.
4/3
..211,0
H
Qns // n (rpm), Q (L s
-1) e H (m).
De modo geral, a forma do rotor varia com o numero de rotações
especificas (ηs) definido pela equação anterior, do seguinte modo:
Escoamento radial de entrada simples.......... ηs < 4200;
Escoamento radial de entrada dupla............ ηs < 6000;
Bomba de escoamento misto..................... 4200 < ηs < 9000;
Bomba de escoamento axial..................... ηs > 9000;
Exemplo: Deseja-se conduzir uma vazão de 0,05 m3 s
-1 com H de 60m e n de
1750 rpm. Pergunta-se: Qual o tipo de bomba devo usar?
CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS
DEFINIÇAO: De forma simples e direta, podemos dizer que a curva
característica de uma bomba é a expressão cartesiana de suas
características de funcionamento, expressas por Vazão, em m3/h na
abscissa e na ordenada, hora Altura, em mca; rendimento em %; perdas
internas NPSHrequerido, em mca; e potência absorvida (BHP), em cv;
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CURVA CARACTERÍSTICA DA BOMBA: A curva característica é função particular
do projeto e da aplicação requerida de cada bomba, dependendo do tipo e
quantidade de rotores utilizados, tipo de caracol, sentido do fluxo,
velocidade específica da bomba, potência fornecida, etc. Toda curva
possui um ponto de trabalho característico, chamado de "ponto ótimo",
onde a bomba apresenta o seu melhor rendimento , sendo que, sempre que
deslocar-se, tanto a direita como a esquerda deste ponto, o rendimento
tende a cair. Este ponto é a intersecção da curva características da
bomba com a curva característica do sistema (curvas 3 e 4 - CCB x CCS).
É importante levantar-se a curva característica do sistema, para
confrontá-la com uma curva característica de bomba que aproxime-se ao
máximo do seu ponto ótimo de trabalho(meio da curva, melhor rendimento).
Evita-se sempre optar-se por um determinado modelo de bomba cujo ponto de
trabalho encontra-se próximo aos limites extremos da curva característica
do equipamento (curva 2), pois, além do baixo rendimento, há a
possibilidade de operação fora dos pontos limites da mesma que, sendo à
esquerda poderá não alcançar o ponto final de uso pois estará operando no
limite máximo de sua pressão e mínimo de vazão. Após este ponto a vazão
se extingue, restando apenas a pressão máxima do equipamento denominada
schut-off.
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Ao passo que, operando-se à direita da curva, poderá causar sobrecarga no
motor. Neste ponto a bomba estará operando com máximo de vazão e mínimo
de pressão aumentando o BHP da mesma.
Esta última posição é a responsável direta pela sobrecarga e queima de
inúmeros motores elétricos em situações não previstas pelos usuários em
função do aumento da vazão, com conseqüente aumento de corrente do motor.
CURVA CARACTERÍSTICA DO SISTEMA: É obtida fixando-se a altura geométrica
total do sistema (sucção e recalque) na coordenada Y (altura mca), e, a
partir deste ponto, calcula-se as perdas de carga com valores
intermediários de vazão, até a vazão total requerida, considerando-se o
comprimento da tubulação, diâmetro e tipo de tubo, tempo de uso,
acessórios e conexões (curvas 3 e 4).
Lembre-se: As relações entre Q, H, P e η designa-se por curva características
das bombas. Pode-se dizer que as curvas são o retrato de funcionamento nas mais
diversas situações.
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Curva I - curva de H (AMT) em função da vazão (Q);
Curva II - curva da potencia (P) em função da vazão (Q);
Curva III - curva do rendimento (η) em função da vazão (Q);
obs: estas três curvas são obtidas em bancadas de ensaio dos fabricantes.
Alem destas três curvas características da bomba existem também as curvas
características da instalação.
Curva IV - curva da perda de carga total (H) em função da vazão (Q);
Curva V - curva H1 = y + H em função da vazão (Q), onde y é a altura
geométrica total.
ALTERAÇÕES NAS CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS
CONCEITO: Como vimos anteriormente, as curvas características apresentam
mudanças sensíveis de comportamento em função de alterações na bomba e no
sistema, é importante saber quais os fatores que a influenciam, e quais
suas conseqüências. Assim sendo, temos:
A. Alteração da rotação da bomba:
Vazão: Varia diretamente proporcional a variação da rotação:
Pressão: Varia proporcional ao quadrado da variação da rotação:
Potência: Varia proporcional ao cubo da variação da rotação:
Onde:
H, IV
η,,III
H, I
H1,V
P, II
QA
η max IV
PA
Ponto funcion. bomba HA
ηA y
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Qo = Vazão inicial, em m3/h; Q1 = Vazão final, em m3/h;
Ho = Pressão inicial, em mca; H1 = Pressão final, em mca;
No = Potência inicial, em cv; N1 = Potência final, em cv;
no = Rotação inicial, em rpm; n1 = Rotação final, em rpm;
TABELA 3:
EXEMPLO: Uma bomba que funciona a 3.500 rpm, fornecendo Q1 = 20m³/h, H1 =
60 mca, N1 = 15 cv, precisará operar em 2.750 rpm, que resultados podemos
esperar?
Variação da rotação: N1 - No = 3.500 -2750 = 750 rpm
É o mesmo percentual de variação da rotação pois são proporcionais.
Portanto, os valores corrigidos funcionando com 2.750 rpm, são
B. Alteração do diâmetro do(s) rotor(es): Assim como a alteração da
rotação, a alteração do diâmetro dos rotores condiciona a uma certa
proporcionalidade com Q, H e N, cujas expressões são:
B.1 Vazão: Varia diretamente proporcional ao diâmetro do rotor:
B.2 Altura: Varia proporcional ao quadrado do diâmetro do rotor:
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B.3 Potência: Varia proporcional ao cubo do diâmetro do rotor:
Onde: Do = Diâmetro original do rotor e D1 = Diâmetro alterado, ambos em
mm. Deve-se considerar também, que há certos limites para diminuição dos
diâmetros dos rotores, em função principalmente da brutal queda de
rendimento que pode ocorrer nestes casos. De modo geral os cortes
(usinagem) em rotores podem chegar a, no máximo, 20% do seu diâmetro
original;
C. Mudança do tipo de fluído bombeado: Tendo em vista que a maior parte
das bombas são projetadas exclusivamente para trabalho com águas limpas,
ou águas servidas de chuvas e rios, não nos deteremos neste item visto
que qualquer aplicação fora das especificações de fábrica são de
exclusiva responsabilidade do usuário. A exceção dos modelos BCA-43, para
uso com proporção de 70% água e 30% chorume, BCS 350 para sólidos em
suspensão de no máximo 20% em volume oriundos de esgotos sanitários e BC-
30 para algumas soluções químicas sob prévia consulta, a fábrica não
dispõe de testes com os chamados fluídos não newtonianos (não uniformes)
tais como, pastas, lodos e similares viscosos. No entanto, convém
salientar que, qualquer bomba centrífuga cuja aplicação básica seja para
água limpa, ao bombear fluídos viscosos apresenta um aumento do seu BHP,
e redução da AMT e da vazão indicadas originalmente nas curvas
características;
C. Tempo de vida útil da bomba: Com o decorrer do uso, mesmo que em
condições normais, é natural que ocorra um desgaste interno dos
componentes da bomba, principalmente quando não existe um programa de
manutenção preventiva para a mesma, ou este é deficiente. O desgaste de
buchas, rotores, eixo e alojamento de selos mecânicos ou gaxetas fazem
aumentar as fugas internas do fluído, tornando o rendimento cada vez
menor. Quanto menor a bomba, menor será o seu rendimento após algum tempo
de uso sem manutenção, pois a rugosidade, folgas e imperfeições que
aparecem são relativamente maiores e mais danosas que para bombas de
maior porte. Portanto, não se deve esperar o desempenho indicado nas
curvas características do fabricante, sem antes certificar-se do estado
de conservação de uma bomba que já possua um bom tempo de uso.
MÉTODO BÁSICO PARA SELEÇÃO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA
CRITÉRIOS: Para calcular-se com segurança a bomba centrífuga adequada a
um determinado sistema de abastecimento de água, são necessários alguns
dados técnicos fundamentais do local da instalação e das necessidades do
projeto:
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C. Distância em metros entre a captação, ou reservatório inferior, e o
ponto de uso final, ou reservatório superior, isto é, caminho a ser
seguido pela tubulação, ou, se já estiver instalada, o seu comprimento em
metros lineares, e os tipos e quantidades de conexões e acessórios
existentes;
D. Diâmetro (Pol ou mm) e material (PVC ou metal), das tubulações de
sucção e recalque, caso já forem existentes;
E. Tipo de fonte de captação e vazão disponível na mesma, em m³/h;
F. Vazão requerida, em m³/h;
G. Capacidade máxima de energia disponível para o motor, em cv, e tipo de
ligação (monofásico ou trifásico ) quando tratar-se de motores elétricos;
H. Altitude do local em relação ao mar;
I. Temperatura máxima e tipo de água (rio, poço, chuva).
EXEMPLO: Baseados nestas informações podemos calcular a bomba necessária
para a seguinte situação, conforme o esquema típico de instalação
apresentado anteriormente:
A. CÁLCULO DAS PERDAS DE CARGA NO RECALQUE: Usando-se a Tabela 6 baseada
nos critérios de velocidade de escoamento, verificamos que o tubo de Ø
mais adequado para 35 m³/h é o de 3", por apresentar menor perda de carga
com velocidade de escoamento compatível (melhor relação custo x
beneficio).
Pela Tabela abaixo, vemos que os comprimentos equivalentes (por
segurança, usamos conexões de metal) são:
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 107
B. CÁLCULO DAS PERDAS DE CARGA NA SUCÇÃO: Analogamente, temos que, se a
tubulação de recalque é de Ø 3", a sucção, pelo usual, será de Ø = 4",
sendo suas perdas, pela Tabela, iguais a:
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Tabela 6: Perdas carga(hf) em tubulações plásticas, em metros por cada
100 metros (%), de tubos novos.
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 109
C. CÁLCULO DA ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT)
AMT = A.S. + A.R. + hfr + hfs AMT = 2,5 + 28 + 10,93 + 0,366 :
Logo: AMT = 41,80 42 mca
D. CÁLCULO DO NPSHd
Sabendo-se que:
NPSHd = Ho - Hv - h - hs
(*) Geralmente, usa-se válvula de pé com crivo um diâmetro comercial
acima ao do mangote. Para este exemplo, por tratar-se de 4",deve-se
observar o peso da mesma.
F. CÁLCULO DA POTÊNCIA NECESSÁRIA AO MOTOR
Sabendo-se que:
Onde:
Q = 35 m³/h;
H = 42,00 mca;
h = 60 % (rendimento arbitrado)
Então:
F. DEFINIÇÃO DA MOTOBOMBA CENTRÍFUGA: Consultando-se as tabelas de
seleção e curvas características dos modelos de bombas, verificamos que o
modelo selecionado, denominado genericamente de Ex.2, apresenta as
seguintes especificações:
OBS.: Deve-se sempre analisar uma segunda opção de bomba, para comparar-
se os dados, optando-se pela melhor relação custo benefício.
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 113
APÊNDICE A: ANÁLISE DIMENSIONAL E SISTEMAS DE UNIDADES
1 INTRODUÇÃO
Em qualquer estudo de um determinado fenômeno, pesquisa ou trabalho os
resultados que envolvem números relacionados com alguma grandeza física,
provenientes de uma operação algébrica relacionada a uma equação matemática,
normalmente são apresentados da seguinte forma:
onde a dimensão será representada por uma unidade pertencente a um sistema coerente de unidades.
Há casos em que este resultado, somente é representado por um valor numérico relacionado a
uma grandeza física, são os chamados números adimensionais, sendo assim representados:
Para melhor esclarecer o que foi exposto, apresenta-se o seguinte problema: uma força com
intensidade igual a 100 N está aplicada perpendicularmente em uma área com 0,5 m2 e deseja-se
conhecer a pressão exercida sobre a área.
O fenômeno físico é representado pela seguinte equação matemática: A
Fp
O valor numérico provém de uma operação algébrica de divisão de 100 por 0,5, resultando
igual 200 e a dimensão é N/m2. Poder-se-ia ter uma força igual a 100 kgf aplicada em uma área igual
a 0,5 cm2, cujo valor numérico também seria igual a 200, mas com uma outra dimensão, ou seja,
kgf/cm2, obtendo-se, portanto, um outro resultado para o mesmo fenômeno físico.
Um outro problema que pode ser apresentado, é o estudo do comportamento de um fluido
durante o escoamento no interior de um conduto, cujo parâmetro é o Adimensional ou Número de
Reynolds cuja equação matemática é
vDRe .
As operações algébricas resultam em um número sem dimensão, por exemplo, 2400, que
exprime o comportamento do fluido para uma determinada condição de escoamento. Portanto, os
resultados que não apresentam dimensão são chamados de adimensionais ou números adimensionais.
Assim pretende-se demonstrar a importância da dimensão, ou melhor, da unidade na
apresentação dos resultados dos problemas.
GRANDEZA = VALOR NUMÉRICO DIMENSÃO
GRANDEZA = VALOR NUMÉRICO
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1.1 Análise dimensional
1.1.1 Equação dimensional
Pode-se dizer que em qualquer campo de estudo existem as grandezas chamadas de
fundamentais e as grandezas derivadas. Na Mecânica têm-se cinco grandezas, em princípio,
chamadas de fundamentais.
Tabela1: Grandezas Fundamentais da Mecânica
GRANDEZA SÍMBOLO
Força F
Massa M
Comprimento L
Tempo T
Temperatura θ
Estas cinco grandezas geram dois grupos, chamados de Base Completa da Mecânica, assim formados:
Observa-se que as grandezas comprimento, tempo e temperatura são comuns nas duas Bases
Completas da Mecânica. O que difere é a presença da força em uma das bases e da massa, na outra.
Assim pode-se concluir que a massa na base FLTθ é uma grandeza derivada, enquanto que a força é
assim considerada na base MLTθ.
As grandezas derivadas serão então escritas em função das grandezas fundamentais de uma das Bases
Completas da Mecânica, através de uma equação chamada de equação dimensional que é apresentada na forma de
produto de potências. Assim, a equação dimensional de uma grandeza derivada qualquer “K” será apresentada por:
onde os expoentes podem ser números inteiros ou fracionários, positivos ou negativos.
dcba TLF]K[
wzyx TLM]K[
Base FORÇA – COMPRIMENTO - TEMPO – TEMPERATURA
Base MASSA – COMPRIMENTO – TEMPO – TEMPERATURA Base MLTθ
ou
Base FLTθ
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Os adimensionais ou números adimensionais independem das grandezas fundamentais das
Bases Completas da Mecânica, isto é, os expoentes destas grandezas são nulos.
Portanto: 0000 TLF]K[ ou 0000 TLM]K[
Para que se possa escrever a equação dimensional de uma determinada grandeza derivada,
deve-se conhecer a definição da grandeza ou a sua equação matemática.
Tabela 2: Exemplos de equações dimensionais
NOME DEFINIÇÃO SÍMBOLO EQUAÇÃO
DIMENSIONAL
Área Comprimento ao quadrado A [A] = L2
Volume Comprimento ao cubo V [V] = L3
Velocidade Espaço percorrido por unidade de tempo v [v] = LT-1
Aceleração Velocidade por unidade de tempo a [a] = LT-2
Massa específica Quociente entre a massa e o volume ρ [ρ] = ML-3
Trabalho Energia necessária para deslocar um corpo W [W] = FL
Sendo a força uma grandeza fundamental na base FLTθ e derivada na MLTθ e com a massa ocorre o inverso, qualquer grandeza pode ter uma equação dimensional escrita em função das grandezas fundamentais das bases. A tabela 3 apresenta o exemplo descrito. Tabela 3: Equações dimensionais da força e da massa
NOME SÍMBOLO EQUAÇÃO EQUAÇÃO DIMENSIONAL
Base FLTθ Base MLTθ
Força F F = m.a [F] = F [F] = MLT-2
Massa m F = m.a m = F / a [m] = FL-1
T2 [m] = M
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1.2 Sistemas de unidades
Ainda hoje, em algumas áreas do conhecimento, empregam-se os sistemas coerentes de
unidades conforme apresentado na tabela 4.
Tabela 4: Sistemas coerentes de unidades
SISTEMA REPRESENTAÇÃO
Sistema MKS Técnico MK*S
Sistema MKS Giorgi MKS
Sistema CGS CGS
Sistema Inglês ou Britânico SB
Sistema Internacional de Unidades SI
Ressalta-se que o sistema empregado no desenvolvimento deste trabalho é o Sistema
Internacional de Unidades (SI), o qual será tratado com mais detalhe oportunamente.
Por definição, um sistema coerente de unidades define as unidades das grandezas fundamentais
para o qual ele foi criado.
Tabela 5: Quadro geral de unidades
SISTEMAS DE
UNIDADES
DEFINIDO
PARA A BASE
UNIDADES
F M L T
MK*S
FLT kgf ou kg* utm m s ºC
MKS MLT N kg m s ºC
CGS MLT dyn g cm s ºC
SB FLT lbf ou lb* slug ft s ºF
MLT Pd lb ft s ºF
Tomando-se como exemplo o sistema MK*S, que foi criado para atender a Base Completa da
Mecânica FLT, a unidade de massa é uma unidade derivada, sendo escrita em função das unidades
fundamentais, recebendo o nome de unidade técnica de massa. No quadro abaixo, são apresentadas as
unidades derivadas para força e massa relativas aos demais sistemas coerentes de unidades.
Tabela 6: Nomenclatura das Unidades
SISTEMA EQUAÇÃO DIMENSIONAL UNIDADES DERIVADAS NOMENCLATURA
MK*S [m] = FL-1
T2 un utm
s
m.kgfm unidade técnica de massa
MKS [F] = MLT-2
un Ns
m.kgF
2 newton
CGS [F] = MLT-2
un dyns
cm.gF
2 dina
SB {
[m] = FL-1
T2 un slug
s
ft.lbfm
[F] = MLT-2
un Pds
ft.lbF
2 poundal
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2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES - SI
A globalização chegou para ficar. Com isso os países são obrigados a se organizarem em blocos
econômicos, como Mercosul, Comunidade Européia, Alca, etc, levando-os a adoção de um sistema
único de unidades, como forma de agilizar o mercado exportador. A integração de um mesmo sistema
de medida possibilita a padronização de produtos, determina a qualidade na produção e,
conseqüentemente, maiores oportunidades de negócios.
Em 1960, durante a 11ª. Conferência Geral de Pesos e Medidas, o Brasil apoiou à adoção do
Sistema Internacional de Unidades – SI – por entender que este sistema era mais racional, coerente e
prático e com grande possibilidade de ser utilizado mundialmente. Em 27 de junho de 1963, o Brasil
formalizou a adesão, através do Decreto Legislativo nº. 57 e em 23 de agosto de 1988, o INMETRO,
através da Resolução 12 estabelece, em todo Território Nacional, o emprego do Sistema Internacional
de Unidades – SI – de modo geral, relativo ao aspecto metrológico de quaisquer atividades
comerciais, agropecuárias, industriais, técnicas ou científicas.
2.1 Histórico
Foi em 1948 que a 9ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), por sua Resolução 6,
encarregou o Comitê Internacional de Pesos e Medidas (CIPM), de:
- estudar o estabelecimento de uma regulamentação completa das unidades de medida;
- proceder, com esse intuito, a um inquérito oficial sobre a opinião dos meios científicos,
técnicos e pedagógicos de todos os países;
- emitir recomendações atinentes ao estabelecimento de um sistema prático de unidades de
medidas, susceptível de ser adotado por todos os países signatários da Convenção do Metro;
A mesma Conferência Geral adotou também a Resolução 7 que fixou princípios gerais para os
símbolos de unidades e forneceu uma lista de nomes especiais de unidades.
A 10ª CGPM (1954) por meio de sua Resolução 6 e a 14ª CGPM (1971) em sua Resolução 3,
decidiram adotar, como unidades de base deste sistema prático de unidades, as unidades das sete
grandezas seguintes: comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente elétrica, temperatura
termodinâmica, quantidade de matéria, e intensidade luminosa apresentadas na tabela 7.
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A 11ª CGPM (1960), por intermédio de sua Resolução 12, adotou finalmente o nome de
Sistema Internacional de Unidades, com abreviação SI, para este sistema prático de unidades de
medida e institui regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares e
além de outras indicações, estabelecendo assim uma regulamentação de conjunto para as unidades de
medida.
2.1 INMETRO – Resolução nº. 12/1988
O Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO
usando de suas atribuições que lhe confere o artigo 3º da Lei nº. 5966, de 11 de dezembro de 1973,
através de sua 20ª. Sessão Ordinária realizada em Brasília, em 23 de agosto de 1988.
Considerando que as unidades de medida legais no país são aquelas do Sistema Internacional de
Unidades – SI, adotado pelo Conferencia Geral de Pesos e Medidas, cuja adesão pelo Brasil foi
formalizada através do Decreto Legislativo nº. 57, de 27 de junho de 1963.
Considerando que a fim de assegurar em todo Território Nacional a indispensável uniformidade
na expressão quantitativa e metrológica das grandezas, cabe privativamente à União, conforme
estabelecido na Constituição Federal, dispor sobre as unidades de medida, o seu emprego, e, de modo
geral, ao aspecto metrológico de quaisquer atividades comerciais, agropecuárias, industriais, técnicas
ou científicas, resolve:
1. Adotar o Quadro Geral de Unidades de Medida, em anexo, no qual constarão os nomes, as
definições, os símbolos das unidades e os prefixos SI.
2. Admitir o emprego de certas unidades fora do SI, de grandezas e coeficientes sem dimensões
físicas que sejam julgados indispensáveis para determinadas medições.
3. Estabelecer que o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial –
INMETRO, seja encarregado de propor as modificações que se tornarem necessárias ao Quadro
anexo, de modo a resolver casos omissos, mantê-lo atualizado e dirimir dúvidas que possam surgir na
interpretação e na aplicação das unidades legais.
4. Esta Resolução entrará em vigor na data de sua publicação.
Brasília, 12 de outubro de 1988. Roberto Cardoso Alves
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 119
2.2.1 Unidades de base, suplementares e derivadas
O Sistema Internacional de Unidades, ratificado pela 11ª CGPM / 1960 e atualizado até a 18ª
CGPM / 1987, compreende sete unidades de base e duas unidades suplementares, apresentadas nas
tabelas 7 e 8 respectivamente. As unidades derivadas são deduzidas direta ou indiretamente das
unidades de base e suplementares e os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades acima, cujos
nomes são formados pelo emprego dos prefixos SI.
Tabela 7: Unidades de base
Tabela 8: Unidades suplementares
As outras unidades admitidas, fora do SI, são de duas espécies:
a) unidades aceitas para uso com o SI, isoladamente ou combinadas entre si e/ou
com unidades do SI, sem restrição do prazo:
GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO DEFINIÇÃO
comprimento metro m
17ª CGPM (1983) É o comprimento do trajeto percorrido
pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1 / 299
792 458 de segundo.
massa quilograma kg 3ª CGPM (1901) É igual à massa do protótipo
internacional do quilograma em platina iridiada.
tempo segundo s
13ª CGPM (1967) É a duração de 9 192 631 770 períodos
de radiação correspondente à transição entre dois níveis
hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.
corrente elétrica ampère A
9ª CGPM (1948) É a intensidade de uma corrente elétrica
constante que se mantida em dois condutores paralelos,
retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular
desprezível e situados à distância de 1 m entre si, no
vácuo, produz entre estes condutores uma força igual a 2 x
10-7
N/m.
temperatura
termodinâmica kelvin K
13ª CGPM (1967) É a fração 1 / 273,16 da temperatura
termodinâmica do ponto tríplice da água.
quantidade de
matéria mol mol
14ª CGPM (1971) É a quantidade de matéria de um
sistema que contém tantas entidades elementares quanto
são os átomos contidos em 0,012 kg de carbono 12.
intensidade
luminosa candela cd
16ª CGPM (1969) É a intensidade luminosa numa dada
direção de uma fonte que emite uma radiação
monocromática de freqüência 540 x 1012
Hz e cuja
intensidade energética nessa direção é 1 / 683 W/sr.
UNIDADE SÍMBOLO GRANDEZA
radiano rad ângulo plano
esterradiano sr ângulo sólido
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Tabela 9: Unidades sem restrição de prazo para o seu uso
GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO DEFINIÇÃO
comprimento
unidade
astronômica UA Distância média da Terra ao Sol
parsec pc Comprimento do raio de um círculo no qual o ângulo
central de 1 s subtende uma corda igual a 1 UA
volume litro l ou L Volume igual a 1 decímetro cúbico
ângulo plano
grau º Ângulo plano igual a fração 1/360 do ângulo central de
um círculo completo
minuto „ Ângulo plano igual a fração 1/60 de 1º
segundo “ Ângulo plano igual a fração 1/60 de 1‟
intervalo de
freqüências oitava Intervalo de duas freqüências cuja relação é igual a 2
massa
unidade (unificada
de massa atômica) u
Massa igual à fração 1/12 da massa de um átomo de
carbono 12
tonelada t Massa igual a 1000 kg
tempo
minuto min Intervalo de tempo igual a 60 s
hora h Intervalo de tempo igual a 60 min
dia d Intervalo de tempo igual a 24 h
velocidade
angular rotação por minuto rpm
Velocidade angular de um móvel, que em movimento de
rotação uniforme a partir de uma posição inicial, retorna
à mesma posição após 1 min
energia elétron-volt eV Energia adquirida por um elétron ao atravessar, no
vácuo, uma diferença de potencial igual a 1 V
nível de potência decibel dB
Divisão de uma escala logarítmica cujos valores são 10
vezes o logarítmico decimal da relação entre o valor de
potência considerado e um valor de potência
especificado, tomado como referência e expresso na
mesma unidade
decremento
logarítmico neper Np
Divisão de uma escala logarítmica cujos valores são os
logarítmicos neperianos da relação entre dois valores de
tensões elétricas, ou entre dois valores de correntes
elétricas
a) unidades admitidas temporariamente:
Tabela 10: Unidades com uso temporário
UNIDADE SÍMBOLO VALOR EM UNIDADE
SI
angstrom o
A 10-10
m
atmosfera atm 101.325 Pa
bar bar 105 Pa
bam b 10-28
m2
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caloria cal 4,1868 J
cavalo-vapor cv 735,5 W
curie Ci 3,7 x 1010
Bq
gal Gal 0,01 m/s2
gauss Gs 10-4
T
hectare ha 104 m
2
quilograma-força kgf 9,80665 N
milímetro de mercúrio mmHg 133,322 Pa
milha marítima 1852 m
nó (1852/3600) m/s
quilate 2 x 10-1
kg
rad 0,01 Gy
roentgen R 2,58 x 10-4
C/kg
rem rem 10-2
Sv
Observação: Fica abolido o emprego das unidades CGS, exceto as que estão compreendidas no
SI e as mencionadas na tabela anterior.
2.2.2 Grafia dos nomes das unidades
1. Quando escritos por extenso, os nomes das unidades começam por letra minúscula, mesmo
quando têm o nome de um cientista, por exemplo, ampère, kelvin, newton, etc, exceto o grau Celsius.
Assim, somente são escritos com letras maiúsculas os símbolos das unidades relativos a nomes
próprios, por exemplo, N (newton), K (kelvin), Pa (pascal), W (watt),etc.
2. Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser escrita por
extenso ou representada pelo seu símbolo, por exemplo, quilovolts por milímetro ou kV/mm, não
sendo admitidas combinações de partes escritas por extenso com partes expressas por símbolos.
3. Quando os nomes das unidades são escritos ou pronunciados por extenso, a formação do plural
obedece as seguintes regras básicas:
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a) os prefixos SI são invariáveis;
b) os nomes das unidades recebem a letra “s” no final de cada palavra, quando:
▪ são palavras simples, por exemplo, ampères, candelas, kelvins, joules, volts, newtons, etc.;
▪ são palavras compostas em que o elemento complementar de um nome de unidade não é ligado
a este por hífen, por exemplo, metros quadrados, unidades astronômicas, etc.;
▪ são termos compostos por multiplicação, em que os componentes podem variar
independentemente um do outro, por exemplo, ampères-horas, newtons-metros, pascals-segundos,
watts-horas, etc.;
b) os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem a letra “s” no final, quando:
▪ terminam pelas letras s, x ou z, por exemplo, siemens, lux, hertz, etc.;
▪ correspondem ao denominador de unidades compostas por divisão, por exemplo, quilômetros
por hora, lumens por watt, watt por esterradiano, etc.;
▪ em palavras compostas, são elementos complementares de nomes de unidades e ligados a estes
por hífen ou preposição, por exemplo, anos-luz, elétron-volts, quilogramas-força, etc..
2.2.3.Grafia dos símbolos das unidades
A grafia dos símbolos das unidades obedece as seguintes regras básicas:
a) os símbolos das unidades são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, seja
ponto de abreviatura, seja “s” de plural, letras ou índices, por exemplo, o símbolo de watt é sempre
W, qualquer que seja o tipo de potência a que se refira: mecânica, elétrica, térmica, etc.;
b) os prefixos SI nunca são justapostos no mesmo símbolo, por exemplo, unidades como GWh,
nm, pF, etc.; não devem ser substituídas por expressões em que se justaponham, respectivamente, os
prefixos mega e quilo, mili e micro, micro e micro, etc.;
c) os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou divisão, por
exemplo, kN.cm, k.mA, kV/mm, M.cm, kV/.s, etc.;
d) os símbolos de uma mesma unidade podem coexistir num símbolo composto por divisão, por
exemplo, .mm2/m, kWh/h, etc.;
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e) o símbolo é escrito no mesmo alinhamento do número a que se refere e não como expoente ou
índice. São exceções os símbolos das unidades não SI de ângulo plano (º „ “), os expoentes dos
símbolos que têm expoente, o sinal º do símbolo de grau Celsius e os símbolos que têm divisão
indicada por traço de fração horizontal;
f) o símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser formado pela justaposição dos
símbolos componentes e que não cause ambigüidade (VA, kWh, etc.) ou mediante a colocação de um
ponto entre os símbolos componentes, na base da linha ou a meia altura (N.m, m.s-1
, etc.);
g) o símbolo de uma unidade que contém divisão pode ser formado por uma qualquer das três
maneiras exemplificadas a seguir: W/(sr.m2), W.sr
-1.m
-2,
2m.sr
W, não devendo ser empregada esta
última forma quando o símbolo, escrito em duas linhas diferentes puder causar confusão.
Tabela 12: Relações entre algumas unidades
UNIDADE APROXIMADAMENTE
IGUAL A
VALOR
USUAL OBSERVAÇÕES
1 kgf 9,80665 N 10 N
1 Pd 0,138 N
13823 dyn Pd poundal
1 dyn 10
-5 N dyn dina
0,102 x10-5
kgf 10-6
kgf
1 utm 9,80665 kg 10 kg utm unidade técnica de massa
1 slug 14,59 kg
32,17 lb
1 bar 10
5 Pa
1,02 kgf/cm2
1 Pa 1 N/m2 N/m
2 Pa pascal
1 Nm 1 J
1 Nm/s 1 J/s J/s W
1 ft 0,3048 m
12 in in inch polegada
1 in 0,0254 m
1 cv 75 kgf.m/s
cv cavalo-vapor 735,5 W 736 W
1 hp 549,7 lbf.ft/s 550 lbf.ft/s
hp horse-power 745,3 W 745 W
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Tabela 13: Unidades Geométricas e Mecânicas do SI
GRANDEZA NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO
área metro quadrado m2
Área de um quadrado cujo lado te 1 metro de comprimento
volume metro cúbico m3
Volume de um cubo cuja aresta tem 1 metro de comprimento
freqüência hertz Hz
Duração de 9.192.931.770 períodos da radiação correspondente
à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental
do átomos de césio 133
velocidade metro por
segundo m/s
Velocidade de um móvel que em movimento uniforme percorre
1 metro em 1 segundo
velocidade angular radiano por
segundo rad/s
Velocidade angular de um móvel que em movimento de
rotação uniforme descreve 1 radiano em 1 segundo
aceleração
metro por
segundo, por
segundo
m/s2
Aceleração de um móvel que em movimento retilíneo
uniformemente variado, cuja velocidade varia de 1 metro por
segundo em 1 segundo
aceleração angular
radiano por
segundo, por
segundo
rad/s2
Aceleração angular de um móvel de movimento em rotação
uniformemente variado, cuja velocidade angular varia de 1
radiano por segundo em 1 segundo
massa específica quilograma por
metro cúbico kg/m
3 Massa específica de um corpo homogêneo em que um volume
igual a 1 metro cúbico contém massa igual a 1 quilograma
vazão metro cúbico por
segundo m
3/s
Vazão de um fluido que, em regime permanente através de uma
superfície determinada, escoa o volume de 1 metro cúbico do
fluido em 1 segundo
fluxo de massa quilograma por
segundo kg/s
Fluxo de massa de um material que, em regime permanente
através de uma superfície determinada, escoa a massa de 1
quilograma do material em 1 segundo
momento de inércia quilograma-
metro quadrado kg.m
2 Momento de inércia, é o produto da massa de uma partícula
pelo quadrado da distância desta a um eixo.
momento linear
quilograma-
metro por
segundo
kg.m/s Momento linear de um corpo de massa igual a 1 quilograma
que se desloca com velocidade de 1 metro por segundo
momento angular
quilograma-
metro quadrado
por segundo
kg.m2/s
Momento angular em relação a um eixo, de um corpo que gira
em torno desse eixo com velocidade angular uniforme de 1
radiano por segundo, e cujo momento de inércia em relação ao
mesmo eixo, é de 1 quilograma-metro quadrado
momento de uma
força, torque newton-metro N.m
Momento de uma força de 1 newton em relação a um ponto
distante 1 metro de sua linha de ação
pressão pascal Pa
Pressão exercida por uma força de 1 newton, uniformemente
distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de
área perpendicular a direção da força
viscosidade
dinâmica pascal-segundo Pa.s
Viscosidade dinâmica de um fluido que se escoa de forma tal
que sua velocidade varia de 1 metro por segundo, por metro de
afastamento na direção perpendicular ao plano de
deslizamento, quando a tensão tangencial ao longo desse plano
é constante e igual a 1 pascal
energia, trabalho,
quantidade de calor joule J
Trabalho realizado por uma força constante de 1 newton que
desloca seu ponto aplicação de 1 metro na sua direção
potência, fluxo de
energia watt W
Potência desenvolvida quando se realiza, de maneira contínua e
uniforme, o trabalho de 1 joule em 1 segundo
densidade de fluxo
de energia
watt por metro
quadrado W/m
2 Densidade de um fluxo de energia de 1 watt, através de uma
superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular a
direção de propagação da energia
Fonte: Quadro Geral de Unidades de Medida
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 125
Tabela 14: Unidades Elétricas e Magnéticas do SI
GRANDEZA NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO
capacitância farad F Capacitância de um elemento passivo de circuito entre os terminais
onde a tensão elétrica varia uniformemente a razão de 1 volt por
segundo, quando percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère
carga elétrica
(quantidade de
eletricidade)
coulomb C Carga elétrica que atravessa em 1 segundo, uma seção transversal de
um condutor percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère
condutância siemens S Condutância de um elemento passivo de circuito cuja resistência
elétrica é de 1 ohm
condutividade siemens por
metro S/m
Condutividade de um material homogêneo e isótropo cuja
resistividade é de 1 ohm-metro
fluxo magnético weber Wb Fluxo magnético uniforme através de uma superfície plana de área
igual a 1 metro quadrado, perpendicular à direção de uma indução
magnética uniforme de 1 tesla
gradiente de
potencial,
intensidade de
campo elétrico
volt por metro V/m
Gradiente de potencial uniforme que se verifica em um meio
homogêneo e isótropo, quando é de 1 volt a diferença de potencial
entre dois planos equipotenciais situados a 1 metro de distância um do
outro
indução magnética tesla T
Indução magnética uniforme que produz uma força constante de 1
newton por metro de um condutor retilíneo situado no vácuo e
percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère, sendo
perpendiculares entre si as direções da indução magnética, da força e
da corrente
indutância henry H Indutância de um elemento passivo de circuito entre os terminais onde
a tensão elétrica constante de 1 volt quando percorrido por uma
corrente que varia uniformemente à razão de 1 ampère por segundo
intensidade de
campo magnético
ampère por
metro A/m
Intensidade de um campo magnético uniforme, criado por uma
corrente invariável de 1 ampère, que percorre um condutor retilíneo,
de comprimento infinito e de área de seção transversal desprezível, em
qualquer ponto de uma superfície cilíndrica de diretriz circular com 1
metro de circunferência e que tem como eixo o referido condutor
potência aparente volt-ampère VA Potência aparente de um circuito percorrido por uma corrente
alternada senoidal com valor eficaz de 1 ampère, sob uma tensão
elétrica com valor eficaz de 1 volt
potência aparente volt-ampère VA Potência aparente de um circuito percorrido por uma corrente
alternada senoidal com valor eficaz de 1 ampère, sob uma tensão
elétrica com valor eficaz de 1 volt
potência reativa var var Potência reativa de um circuito percorrido por uma corrente alternada
senoidal com valor eficaz de 1 ampère, sob uma tensão elétrica com
valor eficaz de 1 volt, defasada de /2 radianos em relação à corrente
relutância ampère por
weber A/Wb
Relutância de um elemento de circuito magnético, no qual uma força
eletromagnética invariável de 1 ampère produz um fluxo magnético de
1 weber
resistência elétrica ohm Resistência elétrica de um elemento passivo de circuito que é
percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère, quando uma
tensão elétrica constante de 1 volt é aplicada aos seus terminais
resistividade ohm-metro .m Resistividade de um material homogêneo e isótropo, do qual um cubo
com 1 metro de aresta apresenta uma resistência elétrica de 1 ohm
entre faces opostas
tensão elétrica,
diferença de
potencial, força
eletromotriz
volt V Tensão elétrica entre os terminais de um elemento passivo de circuito,
que dissipa a potência de 1 watt quando percorrido por uma corrente
invariável de 1 ampère
Fonte: Quadro Geral de Unidades de Medida
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 126
Tabela 15: Unidades Térmicas
GRANDEZA NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO
calor específico
joule por
quilograma e
por kelvin
J/kg.K
Calor específico de uma substância cuja temperatura aumenta
de 1 kelvin quando se lhe adiciona 1 joule de quantidade de
calor por quilograma de sua massa.
capacidade térmica joule por kelvin J/K
Capacidade térmica de um sistema homogêneo e isótropo, cuja
temperatura aumenta de 1 kelvin quando se lhe adiciona 1 joule
de quantidade de calor.
condutividade
térmica
watt por metro e
por kelvin W/m.K
Condutividade térmica de um material homogêneo e isótropo,
no qual se verifica um gradiente de temperatura uniforme de 1
kelvin por metro, quando existe um fluxo de calor constante
com densidade de 1 watt por metro quadrado.
gradiente de
temperatura kelvin por metro K/m
Gradiente de temperatura uniforme que se verifica em um meio
homogêneo e isótropo, quando é de 1 kelvin a diferença de
temperatura entre dois planos isotérmicos situados à distância
de 1 metro um do outro.
temperatura Celsius grau Celsius °C Intervalo de temperatura unitário igual a 1 kelvin, numa escala
de temperaturas em que o ponto 0 coincide com 273,15 kelvins.
Fonte: Quadro Geral de Unidades de Medida
Tabela 16:Unidades Ópticas
GRANDEZA NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO
convergência dioptria di Convergência de um sistema óptico com distância focal de 1
metro, no meio considerado.
eficiência luminosa lúmen por watt lm/W Eficiência luminosa de uma fonte que consome 1 watt para
cada lúmen emitido.
exitância luminosa lúmen por
metro quadrado lm/m
2
Exitância luminosa de uma superfície plana de 1 metro
quadrado de área, que emite uniformemente um fluxo
luminoso de 1 lúmen.
exposição luminosa,
excitação luminosa lux-segundo lx.s
Exposição (excitação) luminosa de uma superfície com
iluminamento de 1 lux, durante 1 segundo.
fluxo luminoso lúmen lm
Fluxo luminoso emitido por uma fonte puntiforme e
invariável de 1 candela, de mesmo valor em todas as direções
, no interior de um ângulo sólido de 1 esterradiano.
iluminamento lux lx
Iluminamento de uma superfície plana de 1 metro quadrado
de área, sobre a qual incide perpendicularmente um fluxo
luminoso de 1 lúmen, uniformemente distribuído.
intensidade energética watt por
esterradiano W/sr
Intensidade energética, de mesmo valor em todas as direções,
de uma fonte que emite um fluxo de energia uniforme de 1
watt, no interior de um ângulo sólido de 1 esterradiano.
luminância candela por
metro quadrado cd/m
2
Luminância de uma fonte de 1 metro quadrado de área e com
intensidade luminosa de 1 candela.
luminância energética
watt por
esterradiano e
por metro
quadrado
W/sr.m2
Luminância energética de uma direção em uma direção
determinada, uma fonte superficial de intensidade energética
igual a 1 watt pr esterradiano, por metro quadrado da sua área
projetada sobre um plano perpendicular à direção
considerada.
número de onda 1 por metro m-1
Número de onda de uma radiação monocromática cujo
comprimento de onda é igual a 1 metro.
Fonte: Quadro Geral de Unidades de Medida
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 127
APÊNDICE B: ALFABETO GREGO
MINÚSCULAS MAIÚSCULAS NOME VALORES
alfa A
beta B
delta D
épsilon E
fi F
gama G
eta Ê
iota J
capa K
lambda L
mü M
nü N
ômicron O
pi P
, teta T
rô R
, sigma S
tau T
úpsilon U
omega Ô
ksi X
dzeta Z
psi PS
qui QU
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 129
REFERENCIAS
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