76123423 Kunci Jawaban Silabus Rpp Mat Xia Program Ipa 2011
109
-
Upload
madee-widya -
Category
Documents
-
view
954 -
download
51
Transcript of 76123423 Kunci Jawaban Silabus Rpp Mat Xia Program Ipa 2011
1Matematika Kelas XI Program IPA
Sila
bus
Bab
I S
tatis
tika
Sek
olah
:. .
. .
Kel
as/S
emes
ter
:X
I/1:
Mat
emat
ika
Sta
ndar
Kom
pete
nsi
:1.
Men
ggun
akan
atu
ran
stat
istik
a, k
aida
h pe
ncac
ahan
, da
n si
fat-s
ifat
pelu
ang
dala
m p
emec
ahan
mas
alah
.
1.1
Mem
baca
dat
ad
ala
m
be
ntu
kta
bel
dan
dia-
gra
m
ba
tan
g,
garis
, lin
gkar
an,
dan
ogiv
e.
Sta
tistik
a–
Men
jela
skan
pen
gerti
an is
tilah
-is
tilah
dal
am s
tatis
tika.
–M
emba
ca d
ata
tung
gal
dala
mbe
ntuk
tab
el.
–M
emba
ca d
ata
tung
gal
dala
mbe
ntuk
dia
gram
bat
ang.
–M
emba
ca d
ata
tung
gal
dala
mbe
ntuk
dia
gram
gar
is.
–M
emba
ca d
ata
tung
gal
dala
mbe
ntuk
dia
gram
lin
gkar
an d
anpa
stel
.–
Mem
baca
dat
a be
rkel
ompo
kda
lam
ben
tuk
tabe
l.–
Mem
baca
dat
a be
rkel
ompo
kda
lam
ben
tuk
hist
ogra
m.
–M
emba
ca d
ata
berk
elom
pok
dala
m b
entu
k po
ligon
frek
uens
i.–
Mem
baca
dat
a be
rkel
ompo
kda
lam
ben
tuk
ogiv
e.
1.1.
1M
ampu
men
defin
isi-
kan
stat
istik
a.1.
1.2
Mam
pu m
emba
cada
ta tu
ngga
l dal
ambe
ntuk
tab
el d
andi
agra
m.
1.1.
3M
ampu
mem
baca
data
ber
kelo
mpo
kda
lam
ben
tuk
tabe
lda
n di
agra
m.
Tes
tert
ulis
Pili
han
gand
aP
erh
ati
kan
d
iag
ram
berik
ut.
Dia
gram
ter
sebu
t m
e-nu
njuk
kan
kole
ksi
baca
-an
seb
uah
perp
usta
kaan
.K
olek
si c
erita
ber
gam
bar
seba
nyak
45
ekse
mpl
ar.
Jika
30
ekse
mpl
ar b
uku
Ser
i Ket
eram
pila
n di
pinj
am,
buku
Ser
i K
eter
ampi
lan
yang
ter
sisa
di
perp
us-
taka
an s
eban
yak
. .
.ek
sem
plar
.a.
125
d.15
5b.
135
e.16
5c.
145
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
1–4
82.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an 1
–30
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
4 jp
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
Ens
iklo
pedi
Cer
itaB
erga
mba
r
30°
20°
Ser
iM
emas
ak
Seri Keterampilan
Tabl
oid
Ola
hrag
a60
°
MajalahSains50
°
2 Silabus
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
Tes
tert
ulis
Tes
tert
ulis
Pili
han
gand
a
Ura
ian
Pili
han
gand
a
1.
His
tog
ram
d
i a
tas
men
unju
kkan
bah
wa
sisw
a ya
ng m
enda
pat
nila
i leb
ih d
ari 6
0 se
-ba
nyak
. . .
ana
k.a.
11d.
23b.
16e.
39c.
22
2.D
iket
ahui
dat
a us
iase
kum
pu
lan
ora
ng
berik
ut.
a.G
amba
rlah
dia
-gr
am b
atan
g da
rida
ta t
erse
but.
b.Te
ntuk
an b
anya
kor
ang
yang
ber
-us
ia k
uran
g da
ri19
tah
un.
1.R
ata-
rata
dat
a pa
data
bel
berik
ut a
dala
h. .
. .
1.2.
1M
ampu
men
yajik
anda
ta t
ungg
al d
alam
tabe
l dan
dia
gram
.1.
2.2
Mam
pu m
enya
jikan
data
ber
kelo
mpo
kda
lam
tabe
l dan
dia
-gr
am.
1.2.
3M
ampu
men
afsi
rkan
data
tun
ggal
dal
amta
bel d
an d
iagr
am.
1.2.
4M
ampu
men
afsi
rkan
data
ber
kelo
mpo
kd
ala
m
tab
el
da
ndi
agra
m.
1.3.
1M
ampu
men
entu
-ka
n uk
uran
pem
usat
-an
da
ta
tung
gal
(rat
a-ra
ta,
mod
us,
dan
med
ian)
.1.
3.2
Mam
pu m
enen
tu-
kan
ukur
an p
emus
at-
an d
ata
berk
elom
pok
(mea
n, m
odus
, dan
med
ian)
.
–M
enya
jikan
dat
a tu
ngga
l dal
ambe
ntuk
tab
el.
–M
enya
jikan
dat
a tu
ngga
l dal
ambe
ntuk
dia
gram
bat
ang.
–M
enya
jikan
dat
a tu
ngga
l dal
ambe
ntuk
dia
gram
gar
is.
–M
enya
jikan
dat
a tu
ngga
l dal
ambe
ntuk
dia
gram
lin
gkar
an d
anpa
stel
.–
Men
afsi
rkan
dat
a tu
ngga
l dal
amta
bel.
–M
enaf
sirk
an d
ata
tung
gal d
alam
bent
uk d
iagr
am b
atan
g, d
iagr
amga
ris,
diag
ram
lin
gkar
an,
dan
diag
ram
pas
tel.
–M
enya
jikan
dat
a be
rkel
ompo
kda
lam
ben
tuk
tabe
l.–
Men
yajik
an d
ata
berk
elom
pok
dala
m b
entu
k hi
stog
ram
.–
Men
yajik
an d
ata
berk
elom
pok
dala
m b
entu
k po
ligon
frek
uens
i.–
Men
yajik
an d
ata
berk
elom
pok
dala
m b
entu
k og
ive.
–M
enaf
sirk
an d
ata
berk
elom
pok
dala
m t
abel
.–
Men
afsi
rkan
dat
a be
rkel
ompo
kda
lam
be
ntuk
hi
stog
ram
,po
ligon
frek
uens
i, da
n og
ive.
–M
engh
itung
rat
a-ra
ta,
mod
us,
dan
med
ian
data
tung
gal.
–M
engh
itung
rat
a-ra
ta,
mod
us,
dan
med
ian
data
ber
kelo
mpo
k.–
Men
ghitu
ng k
uarti
l (
perta
ma,
ked
ua
, ke
tig
a),
de
sil,
dan
pers
entil
dat
a tu
ngga
l.–
Men
ghitu
ng k
uart
il (p
erta
ma,
ked
ua
, ke
tig
a),
de
sil,
da
npe
rsen
til d
ata
berk
elom
pok.
Sta
tistik
a
Sta
tistik
a
1.2
Me
ny
aji
ka
nd
ata
d
ala
mb
en
tuk
tab
el
da
n
dia
gra
mba
tang
, ga
ris,
lingk
aran
, ogi
ve,
sert
a pe
nafs
ir-an
nya.
1.3
Me
ng
hit
un
guk
uran
pem
u-sa
tan,
uku
ran
leta
k, d
an u
kur-
an p
enye
bara
nda
ta,
sert
a pe
-na
fsira
nnya
.
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
1–4
82.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asX
I Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an 1
–30
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
1–4
82.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asX
I Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an 1
–30
17 15 13 11 9 7 5 3 1 0
31–40
41–50
51–60
61–70
71–80
81–90
91–100
Nilai
Ban
yak
Sis
wa
8 jp
Frek
uens
i
80 40 90 50 60
Usi
a (d
alam
tah
un)
5–11
12–1
819
–25
26–3
233
–39
Frek
uens
i
6 5 8 3 10 8
x i 2 3 4 5 6 7
3Matematika Kelas XI Program IPA
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
–M
engh
itung
jang
kaua
n, ja
ngka
u-an
ant
arku
artil,
sim
pang
an k
uarti
l,si
mpa
ngan
rata
-rata
, rag
am, d
ansi
mpa
ngan
bak
u da
ta tu
ngga
l.–
Men
ghitu
ng ja
ngka
uan,
jang
kau-
an a
ntar
kuar
til, s
impa
ngan
kua
rtil,
sim
pang
an r
ata-
rata
, ra
gam
,d
an
sim
pa
ng
an
ba
ku d
ata
berk
elom
pok.
1.3.
3M
ampu
men
entu
-ka
n uk
uran
let
akda
ta tu
ngga
l (ku
artil
,de
sil,
dan
pers
entil
).1.
3.4
Mam
pu m
enen
tu-
kan
ukur
an l
etak
data
ber
kelo
mpo
k(k
uart
il, d
esil,
dan
pers
entil
).1.
3.5
Mam
pu m
enen
tu-
kan
ukur
an p
enye
-ba
ran
data
tung
gal.
1.3.
6M
ampu
men
entu
-ka
n uk
uran
pen
ye-
ba
ran
d
ata
b
er-
kelo
mpo
k.
a.4,
5b.
4,72
5c.
4,75
d.4,
85e.
4,92
5
2.P
erha
tikan
tabe
l dis
tri-
bu
si
nila
i u
lan
ga
nM
atem
atik
a be
rikut
.
Mod
us d
ari d
ata
pada
tabe
l ada
lah
. . .
.a.
33,7
5b.
34,0
0c.
34,2
5d.
34,5
0e.
34,7
5
3.B
erik
ut d
ata
men
gena
ibe
rat a
pel d
alam
sat
uka
nton
g pl
astik
.
Jika
med
ian
dari
data
ters
ebut
218
,5 g
ram
,te
ntuk
an:
a.ni
lai m
,b.
bera
t ra
ta-r
ata
1ap
el.
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
Pili
han
gand
a
Ura
ian
Frek
uens
i
2 5 8 3 1
No 1 2 3 4 5
Nila
i
11–2
021
–30
31–4
041
–50
51–6
0
Ber
at (
gram
)
200–
203
204–
207
208–
211
212–
215
216–
219
220–
223
224–
227
Frek
uens
i
3 4 2 1 m 7 5
4 Silabus
Bab
IIP
elua
ng
Sek
olah
:. .
. .
Kel
as/S
emes
ter
:X
I/1:
Mat
emat
ika
Sta
ndar
Kom
pete
nsi
:1.
Men
ggun
akan
atu
ran
stat
istik
a, k
aida
h pe
ncac
ahan
, da
n si
fat-s
ifat
pelu
ang
dala
m p
emec
ahan
mas
alah
.
1.4
Me
ng
gu
na
kan
atur
an p
erka
lian
perm
utas
i da
nk
om
bin
as
id
ala
m
pe
me
-ca
han
mas
alah
.
Pel
uang
–M
enje
lask
an p
enge
rtian
atu
ran
perk
alia
n.–
Men
yebu
tkan
rum
us a
tura
npe
rkal
ian.
–M
en
yele
saik
an
so
al
yan
gbe
rhub
unga
n de
ngan
atu
ran
perk
alia
n.–
Men
jela
skan
pen
gerti
an f
akto
-ria
l.–
Men
jela
skan
pen
gerti
an p
erm
u-ta
si.
–M
embu
ktik
an r
umus
per
mut
asi
men
ggun
akan
atu
ran
perk
ali-
an.
–M
enje
lask
an p
enge
rtian
per
mu-
tasi
den
gan
bebe
rapa
ele
men
yang
sam
a.–
Men
jela
skan
pen
gerti
an p
erm
u-ta
si s
iklis
.–
Men
yele
saik
an s
oal
yang
ber
-hu
bung
an d
enga
n pe
rmut
asi.
–M
enje
lask
an p
enge
rtian
kom
bi-
nasi
.–
Mem
bukt
ikan
rum
us k
ombi
nasi
.–
Men
yele
saik
an s
oal
yang
ber
-hu
bung
an d
enga
n ko
mbi
nasi
.–
Men
entu
kan
bany
ak ke
mun
gkin
an/
cara
men
ggun
akan
atu
ran
per-
kalia
n, p
erm
utas
i, ata
u ko
mbi
nasi
.
1.4.
1M
ampu
men
entu
kan
bany
ak ke
mun
gkin
an/
cara
men
ggun
akan
atur
an p
erka
lian.
1.4.
2M
ampu
men
entu
kan
bany
ak ke
mun
gkin
an/
cara
men
ggun
akan
perm
utas
i.1.
4.3
Mam
pu m
enen
tuka
nba
nyak
kem
ungk
inan
/ca
ra m
engg
unak
anko
mbi
nasi
.
Tes
tert
ulis
Pili
han
gand
a
Ura
ian
Ura
ian
1.D
ari a
ngka
-ang
ka 1
,2,
3, 4
, 5, d
an 6
aka
ndi
susu
n s
uatu
bila
ng-
an te
rdiri
ata
s em
pat
angk
a. B
anya
k bi
lang
-an
gen
ap y
ang
ter-
susu
n da
n tid
ak a
daan
gka
yang
ber
ulan
gad
alah
. . .
.a.
120
d.48
0b.
180
e.64
8c.
360
2.Te
ntuk
an n
ilai n
dar
ise
tia
p p
ers
am
aa
nbe
rikut
.a.
2 · 2n
+ 1C
2 = 3
! · nP
2
b.n
· 6P2
= nP
3
c.9
n
10n
1
C C+
=
3 10
3.D
ari 5
sis
wa
kela
s X
II,6
sisw
a ke
las
XI,
dan
7 si
swa
kela
s X
aka
ndi
bent
uk s
ebua
h tim
yang
ber
angg
otak
an5
sisw
a. J
ika
angg
ota
tim h
arus
mem
uat
1si
swa
dari
kel
as X
dan
1 si
swa
dari
kela
sX
II, b
erap
a ba
nyak
cara
mem
bent
uk ti
m?
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
. . .
.2.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an .
. . .
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
10 jp
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
5Matematika Kelas XI Program IPA
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
–M
enje
lask
an p
enge
rtia
n pe
r-co
baan
sta
tistik
a.–
Men
jela
skan
pen
gerti
an r
uang
sam
pel.
–M
enen
tuka
n ru
ang
sam
pel
suat
u pe
rcob
aan.
–M
enje
lask
an p
enge
rtia
n tit
iksa
mpe
l.–
Men
entu
kan
bany
ak ti
tik s
ampe
lsu
atu
perc
obaa
n.–
Me
nje
lask
an
p
en
ge
rtia
nke
jadi
an.
–M
enen
tuka
n an
ggot
a hi
mpu
nan
suat
u ke
jadi
an.
–M
en
gh
itu
ng
b
an
yak
ke-
mu
ng
kin
an
m
un
cul
sua
tuke
jadi
an.
–M
engh
itung
ban
yak
perc
obaa
nya
ng d
ilaku
kan.
–M
enje
lask
an
peng
ertia
nfre
kuen
si r
elat
if su
atu
keja
dian
.–
Men
entu
kan
frek
uens
i re
latif
mun
cul s
uatu
kej
adia
n.–
Me
nje
lask
an
p
en
ge
rtia
npe
luan
g su
atu
keja
dian
.–
Me
ng
hit
un
g p
elu
an
g s
ua
tuke
jadi
an d
enga
n m
engh
itung
ba
nya
k a
ng
go
ta
keja
dia
nte
rseb
ut d
an b
anya
k an
ggot
a-an
ggot
a ru
ang
sam
pel t
erle
bih
dahu
lu.
–M
en
jela
ska
n
pe
ng
ert
ian
pelu
ang
kom
plem
en
suat
uke
jadi
an.
–M
enen
tuka
n pe
luan
g ko
m-
plem
en s
uatu
kej
adia
n.
1.6.
1M
ampu
men
entu
kan
ruan
g sa
mpe
l sua
tupe
rcob
aan.
1.5.
2M
ampu
men
entu
kan
bany
ak t
itik
sam
pel
suat
u pe
rcob
aan.
1.5.
3M
ampu
men
entu
kan
angg
ota
him
puna
nsu
atu
keja
dian
.
1.6.
1M
ampu
men
entu
kan
pe
lua
ng
su
atu
keja
dian
.1.
6.2
Mam
pu m
enen
tuka
npe
luan
g ko
mpl
emen
suat
u ke
jadi
an.
1.6.
3M
ampu
men
entu
kan
kisa
ran
nila
i pel
uang
.1.
6.4
Mam
pu m
enen
tuka
nfr
ekue
nsi
hara
pan
suat
u ke
jadi
an.
1.6.
5M
ampu
men
entu
kan
pelu
ang
gabu
ngan
dua
keja
dian
.1.
6.6
Mam
pu m
enen
tuka
npe
luan
g du
a ke
jadi
ansa
ling
asin
g.1.
6.7
Mam
pu m
enen
tuka
npe
luan
g du
a ke
jadi
ansa
ling
beba
s.1.
6.8
Mam
pu m
enen
tuka
npe
luan
g ke
jadi
anbe
rsya
rat.
Tes
tert
ulis
Tes
tert
ulis
Ura
ian
Ura
ian
Pili
han
gand
a
1.15
!12
!3! +
10
!6!
4! =
. . .
a.66
5d.
565
b.65
6e.
556
c.65
5
2.B
entu
k se
derh
ana
dari
20!
12!8
! +
20
!13
!7! a
dala
h
. . .
.
a.20
!13
!8!
b.20
!12
!8!
c.21
!13
!8!
d.21
!13
!7!
e.21
!12
!8!
1.E
nam
buk
u te
rdiri
ata
s4
kam
us d
an 2
ens
i-kl
oped
i di
tem
patk
anp
ad
a
seb
ua
h
rak
seca
ra a
cak.
Pel
uang
buku
-buk
u ya
ng s
e-je
nis
d
ite
mp
atk
an
seca
ra b
erda
mpi
ngan
. . .
.
a.2 15
d.1 3
b.1 5
e.2 5
c.4 12
2.S
eb
ua
h
kan
ton
gbe
risi
4 bo
la m
erah
,3
bola
put
ih,
dan
3bo
la h
itam
. D
iam
bil
sebu
ah b
ola
seca
raac
ak, p
elua
ng te
ram
bil
bola
mer
ah a
tau
hita
mad
alah
. . .
.
1.5
Me
ne
ntu
ka
nru
ang
sam
pel
suat
u pe
rcob
a-an
.
1.6
Me
ne
ntu
ka
npe
luan
g su
atu
keja
dia
n
da
npe
nafs
irann
ya.
Pel
uang
Pel
uang
4 jp
6 jp
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
. . .
.2.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an .
. . .
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
. . .
.2.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an .
. . .
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
6 Silabus
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
–M
en
jela
ska
n
pe
ng
ert
ian
kisa
ran
nila
i pel
uang
.–
Men
yebu
tkan
kej
adia
n ya
ngm
usta
hil
terja
di.
–M
enye
butk
an k
ejad
ian
yang
past
i ter
jadi
.–
Me
nje
lask
an
p
en
ge
rtia
nfre
kuen
si h
arap
an.
–M
engh
itung
frek
uens
i har
apan
suat
u ke
jadi
an.
–M
en
jela
ska
n
pe
ng
ert
ian
keja
dian
maj
emuk
.–
Me
nje
lask
an
p
en
ge
rtia
nga
bung
an d
ua k
ejad
ian.
–M
enje
lask
an p
enge
rtian
iris
andu
a ke
jadi
an.
–M
engh
itung
pel
uang
iris
an d
uake
jadi
an.
–M
embu
ktik
an r
umus
pel
uang
gabu
ngan
dua
kej
adia
n de
ngan
diag
ram
Ven
n.–
Men
ghitu
ng p
elua
ng g
abun
gan
dua
keja
dian
.–
Me
nje
lask
an
p
en
ge
rtia
nke
jadi
an s
alin
g as
ing.
–M
engh
itung
pel
uang
kej
adia
nsa
ling
asin
g.–
Me
nje
lask
an
p
en
ge
rtia
nke
jadi
an s
alin
g be
bas.
–M
engh
itung
pel
uang
kej
adia
nsa
ling
beba
s.–
Me
nje
lask
an
p
en
ge
rtia
nke
jadi
an b
ersy
arat
.–
Men
ghitu
ng p
elua
ng k
ejad
ian
bers
yara
t.
a.4 5
d.2 6
b.7 10
e.1 10
c.3 6
1.D
ari 7
ora
ng p
engu
rus
sebu
ah o
rgan
isas
iak
an d
ipili
h se
oran
gke
tua
, se
kre
tari
s,da
n be
ndah
ara.
a.B
erap
a pe
luan
gse
seor
ang
tidak
terp
ilih
men
jadi
peng
urus
?b.
Ber
apa
pelu
ang
sese
oran
g tid
akte
rpili
h m
enja
dise
kret
aris
?
2.P
ad
a s
ua
tu k
ota
kte
rdap
at 9
bua
h ap
eld
an
6 b
ua
h j
eru
k.T
en
tuka
n p
elu
an
gte
ram
bil
dua
buah
deng
an j
enis
yan
gsa
ma
, jik
a s
eca
raac
ak:
a.di
ambi
l dua
bua
hse
kalig
us;
b.di
ambi
l dua
bua
hsa
tu
pe
r sa
tuta
npa
dike
mba
li-ka
n.
Ura
ian
7Matematika Kelas XI Program IPA
Bab
III
Trig
onom
etri
Sek
olah
:. .
. .
Kel
as/S
emes
ter
:X
I/1:
Mat
emat
ika
Sta
ndar
Kom
pete
nsi
:2.
Men
urun
kan
rum
us t
rigon
omet
ri da
n pe
nggu
naan
nya.
8 jp
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
2.1
Me
ng
gu
na
kan
rum
us
sin
us
da
n
kosi
nu
sju
mla
h du
a su
-du
t, se
lisih
dua
sudu
t, da
n su
-du
t gan
da u
ntuk
men
ghitu
ng s
i-nu
s da
n ko
sinu
ssu
dut
terte
ntu.
Trig
onom
etri
–M
enur
unka
n ru
mus
kos
inus
jum
lah
dan
selis
ih d
ua s
udut
.–
Me
ng
hit
un
g
nila
i ko
sin
us
jum
lah
dan
selis
ih d
ua s
udut
.–
Men
jela
skan
car
a m
engg
unak
anru
mus
kos
inus
jum
lah
dan
selis
ihdu
a su
dut
untu
k m
engh
itung
nila
i kos
inus
sud
ut t
erte
ntu.
–M
engh
itung
nila
i kos
inus
sud
utte
rten
tu m
engg
unak
an r
umus
kosi
nus
jum
lah
dan
selis
ih d
uasu
dut.
–M
enur
unka
n ru
mus
sin
us ju
mla
hda
n se
lisih
dua
sud
ut.
–M
engh
itung
nila
i si
nus
jum
lah
dan
selis
ih d
ua s
udut
.–
Me
nje
lask
an
ca
ra
me
ng
-gu
naka
n ru
mus
sin
us j
umla
hda
n se
lisih
dua
sud
ut u
ntuk
men
ghitu
ng n
ilai
sinu
s su
dut
tert
entu
.–
Men
ghitu
ng n
ilai
sinu
s su
dut
tert
entu
men
ggun
akan
rum
ussi
nus
jum
lah
dan
selis
ih d
uasu
dut.
–M
en
uru
nka
n r
um
us
tan
ge
nju
mla
h da
n se
lisih
dua
sud
ut.
–M
engh
itung
nila
i tan
gen
jum
lah
dan
selis
ih d
ua s
udut
.–
Men
jela
skan
car
a m
engg
unak
anru
mus
tang
en ju
mla
h da
n se
lisih
dua
sudu
t un
tuk
men
ghitu
ngni
lai t
ange
n su
dut
terte
ntu.
2.1.
1M
ampu
men
entu
kan
nila
i ko
sinu
s su
dut
terte
ntu
men
ggun
a-ka
n ru
mus
kos
inus
jum
lah
dan
selis
ihdu
a su
dut.
2.1.
2M
ampu
men
entu
kan
nila
i si
nus
sud
ut
terte
ntu
men
ggun
a-ka
n r
um
us
sin
us
jum
lah
dan
selis
ihdu
a su
dut.
2.1.
3M
ampu
men
entu
kan
nila
i ta
ngen
sud
utte
rtent
u m
engg
una-
kan
rum
us t
ange
nju
mla
h da
n se
lisih
dua
sudu
t.2.
1.4
Mam
pu m
enen
tuka
nhi
mpu
nan
peny
e-le
saia
n d
ari
pe
r-sa
maa
n a
sin
x +
bco
s x
= c.
2.1.
5M
ampu
men
entu
kan
nila
i si
nus
sud
ut
terte
ntu
men
ggun
a-ka
n r
um
us
sin
us
sudu
t ra
ngka
p.2.
1.6
Mam
pu m
enen
tuka
nni
lai
kosi
nus
sudu
tte
rtent
u m
engg
una-
kan
rum
us k
osin
ussu
dut
rang
kap.
Tes
tert
ulis
Pili
han
gand
a1.
Jika
tan
α =
1 da
n ta
n
β =
1 3 d
enga
n α
dan
β su
dut
lanc
ip m
aka
sin
(α –
β) =
. . .
.
a.2 3
5d.
2 5
b.1 5
5e.
1 5
c.1 2
2.A
BC
ada
lah
sebu
ahse
gitig
a. J
ika
sin
A =
3 5 d
an c
otan
B =
7
mak
a ∠
C =
. . .
.a.
30°
d.90
°b.
45°
e.13
5°c.
60°
3.N
ilai d
ari t
an 1
65°
=. .
. .
a.1
–3
b.–1
+3
c.–2
+3
d.2
–3
e.2
+3
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
101
–14
42.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an 5
5–72
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
8 Silabus
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
–M
engh
itung
nila
i tan
gen
sudu
tte
rtent
u m
engg
unak
an r
umus
tang
en ju
mla
h da
n se
lisih
dua
sudu
t.–
Men
jela
skan
car
a m
engu
bah
be
ntu
k a
co
s x
+ b
sin
xm
enja
di b
entu
k k
cos
(x –
α).
–M
engu
bah
bent
uk a
cos
x+
b s
in x
me
nja
di
be
ntu
kk
cos
(x –
α).
–M
enje
lask
an c
ara
men
yele
sai-
kan
p
ers
am
aa
n
a
cos
x+
b si
n x
= c.
–M
en
en
tuka
n
him
pu
na
npe
nyel
esai
an y
ang
mem
enuh
ia
cos
x +
b si
n x
= c.
–M
enje
lask
an p
enge
rtian
sud
utra
ngka
p.–
Men
urun
kan
rum
us s
inus
sud
utra
ngka
p.–
Men
ghitu
ng n
ilai
sinu
s su
dut
rang
kap.
–M
engh
itung
nila
i si
nus
sudu
tte
rtent
u m
engg
unak
an r
umus
sinu
s su
dut r
angk
ap.
–M
enur
unka
n ru
mus
kos
inus
sudu
t ra
ngka
p.–
Men
ghitu
ng n
ilai k
osin
us s
udut
rang
kap.
–M
engh
itung
nila
i kos
inus
sud
utte
rtent
u m
engg
unak
an r
umus
kosi
nus
sudu
t ran
gkap
.–
Men
urun
kan
rum
us t
ange
nsu
dut
rang
kap.
–M
engh
itung
nila
i tan
gen
sudu
tra
ngka
p.–
Men
ghitu
ng n
ilai t
ange
n su
dut
terte
ntu
men
ggun
akan
rum
usta
ngen
sud
ut r
angk
ap.
–M
enur
unka
n ru
mus
sin
us j
ika
dike
tahu
i ru
mus
sin
us s
udut
rang
kap.
2.1.
7M
ampu
men
entu
kan
nila
i ta
ngen
sud
utte
rtent
u m
engg
una-
kan
rum
us t
ange
nsu
dut
rang
kap.
Tes
tert
ulis
Pili
han
gand
a
Ura
ian
4.D
iket
ahui
tan
A =
1 2
dan
tan
B =
1 3
. N
ilai
tan
(AB
)ta
n(A
B)
+ − a
dala
h . .
. .
a.1
d.6
b.7 6
e.7
c.25 7
1.M
engg
unak
an ru
mus
jum
lah
da
n s
elis
ihdu
a su
dut,
tunj
ukka
nke
be
na
ran
si
fat
berik
ut.
a.si
n (9
0° +
α)
=co
s α
b.co
s (2
70°
– α)
=–s
in α
c.ta
n (1
80°
– α)
=–t
an α
2.Ji
ka s
in α
= –
3 5 d
an
cos
β =
7 25 d
enga
n
sudu
t α d
i kua
dran
III
da
n
sud
ut
β d
iku
adra
n IV
, ten
tuka
n:a.
cos
(α +
β),
b.si
n (α
– β
).
3.Te
ntuk
an n
ilai x
yan
gm
emen
uhi
pers
ama-
an b
erik
ut u
ntuk
0 ≤
x ≤
360°
.a.
2 co
s (3
0° +
x)
=co
s (3
0° –
x)
b.si
n (x
+ 3
0°)
+co
s (x
+ 6
0°) =
–1
9Matematika Kelas XI Program IPA
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
–M
enur
unka
n ru
mus
kos
inus
jika
dike
tahu
i ru
mus
kos
inus
sudu
t ra
ngka
p.–
Men
urun
kan
rum
us ta
ngen
jika
dike
tahu
i rum
us k
osin
us s
udut
rang
kap.
–M
en
uru
nka
n
rum
us
un
tuk
men
guba
h be
ntuk
per
kalia
nko
sinu
s da
n ko
sinu
s da
pat
diu
ba
h
me
nja
di
be
ntu
kpe
njum
laha
n ko
sinu
s.–
Me
nu
run
kan
ru
mu
s u
ntu
km
engu
bah
bent
uk p
erka
lian
sinu
s da
n si
nus
men
jadi
ben
tuk
selis
ih k
osin
us.
–M
en
uru
nka
n
rum
us
un
tuk
men
guba
h be
ntuk
per
kalia
nsi
nus
dan
kosi
nus
men
jadi
bent
uk p
enju
mla
han
sinu
s.–
Me
nu
run
kan
ru
mu
s u
ntu
km
engu
bah
bent
uk p
erka
lian
kosi
nus
dan
sinu
s m
enja
dibe
ntuk
sel
isih
sin
us.
–M
en
uru
nka
n
rum
us
un
tuk
me
ng
ub
ah
be
ntuk
pe
n-ju
mla
ha
n k
osi
nu
s m
en
jad
ibe
ntuk
per
kalia
n ko
sinu
s.–
Men
urun
kan
rum
us
untu
km
engu
bah
bent
uk
selis
ihko
sinu
s m
enja
di
bent
ukpe
rkal
ian
sinu
s.–
Me
nu
run
kan
ru
mu
s u
ntu
km
en
gu
ba
h
bent
uk
pen-
jum
laha
n si
nus
men
jadi
ben
tuk
perk
alia
n si
nus
dan
kosi
nus.
–M
enur
unka
n ru
mus
un
tuk
men
guba
h be
ntuk
sel
isih
sin
usm
en
jad
i b
en
tuk
pe
rka
lian
kosi
nus
dan
sinu
s.
2.2.
1M
ampu
men
entu
kan
peru
baha
n be
ntuk
perk
alia
n ko
sinu
sda
n ko
sinu
s.2.
2.2
Mam
pu m
enen
tuka
npe
ruba
han
bent
ukpe
rkal
ian
sinu
s da
nsi
nus.
2.2.
3M
ampu
men
entu
kan
peru
baha
n be
ntuk
perk
alia
n si
nus
dan
kosi
nus.
2.2.
4M
ampu
men
entu
kan
peru
baha
n be
ntuk
perk
alia
n ko
sinu
sda
n si
nus.
2.2.
5M
ampu
men
entu
kan
peru
baha
n be
ntuk
pe
nju
mla
ha
nko
sinu
s.2.
2.6
Mam
pu m
enen
tuka
npe
ruba
han
bent
ukse
lisih
kos
inus
.2.
2.7
Mam
pu m
enen
tuka
npe
ruba
han
bent
ukpe
njum
laha
n si
nus.
2.2.
8M
ampu
men
entu
kan
peru
baha
n be
ntuk
selis
ih s
inus
.
1.N
ilai d
ari s
in 5
8° +
sin
62°
– si
n 17
8° =
. . .
.a.
–2 s
in 5
8°b.
cos
58°
– si
n 58
°c.
0d.
sin
58°
+ co
s 58
°e.
2 si
n 58
°
1.S
eder
hana
kan
bent
uk-
bent
uk b
erik
ut in
i.a.
2 si
n (x
+ y
) si
n(x
– y
)
b.co
s (x
+ 3π
) sin
(x
– 3π
)
2.B
ukt
ika
n i
de
nti
tas
berik
ut.
a.co
s3 x
sin2
x =
1 16(2
cos
x –
cos
3x –
cos
5x)
b.1
+ co
s 2x
+ c
os4x
+ c
os 6
x=
4 co
s x
cos
2xco
s 3x
3.Ji
ka x
= s
in 3
q +
sin
q da
n y
= co
s 3q
+co
s q
, b
ukt
ika
nid
entit
as b
erik
ut.
a.x
+ y
= 2
cos
q(s
in 2
q +
cos
2q)
b.x y
= ta
n 2q
c.x2
+ y2
= 2
+ 2
cos
2q
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
101
–14
42.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an 5
5–72
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
2.2
Me
nu
run
ka
nru
mus
jum
lah
dan
selis
ih s
i-nu
s da
n ko
si-
nus.
Trig
onom
etri
Pili
han
gand
a
Ura
ian
4 jp
Tes
tert
ulis
10 Silabus
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
–M
enje
lask
an c
ara
men
entu
kan
hasi
l pe
rkal
ian
kosi
nus
dan
kosi
nus
dua
sudu
t.–
Men
ghitu
ng p
erka
lian
kosi
nus
dan
kosi
nus
dua
sudu
t.–
Men
jela
skan
car
a m
enen
tuka
nh
asi
l p
erk
alia
n
sin
us
da
nsi
nus
dua
sudu
t.–
Me
ng
hti
un
g
pe
rka
lian
sinu
s da
n si
nus
dua
sudu
t.–
Men
jela
skan
car
a m
enen
tuka
nh
asi
l p
erk
alia
n
sin
us
da
nko
sinu
s du
a su
dut.
–M
en
gh
itu
ng
p
erk
alia
nsi
nus
dan
kosi
nus
dua
sudu
t.–
Men
jela
skan
car
a m
enen
tuka
nha
sil p
erka
lian
kosi
nus
dan
si-
nus
dua
sudu
t.–
Men
ghitu
ng p
erka
lian
kosi
nus
dan
sinu
s du
a su
dut.
–M
enje
lask
an c
ara
men
entu
kan
hasi
l pen
jum
laha
n ko
sinu
s du
asu
dut.
–M
en
gh
itu
ng
p
en
jum
lah
an
kosi
nus
dua
sudu
t.–
Men
jela
skan
car
a m
enen
tuka
nha
sil s
elis
ih k
osin
us d
ua s
udut
.–
Men
ghitu
ng s
elis
ih k
osin
us d
uasu
dut.
–M
enje
lask
an c
ara
men
entu
kan
hasi
l pe
njum
laha
n si
nus
dua
sudu
t.–
Men
ghitu
ng p
enju
mla
han
sinu
sdu
a su
dut.
–M
enje
lask
an c
ara
men
entu
kan
hasi
l sel
isih
sin
us d
ua s
udut
.–
Men
ghitu
ng s
elis
ih s
inus
dua
sudu
t.
2.3
Men
ggun
akan
rum
us
jum
lah
dan
selis
ih s
i-nu
s da
n ko
sinu
s.
Trig
onom
etri
2.3.
1M
ampu
men
entu
kan
hasi
l pe
rkal
ian
ko-
sinu
s da
n ko
sinu
s.2.
3.2
Mam
pu m
enen
tuka
nha
sil p
erka
lian
sinu
sda
n si
nus.
2.3.
3M
ampu
men
entu
kan
hasi
l per
kalia
n si
nus
dan
kosi
nus.
2.3.
4M
ampu
men
entu
kan
hasi
l pe
rkal
ian
ko-
sinu
s da
n si
nus.
2.3.
5M
ampu
men
entu
kan
hasi
l pe
njum
laha
nko
sinu
s du
a su
dut.
2.3.
6M
ampu
men
entu
kan
hasi
l sel
isih
kos
inus
dua
sudu
t.2.
3.7
Mam
pu m
enen
tuka
nha
sil
penj
umla
han
sinu
s du
a su
dut.
2.3.
8M
ampu
men
entu
kan
hasi
l se
lisih
du
asu
dut.
1.N
ilai
8 co
s 75
° si
n16
5° =
. . .
.a.
2 +
23
b.2
– 2
3c.
–2 +
23
d.4
– 2
3e.
–4 +
23
2.N
ilai d
ari
cos
50co
s40
sin
50si
n40
°+°
°+°
adal
ah
. . .
.a.
1
b.1 2
2
c.0
d.–
1 23
e.–1
1.T
an
pa
ka
lku
lato
r,
hitu
ngla
h ha
sil o
pera
sitri
gono
met
ri be
rikut
.a.
4 si
n 20
° si
n 40
°si
n 80
°b.
4 si
n 10
° si
n 50
°si
n 70
°
2.D
iket
ahui
bah
wa
ad
an
b a
da
lah
du
asu
dut
pada
seb
uah
segi
tiga.
Jik
a si
n a
+
sin
b =
1 22
dan
cos
a +
cos
b =
1 26
,
ten
tuka
n n
ila
i si
n(a
+ b
).
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
101
–14
42.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an 5
5–72
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
4 jp
Pili
han
gand
a
Ura
ian
Tes
tert
ulis
11Matematika Kelas XI Program IPA
Bab
IV P
ersa
maa
n Li
ngka
ran
dan
Gar
is S
ingg
ung
Sek
olah
:. .
. .
Kel
as/S
emes
ter
:X
I/1:
Mat
emat
ika
Sta
ndar
Kom
pete
nsi
:3.
Men
yusu
n pe
rsam
aan
lingk
aran
dan
gar
is s
ingg
ungn
ya.
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
3.1
Me
ny
us
un
pe
rsa
ma
an
lingk
aran
yan
gm
emen
uhi
per-
syar
atan
yan
gdi
tent
ukan
.
Per
sam
aan
Ling
kara
n–
Men
entu
kan
pers
amaa
n lin
gkar
-an
yan
g be
rpus
at d
i tit
ik O
(0,
0) d
an b
erja
ri-ja
ri r.
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
lingk
ar-
an y
ang
berp
usat
di t
itik
P(a
, b)
dan
berja
ri-ja
ri r.
–M
enen
tuka
n be
ntuk
um
umpe
rsam
aan
lingk
aran
.–
Men
entu
kan
titik
pus
at d
an ja
ri-ja
ri l
ingk
aran
jik
a di
keta
hui
pers
amaa
n lin
gkar
anny
a.–
Men
yebu
tkan
sya
rat s
uatu
titik
di
dala
m lin
gkar
an, p
ada
lingk
aran
,da
n di
luar
ling
kara
n.–
Men
ghitu
ng j
arak
sua
tu t
itik
terh
adap
titi
k pu
sat
lingk
aran
.–
Mem
band
ingk
an j
arak
sua
tutit
ik te
rhad
ap ti
tik p
usat
lingk
aran
deng
an ja
ri-ja
ri lin
gkar
an.
–M
enye
butk
an s
yara
t sua
tu g
aris
mem
oton
g, m
enyi
nggu
ng,
dan
tidak
mem
oton
g lin
gkar
an.
–M
engh
itung
jar
ak t
itik
pusa
tlin
gkar
an te
rhad
ap s
uatu
gar
is.
–M
em
ba
nd
ing
kan
ja
rak
titi
kpu
sat l
ingk
aran
terh
adap
sua
tuga
ris d
enga
n ja
ri-ja
ri lin
gkar
an.
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
sing
gung
ling
kara
n di
sua
tu ti
tikpa
da lin
gkar
an y
ang
berp
usat
di
O(0
, 0).
3.1.
1M
ampu
men
entu
kan
pers
amaa
n lin
gkar
anya
ng d
iket
ahui
titi
kpu
sat d
an ja
ri-ja
rinya
.3.
1.2
Mam
pu m
enen
tuka
nke
du
du
kan
ti
tik
terh
adap
ling
kara
n.3.
1.3
Mam
pu m
enen
tuka
nke
du
du
kan
g
ari
ste
rhad
ap li
ngka
ran.
Tes
tert
ulis
1.P
ersa
maa
n lin
gkar
anya
ng b
erpu
sat d
i titi
kO
(0,
0) d
an b
erja
ri-ja
ri 4
adal
ah .
. . .
a.x2
+ y2
= 2
b.x2
+ y2
= 4
c.x2
+ y2
= 8
d.x2
+ y2
= 16
e.x2
+ y2
= 64
2.Li
ngka
ran
L be
rpus
atdi
titik
(4, –
3) d
an m
e-ny
ingg
ung
sum
bu X
.P
ersa
maa
n lin
gkar
anL
adal
ah .
. . .
a.x2
+ y2
– 8x
+ 6
y+
16 =
0b.
x2 +
y2 +
8x –
6y
+ 16
= 0
c.x2
+ y2
+ 8x
– 6
y–
16 =
0d.
x2 +
y2 –
8x +
6y
+ 9
= 0
e.x2
+ y2
+ 8x
– 6
y+
9 =
01.
Tent
ukan
per
sam
aan
ling
kara
n
de
ng
an
kete
ntua
n be
rikut
.a.
Ber
pusa
t di O
(0, 0
)da
n be
rdia
met
er10
.b.
Ber
pusa
t di
titi
k(2
, 1) d
an m
elal
uitit
ik (
0, 4
).
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
145
–17
42.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an 7
3–86
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
Pili
han
gand
a
Ura
ian
4 jp
12 Silabus
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
3.2
Me
ne
ntu
ka
npe
rsam
an g
aris
sing
gung
pad
alin
gkar
an d
alam
berb
agai
situ
asi.
Per
sam
aan
Gar
isS
ingg
ung
Ling
kara
n
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
sing
gung
ling
kara
n di
sua
tu ti
tikpa
da lin
gkar
an y
ang
berp
usat
di
P(a
, b).
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
kutu
b
sua
tu
titi
k te
rha
da
plin
gkar
an y
ang
berp
usat
di t
itik
O(0
, 0).
–M
enen
tuka
n tit
ik p
oton
g ga
risku
tub
deng
an l
ingk
aran
nya
berp
usat
di t
itik
O(0
, 0).
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
sin
gg
un
g l
ing
kara
n d
i ti
tik
poto
ng g
aris
kut
ub d
enga
nlin
gkar
an y
ang
berp
usat
di t
itik
O(0
, 0).
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
kutu
b
sua
tu
titi
k te
rha
da
plin
gkar
an y
ang
berp
usat
di t
itik
P(a
, b).
–M
enen
tuka
n tit
ik p
oton
g ga
risku
tub
deng
an l
ingk
aran
yan
gbe
rpus
at d
i titi
k P
(a, b
).
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
sin
gg
un
g l
ing
kara
n d
i ti
tik
poto
ng g
aris
kut
ub d
enga
nlin
gkar
an y
ang
berp
usat
di t
itik
P(a
, b).
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
sin
gg
un
g
ling
kara
n
yan
gbe
rgra
dien
m p
ada
lingk
aran
yang
ber
pusa
t di t
itik
O(0
, 0).
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
sing
gung
ling
kara
n ya
ng s
ejaj
arat
au t
egak
lur
us s
uatu
gar
ispa
da l
ingk
aran
yan
g be
rpus
atdi
titik
O(0
, 0).
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
sin
gg
un
g
ling
kara
n
yan
gbe
rgra
dien
m p
ada
lingk
aran
yang
ber
pusa
t di t
itik
P(a
, b).
3.2.
1M
ampu
men
entu
kan
pe
rsa
ma
an
ga
ris
sing
gung
lin
gkar
andi
sua
tu t
itik
pada
lingk
aran
.3.
2.2
Mam
pu m
enen
tuka
np
ers
am
aa
n g
ari
ssi
nggu
ng l
ingk
aran
di s
uatu
titik
di l
uar
lingk
aran
.3.
2.3
Mam
pu m
enen
tuka
np
ers
am
aa
n g
ari
ssi
nggu
ng l
ingk
aran
de
ng
an
g
rad
ien
tert
entu
.
1.P
ers
am
aa
n
ga
ris
sing
gung
lin
gkar
anx2
+ y2
= 20
di
titik
(–2,
4) a
dala
h . .
. .
a.2x
– 4
y +
10 =
0b.
2x –
4y
– 10
= 0
c.x
– 2y
+ 1
0 =
0d.
x –
2y –
10
= 0
e.x
+ 2y
– 1
0 =
02.
Pe
rsa
ma
an
g
ari
ssi
nggu
ng y
ang
me-
lalu
i tit
ik (
5, 1
) pa
dalin
gkar
an x
2 +
y2 –
4x+
6y –
12
= 0
adal
ah. .
. .
a.3x
+ 4
y –
19 =
0b.
3x –
4y
– 19
= 0
c.4x
– 3
y +
19 =
0d.
x +
7y –
26
= 0
e.x
– 7y
– 2
6 =
03.
Pe
rsa
ma
an
g
ari
ssi
nggu
ng l
ingk
aran
(x –
3)2 +
(y +
5)2 =
80
yang
sej
ajar
den
gan
garis
y –
2x
+ 5
= 0
adal
ah .
. . .
a.y
= 2x
– 1
1 ±
20b.
y =
2x –
8 ±
20
c.y
= 2x
– 6
± 1
5d.
y =
2x –
8 ±
15
e.y
= 2x
– 6
± 2
54.
Ling
kara
n L:
(x
+ 1)
2
+ (y
– 3
)2 = 9
mem
oton
gga
ris y
= 3
. Per
sam
aan
garis
sin
ggun
g lin
g-ka
ran
yang
mel
alui
titik
pot
ong
anta
ralin
gkar
an d
an g
aris
ters
ebut
ada
lah
. . .
.a.
x =
2 da
n x
= –4
b.x
= 2
dan
x =
–2c.
x =
–2 d
an x
= 4
d.x
= –2
dan
x =
–4
e.x
= 8
dan
x =
–10
1.B
uku
PG
Mat
e-m
atik
a K
elas
XI P
rogr
am IP
A,
Inta
n P
ariw
ara,
hala
man
145
–17
42.
Buk
u P
R M
ate-
mat
ika
Kel
asXI
Pro
gram
IPA
,In
tan
Par
iwar
a,ha
lam
an 7
3–86
3.B
SE
Mat
ema-
tika
untu
k S
MA
/M
A K
elas
XI
Pro
gram
IP
A,
Dep
dikn
as
8 jp
Pili
han
gand
aTe
ste
rtul
is
13Matematika Kelas XI Program IPA
Kom
pete
nsi
Das
arM
ater
i Pok
ok/
Pem
bela
jara
nK
egia
tan
Pem
bela
jara
nIn
dika
tor
Pen
capa
ian
Kom
pete
nsi
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
arK
ompe
tens
iD
asar
Mat
eri P
okok
/P
embe
laja
ran
Keg
iata
n P
embe
laja
ran
Indi
kato
r P
enca
paia
nK
ompe
tens
i
Pen
ilaia
n
Tekn
ikB
entu
kIn
stru
men
Con
toh
Inst
rum
enA
loka
siW
aktu
Ala
t da
n S
umbe
rB
elaj
ar
–M
enen
tuka
n pe
rsam
aan
garis
sing
gung
ling
kara
n ya
ng s
ejaj
arat
au t
egak
lur
us s
uatu
gar
ispa
da l
ingk
aran
yan
g be
rpus
atdi
titik
P(a
, b).
–M
en
en
tuka
n g
rad
ien
ga
ris
sing
gung
ling
kara
n di
sua
tu ti
tikpa
da s
uatu
ling
kara
n.
5.Te
ntuk
an p
ersa
maa
nga
ris s
ingg
ung
ling-
kara
n x2
+ y2
– 10
x+
6y –
66
= 0
deng
anke
tent
uan
berik
ut.
a.G
aris
sin
ggun
gdi
titik
(–1
, 5)
b.G
aris
sin
ggun
g
berg
radi
en m
= 4 3
.
6.D
iket
ahui
ling
kara
n L
deng
an p
ersa
maa
nx2 +
y2 +
4x –
2y
– 8
= 0
dan
garis
g: 2
x +
y =
5be
rpot
onga
n di
titik
Ada
n B
.a.
Ten
tuka
n ko
or-
dina
t titi
k A
dan
B.
b.Te
ntuk
an p
ersa
ma-
an g
aris
sin
ggun
gdi
titik
A d
an B
.c.
Ten
tuka
n ko
or-
dina
t tit
ik p
oton
gke
dua
garis
ter
-se
but.
Ura
ian
14 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Rencana Pelaksanaan PembelajaranBab I Statistika
Sekolah : . . . . . . . . . .Kelas/Semester : XI/1Mata Pelajaran : MatematikaAlokasi Waktu : 12 × 45 menit
Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalampemecahan masalah.
Kompetensi Dasar : 1.1 Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan danogive.
1.2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, ogive,serta penafsirannya.
1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, sertapenafsirannya.
Indikator Pencapaian Kompetensi:• Mengamati proses pencarian data.• Mengamati dan membaca data.• Menyajikan data.• Melakukan proses menentukan ukuran pemusatan data.• Melakukan proses menentukan ukuran letak data.• Melakukan proses menentukan ukuran penyebaran data.
Tujuan Pembelajaran:Peserta didik mampu1. menjelaskan cara mencari suatu data;2. menjelaskan dan menafsirkan data yang disajikan;3. menyajikan data dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran;4. menentukan nilai rata-rata (mean) suatu data;5. menentukan nilai median suatu data;6. menentukan nilai modus suatu data;7. menentukan kuartil suatu data;8. menentukan desil suatu data;9. menentukan persentil suatu data;10. menentukan simpangan baku suatu data;11. menentukan varian suatu data.
Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Kritis dan Cermat
Materi PembelajaranStatistika
Metode Pembelajaran1. Model Pembelajaran
a. Cooperative Learning (CL)b. Direct Instruction (DI)
2. Metodea. Tanya jawabb. Diskusic. Tugas
15Matematika Kelas XI Program IPA
Langkah-Langkah KegiatanPertemuan Pertama
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)a. Motivasi
Menyajikan beberapa data dalam bentuk gambar/diagram, kemudian siswa disuruh membaca danmemberikan deskripsi diagram tersebut.
b. Prasyarat PengetahuanSiswa mengetahui tentang data dan cara membaca data.
2. Kegiatan Inti (75 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang arti data dan jenis-jenis data.• Guru menjelaskan tentang statistik dan statistika.• Guru menjelaskan sampel dan populasi.• Guru menjelaskan tentang cara mengumpulkan data.• Guru dan siswa melakukan cara menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang, diagram
garis, dan diagram lingkaran.• Guru memberikan penafsiran suatu data tunggal yang telah disajikan.
b. ElaborasiGuru dan siswa membuat data dalam bentuk diagram dari data yang berbentuk tabel kemudianmenafsirkannya.
c. KonfirmasiGuru menanyakan tentang hasil yang dibuat siswa dalam membuat diagram.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.
Pertemuan Kedua
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)a. Motivasi
Guru memberikan permasalahan bari tentang data kumulatif dari suatu data berkelompok.b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa memahami cara membaca data dan menyajikan data dalam bentuk ogive.
2. Kegiatan Inti (75 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang tabel di stribusi frekuensi data berkelompok.• Guru menjelaskan tentang histogram dan poligon frekuensi.• Guru menjelaskan tentang penyajian data.
b. ElaborasiGuru bersama siswa mendemonstrasikan cara membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligonfrekuensi, dan ogive. Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan.
c. KonfirmasiGuru menanyakan hasil yang diperoleh siswa dari menggambar diagram-diagram tersebut.
3. Kegiatan Penutup (5 menit)• Guru meminta siswa untuk membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, dan ogive.• Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan.
Pertemuan Ketiga
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)a. Motivasi
Guru menjelaskan tentang manfaat mempelajari ukuran pemusatan data (mean, median, modus) dalamsuatu penelitian.
16 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
b. Prasyarat PengetahuanSiswa mengetahui tentang data tunggal dan data berkelompok.
2. Kegiatan Inti (75 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang rata-rata (rataan) data tunggal.• Guru menjelaskan tentang median data tunggal.• Guru menjelaskan tentang modus data tunggal.• Guru mendemonstrasikan cara menentukan rata-rata, median, dan modus suatu data tunggal.
b. ElaborasiGuru bersama-sama siswa melakukan penghitungan dan menentukan mean, median, dan modus darisuatu data tunggal.
c. KonfirmasiGuru menanyakan tentang hasil penghitungan yang telah dilakukan.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan sebagai evaluasi belajar.
Pertemuan Keempat
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)a. Motivasi
Guru memberikan manfaat dari mempelajari suatu data, terutama mean, median, dan modus pada databerkelompok.
b. Prasyarat PengetahuanSiswa mengetahui tentang mean, median, dan modus suatu data tunggal.
2. Kegiatan Inti (75 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang rata-rata (mean, dari data berkelompok.• Guru menjelaskan tentang median dari data berkelompok.• Guru menjelaskan tentang modus dari data berkelompok.• Guru mendemonstrasikan cara menentukan rata-rata, median, dan modus pada data berkelompok.
b. ElaborasiGuru bersama-sama siswa melakukan cara menghitung rata-rata, median, dan modus pada suatu databerkelompok.
c. KonfirmasiGuru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakansiswa.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa.
Pertemuan Kelima
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)a. Motivasi
Guru memberikan contoh fakta/kejadian tentang pemanfaatan suatu ilmu statistik terutama ukuran letak.b. Prasyarat Pengetahuan
Siswa mengetahui tentang urutan data dan cara mengurutkan data.
2. Kegiatan Inti (75 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang arti ukuran letak suatu data.• Guru menjelaskan tentang kuartil suatu data tunggal.• Guru menjelaskan tentang kuartil suatu data berkelompok.• Guru menjelaskan tentang desil suatu data tunggal dan data berkelompok.
17Matematika Kelas XI Program IPA
• Guru menjelaskan tentang persentil suatu data tunggal dan data berkelompok.• Guru mendemonstrasikan cara menghitung dan menentukan kuartil, desil, dan persentil.
b. ElaborasiGuru bersama-sama siswa menghitung nilai kuartil, desil, atau persentil secara tertuntun.
c. KonfirmasiGuru menanyakan tentang kepemahaman siswa terhadap materi yang diajarkan.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan.
Pertemuan Keenam
1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)a. Motivasi
Guru menjelaskan tentang ukuran penyebaran suatu data dan manfaat ukuran penyebaran data dalampenelitian.
b. Prasyarat PengetahuanSiswa mengetahui tentang kuartil dan rata-rata.
2. Kegiatan Inti (75 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang jangkauan pada data tunggal.• Guru menjelaskan tentang jangkauan antarkuartil dan simpangan kuartil pada data tunggal.• Guru menjelaskan tentang langkah, pagar dalam, dan pagar luar pada data tunggal.• Guru menjelaskan tentang simpangan rata-rata pada data tunggal dan data berkelompok.• Guru menjelaskan tentang ragam pada data tunggal dan data berkelompok.• Guru menjelaskan tentang simpangan baku pada data tunggal dan data berkelompok.• Guru mendemonstrasikan cara menentukan nilai-nilai ukuran penyebaran pada data tunggal maupun
data berkelompok.b. Elaborasi
Guru bersama-sama siswa menghitung nilai-nilai ukuran penyebaran suatu data berbentuk diagramsecara tertuntun.
c. KonfirmasiGuru mendiskusikan hasil yang diperoleh dari kegiatan tersebut.
3. Kegiatan Penutup (10 menit)Guru mengevaluasi hasil pembelajaran dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa.
Alat Sumber Belajar1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 20112. Buku PR Kimia Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 20113. BSE Matematika Kelas XI Program IPA, Depdikas, 2009
Penilaian Hasil Belajar1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen
a. Teknik PenilaianTes tertulis
b. Bentuk Instrumen1) Pilihan ganda2) Uraian
18 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Banyak Burung Elang
Lokasi
8078
75
70
64
6160
1 2 3 4 5?
Frekuensi (f)
101220242618
Diameter Pipa (cm)
5–910–1415–1920–2425–2930–34
2. Contoh Instrumena. Pilihan ganda
17
15
1311
9
75
310
31–4
0
41–5
0
51–6
0
61–7
0
71–8
0
81–9
0
91–1
00
Nilai
Banyak Siswa
Frekuensi
6583
108
xi
234567
1) Rata-rata data pada tabel berikut adalah. . . .
a. 4,5 d. 4,85b. 4,725 e. 4,925c. 4,75
2)
Histogram di atas menunjukkan bahwa siswayang mendapat nilai lebih dari 60 sebanyak . . .anak.a. 11 d. 23b. 16 e. 39c. 22
b. Uraian1) Diagram berikut menunjukkan populasi burung
elang di beberapa lokasi yang berbeda.Jika seluruh burung elang di lima lokasitersebut 358 ekor, tentukan:a. banyak burung elang di lokasi 2;b. persentase burung elang di tiga lokasi awal.
2) Distribusi frekuensi diameter sejumlah pipa (dalam cm)sebagai berikut.Buatlah poligon untuk data tersebut (sumbu mendatarmenyatakan tepi kelas interval, sedangkan sumbu tegakmenyatakan frekuensi).
________, ______________
Mengetahui,Kepala SMA ______________ Guru Mata Pelajaran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .___________________________ ___________________________NIP _______________________ NIP _______________________
19Matematika Kelas XI Program IPA
Rencana Pelaksanaan PembelajaranBab II Peluang
Sekolah : . . . . . . . . . .Kelas/Semester : XI/1Mata Pelajaran : MatematikaAlokasi Waktu : 8 × 45 menit
Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalampemecahan masalah.
Kompetensi Dasar : 1.4 Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah.1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan.1.6 Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.
Indikator Pencapaian Kompetensi:• Menjelaskan dan menggunakan aturan perkalian untuk penghitungan.• Menjelaskan dan menggunakan aturan permutasi untuk penghitungan.• Menjelaskan dan menggunakan aturan kombinasi untuk penghitungan.• Menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu kejadian.• Menentukan peluang suatu kejadian.• Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian.• Menentukan peluang kejadian majemuk.
Tujuan Pembelajaran:Peserta didik mampu1. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan perkalian;2. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan permutasi;3. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan kombinasi;4. menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu percobaan;5. menentukan peluang suatu kejadian;6. menentukan kisaran nilai peluang;7. menentukan frekuensi harapan;8. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling asing;9. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling bebas.
Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Rasa Ingin Tahu
Materi PembelajaranPeluang
Metode Pembelajaran1. Model Pembelajaran
a. Cooperative Learning (CL)b. Direct Instruction (DI)
2. Metodea. Tanya jawabb. Diskusi
Langkah-Langkah Kegiatan
Pertemuan Pertama1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. MotivasiGuru memberikan contoh permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan aturan perkalian,permutasi, dan kombinasi.
b. Prasyarat PengetahuanSiswa mengetahui dan menguasai konsep faktorial.
20 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
2. Kegiatan Inti (2 × 40 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang konsep aturan perkalian.• Guru menjelaskan tentang konsep faktorial.• Guru menjelaskan tentang aturan permutasi dan memberikan contoh-contohnya.• Guru menjelaskan tentang aturan kombinasi dan memberikan contoh-contohnya.• Guru melakukan penghitungan yang berkaitan dengan permutasi dan kombinasi.
b. ElaborasiGuru bersama-sama siswa menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan aturanperkalian, permutasi, dan kombinasi. Kejadian ini dilakukan secara tertuntun.
c. KonfirmasiGuru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan yang telah dilakukan tersebut.
3. Kegiatan Penutup (5 menit)Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan latihan soal untuk dikerjakan siswa.
Pertemuan Kedua1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. MotivasiGuru memberikan beberapa contoh kejadian, kemudian siswa ditunjuk untuk menentukan titik sampuldan ruang sampul.
b. Prasyarat PengetahuanSiswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel.
2. Kegiatan Inti (2 × 40 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang percobaan statistika.• Guru menjelaskan tentang pengertian ruang sampel.• Guru menjelaskan tentang pengertian titik sampel.• Guru melakukan penghitungan terhadap titik sampel suatu kejadian.• Guru menentukan anggota himpunan suatu kejadian.
b. ElaborasiGuru bersama-sama siswa menyebutkan titik sampel dari suatu kejadian.
c. KonfirmasiGuru menanyakan tentang hasil yang diperoleh dalam kegiatan tersebut.
3. Kegiatan Penutup (5 menit)Guru mengevaluasi tentang hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan.
Pertemuan Ketiga1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. MotivasiGuru menjelaskan tentang gambaran peluang dalam kehidupan sehari-hari dan menyebutkan manfaatmempelajari peluang.
b. Prasyarat PengetahuanSiswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel suatu kejadian.
2. Kegiatan Inti (2 × 40 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang kejadian dalam suatu percobaan.• Guru menjelaskan tentang peluang kejadian.• Guru menjelaskan tentang kisaran nilai peluang dan memberikan contoh-contohnya.• Guru menjelaskan tentang hubungan frekuensi harapan dan peluang.• Guru melakukan penghitungan cara menentukan nilai peluang dan frekuensi harapan.
21Matematika Kelas XI Program IPA
b. ElaborasiGuru bersama-sama siswa menyelesaikan masalah untuk menentukan nilai peluang.
c. KonfirmasiGuru menanyakan kepada siswa tentang kepemahamannya dalam menentukan nilai peluang suatukejadian.
3. Kegiatan Penutup (5 menit)Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.
Pertemuan Keempat1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)
a. MotivasiGuru memberikan gambaran-gambaran atau contoh-contoh kejadian yang berkaitan dengan kejadianmajemuk. Kemudian guru memberi pertanyaan kepada siswa tentang cara menentukan peluangkejadiannya.
b. Prasyarat PengetahuanSiswa mengetahui tentang peluang kejadian tunggal.
2. Kegiatan Inti (2 × 40 menit)a. Eksplorasi
• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian.• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling asing dan menjelaskan syarat-
syaratnya.• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling bebas dan menjelaskan syarat-
syaratnya.• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian bersyarat.• Guru melakukan penghitungan nilai peluang dua kejadian majemuk di berbagai situasi.
b. ElaborasiGuru bersama-sama siswa melakukan penghitungan nilai peluang kejadian majemuk secara tertuntun.
c. KonfirmasiGuru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan tersebut.
3. Kegiatan Penutup (5 menit)Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.Guru bisa memberi tugas kepada siswa.
Alat Sumber Belajar1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 20112. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 20113. BSE Matematika Kelas XI Program IPA, Depdiknas, 2009
Penilaian Hasil Belajar1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen
a. Teknik PenilaianTes tertulis
b. Bentuk Instrumen1) Pilihan ganda2) Uraian
2. Contoh Instrumena. Pilihan ganda
1) Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun suatu bilangan terdiri atas empat angka. Banyakbilangan genap yang tersusun dan tidak ada angka yang berulang adalah . . . .a. 120 d. 480b. 180 e. 648c. 360
22 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
2)15!
12!3! + 10!6!4! = . . .
a. 665 d. 565b. 656 e. 556c. 655
3) Enam buku terdiri atas 4 kamus dan 2 ensiklopedi ditempatkan pada sebuah rak secara acak.Peluang buku-buku yang sejenis ditempatkan secara berdampingan . . . .
a.2
15 d.13
b.15 e.
25
c.4
12
b. Uraian1) Tentukan nilai n dari setiap persamaan berikut.
a. 2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2
b. n · 6P2 = nP3
c. 9 n
10 n 1
CC +
= 3
10
2) Dari 7 orang pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara.a. Berapa peluang seseorang tidak terpilih menjadi pengurus?b. Berapa peluang seseorang tidak terpilih menjadi sekretaris?
3) Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih, 4 kelereng hijau, dan 8 kelereng kuning. Dari kantongtersebut diambil 3 kelereng secara acak dan setiap kali kelereng yang diambil akan dikembalikanlagi ke dalam kantong. Proses pengambilan seperti itu dilakukan sebanyak 612 kali.Tentukan frekuensi harapan yang terambil:a. semua kelereng hijau,b. 2 kelereng putih dan 1 kelereng hijau, danc. semua kelereng berbeda warna.
________, ______________
Mengetahui,Kepala SMA ________________ Guru Mata Pelajaran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .___________________________ ___________________________NIP _______________________ NIP _______________________
23Matematika Kelas XI Program IPA
Bab I Statistika
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: dTepi bawah kelas interval = 113 – 0,5
= 112,52. Jawaban: c
Cara yang tepat adalah melalui sensus, yaitudengan meneliti dan mendata tingkat pendidikansetiap warga Desa Mekarsari.
3. Jawaban: b
Titik tengah = 12 × (83 + 90) =
12 × 173 = 86,5
4. Jawaban: dPeningkatan hasil pada periode 2 yaitu:16 – 12 = 4 kuintalPeningkatan hasil pada periode 4 yaitu:12 – 8 = 4 kuintalPeningkatan hasil pada periode 5 yaitu:20 – 12 = 8 kuintalJadi, peningkatan hasil ikan terbesar terjadi padaperiode ke-5.
5. Jawaban: bBesar sudut buku seri keterampilan yaitu:x° = 360° – (50° + 60° + 30° + 90° + 20°)
= 360° – 250°= 110°
30Cerita Bergambar
°=
110Seri Keterampilan
°
⇔ 3045
°=
110Seri Keterampilan
°
⇔ Seri Keterampilan = 45 110
30× °
° = 165
Buku Seri Keterampilan yang tersisa yaitu:165 – 30 = 135 eksemplar
6. Jawaban: bJumlah itik dan ayam:Tahun 2005: 2.000 + 3.500 = 5.500Tahun 2006: 2.500 + 4.500 = 7.000
Tahun 2007: 1.000 + 5.500 = 6.500Tahun 2008: 1.500 + 5.000 = 6.500Tahun 2009: 2.000 + 4.000 = 6.000Jadi, jumlah itik dan ayam terbanyak ada padatahun 2006, yaitu sebesar 7.000 ekor.
7. Jawaban: d
Banyak pedagang = 72360
°° × 45.000 orang
= 15 × 45.000 orang
= 9.000 orang
8. Jawaban: ePenjualan sepeda motor pada bulan pertama290 unit.Penjualan sepeda motor pada bulan terakhir335 unit.Total penjualan selama 2 bulan tersebut= 290 + 335= 625 unit
9. Jawaban: e
Jadi, siswa yang mendapat nilai lebih dari 60sebanyak 39 anak.
10. Jawaban: cOgive di atas merupakan ogive positif (kurangdari). Banyak kardus yang beratnya kurang dari71 kg adalah 13 buah.
B. Uraian
1. a. Banyak burung elang di lokasi 2= 358 – (64 + 75 + 78 + 61)= 358 – 278= 80 ekor
b. Misalkan x = burung elang di lokasi 1, 2, dan 3.x = 64 + 80 + 75
= 219
Banyak Siswa
161391
39
Nilai
61–7071–8081–90
91–100
Jumlah
24 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Persentase= 219358 × 100%
= 61,173%Jadi, persentase banyak burung elang di 3lokasi awal 61,173%.
2. a. Besar sudut desa E= 360° – (151,2° + 90° + 36° + 72°)= 360° – 349,2°= 10,8°Persentase produksi padi yang dihasilkan
desa E = 10,8360
× 100%
= 3%b. 1) Produksi padi di desa A
= 151,2360
× 180= 75,6 ton
2) Produksi padi di desa B
= 90360
× 180= 45 ton
3) Produksi padi di desa C
= 36360
× 180= 18 ton
4) Produksi padi di desa D
= 72360
× 180= 36 ton
5) Produksi padi di desa E
= 10,8360
× 180 = 5,4 ton
3. a. Penurunan angka inflasi paling tajam terjadipada Januari 2003.
b. Angka inflasi tertinggi = 1,99Angka inflasi terendah = 0,57Selisih = 1,99 – 0,57
= 1,42Jadi, selisih angka inflasi tertinggi danterendah 1,42.
4.
5.
Tabel data distribusi frekuensi:
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
= (6 2) (5 3) (8 4) (3 5) (10 6) (8 7)
6 5 8 3 10 8× + × + × + × + × + ×
+ + + + +
= 12 15 32 15 60 5640
+ + + + +
= 19040 = 4,75
Jadi, rata-rata data tersebut 4,75.
2. Jawaban: aData yang telah diurutkan sebagai berikut.10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20
xx = 10 12 13 14 15 16 17 18 20
9+ + + + + + + +
= 135
9
= 15
Median = data ke- n 12+
= data ke- 102
= data ke-5= 15
xx – median = 15 – 15= 0
3. Jawaban: cData terurut: 1 1 3 4 5 5 6 7
↓Me
5–9
10–1
4
15–1
9
20–2
4
25–2
9
30–3
4
2624
2018
Frekuensi
1210
0
Diameter Pipa (dalam cm)
Skor
41–4546–5051–5556–6061–65
fi
23527
fi
25 – 2 = 3
10 – 5 = 512 – 10 = 219 – 12 = 7
Skor
41–4546–5051–5556–6061–65
fk
25
101219
25Matematika Kelas XI Program IPA
Me = 4 5
2+
= 92 = 4,5
Jadi, mediannya adalah 4,5.
4. Jawaban: c
xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
= (8 4) (9 5) (8 6) (9 7) (6 8)
8 9 8 9 6× + × + × + × + ×
+ + + +
= 32 45 48 63 48
40+ + + +
= 23640
= 5,9n1 = anak yang lebih muda dari rata-rata usia yaitu
anak yang berusia 4 atau 5 tahun= 17 anak
5. Jawaban: dn = 20, xx = 36,5Misalkan m = berat total kedelai
xx1 = mn
⇔ m = 36,5 × 20 = 730 kgn1 = banyak karung yang tersisa di dalam truk
= 20 – 5 = 15n2 = banyak karung yang diturunkan
= 5
xx1 = 1
1
mn
⇔ 34 = 1m15
⇔ m1 = 510 kgBerat seluruh kedelai yang diturunkan = m – m1⇔ m2 = 730 – 510
= 220 kg
xx2 = 2
2
mn =
2205 = 44 kg
Jadi, rata-rata berat sekarung kedelai yangditurunkan 44 kg.
6. Jawaban: b
Me = data ke-25 + data ke-26
2
Median terletak di kelas interval 17–19.
Median = L + Me
e
1k2
M
n f
f
−
· p
= 16,5 + 25 20
6−
· 3
= 16,5 + 56 · 3
= 16,5 + 2,5= 19
Jadi, median dari data tersebut 19.
7. Jawaban: e
xxx– =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑ =
2.60040 = 65
Jadi, nilai rataan dari data pada tabel adalah 65.
8. Jawaban: d
Me = data ke-16 data ke-17
2+
Me terletak pada kelas interval 30–39
Me = L + Me
1k2
Me
n f
f
⋅ −
· p
= 29,5 + 322
10
12
−
· 10
= 29,5 + 16 10
12−
· 10
Panjang Tubuh
8 – 1011 – 1314 – 1617 – 1920 – 2223 – 2526 – 28
Jumlah
fi
53
126978
50
fk
58
2026354250
fi
12367579
40
Nilai
40–4445–4950–5455–5960–6465–6970–7475–79
n
i = 1∑
xi
4247525762677277
fi · xi
4294
156342434335504693
2.600
fi
28
12
73
32
fk
210
22
2932
Nilai
10–1920–29
30–39
40–4950–59
Jumlah
26 Kunci Jawaban dan Pembahasan
9. Jawaban: c
d1 = 8 – 5 = 3d2 = 8 – 3 = 5Modus terletak di kelas interval 31–40.
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 30,5 + 33 5
+
· 10
= 30,5 + 3,75= 34,25
Jadi, modus dari data pada tabel adalah 34,25.
10. Jawaban: a
Rata-rata tinggi gedung =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
= 2.394100 = 23,94 m
B. Uraian
1. a. xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
= (3 35) (7 36) (6 37) (2 38) (9 39) (11 40) (2 41)3 7 6 2 9 11 2
× + × + × + × + × + × + ×+ + + + + +
= 105 252 222 76 351 440 8240
+ + + + + +
= 1.528
40 = 38,2Jadi, ukuran rata-rata sepatu siswa 38,2.
b. xx = 38,2 sehingga ukuran sepatu siswaperempuan yaitu 35, 36, 37, dan 38.n1 = banyak siswa perempuan
= f1 + f2 + f3 + f4= 3 + 7 + 6 + 2= 18
Banyak siswa laki-laki = n – n1= 40 – 18= 22 orang
Jadi, banyak siswa laki-laki 22 orang.
2. a Median = 218,5 sehingga median terletak dikelas interval 216–219.n = 3 + 4 + 2 + 1 + m + 7 + 5 = 22 + m
Me = L + Me
e
k
M
12
n f
f
−
· p
⇔ 218,5 = 215,5 + 12
n 10
m
−
· 4
⇔ 3 = 12
n 10
m
−
· 4
⇔ 34 =
12
(22 m) 10
m
+ − · 4
⇔ 34 =
12
11 m 10
m
+ −
⇔ 3m = 44 + 2m – 40⇔ m = 4Jadi, nilai m = 4.
b.
xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑ =
5.60726 = 215,65 gram
Jadi, berat rata-rata sebuah apel 215,65gram.
3. Median = 163,5; berarti median terletak pada kelasinterval 161–165.
Me = L + Me
e
k
M
n2
f
f
−
· p
⇒ 163,5 = 160,5 + 12(m 58) (5 20)
m
+ − +
· 5
⇔ 3 = + −1
25( m 29 25)
m
⇔ 3m = 52 m + 20
⇔ 6m = 5m + 40⇔ m = 40Jadi, nilai m = 40.
Frekuensi
25
8
31
Nilai
11–2021–30
31–40
41–5051–60
xi
71421283542
Tinggi Gedung (m)
4–1011–1718–2425–3132–3839–45
fi
10221824188
n
ii 1
f=∑ = 100
fi · xi
70308378672630336
n
i ii 1
f x 2.394=
⋅ =∑
xi
201,5205,5209,5213,5217,5221,5225,5
Berat (gram)
200–203204–207208–211212–215216–219220–223224–227
Σ
fi
3421475
26
fi · xi
604,5822419
213,5870
1.550,51.127,5
5.607
27Matematika Kelas XI Program IPA
4.
xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑ =
9.503,5217 = 43,79
Jadi, rata-rata tinggi pohon 43,79 m.
5.
Me = data ke-20 + data ke-21
2
Me terletak pada kelas interval 31–40
Me = L + Me
e
k
M
12
n f
f
−
· p
= 30,5 + 12
40 17
4
⋅ −
· 10
= 30,5 + 20 174
−
· 10
= 30,5 + 304
= 38Jadi, median dari data tersebut 38.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c30 32 33 34 3535 36 37 37 3838 39 40 40 41n = 15
Q3 = data ke-3(n 1)
4+
= data ke-12= 39
Jadi, kuartil atas data tersebut 39.
2. Jawaban: d
Q1 = data ke-n 1
4+
= data ke-544
= data ke-13,5= 31
Q3 = data ke-3(n 1)
4+
= data ke-40,5= 34
Rk = 12 (Q1 + Q3)
= 12 (31 + 34)
= 12 (65)
= 32,5Jadi, rataan kuartil data tersebut 32,5.
3. Jawaban: eData tersebut diurutkan sebagai berikut.1 2 3 3 34 5 5 6 67 7 8 9n = 14
D8 = data ke-8
10 (14 + 1)
= data ke-45 × 15
= data ke-12= 7
Jadi, desil ke-8 data tersebut 7.
4. Jawaban: d
xx = 7 7 8 6 7
5+ + + +
= 355 = 7
S =
n2
i 1(x x)
n=∑ −
= 2 2 2 2 2(7 7) (7 7) (8 7) (6 7) (7 7)
5− + − + − + − + −
xiTinggi Pohon
(m)
30–3334–3738–4142–4546–4950–5354–57
Σ
fi · xiBanyakPohon
32232542333626
217
31,535,539,543,547,551,555,5
1.008 816,5 987,51.8271.567,51.8541.443
9.503,5
fk
69
1721233340
Nilai
1–1011–2021–3031–4041–5051–6061–70
Jumlah
fi
63842
107
40
fi
1089
1286
53
Berat Badan
303132333435
Jumlah
fk
101827394753
28 Kunci Jawaban dan Pembahasan
= 0 0 1 1 05
+ + + +
= 25
× 55
= 15 10
Jadi, simpangan bakunya 15 10 .
5. Jawaban: e
Q2 = data ke-10 + data ke-11
2
Q2 terletak di kelas interval 56–58
Q2 = L2 + Q2
2
k
Q
12
n f
f
−
· p
= 55,5 + 202 9
3
−
· 3
= 55,5 + 1= 56,5
Jadi, kuartil keduanya 56,5.
6. Jawaban: d
Q1 = data ke-14 (20 + 2)
= data ke-512
Q1 terletak di kelas interval 48–50.
Q1 = L1 + Q1
1
k
Q
14
n f
f
−
· p
= 47,5 + 204
1
6
−
· 3
= 47,5 + 2 = 49,5Jadi, kuartil bawah data tersebut 49,5.
7. Jawaban: d
Q3 = data ke-3 40 2
4⋅ +
= data ke-3012
Q3 terletak pada kelas interval 61–70
Q3 = L3 + Q3
3
k
Q
34
n f
f
−
· p
= 60,5 + 34
40 29
10
⋅ −
· 10
= 60,5 + 1= 61,5
Jadi, kuartil atas data pada tabel adalah 61,5.
8. Jawaban: a
n = 40
Q3 = data ke- 3n 24+
= data ke- 3 40 24
× +
= data ke-30,5Q3 teletak di kelas interval 61–80.
Q3 = L3 + Q 3
3
k
Q
14
n f
f
−
· p
= 60,5 + 10 20
15−
· 20
= 60,5 + 1015
· 20
= 60,5 + 13,3= 73,8
Jadi, kuartil atas data tersebut 73,8.
Berat Badan (kg)
50–5253–55
56–58
59–6162–64
Jumlah
fk
49
12
1420
fi
45
3
26
20
→ Kelas Q2
fi
1
6
832
20
Waktu (dalam menit)
45–47
48–50
51–5354–5657–59
Jumlah
fk
1
7
151820
→ Kelas Q1
Nilai
31–4041–5051–60
61–70
71–80
Jumlah
→ Kelas Q3
Frekuensi
59
15
10
1
40
fk
51429
39
40
fi
54
11155
40
Nilai
1–2021–4041–6061–80
81–100
Jumlah
fk
59
203540
29Matematika Kelas XI Program IPA
9. Jawaban: a
n = 39
D6 = data ke-6
10 (39 + 1)
= data ke-6
10 × 40
= data ke-24D6 terletak di kelas interval 17–24.
D6 = L + D 6
6
k
D
610
39 f
f
⋅ −
· p
= 16,5 + 23,4 14
15−
· 8
= 16,5 + 9,415
· 8
= 16,5 + 5,01= 21,51
Jadi, desil ke-6 data tersebut 21,51.
10. Jawaban: a
P35 = data ke-35
100 (20 + 1)
= data ke-7,35P35 terletak di kelas interval 31–40
P35 = L + P35
35
k
P
35100
n f
f
⋅ −
· p
= 30,5 + 35
10020 5
9 5
⋅ − −
· (20,5 – 10,5)
= 30,5 + 0,5 · 10= 30,5 + 5= 35,5
Jadi, persentil ke-35 data tersebut 35,5.
B. Uraian
1. a.
Q3 = data ke-3n 2
4+
= data ke-924
= data ke-23= 19
Jadi, kuartil ketiga data tersebut 19.
b. Q1 = data ke- n 24+
= data ke-324
= data ke-8= 15
Qd = 12 (Q3 – Q1)
= 12 (19 – 15)
= 2Jadi, simpangan kuartil data tersebut 2.
2.
a. Q2 = data ke-30 data ke-312+
= 15 20
2+
= 17,5Jadi, kuartil kedua data di atas 17,5.
b. Q1 = data ke-14 (60 + 1)
= data ke-1514
= 15Jadi, kuartil pertama data di atas 15.
3. a. Q3 = data ke-3 60 2
4⋅ +
= data ke-4512
= 25Statistika lima serangkai:
fi
31115712
39
Banyak Pengunjung
1–89–1617–2425–3233–4041–48
Jumlah
fk
31429363739
fi
853617
30
Banyak Pengunjung
151617181920
Jumlah
fk
81316222330
fi
46
20137
10
60
Skor
51015202530
Jumlah
fk
41030435060
Q2 = 17,5
Q1 = 15 Q3 = 25
xmin = 5 xmaks = 30
30 Kunci Jawaban dan Pembahasan
b. Rataan tiga kuartil = 14 (Q1 + 2Q2 + Q3)
= 14 (15 + 2 · 17,5 + 25)
= 14 · 75
= 18,75
4.
a. xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
= 1.630
20
= 81,5
S2=
n2
i ii 1
n
ii 1
f (x x)
f
=
=
−∑
∑
= 6.520
20
= 326Jadi, variansi data tersebut 326.
b. S = 2S = 326 ≈ 18,1Jadi, simpangan baku data tersebut ≈ 18,1.
5. a.
xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
= 1.650
50
= 33
S2 =
n2
i ii 1
n
ii 1
f (x x)
f
=
=
−∑
∑
= 2.500
50
= 50Jadi, variansi data tersebut 50.
b. S = 2s
= 50
= 5 2
Jadi, simpangan baku data tersebut 5 2 .
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: ePopulasi penelitian tersebut yaitu seluruh susuformula dari setiap merek susu formula yangberedar di Indonesia. Sampel penelitian tersebutmisalnya satu sendok susu formula dari setiapmerek yang beredar di Indonesia.
2. Jawaban: cData kontinu merupakan data yang diperolehdengan cara mengukur (pilihan c). Pilihan a, b, d,dan e diperoleh dengan cara menghitung ataumencacah (data diskrit).
3. Jawaban: dMerek D= 360° – (72° + 57,6° + 64,8° + 86,4°)
= 360° – 280,8°= 79,2°
79,2360
°° =
merek D500
⇔ merek D = 500 79,2
360× °
°
= 39.600
360
= 110 unit
fi
2234342
20
Panjang (cm)
45–5455–6465–7475–8485–94
95–104105–114
n
i 1=∑
xi
49,559,569,579,589,599,5
109,5
fi · xi
99119
208,5318
268,5398219
1.630
xi – xxx
–32–22–12–2
81828
fi(xi – xx)2
2.04896843216
1921.2961.568
6.520
xi
222732374247
Nilai Data
20–2425–2930–3435–3940–4445–49
n
i 1=∑
fi
514101254
50
fi · xi
110378320444210188
1.650
fi
514101254
50
Nilai Data
20–2425–2930–3435–3940–4445–49
n
i 1=∑
xi
222732374247
xi – xxx
–11–6–149
14
fi(xi – xx)2
60550410
192405784
2.500
31Matematika Kelas XI Program IPA
4. Jawaban: dPenjualan minyak= 100% – (39% + 6% + 21% + 14%)= 100% – 80%= 20%Minyak = 1.260.000 + beras⇔ minyak – beras = 1.260.000⇔ 20% – 6% = 1.260.000⇔ 14% = 1.260.000
Total penjualan = 10014 × 1.260.000
= Rp9.000.000,00Penjualan alat tulis = 21% × total penjualan
= 21
100 × 9.000.000
= Rp1.890.000,00Jadi, hasil penjualan alat tulis sebanyakRp1.890.000,00.
5. Jawaban: bPenurunan terendah yaitu: 2,7% – 0,9% = 1,8%Kenaikan tertinggi yaitu: 3,3 – 0,9% = 2,4%
6. Jawaban: bPersentase banyak kambing
= 15.80611.869 408 2.192 15.806 10.392+ + + +
× 100%
= 15.80640.667 × 100%
= 38,87%
7. Jawaban: eLulusan yang belum bekerja berarti lulusantersebut melanjutkan kuliah atau menempuhkursus.Misalkan banyak lulusan tersebut = x.x = (150 + 50) + (130 + 60) + (125 + 80)
+ (90 + 100) + (80 + 110)= 200 + 190 + 205 + 190 + 190 = 975
Jadi, lulusan yang belum bekerja selama tahun2006–2010 sebanyak 975 orang.
8. Jawaban: c
Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada40 unit.
Persentase = 40n × 100%
= 4060 × 100% = 66,67%
9. Jawaban: c
Persentase banyaknya siswa yang mempunyainilai tidak lebih dari 80
= 2540 × 100%
= 62,5%
10. Jawaban: cFrekuensi kumulatif kurang dari 164,5 = 65.Frekuensi kumulatif kurang dari 159,5 = 25.Dari grafik terlihat selisih kedua frekuensi kumulatifini paling besar, yaitu 65–25 = 40.Jadi, intervalnya 160–164.
11. Jawaban: d
xx =
n
ii 1
x
n=∑
= 10.000 15.000 25.000 40.000 10.0005
+ + + +
= 100.000
5 = 20.000
Jadi, nilai rata-rata hasil panen selama 5 bulanadalah 20.000 ton.
12. Jawaban: b
Me = data ke-50 51
2+
= data ke-5012
= 27Jadi, median data tersebut 27.
13. Jawaban: cMisalkan x–i = rata-rata sumbangan kelompok i,
dengan i = 1, 2, 3, 4, 5
fi
81220119
60
Jarak per Liter Bensin
40–4546–5152–5758–6364–69
Jumlah
fk
820405160
fi
429
1087
40
Nilai
41–5051–6061–7071–8081–90
91–100
Jumlah
fk
46
15253340
fi
2014213069
100
Data
252627282930
Jumlah
fk
2034558591
100
32 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Sumbangan kelompok I= n1 × x–1⇔ x1 = 6 × 5.000
= Rp30.000,00Sumbangan kelompok II = n2 × x–2⇔ x2 = 8 × 4.500
= Rp36.000,00Sumbangan kelompok III= n3 × x–3⇔ x3 = 10 × 3.500
= Rp35.000,00Sumbangan kelompok IV = n4 × x–4⇔ x4 = 11 × 4.000
= Rp44.000,00Sumbangan kelompok V = n5 × x–5⇔ x5 = 15 × 2.000
= Rp30.000,00Misalkan rata-rata sumbangan seluruh kelompok= x–.
x– = 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x xn n n n n
+ + + ++ + + +
= 30.000 36.000 35.000 44.000 30.000
6 8 10 11 15+ + + +
+ + + +
= 175.000
50 = 3.500
Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompokRp3.500,00.
14. Jawaban: aBanyak siswa kelas A = nA = 15Banyak siswa kelas B = nB = 10Banyak siswa kelas C = nC = 25Rata-rata nilai gabungan = x– gabungan = 58,6Rata-rata nilai kelas A = x–A = 62Rata-rata nilai kelas C = x–C = 60
x– gabungan = A A B B C C
A B C
n x n x n xn n n
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
⇔ 58,6 = B15 62 10 x 25 6015 10 25
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
⇔ 58,6 = B10x 2 43050+ ⋅
⇔ 2.930 = 10x–B + 2.430⇔ 10x–B = 500⇔ x–B = 50Jadi, rata-rata nilai kelas B adalah 50.
15. Jawaban: a
Mean: xx =
n
ii ii 1
n
iii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
= 1.020
50
= 20,4
16. Jawaban: c
Me = data ke-15 data ke-16
2+
Me terletak di kelas interval 11–15.
Me = L + Me
e
k
M
12
n f
f
−
· p
= 10,5 + 12
30 9
9
⋅ −
· 5
= 10,5 + 69 · 5
= 10,5 + 3,33= 13,83
Jadi, mediannya adalah 13,83.
17. Jawaban: bMo terletak di kelas interval 58–63 karenafrekuensinya paling besar.
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 57,5 + 12 9(12 9) (12 7)
− − + −
· 6
= 57,5 + 33 5
+
· 6
= 57,5 + 188
Jadi, modus dari data pada tabel adalah 57,5 +
188 .fi
1287
1013
50
Poin
8–1213–1718–2223–2728–32
n
i 1=∑
xi
1015202530
fi · xi
120120140250390
1.020
fi
45975
30
fk
49
182530
→ Kelas Me
Nilai
1–56–1011–1516–2021–25
Jumlah
33Matematika Kelas XI Program IPA
18. Jawaban: e
x– =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
= 18320
= 9,15
Jadi, rata-rata skor tersebut 9,15.
19. Jawaban: e
Median = data ke- 15 162+
= data ke-1512
Median terletak di kelas interval 32–37.
Me = L + Me
e
k
M
12
n f
f
−
· p
= 31,5 + 15 1017 10
− −
· 6
= 31,5 + 57 · 6
= 31,5 + 4,29= 35,79
20. Jawaban: cMo terletak pada kelas interval 110–119
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 109,5 + 35 14(35 14) (35 21)
− − + −
· 10
= 109,5 + 2135 · 10
= 109,5 + 6= 115,5
Jadi, ukuran berat karung pasir yang terbanyak115,5 kg.
21. Jawaban: dData setelah diurutkan:1 2 3 4 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10
↓ ↓ ↓Q1 Q2 Q3
Jangkauan = xmaks – xmin
= 10 – 1 = 9
Simpangan kuartil = 12 (Q3 – Q1)
= 12 (8 – 4) = 2
Jadi, jangkauan dan simpangan kuartil berturut-turut 9 dan 2.
22. Jawaban: d
Kuartil atas = Q3
Q3 = data ke-3n 2
4+
= data ke-30,5Q1 terletak di kelas interval 70–74.
Q3 = L3 + Q 3
3
k
Q
34
n f
f
−
· p
= 69,5 + 30 28
8−
· 5
= 69,5 + 28
· 5
= 69,5 + 1,25= 70,75
Jadi, kuartil atas data tersebut 70,75.
23. Jawaban: b
Q1 = data ke-14 (50 + 2) = data ke-13 = 30.
Q3 = data ke-⋅ +3 50 2
4 = data ke-38 = 40.
Rataan kuartil = 12 (Q1 + Q3)
= 12 (30 + 40)
= 12 · 70
= 35
xi
369
1215
Skor
2–45–7
8–1011–1314–16
n
i 1=∑
fi · xi
630544845
183
fi
25643
20
fi
468
1084
40
Berat Badan
50–5455–5960–6465–6970–7475–79
Jumlah
fk
41018283640
fi
259
131173
50
Nilai
20253035404550
Jumlah
fk
27
1629404750
→ Kelas Q1
→ Kelas Q3
34 Kunci Jawaban dan Pembahasan
24. Jawaban: eTabel dari diagram tersebut sebagai berikut.
Q3 = data ke-3n 2
4+
= data ke-152
4
= data ke-38Q3 terletak pada kelas interval 12–14.
Q3 = L3 + Q3
3
k
Q
34
n f
f
⋅ −
· p
= 11,5 + 34
50 31
9
⋅ −
· 3
= 11,5 + 37,5 31
9−
· 3
= 11,5 + 6,53
= 11,5 + 2,167= 13,667
Jadi, kuartil ketiga 13,667.
25. Jawaban: c
Q3 = data ke-3 40 2
4⋅ +
= data ke-3012
Q3 terletak pada kelas interval 70–79
Q3 = L3 + Q3
3
k
Q
34
n f
f
⋅ −
· p
= 69,5 + 34
40 23
8
⋅ −
· 10
= 69,5 + 78 · 10
= 69,5 + 8,75 = 78,25Jadi, kuartil atas dari data pada tabel adalah 78,25.
26. Jawaban: a
D6 = data ke-6
10 (30 + 1)
= data ke-186
10
D6 terletak pada kelas interval 25–29
D6 = L + D6
6
k
D
610
30 f
f
⋅ −
· p
= 24,5 + 18 1410−
· 5
= 24,5 + 2 = 26,5Jadi, desil ke-6 data di atas = 26,5.
27. Jawaban: d
xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑ =
46020 = 23
S2 =
n2
i ii 1
n
ii 1
f (x x)
f
=
=
−∑
∑ =
19820 = 9,9
Jadi, ragam data tersebut 9,9.
28. Jawaban: b
Q2 = data ke-20 data ke-21
2+
Q2 terletak pada kelas interval 78–82
Q2 = L2 + Q2
2
k
Q
n2
f
f
−
· p
= 77,5 + 402
18
8
−
· 5
= 77,5 + 28 · 5
= 77,5 + 1,25= 78,75
Jadi, kuartil kedua data tersebut 78,75.
Nilai
40–4950–5960–69
70–79
80–89
Jumlah
Frekuensi
76
10
8
9
40
fk
71323
31
40→ Kelas Q3
fi
257
10
6
30
Nilai
10–1415–1920–24
25–29
30–34
Jumlah
fk
27
14
24
30
fi
9452
20
Tinggi (Meter)
19–2122–2425–2728–30
n
i 1=∑
xi
20232629
fi · xi
18092
13058
460
xi – x–
–3036
fi(xi – x–)2
810
4572
198
fi
35
10
8
95
40
Nilai
63–6768–7273–77
78–82
83–8788–92
Jumlah
fk
38
18
26
3540
→ Kelas Q2
35Matematika Kelas XI Program IPA
29. Jawaban: d
Q1 = data ke-45 1
4+
= data ke-1112
Q1 terletak pada interval 80–84
Q1 = L1 + Q1
1
k
Q
n4
f
f
−
· p
= 79,5 +454
8
15 8
− −
· 5
≈ 79,5 + 2,3
≈ 81,8
30. Jawaban: a
P15 = data ke-15100 (99 + 1) = data ke-15
P15 terletak di kelas interval 10–14.
P15 = L + P15
15
k
P
15100
n f
f
⋅ −
· p
= 9,5 + 14,85 020
−
· 5
= 9,5 + 14,854
= 9,5 + 3,7125= 13,2125
Jadi, persentil ke-15 data tersebut 13,2125.
B. Uraian
1. a.
b. Banyak orang yang berusia kurang dari 19tahun = x.x = 80 + 40
= 120Jadi, banyak orang yang berusia kurang dari19 tahun adalah 120.
2.
a. Me = data ke-12 (45 + 1)
= data ke-23= 79
Jadi, median data tersebut 79.
b. P30 = data ke-30
100 (45 + 1)
= data ke-1345
= 78Jadi, persentil ke-30 data tersebut 78.
3. a. Jumlah orang = 48 + 100 + 104 + 72 + 36= 360
Ukuran sepatu 34–35 → 48360 × 360° = 48°
Ukuran sepatu 36–37 → 100360 × 360° = 100°
Ukuran sepatu 38–39 → 104360 × 360° = 104°
Ukuran sepatu 40–41 → 72360 × 360° = 72°
Ukuran sepatu 42–43 → 36360 × 360° = 36°
fi
201714182010
99
Nilai
10–1415–1920–2425–2930–3435–39
Jumlah
fk
203751698999
Frekuensi
Usia (dalam tahun)
90
80
70
60
50
40
5–11 12–18 19–25 26–32 33–39
fi
5
12105
103
45
Skor
77
7879808182
Jumlah
fk
5
1727324245
→ Kelas P30→ Kelas Me
Ukuransepatu40–41
72°
Ukuransepatu42–43
36°Ukuransepatu34–35
48°
Ukuransepatu36–37
100°Ukuransepatu38–39
104°
36 Kunci Jawaban dan Pembahasan
b.
Me = data ke-180 + data ke-1812
Me terletak pada kelas interval 38–39.
Me = L + Me
e
k
M
n2
f
f
−
· p
= 37,5 + 180 148104
−
· 2
= 37,5 + 3252
= 37,5 + 0,615= 38,115
Jadi, median data tersebut 38,115.
4. a.
xx = i if x
f
⋅ΣΣ =
8020 = 4
Jadi, rata-rata data tersebut 4.
b.
Ragam: S2 =
n 2i i
i 1n
ii 1
f (x x)
f
=
=
−∑
∑
= 3020
= 1,5Jadi, ragam data tersebut 1,5.
5. a.
Me = data ke-30 + data ke-312
Me terletak pada kelas interval 24–26.
Me = L + Me
e
k
M
12
n f
f
−
· p
= 23,5 + 30 2210−
· 3
= 23,5 + 2410
= 25,9
Jadi, median data tersebut 25,9.
b. Modus terletak pada kelas interval 30–32.
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 29,5 + 11 7
(11 7) (11 10) − − + −
· 3
= 29,5 + 45 · 3
= 29,5 + 2,4 = 31,9
Jadi, modus data tersebut 31,9.
6.
a. Mo terletak pada kelas interval 113–123
Mo = L + 1
1 2
dd d
+
· p
= 112,5 + 3636 30
+
· 11
= 112,5 + 6 = 118,5Jadi, nilai upah yang diterima mayoritaskaryawan Rp1.185.000,00.
Nilai (xi)
23456
n
i 1=∑
fi
34562
20
fi · xi
612203012
80
fi
34562
20
Nilai (xi)
23456
n
i 1=∑
xi – xx xx xx
–2–1012
fi (xi – xx xx xx)2
124068
30
fi
481001047236
360
Ukuran Sepatu
34–3536–3738–3940–4142–43
Jumlah
fk
48148252324360
fi
7456
107
1110
60
Nilai
12–1415–1718–2021–2324–2627–2930–3233–35
Jumlah
fk
711162232395060
fk
122749
107135147160
Upah (dalam puluhan riburupiah)
80–9091–101102–112113–123124–134135–145146–156
Jumlah
fi
12152258281213
160
37Matematika Kelas XI Program IPA
b. Q1 = data ke-160 2
4+
= data ke-4012
Q1 terletak pada kelas interval 102–112
Q1 = L1 + Q1
1
k
Q
14
n f
f
−
· p
= 101,5 + 14
160 27
22
⋅ −
· 11
= 101,5 + 6,5 = 108Jadi, upah tertinggi dari 25% kelompokkaryawan yang terendah upahnyaRp1.080.000,00.
7. Me = data ke-35 1
2+
= data ke-18Me terletak pada kelas interval 65–69
Me = L + Me
e
k
M
n2
f
f
−
· p
= 64,5 + 352
13
23 13
− −
· (69,5 – 64,5)
= 64,5 + 92
10 · 5 = 64,5 + 2,25 = 66,75
Jadi, median data di atas adalah 66,75 .
8. D8 = data ke-8
10 (35 + 1)
= data ke-288
10D8 terletak pada kelas interval 75–79
D8 = L + D8
8
k
D
810
n f
f
−
· p
= 74,5 + 45
35 25
30 25
⋅ − −
· 5
= 74,5 + 35 · 5 = 74,5 + 3 = 77,5
Jadi, desil ke-8 data tersebut 77,5.
9.
a. Q1 = data ke- 14
(40 + 2)
= data ke-1012
Q1 terletak di kelas interval 28–32
Q1 = L1 + Q1
1
k
Q
14
n f
f
⋅ −
· p
= 27,5 + 14
40 9
5
⋅ −
· 5
= 27,5 + 1= 28,5
Jadi, kuartil pertama data tersebut 28,5.
b. Q3 = data ke- 3 40 24
⋅ +
= data ke-3012
Q3 terletak di kelas interval 43–47
Q3 = L3 + Q3
3
k
Q
34
n f
f
⋅ −
· p
= 42,5 + 34
40 23
10
⋅ −
· 5
= 42,5 + 3,5 = 46Jangkauan antarkuartil= Q3 – Q1= 46 – 28,5 = 17,5
10. a.
xx =
n
i ii 1
n
ii 1
f x
f
=
=
⋅∑
∑
⇔ 168,4 = 10.340 174x
62 x++
⇔ 10.440,8 + 168,4x = 10.340 + 174x⇔ 100,8 = 5,6x⇔ x = 18Jadi, banyak orang bertinggi badan antara171 dan 177 cm ada 18 orang.
fi
9
5
45
10
7
40
Berat Karung(dalam kg)
23–27
28–32
33–3738–42
43–47
48–52
Jumlah
fk
9
14
1823
33
40
→ Kelas Q1
→ Kelas Q3
xi
153160167174181
Tinggi Badan (cm)
150–156157–163164–170171–177178–184
n
i 1=∑
fi · xi
2.4481.6002.672174x3.620
10.340 + 174x
fi
161016x
20
60 + x
38 Kunci Jawaban dan Pembahasan
b. Misalkan y = banyak orang yang bertinggibadan lebih dari 163 cmy = 16 + 18 + 20
= 54 orangJadi, ada 54 orang yang bertinggi badan lebihdari 163.
Bab II Peluang
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: eJawaban: a15!
12!3! + 10!6!4! =
15 14 13 12!12! 3 2 1× × ×
× × × + 10 9 8 7 6!6! 4 3 2 1
× × × ×× × × ×
= 455 + 210= 665
2. Jawaban: c20!
12!8! + 20!
13!7! = 20!
12!8! × 1313 +
20!13!7! ×
88
= 20! 1313!8!
× +
20! 813!8!
×
= 20!(13 8)
13!8!+
= 20! 2113!8!
×
= 21!
13!8!
3. Jawaban: e 3n+1C2 = 2n+2C4
⇔ 3(n 1)!2!(n 1 2)!
++ −
= 2(n 2)!4!(n 2 4)!
++ −
⇔ 3(n 1)!2(n 1)!
+− = 2(n 2)!
24(n 2)!+−
⇔ 3(n 1)!(n 1)(n 2)!
+− −
= (n 2)(n 1)!6(n 2)!+ +
−
⇔ 18 = (n – 1)(n + 2)⇔ n2 + n – 2 = 18⇔ n2 + n – 20 = 0⇔ (n + 5)(n – 4) = 0⇔ n + 5 = 0 atau n – 4 = 0⇔ n = –5 atau n = 4
n+1C2 mempunyai syarat n + 1 ≥ 2 atau n ≥ 1.
n+2C4 mempunyai syarat n + 2 ≥ 4 atau n ≥ 2.Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 4.
4. Jawaban: eBanyak pasangan sepatu dan kaos kaki yangdapat dipakai Agung = 2 × 3
= 6
5. Jawaban: aCara 1 menggunakan permutasi.Penyusunan pengurus kelas memperhatikanurutan, sehingga digunakan permutasi.Banyak cara memilih 3 pengurus kelas dari 30siswa.= 30P3
= 30!(30 3)!−
= 30 29 28 27!27!
× × × = 24.360
Cara 2 menggunakan kaidah pengisian tempat.
Ketua Wakil ketua Sekretaris
30 cara 29 cara 28 cara
Ketua dapat dipilih dengan 30 cara.Wakil ketua dapat dipilih dengan 29 cara.Sekretaris dapat dipilih dengan 28 cara.Banyak cara memilin 3 pengurus = 30 × 29 × 28= 24.360.
6. Jawaban: dSegitiga dapat dibentuk dengan menghubungkan3 titik yang tidak segaris.Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari 7 titik= 7C3 = 35 buah.
7. Jawaban: dBanyak cara memilih jenis bibit mangga tidakmemperhatikan urutan sehingga digunakankombinasi. Dua jenis bibit sudah pasti terpilih,sehingga permasalahan menjadi memilih (8 – 2)bibit dari (15 – 2).Banyak cara pemilihan jenis bibit mangga
= 13C6 = 13!(13 6)! 6!−
= 13 12 11 10 9 8 7!7! 6 5 4 3 2 1× × × × × ×
× × × × × × = 1.716
8. Jawaban: bAgar menjadi bilangan genap, tempat satuanhanya dapat diisi angka genap yaitu 2, 4, dan 6sehingga ada 3 cara untuk menyusun angkasatuan. Oleh karena tidak ada angka yangberulang, ketiga tempat yang lain dapat disusundari 6 – 1 = 5 angka yang lain sehingga ada 5P3cara untuk menyusun 5 angka yang lain.Banyak bilangan genap yang tersusun= 5P3 × 3= 60 × 3= 180Jadi, ada 180 bilangan genap yang tersusun.
39Matematika Kelas XI Program IPA
9. Jawaban: cBanyak cara memilih 3 huruf dari 5 huruf hidupada 5C3.Banyak cara memilih 3 angka dari 10 angka ada10C3.Banyak cara menyusun 3 angka dan 3 huruf yangsudah terpilih ada 6P6 = 6!.Banyak kata sandi yang dapat disusun= 5C3 × 10C3 × 6!
10. Jawaban: a
Banyak cara penempatan peserta wisata= 8C2 × 6C3 × 3C3 = 28 × 20 x 1 = 560 cara
11. Jawaban: dBanyak cara menyusun ketiga merek motor = 3!Banyak cara menyusun motor Honda = 4!Banyak cara menyusun motor Yamaha = 3!Banyak cara menyusun motor Suzuki = 2!Banyak penyusunan barisan dengan setiap merektidak boleh terpisah= 3! 4! 3! 2!= 1.728
12. Jawaban: aBanyak huruf = 7.Banyak huruf A = 2Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk
= 7!2! =
7 6 5 4 3 2!2!
× × × × × = 2.520
13. Jawaban: eBanyak buku = 4 + 3 + 4 = 11.Banyak cara menyusun ketiga jenis buku
= 11!
4!3!4!
= 11 10 9 8 7 6 5 4!
4! 3 2 1 4 3 2 1× × × × × × ×
× × × × × × ×
= 11.550
14. Jawaban: ePada penyusunan objek yang berupa benda mati(misalnya: manik-manik), arah penyusunan tidakdiperhatikan. Manik-manik yang berwarna samadipandang 1 unsur. Oleh karena manik-manikterdiri atas 4 warna maka banyak manik-manikada 4.Soal ini merupakan masalah permutasi siklis dari4 objek. Hasil dari permutasi siklis tersebut dibagidua karena arah penyusunan tidak diperhatikan.Banyak cara menyusun manik-manik menjadi
sebuah gelang = (4 1)!
2−
= 3!2 = 3.
15. Jawaban: aKetua, wakil ketua, dan dua sekretaris dipandangsebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadipermutasi siklis dari 6 unsur.Banyak susunan duduk 2 sekretaris = 2P2 = 2!Banyak susunan duduk ketua dan wakil ketua =2P2 = 2!Banyak susunan duduk dari kesembilan orangtersebut = (6 – 1)! 2P2 · 2P2
= 5!2!2!= 480
B. Uraian
1. a. 2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2
⇔2 (2n 1)!
2!(2n 1 2)!⋅ +
+ − = 3!n!
(n 2)!−
⇔(2n 1)(2n 1 1)(2n 1 2)!
(2n 1 2)!+ + − + −
+ − = 6n(n 1)(n 2)!
(n 2)!− −
−
⇔ (2n + 1) · 2n = 6n(n –1)⇔ 2n + 1 = 3n – 3⇔ n = 4Jadi, nilai n = 4.
b. n · 6P2 = nP3
⇔n 6!
(6 2)!⋅− =
n!(n 3)!−
⇔ 30n = n(n 1)(n 2)(n 3)!
(n 3)!− − −
−
⇔ 30 = (n – 1)(n – 2)⇔ n2 – 3n + 2 = 30⇔ n2 – 3n– 28 = 0⇔ (n – 7)(n + 4) = 0⇔ n – 7= 0 atau n + 4 = 0⇔ n = 7 atau n = –4nP3 mempunyai syarat n ≥ 3.Jadi, nilai n yang memenuhi 7.
c. 9 n
10 n 1
CC +
= 3
10
⇔ 10 · 9Cn = 3 · 10Cn + 1
⇔10 9!
n!(9 n)!⋅− =
3 10!(n 1)!(10 n 1)!
⋅+ − −
⇔10!
n!(9 n)!− = 3 10!
(n 1)n!(9 n)!⋅
+ −
⇔ n + 1 = 3⇔ n = 2Jadi, nilai n = 2.
2. Banyak huruf konsonan berbeda yang dapat dipilih= 6C3
= 6!
3!(6 3)!−
= 20
Kamar 1
8C2 cara 6C3 cara 3C3 cara
Kamar 2 Kamar 3
40 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Banyak huruf vokal berbeda yang dapat dipilih= 4C2
= 4!
2!(4 2)!− = 6
Banyak cara menyusun 3 konsonan dan 2 vokal= 5P5 = 5! = 120.Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk= 20 × 6 × 120 = 14.400
3. Anggota tim terdiri atas 1 siswa dari kelas X, 3siswa dari kelas XI, dan 1 siswa dari kelas XII.Banyak cara memilih 1 siswa dari kelas X= 7C1 = 7Banyak cara memilih 3 siswa dari kelas XI= 6C3 = 20Banyak cara memilih 1 siswa dari kelas XII= 5C1 = 5Banyak cara membentuk tim = 7 × 20 × 5 = 700.
4. Jumlah buku = 3 × 4 = 12Unsur yang sama: n1 = 3,
n2 = 3, n3 = 3, dan n4 = 3.
Banyak cara menyusun buku dalam rak:
= 12!
3!3!3!3! = 12!
1.296 = 369.600 cara.
5. a. (2x + 3y)7 = 7
7 r r7 r
r 0C (2x) (3y)−
=∑
x4y3 merupakan suku keempat dan r = 3Suku keempat = 7C3(2x)7 – 3(3y)3
= 7C3(2x)4(3y)3
= 7C3 × 24 × 33 × x4y3
= 35 × 16 × 27 × x4y3
= 15.120x4y3
Jadi, koefisien x4y3 adalah 15.120.
b. (x – 2y)7 = 7
7 r r7 r
r 0C x ( 2y)−
=−∑
x4y3 merupakan suku keempat dan r = 3Suku keempat = 7C3 x
7 – 3(–2y)3
= 7C3 x4(–2)3y3
= 7C3 × (–2)3 × x4y3
= 35 × (–8) × x4y3
= –280x4y3
Jadi, koefisien x4y3 adalah –280.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: eBanyak anggota ruang sampel pelemparan duadadu = 6 × 6 = 36.Banyak anggota ruang sampel pelemparan satukeping uang logam = 2.Banyak anggota ruang sampel pelemparan duadadu dan satu keping uang logam secara ber-samaan = 36 × 2 = 72.
2. Jawaban: eBanyaknya hasil yang mungkin:
Jadi, hasil yang mungkin ada 63 = 216.
3. Jawaban: eFrekuensi muncul gambar = 30 – 21 = 9.
Frekuensi relatif muncul gambar = 930 = 0,3.
4. Jawaban: bS = {(1, A), (2, A), (3, A), (4, A), (5, A), (6, A),
(1, G), (2, G), (3, G), (4, G), (5, G), (6, G)}n(S) = 12A = kejadian muncul mata dadu genap dan angka
pada mata uang logam= {(2, A), (4, A), (6, A)}
n(A) = 3
P(A) = n(A)n(S) =
312 =
14
Jadi, peluang muncul mata dadu genap dan angka
pada mata uang logam adalah 14 .
5. Jawaban: aJika buku sejenis diatur secara berdampinganmaka kamus diatur dalam 4P4 cara dan ensiklopedidiatur dalam 2P2 cara.Banyak cara mengatur 2 kelompok buku = 2P2.Banyak cara mengatur 6 buku = 6P6.Peluang buku-buku yang sejenis ditempatkan
secara berdampingan = 4 4 2 2 2 2
6 6
P P PP
⋅ ⋅
= 24 2 2
720⋅ ⋅
= 2
15
6. Jawaban: bA = kejadian terambil 1 ikan mas dari 12 ikan masn(A) = 12C1 = 12S = kejadian terambil 1 ikan dari jumlah ikann(S) = 60C1 = 60
6 cara 6 cara 6 cara
lemparan 1 lemparan 2 lemparan 3
41Matematika Kelas XI Program IPA
P(A) = n(A)n(S) =
1260 =
15
Jadi, peluang terambil ikan mas dalam satu kali
pemancingan adalah 15 .
7. Jawaban: aA = kejadian terambil dua kartu kingn(A) = 4C2 = 6S = kejadian terambil dua kartu dari 52 kartun(S) = 52C2 = 1.326
P(A) = n(A)n(S) =
61.326 =
1221
Jadi, peluang terambil dua kartu king 1221
.
8. Jawaban: dBilangan ratusan terdiri atas 3 angka, angkaratusan, puluhan, dan satuan.Banyak nomor undian yang terbentuk merupakanpermutasi 3 dari 5.n(S) = banyak nomor undian yang terbentuk
= 5P3 = 60n(A) = banyak susunan nomor undian kurang
dari 400
Oleh karena nomor undian kurang dari 400 makaangka ratusan dapat diisi oleh angka 1, 2, dan 3sehingga angka ratusan dapat diisi dengan 3 cara.Angka puluhan dapat diisi dengan 4 cara setelah1 angka dipakai angka ratusan.Angka satuan dapat diisi dengan 3 cara setelah1 angka dipakai angka ratusan dan 1 angkadipakai angka puluhan.n(A) = 3 × 4 × 3 = 36
P(A) = n(A)n(S) =
3660 =
35
Jadi, peluang muncul nomor undian kurang dari
400 adalah 35 .
9. Jawaban: cDua angka berjumlah genap jika terdiri atas angkaganjil-ganjil atau genap-genap.Banyak angka berjumlah genap= banyak angka ganjil-ganjil + banyak angka
genap-genap= 5C2 + 4C2= 10 + 6= 16Diperoleh n(S) = 16
A = kejadian terpilih kedua angka ganjiln(A) = 5C2 = 10
P(A) = n(A)n(S)
= 1016
= 58
Jadi, peluang kedua angka bilangan ganjil 58 .
10. Jawaban: eA = kejadian terambil dua barang rusakn(A) = 20C2 = 190n(S) = 120C2 = 7.140
P(A) = n(A)n(S)
= 190
7.140 = 19714
Peluang terambil barang yang tidak rusak:P(A′) = 1 – P(A)
= 1 – 19714 =
695714
11. Jawaban: eBanyak ruang sampel: n(S) = 2 × 2 × 6 = 24.A = kejadian muncul angka paling sedikit 1 kaliA′ = kejadian tidak muncul angka
= {GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6}n(A′) = 6
P(A′) =n(A)n(S) =
624 =
14
P(A) = 1 – P(A′) = 1 – 14 =
34
Jadi, peluang muncul angka paling sedikit satu
kali 34 .
12. Jawaban: cPercobaan melempar dua mata uang makan(S) = 4A = kejadian muncul 1 angka dan 1 gambar
= {(A, G), (G, A)}n(A) = 2
P(A) = n(A)n(S)
= 24 =
12
Frekuensi harapan muncul 1 angka dan 1 gambar:Fh(A) = n × P(A)
= 90 × 12 = 45 kali
13. Jawaban: aS = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}n(S) = 8
ratusan puluhan satuan
3 cara 4 cara 3 cara
42 Kunci Jawaban dan Pembahasan
A = kejadian jarum penunjuk menunjuk nomorprima
= {2, 3, 5, 7}n(A) = 4
P(A) = n(A)n(S) =
48
Fh(A) = n × P(A)
= 120 × 48 = 60
Jadi, frekuensi harapan jarum penunjuk menunjuknomor bilangan prima 60 kali.
14. Jawaban: dA = kejadian tidak terambil bola putih
= kejadian terambil 3 bola hijaun(A) = 4C3 = 4Banyak bola = 5 + 4 = 9n(S) = 9C3 = 84
P(A) = n(A)n(S) =
484 =
121
A′ = kejadian terambil sekurang-kurangnya1 bola putih
Peluang terambil sekurang-kurangnya satu bolaputih:
P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 121 =
2021
Fh(A′) = n × P(A′) = 147 × 2021 = 140
Jadi, frekuensi harapan terambil sekurang-kurangnya satu bola putih adalah 140 kali.
15. Jawaban: cBibit yang hidup = 75 – 4 = 71A = kejadian bibit yang disemai hidup
P(A) = 7175
Fh(A) = n × P(A) = 4.500 × 7175 = 4.260
Jadi, ada 4.260 bibit yang diharapkan hidup.
B. Uraian
1. Ruang sampel S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA,GAG, GGA, GGG}n(S) = 8A = kejadian muncul sekurang-kurangnya dua
gambar= {AGG, GAG, GGA, GGG}
n(A) = 4
P(A) = n(A)n(S) =
48 =
12
Jadi, peluang muncul sekurang-kurangnya dua
gambar 12 .
2. Ruang sampel merupakan permutasi 4 unsur dari7 unsur.
n(S) = 7P4 = 7!
(7 4)!− = 840
Banyak kartu bernomor ganjil = 4banyak kartu bernomor genap = 3A = kejadian muncul 4 kartu bernomor ganjil,
genap, ganjil, ganjil
n(A) = 4 × 3 × 3 × 2 = 72
P(A) = n(A)n(S)
= 72840
= 335
Jadi, peluang terambil keempat kartu bernomor
ganjil, genap, ganjil, ganjil 335 .
3. a.
n(S) = 10 × 10 × 10 = 1.000A = kejadian Aksin menjadi pemenang
P(A) = 1
1.000
Jadi, peluang Aksin menjadi pemenang 1
1.000 .b.
n(S1) = 10 × 10 × 5 = 500B = kejadian pemilik nomor hand phone
yang ketiga angka terakhirnya bilangangenap menjadi pemenang
n(B) = 5 × 5 × 5 = 125
P(B) = n(A)n(S) =
125500 =
14
Jadi, peluang pemilik nomor hand phone yangketiga angka terakhirnya bilangan genap
menjadi pemenang 14 .
4. S = kejadian menyusun 3 orang dari 7 orangmenjadi pengurus
n(S) = 7P3 = 210a. A = kejadian seseorang tidak terpilih men-
jadi pengurus= kejadian menyusun 3 orang dari (7 – 1)
orang menjadi pengurusn(A) = 6P3 = 120
kartu 2genap
kartu 3ganjil
4 cara 3 cara 3 cara
kartu 1ganjil
kartu 4ganjil
2 cara
10 cara 10 cara 10 cara
Angka ke-10 Angka ke-11 Angka ke-12
5 cara 5 cara 5 cara
Angka ke-10 Angka ke-11 Angka ke-12
10 cara 10 cara 5 cara
Angka ke-10 Angka ke-11 Angka ke-12
43Matematika Kelas XI Program IPA
P(A) = n(B)n(S) =
120210 =
47
b. B = kejadian seseorang terpilih menjadisekretaris
= kejadian seseorang terpilih menjadisekretaris dan 2 orang dari 6 orang ter-pilih menjadi ketua dan bendahara
n(B) = 1P1 × 6P2 = 1 × 30 = 30
P(B) = n(B)n(S) =
30210 =
17
P(B′) = 1 – P(B) = 1 – 17 =
67
Jadi, peluang seseorang tidak terpilih menjadi
sekretaris 67 .
5. Jumlah kelereng = 6 + 4 + 8 = 18S = kejadian terambil 3 kelereng dari 18 kelerengn(S) = 18C3 = 816a. A = kejadian terambil 3 kelereng hijau
n(A) = 4C3 = 4
P(A) = 4
816 = 1
204
Fh(A) = n × P(A) = 612 × 1
204 = 3
Jadi, frekuensi harapan terambil semuakelereng hijau 3 kali.
b. B = kejadian terambil 2 kelereng putih dan1 kelereng hijau
n(B) = 6C2 × 4C1 = 15 × 4 = 60
P(B) = 60816 =
568
Fh(B) = n × P(B) = 612 × 5
68 = 45
Jadi, frekuensi harapan terambil 2 kelerengputih dan 1 kelereng hijau 45 kali.
c. C = kejadian terambil 1 kelereng putih,1 kelereng hijau, dan 1 kelereng kuning
n(C) = 6C1 × 4C1 × 8C1
= 6 × 4 × 8= 192
P(C) = 192816
= 4
17
Fh(C) = n × P(C)
= 612 × 4
17
= 144Jadi, frekuensi harapan terambil ketigakelereng berbeda warna 144 kali.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: dDua kejadian pada pilihan a, b, dan e tidak salingasing dan tidak saling bebas.Dua kejadian pada pilihan c saling asing.Dua kejadian pada pilihan d saling bebas.
2. Jawaban: bMisal:S = kejadian terambil 1 bola dari
(4 + 3 + 3) 10 bolan(S) = 10C1 = 10A = kejadian terambil 1 bola merah dari 4 bola
merahn(A) = 4C1 = 4B = kejadian terambil 1 bola hitam dari 3 bola hitamn(B) = 3C1 = 3A dan B merupakan dua kejadian saling asing.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = n(A)n(S) +
n(B)n(S)
= 4
10 + 3
10 = 7
10Jadi, peluang terambil bola merah atau hitam
adalah 7
10 .
3. Jawaban: dMisal: A = {penduduk berpenghasilan rendah}
B = {penduduk berpenghasilan sedang}C = {penduduk berpenghasilan lebih}
n(S) = 100% n(B) = 20%n(A) = 40% n(C) = 15%Kejadian A dan B merupakan dua kejadian salingasing sehingga n(A ∩ B) = 0.P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S)
= 40%
100% + 20%
100%
= 4
10 + 2
10 = 6
10 = 0,6
Jadi, peluang terpilih warga yang berpenghasilanrendah atau sedang 0,6.
4. Jawaban: aKemungkinan pasangan kelereng yang terambiladalah KKH atau KKB.n(S) = banyak cara mengambil 3 kelereng dari
12 kelereng= 12C3= 220
44 Kunci Jawaban dan Pembahasan
n(KKH)= banyak cara mengambil 2 kelerengkuning dan 1 kelereng hijau
= 4C2 × 3C1= 6 × 3 = 18
n(KKB) = banyak cara mengambil 2 kelerengkuning dan 1 kelereng biru
= 4C2 × 5C1= 6 × 5 = 30
Peluang terambil 2 kelereng kuning= P(KKH) + P(KKB)
= n(KKH)
n(S) + n(KKB)
n(S)
= 18220 +
30220
= 48220 =
1255
5. Jawaban: bS = {satu set kartu remi}, n(S) = 52A = {kartu As}, n(A) = 4B = {kartu hitam}, n(B) = 26A ∩ B = { kartu As hitam}, n(A ∩ B) = 2Peluang terambil kartu As atau kartu hitam= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S)
+ n(B)n(S)
– n(A B)n(S)
∩
= 452 +
2652 –
252
= 2852 =
713
6. Jawaban: e
S = kejadian terpilih 1 murid dari 30 muridn(S) = 30C1 = 30A = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dari 10 murid
laki-lakin(A) = 10C1 = 10
P(A) = n(A)n(S) =
1030
B = kejadian terpilih 1 murid berambut keritingdari 15 murid berambut keriting
n(B) = 15C1 = 15
P(B) = n(B)n(S) =
1530
A ∩ B = kejadian terpilih 1 murid laki-laki danberambut keriting dari 5 murid laki-lakidan berambut keriting
n(A ∩ B) = 5C1 = 5
P(A ∩ B) = n(A B)
n(S)∩
= 5
30
Peluang terpilih murid laki-laki atau berambutkeriting:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 1030 +
1530 –
530
= 2030
7. Jawaban: cMisalkan:A = himpunan murid yang mengikuti IMOB = himpunan murid yang mengikuti IBOC = himpunan murid yang mengikuti IChOx = banyak murid yang tidak mengikuti IMO, IBO,
maupun IChOn(S) = 40n(A) = 22n(B) = 17n(C) = 20 n(A ∩ B) = 12 n(A ∩ C) = 9 n(B ∩ C) = 8n(A ∩ B ∩ C) = 5Diagram Venn:
n(S) = 6 + 7 + 2 + 4 + 5 + 3 + 8 + x⇔ 40 = 35 + x⇔ x = 40 – 35 = 5n(x) = 5
P(x) = n(x)n(S) =
540
Jadi, peluang terpilih seorang anak yang tidak
mengikuti IMO, IBO, maupun IChO adalah 540
.
8. Jawaban: aMisal:A = kejadian harga sembako naikP(A) = 0,92B = kejadian gaji pegawai negeri naikP(B) = 1 – P(B′) = 1 – 0,15 = 0,85A dan B merupakan dua kejadian saling bebasP(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0,92 × 0,85 ≈ 0,78Jadi, peluang gaji pegawai negeri dan hargasembako naik 0,78.
Berambut keriting
Berambut lurus
Jumlah
JumlahMurid
Laki-LakiMurid
Perempuan
10
10
20
5
5
10
15
15
30
AS B
C
6 75
4
2
8 x3
45Matematika Kelas XI Program IPA
9. Jawaban: dn(S) = jumlah kelereng = 5 + 3 = 8n(M) = banyak kelereng merah = 5n(K) = banyak kelereng kuning = 3Kemungkinan kelereng yang terambil merah,kuning, merah (MKM) atau merah, kuning,kuning(MKK)A1 = peluang terambil pertama kelereng merah
P(A1) = n(M)n(S) =
58
A2 = peluang terambil kedua kelereng kuningpengambilan II
P(A2) =n(K)
n(S) 1− = 3
8 1− = 37
A3 = peluang terambil ketiga kelereng merah
P(A3) =n(M) 1n(S) 2
−− =
5 18 1
−− =
46 =
23
Peluang terambil kelereng MKM:P1 = P(A1) × P(A2) × P(A3)
= 58 ×
37 ×
23
= 528
B = peluang terambil ketiga kelereng kuning
P(B) =n(K) 1n(S) 2
−− =
3 18 2
−− =
26 =
13
Peluang terambil kelereng MKK:P2 = P(A1) × P(A2) × P(B)
= 58 ×
37 ×
13
= 556
Peluang terambil pertama kelereng merah dankedua kelereng kuning:P = P1 + P2
= 528 +
556
= 1556
10. Jawaban: bS1 = kejadian terambil 1 bola dari 5 bola di
kotak AK = kejadian terambil 1 bola merah dari 2 bola
merah di kotak A
P(K) = 1
n(K)n(S ) = 2 1
5 1
CC
= 25
S2 = kejadian terambil 1 bola dari 8 bola dikotak B
L = kejadian terambil 1 bola putih dari 3 bolaputih di kotak B
P(L) = 2
n(K)n(S )
= 3 1
8 1
CC = 3
8
K dan L merupakan dua kejadian yang salingbebas.P(K ∩ L) = P(K) × P(L)
= 25 ×
38 =
320
Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak A
dan 1 bola biru dari kotak B adalah 3
20 .
11. Jawaban: d
P(T) = P(tidak gol) = 1 – P(gol) = 1 – 35 =
25
A = kejadian terjadi 3 kali tendangan penaltidengan 2 tendangan gol
= {(G, G, T), (G, T, G), (T, G, G)}Kejadian tendangan penalti 3 kali merupakankejadian saling bebas.
P(G, G, T) = 35 ×
35 ×
25 =
18125
P(G, T, G) = 35 ×
25 ×
35 =
18125
P(T, G, G) = 25 ×
35 ×
35 =
18125
Peluang terjadi 2 tendangan penalti gol= P(G, G, T) + P(G, T, G) + P(T, G, G)
= 18125 +
18125 +
18125
= 54
125
Jadi, peluang untuk membuat 2 gol dalam 3 kali
tendangan penalti adalah 54
125 .
12. Jawaban: bOleh karena A dan B kejadian saling bebas makaP(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 13 ×
16
= 1
18
Peluang kejadian A atau B:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 13 +
16 –
118
= 49
13. Jawaban: cJumlah buku di rak = 6 + 3 + 4 = 13n(S) = 13C3 = 286Kemungkinan buku yang terambil (2M, 1F),(2M, 1B), atau 3M.
46 Kunci Jawaban dan Pembahasan
A = kejadian terambil (2M, 1F)n(A) = 6C2 × 3C1 = 15 × 3 = 45B = kejadian terambil (2M, 1B)n(B) = 6C2 × 4C1 = 15 × 4 = 60C = kejadian terambil 3 Mn(C) = 6C3 = 20Peluang terambil paling sedikit 2 buku matematika:P = P(A) + P(B) + P(C)
= n(A)n(S) + n(B)
n(S) +
n(C)n(S)
= 45286
+ 60286
+ 20286
= 125286
14. Jawaban: eBanyak anggota ruang sampel: n(S) = 36A = kejadian muncul angka prima pada dadu
pertama= {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1),
(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2),(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
n(A) = 18
P(A) = n(A)n(S) =
1836 =
12
B = kejadian muncul mata dadu berjumlah lebihdari 8
= {(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3),(6,4), (6,5), (6,6)}
A ∩ B = kejadian muncul angka prima pada matadadu pertama dan jumlah kedua matadadu lebih dari 8
= {(3,6), (5,4), (5,5), (5,6)}n(A ∩ B) = 4
P(A ∩ B) = n(A B)
n(S)∩
= 436 =
19
B|A= kejadian muncul angka prima pada dadupertama yang berjumlah lebih dari 8
P(B|A)=P(A B)
P(A)∩
= 1912
= 29
15. Jawaban: bBanyak kartu kuning: n(K) = 2Banyak kartu merah: n(M) = 4Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 6Kemungkinan kartu yang terambil M1K2K3,K1M2K3, atau K1K2M3.M1K2K3 = kejadian terambil pertama kartu merah,
kedua kartu kuning, ketiga kartu kuningP(M1K2K3) = P(M1) × P(K2) × P(K3)
= n(M)n(S)
× n(K)n(S)
× n(K)n(S)
= 46 ×
26 ×
26 =
227
K1M2K3 = kejadian terambil pertama kartu kuning,kedua kartu merah, ketiga kartu kuning
P(K1M2K3) = P(K1) × P(M2) × P(K3)
= n(K)n(S)
× n(M)n(S)
× n(K)n(S)
= 26 ×
46 ×
26 =
227
K1K2M3 = kejadian terambil pertama kartu kuning,kedua kartu kuning, ketiga kartu merah
P(K1K2M3) = P(K1) × P(K2) × P(M3)
= n(K)n(S)
× n(K)n(S)
× n(M)n(S)
= 26 ×
26 ×
46 =
227
Peluang terambil satu kartu merah:P = P(M1K2K3) + P(K1M2K3) + P(K1K2M3)
= 227 +
227 +
227 =
29
B. Uraian
1. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 2 × 2 × 6= 24
A = kejadian muncul satu angka= {AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2,
GA3, GA4, GA5, GA6}n(A) = 12
P(A) = n(A)n(S) =
1224 =
12
B = kejadian muncul mata dadu genap= {AG2, AG4, AG6, AA2, AA4, AA6, GA2, GA4,
GA6, GG2, GG4, GG6)n(B) = 12
P(B) = n(B)n(S) =
1224 =
12
A ∩ B = kejadian muncul satu angka dan matadadu genap
= {AG2, AG4, AG6, GA2, GA4, GA6}n(A ∩ B) = 6
P(A ∩ B) = n(B B)
n(S)∩
= 624 =
14
a. Peluang muncul satu angka atau mata dadugenap:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 12 +
12 –
14
= 34
b. A|B = kejadian muncul satu angka jikamuncul mata dadu genap
P(A|B) = P(A B)
P(B)∩
= 1412
= 12
47Matematika Kelas XI Program IPA
Jadi, peluang muncul satu angka jika muncul
mata dadu genap 12 .
2. Kemungkinan bangun yang terambil (kubus,kurucut), atau (kubus, limas).Banyak anggota ruang sampel pada kotak A:n(SA) = 8C2 = 28P(A1) = peluang terambil satu kubus dan satu
kerucut dari kotak A
= 3 1 2 1
A
C Cn(S )
×
=3 228×
= 3
14
P(A2) = peluang terambil satu kubus dan satulimas dari kotak A
= 3 1 3 1
A
C Cn(S )
×
=3 328×
= 928
Peluang terambil satu kubus dari kotak A:P(A) = P(A1) × P(A2)
= 3
14 × 928 =
27392
Banyak anggota ruang sampel pada kotak B:n(SB) = 6C2 = 15P(B1) = peluang terambil satu kubus dan satu
kerucut dari kotak B
= 2 1 3 1
B
C Cn(S )
×
=2 315×
= 25
P(B2) = peluang terambil satu kubus dan satulimas dari kotak B
= 2 1 1 1
B
C Cn(S )
×
=2 115×
= 2
15
Peluang terambil satu kubus dari kotak B:P(B) = P(B1) × P(B2)
= 25 ×
215
= 475
Peluang terambil sebuah kubus = P(A) × P(B)
= 27392 × 4
75
= 9
2.450
3. a. Pengambilan dilakukan secara acak duasekaligus.Kemungkinan buah yang terambil 2 apel atau2 jeruk.
Banyak buah = 9 + 6 = 15 buahA = kejadian terambil 2 jeruk
P(A) = 6 2
15 2
CC =
15105
B = kejadian terambil 2 apel
P(B) = 9 2
15 2
CC =
36105
Peluang terambil dua buah dengan jenis yangsama
= P(A) + P(B) = 15105 +
36105 =
51105 =
1735
b. Pengambilan dilakukan satu per satu tanpapengembalian.Peluang terambil dua jerukP(Q) = P (jeruk pada pengambilan I) × P
(jeruk pada pengambilan II)
= 9 1
15 1
CC × 8 1
14 1
CC
= 9
15 × 8
14 = 72210
Peluang terambil dua apelP(R) = P (apel pada pengambilan I) × P (apel
pada pengambilan II)
= 6 1
15 1
CC × 5 1
14 1
CC
= 6
15 × 5
14 = 30210
Peluang terambil dua buah dengan jenis yangsama= P(Q) + P(R)
= 30210 +
72210
= 102210 =
1735
4. Diagram Venn:
S = kejadian terpilih 3 siswa dari 32 siswan(S) = 32C3 = 4.960Kemungkinan siswa yang terpilih 2 siswa hanyagemar tenis dan 1 siswa gemar voli atau 2 siswahanya gemar tenis dan 1 siswa hanya gemar voliatau 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemarvoli dan tenis.P(A) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis
dan 1 siswa gemar voli
= 10 2 22 1C Cn(S)
× =
45 224.960
× =
9904.960
S V T
15 7 10
48 Kunci Jawaban dan Pembahasan
P(B) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenisdan 1 siswa hanya gemar voli
= 10 2 15 1C Cn(S)
× =
45 154.960
× =
6754.960
P(C) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenisdan 1 siswa gemar voli dan tenis
= 10 2 7 1C Cn(S)
× =
45 74.960
× =
3154.960
Peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis= P(A) + P(B) + P(C)
= 990
4.960 + 675
4.960 + 315
4.960 = 1.9804.960 =
99248
5. Kemungkinan hasil pelemparan yang mungkin:B = kejadian tidak pernah terjadi pelemparandadu
= kejadian selalu muncul gambar= {Gambar, Gambar, Gambar}
P(B) = 12 ×
12 ×
12 =
18
Jadi, peluang kejadian tidak pernah terjadi
pelemparan dadu 18 .
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
A → B → C
A ← B ← C
Banyak cara mengadakan perjalanan dari A ke Cmelalui B = 4 × 5 = 20.Banyak cara mengadakan perjalanan dari C ke Amelalui B dengan jalur yang berbeda = 4 × 3 = 12.Banyak cara pulang–pergi dari A ke C melalui Bdengan jalur bus yang berbeda = 20 × 12 = 240.
2. Jawaban: c
Angka I dapat ditempati angka 5, 6, 7, 8, 9sehingga ada 5 cara.Angka II dapat ditempati semua angka sehinggaada 10 cara.Angka III dapat ditempati semua angka kecuali 0sehingga ada 9 cara.Banyak cara menyusun nomor lebih dari 500= 5 × 10 × 9= 450 caraJadi, ada 450 peserta ujian bernomor ganjil.
3. Jawaban: bTempat juara I sudah terisi, sehingga ada 2 tempatyang tersisa.Banyak cara menempatkan 4 anak pada 2 tempatyang tersisa = 4P2 = 12.Jadi, ada 12 foto berbeda yang mungkin tercetak.
4 Jawaban: dMisal:A = {P, E, L, U, A, N, G} ⇒ n(A) = 7B = himpunan bagian dari A yang memiliki
anggota 3 unsurn(B) = 7C3 = 35Jadi, ada 35 himpunan bagian dari A yang memilikianggota 3 unsur.
5. Jawaban: cAnggap 4 pemuda sebagai satu kelompok dan 3pemudi sebagai satu kelompok. Banyak caraduduk 4 pemuda dalam satu kelompok adalah 4P4.Banyak cara duduk 3 pemudi dalam satu kelompokadalah 3P3.Banyak cara duduk selang-seling pemuda danpemudi.= 4P4 × 3P3= 4! × 3! = 144
6. Jawaban: eBanyak cara menyusun 2 huruf berlainan dari24 huruf = 24P2 = 552.Banyak cara menyusun 4 angka berlainan dari10 angka = 10P4.Banyak cara menyusun pelat nomor = 552 × 10P4.
7. Jawaban: dBilangan yang kurang dari 1.000 terdiri atas 3angka dengan urutan diperhatikan sehinggadigunakan permutasi.Banyak bilangan yang dapat disusun dari angka:
a. 0, 0, dan 6 ada 3!
2!1! = 3 bilangan
b. 0, 1, dan 5 ada 3! = 6 bilanganc. 0, 2, dan 4 ada 3! = 6 bilangan
d. 0, 3, dan 3 ada 3!
2!1! = 3 bilangan
e. 1, 2, dan 3 ada 3! = 6 bilangan
f. 1, 4, dan 1 ada 3!
2!1! = 3 bilangan
g. 2, 2, dan 2 ada 3!3! = 1 bilangan
––––––––––– + 28 bilangan
Jadi, ada 28 bilangan.
8. Jawaban: bKemungkinan susunan pimpinan ketua dari kelasXII, wakil ketua dan sekretaris dari kelas XI dan Xatau ketua dari kelas XI, wakil ketua dan sekretarisdari kelas X.
5 cara 10 cara 9 cara
Angka I Angka II Angka III
= pemuda = 4! cara
= pemudi = 3! cara
49Matematika Kelas XI Program IPA
Kasus IKetua dari kelas XII, wakil ketua dan sekretarisdari kelas XI dan X.Jumlah anak kelas X dan XI = 4 + 5 = 9Banyak susunan yang mungkin:= 6P1 × 9P2
Kasus IIKetua dari kelas XI, wakil ketua dan sekretaris darikelas XBanyak susunan yang mungkin:= 5P1 × 4P2
Jumlah banyak kemungkinan susunan pimpinan:= 6P1 × 9P2 + 5P1 × 4P2= 6 × 72 + 5 × 12= 432 + 60 = 492Jadi, banyak kemungkinan susunan pimpinandengan kelas asal ketua harus lebih tinggi darikelas asal wakil ketua dan sekretaris ada 492 cara.
9. Jawaban: a
Banyak cara duduk 4 laki-laki mengelilingi mejabundar (4 – 1)! = 3!Banyak cara duduk 8 perempuan mengelilingimeja bundar (8 – 1)! = 8!Banyak cara duduk 4 laki-laki dan 8 perempuanmengelilingi meja bundar dengan setiap duaorang perempuan duduk di antara dua laki-laki:= 3! × 8! = 6 × 8!
10. Jawaban: aA = kejadian terpilih 2 tiket dari 3 tiket yang dimiliki
wanita tersebut menjadi pemenangn(A) = 3C2 = 3n(S) = 25C2 = 300
P(A) = n(A)n(S) =
3300 =
1100
Jadi, peluang kedua tiket wanita tersebut menang
adalah 1
100 .
11. Jawaban: eS = pelemparan 3 dadun(S) = 6 × 6 × 6 = 216A = kejadian ketiga mata dadu muncul tidak ada
angka yang samaA′ = kejadian ketiga mata dadu muncul angka
yang sama= {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5),
(6, 6, 6)}
n(A′) = 6
P(A′) = n(A )n(S)
′ =
6216 =
136
P(A) = 1 – P(A′) = 1 – 1
36 = 3536
Jadi, peluang ketiga mata dadu yang muncul tidak
ada angka yang sama 3536 .
12. Jawaban: bBanyak bola lampu cacat = 3Banyak bola lampu hidup = 7A = kejadian terpilih satu bola lampu cacat
= kejadian terpilih satu bola lampu cacat dan2 bola lampu hidup
Peluang terpilih satu bola lampu cacat:
P(A) = 3 1 7 2
10 3
C CC×
= 3 21120×
= 63
120 = 2140
Jadi, peluang terpilih satu bola lampu cacat 2140 .
13. Jawaban: cRuang sampel urutan dua anak dengan satu anaklaki-lakiS = {LP, PL, LL} ⇒ n(S) = 3A = kejadian 2 anak berjenis kelamin laki-lakin(A) = 1
P (semuanya laki-laki) = P(LL) = n(A)n(S) =
13
Jadi, peluang semuanya anak laki-laki 13 .
14. Jawaban: aA = kejadian terpilih dua orang merupakan
suami istrin(A) = 6C1 = 6n(S) = banyak kemungkinan terpilih dua orang
dari 6 pasangan (12 orang)= 12C2 = 66
Peluang terpilih pasangan suami istri dari6 pasangan yang ada:
P(A) = n(A)n(S) =
666 =
111
15. Jawaban: dKemungkinan panitia yang terbentuk 2 putri, 2putra), (1 putri, 3 putra) atau 4 putra.Jumlah siswa = 5 + 5 = 10.Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 10C4 = 210P(A) = peluang panitia yang terbentuk 2 putri dan
2 putra
= 5 2 5 2C Cn(S)
×
= 10 10
210×
= 1021
P
P LP
P
L
PPLP
P
L
50 Kunci Jawaban dan Pembahasan
P(B) = peluang panitia yang terbentuk 1 putri dan3 putra
= 5 1 5 3C Cn(S)×
= 5 10210×
= 521
P(C) = peluang panitia yang terbentuk 4 putra
= 5 4Cn(S)
= 5
210 = 1
42Peluang panitia yang terbentuk memuat palingbanyak 2 siwa putri = P(A) + P(B) + P(C)
= 1021 +
521 +
142
= 3142
16. Jawaban: a
S = kejadian terpilih dua pelajar dari 30 pelajarn(S) = 30C2 = 435
A = kejadian terpilih dua pelajar wanita dari 20pelajar wanita
n(A) = 20C2 = 190B = kejadian terpilih dua pelajar yang memakai
arloji dari 15 pelajar yang memakai arlojiN(B) = 15C2 = 105A ∩ B = kejadian terpilih dua pelajar wantia dan
memakai arlojin(A ∩ B) = 10C2 = 45Peluang terpilih pelajar wanita atau memakai arloji:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S)
+ n(B)n(S)
– n(A B)n(S)
∩
= 190435
+ 105435
– 45435
= 250435 =
5087
17. Jawaban: aLisa, Tera, dan Wisnu dipandang sebagai 1 elemen,maka permasalahan menjadi permutasi siklis4 elemen, sedangkan cara duduk Lisa, Tera, danWisnu ada 3! cara.A = kejadian Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-
sebelahann(A) = 3! × permutasi siklis 4 elemen
= 3!(4 – 1)! = 36
n(S) = permutasi siklis 6 elemen= (6 – 1)! = 5! = 120
P(S) =n(A)n(S) =
36120 =
310
Jadi, peluang Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-
sebelahan 3
10 .
18. Jawaban: c1) Jumlah buah di keranjang pertama
= 10 + 8 = 18 buahn(S1) = 18C3 = 816A = kejadian terambil 2 buah rambutan dan
1 jeruk dari keranjang pertaman(A) = 10C2 × 8C1 = 45 × 8 = 360
P(A) = 1
n(A)n(S ) =
360816 =
1534
2) Jumlah buah di keranjang kedua= 5 + 4 = 9 buahn(S2) = 9C2 = 36B = kejadian terambil 1 buah salak dan 1 buah
kedondong dari keranjang keduan(B) = 5C1 × 4C1 = 5 × 4 = 20
P(B) = 2
n(B)n(S ) =
2036 =
59
Peluang terambil 2 buah rambutan dan 1 buahsalak:P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 1534 ×
59
= 25
102Jadi, peluang terambil dua buah rambutan dan
satu buah mangga adalah 25
102 .
19. Jawaban: bBanyak baju putih: n(P) = 5Banyak baju biru : n(B) = 3Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 5 + 3 = 8Kemungkinan baju yang terambil pertama putih–kedua biru–ketiga biru atau pertama biru–keduaputih–ketiga biru atau pertama biru–kedua biru–ketiga putih.P(A) = kejadian terambil baju pertama putih–
kedua biru–ketiga biru
=n(P)n(S)
× n(B)n(S) 1−
× n(B) 1n(S) 2
−−
=58 ×
37 ×
26
= 556
P(B) = kejadian terambil baju pertama biru–keduaputih–ketiga biru
Memakai arloji
Tidak memakai arloji
Jumlah
JumlahPelajarWanita
PelajarPria
5
5
10
10
10
20
15
15
30
51Matematika Kelas XI Program IPA
=n(B)n(S) × n(P)
n(S) 1− × n(B) 1
n(S) 2−−
=38 ×
57 ×
26
= 556
P(C) = kejadian terambil baju pertama biru–keduabiru–ketiga putih
=n(B)n(S) × n(B) 1
n(S) 1−−
× n(P)n(S) 2−
=38 ×
37 ×
56 =
556
Peluang terambil satu baju putih= P(A) + P(B) + P(C)
= 556 +
556 +
556
= 1556
20. Jawaban: eBanyak kelereng merah = 7Banyak kelereng putih = 3Jumlah kelereng = 10Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 10C3 = 120Kemungkinan kelereng yang terambil (3 merah)atau (1 putih, 2 merah).P(A) = peluang terambil 3 kelereng merah
= 7 3Cn(S) =
35120
P(B) = peluang terambil 1 kelereng putih dan2 kelereng merah
= 3 1 7 2C Cn(S)×
= 3 21120×
= 63
120Peluang terambil paling banyak 1 kelereng putih= P(A) + P(B)
= 35
120 + 63
120
= 98
120 = 4960
21. Jawaban: aCara 1Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 52A = kejadian terambil kartu hitamn(A) = 26B = kejadian terambil kartu kingn(B) = 4A dan B merupakan kejadian saling bebas.Peluang terambil satu kartu king hitam:P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= n(A)n(S) ×
n(B)n(S)
= 2652 ×
452 =
126
Cara 2A ∩ B = kejadian terambil kartu king hitam
= {king keriting, king daun hitam}n(A ∩ B) = 2
(A ∩ B) = n(A B)
n(S)∩
= 252 =
126
22. Jawaban: aBanyak percobaan: N = 165Jumlah uang logam dalam mangkuk = 8 + 3 = 11Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 11C2 = 55Kemungkinan uang logam yang terambil 2 uanglogam seribuan atau 1 uang logam seribuan dan1 uang logam lima ratusan.A = kejadian terambil 2 uang logam seribuann(A) = 8C2 = 28
P(A) = n(A)n(S) =
2855
B = kejadian terambil 1 uang logam seribuan dan1 uang logam lima ratusan
n(B) = 8C1 × 3C1 = 8 × 3 = 24
P(B) = n(B)n(S) =
2455
Peluang terambil uang logam seribuan:
P = P(A) + P(B) = 2855 +
2455 =
5255
Frekuensi harapan terambil uang logam seribuan:Fh = P × N
= 5255 × 165
= 156
23. Jawaban: bA = kejadian jumlah mata dadu yang muncul
kurang dari 10= {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3),
(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (5, 1), (4, 2),(3, 3), (2, 4), (1, 5), (6, 1), (5, 2), (4, 3),(3, 4), (2, 5), (1, 6), (6, 2), (5, 3), (4, 4),(3, 5), (2, 6), (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)}
P(A) =n(A)n(S) =
3036
B = kejadian jumlah mata dadu yang munculbilangan prima (2, 3, 5, 7, atau 11)
= {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3),(1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5),(1, 6), (6, 5), (5, 6)}
P(A) =n(B)n(S) =
1536
A ∩ B = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3),(1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5),(1, 6)}
P(A ∩ B) =n(A B)
n(S)∩
= 1336
52 Kunci Jawaban dan Pembahasan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 3036 +
1536 –
1336
= 3236
= 89
Jadi, peluang jumlah mata dadu yang muncul
kurang dari 10 atau bilangan prima 89 .
24. Jawaban: cBanyak bola = 3 + 2 = 5.S = kejadian terambil 2 bola dari 5 bolan(S) = 5C2 = 10Kemungkinan bola yang terambil 2 putih atau2 hitam.A = kejadian terambil 2 bola putih dari 3 bola putihn(A) = 3C2 = 3
P(A) = n(A)n(S) =
310
B = kejadian terambil 2 bola hitam dari 2 bolahitam
n(B) = 2C2 = 1
P(B) = n(B)n(S) =
110
Peluang bola yang terambil berwarna sama= P (2 putih) + P (2 hitam)= P(A) + P(B)
= 3
10 + 1
10 = 4
10 = 25
Jadi, peluang bola yang terambil berwarna sama 25 .
25. Jawaban: bP(B) = 1 – P(Bc) = 1 – 0,45 = 0,55P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)⇔ 0,85 = P(A) + 0,55 – 0,45⇔ P(A) = 0,85 – 0,55 + 0,45 = 0,75
P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0,75 = 0,25
26. Jawaban: eMisal:A = himpunan siswa gemar MatematikaB = himpunan siswa gemar Fisikan(A ∩ B)= banyak siswa yang gemar Matematika
dan Fisika= x
Diagram Venn:
n(A ∪ B) = (25 – x) + x + (21 – x) = 40 – 3⇔ 46 – x = 37⇔ x = 9
P(A ∩ B) = n(A B)
n(S)∩
= n(x)n(S) = 9 2
40 2
CC =
36780 =
365
Jadi, peluang terpilih dua siswa gemar Matematika
dan Fisika 365 .
27. Jawaban: dMisal:S1 = kejadian terambil 1 kelereng dari 8 kelerengn(S1) = 8C1 = 8A = kejadian terambil 1 kelereng putih dari
2 kelereng putihn(A) = 2C1 = 2
P(A) = 28 =
14
Setelah terambil kelereng putih, kelereng putihtidak dikembalikan. Kelereng yang tersisa dalamkotak ada 7.S2 = kejadian terambil 1 kelereng dari 7 kelereng
yang tersisan(S2) = 7C1 = 7B = kejadian terambil 1 kelereng putih dari
1 kelereng putih yang tersisan(B) = 1C1 = 1
P(B) = 17
Peluang terambil 2 kelereng putih:P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
=14 ×
17
= 1
28Jadi, peluang terambil dua-duanya berwarna putih
128 .
28. Jawaban: aBanyak percobaan: N = 144Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 6 × 6 × 2
= 72.A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 10
= {(A,4,6), (G,4,6), (A,5,5), (G,5,5), (A,6,4),(G,6,4)}
n(A) = 6
P(A) = n(A)n(S)
= 672 =
112
Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 10:
A B
25 – xx
21 – x
S
3
53Matematika Kelas XI Program IPA
Fh(A) = P(A) × N
= 1
12 × 144 = 12
Jadi, mata dadu berjumlah 10 diharapkan keluarsebanyak 12 kali.
29. Jawaban: dA = kejadian keluar satu angka
= {(AGG), (GAG), (GGA)}n(A) = 3n(S) = 8
P(A) = n(A)n(S) =
38
Fh(A) = n × P(A) ⇔ 27 = n × 38
⇔ n = 27 × 83 = 72
Jadi, percobaan melempar tiga uang logamdilakukan sebanyak 72 kali.
30. Jawaban: cDalam kotak terdapat 4 bola lampu mati dan16 bola lampu hidup.Peluang pengambilan pertama mendapat dua bolalampu mati:
P(A) = 4 2
20 2
CC =
6190 =
395
Dua bola lampu mati yang telah terambil tidakdikembalikan. Sekarang dalam kotak terdapat2 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup.Peluang pengambilan kedua mendapat dua bolalampu hidup:
P(B) = 16 2
18 2
CC =
120153 =
4051
Peluang pengambilan pertama mendapat dua bolalampu mati dan pengambilan kedua mendapat duabola lampu hidup:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 395 ×
4050 =
8323
B. Uraian
1. a. (n + 3)! = 6(n + 2)!⇔ (n + 3) (n + 2)! = 6(n + 2)!⇔ n + 3 = 6⇔ n = 3Jadi, nilai n yang memenuhi 3.
b. 7 nP2 = 4 n + 2C3
⇔ 7 · n!
(n 2)!− = 4 · (n 2)!
3!(n 1)!+
−
⇔ 7n(n – 1) = 23 (n + 2)(n + 1)n
⇔ 21(n – 1) = 2(n2 + 3n +2)⇔ 21n – 21 = 2n2 + 6n + 4⇔ 2n2 – 15n + 25 = 0⇔ (2n – 5)(n – 5) = 0
⇔ 2n – 5 = 0 atau n – 5 = 0
⇔ n = 212 atau n = 5
Oleh karena n ∈ bilangan bulat maka n = 5.Jadi, nilai n yang memenuhi 5.
2. Ada 10 siswa (7 putra dan 3 putri).Kemungkinan tim yang terbentuk (1 siswa putra,3 siswa putri), (2 siswa putra, 2 siswa putri), atau(3 siswa putra, 1 siswa putri).Banyak cara membentuk tim= 7C1 × 3C3
+ 7C2 × 3C2 + 7C3 × 3C1
= 7 × 1 + 21 × 3 + 35 × 3 = 175
3. Bentuk taman yang diinginkan
Banyak cara menanam pohon I = (3 – 1)! = 2Banyak cara menanam pohon II = (6 – 1)!
= 5! = 120Banyak cara menanam pohon-pohon itu:= 2 × 120 = 240 cara.
4. Banyak cara memajang bendera
= 8!
3!5! = 56
5. Banyak huruf konsonan berbeda yang dapatdipilih:= 6C2 = 15 caraBanyak huruf vokal berbeda yang dapat dipilih:= 5C3 = 10 cara.Banyak susunan kata sandi yang dapat dibentukdari ke-5 huruf terpilih:= 5P5 = 5! = 120 cara.Banyak kata sandi yang dapat dibentuk:= 15 × 10 × 120= 18.000
6. Banyak bola seluruhnya = 8 + 6 = 14 bola.a. Misal
A′ = kejadian terambil 4 bola putih dari 6 bolaputih
P(A′) = 6 4
14 4
CC
= 15
1001
A′ = kejadian terambil paling banyak 3 bolaputih
P(A) = 1 – P(A′) = 1 – 15
1001 = 9861001
Jadi, peluang yang terambil paling banyak
3 bola putih 9861001 .
I
II II
II II
I II II I
54 Kunci Jawaban dan Pembahasan
b. B′ = kejadian terambil semuanya bola merah
P(B′) = 8 4 6 0
14 4
C CC×
= 70
1001
B′ = kejadian terambil sekurang-kurangnya1 bola putih
P(B) = 1 – P(B′)
= 1 – 70
1001
= 931
1001 = 133143
Jadi, peluang yang terambil sekurang-
kuranganya 1 bola putih 133143 .
7. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 15A = kejadian terambil kartu berwarna putih
= {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}n(A) = 9B = kejadian terambil kartu bernomor genap
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}A ∩ B = kejadian terambil kartu berwarna putih
dan bernomor genap= {8, 10, 12, 14}
n(A ∩ B) = 4B|A= kejadian terambil kartu putih bernomor
genap jika kartu berwarna putih
P(B|A) = P(A BP(A)
∩ = n(A B)
n(S)n(A)n(S)
∩
= 4
159
15
= 49
Jadi, peluang terambil kartu bernomor genap jika
kartu berwarna putih 49 .
8. a. A = kejadian nasabah tidak bermasalahdalam angsuran kreditnya
A′ = kejadian nasabah yang macet angsuran-nya
P(A) = 0,82P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 0,82 = 0,18Jadi, peluang kejadian nasabah macetangsurannya 0,18.
b. Fh(A) = n × P(A) = 20.000 × 0,82 = 16.400Jadi, 16.400 nasabah akan tepat waktu dalammembayar angsuran.
9. S = kejadian A memperoleh 13 kartu dari 52 kartun(S) = 52C13
R = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack= kejadian A memperoleh 4 kartu Jack dan
9 kartu sembarang dari48 kartu selain Jackn(R) = 4C4 × 48C9
P(R) = n(R)n(S) = 4 4 48 9
52 13
C CC×
= 48!
39! 9!52!
39!13!
1× =
48!9! ×
13!52!
= 13 12 11 1052 51 50 49
× × ×× × × =
114.165
Jadi, peluang A memperoleh 4 kartu Jack 11
4.165 .
10. A = {pengendara memiliki SIM A}C = {pengendara memiliki SIM C}
n(S)= (25 – 12) + 12 + (30 – 12) + 17= 60
A ∪ C= n(S) – 17= 43
Banyak pengendara yang memiliki SIM A atau SIMC ada 43 orang.Misal:S1 = kejadian terpilih 2 pengendara kendaraan
bermotor dari 60 pengendara kendaraanbermotor
n(S1) = 60C2 = 1.770K = kejadian terpilih 2 pengendara kendaraan
bermotor memiliki SIM A atau SIM C dari43 pengendara kendaraan bermotor yangmemiliki SIM A atau SIM C
n(K) = 43C2 = 903
P(K) = 1
n(K)n(S ) =
9031.770
Jadi, peluang terpilih 2 pengendara kendaraan
bermotor memiliki SIM A atau SIM C 903
1.770 .
Latihan Ulangan Tengah SemesterA. Pilihan Ganda
1. Jawaban: cBanyak peternak
= persentase peternak
100% × jumlah penduduk
Jumlah penduduk
= 100%
persentase peternak × banyak peternak
= 100%15% × 150
= 1.000 orang
S A C
25 – 12 12 30 – 12
17
55Matematika Kelas XI Program IPA
2. Jawaban: bBanyak nelayan
= persentase nelayan
100% × jumlah penduduk
= 10%100% × 1.000 orang
= 100 orang
3. Jawaban: b
x = (2 50) (7 60) (10 70) (15 80) (4 90) (2 100)2 7 10 15 4 2
× + × + × + × + × + ×+ + + + +
= 100 420 700 1.200 360 20040
+ + + + +
= 2.98040
= 74,5
4. Jawaban: aMean = rata-rata = x
x = i
nx fi i
i 1f
⋅∑=
Σ
= 2,5 41 7,5 22 12,5 19 17,5 8 22,5 3 27,5 5 32,5 2100
× + × + × + × + × + × + ×
= 102,5 165 237,5 140 67,5 137,5 65100
+ + + + + +
= 915100
= 9,15
Jadi, mean dari data tersebut 9,15.
5. Jawaban: bSetelah data diurutkan diperoleh:
Median = data ke-262
= data ke-13 = $33.45Modus = $12.500
6. Jawaban: d
x =
n
i ii 1n
ii 1
f x
f
=
=
Σ ⋅
Σ = 840
396 = 2,12
7. Jawaban: bx° + 3x° = 360° – (90° + 70°)
⇔ 4x° = 360° – 160°⇔ 4x° = 200°⇔ x = 50
Anak yang memilih sepak bola3x° = 150°2870° =
y150°
⇔ y = 150 28
70° ×
°
= 4.200
70 = 60
Jadi, jumlah anak yang memilih sepak bola60 orang.
8. Jawaban: eMisalkan y = jumlah data yang dihasilkan
pelambungan dadu sebanyak29 kali
y = 1 × 8 + 2 × 7 + 3 × 5 + 4 × 2 + 5 × 3 + 6 × 4= 8 + 14 + 15 + 8 + 15 + 24 = 84
Misalkan:x = rata-rata data dari pelambungan dadu
sebanyak 30 kalix30 = mata dadu yang muncul pada pelambungan
ke-30
x = 30y x30+
⇔ 3 = 3084 x30+
⇔ 90 – 84 = x30
⇔ x30 = 6Jadi, mata dadu yang muncul pada pelambunganke-30 adalah mata dadu 6.
9. Jawaban: c
1x =
8
ii 1
x
8=Σ
⇔8
ii 1x
=Σ = 8 × 1x
= 8 × 94= 752 kg
2x =
8
i 9i 1
x x
9=Σ +
⇔ 92 = 9752 x9+
⇔ x9 = 9 × 92 – 752= 828 – 752= 76
Jadi, berat badan pemain cadangan tersebut76 kg.
10. Jawaban: cKuartil pertama (Q1)Q1 terletak pada interval 55 – 59
Jumlah Anak Frekuensifi · xidalam Keluarga (x1) (fi)
0 42 01 92 922 98 1963 104 3124 60 240
n
i 1=Σ 396 840
56 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Q1 = L + 1
1
1kQ4
Q
n f
f
−
· p
= 54,5 + 14
30 6
9
× −
· 5
= 54,5 + 0,833 = 55,33Jadi, kuartil bawahnya 55,33.
11. Jawaban: eKuartil tengah (Q2) terletak pada interval 55 – 59Q2 terletak pada interval 55 – 59
Q2 = L + 2
2
1kQ2
Q
n f
f
−
· p
= 54,5 + 12
30 6
9
× −
· 5
= 54,5 + 5
= 59,5Jadi, kuartil tengahnya 59,5.
12. Jawaban: dKuartil atas (Q3) terletak pada kelas interval65 – 69
Q3 = L + 3
3
3kQ4
Q
n f
f
−
· p
= 64,5 + 34
30 20
6
× −
· 5
= 64,5 + 2,08
= 66,58Jadi, kuartil atasnya 66,58.
13. Jawaban: aJangkauan semi antarkuartil
Qd = 12 (Q3 – Q1)
= 12 (66,58 – 55,33)
= 5,625
14. Jawaban: d
x =
n
i ii 1n
ii 1
f x
f
=
=
Σ ⋅
Σ
= 4.42550
= 88,5Jadi, rata-rata dari data tersebut 88,5.
15. Jawaban: d
Q1 = data ke-604 = data ke-15
Q1 terletak di kelas interval 61 – 70.
Q1 = L + 1
1
1kQ4
Q
n f
f
−
· p
= 60,5 + 15 911−
· 10
= 60,5 + 611 × 10
= 60,5 + 5,455 = 65,955
Q3 = data ke-3 60
4×
= data ke-45Q3 terletak di kelas interval 81 – 90.
Q3 = L + 3
3
3kQ4
Q
n f
f
−
· p
= 80,5 + 45 4410−
· 10
= 80,5 + 1 = 81,5Jangkauan antarkuartil= Q3 – Q1= 81,5 – 65,955= 15,545
16. Jawaban: aDiperoleh tabel berikut.
Banyak Rumah Sakit fi xi fi · xi(dalam ribuan)
0 – 49 17 24,5 416,550 – 99 13 74,5 968,5
100 – 149 13 124,5 1.618,5150 – 199 3 174,5 523,5200 – 249 4 224,5 898
n
i 1=Σ 50 4425
xi
41 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 – 100
101 – 110
Jumlah
fi
36
11241042
60
fk
39
2044545860
Tinggi Tumbuhan
0 – 1011 – 2021 – 3031 – 4041 – 5051 – 6061 – 70
fk
2975
148270395458500
fi
2975 – 29 = 46
148 – 75 = 73270 – 148 = 122395 – 270 = 125458 – 395 = 63500 – 458 = 42
57Matematika Kelas XI Program IPA
Q3 = data ke-3 500
4×
= data ke-375Q3 terletak di kelas interval 41 – 50.
Q3 = L + 3
3
3kQ4
Q
500 f
f
⋅ −
· p
= 40,5 + 375 270125
−
· 10
= 40,5 + 105125
· 10
= 40,5 + 8,4= 48, 9
Jadi, kuartil atas data tersebut 48,5.
17. Jawaban: d
Letak Q1 = 14 n =
14 · 24 = 6
Jadi Q1 terletak pada interval 39 – 43.
L1 = 38,5; 1Qf = 4; 1kQf = 3, dan p = 5
Q1 = L1 + 1
1
1kQ4
Q
n f
f
−
· p
= 38,5 + 6 3
4−
· 5
= 38,5 + 3,75= 42,25
18. Jawaban: a
Letak Q2 = 12 n =
12 · 24 = 12
Jadi Q2 terletak pada interval 44 – 48
L2 = 43,5; 2Qf = 9; 2kQf = 7, dan p = 5
Q2 = L2 + 2
2
1kQ2
Q
n f
f
−
· p
= 43,5 + 12 7
9−
· 5
= 43,5 + 2,78 = 46,28
19. Jawaban: c
Letak Q3 = 34 n =
34 · 24 = 18
Jadi Q2 terletak pada interval 49 – 53
L2 = 48,5; 3Qf = 6; 3kQf = 16, dan p = 5
Q3 = L3 + 3
3
3kQ4
Q
n f
f
−
· p
= L3 + 18 16
6−
· 5
= 48,5 + 26
· 5
= 48,5 + 1,67= 50,17
20. Jawaban: d
Me = data ke-50 51
2+
Me terletak di kelas interval 09.33 – 09.35.
Me = L2 + e
e
nkM2
M
f
f
−
· p
= 09.32'30'' + 50 3532−
· 3
= 09.32'30'' + 1532
· 3
= 09.32'30'' + 1,4= 09.32'.30'' + 1'.24''= 09.33'.54''
Jadi, median dari waktu kedatangan bus tersebut09.33'.54''.
21. Jawaban: cAngka terakhir harus genap (2, 4, 6, dan 8)sehingga ada 4 pilihan. Dengan demikian masihsisa 8 angka untuk dipilih. Banyak pilihan untuk4 angka yang lain ada 8P4 cara.
8P4 = 8!4!
= 8 7 6 5 4!4!
× × × ×
= 8 × 7 × 6 × 5 = 1.680Banyak pilihan bilangan yang dapat disusun= 8P4 × 4= 1.680 × 4= 6.720
22. Jawaban: bBanyak cara memilih 3 anak laki-laki dan 2 anakperempuan.= 10C3 × 4C2
= 10!7! 3!
× 4!2! 2!
= 10 9 8 7!7! 3 2 1
× × ×× × ×
× 4 3 2!2! 2 1
× ×× ×
= 120 × 6 = 720Banyak cara memilih 4 anak laki-laki dan 1 anakperempuan= 10C4 × 4C1
= 10!6! 4!
× 4!3! 1!
Waktu
09.24 – 09.2609.27 – 09.2909.30 – 09.3209.33 – 09.3509.36 – 09.3809.39 – 09.41
Jumlah
fi
2132032276
100
fk
215356794
100
58 Kunci Jawaban dan Pembahasan
= 10 9 8 7 6!6! 4 3 2 1
× × × ×× × × ×
× 4 3!3! 1
××
= 10 × 3 × 7 × 4 = 840Banyak cara memilih 5 anak laki-laki= 10C5
= 10!5! 5!
= 10 9 8 7 6 5!5! 5 4 3 2 1
× × × × ×× × × ×
= 3 × 2 × 7 × 6 = 252Jadi, banyaknya cara memilih paling sedikit 3 anaklaki-laki disertakan adalah 720 + 840 + 252 =1.812 cara.
23. Jawaban: bMisal:A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 6B = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 10A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}n(A) = 5n(B) = 3A dan B kejadian saling lepas maka:P(A ∪ B)= P(A) + P(B)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S)
= 5
36 + 3
36 = 8
36 = 4
18 = 29
24. Jawaban: dA = kejadian muncul angka 6 pada dadu pertama
= {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}B = kejadian muncul angka 4 pada dadu kedua
= {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)}n(A) = 6, n(B) = 6, n(A ∩ B) = 1P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S)
+ n(B)n(S)
– n(A B)n(S)
∩
= 6
36 + 6
36 – 1
36
= 1136
25. Jawaban: c
M = kejadian muncul bilangan genap pada dadupertama dan bilangan ganjil pada dadukedua
= {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5),(6, 1), (6, 3), (6, 5)}
n(M) = 9
P(M) = n(M)n(S)
= 936
= 14
26. Jawaban: dPada pengambilan pertama terambil kelereng biru,sehingga tersisa 2 kelereng merah, 3 kelerengputih, dan 4 kelereng hijau.A = kejadian terambil kelereng hijau jika pada
pengambilan pertama terambil kelereng biru
P(A) = 4 1
9 1
CC =
49
27. Jawaban: aM = kejadian terambil kelereng merah pada
pengambilan pertama
P(M) = 3 1
12 1
CC =
312 =
14
N = kejadian terambil kelereng putih padapengambilan kedua
P(N) = 4 1
11 1
CC =
411
P( M ∩ N) = P(M) × P(N)
= 14 ×
411 =
111
28. Jawaban: cMisal:A = kejadian terambil bola pertama merahB = kejadian terambil bola kedua putihDiperoleh:
P(A) = n(A)n(S) = 6 1
11 1
CC =
611
Anggota ruang sampel berkurang satu karenabola sudah terambil satu.
P(B) = n(B)n(S) = 5 1
10 1
CC =
510
Peluang terambil bola pertama merah dan bolakedua putihP(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 611 ×
510
= 611 ×
12
= 311
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6,6)
59Matematika Kelas XI Program IPA
29. Jawaban: en(S)= banyak cara mengambil 4 kelereng dari 12
kelereng= 12C4
=12!8! 4!
=12 11 10 9 8!
8! 4 2 3 1× × × ×
× × ×
= 11 × 5 × 9= 495
A = kejadian terambil 3 kelereng merah dan1 hijau
n(A)= banyak cara mengambil 3 kelereng merahdan 1 hijau
n(A)= 4C3 × 4C1
=4!
1! 3! × 4
=4 3!
3!×
× 4 = 16
P(A) = n(A)n(S)
= 16495
30. Jawaban: aBanyak bola = 5 + 8 + 7 + 4 = 24Banyak bola merah dan bola putih= 5 + 8 = 13A = kejadikan terambil baik bola merah atau bola
putih
P(A) = 13 1
24 1
CC =
1324
31. Jawaban: dBanyak bola selain bola kuning= 8 + 3 + 4 = 15A = kejadikan terambil bola selain bola kuning
P(A) = 15 1
20 1
CC
= 1520
32. Jawaban: aBanyak cara memilih 2 anak laki-laki dan 2 anakperempuan.= 6C2 × 9C2
= 6!
4! 2! × 9!
7! 2!
= 6 5 4!4! 2 1
× ×× × ×
9 8 7!7! 2 1
× ×× ×
= 3 × 5 × 9 × 4 = 540 cara
33. Jawaban: bMisal B kejadian muncul mata dadu bilangankelipatan 2.B = {2, 4, 6} ⇒ n(B) = 3Frekuensi harapan= P(B) × n
= n(B)n(S) × 200 =
36 × 200 = 100
34. Jawaban: dA = bilangan tidak ganjil maupun prima
= {bilangan genap} – {2}= {4, 6, 8, . . . , 50}
n(A) = 25 – 1 = 24
P(A) = n(A)n(S)
= 2450
= 1225
35. Jawaban: cA = kejadian terambil kartu berwarna hitamn(A) = 26B = kejadian terambil kartu berangka 10n(B) = 4n(A ∩ B) = 2P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 2652 +
452 –
252
= 2852 =
713
36. Jawaban: ePada pengambilan pertama terambil kartu 10.Pada pengambilan kedua diperoleh:n2 = n – 1 = 51A = kejadian terambil kartu angka lebih dari 5
pada pengambilan keduan(A) = 4 × 5 – 1 = 19
P(A) = 2
n(A)n
= 1951
37. Jawaban: c
B = kejadian tidak muncul gambar atau angkapada kedua uang logam
= {(A, A), (G, G)}n(B) = 2
P(B) = n(B)
n = 24 =
12
38. Jawaban: dMisal:A = kejadian muncul mata dadu bilangan primaB = kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil
A G
A (A, A) (A, G)
G (G, A) (G, G)
60 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Diperoleh:A = {2, 3, 5} ⇒ n(A) = 3B = {1, 3, 5} ⇒ n(B) = 3Peluang kejadian muncul mata dadu bilanganprima atau ganjil:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= n(A)n(S) +
n(B)n(S) –
n(A B)n(S)
∩
= 36 +
36 –
26
= 46 =
23
39. Jawaban: aBanyak cara memilih 3 anak laki-laki dan 3 anakperempuan= 8C3 × 6C3
= 8!
5!3! × 6!
3!3!
= 8 7 6 5!5! 3 2 1⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ × 6 5 4 3!3!3 2 1⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= 56 × 20= 1.120 caraJadi, banyak cara memilih 3 anak laki-laki dan3 anak perempuan adalah 1.120 cara.
40. Dua uang logam dilempar bersama-sama makan(S) = 22 = 4.Pelemparan sebanyak 28 kali maka:N = 24A = kejadian muncul 2 angka
= {(A, A)}n(A) = 1
P(A) = n(A)n(S) =
14
Frekuensi muncul dua sisi angka:
fh = P(A) × N = 14 × 28 = 7
B. Uraian
1. Akan dicari nilai x.x° + (x + 10)° + (4x + 25)° + (2x – 10)° +(2x + 25)° + (2x + 10)° = 360°⇔ 12x° + 60° = 360°⇔ 12x° = 300°⇔ x = 25°Besar sudut pada merek E:(2x + 25)° = 50° + 25° = 75°Besar sudut pada merek C:(4x + 25)° = 125
Merek E75° =
Merek C125°
⇔ 15075° =
Merek C125°
⇔ Merek C = 150 125
75×
= 250
Jadi, komputer merek C yang terjual 250 unit.
2. Frekuensi modus data= frekuensi nilai 80 = k
x =2 50 7 60 10 70 k 80 4 90 2 100
2 7 10 k 4 2⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + + + +
⇔ 74,5 = 100 420 700 80k 360 20025 k
+ + + + ++
⇔ 1.862,5 + 74,5 k = 1.780 + 80 k⇔ 5,5 k = 82,5⇔ k = 15Jadi, frekuensi modus data = 15.
3.
Me = data ke-50 51
2+
Median terletak di kelas interval 18 – 22.
Me = L2 + e
e
nkM2
M
f
f
−
· p
= 17,5 + 50 3025−
· 5
= 17,5 + 2025 · 5
= 17,5 + 4 = 21,5Jadi, median data tersebut 21,5.
4.
Q3 terletak pada data urutan ke-3 70
4⋅
= 52,5, yaitu
pada interval 150 – 154.
Q3 = L + 3
3
kQ
Q
3
4n f
f
− ⋅ p
= 149,5 + 52,5 41
14−
5
= 149,5 + 4,11 = 153,61
Nilai fi fk
3 – 7 5 58 – 12 10 15
13 – 17 15 3018 – 22 25 5523 – 27 30 8528 – 32 15 100
n
i 1=Σ 100
Ukuran f
135 – 139140 – 144145 – 149150 – 154155 – 159160 – 164
Σ
912201496
70
fk
92141556470
61Matematika Kelas XI Program IPA
5.
M = kejadian muncul bilangan kelipatan 2 dankelipatan 3 pada dadu pertama
= {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}n(M) = 6
P(M) = n(M)36 =
636 =
16
6. n2 = banyak kelereng setelah diambil 1 kelereng= 8 + 5 + 2 + 4 =19
A = kejadian terambil kelereng putih
P(A) = 4 1
19 1
CC =
419
Jadi, peluang terambil kelereng putih pada peng-
ambilan kedua 4
19 .
7.
x = kejadian muncul paling sedikit 1 gambar= {(A, G), (G, A), (G, G)}
n(x) = 3
P(x) = n(x)n(S)
= 34
Jadi, peluang muncul paling sedikit 1 gambar
adalah 34 .
8. Jumlah kartu bridge = 52.Jumlah kartu hati = 13.Jumlah bukan bergambar kartu hati = 52 – 13 = 39Banyak kali pengambilan = 52 kali.Frekuensi harapan = Fh
Fh = 3952 × 52 = 39 kali
9. Q kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 5R kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 8Diperoleh:Q = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} → n(Q) = 4R = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} → n(R) = 5
Q dan R kejadian saling lepas, maka:P(Q ∪ R) = P(Q) + P(R)
= n(Q)n(S) +
n(R)n(S)
= 4
36 + 5
36 = 936 =
14
Jadi, peluang muncul kedua mata dadu berjumlah
5 atau 8 adalah 14 .
10. Kotak I = 4 merah, 3 biruKotak II = 7 merah, 3 putihPeluang terambilnya 1 bola merah dari kotak I dan1 bola putih dari kotak II
= 47 ×
310
= 1270 =
635
Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak I
dan 1 bola putih dari kota II adalah 6
35 .
Bab III Trigonometri
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: dcos 25° cos 20° – sin 25° sin 20°= cos (25° + 20°)= cos 45°
= 12 2
2. Jawaban: csin (–315°) = sin (45° – 360°)
= sin 45° cos 360° – cos 45° sin 360°
= 12 2 × 1 –
12 2 × 0
= 12
2
3. Jawaban: acos 465° = cos (360° + 105°)
= cos 105°= cos (60° + 45°)= cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°
= 12 ×
12 2 –
12
3 × 12
2
= 14 2 –
14
6
= 14 ( 2 – 6 )
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6,6)
A G
A (A, A) (A, G)
G (G, A) (G, G)
62 Kunci Jawaban dan Pembahasan
4. Jawaban: b
sin α = 45
cos α = 35
sin (60° + α)= sin 60° cos α + cos 60° sin α
= 12
3 × 35 +
12 ×
45
= 3
103 +
410
5. Jawaban: b
sin x = 35 (x tumpul) cos y =
1213
cos x = –45 sin y =
513
cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y
= 45
− × 1213 +
35 ×
513
= –4865 +
1565
= –3365
6. Jawaban: btan α = 1
sin α = 12
cos α = 12
tan β = 13
sin β = 110
cos β = 310
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
= 12 ×
310 –
12 ×
110
= 320 –
120
= 220
= 2
2 5 × 55
= 15
5
7. Jawaban: e
sin A = 35
cos A = 45
cotan B = 7
sin B = 1
5 2
cos B = 7
5 2
cos C = cos (180° – (A + B))= –cos (A + B)= –(cos A cos B – sin A sin B)
= –4 7 3 15 55 2 5 2
× − ×
= –28 3
25 2 25 2 −
= – 2525 2
= – 12
= – 12
2
Oleh karena cos C negatif berarti sudut C me-rupakan sudut tumpul. Jadi, besar sudut C = 135°.
8. Jawaban: btan 165° = tan (120° + 45°)
= tan 120 tan 45
1 tan 120 tan 45° + °
− ° °
= 3 1
1 ( 3) 1− +
− − ×
= 1 31 3
−+ ×
1 31 3
−−
= 1 2 3 3
1 3− +
−
= 4 2 32
−−
= –2 + 3
9. Jawaban: btan 40° = tan (45° – 5)
= tan 45 tan 5
1 tan 45 tan 5° − °
+ ° °
= 1 a
1 1 a−
+ ×
= 1 a1 a
−+
3
α
54
3
4
5
x
5
12
13
y
21
1α
10
3
1β
17
5 2B
3
4
5
A
63Matematika Kelas XI Program IPA
10. Jawaban: e
tan (A B)tan (A B)
+−
= tan A tan B
1 tan A tan Btan A tan B
1 tan A tan B
+−
−+
=
1 12 3
1 12 3
1 12 3
1 12 3
1
1
+
−
−
+
= 5656
× 7616
= 1 × 7= 7
11. Jawaban: dsin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q
⇒ sin 30° = sin p cos q – 16
⇔ sin p cos q = sin 30° + 16
= 12 +
16
= 46
12. Jawaban: a∠AMB = 180° – (60° + 75°)
= 45°
sin 75° = sin (30° + 45°)= sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
= 12 × 1
22 + 1
23 × 1
22
= 14
2 + 14
6
AMsin 75° = °
ABsin 45 ⇔ AM =
sin 75sin 45
°° × AB
= 1 14 4
12
2 6
2
+ × 300
= (12 + 1
23 ) × 300
= 150(1 + 3 ) cm
Jadi, panjang AM = 150(1 + 3 ) cm.
13. Jawaban: a
tan (a – b) = tan a tan b
1 tan a tan b−
+
⇔ tan a – tan b = tan (a – b) (1 + tan a tan b)
sin (a b)tan a tan b
−− =
sin (a b)tan (a b)(1 tan a tan b)
−− +
= sin (a b) cos a cos b sin a sin b)cos (a b) cos a cos b
sin (a b)− +
−
−
= cos (a b)1
cos (a b) cos a cos b
1−
−
= 1cos a cos b
1
= cos a cos b
14. Jawaban: e
tan A tan B = sin A sin B
cos A cos B
⇔ cos A cos B= sin A sin Btan A tan B
= 2913
= 23
cos (A B)cos (A B)
−+ =
cos A cos B sin A sin Bcos A cos B sin A sin B
+−
= 2 23 92 23 9
+
−
= 8949
= 84 = 2
15. Jawaban: csin A = 2 cos A⇔ tan A = 2
⇔ cos A = 15
Perhatikan ∆ABCC= 180° – (A + B)
= 180° – 2Asin C = sin (180 – 2A)
= sin 2A= sin (A + A)= sin A cos A + cos A sin A= (2 cos A) cos A + cos A (2 cos A)= 4 cos2 A
= 4(15 )2 =
45
16. Jawaban: d a sin x + b cos x = sin (30° + x)
= sin 30° cos x + cos 30° sin x
= 12 cos x + 1
23 sin x
= 12
3 sin x + 12 cos x
Diperoleh a = 12
3 dan b = 12 .
a 3 + b = 12
3 ( 3 ) + 12 =
32 +
12 = 2
A B
M
60° 75°300 cm
A
2
1
5
A B
C
x x
64 Kunci Jawaban dan Pembahasan
17. Jawaban: b
a = 1; b = – 3
k = 2 21 ( 3)+ −
= 1 3+
= 4 = 2Jadi, nilai k = 2.
18. Jawaban: aa sin x + b cos x
= 2 2 cos (x – 45°)
= 2 2 (cos x cos 45° + sin x sin 45°)
= 2 2 (12 2 cos x +
12 2 sin x)
= 2 cos x + 2 sin x= 2 sin x + 2 cos xJadi, a = 2 dan b = 2.
19. Jawaban: c
cos x + sin x = 62
a = 1 dan b = 1
k = 2 21 1+ = 2
tan α = 11 = 1 = tan 4
π
⇔ α = 4π
cos x + sin x = 62
⇔ 2 cos (x – 4π
) = 62
⇔ cos (x – 4π
) = 32
⇔ cos (x – 4π
) = cos 6π
1) x1 – 4π
= 6π
+ k · 2π
⇔ x1 = 5
12 π + k · 2π
k = 0 → x = 5
12 π
2) x – 4π
= – 6π
+ k · 2π
⇔ x = 1
12 π + k · 2π
k = 0 → x = 1
12 π
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi 5
12 π dan 1
12 π.
20. Jawaban: d
6 sin x – 2 cos x = –2
a = – 2 dan b = 6
k = 2 2( 2) ( 6)− +
= 2 6+
= 8 = 2 2
tan α = ba = 6
2− = – 3 (α dikuadran II)
⇔ α = 23 π
⇔ – 2 cos x + 6 sin x = –2
⇔ 2 2 cos (x – 23 π) = –2
⇔ cos (x – 23 π) = – 1
22
⇔ cos (x – 23 π) = cos
34 π
1) x – 23 π =
34 π + k · 2π
⇔ x = 1712 π + k · 2π
k = 0 → x = 1712 π
2) x – 23 π = –
34 π + k · 2π
⇔ x = –1
12 π + k · 2π
k = 1 → x = –1
12 π + 2π = 2312 π
Jadi, himpunan penyelesaiannya {1712 π,
2312 π}.
B. Uraian
1. a. sin (90° + α) = sin 90° cos α + cos 90° sin α= 1 · cos α + 0 · sin α= cos α + 0= cos α
b. cos (270° – α)= cos 270° cos α + sin 270° sin α= 0 · cos α + (–1) · sin α= 0 – sin α= –sin α
c. tan (180° – α) = tan 180 tan1 tan 180 tan
° − α+ ° α
= 0 tan1 0 tan
− α+ ⋅ α
= tan1
− α
= –tan α
65Matematika Kelas XI Program IPA
2. a.sin 86° cos 26° cos 86° sin 26°sin 49° sin 86° cos 49° cos 86°
−−
= sin 86° cos 26° cos 86° sin 26°(cos 49° cos 86° sin 49° sin 86°)
−− −
= sin (86° 26°)(cos (49° + 86°))
−− =
sin 60°cos 135°−
= ( )12
12
3
2− − = 32
= 12
6
b. tan 25 tan 851 + tan 25 tan 85
° − °° °
= tan (25° – 85°)
= tan (–60°)= –tan 60°= – 3
3. sin 20° = t = t1
cos 20° = 21 t−
tan 20° = 2
t
1 t−
a. sin 130° = sin (150° – 20°)= sin 150° cos 20° –cos 150° sin 20°
= 12 × 21 t− – (–
12 3 ) t
= 12
21 t− + 12 t 3
b. tan 155° = tan (135° + 20°)
= tan 135° + tan 20
1 tan 135 tan 20°
− ° °
= 2
2
t
1 tt
1 t
( 1)
1 ( 1)−
−
− +
− − =
2
2
2
2
1 t t
1 t
1 t t
1 t
− − +
−
− +
−
= 2
2
t 1 t
t 1 t
− −
+ − ×
2
2
t 1 t
t 1 t
− −
− −
= 2 2 2
2 2t 2t 1 t (1 t )
t (1 t )− − + −
− −
= 2
21 2t 1 t
2t 1− −
−
c. cos 230°= cos (210° + 20°)= cos 210° cos 20° –sin 210° sin 20°
= 1
32
− 21 t− –
12
− × t
= – 12
3 21 t− + 12
t
d. sin 350° = sin (330° + 20°)= sin 330° cos 20° +cos 330° sin 20°
= (– 12
) × 21 t− + 12
3 × t
= 12
3 t – 12
21 t−
4. tan A = 34
sin A = 35
cos A = 45
cos B = 12
13−
B di kuadran II
sin B = 5
13
tan B = 5
12−
a. tan (A – B) = tan A tan B
1 tan A tan B−
+
= 3 54 12
3 54 12
( )
1 ( )
−
−
−
+ ×
= 3 54 12
3 54 12
1
+
− × = 761116
= 5633
b. tan C = tan (180° – (A + B))= –tan (A + B)
= –tan A tan B
1 tan A tan B+
−
= –3 54 12
3 54 12
( )
1 ( )
−
−×
+ −
= –132116
= –1663
5. Oleh karena α di kuadran III maka:
cos α = – 21 sin− α
= – 235
1 ( )−−
= – 25 925 25
−
= – 1625
= –45
Oleh karena β di kuadran IV maka:
sin β = – 21 cos− β
= – 2725
1 ( )−
= – −625 49625 625
1t
21 t−
20°
1213
5
B
53
A4
66 Kunci Jawaban dan Pembahasan
= – 576625
= –2425
a. cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= 45
− ×
725 –
35
− ×
2425
−
= 28
125−
– 72
125
= 100
125−
= 4
5−
b. sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
= 35
− ×
725 –
45
− ×
2425
−
= 21
125−
– 96
125
= 117
125−
6. a.sin (A B)cos (A B)
+−
= sin A cos B cos A sin Bcos A cos B sin A sin B
++
× 1
cos A cos B1
cos A cos B
= sin A cos B cos A sin Bcos A cos B cos A cos Bcos A cos B sin A sin Bcos A cos B cos A cos B
+
+
= sin A sin Bcos A cos B
sin A sin Bcos A cos B
1
+
+ ⋅
= tan A tan B1 tan A tan B
++
b. cos (A B) cos (A B)sin (A B) sin (A B)
− − ++ + −
= cos A cos B sin A sin B (cos A cos B sin A sin B)sin A cos B cos A sin B sin A cos B cos A sin B
+ − −+ + −
= 2 sin A sin B2 sin A cos B
= sin Bcos B = tan B
7. a. 2 cos (30° + x) = cos (30° – x)⇔ 2 cos 30° cos x – 2 sin 30° sin x
= cos 30° cos x + sin 30° sin x⇔ cos 30° cos x= 3 sin 30° sin x
⇔ sin xcos x =
cos 303 sin 30
°°
⇔ tan x = 12
12
3
3 ×
⇔ tan x = 13 3
⇔ tan x = tan 30°⇔ x = 30° + k · 180°k = 0 → x = 30°k = 1 → x = 210°Jadi, nilai x yang memenuhi 30° dan 210°.
b. sin (x + 30)° + cos (x + 60°) = –1⇔ sin x cos 30° + cos x sin 30°
+ cos x cos 60° – sin x sin 60° = –1
⇔ sin x (12 3 ) + cos x ×
12 + cos x ×
12
– sin x × 12 3 = –1
⇔ cos x = –1⇔ cos x = cos 180°1) x = 180° + k · 360°
k = 0 → x = 180°2) x = –180° + k · 360°
k = 0 → x = 180°Jadi, nilai x yang memenuhi 180°.
8. a. tan (α + β) = tan + tan
1 tan tan α β
− α β
= 1 1 +
1 p 1 + p1 1
× 1 p 1 + p
1−
−−
= (1+ p) + (1 p)(1 p)(1 p)
(1 p)(1+ p) 1(1 p)(1 p)
−− +
− −− +
= (1 + p) + (1 p)(1 p)(1 + p) 1
−− −
= 21 + p + 1 p
1 p 1−
− −
= 22p−
= –2p–2
b. sin b cos(B – a) = sin a cos (b – B)⇔ sin b (cos B cos a + sin B sin a)
= sin a (cos b cos B + sin b sin B)⇔ cos a sin b cos B + sin a sin b sin B
= sin a cos b cos B + sin a sin b sin B⇔ sin a cos b cos B – cos a sin b cos B = 0⇔ (sin a cos b – cos a sin b) cos B = 0⇔ sin (a – b) cos B = 0
67Matematika Kelas XI Program IPA
9. sin A = 12
cos A = 32
sin B = 1213
cos B = 5
13
sin (A + B)= sin A cos B + cos A sin B
= 12 ×
513 – 3
2 ×
1213
= 5 12 326
+
cos (A + B)= cos A cos B – sin A sin B
= 32
× 5
13 – 12 ×
1213 = 5 3 12
26−
tan C = tan (180° – (A + B)= –tan (A + B)
= –sin (A B)cos (A B)
++
= –5 + 12 3
265 3 12
26−
= 5 12 312 5 3
+−
× 12 5 312 5 3
++
= 60 169 3 180144 75
+ +−
= 240 169 369
+
= 8023 +
16969 3
10. AD = 2 2AC CD− = 25 16− = 9 = 3 cm
DB = AB – AD = 7 – 3 = 4 cm
BC = +2 2DB DC = +16 16 = ⋅16 2 = 4 2
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= 45 ·
44 2
+ 35 ·
44 2
= 25 2 +
310 2 =
710 2
tan (α – β) = tan tan1 tan tan
α − β+ α β
= 43
43
1
1 1
−
+ ⋅ =
1373
= 17
sin (α + β) + tan (α – β) = 7
10 2 + 17
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: ecos 2x = 2 cos2 x – 1cos 2x = 1 – 2 sin2 x
= –2 sin2 x + 1cos 2x = cos2 x – sin2 x
= (cos x + sin x) (cos x – sin x)Jadi, bentuk trigonometri yang ekuivalen dengancos 2x adalah II dan IV.
2. Jawaban: a
sin 15° cos 15° = 12 × (2 sin 15° cos 15°)
= 12 × (sin (2 × 15°))
= 12 sin 30°
= 12 ×
12
= 14
3. Jawaban: d
sin α = 15
13 = 135
cos 2α = 1 – 2 sin2 α
= 1 – 2 × 2
135
= 1 – 2625
= – 125
4. Jawaban: b
tan α = 0,75 = 34
sin α = 35 = 0,6
cos α = 45 = 0,8
cos 2α = cos2 α – sin2 α= (0,8)2 – (0,6)2
= 0,64 – 0,36= 0,28
5
12
β
13
A
21
2
68 Kunci Jawaban dan Pembahasan
5. Jawaban: a
sin 17° = a = a1
tan 17° = 2
a
1 a−
tan 34°= 22 tan 17
1 tan 17°
− °
= ( )( )
2
2
a
1 a2a
1 a
2
1
−
−−
=
2
2 2
2
2
1 a2a
1 a 1 aa
11 a
−×
− −
−−
= 2
22a 1 a
(1 a )−
− :
2 2
2(1 a ) a
1 a− −
−
= 2
22a 1 a
(1 a )−
− × 21 a
1−
= 2a 21 a−
6. Jawaban: ccos x = 3 sin x
⇔ sin xcos x =
13
⇔ tan x = 13
tan 2x = 22 tan x
1 tan x− = 131 23
2 ( )
1 ( )− = 2389
= 34
7. Jawaban: d
sin α = 12
3 = 32
cos α = 12
cos α = 1 – 2 sin2 (12 α)
⇔ sin (12 α) = 1 cos
2− α
= 12
1
2
−
= 122
= 14 =
12
8. Jawaban: c
cos 2α = 2x + 1
4x
cos α = 2 cos2 2α – 1
= 2 · 2x + 1
4x – 1 = 2x + 1
2x – 2x2x =
12x
cotan α = 2
1
4x 1−
= 21
4x 1−
9. Jawaban: d2 cos2 θ = 1 + 2 sin 2θ⇔ 2 cos2 θ – 1 = 2 sin 2θ⇔ cos 2θ = 2 sin 2θ
⇔ tan 2θ = 12
Diperoleh sin 2θ = 15
dan cos 2θ = 25
Oleh karena θ sudut lancip maka tan θ bernilaipositif.
tan θ = 1 cos 21 cos 2
− θ+ θ
= 25
25
1
1
−
+
= 5 2
55 2
5
−
+ =
5 2 5 25 2 5 2
− −×+ −
= 2( 5 2)
5 4−− = 2( 5 2)−
= 5 – 2
10. Jawaban: e
sin x – cos x = 12
⇔ (sin x – cos x)2 = (12 )2
⇔ sin2 x – 2 sin x cos x + cos2 x = 14
⇔ 1 – 2 sin x cos x = 14
⇔ 2 sin x cos x = 1 – 14
⇔ sin 2x = 34
17°
a
21 a−
1
24x 1−
1α
2x
2
5
2θ
1
69Matematika Kelas XI Program IPA
11. Jawaban: a2 tan A + tan B = 4 × 1 2 tan A + tan B = 4
tan A – 3 tan B = –172 × 2 2 tan A – 6 tan B = –17
––––––––––––––––– – 7 tan B = 21⇔ tan B = 3
2 tan A + tan B = 4 ⇒ 2 tan A + 3 = 4⇔ 2 tan A = 1
⇔ tan A = 12
tan 2A = 22 tan A
1 tan A−
= 12
212
2
1
×
−
= 14
11−
= 3
4
1 = 43
tan (2A + B) = tan 2A + tan B1 tan 2A tan B−
= 4
3
43
+ 3
1 3 − ×
= 133
3 − = –139
12. Jawaban: c1 12 2
sin ( ) cos ( )
tan ( )
π − θ π + θπ − θ
= cos ( sin ( ))tan
θ − θ− θ
= sincos
sin cos− θ
θ
− θ θ
= cos2 θ
= 1 cos 22
+ θ
13. Jawaban: c
tan 2a = –34
⇔ 22 tan a
1 tan a−= –
34
⇔ 8 tan a = –3 + 3 tan2 a⇔ 3 tan2 a – 8 tan a – 3 = 0⇔ (3 tan a + 1) (tan a – 3) = 0
⇔ tan a = –13 atau tan a = 3
Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhitan a = 3.
tan (a – b) = 12
⇔ tan a tan b1 tan a tan b
−+
= 12
⇔ 3 tan b
1 3 tan b−
+ = 12
⇔ 6 – 2 tan b = 1 + 3 tan b⇔ –5 tan b = –5⇔ tan b = 1Nilai tan2 a – tan2 b = (3)2 – (1)2 = 8.
14. Jawaban: dsin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0
⇔ (sin 2x)2 – sin 2x – 2 = 0⇔ (sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0⇔ sin 2x = –1 atau sin 2x = 21) sin 2x = –1 = sin 270°
⇔ 2x = 270° + k · 360°⇔ x = 135° + k · 180°k = 0 → x = 135°k = 1 → x = 315°
2) sin 2x = 2 (tidak ada x yang memenuhi)Jadi, himpunan penyelesaiannya {135°, 315°}.
15. Jawaban: bcos 2x – sin x = 0⇔ 1 – 2 sin2 x – sin x = 0⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0
⇔ sin x = 12 atau sin x = –1
Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π:
sin x = 12 berlaku untuk x = 6
π dan x =
56π
sin x = –1 berlaku untuk x = 32π
Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6π
, 56π
, 32π
}.
B. Uraian
1. tan 25° = a = a1
sin 25° = 2
a
a 1+
cos 25° = 2
1
a 1+
a. tan 25° = tan (2 × 25°)
= 22 tan 25
1 tan 25°
−
= 22a
1 a−
b. sin 50° = sin (2 × 25°)= 2 sin 25° cos 25°
2a 1+a
25°1
70 Kunci Jawaban dan Pembahasan
= 22
a
a 1+ ·
2
1
a 1+
= 22a
a 1+
c. cos 50° = cos (2 × 25°)= 2 cos2 25° – 1
= 22
2
1
a 1)
+
– 1
= 22
a 1+ – 1
= 2
22 (a 1)
a 1− +
+
= 2
21 aa 1
−+
2. cos 2a = 2 cos2 a – 1= 1 – 2 sin2 a
a. 2 cos2 67,5° – 1 = cos (2 × 67,5°)= cos 135°= cos (90 + 45)°
= –sin 45°
= –12 2
Jadi, nilai dari 2 cos2 67,5° – 1 = –12 2 .
b. 1 – 2 sin2 52,5°= cos (2 × 52,5°)= cos 105°= cos (60° + 45°)= cos 60° cos 45° – sin 60°
sin 45°
=12 ×
12 2 –
12
3
× 12 2
= 14 2 (1 – 3 )
3. a.sin 2
1 cos 2α
− α = 22 sin cos
1 (1 2 sin )α α
− − α
= 22 sin cos
2 sinα α
α
= cossin
αα
= cotan α
b.1 sin 2 cos 21 sin 2 cos 2
+ α − α+ α + α
= 2
21 2 sin cos (1 2 sin )1 2 sin cos (2 cos 1)
+ α α − − α+ α α + α −
= 2
22 sin cos 2 sin2 sin cos 2 cos
α α + αα α + α
= 2 sin (cos sin )2 cos (sin cos )
α α + αα α + α
= sincos
αα
= tan α
4. sin8 75° – cos8 75°= (sin4 75°)2 – (cos4 75°)2
= (sin4 75° – cos4 75°)(sin4 75° + cos4 75°)= (sin2 75° – cos2 75°)(sin2 75° + cos2 75°)
((sin2 75° + cos2 75°)2 – 2 sin2 75° cos2 75°)
= –(cos2 75° – sin2 75)(1)(12 – 12 (2 sin 75° cos 75°)2)
= –(cos 2 × 75°)(1 – 12 (sin 2 × 75°)2)
= – cos 150° (1 – 12 sin2 150°)
= –(– 12
3 )(1 – 12 ×
14 )
= 12
3 × 78
= 7
163
5. sin 4x – cos 2x = 0⇔ 2 sin 2x cos 2x – cos 2x = 0⇔ cos 2x (2 sin 2x – 1) = 0
⇔ cos 2x = 0 atau sin 2x = 12
1) cos 2x = 0 = cos 90°a) 2x = 90° + k · 360°
⇔ x = 45° + k · 180°⇔ x = 45°; 225°
b) 2x = –90° + k · 360°⇔ x = –45° + k · 180°⇔ x = 135°; 315°
2) sin 2x = 12 = sin 30°
a) 2x = 30° + k · 360°⇔ x = 15° + k · 180°⇔ x = 15°; 195°
b) 2x = 150° + k · 360°⇔ x = 75° + k · 180°⇔ x = 75°; 255°
Jadi, himpunan penyelesaiannya{15°, 45°, 75°, 135°, 195°, 225°, 255°, 315°}
71Matematika Kelas XI Program IPA
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d8 cos 75° sin 165°= 4 · 2 sin 165° cos 75°= 4(sin (165° + 75°) + sin (165° – 75°))= 4(sin 240° + sin 90°)
= 4(–12 3 + 1)
= 4 – 2 3
2. Jawaban: d
cos (38π
) cos ( 8π
)
= 12 (cos (
38π
+ 8π
) + cos (38π
– 8π
))
= 12 (cos
12 π + cos
14 π)
= 12 (0 +
12 2 )
= 14 2
3. Jawaban: ecos 195° + cos 105°
= 2 cos 12 (195° + 105°) cos
12 (195° – 105°)
= 2 cos 150° cos 45°
= 2 × (–12 3 ) ×
12 2
= –12 6
4. Jawaban: asin 27° + sin 63°
cos 138° + cos 102°
= 1 12 2
1 12 2
2 sin (27° + 63°) cos (27° 63°)
2 cos (138° + 102°) cos (138° 102°)
−
−
= 2 sin 45° cos ( 18°)2 cos 120° cos 18°
−
= sin 45°
cos 120°
= 12
12
2
−
= – 2
5. Jawaban: a° + °° + °
cos 50 cos 40sin 50 sin 40
= ° + ° ° − °
° + ° ° − °
1 12 21 12 2
2 cos (50 40 ) cos (50 40 )
2 sin (50 40 ) cos (50 40 )
= 2 cos 45 cos 52 sin 45 cos 5
° °° °
= cos 45sin 45
°°
= 1212
2
2 = 1
6. Jawaban: c
cos x = 45
sin x = 35
tan y = 5
12
sin y = 5
13cos (x + y) – cos (x – y)
= –2 sin 12 (x + y + x – y) sin
12 (x + y – x + y)
= –2 sin x sin y
= –2 (35 )(
513 )
= –6
13
7. Jawaban: dcos (45 a)° + cos (45 + a)°sin (45 + a)° + sin (45 a)°
−−
= 1 12 2
1 12 2
2 cos ((45 a)°+ (45 + a) ) cos ((45 a)° (45 a)°)
2 sin ((45 + a)° + (45 a) ) cos ((45 + a) (45 a)°)
− ° − − +
− ° ° − −
= cos 45 cos ( a)sin 45° cos a
° −
= 1212
2 cos a
2 cos a = 1
8. Jawaban: bsin 270° cos 135° tan 135°
= (12 (sin (270° + 135°) + sin (270° – 135°)) tan 135°
= 12 (sin 405° + sin 135°) tan 135°
= 12 (sin (360° + 45°) + sin (180° – 45°)) tan (180° – 45°)
= 12 (sin 45° + sin 45°) (–tan 45°)
135
12y
53
4x
72 Kunci Jawaban dan Pembahasan
= 12 (2 ×
12 2 )(–1)
= –12 2
9. Jawaban: esin 58° + sin 62° – sin 178°
= sin 58° + 2 cos 12 (62° + 178°) sin
12 (62° – 178°)
= sin 58° + 2 cos 120° sin (–58°)
= sin 58° + 2 (–12 ) (–sin 58°)
= sin 58° + sin 58°= 2 sin 58°
10. Jawaban: bsin (x + 30°) + cos (x + 60°)= sin (x + 30°) + sin (90° – (x + 60°))= sin (x + 30°) + sin (30° – x)
= 2 sin 12 (x + 30° + 30° – x) cos
12 (x + 30° – 30° + x)
= 2 sin 30° cos x
= 2 × 12 × cos x = cos x
11. Jawaban: d4
3 34
3 3
sin (x ) sin (x )
cos (x ) cos (x )
π π
π π
+ − −
+ − −
=
1 4 1 42 3 3 2 3 31 4 1 42 3 3 2 3 3
2 cos (x + + x ) sin (x + x + )
2 sin (x + + x ) sin (x + x + )
π π π π
π π π π
− −
− −
=
1 1 52 2 31 1 52 2 3
2 cos (2x ) sin ( )
2 sin (2x ) sin ( )
π
π
− π
− − π
=
1212
cos (2x )
sin (2x )
− π
− − π
= 2
2
cos ( ( x))
sin ( ( x))
π−
π−
−
− −
= 2
2
cos ( x)
sin ( x)
π−
π−
= sin xcos x = tan x
12. Jawaban: ctan 75° – tan 15° = tan 75° + tan (–15°)
= 2 sin (75 ( 15 ))
cos (75 ( 15 )) cos (75 ( 15 ))+ −
+ − + − −
= 2 sin 60
cos 60 cos 90° + °
=
12
12
2 3
0
×
+
= 12
3 = 2 3
13. Jawaban: a
sin A = 45 ⇔ cos A =
35
tan ( 3π
+ A) – tan ( 3π
– A)
= tan ( 3π
+ A) + tan (–( 3π
– A)
= 3 3
3 3 3 3
2 sin [( A) – ( – A)]
cos [( A) ( A)] cos [( A) ( – A)]
π π
π π π π
+
+ − − + + +
= 23
2 sin 2A
cos 2A cos π+
= 2 1
2
2 2 sin A cos A
(2 cos A – 1) –
⋅+
= 23
2
4 sin A cos A
– 2 cos A+
= × ×
+ × 2
4 35 5
3 32 5
4
– 2 ( )
= 4825
–3 182 25
+ ×
5050
= − +96
75 36 = –
9639
14. Jawaban: b2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
⇔ 2 × 34 =
12 + cos (α – β)
⇔ cos (α – β) = 32 –
12 = 1
⇔ α – β = 0°Jadi, tan (α – β) = tan 0° = 0.
15. Jawaban: e
cos α cos β = 12
⇔ 12 (cos (α + β) + cos ((α – β)) =
12
⇔ cos (α + β) + cos (α – β) = 1
⇔ cos (α + β) + 12 3 = 1
⇔ cos (α + β) = 1 – 12 3
= 2 32
−
73Matematika Kelas XI Program IPA
cos ( )cos ( )
α + βα − β =
2 323
2
−
= 2 3
3−
= 23 – 1 =
23 3 – 1
16. Jawaban: cDiketahui α + β = 90° maka sin α = cos β dancos α = sin β.
cos 2 cos 2sin 2α − β
α=
− α + β α − β
α α
1 12 2
2 sin (2 2 ) sin (2 2 )
2 sin cos
= − α + β α − βα α
2 sin ( ) sin ( )2 sin cos
= –sin 90 sin ( )
sin cos° α − βα α
= 1(sin cos cos sin )
sin cos− α β − α β
α α
= sin cossin cos
− α βα α
+ cos sinsin cos
α βα α
= coscos
− βα
+ sinsin
βα
= sincos− α
α + sin
cosββ
= – tan α + tan β= tan β – tan α
17. Jawaban: cA + B + C = 180°⇔ A + B = 180° – C
cos A sin B= 12 (sin (A + B) – sin (A – B))
= 12 (sin (180° – C) – sin 30°)
= 12 (sin C –
12 )
= 12 (
56 –
12 ) =
16
18. Jawaban: d
cos 12 (A + B) =
53
maka sin 12 (A + B) =
45
cos 12 (A – B) =
12 3 maka sin
12 (A – B) =
12
cos A – cos B = –2 sin 12 (A + B) sin
12 (A – B)
= –2 × 45 ×
12 = –
45
19. Jawaban: c
sin A sin Bcos A cos B
++ =
12
21
62
⇔( ) ( )( ) ( )A B A B
2 2A B A B
2 2
2 sin cos
2 cos cos
+ −
+ − = 26
⇔ ( )( )A B
2A B
2
sin
cos
+
+ = 13
⇔ tan A B
2+
= 13
sin A B
2+
= 12
cos A B
2+
= 32
Substitusi sin A B
2+
= 12
2 sin A B
2+
cos A B
2−
= 12
2
⇔ 2 (12 ) cos
A B2−
= 12
2
⇔ cos A B
2−
= 12
2
cos (A + B) = cos A B
22
−
= 2 cos2 A B
2−
– 1
= 2(12
2 )2 – 1 = 0
20. Jawaban: a
cos (x + 23 π) – cos (x –
23 π) =
12 3
⇔ –2 sin 12 (2x) sin
12 (2 ×
23 π) =
12 3
⇔ –2 sin x sin 23 π =
12 3
⇔ –2 sin x × 12 3 =
12 3
⇔ sin x = –12
⇔ sin x = sin 16
− π
1) x = –16 π + k · 2π
k = 1 → x = 116 π
2) x = (π – (–16 π)) + k · 2π
⇔ x = 76 π + k · 2π
k = 0 → x = 76 π
Jadi, nilai x yang memenuhi 76 π dan
116 π .
3
A B2+
21
74 Kunci Jawaban dan Pembahasan
B. Uraian
1. a. 2 sin 75° cos 15° – 2 cos 105° sin 75°= (sin 90° + sin 60°) – (sin 180° – sin 30°)
= (1 + 12 3 ) – (0 –
12 )
= 32 +
12 3
b. 2 sin 8212 ° cos 37
12 ° + 2 sin 127
12 ° sin 97
12 °
= (sin 120° + sin 45°) – (cos 225° – cos 30°)= sin 120° + sin 45° – cos 225° + cos 30°
= 12 3 +
12 2 – (–
12 2 ) +
12 3
= 3 + 2
2. a. 2 sin (x + y) sin (x – y)= –cos ((x + y) + (x – y)) + cos ((x + y) – (x – y))= –cos 2x + cos 2y
b. cos (x + 3π
) sin (x – 3π
)
= 12 (sin ((x + 3
π) + (x – 3
π))
– sin ((x + 3π
) – (x – 3π
)))
= 12 (sin 2x – sin
23π
)
= 12 (sin 2x –
12 3 )
= 12 sin 2x –
14 3
3. a. 4 sin 20° sin 40° sin 80°= 2 (2 sin 20° sin 40°) sin 80°= 2 (cos 20° – cos 60°) sin 80°= 2 cos 20° sin 80° – 2 cos 60° sin 80°= 2 sin 80° cos 20° – 2 cos 60° sin 80°
= (sin 100° + sin 60°) – 2 · 12 sin 80°
= sin (180° – 80°) + sin 60° – sin 80°
= sin 80° + 12 3 – sin 80° =
12 3
b. 4 sin 10° sin 50° sin 70°= 4 sin 70° sin 50° sin 10°= 2 (2 sin 70° sin 50°) sin 10°= 2(cos 20° – cos 120°) sin 10°
= 2 (cos 20° – (–12 )) sin 10°
= 2 cos 20° sin 10° + sin 10°= (sin 30° – sin 10°) + sin 10°
= sin 30° = 12
4. a. 2 sin (135 + a)° cos (45 + a)°= sin ((135 + a)° + (45 + a)°) + sin ((135 + a)° – (45 + a)°)
= sin (180 + 2a)° + sin 90°= –sin 2a° + 1= 1 – sin 2a°
b. 2 cos (135 + a)° cos (45 + a)°= cos ((135 + a)° + (45 + a)°) + cos ((135 + a)° – (45 + a)°)
= cos (180 + 2a)° + cos 90°= – cos 2a° + 0= – cos 2a°
5. a. sin 52° sin 68° – sin 47° cos 77°– cos 65° cos 81°
= –12 (cos 120° – cos (–16°)) –
12 (sin 124°
+ sin (–30°)) – 12 (cos 146° + cos (–16°))
= –12 (cos 120° – cos 16°) –
12 (sin 124°
– sin 30°) – 12 (cos 146° + cos 16°)
= –12 cos 120° +
12 cos 16°
– 12 sin 124° +
12 sin 30° –
12 cos 146°
– 12 cos 16°
=12
− × 12
− – 12 sin 124° +
12 ×
12
– 12 cos 146
=14 +
14 –
12 sin 124° –
12 cos 146°
=12 –
12 sin (180° – 56°) –
12 cos (90° + 56°)
=12 –
12 sin 56° –
12 (–sin 56°)
=12 –
12 sin 56° +
12 sin 56°
=12
b. sin2 195° sin 75° cos 75°= (sin 195° sin 75°)(sin 195° cos 75°)
= –12 (cos (195 + 75)° – cos (195 – 75)°)
× 12 (sin (195 + 75)° + sin (195 – 75)°)
= –14 (cos 270° – cos 120°) (sin 270° + sin 120°)
= –14 (0 – (–
12 )) (–1 +
12 3 )
= –18 (–1 +
12 3 )
= 18 (1 –
12 3 )
75Matematika Kelas XI Program IPA
6. a. cos (x + 2π
) – cos (x – 2π
) = 2
⇔ –2 sin x sin 2π
= 2
⇔ –2 sin x × 1 = 2
⇔ sin x × 1 = –12 2
⇔ sin x = sin (–14 π)
1) x = –14 π + k · 2π
k = 1 → x = 74 π
2) x = (π – (–14 π)) + k · 2π
⇔ x = 54 π + k · 2π
k = 0 → x = 54 π
Jadi, himpunan penyelesaiannya {54 π,
74 π}.
b. sin (x + 34 π) – sin (x –
34 π) = – 2
⇔ 2 cos x sin 34 π = – 2
⇔ 2 cos x × 12 2 = – 2
⇔ cos x = –1⇔ cos x = cos π1) x = π + k · 2π
k = 0 → x = π2) x = –π + k · 2π
k = 1 → x = πJadi, himpunan penyelesaiannya {π}.
7. Jumlah besar sudut segitiga = 180°A + B + C = 180° ⇔ B + C = 180° – A
⇔ B C2+
= 90° – A2
A + B + C = 180° ⇔ B + C – 2C = 180° – A – 2C⇔ B – C = 180° – (A + 2C)
⇔ B C2−
= 90° – (A2 + C)
sin B + sin C = 2 sin A⇔ sin B + sin C = 2 sin (180° – (B + C))⇔ sin B + sin C = 2 sin (B + C)
⇔ 2 sin (B C
2+
) cos (B C
2−
) = 2 sin 2(B C
2+
)
⇔ 2 sin (B C
2+
) cos (B C
2−
)
= 2 × 2 sin (B C
2+
) cos (B C
2+
)
⇔ cos (B C
2−
) = 2 cos (B C
2+
)
⇔ cos B2 cos
C2 + sin
B2 sin
C2
= 2 (cos B2 cos
C2 – sin
B2 sin
C2 )
⇔ cos B2 cos
C2 – 2 cos
B2 cos
C2
+ sin B2 sin
C2 + 2 sin
B2 sin
C2 = 0
⇔ 3 sin B2 sin
C2 = cos
B2 cos
C2
⇔ B C2 2B C2 2
sin sin
cos cos = 13
⇔ tan B2 tan
C2 =
13
8. a. cos3 x sin2 x= (cos2 x sin2 x) cos x= (cos x sin x)2 cos x
= (12 sin 2x)2 cos x
= 14 sin2 2x cos x
= 14 sin 2x (sin 2x cos x)
= 14 sin 2x (
12 (sin 3x + sin x))
= 18 (sin 2x sin 3x + sin 2x sin x)
= 18 (–
12 (cos 5x – cos (–x))
– 12 (cos 3x – cos x))
= –1
16 (cos 5x – cos x + cos 3x – cos x)
= –1
16 (–2 cos x + cos 3x + cos 5x)
= 1
16 (2 cos x – cos 3x – cos 5x)
b. 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x= (1 + cos 6x) + (cos 2x + cos 4x)
= 2 cos2 3x + (2 cos 12 (6x) cos
12 (–2x))
= 2 cos2 3x + 2 cos 3x cos x= 2 cos 3x (cos 3x + cos x)= 2 cos 3x (2 cos 2x cos x)= 4 cos x cos 2x cos 3x
9. x = sin 3q + sin q
= 2 sin 12 (3θ + θ) cos
12 (3θ – θ)
= 2 sin 2θ cos θy = cos 3θ + cos θ
= 2 cos 12 (3θ + θ) cos
12 (3θ – θ)
= 2 cos 2θ cos θ
76 Kunci Jawaban dan Pembahasan
a. x + y = 2 sin 2θ cos θ + 2 cos 2θ cos θ= 2 cos θ (sin 2θ + cos 2θ)
b. xy
= 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos
θ θθ θ
= sin 2cos 2
θθ = tan 2θ
c. x2 + y2= (2 sin 2θ cos θ)2 + (2 cos 2θ cos θ)2
= 4 sin2 2θ cos2 θ + 4 cos2 2θ cos2 θ= 4 cos2 θ (sin2 2θ + cos2 2θ)= 4 cos2 θ · 1
= 4 1 cos 2
2+ θ
= 2 + 2 cos 2θ
10.cos a + cos bsin a + sin b =
1
212
6
2
⇔1 12 21 12 2
2 cos (a + b) cos (a b)
2 sin (a + b) cos (a b)
−
−= 3
⇔ 1212
cos (a + b)
sin (a + b)= 3
⇔ cotan 12 (a + b) = cotan 30°
⇔ 12 (a + b) = 30°
⇔ a + b = 60°
Jadi, sin (a + b) = sin 60° = 12
3 .
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: csin 72° cos 27° – cos 72° sin 27°= sin (72° – 27°)= sin 45°
= 12
2
2. Jawaban: ctan (–15°) = tan (45° – 60°)
= tan 45 tan 60
1 tan 45 tan 60° − °
+ ° °
= 1 3
1 1 3−
+ ×
= 1 31 3
−+ ×
1 31 3
−−
= 1 2 3 3
1 3− +
−
= 4 2 32
−−
= –2 + 3
3. Jawaban: b
tan (x – 15°) = 33
= 13
sin (x – 15°) = 12
cos (x – 15°) = 32
cos (255° – x)= cos (240° – (x – 15°))= cos 240° cos (x – 15°) + sin 240° sin (x – 15°)
= (–12 ) ( 3
2) + (–
12 3 )
12
= –14 3 –
14 3
= –12 3
4. Jawaban: d
tan (A + B) = tan A tan B
1 tan A tan B+
−
= 53
53
4
1 4
+
− ×
= 2323
5
5−
= –1= tan (–45)
(A + B) = (–45°) + k · 180°k = 1 → (A + B) = 135°Jadi, besar sudut (A + B) = 135°.
5. Jawaban: d
sin A = 45 sin B =
725
A sudut lancip (kuadran I) maka cos A = 35 .
B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B = –2425 .
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
= 35 × (–
2425 ) +
45 ×
725
= –72
125 + 28
125
= –44
125
3
1
x – 15°
2
54
3A
25
24
7B
77Matematika Kelas XI Program IPA
6. Jawaban: b
sin α = 1213 cos β = –
35 (β
tumpul)
cos α = 5
13 sin β = 45
sin λ = sin (180° – (α + β))= sin (α + β)= sin α cos β + cos α sin β
= 1213 × (–
35 ) +
513 ×
45
= –3665 +
2065
= – 1665
7. Jawaban: e
tan α – tan β = 13
⇔ sincos
αα –
sincos
ββ =
13
⇔ sin cos sin coscos cos
α β − β αα β
= 13
⇔ 4865
sin cos sin cosα β − β α = 13
⇔ sin α cos β – sin β cos α = 13 ×
4865
⇔ sin α cos β – cos α sin β = 1665
⇔ sin (α – β) = 1665
8. Jawaban: ccos a + cos b = 1⇒ (cos a + cos b)2 = 12
⇔ cos2 a + 2 cos a cos b + cos2 b = 1sin a + sin b = 2
⇒ (sin a + sin b)2 = ( 2 )2
⇔ sin2 a + 2 sin a sin b + sin2 b = 2Dari kedua persamaan diperoleh: cos2 a + 2 cos a cos b + cos2 b = 1 sin2 a + 2 sin a sin b + sin2 b = 2––––––––––––––––––––––––––––––––– +1 + 2(cos a cos b + sin a sin b) + 1 = 3⇔ 2 cos (a – b) + 2 = 3⇔ 2 cos (a – b) = 1
⇔ cos (a – b) = 12
9. Jawaban: d
tan A = 12
sin A = 15
cos A= 25
sin 2A= 2 sin A cos A
= 2 × 15 ×
25 =
45
10. Jawaban: ccos 2α = cos2 α – sin2 αcos2 15° – sin2 15°= cos (2 × 15°)
= cos 30° = 12
3
11. Jawaban: esin x cos x = a⇔ 2 sin x cos x = 2a
⇔ sin 2x = 2a1
tan 2x = 2
2a
1 4a−
12. Jawaban: a
cos 12 α =
1213
sin 12 α =
513
tan 12 α =
512
tan α = 12
122
2 tan
1 tan
α
− α
= 2
5125
12
2
1 ( )
×
−
= 1012119144
= 120119
13. Jawaban: bcos 2α = 2 cos2 α – 1
⇔ cos α = cos 2 1
2α +
⇔ cos 157,5° = cos 315 1
2° +
⇔ cos 157,7° = cos 314 12
° +
= 12
2 1
2
+
= 2 24+
= 12 2 2+
12
5
13
α
4
3
5
β
1
2A
5
21 4a−
12a
2x
13
12
5
12 α
78 Kunci Jawaban dan Pembahasan
14. Jawaban: a
sin α = 12
13−
, π < α < 32π
cos α = 5
13−
cos α = 1 – 2 sin2 12 α
⇔ sin 12 α = ± 1 cos
2− α
= ±5
131
2
−
−
= ± 913
= ±313
Oleh karena π < α < 32π
⇔ 2π
< 2α
< 34 π maka
sin 12 α =
313 .
sin 12 α =
313
cos 12 α = –
213
tan 12 α =
1212
sin
cos
α
α
=
3132
13
− = –32
15. Jawaban: c∠APB merupakan sudutpusat dan ∠ACB me-rupakan sudut kelilinglingkaran yang meng-hadap busur sama.∠APB = 2 ∠ACBsin ∠C = a
cos ∠C = 21 a−sin (∠APB) = sin (2 ∠ACB)
= 2 sin ∠ACB cos ∠ACB= 2 sin ∠C cos ∠C
= 2a 21 a−
16. Jawaban: d
tan 2α = 22 tan
1 tan α
− α
⇒ tan 72° = 22 tan 36
1 tan 36−
⇔ p = 2 × 2tan 36
1 tan 36−
⇔ 2tan 36
1 tan 36−=
12 p
17. Jawaban: a
22 tan a
1 tan a+ = 2
2
sin acos asin a
cos a
2
1+
= 2 2
2
2 sin acos a
cos a sin a
cos a
+
= 2
2
2 sin a cos a
cos a1
cos a
= 2 sin a cos a = sin 2a
18. Jawaban: a2 cos 105° cos 75= cos (105° + 75°) + cos (105° – 75°)= cos 180° + cos 30°
= –1 + 12
3
= 12
3 – 1
= 12 ( 3 – 2)
14 cos 105° cos 75°
= 18 (2 cos 105° cos 75°)
= 18 ×
12 ( 3 – 2) =
116 ( 3 – 2)
19. Jawaban: d2 sin (x + y) cos (x – y)= sin ((x + y) + (x – y)) + sin ((x + y) – (x – y))= sin 2x + sin 2y
20. Jawaban: af(x) = 2 – 8 sin (2x – 60°) sin 2x
= 2 + 4 (–2 sin (2x – 60°) sin 2x)= 2 + 4 (cos (4x – 60°) – cos (–60°))
= 2 + 4 (cos (4x – 60°) – 12 )
= 2 + 4 cos (4x – 60°) – 2= 4 cos (4x – 60°)
21. Jawaban: c
2 cos (α + 4π
) cos (34 π – α) + 1
= cos (α + 4π
+ 34 π – α) + cos (α + 4
π –
34 π + α) + 1
= cos π + cos (2α – 2π
) + 1
= –1 + cos (2α – 2π
) + 1
= cos (2α – 2π
)
= cos 2α cos 2π
+ sin 2α sin 2π
= cos 2α · 0 + sin 2α · 1
= sin 2α
313
α2
313
2
12 α
B
P
A
C
79Matematika Kelas XI Program IPA
22. Jawaban: a
sin 48 sin 12cos 78 cos 42
° + °° + °
= ° + ° ° − °
° + ° ° − °
1 12 21 12 2
2 sin (48 12 ) cos (48 12 )
2 cos (78 42 ) cos (78 42 )
= ° °° °
sin 30 cos 18cos 60 cos 18
= sin 30cos 60
°° =
1212
= 1
23. Jawaban: etan 195° + tan 105°
= ° + °° + ° + ° − °2 sin (195 105 )
cos (195 105 ) cos (195 105 )
= °° + °
2 sin 300cos 300 cos 90
= × −
+
12
12
2 ( 3)
0 = –2 3
24. Jawaban: d
cos 2x cos 4xsin 2x sin 3x
−=
1 12 2
2 sin (2x 4x) sin (2x 4x)
sin 2x sin 3x
− + −
= 2 sin 3x sin ( x)sin 2x sin 3x
− −
= 2 ( sin x)sin 2x
− −
= 2 sin x
2 sin x cos x
= 1
cos x = cosec x
25. Jawaban: a
tan α = 43
sin α = 45
cos α = 35
cos 3α + cos α
= 2 cos 12 (3α + α) cos
12 (3α – α)
= 2 cos 2α cos α= 2 (2 cos2 α – 1) cos α
= 2 (2 (35 )2 – 1) (
35 )
= 65 (
1825 – 1)
= 42
125−
26. Jawaban: b
sin C = 56 ⇔ sin (180° – (A + B)) =
56
⇔ sin (A + B) = 56
sin (A – B) = sin 30° = 12
sin A cos B = 12 (sin (A + B) + sin (A – B))
= 12 (
56 +
12 )
= 12 ×
86
= 23
27. Jawaban: b13
6 sin 2x – 2 cos 2x
a = – 2 ; b = 13
6
k = 2 213
( 2) ( 6)− + = 23
2 +
= 83
= 83
= 2 2
3 = 2 6
3 = 2
36
(a negatif dan b positif maka α terletak di kuadran II)
tan α = 13
6
2− = 6
3 2− = – 1
33
tan α = tan 150° ⇒ α = 150°Jadi,13
6 sin 2x – 2 cos 2x = 23
6 cos (2x – 150°)
28. Jawaban: b
3 cos x – 3 sin x = 3
k = 2 2( 3) ( 3)+ −
= 3 9+
= 12 = 2 3
tan α = 33
− = – 3
⇔ α = 300°
3 cos x – 3 sin x = 3
⇔ 2 3 cos (x – 300°) = 3
⇔ cos (x – 300°) = 12
⇔ cos (x – 300°) = cos 60°1) x – 300° = 60° + k · 360°
⇔ x = 360° + k · 360°k = 1 → x = 0°
α3
5 4
80 Kunci Jawaban dan Pembahasan
2) x2 – 300° = –60° + k · 360°⇔ x2 = 240° + k · 360°k = 0 → x = 240°
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {0°, 240°).
29. Jawaban: dcos 4x + cos 2x = 0⇔ 2 cos 3x cos x = 0⇔ cos 3x = 0 atau cos x = 0a. Untuk cos 3x = 0
⇔ cos 3x = cos 2π
1) 3x = 2π
+ k · 2π
⇔ x = 6π
+ k · 23 π
k = 0 → x = 6π π
k = 1 → x = 56 π
k = 2 → x = 32 π
2) 3x = – 2π
+ k · 2π
⇔ x = – 6π
+ k · 23 π
k = 1 → x = 12 π
k = 2 → x = 76 π
k = 3 → x = 116 π
b. Untuk cos x = 0
⇔ cos x = cos 2π
1) x = 2π
+ k · 2π
k = 0 → x = 2π
2) x = 2π
+ k · 2π
k = 1 → x = 32 π
Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6π
, 2π
, 56 π,
76 π,
32 π,
116 π,}.
30. Jawaban: c
sin (2x + 110)° + sin (2x – 10)° = 12
⇔ 2 sin 12 (4x + 100)° cos
12 (120°) =
12
⇔ 2 sin (2x + 50)° × 12 =
12
⇔ sin (2x + 50)° = 12 = sin 30°
1) 2x + 50 = 30 + k · 360⇔ 2x = –20 + k · 360⇔ x = –10 + k · 180k = 1 ⇒ x = 170k = 2 ⇒ x = 350
2) 2x + 50 = (180 – 30) + k · 360⇔ 2x = 100 + k · 360⇔ x = 50 + k · 180k = 0 ⇒ x = 50k = 1 ⇒ x = 230
Jadi, himpunan penyelesaiannya {50, 170, 230,350}.
B. Uraian
1. a.cos 67 cos 22 + sin 67 sin 22
sin 130 cos 110 + cos 130 sin 110° ° ° °
° ° ° °
= cos (67 22 )
sin (130 110 )° − °° + °
= cos 45sin 240
°°
= 1212
2
3− = 23−
= –13 6
b.2 2
2tan 187,5 tan 52,51 (tan 187,5 tan 52,5 )
° − °− °
= (tan 187,5 tan 52,5 )(tan 187,5 tan 52,5 )
(1 tan 187,5 tan 52,5 )(1 tan 187,5 tan 52,5 )° + ° ° − °
− ° + ° °
= tan (187,5° + 52,5°) tan (187,5° – 52,5°)= tan 240° tan 135°
= 3 (–1)
= – 3
2. a. sin (a + 30)° = sin a°⇔ sin a° cos 30° + cos a° sin 30° = sin a°
⇔ sin a° × 12 3 + cos a° ×
12 = sin a°
⇔ 12 3 sin a° +
12 cos a° = sin a°
⇔ 12 cos a° = sin a° –
12 3 sin a°
⇔ cos a° = (2 – 3 ) sin a°⇔ (2 – 3 ) sin a° = cos a°
⇔ sin acos a
°° = 1
(2 3)−
⇔ tan a° = 1(2 3)−
× 2 32 3
++
= 2 34 3+−
= 2 + 3
Jadi, tan a° = 2 + 3 (terbukti).
81Matematika Kelas XI Program IPA
b. sin (b + 30)° = cos b°⇔ sin b° cos 30° + cos b° sin 30° = cos b°
⇔ sin b° × 12 3 + cos b° ×
12 = cos b°
⇔ 12 3 sin b° +
12 cos b° = cos b°
⇔ 12 3 sin b° = cos b° –
12 cos b°
⇔ cos b° = 3 sin b°
⇔ sin bcos b
°°
= 13 ×
33
= 13 3
⇔ tan b° = 13 3
Jadi, tan b° = 13 3 (terbukti).
3. CD = 2 2AC AD−= 2 213 5−= 144= 12 cm
sin α = 1213
cos α = 5
13
tan α = 125
∠A + ∠B + ∠C = 180°⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B)⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B)⇔ ∠C = 180° – 2αa. sin C = sin (180° – 2α)
= sin (2α)= 2 sin α cos α
= 2 (1213 )(
513 ) =
120169
b. tan (180° – 2α)= –tan 2α
= 22 tan
1 tan− α− α
= ( )( )2
125
125
2
1
−
− =
245
11925
−
−
= 245 ×
25119 =
120119
4. cos 2x = 2 cos2 x – 1
Oleh karena 32 π < 2x < 2π ⇔
34 < x < π maka cos
x bernilai negatif.
⇔ cos x = – cos 2x 12
+
= –a 1a 1
1
2
−+
+
= –a 1 a 1
2(a 1)− + +
+
= –a
a 1+ = –a
a 1+
sin x = 1
a 1+
tan x = sin xcos x =
1a 1
aa 1
+
−+
= –1a = –
1a a
5. a.°+ °° − °
cos 135 cos 15sin 135 sin 15 = 2 cos 75 cos 60
2 cos 75 sin 60° °° °
= cotan 60° = 13 3
b.sin 70 sin 20
cos 70 cos 20° + °° + ° = ° °
° °2 sin 45 cos 252 cos 45 cos 25
= tan 45° = 1
c.tan 105 tan 15tan 105 – tan 15
° + °° ° =
tan 105 tan 15tan 105 – tan ( 15 )
° + °° − °
= 2 sin 120
cos 120 cos 902 sin 90
cos 120 cos 90
°° + °
°° + °
= ×
×
12
2 3
2 1 =
12 3
6. a. sin 6α + sin 4α + sin 2α= sin 6α + (sin 4α + sin 2α)
= 2 sin 3α cos 3α + 2 sin 12 (4α + 2α) cos
12 (4α – 2α)
= 2 sin 3α cos 3α + 2 sin 3α cos α= 2 sin 3α (cos 3α + cos α)
= 2 sin 3α (2 cos 12 (3α + α) cos
12 (3α – α))
= 4 sin 3α cos 2α cos α
b.sin 6 sin 4 + sin 2
cos 6 cos 4 + cos 2α − α αα − α α
= (sin 6 + sin 2 ) sin 4(cos 6 + cos 2 ) cos 4
α α − αα α − α
=
1 12 21 12 2
2 sin (6 + 2 ) cos (6 2 ) sin 4
2 cos (6 + 2 ) cos (6 2 ) cos 4
α α α − α − α
α α α − α − α
= 2 sin 4 cos 2 sin 42 cos 4 cos 2 cos 4
α α − αα α − α
= sin 4 (2 cos 2 1)cos 4 (2 cos 2 1)
α α −α α −
= sin 4cos 4
αα
= tan 4α
7. a. 6 cos 75° cos 15°= 3 · 2 cos 75° cos 15°= 3 (cos (75° + 15°) + cos (75° – 15°))= 3 (cos 90° + cos 60°)
= 3 (0 + 12 ) =
32
b. cos 55° sin 25° – cos 35° cos 25°
= 12 (sin 80° – sin 30°) –
12 (cos 60° + cos 10°)
= 12 sin 80° –
12 sin 30° –
12 cos 60o + –
12 sin 80°
A 5 cm D 5 cm B
C
α α
13 cm13 cm
a 1+ 1
a
x
82 Kunci Jawaban dan Pembahasan
= –12 sin 30° –
12 cos 60°
= –12 ×
12 –
12 ×
12
= –12
8. a. cos 15° – cos 75°
= –2 sin 12 (15 + 75)° sin
12 (15 – 75)°
= –2 sin 45 sin (–30°)
= –2 × 12 2 × (–
12 ) =
12 2
b. sin 195° + sin 75°
= 2 sin 12 (195° + 75°) cos
12 (195° – 75°)
= 2 sin 135° cos 60°
= 2 × 12 2 ×
12 =
12 2
c. tan 6712 ° + tan 22
12 °
= 1 12 2
1 1 1 12 2 2 2
2 sin (67 22 )
cos (67 22 ) cos (67 – 22 )
° + °
° + ° + ° °
= 2 sin 90cos 90 cos 45
°° + °
= ×+ 1
2
2 1
0 2 ×
22
= 2 2
9. cos 2θ – 3 sin 2θ = –1
⇔ cos2 θ – sin2 θ – 3 · 2 sin θ cos θ= –(cos2 θ + sin2 θ)
⇔ 2 cos2 θ – 2 3 sin θ cos θ = 0
⇔ 2 cos θ (cos θ – 3 sin θ) = 0
⇔ 2 cos θ = 0 atau (cos θ – 3 sin θ) = 0
⇔ cos θ = 0 atau cos θ = 3 sin θ
⇔ cos θ = 0 atau cos sin
θθ = 3
⇔ cos θ = 0 atau cotan θ = 3
Jadi, nilai cotan θ = 3 .
10. a. sin x – 3 cos x = 1
⇔ – 3 cos x + sin x = 1
a = – 3 , b = 1, k = 2 2( 3) 1− + = 2
tan α = ba ,
13− = –
13 3 (α di kuadran II)
⇔ α = 150°
sin x – 3 cos = 1⇔ 2 cos (x – 150°) = 1
⇔ cos (x – 150°) = 12
⇔ cos (x – 150°) = cos 60°1) x – 150° = 60° + k · 360°
⇔ x = 210° + k · 360°k = 0 → x = 210°
2) x – 150° = –60° + k · 360°⇔ x = 90° + k · 360°k = 0 → x = 90°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°, 210°}.
b. cos (75° – x) – cos (15° – x) = 0
⇔ –2 sin 12 (90° – 2x) sin
12 (60°) = 0
⇔ –2 sin (45° – x) sin 30° = 0
⇔ –2 sin (45° – x) × 12 = 0
⇔ sin (45° – x) = 0⇔ sin (45° – x) = sin 0°1) 45° – x = 0° + k · 360°
⇔ –x = –45° + k · 360°⇔ x= 45° – k · 360°k = 0 → x = 45°
2) 45° – x = 180° + k · 360°⇔ –x = 135° + k · 360°⇔ x= –135° – k · 360°k = –1 → x = 225°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {45°, 225°}.
Bab IV Persamaan Lingkaran danGaris Singgung
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: dPersamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) denganr = 4 adalah:x2 + y2 = r2 ⇒ x2 + y2 = 42
⇔ x2 + y2 = 16
2. Jawaban: ex2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 15 + 4 + 1⇔ (x – 2)2 + (x + 1)2 = 20
Diperoleh: r2 = 20 ⇔ r = 20 = 2 5
Jadi, jari-jari lingkaran 2 5 .
83Matematika Kelas XI Program IPA
3. Jawaban: a
Pusat: P(4, –3)Jari-jari: r = 3
Persamaan lingkaran L:(x – 4)2 + (y + 3)2 = 32
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 9⇔ x2 + y2 – 8x + 6y + 16 = 0
4. Jawaban: bPersamaan lingkaran yang berpusat di titik (–2,4) adalah (x + 2)2 + (y – 4)2 = r2.Oleh karena lingkaran melalui titik O(0, 0) maka:(0 + 2)2 + (0 – 4)2 = r2
⇔ r2 = 4 + 16 = 20Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2)2 + (y – 4)2 = 20.
5. Jawaban: aTitik pusat lingkaran tepat di tengah diameter,koordinatnya:
4 + 62
− , 3 + 12
− = (1, –1)
Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2
Lingkaran melalui titik (6, 1), berarti:(6 – 1)2 + (1 + 1)2 = r2
⇔ r2 = 25 + 4 = 29Persamaan lingkaran:(x – 1)2 + (y + 1)2 = r2
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 29⇔ x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0
6. Jawaban: e2x2 + 2y2 – 3x + 4y – 15 = 0
⇔ x2 + y2 – 32 x + 2y –
152 = 0
Diperoleh: A = – 32
; B = 2; C = – 152
.
Jari-jari: r = ( )2 21 3 1 15
2 2 2 22 − − + − − −
= 9 15 + +
16 21 = 145
16
Luas lingkaran:
L = πr2 = π 14516
= 14516 π satuan luas.
7. Jawaban: cLingkaran x2 + y2 – 8x + 2y + p = 0.Diperoleh A = –8, B = 2, dan C = p
r = 2 21 1
2 2A B – C − −
+
⇔ 3 = 2 24 ( 1) p+ − −⇔ 32 = 16 + 1 – p⇔ 9 = 17 – p⇔ p = 17 – 9 = 8
8. Jawaban: bKedudukan titik-titik di atas dapat ditentukandengan cara membandingkan antara jarak titik-titik tersebut ke pusat lingkaran dengan panjangjari-jari lingkaran.a. Jarak titik M(3, 4) ke titik P(2, –1):
s1 = 2 2(2 3) ( 1 4)− + − −
= 2 2( 1) ( 5)− + − = 26
Oleh karena s1 = 26 > r = 2 maka titik M diluar lingkaran L.
b. Jarak titik Q(1, –1) ke titik P(2, –1):
s2 = 2 2(2 1) ( 1 ( 1))− + − − −
= 2 21 0+= 1
Oleh karena s2 = 1 < r = 2 maka titik Q didalam lingkaran L.
c. Jarak titik R(–2, 1) ke titik P(2, –1):
s3 = 2 2(2 ( 2)) ( 1 1)− − + − −
= 2 24 ( 2)+ −
= 20
Oleh karena s3 = 20 > r = 2 maka titik R diluar lingkaran L.
d. Jarak titik N(1, 2) ke titik P(2, –1):
s4 = 2 2(2 1) ( 1 2)− + − −
= 2 2( 1) 2− + = 5
Oleh karena s4 = 5 > r = 2 maka titik N diluar lingkaran L.
e. Jarak titik T(2, 1) ke titik P(2, –1):
s5 = 2 2(2 2) ( 1 1)− + − −
= 2 20 ( 2)+ − = 2
Oleh karena s5 = 2 = r = 2 maka titik T terletakpada lingkaran L.
Jadi, titik Q(1, –1) terletak di dalam lingkaran L.
X
Y
O
P L
43
–3
84 Kunci Jawaban dan Pembahasan
9. Jawaban: eTitik pusat lingkaran: P(–2, 1).
Jari-jari lingkaran: r = 2 2( 2) 1 4− + + = 3
a. Jarak titik P(–2, 1) ke garis g1: x + y – 2 = 0:
d1 = 2 2
2 1 2
1 1
− + −
+ = 3
2
Oleh karena d1 = 32
< r = 3 maka garis g1
memotong lingkaran L.
b. Jarak titik P(–2, 1) ke garis g2: x + 2y + 2 = 0:
d2 = 2 2
2 2 1 2
1 2
− + ⋅ +
+ = 2
5
Oleh karena d1 = 25
< r = 3 maka garis g2
memotong lingkaran L.
c. Jarak titik P(–2, 1) ke garis g3: 2x – y + 1 = 0:
d3 = 2 2
2 ( 2) 1 1
2 ( 1)
⋅ − − +
+ − = 4
5
Oleh karena d1 = 45
< r = 3 maka garis g3
memotong lingkaran L.
d. Jarak titik P(–2, 1) ke garis g4: 2x + 2y – 1 = 0:
d4 = 2 2
2 ( 2) 2 1 1
2 2
⋅ − + ⋅ −
+ = 3
2 2
Oleh karena d4 = 32 2
< r = 3 maka garis g4
memotong lingkaran L.
e. Jarak titik P(–2, 1) ke garis g5: 3x – 4y – 5 = 0:
d5 = 2 2
3 ( 2) 4 1 5
3 ( 4)
⋅ − − ⋅ −
+ − = 3
Oleh karena d5 = r = 3 maka garis g5menyinggung lingkaran L.
10. Jawaban: cLingkaran x2 + y2 + px + 8y + 9 = 0 berpusat di
titik –
21 p, –4
.
r = ( )2 212
p 4 – 9+
= 21
4p 16 – 9+ = 21
4p 7+
Lingkaran menyinggung sumbu X makar = |||||ordinat pusat |||||
Diperoleh:
214
p 7+ = |–4|
⇔2
214
p 7
+ = |–4|2
⇔41 p2 + 7 = 16
⇔41 p2 = 9
⇔ p2 = 36⇔ p = ± 6Jadi, pusat lingkaran adalah (3, –4) atau (–3, –4).
11. Jawaban: dLingkaran menyinggung garis g: 2x – 3y + 1 = 0makar = jarak titik pusat (2, 1) ke garis g
r = 2 2
2 2 3 1 1
2 ( 3)
⋅ − ⋅ +
+ − =
213
Persamaan lingkaran berpusat di (2, 1) dan berjari-
jari 213 adalah:
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 22
13
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 4
13⇔ 13x2 + 13y2 – 52x – 26y + 52 + 13 = 4⇔ 13x2 + 13y2 – 52x – 26y + 61 = 0
12. Jawaban: bPersamaan lingkaran: x2 + y2 + py + q = 0.Diperoleh A = 0 dan B = p.
Pusat lingkaran: –
12 A, –
12 B
= 0, –
12 p
.
Lingkaran menyinggung garis : 3x + 4y – 2 = 0maka r = jarak titik pusat ke garis .
r = ( )12
2 2
3 0 4 p 2
3 (4)
⋅ + ⋅ − −
+
2 = 2p 2
5− −
⇔ 22 = 22p 2
5− −
⇔ 4 = 24p 8p 4
25+ +
⇔ 4p2 + 8p + 4 = 100⇔ 4p2 + 8p – 96 = 0⇔ p2 + 2p – 24 = 0⇔ (p + 6)(p – 4) = 0⇔ p + 6 = 0 atau p – 4 = 0⇔ p = –6 atau p = 4
85Matematika Kelas XI Program IPA
13. Jawaban: bx – 2y = 5 ⇔ x = 5 + 2ySubstitusi x = 5 + 2y ke persamaan lingkaranx2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 diperoleh:(5 + 2y)2 + y2 – 4(5 + 2y) + 8y + 10 = 0⇔ 25 + 20y + 4y2 + y2 – 20 – 8y + 8y + 10 = 0⇔ 5y2 + 20y + 15 = 0⇔ y2 + 4y + 3 = 0⇔ (y + 3)(y + 1) = 0⇔ y1 = –3 atau y2 = –1y1 = –3 ⇒ x1 = 5 + 2(–3) = –1 ⇒ A(–1, –3)y2 = –1 ⇒ x2 = 5 + 2(–1) = 3 ⇒ B(3, –1)
Panjang ruas garis AB
= 2 2(3 – (–1)) (–1– (–3))+
= 2 24 2+ = 16 4+ = 20 = 2 5
14. Jawaban: eLingkaran L menying-gung sumbu Y di titik(0, 6) dan pusatnya digaris y = 2x.y = 6 ⇔ 2x = 6
⇔ x = 3Pusat lingkaran P(3, 6)dan jari-jari 3.Jadi, persamaan ling-karan L adalah(x – 3)2 + (y – 6)2 = 32
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 9⇔ x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0
15. Jawaban: c
Titik pusat kedua lingkaran pada garis y = 3
berarti ordinat titik pusat adalah 3 .Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x = 0),maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r).
Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, 3 ) dan per-samaannya:
(x – r)2 + (y – 3 )2 = r2
Lingkaran juga menyinggung garis y = 13 x 3 .
Substitusi y = 13 x 3 ke persamaan lingkaran:
(x – r)2 + –
13 x 3 – 3
2 = r2
⇔ x2 – 2rx + r2 + 13 x2 – 2x + 3 = r2
⇔ 43 x2 – (2r + 2)x + 3 = 0
Oleh karena lingkaran menyinggung garis, makadiskriminan (D) = 0, yaitu
b2 – 4ac = 0 ⇒ (2r + 2)2 – 4 · 43 · 3 = 0
⇔ 4r2 + 8r + 4 – 16 = 0⇔ 4r2 + 8r – 12 = 0⇔ r2 + 2r – 3 = 0⇔ (r + 3)(r – 1) = 0⇔ r = –3 atau r = 1
Diperoleh titik pusat P1(–3, 3) dan P2(1, 3).Jarak kedua titik pusat:
P1P2 = 2 2(1 ( 3)) ( 3 3)− − + −
= 2 24 0+= 4
B. Uraian
1. a. Pusat O(0, 0)
Jari-jari: r = 12 × 10 = 5
Persamaan lingkaran:x2 + y2 = 52
⇔ x2 + y2 = 25b. Pusat (2, 1): (x – 2)2 + (y – 1)2 = r2
Melalui (0, 4):(0 – 2)2 + (4 – 1)2 = r2
⇔ r2 = (–2)2 + 32 = 4 + 9 = 13Persamaan lingkaran:(x – 2)2 + (y – 1)2 = 13⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 – 13 = 0⇔ x2 + y2 – 4x – 2y – 8 = 0
2. L: x2 + y2 + 4x – 6y – 35 = 0a. A = 4; B = –6; C = –35
Pusat: –
21 (4), –
21 (–6)
= (–2, 3)
Jari-jari: r = 2 2( 2) + (3) ( 35)− − −
= 4 + 9 + 35
= 48
= 4 3 satuan
Jadi, koordinat pusat (–2, 3) dan jari-jari 4 3satuan.
Y
X
y = 2x
6r
P
30
-------
----
----
----
P1 P P2r1
r1
r2 r2T2α
O
y = 13 3x
y = 3
Y
X
86 Kunci Jawaban dan Pembahasan
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
(–2, 3) dan berjari-jari r = 12 × 8 = 4 adalah:
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 42
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16⇔ x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
3. x2 + y2 – 8x – 12y + n = 0a. Lingkaran melalui titik (–1, 3) berarti:
(–1)2 + 32 – 8(–1) – 12(3) + n = 0⇔ 1 + 9 + 8 – 36 + n = 0⇔ n = 18
b. x2 + y2 – 8x – 12y + 18 = 0
Pusat: –
21 (–8), –
21 (–12)
= (4, 6)
Jari-jari: r = 2 24 + 6 18−
= 16 + 36 18−
= 34Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (4, 6).
d = 2 24 + 6 = 16 + 36 = 52
Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada diluar lingkaran.
c. Jarak garis y = 2x – 5 ⇔ 2x – y – 5 = 0 ke titikpusat lingkaran (4, 6) adalah:
s = 2 2
2(4) (6) 5
2 + ( 1)
− −−
= 8 6 54 + 1
− − = 35
− = 35
× 55
= 35
5
Oleh karena s = 35
5 ≈ 1,34 < r = 34 ≈ 5,83
maka garis y = 2x – 5 memotong lingkaran didua titik.
4. : 2x + y = k ⇔ y = k – 2xSubstitusi ke persamaan lingkaran L:x2 + (k – 2x)2 = 4⇔ x2 + k2 – 4kx + 4x2 = 4⇔ 5x2 – 4kx + k2 – 4 = 0Syarat garis tidak memotong lingkaran L yaitu D < 0.⇒ (–4k)2 – 4 · 5 · (k2 – 4) < 0⇔ 16k2 – 20k2 + 80 < 0⇔ –4k2 + 80 < 0⇔ k2 – 20 > 0
⇔ (k – 20 )(k + 20 ) > 0
⇔ (k – 2 5 )(k + 2 5 ) > 0
⇔ k < –2 5 atau k > 2 5
Jadi, batas-batas nilai k adalah k < –2 5 atau
k > 2 5 .
5.
Titik pusat lingkaran: P(r, –5).Panjang jari-jari lingkaran = jarak titik P ke garis3x + 4y = 0.
r = 2 2
3r 4 ( 5)
3 4
+ ⋅ −
+
⇔ r2 = 23r 20
5− ⇔ r2 =
2(3r 20)25−
⇔ 25r2 = 9r2 – 120r + 400⇔ 16r2 + 120 r – 400 = 0⇔ 2r2 + 15r – 50 = 0⇔ (2r – 5)(r + 10) = 0
⇔ r = 52 atau r = –10
Oleh karena r > 0 maka r = 52 .
Persamaan lingkaran berpusat di P(52 , 5) dan
berjari-jari 52 :
x – 25
2
+ (y – 5)2 = 25
2
⇔ x2 – 5x + 254 + y2 – 10y + 25 =
254
⇔ x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0Jadi, persamaan lingkarannya:x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0.
X
Y
P(r, –5)rr
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5–6
•3x + 4y = 0
8
+ – +
–2 5 2 5
87Matematika Kelas XI Program IPA
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: cx2 + y2 = 20(–2, 4) ⇒ (–2)2 + 42 = 4 + 16 = 20Titik (–2, 4) terletak pada lingkaran.Persamaan garis singgungnya:–2x + 4y = 20⇔ 2x – 4y + 20 = 0⇔ x – 2y + 10 = 0
2. Jawaban: e(x + 2)2 + (y – 3)2 = 40(4, 1) → (4 + 2)2 + (1 – 3)2 = 40
62 + (–2)2 = 4036 + 4 = 40
Titik (4, 1) terletak pada lingkaran.Persamaan garis singgungnya:(4 + 2)(x + 2) + (1 – 3)(y – 3) = 40⇔ 6(x + 2) – 2(y – 3) = 40⇔ 6x + 12 – 2y + 6 = 40⇔ 6x – 2y = 22⇔ 3x – y = 11x = 0 ⇒ 0 – y = 11
⇔ y = –11Jadi, koordinat A(0, –11).
3. Jawaban: aTitik (5, 1) terletak pada lingkaran L karena52 + 12 – 4 · 5 + 6 · 1 – 12 = 0.Persamaan garis singgung pada lingkaran L di titik(5, 1):5x + y – 2(x + 5) + 3(y + 1) – 12 = 0⇔ 5x + y – 2x – 10 + 3y + 3 – 12 = 0⇔ 3x + 4y – 19 = 0
4. Jawaban: aLingkaran berpusat di titik (3, 5) dan berjari-jari 5.Persamaan lingkaran:(x – 3)2 + (y – 5)2 = 25Lingkaran memotong sumbu Y, berarti:x = 0 ⇒ (–3)2 + (y – 5)2 = 25
⇔ 9 + (y – 5)2 = 25⇔ (y – 5)2 = 16⇔ y – 5 = ±4⇔ y = 5 ± 4⇔ y = 5 + 4 = 9 atau y = 5 – 4 = 1
Diperoleh koordinat A(0, 1).Persamaan garis singgung di titik A:(0 – 3)(x – 3) + (1 – 5)(y – 5) = 25⇔ –3(x – 3) + (–4)(y – 5) = 25⇔ –3x + 9 – 4y + 20 = 25⇔ 3x + 4y – 4 = 0
5. Jawaban: aPersamaan lingkaran: x2 + y2 = 10.Titik (4, 2) terletak di luar lingkaran.Persamaan garis kutub:4x + 2y = 10 ⇔ y = 5 – 2xSubstitusi y = 5 – 2x ke persamaan lingkaran:x2 + (5 – 2x)2 = 10⇔ x2 + 25 – 20x + 4x2 – 10 = 0⇔ 5x2 – 20x + 15 = 0⇔ x2 – 4x + 3 = 0⇔ (x – 1)(x – 3) = 0⇔ x = 1 atau x = 3Untuk x1 = 1 maka y1 = 5 – 2 · 1 = 3Untuk x2 = 3 maka y2 = 5 – 2 · 3 = –1Diperoleh titik singgung (1, 3) dan (3, –1).Persamaan garis singgung lingkaran di titik (1, 3)adalah x + 3y = 10.Persamaan garis singgung lingkaran di titik (3, –1)adalah 3x – y = 10.Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaranx2 + y2 = 10 yang ditarik dari titik (4, 2) adalahx + 3y = 10 atau 3x – y = 10.
6. Jawaban: eTitik A(0, 1) terletak di luar lingkaran L karena(0 – 2)2 + (1 + 1)2 > 4.Persamaan garis kutub titik A(0, 1) terhadaplingkaran L:(0 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1)= 4⇔ –2x + 4 + 2y + 2 = 4⇔ –2x + 2y = –2⇔ x – y = 1⇔ y = x – 1Substitusi y = x – 1 ke persamaan lingkaran L:
(x – 2)2 + (x – 1 + 1)2 = 4⇔ x2 – 4x + 4 + x2 – 4 = 0⇔ 2x2 – 4x = 0⇔ 2x(x – 2) = 0⇔ x = 0 atau x = 2Untuk x1 = 0 maka y1 = 0 – 1 = –1.Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 1 = 1Diperoleh titik singgung (0, –1) dan (2, 1).
7. Jawaban: dx2 + y2 = 45Persamaan garis singgung yang bergradien m =2:
y = 2x ± 45 22 1+
⇔ y = 2x ± 45 5⋅⇔ y = 2x ± 15Jadi, persamaan garis singgungnya y = 2x + 15atau y = 2x – 15.
88 Kunci Jawaban dan Pembahasan
8. Jawaban: bx2 + y2 – 4x + 3y – 23 = 0(–1, 3) ⇒ (–1)2 + 32 – 4(–1) + 3 · 3 – 23
= 1 + 9 + 4 + 9 – 23 = 0Diperoleh (–1, 3) terletak pada lingkaran.Persamaan garis singgung di titik (–1, 3):
–1x + 3y – 42 (x – 1) +
32 (y + 3) – 23 = 0
⇔ –x + 3y – 2x + 2 + 32 y +
92 – 23 = 0
⇔ –6x + 9y – 33 = 0⇔ 9y = 6x + 33
⇔ y = 23 x +
113
Jadi, gradiennya 23 .
9. Jawaban: aGaris y – 2x + 5 = 0 mempunyai gradien m = 2.Titik pusat lingkaran: P(3, –5).Jari-jari lingkaran: r = 80Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalahm1.Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garisy – 2x + 5 = 0 maka m = m1 = 2.Persamaan garis singgung lingkaran:
y – yP = m(x – xP) ± r 21 m+
⇔ y – (–5) = 2(x – 3) ± 80 · 21 2+
⇔ y + 5 = 2x – 6 ± 80 5⋅
⇔ y = 2x – 11 ± 400⇔ y = 2x – 11 ± 20
10. Jawaban: aSubstitusi y = 3 ke persamaan garis L:
(x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9⇔ (x + 1)2 – 9 = 0⇔ (x + 1 – 3)(x + 1 + 3) = 0⇔ (x – 2)(x + 4) = 0⇔ x – 2 = 0 atau x + 4 = 0⇔ x = 2 atau x = –4Diperoleh titik potong A(2, 3) dan B(–4, 3).Persamaan garis singgung di titik A(2, 3) padalingkaran L:(2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9⇔ 3x + 3 = 9⇔ x = 2Persamaan garis singgung di titik B(–4, 3) padalingkaran L:(–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9⇔ –3x – 3 = 9⇔ x = –4
11. Jawaban: dTitik (2, –1) terletak pada lingkaran L1. Garissinggung lingkaran L1 di titik (2, –1):: (2 – 1)(x – 1) + (–1 + 0)(y + 0) = 2
⇔ x – 1 – y – 2 = 0⇔ x – y – 3 = 0Garis menyinggung lingkaran L2 maka jari-jarilingkaran L2 sama dengan jarak titik pusat R(3, 2)ke garis .
r2 = 2 2
1 3 1 2 3
1 ( 1)
⋅ − ⋅ −
+ − =
22
− = 2
2 = 2
Persamaan lingkaran L2:(x – 3)2 + (y – 2)2 = r2
2
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = ( 2 )2
⇔ x2 + y2 – 6x – 4y + 11 = 0
12. Jawaban: eMisal titik singgung lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 1)2
= 13 adalah T(–1, b) maka:(–1 – 2)2 + (b + 1)2 = 13⇔ 9 + b2 + 2b + 1 – 13 = 0⇔ b2 + 2b – 3 = 0⇔ (b + 3)(b – 1) = 0⇔ b + 3 = 0 atau b – 1 = 0⇔ b = –3 atau b = 1Diperoleh titik singgung T1(–1, –3) dan T2(–1, 1).Persamaan garis singgung di titik T1(–1, –3) padalingkaran L:(–1 – 2)(x – 2) + (–3 + 1)(y + 1) = 13⇔ –3x + 6 – 2y – 2 = 13⇔ –3x – 2y – 9 = 0⇔ 3x + 2y + 9 = 0Persamaan garis singgung di titik T2(–1, 1) padalingkaran L:(–1 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13⇔ –3x + 6 + 2y + 2 = 13⇔ –3x + 2y – 5 = 0⇔ 3x – 2y + 5 = 0
13. Jawaban: cMisalkan L: x2 + y2 + 3x – 4y = 0.
Titik pusat lingkaran L: P –
32 , 2
.
Jari-jari lingkaran L: r = 2
232
2 0 − + −
= 94
4+
= 254
= 52
Titik A(1, –2) di luar lingkaran L. Garis ABmerupakan garis singgung lingkaran L yang ditarikdari titik A.
89Matematika Kelas XI Program IPA
Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaranL di titik B1 dan B2.Panjang garis AB1 = AB2 = s.
s = 2 2(AP) r−
= 2 2 2A P A P(x x ) (y y ) r− + − −
= 2 2
25 52 2
( 4)
+ − − = 16 = 4
Jadi, panjang garis AB adalah 4.
14. Jawaban: cPersamaan garis singgung pada lingkaran
x2 + y2 = r2 dengan gradien m = –43 :
y = –43 x ± r
243
1 − +
⇔ y = –43 x ± r 16
91 +
⇔ y = –43 x ± r 25
9
⇔ y = –43 x ±
5r3
⇔ 3y = –4x ± 5rTitik M(9, –4) terletak pada garis singgung maka:3 · (–4) = –4 · 9 ± 5r⇔ –12 = –36 ± 5r⇔ 24 = ± 5r
⇔ r = ± 245
= ±4,8Jadi, nilai r = 4,8 atau r = –4,8.
15. Jawaban: dx2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0Garis melalui O(0, 0): y = mx
Substitusi ke persamaan lingkaran:x2 + (mx)2 – 6x + 2(mx) + 5 = 0⇔ (1 + m2)x2 + 2(m – 6)x + 5 = 0Garis y = mx menyinggung lingkaran, berarti:D = 0 ⇒ (2m – 6)2 – 4(1 + m2) · 5 = 0
⇔ 4m2 – 24m + 36 – 20 – 20m2 = 0⇔ –16m2 – 24m + 16 = 0⇔ 2m2 + 3m – 2 = 0
⇔ (2m – 1)(m + 2) = 0
⇔ m = 12 atau m = –2
Jadi, gradiennya 12 dan –2.
B. Uraian
1. x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0⇔ x2 – 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = 66 + 25 + 9⇔ (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100
a. (–1, 5) → (–1 – 5)2 + (5 + 3)2 = 100Titik (–1, 5) terletak pada lingkaran.Persamaan garis singgung di titik (–1, 5)(–1 – 5)(x – 5) + (5 + 3)(y + 3) = 100⇔ –6x + 30 + 8y + 24 – 100 = 0⇔ –6x + 8y – 46 = 0⇔ 3x – 4y + 23 = 0
b. Garis singgung dengan m = 43
y + 3 = 43 (x – 5) ± 100
243
1
+
⇔ y + 3 = 43 (x – 5) ± 10 25
9
⇔ y + 3 = 43 x –
203 ±
503
⇔ 3y + 9 = 4x – 20 ± 50⇔ 4x – 3y – 29 ± 50 = 0⇔ 4x – 3y – 29 + 50 = 0
atau 4x – 3y – 29 – 50 = 0⇔ 4x – 3y + 21 = 0 atau 4x – 3y – 79 = 0
2. a. Lingkaran berpusat di titik O(0, 0):x2 + y2 = r2
(4, 8) ⇒ 42 + 82 = r2
⇔ r2 = 16 + 64 = 80Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 80
b. Garis singgung di titik A(4, 8)x1x + y1y = 80 ⇒ 4x + 8y = 80
⇔ x + 2y = 20c. x + 2y = 20
⇔ 2y = –x + 20
⇔ y = –12 x + 10
Diperoleh gradien garis singgung: m = –12
Persamaan garis singgung yang bergradien
m = –12 adalah:
y = –12 x ± 80
212
1 +
⇔ y = –12 x ± 80 5
4
⇔ y = –12 x ± 10
Y
X
A
B1
B2
P
r
r
4
3
21
0–1–2
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–6
90 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Diperoleh persamaan garis singgung
y = – 12
x + 10 dan y = – 12
x – 10.
Persamaan garis singgung yang sejajar garis
x + 2y = 20 adalah y = – 12
x + 10.
3. L: x2 + y2 + 4x – 2y – 8 = 0g: 2x + y = 5 ⇔ y = 5 – 2xa. Substitusi y = 5 – 2x ke persamaan lingkaran L.
x2 + (5 – 2x)2 + 4x – 2(5 – 2x) – 8 = 0⇔ 5x2 – 12x + 7 = 0⇔ (x – 1)(5x – 7) = 0
⇔ x = 1 atau x = 75
x = 1 ⇒ y = 5 – 2(1) = 3
x = 75 ⇒ y = 5 – 2 7
5
= 255 –
145 =
115
Jadi, koordinat titik potongnya A(1, 3) dan
B(75 ,
115 ).
b. Garis singgung di titik A(1, –3).x1x + y1y + 2(x + x1) – (y + y1) – 8 = 0⇒ 1x + 3y + 2(x + 1) – (y + 3) – 8 = 0⇔ x + 3y + 2x + 2 – y – 3 – 8 = 0⇔ 3x + 2y – 9 = 0
Garis singgung di titik B(75 ,
115 ).
x1x + y1y + 2(x + x1) – (y + y1) – 8 = 0
⇒ 75 x +
115 y + 2(x +
75 ) – (y +
115 ) – 8 = 0
⇔ 75 x +
115 y + 2x +
145 – y –
115 – 8 = 0
⇔ 7x + 11y + 10x + 14 – 5y – 11 – 40 = 0⇔ 17x + 69 – 37 = 0
c. Eliminasi y pada kedua garis singgung:3x + 2y – 9 = 0 × 3 9x + 6y = 27
17x + 6y – 37 = 0 × 1 17x + 6y = 37–––––––––––– –
–12x = –10
⇔ x = 56
Substitusi x = 56
3x + 2y – 9 = 0 ⇒ 3(56 ) + 2y – 9 = 0
⇔ 52 + 2y – 9 = 0
⇔ 2y = 132
⇔ y = 134
Jadi, koordinat titik potong garis singgung
(56 ,
134 ).
4. Titik T(–21, –4) di luar lingkaran L1 karena(–21)2 + (–4)2 + 10 · (–21) + 4(–4) + 19 = 250 > 0.Persamaan garis kutub di titik T(–21, –4) terhadaplingkaran L1:–21x – 4y + 5(x – 21) + 2(y – 4) + 19 = 0⇔ –21x – 4y + 5x – 105 + 2y – 8 + 19 = 0⇔ –16x – 2y – 94 = 0⇔ 8x + y + 47 = 0⇔ y = –8x – 47Menentukan titik singgung pada L1.Substitusi y = –8x – 47 ke persamaan L1:x2 + (–8x – 47)2 + 10x + 4(–8x – 47) + 19 = 0⇔ x2 + 64x2 + 752x + 2.209 + 10x – 32x
– 188 + 19 = 0⇔ 65x2 + 730x + 2.040 = 0⇔ 13x2 + 146x + 408 = 0⇔ (13x + 68)(x + 6) = 0
⇔ x = –6813 atau x = –6
Untuk x1 = – 6813
maka y1 = –8 · – 68
13
– 47 = – 6713
.
Untuk x2 = –6 maka y2 = –8 · (–6) – 47 = 1.
Diperoleh titik singgung A – 68
13, – 67
13
dan
B(–6, 1).Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik A:
g1: –6813
x – 6713
y + 5 x – 68
13
+ 2 y – 67
13
+ 19 = 0
⇔ – 6813
x – 6713
y + 5x – 34013 + 2y –
13413 + 19 = 0
⇔ –68x – 67y + 65x – 340 + 26y – 134 + 247 = 0⇔ –3x – 41y – 227 = 0⇔ 3x + 41y + 227 = 0Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik B:g2: –6x + y + 5(x – 6) + 2(y + 1) + 19 = 0⇔ –6x + y + 5x – 30 + 2y + 2 + 19 = 0⇔ –x + 3y – 9 = 0⇔ x – 3y + 9 = 0Jari-jari lingkaran L2 sama dengan jarak titikP(4, –1) ke garis singgung g1 atau g2.Jari-jari lingkaran L2:
r2 = 2 2
4 3 ( 1) 9
1 ( 3)
− ⋅ − +
+ − =
1610
Persamaan lingkaran L2:(x – 4)2 + (y + 1)2 = r2
2
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = 25610
⇔ x2 + y2 – 8x + 2y – 435 = 0
91Matematika Kelas XI Program IPA
5. Titik pusat lingkaran L1: P1(–2, 2).Jari-jari lingkaran: r1 = 5.Titik pusat lingkaran L2: P2(10, –7).Jari-jari lingkaran: r2 = 10.
Lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di titik Q.Garis adalah garis singgung persekutuanlingkaran L1 dan L2.Gradien garis P1P2.
m1 = 1 2
1 2
P P
P P
y y
x x
−− =
2 ( 7)2 10− −
− − = –9
12 = –34
Misalkan gradien garis adalah m.Garis tegak lurus garis P1P2 maka
m1m = –1 ⇒ –34 m = –1 ⇔ m =
43
Menentukan koordinat titik Q.L1: x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0L2: x2 + y2 – 20x + 14y + 49 = 0
––––––––––––––––––––––––– –24x – 18y – 66 = 0
⇔ 4x – 3y – 11 = 0
⇔ y = 4x 11
3−
Substitusi y = 4x 11
3−
ke persamaan L1:
x2 +
4x 113−
2 + 4x – 4
4x 113−
– 17 = 0
⇔ x2 + 216x 88x 121
9− + + 4x –
163 x +
443 – 17 = 0
⇔ 9x2 + 16x2 – 88x + 121 + 36x – 48x + 132– 153 = 0
⇔ 25x2 – 100x + 100 = 0⇔ x2 – 4x + 4 = 0⇔ (x – 2)2 = 0⇔ x = 2
Substitusi x = 2 ke y = 4x 11
3−
:
y = 4 2 11
3⋅ −
= –1
Diperoleh koordinat titik Q(2, –1).Persamaan garis yang bergradien m dan melaluititik (x1, y1):y – y1 = m(x – x1)
Garis bergradien 43 dan melalui titik Q(2, –1)
maka persamaan garis :
y + 1 = 43 (x – 2)
⇔ 3y + 3 = 4x – 8⇔ 4x – 3y – 11 = 0Jadi, persamaan garis singgung di titik singgunglingkaran L1 dan L2 adalah 4x – 3y – 11 = 0.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: cLingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari radalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.Koordinat titik pusat lingkaran (x + 5)2 + (y – 3)2 = 18adalah (–5, 3).
2. Jawaban: dPersamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0):x2 + y2 = r2
(–4, 7) ⇒ (–4)2 + 72 = r2
⇔ r2 = 16 + 49 = 65Jadi, persamaan lingkaran: x2 + y2 = 65.
3. Jawaban: bPusat A(–2, 1) dan r = 4.Persamaan lingkaran:(x + 2)2 + (y – 1)2 = 42
⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 16⇔ x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0
4. Jawaban: eDari gambar diperoleh titik pusat lingkaran (2, 1)dan jari-jarinya r = 3.Persamaan lingkaran:(x – 2)2 + (y – 1)2 = 32
⇔ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9
5. Jawaban: ex2 + y2 + 8x – 12y + 3 = 0Jari-jari lingkaran:
r = 2 21 1
2 2(8) + ( 12) 3 − −
− −
= 16 + 36 3− = 49 = 7
6. Jawaban: c
Titik pusat lingkaran: P 2, –
12 p
.
Lingkaran menyingung sumbu Y makar = |||||absis titik pusat|||||
⇒2
2 12
2 p 25 − + − = 2
Y
X
P1
P2
Q
2
–2
–7
10
92 Kunci Jawaban dan Pembahasan
⇔ 2p
44 25+ − = 2
⇔2p
4 – 21 = 22
⇔2p
4= 25
⇔ p2 = 100
⇔ p = ± 100 = ±10
Jadi, titik pusat lingkaran P1(2, –5) atau P2(2, 5).
7. Jawaban: e
Pusat lingkaran: –
12 p, –2
.
Lingkaran menyinggung sumbu X makar = |||||ordinat titik pusat ||||| = |||||–2 ||||| = 2
r = 2
212p ( 2) 9 − +
− −
⇒ 2 = 214
p 4 9+ −
⇔ 22 = 14 p2 – 5
⇔ 14 p2 = 9
⇔ p2 = 4 · 9⇔ p = ± 6Jadi, nilai p = –6 atau p = 6.
8. Jawaban: dJari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusatR(3, 0) ke garis 2x – y + 9 = 0.
r = 2 2
2 0 ( 1) 9
2 ( 1)
⋅ − − +
+ − =
105 = 2 5
9. Jawaban: d
Titik pusat lingkaran: Q –
12 p, –2
.
r = 2
212
p ( 2) 3 − + − +
⇒ 4 = 214
p 4 3+ +
⇔ 42 = 14 p2 + 7
⇔ 14 p2 = 16 – 7
⇔ p2 = 9 · 4⇔ p = ± 6Jadi, titik pusat lingkaran (–3, –2) atau (3, –2).
10. Jawaban: ax2 + y2 – 7x + 3y + a = 0(2, –7) ⇒ 22 + (–7)2 – 7(2) + 3(–7) + a = 0
⇔ 4 + 49 – 14 – 21 + a = 0⇔ a = –18
11. Jawaban: cx2 + y2 – 8x + 5y – 17 = 0(0, 0) ⇒ 0 + 0 – 0 + 0 – 17 = –17 < 0(4, 1) ⇒ 16 + 1 – 32 + 5 – 17 = –27 < 0(–4, 2) ⇒ 16 + 4 + 32 + 10 – 17 = 45 > 0(4, –2) ⇒ 16 + 4 – 32 – 10 – 17 = –39 < 0(–2, –2) ⇒ 4 + 4 + 16 – 10 – 17 = –3 < 0Diperoleh titik (0, 0), (4, 1), (4, –2), dan (–2, –2)berada di dalam lingkaran serta titik (–4, 2) di luarlingkaran.
12. Jawaban: d2x – y + 5 = 0⇔ y = 2x + 5x2 + y2 = p ⇒ x2 + (2x + 5)2 = p
⇔ x2 + 4x2 + 20x + 25 – p = 0⇔ 5x2 + 20x + 25 – p = 0
Garis menyinggung lingkaran, berarti:D = 0 ⇒ 202 – 4 · 5(25 – p) = 0
⇔ 400 – 500 + 20p = 0⇔ 20p = 100⇔ p = 5
13. Jawaban: cJari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (–2,3) dengan garis singgungnya 4x – 3y + 7 = 0.
r = 2 2
4( 2) 3(3) 7
4 ( 3)
− − +
+ − = 8 9 + 7
25− − = 10
5− = |–2| = 2
Jadi, diameter lingkaran: d = 2r = 2 × 2 = 4.
14. Jawaban: b2x + 3y = 9⇔ 3y = 9 – 2x
⇔ y = 3 – 23 x
Substitusi ke persamaan lingkaran:
x2 +
3 – 23 x
2 + 3x – 3
3 –
23 x
– 16 = 0
⇔ x2 + 9 – 4x + 49 x2 + 3x – 9 + 2x – 16 = 0
⇔ 139 x2 + x – 16 = 0
⇔ 13x2 + 9x – 144 = 0⇔ (13x + 48)(x – 3) = 0
⇔ x = – 4813
atau x = 3
x = 3 ⇒ y = 3 – 23 (3) = 3 – 2 = 1
Koordinat salah satu titik potongnya (3, 1).
15. Jawaban: bLingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Ymaka panjang jari-jari:r = |absis titik pusat| atau
= |ordinat titik pusat|
93Matematika Kelas XI Program IPA
Misalkan koordinat titik pusat lingkaran adalahP(x1, y1) maka x1 = y1 dan jari-jari lingkaran: r = |y1|.Persamaan lingkaran:(x – x1)2 + (y – y1)2 = r2
⇔ (x – x1)2 + (y – y1)2 = y12
Lingkaran melalui titik T(–1, –2) maka:(–1 – y1)2 + (–2 – y1)2 = y1
2
⇔ 1 + 2y1 + y12 + 4 + 4y1 + y1
2 = y12
⇔ y12 + 6y1 + 5 = 0
⇔ (y1 + 5)(y1 + 1) = 0⇔ y1 + 5 = 0 atau y1 + 1 = 0⇔ y1 = –5 atau y1 = –1Diperoleh koordinat titik pusat P1(–5, –5) danP2(–1, –1).Persamaan lingkaran yang berpusat di P1(–5, –5):(x + 5)2 + (y + 5)2 = 52
⇔ x2 + 10x + 25 + y2 + 10y + 25 = 25⇔ x2 + y2 + 10x + 10y + 25 = 0Persamaan lingkaran yang berpusat di P2(–1, –1):(x + 1)2 + (y + 1)2 = 12
⇔ x2 + 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 1⇔ x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
16. Jawaban: eLingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbuY berpusat di titik (a, a) atau (a, –a) dan berjari-jari a.1) Misalkan titik pusat (a, a) terletak pada garis
4x – 2y = 8, maka:4a – 2a = 8⇔ 2a = 8⇔ a = 4Persamaan lingkaran dengan pusat (4, 4) danberjari-jari 4 adalah (x – 4)2 + (y – 4)2 = 42.
2) Misalkan titik pusatnya (a, –a) terletak padagaris 4x – 2y = 8, maka:4a – 2(–a) = 8⇔ 4a + 2a = 8⇔ 6a = 8
⇔ a = 43
Persamaan lingkaran dengan pusat (43 , –
43 )
dan berjari-jari 43 adalah:
(x – 43 )2 + (y +
43 )2 =
243
.
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud
adalah (x – 4)2 + (y – 4)2 = 42 dan (x – 43 )2 +
(y + 43 )2 =
243
.
17. Jawaban: cTitik pusat L1: P1(5, –1)
Jari-jari L1: r1 = 2 25 ( 1) 10+ − + = 36 = 6
Titik pusat L2: P2(–4, 11)
Jari-jari L2: r2 = 2 2( 4) 11 7− + + = 144 = 12
Jarak kedua titik pusat:d = |P1P2|
= 1 2 1 2
2 2P P P P(x x ) (y y )− + −
= 2 2(5 ( 4)) ( 1 11)− − + − −
= 225 = 15r1 + r2 = 6 + 12 = 18|r1 – r2| = |6 – 12| = 6Oleh karena r1 – r2 < d < r1 + r2 maka kedualingkaran saling berpotongan.
18. Jawaban: dMisalkan lingkaran L1 di kuadran I maka titikpusatnya: P(2, 2).
Lingkaran L2 bersinggungan di dalam dengan L1di titik A.Jari-jari L2:r2 = OP + PA
= 2 2(2 0) (2 0)− + − + r1
= 8 + 2 = 2 2 + 2Persamaan L2:x2 + y2 = r2
2
⇔ x2 + y2 = (2 2 + 2)2
⇔ x2 + y2 = 8 + 8 2 + 4⇔ x2 + y2 = 12 + 8 2
19. Jawaban: c(x – 2)2 + (y + 4)2 = 50(1, 3) ⇒ (1 – 2)2 + (3 + 4)2 = 1 + 49 = 50Diperoleh titik (1, 3) terletak pada lingkaran.Persamaan garis singgung di titik (1, 3):
Y
X
A
P
O 2
r1r1
r1
2L1
L2
94 Kunci Jawaban dan Pembahasan
(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 4)(y + 4) = 50⇒ (1 – 2)(x – 2) + (3 + 4)(y + 4) = 50⇔ –1(x – 2) + 7(y + 4) = 50⇔ –x + 2 + 7y + 28 – 50 = 0⇔ –x + 7y – 20 = 0⇔ x – 7y + 20 = 0
20. Jawaban: aLingkaran: x2 + y2 = 40Pusat: (0, 0) dan jari-jari r = 403x + y – 12 = 0⇔ y = –3x + 12Diperoleh gradien m = –3.Persamaan garis singgung:
y = –3x ± 40 2( 3) 1− +
⇔ y = –3x ± 40 10
⇔ y = –3x ± 400⇔ y = –3x ± 20Salah satu persamaan garis singgungnya:y = –3x – 20⇔ 3x + y + 20 = 0
21. Jawaban: cMisal titik singgung lingkaran L:x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0 adalah T(a, –2) makaa2 + (–2)2 – 4a + 8 · (–2) + 15= 0⇔ a2 + 4 – 4a – 16 + 15 = 0⇔ a2 – 4a + 3 = 0⇔ (a – 3)(a – 1) = 0⇔ a = 3 atau a = 1Diperoleh titik singgung T1(1, –2) dan T2(3, –2).Persamaan garis singgung di T1 pada lingkaran L:
x – 2y – 42 (x + 1) +
82 (y – 2) + 15 = 0
⇔ x – 2y – 2x – 2 + 4y – 8 + 15 = 0⇔ –x + 2y + 5 = 0⇔ x – 2y – 5 = 0Persamaan garis singgung di T2 pada lingkaranL:
3x – 2y – 42 (x + 3) +
82 (y – 2) + 15 = 0
⇔ 3x – 2y – 2x – 6 + 4y – 8 + 15 = 0⇔ x + 2y + 1 = 0
22. Jawaban: eSelidiki kedudukan titik (0, 0) terhadap lingkaranL: x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0.Substitusi titik (0, 0) ke persamaan lingkaran L:02 + 02 – 6 · 0 – 8 · 0 + 20= 0 + 0 – 0 – 0 + 20= 20 > 0Oleh karena hasil substitusi titik (0, 0) kepersamaan lingkaran L lebih dari nol maka titik(0, 0) terletak di luar lingkaran L.
Terlebih dahulu menentukan persamaan gariskutub titik (0, 0) terhadap lingkaran L:
0 · x + 0 · y – 62 (x + 0) –
82 (y + 0) + 20 = 0
⇔ –3x – 4y + 20 = 0
⇔ y = 20 3x
4−
Substitusi y = 20 3x
4−
ke persamaan lingkaran L:
x2 +
20 3x4−
2 – 6x – 8
20 3x4−
+ 20 = 0
⇔ x2 + 2400 120x 9x
16− + – 6x – 40 + 6x + 20 = 0
⇔ 16x2 + 400 – 120x + 9x2 – 320 = 0⇔ 25x2 – 120x + 80 = 0⇔ 5x2 – 24x + 16 = 0⇔ (5x – 4)(x – 4) = 0⇔ 5x – 4 = 0 atau x – 4 = 0
⇔ x = 45 atau x = 4
Untuk x1 = 45 maka y1 =
45
20 3
4
− ⋅ = 5 –
35 =
225
Untuk x2 = 4 maka y2 = 20 3 4
4− ⋅
= 2
Diperoleh titik singgung
45 ,
225
dan (4, 2).
Persamaan garis singgung pada lingkaran L:
(i) Di titik
45 ,
225
:
45 x +
225 y –
62
x +
45
–
82
y +
225
+ 20 = 0
⇔ 45 x +
225 y – 3x –
125 – 4y –
885 + 20 = 0
⇔ 4x + 22y – 15x – 20y = 0⇔ –11x + 2y = 0⇔ 11x – 2y = 0
(ii) Di titik (4, 2):
4x + 2y – 62 (x + 4) –
82 (y + 2) + 20 = 0
⇔ 4x + 2y – 3x – 12 – 4y – 8 + 20 = 0⇔ x – 2y = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaranx2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0 di titik (0, 0) adalah11x – 2y = 0 atau x – 2y = 0.
23. Jawaban: cMisalkan koordinat titik P(x1, y1).Titik P di luar lingkaran L.Garis singgung di titik A melalui AP dan garissinggung di titik B melalui BP.Garis g: 7x – y = 25 merupakan garis kutub darititik P pada lingkaran L.
95Matematika Kelas XI Program IPA
Persamaan garis kutub dari titik P pada lingkaran L:x1x + y1y = 25. Sehingga diperoleh x1 = 7 dany1 = –1.Jadi, koordinat titik P(7, –1).
24. Jawaban: bLingkaran L berpusat di titik (2, –2), yaitu:(x – 2)2 + (y + 2)2 = r2
Lingkaran L melalui titik (3, –1) berarti:(3 – 2)2 + (–1 + 2)2 = r2
⇔ r2 = 12 + 12 = 2Persamaan lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 2.Persamaan garis singgung di titik (3, –1):(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 2)(y + 2) = 2⇔ (3 – 2)(x – 2) + (–1 + 2)(y + 2) = 2⇔ x – 2 + y + 2 – 2 = 0⇔ x + y – 2 = 0
25. Jawaban: d
Garis singgung 1 tegak lurus PB1 dan garissinggung 2 tegak lurus PB2.
Jarak PQ = 2 21 1PB QB+
2 2Q P Q P(x x ) (y y )− + − = 2 24 7+
⇔ 2 2( 2 5) (5 b)− − + − = 65
⇔ (–7)2 + (5 – b)2 = 65⇔ 49 + 25 – 10b + b2 = 65⇔ b2 – 10b + 9 = 0⇔ (b – 1)(b – 9) = 0⇔ b = 1 atau b = 9Jadi, nilai b = 1 atau b = 9.
26. Jawaban: dTitik pusat lingkaran: (3, –2).
Jari-jari lingkaran: r = 3 2 .
Lingkaran memotong sumbu Y maka x = 0.02 + y2 – 6 · 0 + 4y – 5 = 0⇔ y2 + 4y – 5 = 0⇔ (y + 5)(y – 1) = 0⇔ y + 5 = 0 atau y – 1 = 0⇔ y = –5 atau y = 1Diperoleh titik A(0, 1) dan B(0, –5).Persamaan garis singgung di titik A:
0 + 1 · y – 3(x + 0) + 2(y + 1) – 5 = 0⇔ y – 3x + 2y+ 2 – 5 = 0⇔ –3x + 3y – 3 = 0⇔ x – y + 1 = 0Persamaan garis singgung di titik B:0 – 5 · y – 3(x + 0) + 2(y – 5) – 5 = 0⇔ –5y – 3x + 2y – 10 – 5 = 0⇔ –3x – 3y – 15 = 0⇔ x + y + 5 = 0
27. Jawaban: dDari persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0diperoleh:Titik pusat lingkaran: P(–1, 3).Jari-jari lingkaran: r = 2.Garis yang sejajar sumbu Y mempunyaipersamaan x = a atau x – a = 0.Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(–1, 3)ke garis x – a = 0.
r = 2
1 a
1
− − = |||||–1 – a |||||
⇔ r2 = |||||–1 – a |||||2
⇔ 22 = 1 + 2a + a2
⇔ a2 + 2a – 3 = 0⇔ (a + 3)(a – 1) = 0⇔ a + 3 = 0 ataua – 1 = 0⇔ a = –3 atau a = 1Jadi, persamaan garis singgungnya x = –3 ataux = 1.
28. Jawaban: dg: x + y + c = 0 ⇔ y = –x – cGaris g mempunyai gradien m = –1.Lingkaran L: x2 + y2 = 9 mempunyai jari-jari r = 3.Persamaan garis singgung pada lingkaran Ldengan gradien m:
: y = mx ± r 21 m+Garis g menyinggung lingkaran L maka garis gdan identik sehingga diperoleh:
m = –1 dan c = ± r 21 m+
c = ± 3 21 ( 1)+ − = ± 3 2
Jadi, nilai c = 3 2 atau c = –3 2 .
29. Jawaban: bMisalkan garis singgung lingkaran L di titik A
adalah g dan gradiennya mg = –12 .
OA merupakan jari-jari lingkaran L.Persamaan garis yang melalui OA:
A
y 0y 0
−− =
A
x 0x 0
−−
⇔ y2
= xa
⇔ y = 2a
x
Y
X
Q(–2,
5)
O
B1
B2
P(5, b)r
1
2
47
96 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Gradien garis yang melalui OA: m = 2a
Garis g tegak lurus garis yang melalui OA makamg · m = –1
⇒ – 12
· 2a = –1
⇔ a = 1Jadi, nilai a = 1.
30. Jawaban: a
Gradien garis g: m = K M
K M
y yx x
−− = 5 1
1 4−−
= – 43
.
Misal gradien garis singgung lingkaran adalah m1.Garis singgung lingkaran sejajar garis g maka
m1 = m = –43 .
Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusatQ(–1, –2) ke titik A(–4, 1).
r = 2 2Q A Q A(x x ) (y y )− + −
= 2 2( 1 ( 4)) ( 2 1)− − − + − −
= 2 23 ( 3)+ −
= 3 2Persamaan garis singgung lingkaran:
y – yQ = m1(x – xQ) ± r 211 m+
⇒ y + 2 = –43 (x + 1) ± 3 2
243
1 − +
⇔ y + 2 = –43 (x + 1) ± 3 2 ·
53
⇔ 3y + 6 = –4x – 4 ± 15 2
⇔ 4x + 3y + 10 ± 15 2 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran
4x + 3y + 10 + 15 2 = 0 atau
4x + 3y + 10 – 15 2 = 0.
B. Uraian
1. a. Lingkaran dengan pusat O(0, 0):x2 + y2 = r2
(–2, 5) ⇒ (–2)2 + 52 = r2
⇔ r2 = 4 + 25 = 29
b. Dari gambardiperoleh r = 3.
Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) danr = 3 adalah:(x – 1)2 + (y – 4)2 = 32
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 – 8y + 16 = 9⇔ x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0
2. L: x2 + y2 + 6x – 14y + 9 = 0
a. Pusat: –
12 (6), – 1
2(–14)
= (–3, 7)
Jari-jari: r = − −2 2( 3) + 7 9
= −9 + 49 9 = 49 = 7
b. Persamaan lingkaran L dengan pusat (–3, 7)dan r = 5.(x + 3)2 + (y – 7)2 = 52
⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 14y + 49 – 25 = 0⇔ x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0
3. Titik pusat L1: P1(0, –4).
Jari-jari L1: r1 = 13 .Titik pusat L2: P2(4, 2).
Jari-jari L2: r2 = 13 .Oleh karena jari-jari r1 = r2 maka titik P3 merupakantitik tengah garis P1P2.
Koordinat titik pusat: P3
1 2P Px x
2
+, 1 2P Py y
2
+
= P3
0 42+
, 4 22
− +
= P3(2, –1)
Jari-jari L3: r3 = 2r1 = 2r2 = 2 13 .
Persamaan lingkaran L3:(x – xP3
)2 + (y – yP3)2 = r3
2
⇒ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2 13 )2
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 52⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0Jadi, persamaan lingkaran L3:x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0
4. Titik pusat: P(2, –2).Persamaan garis g yang melalui titik A(5, –6) danB(6, 1):
A
B A
y yy y
−− = A
B A
x xx x
−− ⇒
y 61 6
++ =
x 56 5
−−
⇔ y + 6 = 7x – 35⇔ 7x – y – 41 = 0
Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P kegaris g.Jari-jari lingkaran:
r = 2 2
7 2 ( 2) 41
7 ( 1)
⋅ − − −
+ − =
2550
− = 5
2
X
Y
4 3
1 4O
97Matematika Kelas XI Program IPA
Persamaan lingkaran:(x – xP)2 + (y – yP)2 = r2
⇒ (x – 2)2 + (y + 2)2 = ( 52
)2
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 252
⇔ x2 + y2 – 4x + 4y – 92 = 0
Jadi, persamaan lingkaran:
x2 + y2 – 4x + 4y – 92 = 0
5. L: x2 + y2 – 2x + py – 12 = 0a. Titik A(2, –3) terletak pada lingkaran L, berarti:
22 + (–3)2 – 2(2) + p(–3) – 12= 0⇔ 4 + 9 – 4 – 3p – 12 = 0⇔ 3p = –3⇔ p = –1
b. L: x2 + y2 – 2x – y – 12 = 0B(–4, 0) ⇒ (–4)2 + 02 – 2(–4) – 0 – 12
= 16 + 0 + 8 – 12= 12 > 0
Sehingga kedudukan titik B di luar lingkaran.C(2, 3) ⇒ 22 + 32 – 2(2) – 3 – 12
= 4 + 9 – 4 – 3 – 12= –6 < 0
Sehingga kedudukan titik C di dalamlingkaran.
6. x2 + y2 = 25a. (–3, 4) ⇒ (–3)2 + 42 = 9 + 16 = 25
Titik (–3, 4) terletak pada lingkaran.Persamaan garis singgung di titik (–3, 4)x1x + y1y = 25 ⇒ –3x + 4y = 25
b. Persamaan garis singgung dengan m = 2
y = 2x ± 25 22 1+
⇔ y = 2x ± 5 5Diperoleh persamaan garis singgungy = 2x + 5 5 dan y = 2x – 5 5.
7.
Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titikP(2, 0) ke titik Q(–2, 2).
r = 2 2P Q P Q(x x ) (y y )− + −
= 2 2(2 ( 2)) (0 2)− − + −
= 2 24 ( 2)+ −
= 20 = 2 5
Gradien garis g :
m = P Q
P Q
y yx x
−− = 0 ( 2)
2 0− −
− = 1
Garis 1 dan 2 adalah garis singgung lingkaranyang tegak lurus garis g.Misal gradien garis 1 dan 2 adalah m1 makam1m = –1.m1 · 1 = –1 ⇔ m1 = –1Persamaan garis 1 dan 2:
y – yP = m1(x – xP) ± r 211 m+
⇒ y – 0 = –1(x – 2) ± 2 5 · 21 ( 1)+ −⇔ y = –x + 2 ± 2 10Diperoleh persamaan:
1: y = –x + 2 + 2 10
⇔ x + y – 2 – 2 10 = 0
2: y = –x + 2 – 2 10
⇔ x + y – 2 + 2 10 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yangtegak lurus garis g adalah x + y – 2 – 2 10 = 0
atau x + y – 2 + 2 10 = 0.
8. Ordinat titik pusat = 2.Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, 2).Garis g: x – 3y + 5 = 0 melalui titik pusat lingkaranberarti titik P(a, 2) terletak pada garis g.Sehingga:a – 3 · 2 + 5 = 0 ⇔ a = 1Diperoleh titik pusat: P(1, 2).Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(1, 2)ke titik A(0, –1):
r = 2 2P A P A(x x ) (y y )− + −
= 2 2(1 0) (2 ( 1))− + − −
= 2 21 3+ = 1 9+ = 10
⇔ r2 = 10Persamaan lingkaran:(x – xP)2 + (y – yP)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 10Persamaan garis singgung di titik A(0, –1):(0 – 1)(x – 1) + (–1 – 2)(y – 2) = 10⇔ –x + 1 – 3y + 6 = 10⇔ –x – 3y – 3 = 0⇔ x + 3y + 3 = 0
Y
XP
Q
R
1
22
0–2–2
2
g
98 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Jadi, persamaan garis singgung di titik Ax + 3y + 3 = 0.
9. a. Bentuk umum persamaan lingkaran:x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Titik pusat lingkaran: P(1, –1) = P –
12 A, –
12 B
Diperoleh:
1 = –12 A ⇔ A = –2
–1= –12 B ⇔ B = 2
Persamaan lingkaran menjadi:x2 + y2 – 2x + 2y + C = 0Substitusi y = x ke persamaan lingkaran:x2 + x2 – 2x + 2x + C = 0 ⇔ 2x2 + C = 0Garis y = x menyinggung lingkaran maka D = 0:b2 – 4ac = 0 → 0 – 4 · 2 · C = 0 ⇔ C = 0Diperoleh persamaan lingkaran:x2 + y2 – 2x + 2y = 0
b. Titik (3, –1) di luar lingkaran karena32 + (–1)2 – 2 · 3 + 2 · (–1) = 2 > 0Persamaan garis kutub titik K(3, –1) terhadaplingkaran:3x – y – (x + 3) + (y – 1) = 0⇔ 2x – 4 = 0⇔ x = 2Substitusi x = 2 ke persamaan lingkaran:22 + y2 – 2 · 2 + 2y = 0⇔ 4 + y2 – 4 + 2y = 0⇔ y(y + 2) = 0⇔ y = 0 atau y = –2Diperoleh titik singgung M(2, 0) dan N(2, –2).Persamaan garis singgung di titik M(2, 0):2x + 0 – (x + 2) + (y + 0) = 0 ⇔ x + y – 2 = 0Persamaan garis singgung di titik N(2, –2):2x – 2y – (x + 2) + (y – 2) = 0 ⇔ x – y – 4 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaranyang melalui titik K(3, –1) adalah x + y – 2 = 0atau x – y – 4 = 0.
10. L: x2 + y2 – 4x + 8y – 4 = 0Titik pusat: P(2, –4)a. : x – 2y + 6 = 0
⇔ 2y = x + 6
⇔ y = 12 x + 3
Gradien garis : m = 12
Garis g tegak lurus garis maka gradien garisg adalah m1 = –2.Persamaan garis g: y = –2x + c dengan c > 0karena memotong sumbu Y positif.Persamaan garis g menjadi 2x + y – c = 0.
Jarak garis g dari titik pusat P(2, –4) adalah
2 5 maka:
2 5 = 2 2
2 2 4 c
2 1
⋅ − −
+⇔ (2 5 )2 =
2c5
−
⇔ 20 = 2c5
⇔ c2 = 100⇔ c = ± 10
Oleh karena c > 0 maka c = 10.Persamaan garis g: 2x + y – 10 = 0
⇔ y = –2x + 10
b. Mencari koordinat titik potong M dan N.Substitusi y = –2x + 10 ke persamaan L:x2 + (–2x + 10)2 – 4x + 8(–2x + 10) – 5 = 0⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 – 4x – 16x + 80 – 5 = 0⇔ 5x2 – 60x + 175 = 0⇔ x2 – 12x + 35 = 0⇔ (x – 7)(x – 5) = 0⇔ x = 7 atau x = 5Untuk x1 = 7 maka y1 = –2 · 7 + 10 = –4Untuk x2 = 5 maka y2 = –2 · 5 + 10 = 0Diperoleh titik M(7, –4) dan N(5, 0).
c. Persamaan garis singgung L di titik M(7, –4):7x – 4y – 2(x + 7) + 4(y – 4) – 5 = 0⇔ 7x – 4y – 2x – 14 + 4y – 16 – 5 = 0⇔ 5x – 35 = 0⇔ x = 7Persamaan garis singgung L di titik N(5, 0):5x – 0 – 2(x + 5) + 4(y + 0) – 5 = 0⇔ 5x – 2x – 10 + 4y – 5 = 0⇔ 3x + 4y – 15 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya x = 7 dan3x + 4y – 15 = 0.
Latihan Ulangan Akhir SemesterA. Pilihan Ganda
1. Jawaban: cQ1 terletak pada kelas interval 45 – 49.L1 = 44,5; fQ1
= 5; fkQ1
= 6; dan p = 5.
Q1 = L1 + Q1
1
1k4
Q
n f
f
−
· p
= 44,5 + 14
25 6
5
⋅ −
· 5
= 44,5 + 0,25 = 44,75Q3 terletak pada kelas interval 55 – 59.L3 = 54,5; fQ3
= 3; fkQ3
= 18; dan p = 5.
99Matematika Kelas XI Program IPA
Q3 = L3 + Q3
3
3k4
Q
n f
f
−
· p
= 54,5 + 34
25 18
3
⋅ −
· 5
= 54,5 + 1,25 = 55,75Jangkauan semi antarkuartil:
Qd = 12 (Q3 – Q1) =
12 (55,75 – 44,75) = 5,5
2. Jawaban: a
Σfi = 106 + nΣfixi = 7.242 + 57n
x– = i i
i
f x
f
ΣΣ ⇒ 67 = 7.242 57n
106 n++
⇔ 7.102 + 67n = 7.242 + 57n⇔ 10n = 140⇔ n = 14
Jadi, banyak mobil yang berkecepatan55 – 59 km/jam ada 14.
3. Jawaban: dn1 = 46 → –x1 = 6,5n2 = 4 → –x2 = 7
x– = 1 1 2 2
1 2
n x n xn n
++
= 46(6,5) 4(7)
46 4+
+ = 32750
= 6,54
4. Jawaban: cModus terletak pada kelas interval 155 – 159.Lo = 154,5; d1 = 2; d2 = 2; p = 5
Modus: Mo = Lo + 1
1 2
dd d
+
· p
= 154,5 + 2
2 2 +
· 5
= 154,5 + 2,5 = 157
5. Jawaban: b
x– = 5 8 4 6 10 9
6+ + + + +
= 7
Σ(xi – x–)2 = (5 – 7)2 + (8 – 7)2 + (4 – 7)2 + (6 – 7)2 + (10 – 7)2 + (9 – 7)2
= 4 + 1 + 9 + 1 + 9 + 4 = 28
Simpangan baku: s = 2
1(x x)n
Σ −
= 286
= 143
= 13 42
6. Jawaban: cSimpangan rata-rata (mean deviation) adalahjumlah mutlak setiap simpangan dibagi banyakdata.n = 10
x– = 4 6 . . . 8 9
10+ + + +
= 6,610
ii 1
| x – x |=∑
= |4 – 6,6| + |6 – 6,6| + |7 – 6,6| + |7 – 6,6| +|5 – 6,6| + |6 – 6,6| + |5 – 6,6| + |9 – 6,6|+ |8 – 6,6| + |9 – 6,6|
= 2,6 + 0,6 + 0,4 + 0,4 + 1,6 + 0,6 + 1,6 + 2,4+ 1,4 + 2,4 = 14,0
SR =
n
ii 1
| x – x |
n=∑
= 14,010
= 1,4
Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 1,4.
7. Jawaban: bn1 = 20 → –x1 = 6,50n2 = n → –x2 = 9
x– = 7,0
x– = 1 1 2 2
1 2
n x n xn n
++
⇔ 7,0 = 20(6,5) n 920 n
+ ⋅+
⇔ 140 + 7n = 130 + 9n⇔ 2n = 10⇔ n = 5
Jadi, banyak siswa yang nilainya disusulkan ada5 anak.
8. Jawaban: cMedian terletak pada kelas interval 30 – 34.L2 = 29,5; fQ2
= 10; fkQ2
= 15; dan p = 5.
Median: Me = L2 + Q2
2
1k2
Q
n f
f
−
· p
= 29,5 + 12
40 15
10
⋅ −
· 5
= 29,5 + 2,5 = 32
9. Jawaban: c
x– = 2n 2n 1 3n 2 n 1
4+ + + − + +
⇔ 8 = 8n4
⇔ 8n = 32⇔ n = 4Data menjadi: 8, 9, 10, 5Σ(xi – x–)2 = (8 – 8)2 + (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (5 – 8)2
= 0 + 1 + 4 + 9= 14
Variansi: S2 = 2
i(x x)n
Σ − = 144 = 3,5
fi
2n303618146
fixi
10457n
1.8602.4121.2961.078
492
xi
52576267727782
100 Kunci Jawaban dan Pembahasan
10. Jawaban: aKuartil atas (Q3) terletak pada kelas interval24 – 25.L3 = 23,5; fQ3
= 55 – 40 = 15; fkQ3
= 40; p = 2;n = 60.
Q3 = L3 + Q3
3
3k4
Q
n f
f
−
· p
= 23,5 + 34
60 40
15
⋅ −
· 2
= 23,5 + 23 = 24
16
11. Jawaban: dTiga orang selalu duduk berdampingan dipandangsebagai satu orang.Berarti terdapat 8 orang yang duduk melingkar.Banyak cara duduk 8 orang = (8 – 1)! = 7!Banyak cara duduk 3 orang yang selaluberdampingan = 3!Jadi, banyak cara duduk 10 siswa = 7! × 3!= 5.040 × 6 = 30.240.
12. Jawaban: aBilangan genap lebih dari 4.000 terdiri atas4 angka tanpa pengulangan.Angka I dapat diisi 4, 5, 6, 7, atau 8Angka II dapat diisi 2, 4, 6, atau 8
Banyak bilangan genap lebih dari 4.000 yangdapat dibentuk= 5P2 × 3 + 5P2 × 4 + 5P2 × 3 + 5P2 × 4 + 5P2 × 3= 5P2 (3 + 4 + 3 + 4 + 3)= 20 × 17 = 340
13. Jawaban: bKemungkinan kelompok yang terbentuk (3 anakperempuan, 2 anak laki-laki) atau (4 anakperempuan, 1 anak laki-laki).Banyak cara membentuk kelompok= 4C3 × 5C2 + 4C4 × 5C1
= 4 × 10 + 1 × 5 = 45
14. Jawaban: bKemungkinan kelereng yang terambil (1 biru,1 kuning, 1 merah) atau (1 biru, 2 kuning) atau(1 biru, 2 merah).
Jumlah kelereng dalam kotak = 3 + 5 + 4 = 12.Banyak anggota ruang sampel:n(S) = 12C3 = 220P(A) = peluang terambil 1 kelereng biru,
1 kelereng kuning, dan 1 kelereng merah
= 4 1 3 1 5 1C C Cn(S)
× ×
=4 3 5
220× ×
= 60220
P(B) = peluang terambil 1 kelereng biru dan2 kelereng kuning
= 4 1 3 2C Cn(S)
× =
4 3220
× =
12220
P(C) = peluang terambil 1 kelereng biru dan2 kelereng merah
= 4 1 5 2C Cn(S)
× =
4 10220×
= 40220
Peluang terambil 1 kelereng biru= P(A) + P(B) + P(C)
= 60220 +
12220 +
40220 =
112220 =
2855
15. Jawaban: aTernak yang tidak dapat disembuhkan= (1 – 0,95) × 500 = 25 ekor
16. Jawaban: aBanyak anak yang masih harus dipilih= 5 – (1 + 2) = 2 anakKemungkinan 2 anak yang terpilih 2 anak laki-lakiatau 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan atau2 anak perempuan.Banyak cara memilih 2 anak laki-laki
= 7C2 = 7!
5! 21 = 7 6 5!
5! 2!⋅ ⋅
= 21
Banyak cara memilih 1 anak laki-laki dan 1 anakperempuan= 7C1 × 4C1
= 7 × 4 = 28Banyak cara memilih 2 anak perempuan
= 4C2 = 4!
2! 2! = 4 3 2!
2! 2!⋅ ⋅
= 6
Jadi, banyak cara memilih = 21 + 28 + 6 = 55 cara.
17. Jawaban: eA = kejadian terambil kedua kartu bernomor
kuadrat sempurna= {1, 4, 9, 16)
A′ = kejadian terambil kedua kartu tidak bernomorkuadrat sempurna
Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 20C2 = 190
P(A) = n(A)n(S) = 4 2C
190 = 6
190
P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 6
190 = 184190 =
9295
Jadi, peluang terambil kedua kartu tidak bernomor
kuadrat sempurna 9295 .
I
45678
II
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
III
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
IV
2, 6, atau 82, 4, 6, atau 82, 4, atau 82, 4, 6, atau 82, 4, atau 6
5P2
101Matematika Kelas XI Program IPA
18. Jawaban: bKemungkinan bola yang terambil (pertama kuning,kedua kuning, ketiga kuning) atau (pertamakuning, kedua kuning, ketiga merah) atau(pertama kuning, kedua merah, ketiga kuning)atau (pertama kuning, kedua merah, ketigamerah).P(A) = kejadian terambil bola pertama kuning,
kedua kuning, dan ketiga kuning
=49 ×
38 ×
27 =
121
P(B) = kejadian terambil bola pertama kuning,kedua kuning, dan ketiga merah
=49 ×
38 ×
57 =
542
P(C) = kejadian terambil bola pertama kuning,kedua merah, dan ketiga kuning
= 49 ×
58 ×
37 =
542
P(D) = kejadian terambil bola pertama kuning,kedua merah, dan ketiga merah
= 49 ×
58 ×
47 =
1063
Peluang terambil bola pertama kuning:P = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)
= 121 +
542 +
542 +
1063 =
49
19. Jawaban: cBanyak percobaan: n = 72Banyak anggota ruang sampel:n(S) = 2 × 2 × 6 = 24A = kejadian muncul satu angka dan mata dadu
prima= {(A, G, 2), (A, G, 3), (A, G, 5), (G, A, 2),
(G, A, 3), (G, A, 5)}
P(A) = n(A)n(S) =
624 =
14
Fh(A) = P(A) × n = 14 × 72 = 18
20. Jawaban: aBanyak anggota ruang sampel: n(S) = 36A = kejadian muncul angka kedua mata dadu
sama= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
P(A) = n(A)n(S) =
636
B = kejadian muncul hasil kedua angka matadadu lebih dari 20
= {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
P(B) = n(B)n(S) =
636
A ∩ B = kejadian muncul kedua mata dadu samadan hasil kalinya kedua angka lebihdari 20
= {(5, 5)}
P(A ∩ B) = n(A B)
n(S)∩
= 1
36
Peluang muncul angka kedua mata dadu samaatau hasil kali kedua angka mata dadu lebihdari 20:P = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 6
36 + 6
36 – 1
36 = 1136
21. Jawaban: aSudut P di kuadran II maka nilai cos P negatif.
sin P = 45 maka cos P = –
35
Sudut Q di kuadran III maka nilai sin Q negatif.
cos Q = –5
13 maka sin Q = –1213
sin (P – Q) = sin P cos Q – cos P sin Q
= 45 · (–
513 ) – (–
35 ) · (–
1213 )
= –2065 –
3665 = –
5665
22. Jawaban: c
cos A = 8
17 maka sin A = 1517
sin B = 5
13 dan B sudut tumpul maka cos B = –1213
Jumlah sudut dalam segitiga = 180°⇒ A + B + C = 180°⇔ C = 180° – (A + B)⇔ cos C = cos (180° – (A + B)
= cos (A + B)= cos A cos B – sin A sin B
= 8
17 · (–1213 ) –
1517 ·
513
= –171221
23. Jawaban: b
12 tan 2x =
12
2
2 tan x
1 tan x
⋅
−
= ( )23
223
1− =
2359
= 23
× 95
= 65
= 1,2
102 Kunci Jawaban dan Pembahasan
24. Jawaban: dcos 37,5° cos 7,5°
= 12
(cos (37,5° + 7,5°) + cos (37,5° – 7,5°))
= 12
(cos 45° + cos 30°)
= 12
(12 2 +
12 3 )
= 14
( 2 + 3 )
25. Jawaban: acos 75 – cos 15sin 75 – sin 15
° °° °
= 1 12 21 12 2
–2 sin (75 15 ) sin (75 – 15 )
2 cos (75 15 ) sin (75 – 15 )
° + ° ° °
° + ° ° °
= –2 sin 45 sin 302 cos 45 sin 30
° °° °
= sin 45
cos 45− °
°
= 12
12
– 2
2 = –1
26. Jawaban: b2(cos sin )
sin 2 cos 2 1θ + θ
θ + θ += 2
2(cos + sin )2 sin cos 2 cos 1 1
θ θθ θ + θ − +
= 2(sin + cos )2 cos (sin cos )
θ θθ θ + θ
= 1
cos θ = sec θ
27. Jawaban: csin 2θ + sin θ = 0
⇔ 2 sin θ cos θ + sin θ = 0⇔ sin θ (2 cos θ + 1) = 0⇔ sin θ = 0 atau 2 cos θ + 1 = 0
⇔ sin θ = 0 atau cos θ = –12
Untuk sin θ = 0 maka θ = 0°, 180°, 360°
Untuk cos θ = –12 maka θ = 120°, 240°
Oleh karena 0° ≤ θ ≤ 180° maka himpunanpenyelesaiannya {0°, 120°, 180°).
28. Jawaban: b
– 32
cos 5x – 12
3 sin 5x = k cos (5x – α)
a = – 32
, b = – 12
3
k = 2 23 1
2 23 − −
+
= 9 34 4
+ = 3
tan α = 12
32
3
−
− =
13 3
a negatif dan b negatif (di kuadran III) maka
α = 76 π.
Jadi, – 32
cos 5x – 12
3 sin 5x
= 3 cos ( 5x – 76 π)
29. Jawaban: c
3 cos x – sin x = k cos (x – α)
k = 2 2( 3) ( 1)+ − = 3 1+ = 2
tan α = 13
− = –
13 3
Oleh karena koefisien cos x positif dan koefisiensin x negatif (di kuadran IV) maka α = 330°.
3 cos x – sin x = 2 cos (x – 330°)= 2 cos (x – 360° + 30°)= 2 cos (–360° + x + 30°)= 2 cos (–(360° – (x + 30°))= 2 cos (x + 30°)
3 cos x – sin x + 3 = 0
⇔ 2 cos (x + 30°) + 3 = 0
⇔ cos (x + 30°) = –12 3 = cos 150°
(i) x + 30° = 150° + k · 360°⇔ x = 120° + k · 360°k = –1 ⇒ x = 120° – 360° = –240° (TM)k = 0 ⇒ x = 120° + 0° = 120°k = 1 ⇒ x = 120° + 360° = 480° (TM)
(ii) x + 30° = –150° + k · 360°⇔ x = –180° + k · 360°k = 0 ⇒ x = –180° + 0° = –180° (TM)k = 1 ⇒ x = –180° + 360° = 180°k = 2 ⇒ x = –180° + 720° = 540° (TM)
Oleh karena 0° ≤ x ≤ 360° maka nilai x yangmemenuhi 120° dan 180°. Jadi, himpunanpenyelesaiannya {120°, 180°}.
30. Jawaban: csin α cos β + cos α sin β = sin (α + β)8 sin 27,5° cos 32,5 + 8 sin 32,5° cos 27,5°= 8(sin 27,5° cos 32,5° + cos 27,5° sin 32,5°)= 8 sin (27,5° + 32,5°)= 8 sin 60°
= 8 × 12 3 = 4 3
31. Jawaban: cSuatu garis g dikatakan menyinggung lingkaranL jika jarak titik pusat lingkaran ke garis g samadengan panjang jari-jari lingkaran L.
103Matematika Kelas XI Program IPA
Titik pusat lingkaran L: P(4, 1)Jari-jari lingkaran L:
r = 2 24 1 1+ − = 4
Jarak titik pusat P(4, 1) ke garis pada pilihan c:
d = 2 2
3 4 4 1 4
3 4
⋅ + ⋅ +
+ = 20
5 = 4
Oleh karena d = r maka garis 3x + 4y + 4 = 0menyinggung lingkaran L.Jadi, pilihan yang sesuai c.
32. Jawaban: d
y = 12
x + 3⇔ 2y = x + 6⇔ x – 2y + 6 = 0Jari-jari lingkaran sama dengan jarak pusatlingkaran ke garis singgungnya yaitu
r = 4 2 · 2 6
1 4− +
+ = 65
Jadi, persamaan lingkarannya:
(x – 4)2 + (y – 2)2 = 2
65
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 = 365
⇔ 5x2 + 5y2 – 40x – 20y + 64 = 0.
33. Jawaban: aJarak titik pusat kedua lingkaran: d = 8d2 = (p – 1)2 + (q + 4)2
⇔ 82 = p2 – 2p + 1 + q2 + 8q + 16⇔ p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0 . . . (1)Panjang jari-jari lingkaran L2:r = d – 5 = 8 – 5 = 3r2 = (p – 6)2 + (q + 4)2
⇔ 32 = p2 – 12p + 36 + q2 + 8q + 16⇔ p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 . . . (2)Eliminasi p2, q2, dan q dari persamaan (1) dan (2).
p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0–––––––––––––––––––––– –
10p – 90 = 0⇔ p = 9
Substitusi p = 9 ke persamaan (2).p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0
⇒ 92 + q2 – 12 · 9 + 8q + 43 = 0⇔ q2 + 8q + 16 = 0⇔ (q + 4)2 = 0⇔ q = –4Diperoleh pusat lingkaran L2: (9, –4).Persamaan lingkaran L2:
(x – 9)2 + (y + 4)2 = 32
⇔ x2 – 18x + 81 + y2 + 8y + 16 – 9 = 0⇔ x2 + y2 – 18x + 8y + 88 = 0
34. Jawaban: dSubstitusi y = –2x + 10 ke persamaan lingkaran L:x2 + y2 + px – 2y – 35 = 0⇒ x2 + (–2x + 10)2 + px – 2(–2x + 10) – 35 = 0⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 + px + 4x – 20 – 35 = 0⇔ 5x2 + (p – 36)x + 45 = 0Oleh karena garis menyinggung lingkaran makaD = 0.
b2 – 4ac = 0⇒ (p – 36)2 – 4 · 5 · 45 = 0⇔ (p – 36)2 – 302 = 0⇔ (p – 36 – 30)(p – 36 + 30) = 0⇔ (p – 46)(p – 6) = 0⇔ p – 46 = 0 atau p – 6 = 0⇔ p = 46 atau p = 6Persamaan lingkaran menjadiL1: x2 + y2 + 66x – 2y – 35 = 0 atauL2: x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0Pusat lingkaran L1: (–33, 1)Pusat lingkaran L2: (–3, 1)Jari-jari lingkaran L1:
r1 = 2 2( 33) 1 35− + +
= 1.125 = 15 5Jari-jari lingkaran L2:
r2 = 2( 3) 1 35− + +
= 45 = 3 5
Jadi, jari-jari lingkaran 15 5 atau 3 5 .
35. Jawaban: dJari-jari lingkaran L sama dengan AP atau BP.
r = AP
⇒ r = 2 2P A P A(x x ) (y y )− + −
⇔ 17 = 2 2(a 3) ( 2 2)− + − −⇔ 17 = (a – 3)2 + 16⇔ (a – 3)2 – 1 = 0⇔ (a – 3 – 1)(a – 3 + 1) = 0⇔ (a – 4)(a – 2) = 0⇔ (a – 4) = 0 atau (a – 2) = 0⇔ a = 4 atau a = 2Diperoleh pusat lingkaran L:P1(4, –2) atau P2(2, –2)Persamaan lingkaran L berpusat di P1(4, –2):
(x – 4)2 + (y + 2)2 = 17⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 4y + 4 – 17 = 0⇔ x2 + y2 – 8x + 4y + 3 = 0
104 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Persamaan lingkaran L berpusat di P2(2, –2):(x – 2)2 + (y + 2)2 = 17
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 – 17 = 0⇔ x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 – 8x+ 4y + 3 = 0 atau x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0.
36. Jawaban: eGaris : 3x – 2y – 22 = 0 mempunyai gradien
m = 32 .
Garis g sejajar garis maka mg = m = 32
Persamaan garis g:y + 4 = mg(x – 2)
⇔ y + 4 = 32 (x – 2)
⇔ 2y + 8 = 3x – 6⇔ 3x – 2y – 14 = 0Jari-jari lingkaran r sama dengan jarak titik pusatlingkaran ke garis g.
r = 2 2
3 1 2 1 14
3 ( 2)
⋅ − ⋅ −
+ − = 13
13− = 13
Persamaan lingkaran L:(x – 1)2 + (y – 1)2 = ( 13 )2
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 – 13 = 0⇔ x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0
37. Jawaban: eL: x2 + y2 – 6x + 4y – 7 = 0P(1, 2) ⇒ 1 + 4 – 6 + 8 – 7 = 0
Titik P pada lingkaran L.Persamaan garis singgung lingkaran L di titikP(1, 2) adalahg: 1 · x + 2 · y – 3(x + 1) + 2(y + 2) – 7 = 0⇔ x + 2y – 3x – 3 + 2y + 4 – 7 = 0⇔ –2x + 4y – 6 = 0
⇔ y = 21 (x + 3)
Pusat lingkaran L: –
62
−
, –24
= (3, –2).
Jari-jari lingkaran L: r1 = 2 23 ( 2) ( 7)+ − − −
= 20Lingkaran C konsentris (sepusat) dengan lingkaranL, maka pusat lingkaran C adalah (3, –2) dan jari-
jarinya: r = 2 r1 = 2 · 20 = 40Persamaan lingkaran C: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 40.
Substitusi persamaan garis y = 12
(x + 3) ke
persamaan lingkaran C, diperoleh:
(x – 3)2 + (12
(x + 3) + 2)2 = 40
⇔ x2 – 6x + 9 + 14
(x + 7)2 = 40
⇔ 4x2 – 24x + 36 + x2 + 14x + 49 – 160 = 0⇔ 5x2 – 10x – 75 = 0⇔ x2 – 2x – 15 = 0⇔ (x – 5)(x + 3) = 0⇔ x = 5 atau x = –3Jadi, absis titik potong garis singgung lingkaran Ldi titik P(1, 2) dengan lingkaran C adalah–3 atau 5.
38. Jawaban: bx + 2y = 10 ⇔ x = 10 – 2ySubstitusi x = 10 – 2y ke persamaan lingkaran L.
(10 – 2y)2 + y2 – 4(10 – 2y) + 2y – 15 = 0⇔ 100 – 40y + 4y2 + y2 – 40 + 8y + 2y – 15 = 0⇔ 5y2 – 30y + 45 = 0⇔ y2 – 6y + 9 = 0⇔ (y – 3)2 = 0⇔ y = 3Substitusi y = 3 ke persamaan x = 10 – 2y.x = 10 – 2 · 3 = 4Diperoleh koordinat titik A(4, 3).Persamaan garis singgung lingkaran L di titik A(4, 3):
4x + 3y – 2(x + 4) + (y + 3) – 15 = 0⇔ 4x + 3y – 2x – 8 + y + 3 – 15 = 0⇔ 2x + 4y = 20
39. Jawaban: dTitik pusat lingkaran: P(1, 0)
Jari-jari lingkaran L: r = 2 21 0 35+ +
= 36 = 6
Gradien garis g: m = 12
Garis singgung lingkaran tegak lurus garis g makagradiennya m1 = –2.Persamaan garis singgung lingkaran:
y – yP = m1(x – xP) ± r 211 m+
⇒ y – 0 = –2(x – 1) ± 6 21 ( 2)+ −
⇔ y = –2x + 2 ± 6 5
⇔ 2x + y – 2 ± 6 5 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya2x + y – 2 + 6 5 = 0 atau 2x + y – 2 – 6 5 = 0
105Matematika Kelas XI Program IPA
40. Jawaban: dTitik pusat lingkaran: P(–1, 3).
Jari-jari lingkaran: r = 2 2( 1) 3 6− + − = 4 = 2Garis yang sejajar sumbu X mempunyai gradienm = 0.Persamaan garis singgung:
y – yP = m(x – xP) ± r 21 m+
⇔ y – 3 = 0(x + 1) ± 2 21 0+⇔ y – 3 = ±2⇔ y = 3 ± 2⇔ y = 3 + 2 atau y = 3 – 2⇔ y = 5 atau y = 1Jadi, persamaan garis singgung lingkaran y = 5atau y = 1.
B. Uraian
1. a. Modus terletak pada interval denganfrekuensi terbesar, yaitu pada interval 55–57.Lo = 54,5d1 = 11 – 10 = 1d2 = 11 – 6 = 5
Mo = Lo + 1
1 2
dd d
+
· p
= 54,5 + 1
1 5 +
· 3
= 54,5 + 0,5 = 55Jadi, modus data 55.
b.
x– = i i
i
f xf
Σ ⋅Σ =
2.16940 = 54,225
Jadi, mean data 54,225.
c. Median terletak pada kelas interval 55– 57.L2 = 54,5; ; fQ2
= 11; fkQ2
= 19; p = 3
Median: Me = L2 + Q2
2
1k2
Q
n f
f
⋅ −
· p
= 54,5 + 12
40 19
11
⋅ −
· 3
= 54,5 + 311 = 54
1722
2. • Sajian data dalam bentuk tabel
Q1 terletak pada kelas interval 22 – 26.L1 = 21,5; fQ1
= 18; fkQ1
= 0; p = 5
Q1 = L1 + Q1
1
1k4
Q
n f
f
⋅ −
· p
= 21,5 + 14
60 0
18
⋅ −
· 5
= 21,5 + 416 = 25
23
Q3 terletak pada kelas interval 37 – 41.L3 = 36,5; fQ3
= 5; fkQ3
= 42; p = 5
Q3 = L3 + Q3
3
3k4
Q
n f
f
⋅ −
· p
= 36,5 + 34
60 42
5
⋅ −
· 5
= 36,5 + 3 = 3912
Jangkauan antarkuartil
= Q3 – Q1 = 3912 – 25
23 = 13
56
•
x = i i
i
f xf
ΣΣ =
1.98060 = 33
Ragam: S2 = 2
i i
i
f (x x)f
Σ −Σ
= 4.24060
= 70 23
Jadi, jangkauan antarkuartil data 1356 dan
ragam data 70 23
.
Ukuran
46 – 4849 – 5152 – 5455 – 5758 – 6061 – 63
xi
475051565962
fi
36
101164
40
fi · xi
141300510616354248
2.169
Nilai fk ≥≥≥≥≥ Kelas Interval f
≥ 21,5 6022 – 26 60 – 42 = 18
≥ 26,5 4227 – 31 42 – 29 = 13
≥ 31,5 2932 – 36 29 – 18 = 11
≥ 36,5 1837 – 41 18 – 13 = 5
≥ 41,5 1342 – 46 13 – 6 = 7
≥ 46,5 647 – 51 6 – 0 = 6
≥ 51,5 0
fi xi fixi (xi – x )2 fi (xi – x )2
18 24 432 81 1.45813 29 377 16 20811 34 374 1 115 39 195 36 1807 44 308 121 8476 49 294 256 1.536
106 Kunci Jawaban dan Pembahasan
3. Bilangan kelipatan 5 mempunyai satuan 0 atau 5.Bilangan 4 angka yang satuannya 0.
9 8 7 1
Bilangan 4 angka yang satuannya 5.
8 8 7 1
Banyak bilangan kelipatan 5 yang dapat dibentuk= 9 × 8 × 7 × 1 + 8 × 8 × 7 × 1= 504 + 448 = 952
4. Kemungkinan susunan 5 anggota yang lain:a. 4 siswa laki-laki dan 1 siswa perempuanb. 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuanc. 2 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuand. 1 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuanBanyak cara membentuk tim= 3C1 × 4C2 (5C4 × 6C1 + 5C3 × 6C2 + 5C2 × 6C3
+ 5C1 × 6C4)
= 3 × 6(5 × 6 + 10 × 15 + 10 × 20 + 5 × 15)= 12(30 + 150 + 200 + 75)= 5.460
5.
P1 = peluang terambil bola merah dari kotak Adan bola kuning dari kotak B
=37 ×
58 =
1556
P2 = peluang terambil bola kuning dari kotak Adan bola merah dari kotak B
=47 ×
68 =
2456
Peluang terambil satu bola kuning
= P1 + P2 = 1556 +
2456 =
3956
6. Kemungkinan kartu yang terambil bertuliskan2 huruf vokal atau 3 huruf vokal.
P(VVV) = 5
10 × 49 ×
38 =
336
P(VVK) = 5
10 × 49 ×
58 =
536
P(VKV) = 5
10 × 59 ×
48 =
536
P(KVV) = 5
10 × 59 ×
48 =
536
Peluang terambil paling sedikit 2 kartu bertuliskanhuruf vokal:P = P(VVV) + P(VVK) + P(VKV) + P(KVV)
= 3
36 + 5
36 + 5
36 + 5
36
= 1836 =
12
7. cos 150° + sin 45° + 12
cotan (–330°)
= cos (180° – 30°) + sin 45° + 12 cotan 30°
= –cos 30° + sin 45° + 12 cotan 30°
= –12 3 +
12 2 +
12 3
= 12 2
8. α + β = 90° ⇔ β = 90° – αtan α = 2 sin β
⇔sincos
αα = 2 sin (90° – α)
⇔sincos
αα = 2 cos α
⇔ sin α = 2 cos2 α⇔ sin α = 2 (1 – sin2 α)
⇔ 2 sin2 α + sin α – 2 = 0
angka 0
Ada (10 – 3) angka yang mungkin.
Ada (10 – 2) angka yang mungkin.
Ada (10 – 1) angka yang mungkin.
angka 5
Ada (10 – 3) angka yang mungkin.
Ada (10 – 2) angka yang mungkin.
Tidak boleh dimulai angka 0 dan angka5 sudah diisikan ke satuan.
47
Peluang pengambilan I
Kotak A
3 M4 K
Kotak B
3 M5 K
Kotak B
2 M6 K
K – (MK)
M – (KM)
M
K
37
58
68
Peluang pengambilan II
Pengambilan I
5 V5 K
V
K
510
510
Pengambilan II
4 V5 K
5 V4 K
V
K
49
59
3 V5 K
4 V4 K
V
K
59
49
4 V4 K
5 V3 K
V – VVV
K – VVK
38
58
V – VKV
K – VKK
48
48
V – KVV
K – KVK
48
48
V – KKV
K – KKK
58
38
Pengambilan III
107Matematika Kelas XI Program IPA
⇔ ( 2 sin α – 1)(sin α + 2) = 0
⇔ sin α = 12
atau sin α = – 2 (TM)
⇔ sin2 = 21
2
= 12
9. Misalkan titik pusat lingkaran L: P(1, n).Jari-jari lingkaran:r = jarak titik P(1, n) dan A(0, –2) ataur = jarak titik P(1, n) ke garis y = xSehingga diperoleh:
2 2A P A P(x x ) (y y )− + − = 2 2
1 n
1 ( 1)
−
+ −
⇔ ( )22 2(0 1) ( 2 n)− + − − =
2 2
21 n
1 ( 1)
− + −
⇔ 12 + 4 + 4n + n2 = 2(1 n)
2−
⇔ 2 + 8 + 8n + 2n2 = 1 – 2n + n2
⇔ n2 + 10n + 9 = 0⇔ (n + 1)(n + 9) = 0⇔ n + 1 = 0 atau n + 9 = 0⇔ n = –1 atau n = –9Diperoleh titik pusat P1(1, –1) atau P2(1, –9).Untuk P1(1, –1) maka
r1 = 2 2(0 1) ( 2 ( 1))− + − − −
= 1 1+
= 2Untuk P2(1, –9) maka
r2 = 2 2(0 1) ( 2 ( 9))− + − − −
= 1 49+ = 50
Persamaan lingkaran berpusat di P1(1, –1) dan
jari-jari r1 = 2 :
(x – 1)2 + (y + 1)2 = ( 2 )2
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 2
⇔ x2 + y2 – 2x + 2y= 0Persamaan lingkaran berpusat di P2(1, –9) dan
jari-jari r2 = 50 :
(x – 1)2 + (y + 9)2 = ( 50 )2
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 18y + 81= 50⇔ x2 + y2 – 2x + 18y + 32 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 2x + 2y = 0atau x2 + y2 – 2x + 18y + 32 = 0.
10.
Titik pusat L1: P(–4, 2).
Jari-jari L1: r1 = 65
5
Persamaan L1:(x – xP)2 + (y – yP)2 = r1
2
⇔ (x + 4)2 + (y – 2)2 = 26
55
⇔ (x + 4)2 + (y – 2)2 = 365
Titik T(2, –4) di luar lingkaran L1.Persamaan garis kutub dari titik T terhadaplingkaran L1:
(x + 4)(2 + 4) + (y – 2)(–4 – 2) = 365
⇔ 6(x + 4) – 6(y – 2) = 365
⇔ x + 4 – y + 2 = 65
⇔ x – y = –245
⇔ y = x + 245
⇔ y = 5x 24
5+
Substitusi y = 5x 24
5+
ke persamaan L1:
(x + 4)2 + 25x 24
52+
− =
365
⇔ 25(x2 + 8x + 16) + (5x + 14)2 = 180⇔25x2 + 200x + 400 + 25x2 + 140x + 196 = 180⇔ 50x2 + 340x + 416 = 0⇔ 25x2 + 170x + 208 = 0⇔ (5x + 8)(5x + 26) = 0⇔ 5x + 8 = 0 atau 5x + 26 = 0
⇔ x = –85 atau x =
265
−
Untuk x1 = –85 maka y1 =
85
5 24
5
− +
= 165
Y
X0
2
–4 2 5
–3–4
–7
108 Kunci Jawaban dan Pembahasan
Untuk x2 = –265 maka y2 =
265
5 24
5
− +
= –25
Diperoleh titik singgung A(–85 ,
165 ) dan
B(–265 , –
25 ).
Persamaan garis singgung L1 di titik A:
(x + 4)(–85 + 4) + (y – 2)(
165 – 2) =
365
⇔ 125 (x + 4) +
65 (y – 2) =
365
⇔ 2(x + 4) + (y – 2) = 6⇔ 2x + 8 + y – 2 = 6⇔ 2x + y = 0
Persamaan garis singgung L1 di titik B:
(x + 4)(–265 + 4) + (y – 2)(–
25 – 2) =
365
⇔ –65 (x + 4) –
125 (y – 2) =
365
⇔ –(x + 4) – 2(y – 2) = 6⇔ –x – 4 – 2y + 4 = 6⇔ –x – 2y = 6⇔ x + 2y + 6 = 0
Panjang jari-jari L2 sama dengan jarak titik pusatQ(5, –7) ke garis 2x + y = 0 atau x + 2y + 6 = 0.Panjang jari-jari L2:
r2 = 2 2
2 5 7
2 1
⋅ −
+ = 35
Persamaan L2:(x – xQ)2 + (y – yQ)2 = r2
2
⇔ (x – 5)2 + (y + 7)2 = 23
5
⇔ (x – 5)2 + (y + 7)2 = 95
Jadi, persamaan lingkaran L2 adalah
(x – 5)2 + (y + 7)2 = 95 .
