定理 7.13: 霍夫曼算法得到的带权 w1,w2,,wn

的二分树是最优树。 分析 :采用归纳法。 n=2,

结论成立假设 n=k-1, 结论成立。即用霍夫曼算法得到的带权w1,w2,,wk-1 的二分树是最优树。对于 n=k ，用霍夫曼算法得到的带权 w1,w2,,wk 的二分树是最优树由归纳假设，用霍夫曼算法得到的带权 w1+w2,w3,,wk的二分树是最优树。关键证明对于带权 w1+w2,w3,,wk 最优树，用子树代替带权 w1+w2 的树叶，就是 w1,w2,w3,,wk 最优树

引理 1 ：设有一棵带权 w1w2w3wk最优树，则必存在带权为 w1,w2 的树叶为兄弟的最优树。

引理 2 ：若用霍夫曼算法可得到带权w1+w2,

, wn 的最优树 T’, 则用子树

代替带权 w1+w2 的树叶，就是 w1,w2,w3,,wk

最优树。现在证明该定理。

证明 :采用归纳法。 n=2,

结论成立假设 n=k-1, 结论成立。即用霍夫曼算法得到的带权 w1,w2,,wk-1 的二分树是最优树。对于 n=k ，由归纳假设，用霍夫曼算法得到的带权 w1+w2,w3,,wk 的二分树是最优树。由引理 2 得：对于带权 w1+w2,w3,,wk 最优树，用子树代替带权 w1+w2 的树叶，就是 w1,w2,w3, ,wk 最优树

树是最小的连通图，删去任何一条边，必定不连通。

第八章　连通度，运输网络，匹配

8.1 　连通度与块 为了衡量一个图的连通程度 , 定义图的两个

不变量 : 点连通度和边连通度。

一、点连通度与边连通度 1. 点连通度 定义 8.1 ：设图 G 的顶点子集 V' ，若 (G-

V')>(G) ，则称 V' 为 G 的一个点割。 |V'|=1 时 , V' 中的顶点称为割点。

点割是集合，割点是顶点。 G2 中， v 就是割点， {v} 就是点割。

定义 8.2 ：设有图 G ，为产生一个不连通图或平凡图需要从 G 中删去的最少顶点数称为 G 的点连通度，记为 (G) ，简称 G 的连通度。

显然， G 是不连通图或平凡图时 , (G)=0; 连通图 G 有割点时 , (G)=1; G 是完全图 Kn 时 , (Kn)=n-1 。 必须说明的是 (G)=1,G 并不一定有割点

2. 边连通度 定义 8.3 ：设有图 G, 为产生一个不连通图或

平凡图需要从 G 中删去的最少边数称为 G的边连通度，记为 λ(G) 。

显然 , G 是不连通图或平凡图时， λ(G)=0; ； 连通图 G 有一桥时， λ(G)=1 ； G 是完全图 Kn 时， λ(Kn)=n-1 。

图的连通度有它的实际应用。设 n 个顶点表示 n 个站 , 用 e 条边连接起来 , 边表示通信线 , 所谓连接好是指不易被破坏 :

(1) 使之具有最大的点连通度，这样当 <κ(G)的点 ( 结点 ) 被炸毁时，其余各点仍然能够通信

(2) 使之具有最大的边连通度 , 这样当 λ(G)的边 ( 线路 ) 被炸毁时，各点仍然能够通信

3. 点连通度 , 边连通度与最小顶点度数联系。 定理 8.1: 对任何一个图 G ，有 κ(G)≤λ(G) ≤δ(G) 。 证明： (1) λ(G) ≤δ(G) 若 G 是不连通图或平凡图，则 λ(G)=0≤δ(G) ，结论

成立。 下面考虑 G 是 ; 连通图情况。 (2) κ(G)≤λ(G) 若 G 是不连通图或平凡图，则 κ(G)=0=λ(G) ，结论

成立。 下面考虑 G 是连通图情况。

定义 8.4: 若图 G 的 κ(G)≥k ，称 G 是 k- 连通的

例如图 G3 的点连通度是 2 ，所以它是 2- 连通的 , 也是 1- 连通的 , 但不是 3- 连通的。

非平凡连通图是 1- 连通的。

定义 8.5 ：若图 G 的边连通度 λ(G)≥k$, 称 G是 k- 边连通的。例如图 G3 的边连通度是 2, 所以它是 2- 边连通的 , 也是 1- 边连通的；但不是 3- 边连通的。

二、割点与块 首先讨论 2- 连通图的特征。为此 , 先讨论一下割点。

由定义 8.4 可知 , 有割点的连通图是 1- 连通的 , 但不是 2- 连通的 , 反之亦然。割点有如下几个等价条件 :

定理 8.2 ：设 v 是连通图 G 的一个顶点 , 下列论断是等价的 :

(1) v 是 G 的一个割点。 (2) 对于顶点 v, 存在两个不同的顶点 u 和 w, 使顶点 v

在每一条从 u 到 w 的路上。 (3) 存在 V-{v} 的一个分成 U 和 W 的划分 , 使对任意两

顶点 uU 和 wW ，顶点 v 在每一条从 u 到 w 的路上。

定理 8.3 ：设 G 是顶点数 n≥3 的连通图 , 下列论断是等价的 :

(1)G 中没有割点。 (2)G 的任意两个顶点在同一条回路上。 (3)G 的任意一个顶点和任意一条边在同一条回路上。 (4)G 的任意两条边在同一条回路上。 定义 8.6 ：有割点的非平凡连通图称为可分图。没

有割点的非平凡连通图称为不可分图。 顶点数 n≥3 的不可分图是 2- 连通图 , 又称双连通图 ,

作业 :P187 1-11