7.1 Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 125
1. La Oficina de Planificación Familiar de la Municipalidad A desea determinar la proporción
de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000. En una muestra aleatoria de 90 familias
18 presentaron un ingreso familiar inferior a $ 200.000.
1.1) Estime con 98% de confianza la proporción de familias con un ingreso familiar inferior a
$ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el
error en la estimación de la proporción de familias con ingreso inferior a $200.000 no
excederá de 0,05?
1.1) Solución: Sean:
“Cantidad de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A”
“Proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A”
Debido a que el problema habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar
el intervalo confidencial:
Con:
Nota: El valor de se calcula dividiendo la número de datos de la muestra que cumplen la
característica que nos da el problema, en este caso, las familias con ingreso familiar inferior a
$200.000, dividido por el tamaño de la muestra.
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 98% de contener a la proporción de familias con un
ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A.
1.2) Solución: El ejercicio nos otorga los siguientes datos:
Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la fórmula de error está dada por:
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ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 126 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Reemplazando:
Respuesta: Para asegurar que el error en la estimación de la proporción de familias con ingreso
inferior a $200.000, no exceda a 0,05, el tamaño de la muestra debe ser igual a 246, considerando
una confianza del 95%.
2.- Se realizan estudios sobre la contaminación producida por descargas de aguas residuales,
en cuerpos fluviales cordilleranos, para medir si estos cumplen con la norma establecida por
el decreto 90/2000, que establece niveles de concentración de Plomo de a lo más 0.02 mg/l. En
una muestra aleatoria de tamaño 20, de volúmenes de agua de 50 ml. cada uno, obtenidas en
días distintos, se encontró un nivel medio de concentración de plomo de 0,28 mg/l, con una
desviación estándar de 0,01 mg/l.
Bajo el supuesto de que las observaciones provienen de una población normal, estime el nivel
medio de concentración de plomo en estas aguas, con una confianza del 90%. Analice los
valores estimados en función de la norma.
2) Solución: Sea: “Concentración de Plomo en cuerpos fluviales cordilleranos”
Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:
Se supone que:
Debido a que desconocemos la varianza de la distribución, utilizaremos la siguiente fórmula para
obtener el intervalo de confianza:
Reemplazando:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 90% de contener el nivel medio de concentración
de plomo en las aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos.
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3.- Se está estudiando la duración de ciertos procesos productivos y se toma una muestra
aleatoria, de tamaño 10. Se define como "Proceso Corto” cuando su duración es menor que 5
minutos, los datos obtenidos, en minutos, fueron:
3 5 8 6 10 5,5 4 4,2 4,5 2
3.1) Se pide estimar por intervalo de confianza del 98% la proporción de Procesos Cortos.
3.2) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra si la proporción estimada disminuyen en un
10% y utilizamos un 95% de confianza manteniendo el mismo error probable antes de la
modificación?
3.3) Estimar la varianza de dichos tiempos con un nivel de confianza del 99%.
3.1) Solución: Sea: “Muestra del tiempo de duración de ciertos procesos productivos”
“Proporción con Procesos Cortos (duración menor a 5 minutos)”
Debido a que el problema nos habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para
determinar el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: Este intervalo tiene un 98% de contener a la verdadera proporción de “Procesos cortos”
3.2) Solución: Lo primero que debemos hacer en este ítem es determinar una nueva variable, como
se ve a continuación:
"Proporción con Procesos Cortos disminuida en un 10%”
En seguida, calculamos el error probable de p que se mantiene, con la siguiente fórmula:
Luego de esto, ya tenemos lo necesario para determinar el tamaño de la muestra, lo que se realiza
despejando la fórmula que sigue:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
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Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser 8, si la proporción disminuye en un 10% y se mantiene
el error probable antes de la modificación, con un 95% de confianza.
3.3) Solución: Para empezar calculamos la varianza muestral, la que determina con la siguiente
fórmula:
Debido a que el problema hace referencia a la varianza, el intervalo confidencial está dado de la
siguiente forma:
Con:
Reemplazando:
Respuesta: Existe un 99% de que el intervalo contenga a la varianza poblacional
de los procesos productivos.
4.- En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen más o
menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por esta razón se vigila constantemente
la cantidad de producto enlatado. Considere una compañía que produce un cemento de hule
de secado rápido en latas de aluminio etiquetadas con un peso de 32 onzas.
Se toma una muestra de 34 latas, las cuales se pesan, obteniendo un peso promedio de 31,18
onzas y una desviación estándar de 0,645 onzas.
Considere que el peso de las latas se distribuye normal.
4.1) A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza del peso de las
latas es superior a 0,4 (onzas)2. Utilice una significación de 5%.
4.2) ¿Cuál debe ser el mínimo tamaño de muestra que se debe utilizar si se desea estimar el
peso real promedio de las latas de cemento de hule? Se está dispuesto a cometer un
error máximo de 0,2 onzas con una confianza del 95%. Sabiendo por estudios anteriores
que la varianza del peso de las latas es 0,4096 (onzas)2
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4.1) Solución: Sea: “Cantidad de cemento en una lata, en onzas”
Con: ; ; ;
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Entonces, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica:
Respuesta: Como , no se rechaza la hipótesis nula, es decir, la varianza de la cantidad de
cemento en una lata no es superior a 0,4 (onzas)2.
4.2) Solución: El problema nos otorga la siguiente información:
Debido a que estamos trabajando con el peso real promedio de las latas de cemento de hule, y que
conocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El mínimo tamaño de la muestra que se debe utilizar si se desea estimar el peso real
promedio de las latas de cemento de hule, es igual a 40.
5.- Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea menos de 150 psi. Se sabe que la
desviación estándar de la resistencia a la ruptura es 3 psi. En una muestra aleatoria de 25
trozos de fibra se obtiene una resistencia media a la ruptura de 148 psi y una desviación
estándar de 2,8 psi.
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ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 130 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
5.1) ¿Puede considerarse aceptable este tipo de fibra? Use α = 0,05.
5.2) Determine el tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este
tipo de fibra con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 0,5 psi.
5.1) Solución: Sea: “Resistencia a la ruptura de una fibra”
Con:
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Entonces, como conocemos la varianza, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica:
Respuesta: Debido a que , hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es
decir, es aceptable este tipo de fibra, con un 5% de significación.
5.2) Solución: El ejercicio proporciona los siguientes datos:
Como consecuencia que estamos trabajando con la resistencia media de este tipo de fibra, y que
conocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este tipo de fibra
con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 0,5 psi, es 139.
6.- El administrador de una flota de automóviles está probando dos marcas de neumáticos
radiales. Instala un neumático de cada marca al azar en las ruedas traseras de 8 automóviles y
los usa hasta que los neumáticos se desgastan. Los datos de la duración de los neumáticos,
en kilómetros, se presentan a continuación:
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Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8
Marca 1 36.925 45.300 36.240 32.100 37.210 48.360 38.200 33.500
Marca 2 34.318 42.280 35.500 31.950 38.015 47.800 37.810 33.215
6.1) Basándose en la información presentada, rechazaría la hipótesis que las duraciones
promedios de ambas marcas de neumáticos radiales son iguales, use .
6.2) Estime un nivel de confianza del 90%, la proporción de neumáticos de la Marca 1, que
presentan una duración superior a 37.500 kilómetros.
6.1) Solución: Debido a que el problema nos pide probar que ambas marcas de neumáticos radiales
poseen promedios iguales, o en su defecto diferentes, utilizaremos la siguiente notación:
“Diferencia entre la distancia que dura la Marca 1 y la Marca 2 de neumáticos, en kilómetros”
Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8
Marca 1 36.925 45.300 36.240 32.100 37.210 48.360 38.200 33.500
Marca 2 34.318 42.280 35.500 31.950 38.015 47.800 37.810 33.215
D 2.607 3.020 740 150 - 805 560 390 285
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Entonces, como desconocemos la varianza, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica:
Respuesta: Debido a que , no hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es
decir, las duraciones promedios de ambas marcas de neumáticos radiales son iguales, con un 5% de
significación.
6.2) Solución: Sea: “Proporción de neumáticos de la Marca 1, que presentan una duración
superior a 37.500 kilómetros”
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
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De la muestra que nos expone el ejercicio, podemos calcular el estimador , ya que tres de los ocho
automóviles con los neumáticos de la Marca 1 superan los 37.500 kilómetros, lo que llevado a los
números es .
Debido a que el problema nos pide proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar
el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 90% de contener la proporción de neumáticos de la
Marca 1, que presentan una duración superior a 37.500 kilómetros.
7.- En la manufactura de semiconductores, es común el uso de un proceso de grabado por
remojo químico para eliminar el silicio de la parte posterior de las obleas antes de la
metalización. La rapidez de grabado es una característica importante en este proceso y se
sabe que es una variable aleatoria con distribución normal. Se compararon dos soluciones de
grabado diferentes, usando dos muestras aleatorias de obleas, una para cada solución. La
rapidez de grabado (milipulgadas/minuto), observada fue la siguiente:
Solución 1 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1
Solución 2 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3
7.1) Apoyan los datos la afirmación de que la rapidez media de grabados es la misma para
ambas soluciones, use α = 0,05
7.2) Estime con un nivel de confianza del 90% la rapidez media de grabado para la solución
1.
7.1) Solución: Sea: “Rapidez de grabado de la Solución 1, en milipulgadas/minuto”
“Rapidez de grabado de la Solución 2, en milipulgadas/minuto”
Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de ambas
muestras:
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ANÁLISIS ESTADÍSTICO
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En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por:
La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es
decir, las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, la Región Crítica:
Respuesta: Como , en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula,
es decir, la rapidez media de grabado es la misma, con α = 0,05.
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Página 134 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
7.2) Solución: Debido a que el problema nos pregunta por la media de grabado para la Solución 1,
debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 90% de contener la rapidez media de grabado
para la solución 1.
8.- La resistencia mínima especificada, transcurridos 28 días, de un hormigón para pavimento
de 20 cm de espesor es de 250 kg/cm². En dosificaciones con materiales provenientes de la
cantera A y B, las resistencias se distribuyen aproximadamente normal.
Se realizan 16 ensayos con materiales de la cantera A y 32 ensayos de la cantera B,
obteniendo al término del tiempo especificado, en pruebas de roturas a la compresión, las
siguientes resistencias:
Resistencia Cantera A 200 - 218 218 - 236 236 - 254 254 - 272 272 - 290
2 4 5 4 1
Resistencias Cantera B
218 220 225 230 235 237 241 245 269 270 270 272 272 274 276 278
250 254 255 258 260 262 264 268 280 285 289 290 290 290 295 300
Ayuda:
8.1) El ingeniero sospecha que la resistencia media de las dosificaciones proveniente de la
cantera A está muy por debajo de la resistencia media de aquellas dosificaciones
provenientes de la cantera B. ¿Qué concluiría usted respecto a la sospecha del
Ingeniero, con α = 0,01?
8.2) Con nivel de significación del 2,5%, ¿Puede usted afirmar que las dosificaciones cuyo
material proviene de la cantera B que está bajo la resistencia mínima especificada es de
un 20%?
8.1) Solución: Sea: “Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera A”
“Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera B”
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 135
Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de ambas
muestras:
Para A: Para B:
En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por:
La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es
decir, las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 136 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, la Región Crítica:
Respuesta: Como , en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula,
es decir, se concluye que lo sospechado por el Ingeniero es real, o sea, la resistencia media de A
está muy debajo de la resistencia media de B.
8.2) Solución: Sabemos que la resistencia mínima especificada es 250 kg/cm², por ende, podemos
calcular el estimador , o sea, la proporción de la muestra de los materiales provenientes de la
cantera B, que cumplen la condición de ser inferiores a la resistencia mínima especificada. Lo que
llevándolo a números es igual a
Las hipótesis a contrastar son:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
La Región Crítica (Con ):
Respuesta: Debido a que , no hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es
decir, las dosificaciones que están bajo la resistencia mínima, en la cantera B, representan el 20%.
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 137
9.- La utilización de materiales sintéticos tales como nylon, poliéster y látex en la producción
de telas, ha provocado debates acerca de la calidad y resistencia de estas fibras comparadas
con las fibras naturales.
Un fabricante de una nueva fibra sintética asegura que en promedio su producto (Y) posee una
mayor resistencia a la tracción que las fibras naturales (X). Para tal efecto se seleccionan al
azar 10 fibras sintéticas y 12 fibras naturales, a cada una de las cuales se les midió la
resistencia a la tracción. Los resultados muestrales obtenidos se dan a continuación:
¿Confirman estos datos lo asegurado por el fabricante? Fundamente adecuadamente su
respuesta y use ?
9) Solución: Sean: “Resistencia a la tracción de las fibras naturales, en Kg”;
“Resistencia a la tracción de la nueva fibra sintética, en Kg”;
En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por:
La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es
decir, las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos la siguiente expresión:
Reemplazando, obtenemos:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 138 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Finalmente, la Región Crítica (Con ):
Respuesta: Como , en conclusión existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula
con un 10% de significación, es decir, podríamos concluir que el fabricante estaría en lo cierto, ya que
la nueva fibra sintética posee mayor resistencia a la tracción que las fibras naturales.
10.- En una planta industrial se quiere determinar cuál de dos tipos de fuentes de energía, gas
o electricidad, produce más energía útil a menor costo. Una medida de la producción
económica de energía, llamada “inversión de planta por quad suministrado”, se calcula
dividiendo la cantidad de dinero (en dólares) invertida por la planta en la fuente de energía en
cuestión y la cantidad suministrada de energía (en quads, miles de billones de unidades
térmicas británicas [BTU]). Cuanto menor sea este cuociente, menos pagará una planta
industrial por la energía suministrada. Se seleccionaron muestras aleatorias de 11 plantas que
utilizan electricidad y 16 plantas que utilizan gas y se calculó la inversión de la planta por quad
para cada una. Los datos se presentan en la tabla:
Asumiendo normalidad en la inversión por quad suministrado
10.1) ¿Se podría afirmar que existe diferencia significativa entre los promedios de inversión
de planta por quad suministrado para estos dos tipos de fuentes de energía, con un
nivel de significación de 0,10?
10.2) Estime con una confianza del 99% la proporción de plantas de gas que invierten más de
10 [BTU].
10.1) Solución: Sean: “Inversión de una planta eléctrica por quad suministrado”
“Inversión de una planta a gas por quad suministrado”
Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de cada
muestra:
ELECTRICIDAD 14,15 9,57 7,76 9,72 5,35 8,46 7,78 4,38
9,28 8,60 17,13
GAS 16,66 10,14 9,18 10,11 8,45 7,91 11,03 10,70
15,05 18,22 12,50 9,40 9,67 9,21 15,3 12,1
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 139
En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por:
La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es
decir, las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos la siguiente expresión:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, la Región Crítica (Con ):
Respuesta: Como , en conclusión existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula
con un 10% de significación, es decir, se puede afirmar que existe una diferencia significativa en el
promedio de inversión de planta por quad suministrado por estos dos tipos de energía.
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 140 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
10.2) Solución: Lo primero, será determinar el estimador , el que corresponde al número de plantas
a gas que invierten más de 10 quad, en la muestra, dividido en el tamaño de la muestra, que llevado
a los números es igual a .
Luego, el intervalo confidencial está dado por:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 90% de probabilidad de contener a la proporción de
plantas de gas que invierten más de 10 [BTU].
11.- El PM10 (material particulado respirable), son partículas de diámetro menor o igual a 10
micrones. Por su tamaño, el PM10 es capaz de ingresar al sistema respiratorio del ser humano;
mientras menor es el diámetro de estas partículas mayor es el potencial daño en la salud; es
por esta razón, que diariamente se monitorea la calidad del aire,
calculando un Índice de calidad de Aire (AQI por sus siglas en
Inglés). Un AQI de 100 para PM10, corresponde a un nivel de 150
PM10 en microgramos por metro cúbico (promediado en 24
horas).
Se toman muestras aleatorias independientes del AQI, de tamaño
40, correspondientes a dos comunas C y M, del Gran Santiago, en
meses de invierno, obteniendo la siguiente información:
Suponiendo válidos los supuestos necesarios:
11.1) Estime el mínimo tamaño de muestra que se debe considerar para estimar el AQI
promedio en la comuna M, considerando un error de estimación de a lo más 18 μg/m3
y
una confianza de 95%, si de estudios previos se sabe que la desviación estándar del
AQI es de 110 μg/m3
.
11.2) ¿Es posible asegurar que el porcentaje de episodios en que el AQI es de al menos 200
(episodio dañino para la salud) es superior al 4% en la comuna C, con 5% nivel de
significación?
11.3) ¿Es posible, afirmar que no existen diferencias significativas en el índice de calidad
medio del aire en ambas comunas en estudio, con un nivel de significación del 1%?
AQI (μg/m3
) C M
0 – 50 2 5
50 – 100 9 5
100 – 150 11 11
150 – 200 15 13
200 – 300 3 4
300 – 550 0 2
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 141
11.1) Solución: Sean: “Cantidad de material particulado en la comuna C”
“Cantidad de material particulado en la comuna M”
El enunciado del problema nos otorga la siguiente información:
Ya que el conocemos la varianza, y estamos estimando el AQI promedio en la comuna, la fórmula del
error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser como mínimo de 144.
11.2) Solución: Con los datos entregados por la tabla, podemos determinar el estimador , que
corresponde a la cantidad de episodios de la muestra, en que el AQI es de al menos 200, dividido en
el tamaño de la muestra, lo que llevado a los números es igual a .
Luego, las hipótesis a contrastar son:
El estimador de prueba a utilizar es:
La Región Crítica (Con :
Respuesta: Como , en conclusión no existe suficiente información para rechazar la hipótesis
nula con un 5% de significación, es decir, se puede afirmar que el porcentaje o proporción de
episodios en que el AQI es de al menos 200, es equivalente o menor al 4% en la Comuna C.
11.3) Solución: Para este ítem lo primero que debemos hacer es calcular el tamaño de la muestra, la
media y desviación estándar, de cada muestra:
AQI (μg/m3
) C M
0 – 50 25 2 5
50 – 100 75 9 5
100 – 150 125 11 11
150 – 200 175 15 13
200 – 300 250 3 4
300 – 550 425 0 2
40 40
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 142 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen
varianzas poblacionales iguales o diferentes:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por:
La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir,
las varianzas poblacionales de ambas soluciones son diferentes.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos la siguiente expresión:
Después para calcular los grados de libertad tenemos la siguiente fórmula:
Finalmente, la Región Crítica (Con ):
Respuesta: Como , en conclusión no existe suficiente información para rechazar la hipótesis
nula con un 1% de significación, es decir, se puede afirmar que no existen diferencias significativas
en el índice de calidad medio del aire en ambas comunas en estudio.
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 143
12.- Una empresa de telecomunicaciones realizó un estudio a fin de comparar el tráfico
mensual de los clientes que han tomado los planes A ó B y conocer la opinión de éstos
respecto de los servicios prestados por la empresa.
Para este efecto, tomó de cada plan, una muestra aleatoria de 121 clientes. La información
recolectada, se presenta a continuación:
Plan A
Tiempo (min) 60 a 100 100 a 140 140 a 180 180 a 220 220 a 260
N° de clientes 13 32 30 27 19
Plan B
Tiempo (min) 120 a 156 156 a 192 192 a 228 228 a 264 264 a 300
N° de clientes 20 26 33 30 12
Además 98 clientes del plan A y 80 del plan B evaluaron satisfactoriamente los servicios
prestados por la empresa.
12.1) Estime, con un nivel de confianza del 95% el tiempo medio de tráfico de los clientes del
plan B.
12.2) Si el Gerente de la empresa se planteó la hipótesis: “el porcentaje de clientes que
evalúa satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa es igual en ambos
planes”, ¿Qué concluye, si utilizó un nivel de significación del 1%?
12.3) Docime la hipótesis de que el tiempo de tráfico de los clientes del plan A, es una v.a.
con distribución normal de varianza 2500 (min2).
12.1) Solución:
Sea: “Tiempo tráfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en minutos”
“Tiempo tráfico mensual de los clientes que han tomado el plan B, en minutos”
Lo primero será calcular el tamaño, media y desviación estándar de cada muestra dada:
Para A Para B
Dado que el problema nos pide estimar el tiempo medio de tráfico de los clientes del plan B,
utilizaremos la siguiente fórmula para poder determinarlo
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 144 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Evaluando:
Respuesta: El intervalo tiene un 95% de probabilidad de contener el tiempo
medio de tráfico de los clientes del plan B.
12.2) Solución: Ya que el ejercicio nos entrega la cantidad de clientes, de cada plan, que evalúa
satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa, podemos determinar las proporciones
respectivas de las muestras:
Definimos las hipótesis a contrastar
El estadístico de prueba está dado por:
El Punto Crítico corresponde a:
La Región Crítica (Con :
Respuesta: Como , se llega a la conclusión que existe suficiente información para rechazar la
hipótesis nula con un 1% de significación, o sea, el gerente de la empresa no se encontraba en lo
correcto cuando planteaba que el porcentaje de clientes que evalúa satisfactoriamente los servicios
prestados por la empresa es igual en ambos casos.
12.3) Solución: Sea: “Tiempo tráfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en min.”
Con:
Las hipótesis a contrastar son:
Nota: Debido a que el ejercicio no nos entrega los grados de libertad suponemos
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 145
Luego, se crea una tabla con los intervalos que abarcan todos los números del conjutno de los reales,
es decir, desde el al , donde también se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de
cada uno de ellos:
En seguida, como se debe cumplir que , se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo
sumando las dos primeras filas y las dos últimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 146 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Debido a que ocupamos el estimador de la media, el valor de es igual a uno y el número de filas
después de la modificación es cinco, por lo tanto, reemplazando tenemos:
Ya que el valor del nivel de confianza no es entregado por el ejercicio, tenemos que interpolar para
determinarlo:
Resultados:
Caso 1: La hipotesis nula se rechaza si
Caso 2: La hipotesis nula no se rechaza si
Considerando que el nivel de significación debe ser el menor posible para que la estimación sea
adecuada, por lo que es correcto elegir el caso 2, ya que así se cumple lo antes expuesto.
Respuesta: Ya que , es decir, no existe información suficiente para
rechazar la hipotesis nula, por lo tanto, el tiempo de tráfico de los clientes del plan A se distribuye
normalmente con varianza igual a 2500 min2.
13.- En el mercado existen dos tipos de plásticos (A y B), los que son utilizados en la
fabricación de diversos artículos. Una variable importante que se maneja es su tensión de
ruptura (en psi) y por lo tanto se ha diseñado un experimento para medir la variable en ambos
tipos. Los resultados en 41 ensayos de plástico A fueron los siguientes:
Tensión de Ruptura 144 a 150 150 a 156 156 a 162 162 a 168
5 12 16 8
Por otro lado, en 25 ensayos realizados para registrar la tensión a la ruptura en el plástico B,
se obtuvo un promedio de 154 psi con desviación estándar de 5,2 psi.
13.1) Considerando un nivel de significación del 5% y la información que entregan los datos.
¿Hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, quién
señala que el valor medio de la tensión a la ruptura del plástico A es de 155,5 psi?
13.2) El ingeniero de procesos tiene la sospecha que el plástico A tiene una tensión media a
la ruptura más alta de lo que se observa para el plástico B. Admitiendo como válidos
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 147
los supuestos de normalidad de las variables en estudio y considerando un niel de
significación del 5% ¿Qué puede concluir usted respecto de la sospecha del ingeniero
de procesos?
13.3) Con un nivel de significación del 2,5% ¿Muestran los datos la evidencia suficiente para
corroborar que efectivamente la distribución de probabilidad de la tensión a la ruptura
del plástico tipo A es de tipo normal con media 155,5 psi y varianza 25 (psi)2.
13.4) Con un 5% de nivel de significación, ¿es posible corroborar que más de un 30% de las
unidades del plástico A presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi?
13.1) Solución: Sea: “Tensión de ruptura del tipo de plásticos A, en psi”
“Tensión de ruptura del tipo de plásticos B, en psi”
Para :
Para :
Las hipótesis a contrastar son:
Luego, como desconocemos la varianza el estadístico de prueba se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica (Con ):
Respuesta: Debido a que , no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es
decir, no hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, el que señaló que
el valor medio de la tensión a la ruptura del plástico A es de 155,5 psi, con un 5% de significación.
13.2) Solución: Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras
poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:
144 – 150 147 5
150 – 156 153 12
156 – 162 159 16
162 – 168 165 8
41
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 148 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
El punto crítico está dado por:
La Región Crítica:
Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es
decir, las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.
Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, la Región Crítica:
Respuesta: Como , en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula,
es decir, las sospechas del ingeniero de proceso están en lo correcto, ya que por los resultados
obtenidos el plástico A tiene una tensión media a la ruptura más alta de lo que se observa para el
plástico B.
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
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13.3) Solución: Las hipótesis a contrastar son:
Con
Luego, como queremos probar que se distribuye normalmente, se crea una tabla con los intervalos
que abarcan todos los números del conjunto de los reales, es decir, desde el al , donde
también se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de cada uno de ellos:
En seguida, se sabe que cuando estamos haciendo bondad de ajuste se debe cumplir que , por
lo tanto, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo sumando las dos primeras filas y las
tres últimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 150 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
Debido a que no se utiliza ningún estimador, el valor de es igual a cero y el número de filas
después de la modificación corresponde a tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
Respuesta: Como
, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que la
tensión a la ruptura del plástico tipo A se distribuye normalmente con una media de 155,5 psi y una
varianza de 25 psi2, con un nivel de significación de 0,025.
13.4) Solución: Sea: “Proporción de las unidades del plástico A que presentan una tensión a la
ruptura superior a 160 psi”
Estimaremos el valor de , lo que lo llevamos a cabo por medio de fórmula de percentil, como se ve a
continuación:
Luego, las hipótesis a contrastar son:
El estadístico de prueba esta dado por:
La Región Crítica (Con :
Respuesta: Como , no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 5%
de significación, es decir, no se puede corroborar que más de un 30% de las unidades del plástico
tipo A presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi.
144 – 150 5 5
150 – 156 12 17
156 – 162 16 33
162 – 168 8 41
41
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14.- El encargado de control de calidad de una empresa exportadora revisó al azar un conjunto
de 700 cajas, registrando el número de unidades defectuosas encontradas en cada caja,
obteniendo la siguiente información:
N° de defectuosos 0 1 2 3
N° de cajas 542 140 10 8
Si históricamente la cantidad de defectuosos por caja, se ha comportado de acuerdo a un
modelo binomial de parámetros y . Evalúe usted si la evidencia muestral
permite corroborar que la variable en cuestión persiste en comportarse de acuerdo al modelo
histórico, con nivel de significación igual a 0,05.
14) Solución: Sea: “Número de unidades defectuosas por caja”
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Con
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuye
de forma binomial, como se ve a continuación:
En seguida, como se debe cumplir que , se procede a modificar la tabla, lo que se hace
sumando las dos últimas filas, como se muestra ahora:
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 152 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
Debido a que no ocupamos ningún estimador, el valor de es igual a cero, y el número de filas
después de la modificación es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
Respuesta: Como
, en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar que la
cantidad de defectuosos por caja sigue el modelo histórico, o sea, distribución binomial con tamaño
de la muestra 3, y probabilidad de éxito igual a 0,08, con un nivel de significación de 0,05.
15.- En una empresa de acuicultura se quiere hacer un estudio sobre el nivel de parásitos en la
producción de doradas. Para ello, se tomó una muestra de 5 individuos cada día, repitiendo el
experimento durante 550 días. De cada muestra se analizaron los peces determinando cuantos
de ellos contenían parásitos. ¿Se ajusta a un modelo de distribución Binomial con 5% de
significación?
Nº de individuos con parásitos 0 1 2 3 4 5
Frecuencia Observada 17 81 152 180 104 16
18) Solución: Sea: “Número de individuos con parásitos”
Luego, como el ejercicio no nos entrega el valor de , procedemos estimar el valor:
Además, de la tabla de distribuciones discretas sabemos que la media de la distribución binomial está
dada por la siguiente fórmula, teniendo cuidado con el es el número de veces que se repite el
experimento, es decir, en este caso toma el valor de 5:
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Con
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuye
de forma binomial, como se ve a continuación:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
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Ya que todos los sucesos cumplen con , la tabla no se modifica.
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
Debido a que utilizamos el estimador de , el valor de es igual a uno, y el número de filas es seis,
por lo tanto, reemplazando tenemos:
Respuesta: Como , en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar la
hipotesis nula, es decir, el número de individuos con parásitos se distribuye en forma binomial, con un
nivel de significación de 0,05.
16.- Se propone que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una
distribución Poisson. Se reúne una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se
observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:
Número de defectos Frecuencias observadas
0 32
1 15
2 9
3 o más 4
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 154 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Evalúe si estos datos muestran suficiente evidencia para decir que provienen de una
distribución Poisson, con un nivel de significación igual a 0,05.
16) Solución: Sea: “Número de defectos en las tarjetas de circuito impreso”
Las hipótesis a contrastar son:
Ya que el ejercicio no nos entrega el valor de lambda, procedemos a estimarlo a partir de los datos tabulados:
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si tiene una
distribución Poisson, como se ve a continuación:
Puesto que la frecuencia esperada en la última celda es menor que 5, se combinan las dos últimas filas.
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 155
Con:
Debido a que ocupamos el estimador , el valor de es igual a uno, y el número de filas después de
la modificación es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
Respuesta: Como
, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que el
número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson.