คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เร่ือง

การนับและความนาจะเปน (เนือ้หาตอนที่ 6) ความนาจะเปน 1

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจด ี

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมอืระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธกิาร

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1

สื่อการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน

ส่ือการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซ่ึงประกอบดวย

1. บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน

- กฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกับการนับ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(ส่ิงของแตกตางกนัทั้งหมด)

3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปล่ียน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (ส่ิงของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู

5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวนิาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม

6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน

7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย

8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1) 10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2) 11. แบบฝกหัด (ขัน้สูง) 12. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ 13. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง การเรียงสับเปล่ียน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2

14. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม 15. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ความนาจะเปน 16. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง การใสบอลลงกลอง

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา ส่ือการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ

ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชส่ือชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เร่ือง การนับและความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูช่ือเร่ือง และชื่อตอนไดจากรายชื่อส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3

เร่ือง การนับและความนาจะเปน (ความนาจะเปน 1) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 6 (6/7) หัวขอยอย 1. สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน

2. การหาความนาจะเปนแบบงาย

จุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน

1. เขาใจและใชสมบัติพื้นฐานของความนาจะเปนในการแกปญหาได 2. หาความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมซับซอนได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายสมบัติพื้นฐานของความนาจะเปนได 2. นําสมบัติของความนาจะเปนไปใชในการแกปญหาได 3. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมซับซอนได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4

เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5

1. สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6

1. สมบัติพ้ืนฐานของความนาจะเปน ในหวัขอนี้ เราจะศกึษาเกี่ยวกับสมบัตพิื้นฐานของความนาจะเปน โดยในสื่อการสอนจะเริ่มดวยการทบทวนนยิามของความนาจะเปนของเหตกุารณ พรอมทั้งยกตวัอยางเพื่อเปนแนวคิดไปสูสมบัติของความนาจะเปนที่วา สําหรับเหตุการณ A ใด ๆ

( ) 1 ( )P A P A′= −

จากนั้น ผูเรียนจะไดศึกษาสมบัติที่สําคัญบางประการของความนาจะเปน ซ่ึงสมบัติดังกลาวจะชวยให การหาความนาจะเปนของบางเหตุการณทาํไดงายและสะดวกยิ่งขึน้ โดยผูเรียนจะไดเห็นตวัอยางการประยกุตใชสมบัติเหลานี้ในหัวขอที่ 2

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7

หลังจากผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจเนนย้ําผูเรียนวา การเขยีนแผนภาพเวนน-ออยเลอรจะชวยใหเขาใจและจดจําสมบัติตาง ๆ ของความนาจะเปนไดงายยิ่งขึ้น จากนั้น ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันพิสูจนหมายเหตุที่ไดใหไวในสื่อการสอนกอนที่ผูสอนจะแสดงใหผูเรียนดู ดังตวัอยางตอไปนี ้ ตัวอยาง ให S เปนปริภูมิตัวอยางและ , ,A B C เปนเหตุการณใด ๆ จะไดวา

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ วิธีทํา ให , ,A B C เปนเหตกุารณใด ๆ จะไดวา ( ) (( ) )P A B C P A B C∪ ∪ = ∪ ∪

( ) ( ) (( ) )P A B P C P A B C= ∪ + − ∪ ∩ ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ))P A P B P A B P C P A C B C= + − ∩ + − ∩ ∪ ∩ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )]P A P B P C P A B P A C P B C P A B C= + + − ∩ − ∩ + ∩ − ∩ ∩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A B P A C P B C P A B C= + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8

2. การหาความนาจะเปนแบบงาย

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9

2. การหาความนาจะเปนแบบงาย ในหวัขอนี ้ ผูเรียนจะไดเห็นตวัอยางการหาความนาจะเปนโดยใชสมบัติของความนาจะเปนที่ไดศึกษา

ในหวัขอที่แลวเขาชวย ซ่ึงทาํใหสามารถหาคาความนาจะเปนไดงายและสะดวกยิ่งขึน้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10

เพื่อใหผูเรียนสามารถประยุกตใชสมบัติของความนาจะเปนไดคลองยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนฝกทาํตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม ตัวอยาง ความนาจะเปนทีน่ายกฤษฎาจะสอบผานวิชาคณิตศาสตรเปน 0.4 และสอบผานวิชาภาษาอังกฤษเปน 0.5 ความนาจะเปนที่จะสอบผานอยางมากหนึ่งวิชาเปน 0.7 จงหาความนาจะเปนทีน่ายกฤษฎาจะสอบผาน อยางนอยหนึ่งวิชา วิธีทํา ให A แทนเหตกุารณทีน่ายกฤษฎาจะสอบผานวิชาคณิตศาสตร และ B แทนเหตกุารณทีน่ายกฤษฎาจะสอบผานวิชาภาษาอังกฤษ ดังนั้น

( ) 0.4P A = และ ( ) 0.5P B = เนื่องจาก นิเสธของ “เหตกุารณที่นายกฤษฎาจะสอบผานอยางมากหนึ่งวิชา” คือ “เหตุการณที่นายกฤษฎาจะสอบผานทั้งสองวิชา” ดังนั้น ( ) 1 0.7 0.3P A B∩ = − = ทําใหไดวา ความนาจะเปนที่นายกฤษฎาจะสอบผานอยางนอยหนึ่งวชิา

( )P A B= ∪ ( ) ( ) ( )P A P B P A B= + − ∩ 0.4 0.5 0.3= + − 0.6=

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจสุลาก 7 ใบ มีหมายเลขกํากบัไวโดยไมซํ้ากัน เร่ิมจาก 1− 7 สุมหยิบสลาก 2 ใบจากกลองใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของหมายเลขที่ไดหารดวย 3 ไมลงตัว วิธีทํา ให A แทนเหตกุารณที่ผลรวมของหมายเลขที่ไดหารดวย 3 ลงตัว ดังนั้น

{ }{1,2},{1,5},{2,4},{2,7},{3,6},{4,5},{5,7}A =

ผลรวม ผลรวม ผลรวมเปน 9 ผลรวมเปน 12 เปน 3 เปน 6 ทําใหไดวา

ความนาจะเปนที่ผลรวมของหมายเลขที่ไดหารดวย 3 ไมลงตัว ( )P A′=

7 7 21 ( ) 1 17 21 32

P A= − = − = − =

จากนั้น ผูเรียนจะไดเหน็ตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชความรูเร่ืองการเรียงสับเปลี่ยน ซ่ึงผูเรียนจะตองระมดัเรื่องลําดับกอนหลังของสิ่งของที่หยิบได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12

หมายเหตุ สําหรับตัวอยางขางตน การหาคาความนาจะเปนของเหตุการณที่ไดลูกบอลสีแดงกับสีขาว เราอาจพิจารณาอีกแบบไดดังนี ้ สีแดง สีขาว P(เหตุการณทีไ่ดลูกบอลสีแดงกับสีขาว) 3 2 2!

9 9× ×

=×

หลังจากที่ผูเรียนไดชมปญหาชวนคิดในสือ่การสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกนัคิดหาคําตอบ จากนัน้ผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนด ู ปญหาชวนคดิ กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 4 ลูก สุมหยิบลูกบอลทีละลูกจํานวน 3 คร้ัง โดยใสลูกบอลกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป จงหาความนาจะเปนที่ไดลูกบอลสีตางกันทั้งหมด วิธีทํา P(เหตุการณที่ไดลูกบอลสีตางกันทั้งหมด) =P(เหตุการณที่ไดลูกบอลสีแดง สีขาวและสีน้ําเงิน สีละ 1 ลูก) (3 2 4) 3! 16

9 9 9 81× × ×

= =× ×

สลับตําแหนงลูกบอล สีแดง สีขาวและสีน้ําเงิน

สลับตําแหนงลูกบอลสีแดงและสีขาว

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจลูุกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงนิ 4 ลูก สุมหยิบลูกบอลทีละลูกจํานวน 6 คร้ัง โดยใสลูกบอลกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป จงหาความนาจะเปนที่ไดลูกบอลครบทุกสี วิธีทํา P(เหตกุารณที่ไดลูกบอลครบทุกส)ี 1= −P(เหตกุารณที่ไดลูกบอลไมครบทุกส)ี 1= − P(เหตกุารณที่ไมไดลูกบอลสีแดง หรือ เหตุการณที่ไมไดลูกบอลสีขาว) 1= − P(ไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีน้ําเงิน 4 ลูก หรือ ไดลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีน้าํเงิน 3 ลูก หรือ ไดลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีน้าํเงิน 4 ลูก) 1= − P(ไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีน้ําเงิน 4 ลูก) + P( ไดลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีน้ําเงิน 3 ลูก) + P(ไดลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีน้ําเงิน 4 ลูก)

1= −

6 6 6

2 4 3 4 3 46! 6! 6!

2 4 3 3 2 49 9 9

+ +

6 6

(1 4 3)6! 8 6!1 19 9

+ + ×= − = −

หมายเหตุ สําหรับตัวอยางขางตน ถาหาความนาจะเปนของเหตุการณทีไ่ดลูกบอลครบทุกสีโดยตรง โดยไมใชสมบัติของความนาจะเปนเขาชวย จะตองแบงกรณพีิจารณา ดังนี้

จํานวนลูกบอลท่ีหยิบได(ลูก) สีแดง สีขาว สีน้ําเงิน

3 2 1 3 1 2 2 2 2 2 1 3 1 2 3 1 1 4

ซ่ึงผูเรียนตองระมัดระวังวาตองแจกแจงกรณีใหครบทุกกรณี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจสุลาก 10 ใบ ซ่ึงมีหมายเลข 0 – 9 กํากับ สุมสลาก 2 ใบจากกลองใบนี้ โดยหยิบครั้งละ 1 ใบ และไมใสกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป จงหาความนาจะเปนทีห่มายเลขบนสลากอยางนอยหนึ่งใบหารดวย 3 ลงตวั วิธีทํา P(เหตกุารณที่หมายเลขบนสลากอยางนอยหนึ่งใบหารดวย 3 ลงตัว) = 1− P(เหตุการณที่หมายเลขบนสลากทั้งสองใบหารดวย 3 ไมลงตวั) 6 5 1 21 1

10 9 3 3×

= − = − =×

สําหรับตัวอยางตอไปนี้ เปนตัวอยางการหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชสมบัติความนาจะเปน แตเนนการเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรเขาชวย

ปญหาชวนคดิ ให A และ B เปนเหตกุารณใด ๆ โดยที่ 3( )5

P A = , 1( )5

P B A′∩ = และ 2( )5

P B =

จงหา ( )P A B′ ′∩ วิธีทํา เนื่องจาก ( ) ( )B B A A B′= ∩ ∪ ∩ และ ( ) ( )B A A B′∩ ∩ ∩ =∅ โดยสมบัติของความนาจะเปน จะไดวา ( ) ( ) ( )P B P B A P A B′= ∩ + ∩ ดังนั้น A B

2 1 1( ) ( ) ( )5 5 5

P A B P B P B A′∩ = − ∩ = − = A B− A B∩ B A′∩

2 1 1

5 5 5− = 1

5

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15

ในทํานองเดียวกนั เนื่องจาก ( ) ( )A A B A B= − ∪ ∩ และ ( ) ( )A B A B− ∩ ∩ =∅ ดังนั้น ( ) ( ) ( )P A P A B P A B= − + ∩ นั่นคือ 3 1 2( ) ( ) ( )

5 5 5P A B P A P A B− = − ∩ = − =

จากนั้นนํามาเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดังนี้ ดังนัน้ 2 1 1 1( ) (( ) ) 1 ( ) 1

5 5 5 5P A B P A B P A B ′ ′ ′∩ = ∪ = − ∪ = − + + =

ขอสังเกต การใสคาความนาจะเปนลงในบริเวณตาง ๆ ของแผนภาพเวนน-ออยเลอร เราไดใชสมบัติที่วา สําหรับเหตุการณ 1 2,A A ใด ๆ ถา 1 2A A∩ =∅ แลว 1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A∪ = + ตัวอยาง ให A และ B เปนเหตกุารณใด ๆ โดยที่ ( ) 0.3, ( ) 0.5P A P B= = และ ( ) 0.4P A B′ ′∩ = จงหา ( )P A B∩ วิธีทํา แบบที่ 1 เนื่องจาก 0.4 ( ) (( ) ) 1 ( )P A B P A B P A B′ ′ ′= ∩ = ∪ = − ∪ ดังนั้น ( ) 1 0.4 0.6P A B∪ = − = ทําใหไดวา ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 0.6 0.3 0.5 ( )P A B= + − ∩ ( ) 0.8 0.6 0.2P A B∩ = − =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16

แบบที่ 2 วาดแผนภาพเวนน-ออยเลอรเขาชวย

A B

0.3 − x x 0.5 − x 0.4

จากแผนภาพเวนน-ออยเลอรและสมบัติของความนาจะเปน จะไดวา (0.3 ) (0.5 ) 0.4 1x x x− + + − + =

0.2x =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17

แบบฝกหัดเพิ่มเติม

เร่ือง การหาความนาจะเปนแบบงาย

1. ความนาจะเปนที่นายวิรัชจะสอบผานวิชาคณิตศาสตรและวิชาเคมีเทากับ 25

และ 13

ตามลําดับ

ถาความนาจะเปนที่เขาจะสอบผานทั้งสองวิชานี้เปน 14

จงหาความนาจะเปนที่เขาจะสอบไมผานทั้งสอง

วิชา 2. สุมจํานวนเต็ม 1 จํานวนจากจํานวนเต็ม 10 – 59 จงหาความนาจะเปนทีจ่ํานวนที่สุมไดหารดวย 7 ลงตัว

หรือเปนจํานวนคี่ 3. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีแดง 4 ลูก สุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน

จงหาความนาจะเปนที่สุมไดลูกบอลทั้งสองสี 4. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ โดยมหีมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 กํากับไว สุมหยิบสลาก 3 ใบจากกลอง

ใบนี้พรอมกนั จงหาความนาจะเปนที ่4.1 ผลรวมของแตมมากกวา 8 4.2 ผลรวมของแตมหารดวย 3 หรือหารดวย 7 ลงตัว

5. ให A และB เปนเหตุการณใด ๆ จงแสดงวา 5.1 ถา A B⊆ แลว ( ) ( ) ( )P B A P B P A− = − 5.2 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A B P A B′ ′∪ = ∩ + ∩ + ∩ 5.3 ( ) ( ) ( )P A B P A P B A∪ = + −

6. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที ่ 3 1( ) , ( )5 3

P A P A B= − = และ 4( )5

P A B∪ =

จงหา ( )P B 7. ให A เปนเหตกุารณใด ๆ โดยที่ 2 ( ) 5 ( )P A P A′= จงหา ( )P A 8. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ ( ) ( ) ( ) 0.1P A B P A B P A B′ ′∩ = ∩ = ∩ = จงหา

( )P A B∪ 9. ให A และ B เปนเหตุการณไมเกดิรวมกนั โดยที่ ( ) 0.2P A = และ ( ) 0.6P B′ = จงหา

9.1 ( )P A B′∪ 9.2 ( )P A B′∩ 9.3 ( )P A B′ ′∪ 9.4 ( )P A B′ ′∩

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20

เอกสารอางอิง

1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21

ภาคผนวกที่ 1 แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22

แบบฝกหัดระคน

1. ในการสอบคัดเลือกเขามหาวิทยาลัย ความนาจะเปนที่นายมานะจะสอบเขามหาวิทยาลัยไดเปน 0.6 ความนาจะเปนที่นายอดทนจะสอบเขามหาวิทยาลัยไดเปน 0.5 และความนาจะเปนที่จะสอบเขามหาวิทยาลัย ไดทั้งสองคนเปน 0.3 ความนาจะเปนที่จะสอบเขามหาวิทยาลัยไมไดทั้งสองคนมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0.2 2. 0.3 3. 0.7 4. 0.8 2. กําหนดให { } { }2,3,4, ,10 , 0, 2, 4,6,8,10A B= =… และ {1,3,5,7,9}C = สุมตัวเลขจากเซต B มา 1 จํานวน และสุมตัวเลขจากเซต C มา 1 จํานวน ความนาจะเปนที่ผลบวกของตวัเลขทั้งสองจะไมอยูใน เซต A มีคาเทากับขอใดตอไปนี ้

1. 1330

2. 715

3. 815

4. 1730

3. ให A และ B เปนเหตกุารณใด ๆ ถา ( ) ( ) ( )P A B P B A P A B c− = − = ∩ = แลวจะไดวา ( )P A B′ ′∩

เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. c 2. 3c 3. 1 c− 4. 1 3c− 4. ให A และ B เปนเหตกุารณไมเกิดรวมกัน ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ถา ( ) 0.2 ( )P A P B= = แลว ( ) 0.6P A B′∪ = 2. ถา ( ) 0.3 ( )P A P B= = แลว ( ) 0.3P A B′− = 3. ถา ( ) 0.1P A = และ ( ) 0.3P B = แลว ( ) 0.6P A B′ ′∩ = 4. ถา ( ) 0.2P A = และ ( ) 0.3P B = แลว ( ) 0.2P A B′∩ =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23

5. สุมจํานวนเต็ม 1 จํานวนจากจํานวนเต็ม 1− 200 ความนาจะเปนทีจ่ํานวนที่สุมไดหารดวย 3 หรือ 7 ลงตัว เทากับ ขอใดตอไปนี ้ 1. 17

40 2. 47

100

3. 1340

4. 53100

6. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่ลูกเตาทั้งสองลูกขึ้นแตมเทากันหรือผลรวมของแตมหารดวย 5 ไม ลงตัวเทากบัขอใดตอไปนี้ 1. 7

36 2. 8

36

3. 2936

4. 3036

7. ไพสํารับหนึ่งซึ่งมีทั้งหมด 52 ใบ ประกอบดวยไพหนาโพดํา โพแดง ขาวหลามตัดและดอกจกิ อยางละ 13 ใบ สุมหยิบไพ 4 ใบจากสํารับนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่จะไดไพไมครบทุกหนาเทากับขอใดตอไปนี ้ 1.

41352

4!4

2. 413524

3. 4131524

−

4. 413152

4!4

−

8. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 8 ลูก(แตกตางกันทั้งหมด) โดยเปนลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีดํา 3 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีตางกันเทากับ ขอใดตอไปนี้ 1. 3

14 2. 1

4

3. 714

4. 34

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24

9. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลข 1 – 10 กาํกับไว สุมหยบิสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จากนั้นทอด ลูกเตา 1 ลูก ความนาจะเปนที่หมายเลขสลากที่หยิบไดและแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาตางกนัเทากบัขอใด ตอไปนี ้ 1. 1

10 2. 2

5

3. 35

4. 910

10. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกแกว 8 ลูก เปนลูกแกวสีแดง 5 ลูก และสีขาว 3 ลูก สุมหยิบลูกแกว 4 ลูกจากกลอง ใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนทีจ่ะไดลูกแกวสีแดงอยางนอยสองลูกเทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 2

35 2. 1

14

3. 1314

4. 3335

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

25

ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

26

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง การหาความนาจะเปนแบบงาย

1. 3160

2. 2950

3. 56

4. 4.1 35

4.2 12

6. 715

7. 57

8. 0.3

9. 9.1 0.8 9.2 0.4 9.3 1 9.4 0.4

เฉลยแบบฝกหัดระคน 1. 1 2. 3 3. 4 4. 3

5. 1 6. 4 7. 3 8. 4 9. 4 10. 3

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

27

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

28

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนํา เร่ือง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองหอคอยฮานอย

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองตารางคาความจริง บทนํา เร่ือง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองชวงบนเสนจํานวน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองสมการและอสมการพหุนาม

จํานวนจริง

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟคาสัมบูรณ บทนํา เร่ือง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย บทนํา เร่ือง ความสมัพันธและฟงกชัน ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

29

เรื่อง ตอน

โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชนั

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ความสัมพันธและฟงกชัน

ฟงกชันประกอบ

บทนํา เร่ือง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

อสมการลอการิทึม

บทนํา เร่ือง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนํา เร่ือง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร กําหนดการเชิงเสน

การหาคาสุดขีด

บทนํา เร่ือง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย อนุกรม

ลําดับและอนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

30

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

การนับและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนํา เร่ือง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณิตศาสตร

กระเบื้องที่ยืดหดได