7 Razred - Matematiskop - prirucnik
-
Upload
vesna-matkovic -
Category
Documents
-
view
1.330 -
download
97
description
Transcript of 7 Razred - Matematiskop - prirucnik
Владимир Стојановић
MATEMATISKOP OSNOVNA [KOLA
MATEMATISKOP
METODI^KI PRIRU^NIK
SEDMI RAZRED
ZA NASTAVNIKE MATEMATIKE
MATEMATISKOP
Vladimir Stojanovi}
METODI^KI PRIRU^NIK ZA NASTAVNIKE MATEMATIKE
Za izdava~a
Nada Stojanovi}, direktor
Urednik
Dr Ninoslav ]iri}
Тираж
Штампа:
CIP - Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd
@eqko Hr~ek
Priprema za {tampu
СТОЈАНОВИЋ, ВладимирМетодички приручник за наставнике математике :
седми разред / Владимир Стојановић. - Београд :Математископ, 2007 (Београд : Верзал, Београд). 144 стр. :граф. прикази, табеле ; 24 цм
Тираж 00
19 3
а) Математископ - Настава - Методика -Приручници
06327052
5
COBISS.SR-ID 1
ISBN 86-7076-0 -
37 .1 3 : 51(035)
(SEDMI RAZRED)
Recenzenti
Ilija Mitrovi}, savetnik za nastavu O[
[evala Haxiefendi}, profesor O[
Izdava~, Despota Olivera 6, Beograd
tel. (011)3087-958, (011)2413-403 tel/faks (011)380-70-90IP MATEMATISKOP
www.office matematiskop.co.@ rs
SADR�AJ
UPUTSTVOza korix�enje Priruqnika 5
GLOBALNI (GODIXNjI) PLAN RADA(i pismenih zadatak) 6
OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADAPO MESECIMA 7
DETALjAN PLAN IZVO�ENjA NASTAVEPO QASOVIMA 19
UPUTSTVOza korix�enje Priruqnika
Pre nego xto poqne sa realizacijom nastave, nastavnik trebada prouqi predlo�eni plan. Ukoliko ima vixegodixnje iskustvo,mo�e smatrati da pojedine nastavne teme treba drugaqije planira-ti. I autor ovog PRIRUQNIKA bi neke teme planirao na druginaqin. Qak bi i raspored nastavnih tema izmenio. Me�utim, ve-�ina nastavnika, a zaqudo i nadzornika, smatra da je redosledgradiva u zvaniqnom programu obavezuju�i. Zbog toga je redosledobrade tema isti kao u zvaniqnom programu.
Osim toga, da li �e se raditi frontalno, odnosno u manjimili ve�im, homogenim ili nehomogenim grupama, mo�e odluqititrenutna situacija.
Na kraju, jedno je sigurno – ovaj Priruqnik �e svakako vixe-struko olakxati nastavniku pripremu i realizaciju nastave, a sa-mim tim doprine�e i kvalitetu nastave.
Veliku pomo� nastavnicima i uqenicima predstavlja RADNASVESKA kontrolni i pismeni zadaci (izdanje Matematiskopa).
Sigurni smo i garantujemo da �ete sa lako�om i sa odliqnimrezultatima realizovati nastavu ako Vi i Vaxi uqenici, uz ovajPriruqnik koristite nax u�benik MATEMATIKA 7, ZBIRKUZADATAKA i RADNU SVESKU.
Preporuqujemo Vam i zbirku PLUS VII za dodatnu nastavu.
GLOBALNI (GODIXNjI) PLAN RADA(i pismenih zadatak)
Red.Nastavna tema
Broj qas. Qasovabr. po temama Obrade Ostalo0 Uvodni qas 1 11 Realni brojevi 16 7 92 Pitagorina teorema 16 7 9
3Celi i racionalni alge-barski izrazi
4 2 2
Prvi pismeni zadatak 3 3
3Celi i racionalni alge-barski izrazi
22 9 13
Drugi pismeni zadatak 3 3
3Celi i racionalni alge-barski izrazi
3 1 2
Drugo polugodixte
3Celi i racionalni alge-barski izrazi
10 2 8
4 Mnogougao 13 6 75 Zavisne veliqine 7 3 4
Tre�i pismeni zadatak 3 35 Zavisne veliqine 10 3 76 Krug 15 6 97 Sliqnost 2 1 1
Qetvrti pismeni zadatak 3 37 Sliqnost 8 2 6
Ukupno 139 49 90Napomena. Za pismeni su predvi�ena 3 qasa (po jedan za prijemni, izra-du i ispravku). Predvi�eno je 9 kontrolnih ve�bi. U drugom plugodixtu5-6 qasova ostaje kao rezerva za kraj nastavne godine.
OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLANRADA PO MESECIMA
Napomena. Zbog raznih mogu�nosti uklapanja liqnog nedeljnograsporeda u kalendar, granicu izme�u dva uzastopna meseca trebauzeti fleksibilno.
Nastavna sredstva definixe nastavnik prema raspolo�ivimmogu�nostima.
DETALjAN PLAN IZVO�ENjA NASTAVEPO QASOVIMA
Nastavne teme za svaki qas OBRADE novog gradiva, pod is-tim naslovom obra�ene su u U�BENIKU u izdanju IP MATEMA-TISKOP. U uvodnom tekstu pripreme svakog qasa uz boksOsnovni tekst navodi se koja knjiga se koristi (U�benik ili Zbir-ka) sa navedenim brojevima strana.
Na neispisanim delovima strana detaljnog plana nastavnikupisuje liqna zapa�anja o nivou ostvarenja i eventualne primedbeo kojima �e voditi raquna pri planiranju nastave slede�e xkolskegodine.
Ako pri OBRADI novog gradiva neki planirani deo ne buderealizovan, on se prenosi na poqetak prvog slede�eg qasa, predvi-�enog za uve�bavanje.
Ako se neki zadaci iz u�benika, predvi�eni za rad na qasuOBRADE novog gradiva, ne urade na tom qasu, oni se pridodajuDoma�em zadatku . Isto treba uqiniti i sa eventualnim vixkomzadataka planiranim za rad na qasovima UVEBAVANjA.
Preporuqljivo je da nastavnik na qasu rexava i druge zadat-ke, iz sopstvene prakese. Predlo�eni plan rada mo�e i treba dase mestimiqno menja i oboga�uje idejama nastavnika, realizatoranastave.
Neke napomene, koje su detaljno navedene u prvom delu Priruq-nika, a kasnije bi trebalo da se ponavljaju, ovde nisu ponavljane.Poxto se radi o Planu rada, dovoljno ih je napisati prvi put. (Tosu najqex�e napomene o naqinu rada u parovima i u grupama, zatimizvo�enja qasova sa temom: ”Ispravka pismenog zadatka” i sliqno.)
Priruqnik u formi CD-a omogu�ava nastavniku da odxtampapo potrebi bilo koju stranicu. To �e bitno olakxati pripremulisti�a za Kontrolne ve�be i Pismene zadatke.
20 Realni brojevi
1. QAS Prvo polugodixte
Uvodni qas Razgovor
Cilj Upoznavanje sa uqenicima i upoznavanje uqenika sa temamakoje su na programu u VII razredu.
Tok qasaZavisno od toga da li prvi put predaje u odeljenju, ili im
je ve� predavao, nastavnik se predstavi uqenicima. Zatim prozo-ve sve uqenike i sa svakim malo popriqa. Posle toga, nastavnikpredoqi uqenicima xta �e se uqiti ove godine. Sve teme imajufundamentalni znaqaj. Teme iz geometrije predstavljaju nastavakproxlogodixnje geometrije. U algebarskom delu prvi put �emo sesresti sa va�nim pojmovima: iracionalni brojevi i polinomi. Po-trebno ih je dobro savladati da bi se bez texko�a uqila matema-tika tokom daljeg xkolovanja.
Zatim, nastavnik izlo�i svoj naqin rada i nivo zahteva, kakvusaradnju oqekuje na qasu i u doma�em radu, na koji naqin �e bitivrednovan rad uqenika.
Nastavnik uqenicima predoqava razne mogu�nosti uqestvova-nja na takmiqenjima (Druxtva matematiqara, Arhimedesa, Misli-xe, Kengura) i preporuqi im odgovaraju�u literaturu (na primer:STAZAMA XAMPIONA, INOSTRANA JUNIORSKA TAKMI-QENjA u izdanju IP MATEMATISKOP).
Svim uqenicima ponudi se uqestvovanje na dodatnoj nastavi.Radi ve�e samostalnosti uqenika i bolje organizacije dodatne na-stave, nastavnik im ponudi da se kolektivno snabdeju odgovara-ju�om knjigom PLUS VII, koji sa U�benikom i Zbirkom zadatakapredstavlja u�beniqki komplet, odobren od Ministarstva prosve-te Republike Srbije.
Realni brojevi 21
2. QAS
Kvadrat racionalnog broja Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Podse�anje na bitne osobine kvadrata broja, pre svega da
je a2 ≥ 0. Uoqiti zatim zaxto nije uvek a2 > a. Nauqiti pravilaza kvadriranje proizvoda i koliqnika.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 7. do 11. strane.
Podsetimo se na pojam kvadata broja preko izraqunavanja po-vrxine kvadrata. Kvadrat broja definixemo kao proizvod broja sasamim sobom, kao na 8. strani u�benika. Rexavamo redom primere1, 2, 3. Iz rezultata Primera 3 zakljuqujemo zbog qega je a2 ≥ 0.
Rexavanjem Primera 4 proverimo kako su uqenici prihvatiliopisane osobine.
Dalje, prouqimo odnos izme�u |a| i |a|2, kao na 9. strani u�be-nika.
Prouqimo pravila za kvadriranje proizvoda i koliqnika. Po-sebno insistiramo na isticanju (i razumevanju) uslova b �= 0, priprimeni pravila za kvadriranje koliqnika.
Obratimo pa�nju na primer 5.Raspolo�ivo vreme do kraja qasa iskoristimo da ponovimo
nauqe pojmove i pravila. Sve to ilustrujemo rexavanjem odabranihzadataka za Ve�be sa 11. strane u�benika.
Doma�i zadatak Zadaci od 1. do 6. sa 11. strane u�benika (oni
koje nismo rexavali na qasu).
22 Realni brojevi
3. QAS
Kvadrat racionalnog broja Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Utvrditi osobine kvadrata racionalnog broja i pravilaobra�ena prethodnog qasa.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 7. do 12. strane.
Ponovimo pojmove i osobine nauqene prethodnog qasa. Uputi-mo uqenike da kao podsetnik koriste i obojeni tekst Ukratko sa 7.strane Zbirke.
Rexavamo zadatke: 1. a) i b), 2. g), �) i �), 4. b), g), d), 5,7. a), 8, 16. b) i �).
Ako ima vremena, rexi�emo i zadatke 20 a) i 32 b)
Doma�i zadatak 3 e), �) i �), 5, 6, 7 g), 9, 13, 16, 30, 35.Ukoliko su uqenici odliqno shvatili pojmove i ponu�ene za-
datke rexavaju brzo i lako, treba im zadati jox: 10, 18, 22.
Realni brojevi 23
4. QAS
Rexavanje jednaqine x2 = a, a ≥ 0.Kvadratni koren
Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Pravilno definisati kvadratni koren kao nenegativan broj.
Razlikovati rexenje jednaqine x2 = a (dva rexenja) od broja√
a.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 12. do 16. strane.
Kao xto je opisano na 12. strani u�benika, uoqimo da zavisnood veliqine koju odre�ujemo, jednaqina x2 = 16 mo�e imati samojedno rexenje (x = 4, ako je x stranica kvadrata, koja mora bitipozitivna ) ili dva rexenja (x = 4 ili x = −4, ako se tra�i broj,jer je 42 = 16 i (−4)2 = 16).
Zatim, rexavamo jednaqinu x2 = a2 (12. i 13. strana), pa jed-naqinu x2 = a, a ≥ 0, u sluqajevima kad je a = k2. Usput rexavamoredom primere 2 i 3 (strane 13. i 14.).
Uvodimo pojam kvadratnog korena, kao na strani 14. u�benikai utvrdimo osobinu: za a ≥ 0 je (
√a)2 = a. Zatim, reximo primere
4 i 5.Uz ponavljanje nauqenih pojmova, reximo odabrane zadatke iz
date ve�be.
Doma�i zadatak Rexiti zadatke 1, 2, 3, 4, Ve�be sa 15. i 16.
strane (one koje nismo rexavali na qasu). Zatim, proqitati tekst”nije - nego” sa 16. strane. Rexiti iz zbirke zadatke 51 i 52.
24 Realni brojevi
5. QAS
Jednaqina x2 = a. Kvadratni koren Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Pravilno tumaqenje pojma korena (za a ≥ 0 je√
a = k, gde
je k ≥ 0 i k2 = a). Posebno obratiti pa�nju na sluqaj kada korennije definisan, tj. kad je potkorena veliqina negativna. Rexavamoi jednaqinu
√x = a.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 12. do 16. strane.
Ponovimo rexavanje jednaqine x2 = a2, (reximo zadatak 36 a),b), d), i)).
Ponovimo rexavanje jednaqine x2 = a, a ≥ 0 (reximo zadatak37 d), �), �)).
Ponovimo pojam kvadratnog korena (reximo zadatke: 45 a), b),v), e) i 46 v), �), e)).
Istaknemo da√
a nije definisana za a < 0 i to potvrdimo po-zivaju�i se na definiciju kvadratnog korena. Reximo zadatak 52.i zadatak 54 v), g).
Koriste�i se rastavljanjem brojeva na proste qinioce, rexa-vamo zadatak 54 v), g).
Istiqemo: iz definicije korena, za a ≥ 0 i k ≥ 0, iz√
a = k,sledi da je a = k2. Zatim, rexavamo zadatak 43 a), v), g), �), z).
Doma�i zadatak Zbirka: 37 g), z), i), j), 39 a), �), e), 41 a), 50,
53 a), �), e), 49 a), d), �).
Realni brojevi 25
6. QAS
Kvadratni koren. Jednakost√
a2 = |a|. Obrada
Frontalni rad Heuristiqko-dijaloxka metoda
Cilj Koriste�i se definicijom kvadratnog korena i definici-
jom apsolutne vrednosti, utvrditi da je√
a2 = |a|.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 16. do 18. strane.
Kao xto je opisano u u�beniku, utvrdimo da je√
a2 = a, ako jea ≥ 0, i
√a2 = −a, ako je a < 0. Ovo treba ilustrovati konkret-
nim primerima, kao xto je uqinjeno na 16. i 17. strani u�benika,ali tra�iti da i uqenici sami navode sliqne primere. Pita�emouqenike, da li ih dobijeni rezultati asociraju na neki odranijepoznati pojam. Ako sami ne uoqe analogiju sa apsolutnom vredno-x�u, treba ih navesti na to zahtevima da odrede, npr. | − 5| i dauporede sa
√| − 5|2 i sl. Navesti uqenike da samostalno zakljuqeda je
√a2 = |a|.
Zatim, rexavamo primere 1 i 2 sa 18. strane.Ponovimo nauqeni zakljuqak i rexavamo Ve�be sa 18. strane.
Preostale ve�be (koje nismo stigli da reximo na qasu) dati zadoma�i zadatak.
Doma�i zadatak (Jox i) Zbirka: 56, 58, 61, 62, 66, 68.
26 Realni brojevi
7. QAS
Iracionalni brojevi Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Izraqunavanjem decimalnog zapisa brojeva√
2 i√
3, ali ijox nekih, navesti uqenike na zakljuqak da ovi i jox mnogi kvadrat-ni koreni nisu racionalni brojevi. Uoqiti razliku u decimalnimzapisima racionalnih i iracionalnih brojeva.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 19. do 22. strane.
Kao xto je opisano na 19. i 20. strani u�benika, pokuxavamoda odredimo racionalni (decimalni) zapis brojeva
√2 i
√3. Pri-
ka�emo kako je Aristotel dokazao da√
2 nije racionalan broj. (Neinsistiramo da uqenici izvode takve dokaze). Bitno je da uqeniciuoqe i zapamte da
√2,
√3,
√5,
√6, . . . nisu racionalni brojevi. To
su iracionalni brojevi.Zatim, navodimo uqenike da sami zakljuqe da je decimalni za-
pis iracionalnog broja sa beskonaqno mnogo neperiodiqnih deci-mala. Zatim, rexavamo primer 1 sa 21. i 22. strane.
Ponovimo kako smo doxli do pojma iracionalnog broja. Zatim,rexavamo Ve�be sa 22. strane.
Doma�i zadatak Zbirka: 73, 74, 77.
Realni brojevi 27
8. QAS
Iracionalni brojevi Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Utvrditi pojam iracionalnog broja. Uoqiti da postoje ira-cionalni brojevi koji nisu kvadratni koreni, kao 2,0200200020 . . .
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 19. i 20. strana.
Ponovimo pojmove nauqene prethodnog qasa, kao xto je navede-no u tekstu Ukratko, na 19. strani zbirke. Zatim, rexavamo zada-tak 71 a) i b).
Ponovimo zakljuqak: ako racionalni broj k nije kvadrat ne-kog racionalnog broja, onda je
√k iracionalan broj, pa rexavamo
zadatak 74.Ponovimo zakljuqak o decimalnom zapisu iracionalnog broja,
pa reximo zadatak 72.Dalje rexavamo zadatke 79 a) i 80 a) i g).
Doma�i zadatak Zbirka: 78, 79, 80 i neobavezno (dobrovoljno)75 i 76.
28 Realni brojevi
9. QAS
Realni brojevi i brojevna prava. Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uoqiti da unija disjunktnih skupova racionalnih i iraci-onalnih brojeva odre�uje skup svih tzv. realnih brojeva. Pokazatida taqkama brojevne prave odgovaraju svi racionalni i svi iraci-onalni brojevi.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 22. do 27. strane.
Najpre uoqimo kako se kombinovanjem poznatih iracionalnihbrojeva sa racionalnim dobijaju novi iracionalni brojevi. Dakle,rexavamo primere 1 i 2 sa 23. strane.
Definixemo skup iracionalnih brojeva. Zatim, definixemoskup realnih brojeva.
Ponovimo ukratko kako se odre�uju taqke brojevne prave saracionalnim koordinatama. Onda, kao xto je opisano u u�beniku,prika�emo kako se na brojevnoj pravoj pribli�no odre�uju taqkesa koordinatama
√2 i
√3. Treba obavezno naglasiti da �emo ka-
snije videti kako se ove taqke odre�uju sasvim taqno, pa navestikao to mo�emo uqiniti za
√2 (primer 3). Uradimo primer 3, a
eventualno i konstrukciju du�i du�ine√
5, opisanu na strani 27.Rexavamo Ve�be date na kraju odeljka.
Doma�i zadatak Zbirka: 81 a), b), v), 82 a), b), v), 83, 84, 85, 86,87.
Realni brojevi 29
10. QAS
Decimalni zapis realnog broja.Pribli�na vrednost realnog broja. Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Podseti�emo se na pojam pribli�ne vrednosti (zaokruglji-
vanje decimalnih brojeva) i utvrditi kako se odre�uju pribli�ne(decimalne) vrednosti iracionalnih brojeva.
Osnovni tekstU�benik, od 28. do 30. strane i Zbirke, 6, 32. i 33. strana.
Tok qasaU V razredu nauqili smo kako se odre�uje pribli�na decimal-
na vrednost racionalnog broja, zaokrugljivanjem na odre�en brojdecimala. Sliqno postupamo i sa decimalnim zapisima iracio-nalnih brojeva. Navodimo sluqaj broja
√2, kao xto je opisano na
28. i 29. strani u�benika, uz odre�ivanje grexke zaokrugljivanja. Za-tim, navodimo kako se postupa kad je prva izostavljena decimalairacionalnog broja cifara 5. Onda, reximo primer 1.
Zatim, upoznajemo uqenike sa tablicama kvadratnih korena,koje su date u zbirci, na stranama 6, 32 i 33. Objasnimo kako sekoriste ove tablice i to potvrdimo rexavaju�i primer 2.
Na kraju, rexavamo redom Ve�be date na kraju odeljka. Preo-stale zadatke iz Ve�bi dajemo za doma�i zadatak.
Doma�i zadatak (Jox i) zbirka: 91, 97.
30 Realni brojevi
11. QAS
Decimalni zapis, pribli�na vrednost Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uve�bati odre�ivanje pribli�nih decimalnih zapisa ira-cionalnih brojeva i korix�enje tablica kvadratnih korena, kojesu date u Zbirci na 6, 32 i 33 strani.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 22. do 25. strane.
Uz podse�anje na pravila o zaokrugljivanju decimalnih zapisabrojeva, rexavamo zadatke 91 v), g), d), �).
Onda, prika�emo uputstvo za upotrebu tablica kvadratnihkorena. (Vidi tekst Ukratko na strani 23.). Onda, rexavamo za-datak 91 e) i �).
Zatim, rexavamo zadatke: 93 g), �), z), k), 94 a), d), �), 96 i100.
Ukoliko raspola�emo sa dovoljno vremena, rexi�emo zadatke95 b) i 98 b).
Doma�i zadatak 92, 93, 94, 95 i neobavezno (dobrovoljno) 99.
Realni brojevi 31
12. QAS
Raqunske operacije sairacionalnim brojevima Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Nauqi�emo kako se kvadratni koreni mno�e i dele. Na osno-
vu toga vrxi�emo delimiqno korenovanje (izvlaqenje qinioca is-pred korena), pa �emo sabirati i oduzimati sliqne korene.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 31. do 34. strane.
Rexavanjem primera 1, strana 31, dolazimo do pravila za ko-rene proizvoda i koliqnika:
Za a ≥ 0, b ≥ 0 je√
a · b =√
a · √b i
Za a ≥ 0, b > 0 je√
a
b=
√a√b.
Ova pravila se mogu primeniti i u obrnutom smislu. (Na pri-mer, va�i: za a ≥ 0 i b ≥ 0 je
√a · √b =
√a · b). To ponekad mo�emo
iskoristiti da uprostimo raqun sa korenima. Navodimo primer2, strana 32, a onda uoqavamo kako se koren mo�e uprostiti deli-miqnim izvlaqenjem ispred korena (tekst iza rexenja primera 2).Zatim, reximo primer 3.
Na kraju, rexavamo zadatke 1, 2, 3 Ve�bi sa 34. strane.Napomena. Tekst sa strane 33, o upore�ivanju korena ostavlja-
mo za 14 qas.
Doma�i zadatak 101, 102, 106 a), b), v), g), 108, 109.
32 Realni brojevi
13. QAS
Raqunske operacije sairacionalnim brojevima. Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uve�bati operacije mno�enja, delenja, sabiranja i oduzi-manja korena.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 25. do 28. strane.
Ponovimo pojmove i operacije, navedene u tekstu Ukratko, na25. strani zbirke, osim dva poslednja reda ovog teksta. Pritom,rexavamo redom odgovaraju�e zadatke: 101 �), e) i �), 102 v), g) ie). Zatim, rexavamo zadatke: 103. a), d), �), 104 a), b), e), 105 a),b), 107. a), b), v), 110. a), b), 111 v), �) i 114.
Doma�i zadatak 103 b), v), g), �), 104 g), d), �), 106 d), �), z),
i), 111 a), b), g), d), 112.
Realni brojevi 33
14. QAS
Raqunske operacije sairacionalnim brojevima Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Nauqi�emo upore�ivanje korena. Za one koji �ele da nauqevixe, prikaza�emo postupak racionalisanja iracionalnih imeni-laca.
Osnovni tekst U�benik, 33. i 34 i Zbirka 28. strana
Tok qasaSada i ubudu�e, parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Najpre ponovimo nauqeno, rexavaju�i zadatke iz zbirke, red-
om: 104 z), 106 e), �), 107 g), d), 110 e), 112 g), 113, 116.Zatim, poka�emo kako se porede koreni (tekst na 33. strani
u�benika, ispred primera 4 i rexavanje primera 4).Onda rexavamo zadatke 117 a) i 118 b) iz zbirke.Za one koji �ele da nauqe vixe, poka�emo postupak raciona-
lisanja imenioca (zeleno osenqen tekst ispred Ve�be).Reximo i zadatak 1. Dodatka (na dnu 28. strane) iz zbirke.
Doma�i zadatak 4. Zadatak iz Ve�bi sa 34. strane zatim, iz
zbirke zadaci: 117. 118 a), g), 119, 120. a neobavezno 2. i 3. izzbirke (dodatak, strana 29).
34 Realni brojevi
15. QAS
Osnovna svojstva operacijas realnim brojevima. Sistematizovanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uoqiti kako se zakoni raqunskih operacija, do sada prime-njivanih u skupu racionalnih brojeva, primenjuju na skupu realnihbrojeva
Osnovni tekst U�benik, 35. i Zbirka od 29. do 31. strane.
Tok qasaOsnovna svojstva (zakone) navodimo iz u�benika (36. strana)
ili iz Zbirke (tekst Ukratko na 29. strani). Obe osobine ilu-strujemo rexavaju�i iz zbirke zadatke redom: 121, 122.
Dalje, rexavamo primer 1 sa 35. strane u�benika, pa zatim izZbirke: 123 i 124.
Doma�i zadatak Zbirka: 126, 127, 128 i neobavezno 129.
Realni brojevi 35
16. QAS
Realni brojevi Obnavljanje
Rad u nehomogenim grupama Dijalog
Cilj Ukratko ponoviti osnovne osobine i pravila, radi pripre-me za kontrolnu ve�bu.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik i Zbirka, prva glava.
Nehomogene grupe qine po qetiri uqenika iz dve susedne klupe.Sve grupe rexavaju iste zadatke. Grupa koja rexi zadatak prija-vljuje se nastavniku. Kad svi (ili skoro svi) do�u do rexenja, na-stavnik izvodi na tablu jednog predstavnika jedne od grupa koji sunajbr�e rexili zadatak. Po pravilu, na tablu ne izlazi najboljiiz grupe. Nagrada za uspexno rexenje pixe se celoj grupi. Timese stimulixe timski rad.
Nastavnik zadaje jedan, po jedan zadatak. Slede�i zadaje, kadje prethodni rexen.
Izbor zadataka zavisi od procenjenog opxteg nivoa znanja uqe-nika u odeljenju.
Za osrednji nivo znanja, izbor zadataka mogao bi biti iz zbir-ke, redom: 27 v), 31, 49 �), 50 z), 66 b), 67, 98 a), 102 �), 111 g),112 v), 117 v).
Doma�i zadatak Zadaci iz RADNE SVESKE kontrolni i pi-smeni zadaci, prva kontrolna ve�ba.
36 Realni brojevi
17. QAS
Prva kontrolna ve�ba.(Realni brojevi) Kontrola znanja
Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima. Na listupixe ime uqenika, a ne ”grupa A”, ”grupa B” itd. To �e onemogu-�iti dogovaranja uqenika koji rexavaju iste zadatke.
Grupa A)
1. Koriste�i se rastavljanjem na proste qinioce doka�i da je7056 kvadrat nekog prirodnog broja n. Odredi n.
2. Rexi jednaqine: a) x2 = 0, 04; b)√
2x = 6.
3. Izraqunaj√
(√
3 − 2)2 − 2.
4. Izraqunaj (uprosti izraz): (7√
6 −√27 + 3
√3 − 2
√96) · √3.
5. Bez korix�enja tablica korena utvrdi da li je ve�i broj 3√
5ili broj 4
√3.
Grupa B)
1. Rastavljanjem na proste qinioce poka�i da je 11025 kvadratnekog prirodnog broja. Odredi taj prirodni broj.
2. Rexi jednaqinu: a) x2 = 614; b)
√0, 1x = 3.
3. Izraqunaj 5 −√
(√
5 − 5)2.
4. Izraqunaj (uprosti izraz): (√
8 −√150 + 3
√54 − 2
√2) :
√3.
5. Bez korix�enja tablica korena utvrdi koji je broj ve�i, 2√
5ili 3
√2.
Grupa V)
1. Rastavi na proste qinioce broj 5184 i utvrdi da on predsta-vlja kvadrat prirodnog broja. Kog broja?
2. Rexi jednaqine: a) x2 = 1, 69; b)√
3x = 0, 6.
3. Izraqunaj√
(1 −√3)2 + 1.
4. Izraqunaj (uprosti izraz): 15√
6 : (√
20 − 2√
12 + 3√
27 − 2√
5).5. Bez korix�enja tablica kvadratnih korena utvrdi da li je
ve�i broj −4√
3 ili broj −5√
2.
Realni brojevi 37
Grupa G)
1. Rastavljanjem na proste qinioce utvrdi da li je 15876 kvadratprirodnog broja. Ako jeste, odredi taj prirodni broj.
2. Rexi jednaqinu: a) (x + 5)2 = 49; b)√
10x = 16.
3. Izraqunaj√
(−2)2 −√
(√
2 − 2)2.
4. Izraqunaj (uprosti izraz): (√
28 + 3√
6 −√216 − 2
√7) :
√2.
5. Bez korix�enja tablica kvadratnih korena utvrdi xta je ve-�e, 9 ili 4
√5.
Grupa D)
1. Rastavi na proste qinioce broj 28224 i utvrdi da on pred-stavlja kvadrat prirodnog broja. Kog broja?
2. Rexi jednaqinu: a) 8 − 2x2 = 0; b)√
4x =23.
3. Izraqunaj 1 +√
(1 −√2)2.
4. Izraqunaj (uprosti izraz):√
2 · (2√48 − 3√
24 − 4√
12 +√
54).5. Bez korix�enja tablica kvadratnih korena utvrdi koji je broj
ve�i, −52√
63 ili −4, 5√
28.
38 Pitagorina teorema
18. QAS
Pitagorina teorema – dokaz Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Upoznavanje sa Pitagorinom teoremom. Izraqunavanje du-�ina kateta i hipotenuze korix�enjem Pitagorine teoreme.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 36. do 41. strane.
O navodnom otkri�u ove popularne teoreme postoji legendao kupatilu i podnim ploqicama, koje su pomogle Pitagori da ot-krije ovu osobinu. Ovu anegdotu svakako treba ispriqati na qasu(36. i 37. strana u u�beniku). Zatim, formulixemo teoremu (na 37.strani su dati i obrazlo�ene dve formule).
Dokaz teoreme (strana 37 i 38 u u�beniku) daje se u jednojod najjednostavnijih varijanti. Ne treba insistirati da uqeniciznaju dokaz. Mo�e se navesti interesantan podatak, da je poznatooko 400 dokaza ove teoreme. Interesantni su dokazi Euklida i DaVinqija, navedeni u zelenom boksu na 40. i 41. strani. (Uqenicimatreba preporuqiti da proqitaju ova dva dokaza).
Uoqavamo da je jednakost c2 = a2 + b2 veza izme�u tri strani-ce pravouglog trougla, koja omogu�ava izraqunavanje du�ine jed-ne stranice, ako su ostale dve poznate. To potvrdimo rexavanjemPrimera 1 sa 39. strane.
Zatim, radimo zadatke date za Ve�be na 39. i 40. strani u�be-nika.
Doma�i zadatak Zbirka, 131, 132, 133.
Pitagorina teorema 39
19. QAS
Pitagorina teorema Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uoqiti razne mogu�nosti primene Pitagorine teoreme radiizraqunavanja du�ina kateta ili hipotenuze uoqenih pravouglihtrouglova.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 34. do 37. strane.
Ponovimo osnovno tvr�enje Pitagorine teoreme, koje va�i zasvaki pravougli trougao. Formulaciju teoreme iskazuju uqenici,a nastavnik intervenixe u sluqaju pogrexke ili nepotpune for-mulacije. (Ako treba, nastavnik podse�a uqenika i na stihove izNuxi�eve ”Autobiografije”). Nastavnik insistira na isticanjutri praktiqne veze izme�u kateta i hipotenuze:
c2 = a2 + b2 a2 = c2 − b2 b2 = c2 − a2
Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 131 b) i v), 132 a) i g),133 a), 134, 139, 141 i eventualno 138.
Doma�i zadatak 135, 135, 137, 142, 144, 148, 151.
40 Pitagorina teorema
20. QAS
Obrnuta Pitagorina teorema Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-demonstrativna metoda
Cilj Uoqiti praktiqno znaqenje i va�nost obrnute Pitagorineteoreme. Insistirati na uoqavanju razlike u tvr�enju Pitagorinei obrnute Pitagorine teoreme.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 41. do 43. strane.
Ponovimo Pitagorinu teoremu. Insistiramo na isticanju ”uslo-va i posledica”: ako je trougao pravougli (ima prav ugao), onda jea2 + b2 = c2.
Nastavnik istiqe da su Egip�ani, Vavilonci, Kinezi, mnogopre Pitagorinog doba znali da su, na primer, trouglovi sa strani-cama du�ina 3, 4 i 5 (egipatski trougao) ili 5, 12 i 13, pravouglii uoqili su da je 32 +42 = 52, odnosno da je 52 +122 = 132 (tekst datna 41. strani u�benika).
Uvodimo pojam Pitagorinog trougla. Zatim, radimo 1. zadatakiz Ve�be sa 43. strane.
Pitamo uqenike da li oni znaju neki sliqan primer. Onda po-stavimo pitanje: ”Da li je pravougli svaki trougao u kojem va�ijednakost a2 + b2 = c2, gde su a, b, c du�ine stranica”?
Nastavnik nacrta trougao ABC u kome je a2 + b2 = c2 i odre-di taqku C1 kao na slici sa 42. strane. Istiqe da je, koriste�ise ovom slikom, Euklid dokazao navedeno tvr�enje. Uz eventualnupomo� nastavnika, uqenici doka�u ovu tvrdnju, pa urade primer 1i 2 sa 42. strane.
Zatim, nastavnik objasni xta se doga�a ako je a2 + b2 > c2 ilia2 + b2 < c2, gde je c najdu�a stranica. (tekst pri dnu 42. strane).Onda rexavamo zadatke 2 i 3 iz Ve�be.
Doma�i zadatak Zbirka, 156, 157, 158.
Pitagorina teorema 41
21. QAS
Obrnuta Pitagorina teorema Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Uoqiti praktiqne primene obrnute Pitagorine teoreme.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 38. i 39. strana.
Parovi se formiraju od uqenika koji sede u istoj klupi.Ponovimo tvr�enja Pitagorine i obrnute Pitagorine teoreme.
Uoqavamo bitnu razliku.Pitagorina teorema: ako trougao ima prav ugao naspram stra-
nice c, onda je a2 + b2 = c2.Obrnuta Pitagorina teorema: ako je a2 + b2 = c2, onda je na-
spram stranice c ugao prav.Ponovimo uslove za oxtrougli i pravougli trougao.Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 157 b), g) i d), 159, 161,
162, 164, 166.
Doma�i zadatak 160, 163, 165, 169.
42 Pitagorina teorema
22. QAS
Primena Pitagorine teoreme nakvadrat i pravougaonik. Obrada
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Uoqiti da dijagonala deli kvadrat (pravougaonik) na dvapravougla trougla i uspostaviti vezu izme�u du�ina stranica idijagonala.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 43. do 46. strane.
Parovi su uqenici koji sede u jednoj klupi.Uoqimo da dijagonala deli kvadrat na dva pravougla trougla.
(Nastavnik nacrta na tabli sliku kvadrata datu na 43. straniu�benika). Onda uqenici primene Pitagorinu teoremu i odrede
vezu d = a√
2 i, uz eventualnu pomo� nastavnika, vezu a =d√
22
.Zatim, rexavamo primere 1 i 2.Onda, nastavnik postavlja pitanje: ”Mo�emo li du�inu dija-
gonale pravougaonika izraziti preko du�ina njegovih stranica”?Uqenici prvo rexavaju na mestu, a onda jedan od njih demon-
strira na tabli dobijemo rexenje.Potom rexavamo primere 3 i 4.Pri kraju qasa ponovimo dobijene zakljuqke i eventualno re-
ximo neki od zadataka datih za Ve�bu.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 iz u�benika.
Pitagorina teorema 43
23. QAS
Kvadrat i pravougaonik Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Utemeljiti primenu Pitagorine teoreme na kvadrat i pra-vougaonik.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 40. do 42. strane.
Ponovimo vezu izme�u du�ine dijagonale i stranica pravouga-onika. Zatim, rexavamo zadatke: 171 (po izboru nastavnika), 176,177, 178.
Zatim, ponovimo vezu izme�u du�ine stranice i dijagonalekvadrata, pa rexavamo zadatke: 172 a), 173 b) i v), 174 a) 184.
Doma�i zadatak 171, 172 b), g), 173 a), 175, 181, 182, 188.
44 Pitagorina teorema
24. QAS
Primena Pitagorine teoreme na trougao. Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uoqiti vezu izme�u stranica jednakokrakog (jednakostra-
niqnog) trougla i odgovaraju�e visine. Posebno uoqiti veze iz-me�u stranica jednakokrakog pravouglog trougla i trougla kojipredstavlja polovinu jednakostraniqnog trougla.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 46. do 50. strane.
Ponovimo osnovnu i obrnutu Pitagorinu teoremu. Rexavanjemzadatka 148 iz Zbirke uka�emo na uobiqajenu primenu teoreme.
Nacrtajmo na tabli jednakostraniqni trougao, kao na 46. stra-ni u�benika i odredimo vezu izme�u a, h i P (46. i 47. strana uu�beniku). Reximo primer 1, pa pre�emo na odre�ivanje polupreq-nika upisane i opisane kru�nice (strana 48).
Zatim, reximo primere 2 i 3.Potom odredimo vezu izme�u du�ina osnovice, kraka i visine
na osnovici u proizvoljnom jednakokrakom trouglu (49. strana uu�beniku), pa reximo primer 4.
Onda, prouqimo pravougli jednakokraki trougao, kao xto jeizlo�eno na 49. i 50. strani u u�beniku, pa reximo primer 5.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 sa 50. strane u�benika.
Pitagorina teorema 45
25. QAS
Jednakostraniqni i jenakokraki trougao Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Posebno insistiramo na prepoznavanju jednakokrakog pra-
vouglog trougla (polovina kvadrata) i pravouglog trougla saoxtrim uglovima od 30◦ i 60◦ (polovina jednakostraniqnog tro-ugla).
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 42. do 45. strane.
Ponovimo veze uoqene u jednakostraniqnom trouglu (h, P , r iR izra�eno preko du�ine stranice), kao u tekstu Ukratko na 42.strani Zbirke.
Zatim, rexavamo zadatke 191 a) i g), 193 g).
Podsetimo se na vezu a =2h
√3
3u jednakostraniqnom trouglu,
pa reximo zadatke 192 a) i d) i 194.Onda rexavamo zadatke o proizvoljnom jednakokrakom troglu,
198 a) i 204 b).Ponovimo veze iz pravouglog jednakokrakog trougla i reximo
zadatke 195 b) i 196 a)Na kraju reximo zadatak 210.
Doma�i zadatak 192 v) i �), 193 a) i b), 196 v), 198 b) i v), 202,206, 211.
46 Pitagorina teorema
26. QAS
Primena Pitagorine teoreme naparalelogram i deltoid. Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Izraqunavanje du�ina dijagonala i visina paralalogramai dijagonala deltoida.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 51. do 54. strane.
Ponovimo osobine paralelograma.Kao xto je izlo�eno na strani 51, poka�emo kako visine para-
lelograma sa stranicama i dijagonalama odre�uju pravougle tro-uglove. Rexavanjem primera 1 poka�emo kako se tu koristi Pita-gorina teorema.
Zatim se podsetimo na osobine romba i izvedemo vezu izme�udu�ina dijagonala i stranice (strana 53. u u�beniku).
Reximo primer 2.Nacrtamo deltoid, uka�emo na osobine njegovih dijagonala i
pravougle trouglove koje one odre�uju.Rexavamo zadatke 1, 2, 3 iz Ve�be na kraju ovog odeljka.
Doma�i zadatak 216 a) i g), 219, 221 a), 227 a).
Pitagorina teorema 47
27. QAS
Paralelogram i deltoid Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Utvrditi primenu Pitagorine teoreme kod paralelogramai deltoida, a posebno kod romba.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 46. do 48. strane.
Ponovimo vezu a2 =(
d21
2
)2
+(
d22
2
)2
, koja karakterixe romb, pa
rexavamo zadatke: 216 b) i v), 217 a) i b), 218.Zatim, rexavamo zadatke 222 i 223, koji se odnose na proiz-
voljni paralelogram.Ponovimo osobine deltoida i rexavamo zadatke 228 i 227 b).
Doma�i zadatak 217 v) i g), 221 b) i v), 220, 224, 227 v).
48 Pitagorina teorema
28. QAS
Pitagorina teorema i trapez Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Na osnovu poznavanja primene kod trougla i paralelograma,primeniti Pitagorinu teoremu na trapez.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 55. do 57. srtane.
Podsetimo se kako se trapez razla�e na paralelogram i trou-gao. Uoqimo da se razlaganjem jednakokrakog trapeza dobija i jed-nakokraki (mogu�e jednakostraniqni) trougao, a kod pravouglogtrapeza imamo pravougli trougao. Na slikama kao xto su na 54. i55. strani u�benika, uoqavamo jox i pravougle trouglove kojima jevisina trapeza jedna kateta, a hipotenuza je krak ili dijagonala.Rexavanjem najpre primera 1 i 2, a zatim Ve�bi 1, 2, 3, 4 sa 56.strane, uqenici samostalno otkrivaju kako se Pitagorina teoremakoristi kod trapeza.
Doma�i zadatak 231 a), 232 b), 237 a) 240, 242.
Pitagorina teorema 49
29. QAS
Pitagorina teorema i trapez Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Utemeljiti primenu Pitagorine teoreme kod trapeza, a po-sebno kod jednakokrakog trapeza.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 48. do 50. strane.
Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Ponovimo osobine trapeza. Podsetimo se da je srednja lini-
ja trapeza paralelna osnovicama i jednaka poluzbiru osnovica.Ponovimo i formulu za povrxinu trapeza (tekst Ukratko na 48.strani).
Rexavamo zadatke iz zbirke: 231 b), 233 b) i v), 234, 236, 239,243.
Doma�i zadatak 232 a), 233 g), 235, 244.
50 Pitagorina teorema
30. QAS
Pitagorina teorema Sistematizovanje
Rad u nehomogenim grupama Dijalog
Cilj Povezati znanje o primeni Pitagorine teoreme na trouglovei qetvorouglove.
Osnovni tekstU�benik, od 36. do 56. i Zbirka od 34. do 50. strane.
Tok qasaNehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.Izabrati karakteristiqne zadatke iz primene Pitagorine te-
oreme, sa te�ixtem na one delove za koje nastavnik misli da sumanje uspexno savladane od strane uqenika.
Radi se na naqin uobiqajen za nehomogene grupe. (Videti tekstpripreme za 16. qas.)
Predlog izbora zadataka za ovaj qas: 135, 136, 140, 152, 169,175, 183, 211, 207, 229, 241, 246.
Doma�i zadatak zadaci iz RADNE SVESKE, kontrolni i pis-meni zadaci, druga kontrolna ve�ba.
Pitagorina teorema 51
31. QAS
Druga kontrolna ve�ba(Pitagorina teorema) Kontrola znanja
Grupa A)
1. Prema podacima sa slike levo odredi du�inu du�i AD = x.
2. Prema podacima sa slike desno poka�i da je KLM pravouglitrougao.
3. Izraqunaj povrxinu paralelograma ABCD, ako je BC = 29 cm,AC = 52 cm i visina koja odgovara stranici AB je 20 cm.
4. Izraqunaj povrxinu jednakokrakog trapeza kome je krak 25 cm,manja osnovica 11 cm i visina 24 cm.
Grupa B)
1. Prema podacima sa slike levo odredi du�inu du�i x = BD.
2. Na slici desno su oznaqene du�i KL, KN , LN i MN . Odredidu�inu du�i x = KM .
3. Izraqunaj obim i povrxinu pravougaonika kome je dijagonala58 cm i jedna stranica 4 dm.
4. Osnovice trapeza su 14 cm i 46 cm, a uglovi na jednoj osno-vici su 45◦. Izraqunaj povrxinu i du�inu dijagonale ovogtrapeza.
52 Pitagorina teorema
Grupa V)
1. Prema podacima sa leve slike, odredi du�inu du�i CB = x.
2. Na osnovu podataka sa slike desno, poka�i da je �MNP = 90◦.
3. Izraqunaj obim kvadrata koji ima istu povrxinu kao pra-vougaonik sa stranicom du�ine 15 cm i dijagonalom du�ine25 cm. Raqunaj na dve decimale.
4. Izraqunaj povrxinu trapeza kome su uglovi na jednoj osnovi-ci 60◦, krak je du�ine 26 cm, a zbir osnovice je 34 cm.
Grupa G)
1. Du�ina stranice AB trougla ABC na slici levo je 25. Premapodacima sa slike odredi du�inu du�i x = AC.
2. Prema podacima sa desne slike, izraqunaj povrxinu trouglaKLM .
3. Na stranici BC kvadrata ABCD data je taqka P , takva da jeAP = 1 dm i �BAP = 30◦. Kolika je povrxina kvadrata?
4. Osnovice jednakokrakog trapeza su 28 cm i 1 dm, a krak jedu�ine 41 cm. Kolika je povrxina trapeza?
Pitagorina teorema 53
Grupa D)
1. Prema podacima sa leve slike, odredi du�inu du�i AC.
2. Izraqunaj povrxinu trougla KLM na slici desno. Broj√
3raqunaj na dve decimale.
3. Romb obima 1 metar ima dijagonalu du�ine 14 cm. Kolika jepovrxina romba?
4. Jednakokraki trapez ima krak du�ine 34 cm. Ako je ve�a osno-vica du�ine 5 dm i visina 3 dm kolika je povrxina?
54 Pitagorina teorema
32. QAS
Konstrukcija primenomPitagorine teoreme Obrada
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruisa�emo du�i
qije se du�ine izra�avaju iracionalnim brojevima oblika√
3,√
5,√6 i sl.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 57. do 61. strane.
Najpre se podsetimo kako smo u odeljku 1.5 konstruisali du�iqije su du�ine
√2 i
√5. Zatim, navodimo uqenike da uoqe da ove
du�i predstavljaju hipotenuze trouglova sa celobrojnim du�inamakateta, kao xto je opisano na 57. strani u�benika. Onda konstrui-xemo na tabli trougao kome je jedna kateta du�ine 1 i hipotenuzadu�ine 2. Uqenici izraqunavaju du�inu druge katete (tre�a slikana strani 57).
Zatim, rexavamo primere 1, 2, 3, 4, 5, 6, iz u�benika. Svakorexenje objaxnjavaju uqenici, uz eventualnu malu pomo� nastavni-ka.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 sa 61. strane u�benika.
Pitagorina teorema 55
33. QAS
Konstrukcije (Pitagorina teorema) Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Utvrditi primenu Pitagorine teoreme pri konstruisanjukorena i kvadrata datih du�i.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 50. do 51. strane.
Podsetimo se na konstrukcije koje smo rexavali prethodnogqasa i rexavamo zadatke iz Zbirke : 251 (deo), 252 (deo), 254, 256,258 a) i b).
Doma�i zadatak Preostali zadaci iz 251. i 252, zatim, zadaci253, 257, 259.
56 Celi i racionalni algebarski izrazi
34. QAS
Stepen sa prirodnim izlo�iocem Obrada
Frontalni rad Heuristiqko-dijaloxka metoda
Cilj Prouqavanje osobina stepena racionalnih brojeva. Poseb-no obratiti pa�nju na stepene brojeva 0, 1, −1, 2 i 10. Objasnitiulogu stepena osnove 2 i osnove 10 u savremenom �ivotu.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 62. do 67. strane.
Stepen se definixe kao proizvod jednakih qinilaca. Oznaka an
je skra�eni zapis ”entog stepena” broja a, i to
a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n qinilaca
= an
Broj a je osnova, a n je izlo�ilac. Usvajamo jox da je a1 = a.Na poqetku qasa uqenici izraqunavaju razne date stepene. (Re-
xavamo primere 1 i 2.Zatim, uoqavamo stepene nule i brojeva 1 i −1, strana 64. u�be-
nika. Na istoj strani je primer 3, u kome se uoqava kako vrednoststepena an zavisi od uslova |a| < 1 ili |a| > 1.
Posle toga razmatramo stepene broja 10 i specifiqno odre-�ivanje ”reda veliqine” broja, kao i poseban naqin zapisivanjavelikih brojeva (sa mnogo cifara). Sve to je opisano na 65. i 66.strani u�benika.
Na kraju (strana 66.) objaxnjavamo (uz maksimalnu interak-ciju uqenika) ulogu stepena broja 2 u registrovanju kapacitetamemorije raqunara. Onda rexavamo primer 5.
Doma�i zadatak Ve�be sa 67. strane. Treba proqitati tekst podnaslovom ”Zapamti”!
Celi i racionalni algebarski izrazi 57
35. QAS
Stepen sa prirodnim izlo�iocem Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Uqvrstiti znanje o stepenima.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 52. do 54. strane.
Ponovimo nauqene osobine stepena (rekst Ukratko na 52. stra-ni).
Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 261, 262, 263, 264 a), v),d), e) i z), 265 a), 273, 275 a) i v).
Doma�i zadatak 264 b), g), �), i), 265, 266, 268, 270, 272.
58 Celi i racionalni algebarski izrazi
36. QAS
Operacije sa stepenovima Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Nauqiti kako se mno�e, dele i sabiraju stepeni istih os-nova.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 67. do 71. strane.
Ponovimo definiciju stepena. Onda nastavnik zadaje proiz-vod dva stepena iste osnove, kao na 67. strani u�benika. Na krajuuqenici samostalno izvode zakljuqak da je am · an = am+n. Ondarexavamo primere 1 i 2.
Zatim, sliqno prethodnom, uz vo�enje od strane nastavnika,uqenici otkrivaju pravilo: za a �= 0 i m > n je am : an = am−n iam : am = 1. (Vidi 68. stranu u�benika). Onda, reximo primer 3.
Sabiranje i oduzimanje stepene zahteva posebnu pa�nju, jer sene mogu sabrati bilo koja dva stepena. (Pratimo tekst na 69. i 70.strani u�benika.)
Reximo primere 4 i 5.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2 i 3 sa 70. i 71. strane.
Celi i racionalni algebarski izrazi 59
37. QAS
Operacije sa stepenovima Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Tehniku mno�enja, deljenje i sabiranja stepena dovesti nazadovoljavaju�i nivo.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 55. do 57. strane.
Ponovimo tekst Ukratko sa 55. strane. Zatim, rexavamo za-datke iz zbirke: 276, 277, 278 a), b), 279 v) i g).
Zatim, rexavamo zadatak 284 a). Pritom koristimo i defini-ciju kvadrata broja. Raqunamo:((
12
)3
· 0, 52
)2
:14
=
((12
)3
· 0, 52
)·((
12
)3
· 0, 52
):
14
itd.Podsetimo se kakvi stepeni mogu da se saberu, pa reximo za-
datke 287 i 288.
Doma�i zadatak 278 v) i g), 279 a) i b), 280, 281, 283, 284 b),289.
60 Pismeni zadatak
38. QAS
Pripreme za prvi pismeni zadatak Obnavljanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uputiti uqenike na obnavljanje onog gradiva koje �e bitiobuhva�eno prvim pismenim zadatkom.
Osnovni tekst U�benik i Zbirka, prva i druga glava.
Tok qasaPosle zavrxene obrade teme REALNI BROJEVI, nastavnik
analizira efekate nastave i nivo znanja uqenika, posebno za sva-ko odeljenje. To isto qini i kada zavrxi sa obradom teme PITA-GORINA TEOREMA. Posebno analizira rezultate prve i drugekontrolne ve�be. Na osnovu donetih zakljuqaka planira sadr�ajovog qasa. Te�ixte rada bi�e one teme i tehnike u kojim su uqe-nici manje postigli u dosadaxnjem radu.
Pri izboru zadataka za ovaj qas nastavnik vodi raquna da sene udaljava od sadr�aja zadataka koje je pripremio za prvi pisme-ni zadatak. Izbor zadataka je takav da uqenike usmeri ka pravimpripremema za pismeni zadatak.
Veliku pomo� predstavlja RADNA SVESKA, kontrolni i pi-smeni zadaci, pa uqenike treba uputiti da (za doma�i rad) ve-�baju odgovaraju�e zadatke iz ove knjige.
Doma�i zadatak Zadaci iz RADNE SVESKE, kontrolni i pi-smeni zadaci, prvi pismeni zadatak.
Pismeni zadatak 61
39. QAS
Prvi pismeni zadatak Kontrola znanja
Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima. Od petzadataka, po jedan je ra�en u xkoli, dat za doma�i zadatak, uzetiz Zbirke i iz Radne sveske.
Napomena. Nastavnik dozvoli uqenicima da koriste tablicekvadratnih korena iz Zbirke zadataka, najvixe 5 minuta, dovoljnoda na�u korene za ona tri broja koja imaju u 1. zadatku.
Grupa A)
1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale
√107 − 2
√8, 57 + 15
√0, 0924.
2. Izraqunaj vrednost izraza√
(1 +√
2)2 −√
(1 −√2)2.
3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat po-vrxine 10 cm2. Zatim, koriste�i se dobijenom slikom, kon-struixi kvadrat povrxine 20 cm2.
4. Romb ima jedan unutraxnji ugao od 30◦. Ako mu je obim 88 cm,kolika mu je povrxina?
5. Odredi povrxinu i obim pravouglog trapeza, kome su kraci28 cm i 53 cm i ve�a dijagonala 10 dm.
Grupa B)
1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale 6
√0, 73 − 25
√0, 0743 +
√792.
2. Izraqunaj vrednost izraza√
3 +√
(1 −√3)2 −
√(3 − 2
√3)2.
3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom, konstruixi kvadrat po-vrxine 17 cm2. Zatim, koriste�i se dobijenom slikom kon-struixi kvadrat povrxine 8,5 cm2.
4. Taqka M je sredixte stranice AB kvadrata ABCD. Na stra-nici AD data je taqka N , takva da je AN = 2DN . Ako je MN =1 dm, koliki je obim kvadrata ABCD?
5. Pravougli trapez ima dijagonale du�ina 13 cm i 2 dm. Akomu je jedna osnovica du�ine 16 cm, kolika je povrxina?
62 Pismeni zadatak
Grupa V)
1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale√
0, 0083 − 2√
475 + 7√
8, 53.2. Izraqunaj vrednost izraza
2√
12 − 2√
8 −√48 +
12√
32 + 2√
9.
3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat po-vrxine 15 cm2. Zatim, nacrtaj kvadrat stranice 2 cm. Kori-ste�i ova dva nacrtana kvadrata, konstruixi tre�i kvadratpovrxine 19 cm2.
4. Na osnovu podataka sa slike
izraqunaj povrxinu paralelograma ABCD.5. Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trapeza, kome je ve�a
osnovica 9 cm, ve�a dijagonala 15 cm i ve�i krak 13 cm.
Grupa G)
1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale
√208 + 3
√0, 0793 − 9
√5, 04.
2. Izraqunaj vredost izraza√(2√
3 − 3√
2)2 +√
(−4√
3)2 +(√
3√
2 − 2√
3)2
.
3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat po-vrxine 13 cm2, pa koriste�i se dobijenom slikom konstruixiivadrat povrxine 26 cm2.
4. Normala iz temena B pravougaonika ABCD na dijagonalu ACdeli ovu dijagonalu na odseqke du�ine 32 cm i 18 cm. Izra-qunaj povrxinu i obim pravougaonika.
5. Uglovi na manjoj osnovici trapeza su po 135◦. Jedan krak imadu�inu 10
√2 cm, a manja osnovica je 10 cm. Kolika je povr-
xina trapeza?
Pismeni zadatak 63
Grupa D)
1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale 20
√0, 0814 − 6
√0, 07 + 3
√230.
2. Izraqunaj vrednost izraza 3√
8 − 2√
27 + 3√
12 − 5√
18.3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom, konstruixi kvadrat po-
vrxine 7 cm2. Zatim, koriste�i se dobijenom slikom, konstru-ixi kvadrat povrxine 14 cm2.
4. Na osnovu podataka sa slike, izraqunaj povrxinu datog pra-vougaonika.
5. Najve�i ugao pravouglog trapeza je 120◦. Ako je du�i krak8 cm i kra�a dijagonala 13 cm, izraqunaj povrxinu i obimtrapeza. Raqunaj
√3 = 1, 73.
64 Pismeni zadatak
40. QAS
Ispravka prvog pismenog zadatka Sistematizovanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Ukazivanje na sistemske i pojedinaqne karakteristiqne gre-xke, uz pouku.
Tok qasaNastavnik javno analizira postignute rezultate. Ukoliko je
bilo masovnih grexaka, ukazuje na njih i na potrebu i naqin is-pravljanja grexaka. Zatim, istiqe i druge karakteristiqne pojedi-naqne grexke, ne imenuju�i ko ih je naqinio.
Pohvala daje pozitivne i blagotvorne efekte, pa treba isko-ristiti svaku priliku da se neke pozitivne qinjenice istaknu iuqenici pohvale.
Onda se komentari ilustruju rexavanjem zadataka na xkolskojtabli. Treba rexiti svih pet zadataka, koje biramo iz raznih gru-pa.
Celi i racionalni algebarski izrazi 65
41. QAS
Stepen proizvoda, koliqnika i stepena Obrada
Frontalni rad Heuristiqko-dijaloxka metoda
Cilj Koriste�i se definicijom stepena izvesti pravila za ste-penovanje proizvoda, koliqnika i stepena.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 71. do 74. strane.
Na poqetku qasa ponovimo: definiciju stepena, mno�enje i de-ljenje stepena istih osnova.
Koriste�i se dosadaxnjim saznanjima uqenika, nastavnik na-vodi uqenike da sami izvedu pravilo za stepen proizvoda: (a · b)n =an · bn. (Videti tekst na 71. strani u�benika.)
Zatim, izvodimo zakljuqak da va�i i obrnuta jednakost, tj. daje an · bn = (a · b)n. Kao xto je opisano na 71. strani u�benika, po-ka�emo kako se primenom obrnutog pravila pojednostavi proizvod0, 46 · 2, 56.
Zadr�avaju�i inicijativu, nastavnik navodi uqenike da izvo-
de i pravilo: za b �= 0 je(a
b
)n=
an
bn, odnosno (a : b)n = an : bn, ali i
an : bn = (a : b)n.Usput rexavamo primere 1, 2 i 3.Zatim, izvodimo pravilo za stepenovanje stepena, (am)n = am·n
i obrnuto pravilo: amn = (am)n = (an)m. Onda, rexavamo primere4 i 5.
Ukoliko je preostalo vremena do kraja qasa, nastavnik demon-strira nejednakosti iz boksa pod naslovom ”xta je ve�e”, s krajaodeljka. U protivnom, preporuqi uqenicima da to sami proqitaju.
Doma�i zadatak Ve�be, 1, 2, 3, 4 sa 74. strane i iz zbirke za-daci 296 i 303.
66 Celi i racionalni algebarski izrazi
42. QAS
Stepen proizvoda, koliqnika i stepena Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Utemeljiti nauqene operacije sa stepenima.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 57. do 61. strane.
Ponovimo pravila za stepenovanje proizvoda, koliqnika i ste-pena, kao i obrnuta pravila.
Onda rexavamo zadatke iz zbirke: 291, 292, 293,294. Ukolikoje zadovoljan kvalitetom znanja koje pokazuju uqenici, nije neop-hodno da se na tabli rexavaju sve varijante ovih zadataka (od a)do �)).
Zatim, rexavamo zadatke 297 i 299.Onda, rexavamo ”usmeno” zadatak 309.
Doma�i zadatak 295, 296, 298, 300, 308, 310.
Celi i racionalni algebarski izrazi 67
43. QAS
Algebarski izrazi Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Upoznati vrste i naqin formiranja algebarskih izraza.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 75. do 78. strane.
Kao xto je opisano na 75. i 76. strani, definixemo kako seformira algebarski izraz. U formiranju algebarskih racionalnihizraza uqestvuju iskljuqivo racionalni brojevi, a od raqunskihoperacija samo sabiranje, oduzimanje, mno�enje i deljenje. Sve toilustrujemo u primeru 1.
Izrazi s promenljivim veliqinama dobijaju razne vrednosti,za razne vrednosti promenljivih. Prilikom izraqunavanja vredno-sti izraza, poxtujemo redosled izlaganja.
Reximo na tabli primere 2 i 3.Onda, uqenici sastave nekoliko racionalnih algebarskih iz-
raza i raqunaju njihove vrednosti.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 sa 78. strane.
68 Celi i racionalni algebarski izrazi
44. QAS
Algebarski izrazi Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Izraqunavanje vrednosti racionalnih algebarskih izraza.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 61. do 63. strane.
Ponovimo: pojam i formiranje racionalnih algebarskih izra-
za. Nastavnik na tabli napixe, na primer, a, x, −3,25, b, 0, 2 i
tra�i od uqenika da svaki sastavi po jedan racionalni izraz, kom-binovanjem najmanje tri od napisanih brojeva.
Zatim, rexavamo iz zbirke zadatke: 316, 317, 318.Ponovimo kako se odre�uju brojevne vrednosti racionalnih iz-
raza sa promenljivim veliqinama, pa rexavamo zadatke: 319, 320,321.
Doma�i zadatak 322, 323, 324.
Celi i racionalni algebarski izrazi 69
45. QAS
Celi algebarski izrazi - polinomi Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Upoznavanje sa pojmom polinoma i naqinom formiranja po-linoma. Posebnu pa�nju posve�ujemo monomima, jer se operacije sapolinomima svode na operacije sa monomima.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 78. do 82. strane.
Polinom se definixe kao racionalni izraz bez deljenja pro-menljivom veliqinom, kao xto je opisano na 78. strani u�benika.
Rexavamo primer 1.Onda, definixemo monom i opixemo naqin na koji se formi-
ra monom. Zatim, koriste�i se pojmom monoma definixemo binom,trinom itd.
Rexavamo primer 2 i 3.Dalje. Pa�nju fokusiramo na monome. Definixemo pojmove: ko-
eficijent, promenljivi(glavni) deo monoma, stepen monoma i sliq-ni monomi. Tom prilikom reximo primer 4.
Sliqni monomi se sabiraju. Zbir dva sliqna monoma je njimasliqan monom ili broj nula. Navodimo primere, kao na 81. straniu�benika.
Jasno definixemo zbir sliqnih monoma (sabiraju se samo ko-eficijenti). Nesliqni monomi se ne sabiraju.
Oqigledno je da zbir dva monoma ne mora biti binom, pa sebinom definixe kao zbir dva nesliqna monoma.
Rexavamo usput primer 5.
Doma�i zadatak Ve�be sa 82. strane i zadaci iz zbirke: 326,327, 328, 329.
70 Celi i racionalni algebarski izrazi
46. QAS
Polinom Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Bli�e upoznavanje sa monomima. Pojam kanoniqnog oblikamonoma.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 63. do 66. strane.
Ponovimo pojam polinoma, posebno pojam monoma. Zatim, pono-vimo pojam koeficijenta i primenljivog dela monoma, kao i sliqnemonome.
Rexavamo zadatke 327 i 329.Onda, ponovimo pojam stepena monoma i rexavamo zadatke 331,
332, 340.Ponovimo sabiranje monoma, pa reximo zadatak 330.Po definiciji, proizvod dva monoma je monom. Kad se izvrxi
mno�enje svih odgovaraju�ih promenljivih (po pravilu za mno�enjestepena istih osnova) dobija se tzv. kanoniqni oblik monoma.
Rexavamo zadatak 333.
Doma�i zadatak 334, 335, 336, 337, 338.
Celi i racionalni algebarski izrazi 71
47. QAS
Polinomi – sre�eni oblik Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Sticanje navike da se polinomi zapisuju po opadaju�im ilipo rastu�im stepenima promenljivih, poxto se prethodno saberusliqni monomi.
Osnovni tekstU�benik, 83. i 84. strana, Zbirka, 66. i 67. strana.
Tok qasaPonovimo pojmove: sliqni monomi, zbir sliqnih monoma i ste-
pen monoma. Monom bez promenljive nazivamo slobodnim qlanompolinoma.
Monom sa najvixim stepenom u datom polinomu odre�uje stepentog polinoma.
Kao xto je navedeno na 83. strani u�benika, polinom je sre�enako nema sliqnih monoma, a qlanovi su slo�eni redom po opadaju-�im ili po rastu�im stepenima.
Zatim, reximo primer 1, pa zadatke 1 i 2. iz Ve�be na 84.strani.
Na kraju rexavamo zadatak 343 iz zbirke.
Doma�i zadatak 341, 342, 344, 345.
72 Celi i racionalni algebarski izrazi
48. QAS
Sabiranje i oduzimanje polinoma Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Budu�i da je, po definiciji, zbir dva polinoma opet poli-nom, bavimo se sre�ivanjem zbira polinoma.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 84. do 86. strane.
Ponovimo, po definiciji polinoma, ako su P i Q polinomionda su P +Q, P −Q, −P +Q i −P −Q tako�e polinomi. Prema to-me, sabiranje polinoma P i Q izvodimo tako xto sredimo polinomP + Q. Nastavnik navodi uqenike da sve zakljuqke o sabiranju po-linoma samostalno uoqe i definixu. Navodimo i pojam suprotnihpolinoma. Razliku polinoma P i Q definixemo kao zbir polinomaP sa polinomom −Q, koji je suprotan polinomu Q. (Sve ovo izlo-�eno je u u�beniku na 84. i 85. strani).
Rexavamo primere 1 i 2.Budu�i da su qlanovi polinoma racionalni brojevi, to za sa-
biranje polinoma va�i zakoni komutativnosti, asocijativnosti i
P + (−P ) = 0.
(Videti 86. stranu u u�beniku.)Rexavamo primer 3 sa 86. strane.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, strana 86.
Celi i racionalni algebarski izrazi 73
49. QAS
Sabiranje i oduzimanje polinoma Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Uve�bavanje tehnike sre�ivanja zbira i razlike polinoma.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 67. do 69. strane.
Ponovimo stav koji sledi iz definicije da je zbir dva poli-noma polinom (a tako�e i razlika dva polinoma). Insistiramo dase dobijeni zbir ili razlika doveve na sre�eni oblik.
Rexavamo iz zbirke zadatke: 346, 347, 348.Zatim, rexavamo zadatak: 349, pa 352.
Doma�i zadatak 350, 353, 555 a) i b).
74 Celi i racionalni algebarski izrazi
50. QAS
Stepeni i polinomi Sistematizovanje
Rad u nehomogenim grupama Dijalog
Cilj Priprema za kontrolnu vr�bu .
Osnovni tekstU�benik, od 62 do 86. i Zbirka od 52. do 69. strane.
Tok qasaRadi se na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama.
Izbor zadataka se menja od odeljenja do odeljenja. Nastavnik birakarakteristiqne zadatke, najmanje po dva za svaki odeljak. Zadacise obavezno rexavaju na mestu (kolektivno - po grupama) i rexenjademonstriraju na tabli pojedinci koje odabere nastavnik.
Uqenike treba podsetiti da ponove nastavnu temu ”Konstruk-cije primenom Pitagorine teoreme ”, jer �e na kontrolnoj ve�bijedan zadatak biti iz te oblasti.
Doma�i zadatak Odgovaraju�i zadaci iz RADNE SVESKE, ”kon-trolni i pismeni zadaci”, tre�a kontrolna ve�ba.
Celi i racionalni algebarski izrazi 75
51. QAS
Tre�a kontrolna ve�ba (Pitagorinateorema, stepeni, polinomi) Kontrola znanja
Grupa A)
1. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi du� qija jedu�ina
√7 cm.
2. Izraz(214 · 64) : (16 · 28)
(128 · 24) : 25napixi kao stepen sa osnovom 2.
3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj125n+2
5n · 25n+1.
4. Odredi vrednost izraza A =x − 2x2 + 5
x2 − 4, za x = 3 i za x = 2.
5. Ako je A = 5a4 − 8a3b + 2a2b2 − 4ab3 − b4, B = a4 + 3a3b − 5a2b2 −2ab3−2b4 i C = −4a4−5a3b−7a2b2−10ab3−5b4, odredi polinomA + B − C.
Grupa B)
1. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi du� qija jedu�ina
√10 cm.
2. Izraz(38 · 32) : 81
(34 : 3) · (310 : 39)napixi u obliku stepena sa osnovom 3.
3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj 4 · 0, 5n−5 · 12 ·(
12
)8−n
.
4. Izraqunaj vrednost izraza B =x2 + 23 − x
, za x = −1 i za x = 3.
5. Ako je A = 5x3 − 4x2 − 7x + 10, B = −3x3 + 3x2 − 13x + 2 iC = x3 − x2 − 12x + 12, odredi polinom C − A − B.
76 Celi i racionalni algebarski izrazi
Grupa V)
1. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi du� qija jedu�ina
√8 cm.
2. Izraz (322 ·25)3 : (512 ·24)3 napixi u vidu stepena sa osnovom 2.
3. Ako je n prirodni broj izraqunaj(2n+2)3
(2n+1)2 · 2n.
4. Izraqunaj vrednost izraza B =3x
x2 − 1za x = −2 i za x = 1.
5. Ako je A = 5a4 − 8a3b + 2a2b2 − 4ab3 − b4, B = a4 + 3a3b − 5a2b2 −6ab3−2b4 i C = −4a4 +5a3b−7a2b2 +10ab3−5b4, odredi polinomA − B + C.
Grupa G)
1. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi du� qija jedu�ina
√18 cm.
2. Izraz(272 · 3)5 · 93
(813 · 32)2napixi u obliku stepena sa osnovom 3.
3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj8n+2 · (4n+1)2
16n−1 · (2n+2)3.
4. Izraqunaj vrednost izraza G =x + 74 − x2
za x = −2 i x = 3.
5. Ako je A = 7a3 + 10a2 − 9a − 13, B = 5a3 − 2a2 + 6a − 8 i C =5a2 − 4a3 − 3a − 4, odredi polinom A + B − C.
Grupa D)
1. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi du� qija jedu�ina
√20 cm.
2. Izraz(26 · 32)4 · 43
(45 · 26)2 · 64 napixi u obliku stepena sa osnovom 4.
3. Ako je n prirodni broj izraqunaj9n+1 · 27n · (3n+2)3
(81n+1)2.
4. Odredi vrednost izraza D =1 + x2
x2 + 2x, za x = 0 i za x = 3.
5. Ako je A = 5a4 − 8a3b + 2a2b2 − 4ab3 − b4, B = a4 + 3a3b − 5a2b2 −6ab3 − 2b4 i C = 4a4 + 5a3b + 7a2b2 + 10ab3 − 5b4, odredi polinomB + C − A.
Celi i racionalni algebarski izrazi 77
52. QAS
Mno�enje polinoma Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Mno�enje polinoma svesti na mno�enje i sabiranje monoma.Pravilo ”svaki qlan sa svakim” dokazati geometrijski.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik od 87. do 90. strane.
Podsetimo se na mno�enje monoma, pa reximo Primer 1. Zatimse podsetimo na distributivnost mno�enja u odnosu na sabiranje ioduzimanje. Uqenici samostalno zakljuquju kako se polinomi mno-�e monomima. Reximo primer 2. i definixemo pravilo mno�enjapolinoma monomom. (Vidi tekst na 87. i 88. strani u�benika.)
Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli sliku sa 88. strane, kojaprikazuje pravougaonik dimenzija (a + b) i (c + d). Koriste�i sejednakox�u povrxina, uqenici (ili nastavnik) dokazuju teoremu omno�enju dva binoma:
(a + b)(c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.
Iz toga se formulixe pravilo ”svaki sa svakim” za mno�enjedva polinoma.
Reximo primer 3.Budu�i da su vrednosti polinoma racionalni brojevi, za mno-
�enje polinoma va�i zakon komutativnosti, asocijativnosti i di-stributivnosti u odnosu na sabiranje i oduzimanje (strana 89.u�benika)
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, i 3, sa 89. i 90. strane.
78 Celi i racionalni algebarski izrazi
53. QAS
Mno�enje polinoma Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Utvrditi operaciju mno�enja polinoma.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 69. do 71. strane.
Ponovimo pravilo o mno�enju monoma, polinoma monomom i dvapolinoma.
Rexavamo zadatke 356 a), b), v) i g), 357 a), 358 b) v) i d), 360a) i g), 364.
Doma�i zadatak 356 d), �), e) i �), 357 b) i v), 360 b) i v),
361 �), 363 a), 365 a), 367 a).
Celi i racionalni algebarski izrazi 79
54. QAS
Operacije s polinomima Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Po definiciji, zbir, razlika ili proizvod dva polinomaje novi polinom. Na kombinovanim primerima proveravamo ovajprincip.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 90. do 93. strane.
Sabiranjem, oduzimanjem ili mno�enjem dva polinoma dobijamonovi polinom, koji treba srediti.
Uz maksimalno uqex�e uqenika u rexavanju zadataka na xkol-skoj tabli, ostvarujemo postavljeni zadatak. U skladu sa tekstomu u�beniku, nastavnik prati ili vodi uqenike.
Rexavamo na xkolskoj tabli redom primere 1, 2, i 3.Shvataju�i polinom kao racionalan algebarski izraz, odre�u-
jemo vrednosti polinoma za razne vrednosti promenljivih. Rexa-vaju�i primer 4, uoqavamo i posebnu vrednost promenljive, kojojodgovara vrednost polinoma ”nula”. Ako je, na primer P (x1) = 0,onda je x1 (odnosno x = x1) tzv. ”nula polinoma”.
Rexavanjem primera 4 uoqavamo princip: Ako je polinom P (x)jednak M(x) · N(x) i ako je M(x1) = m i N(x1) = n, onda jeP (x1) = m · n.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, i 4, 93. strana.
80 Celi i racionalni algebarski izrazi
55. QAS
Operacije s polinomima Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Usavrxavanje ideje sre�ivanja polinoma.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 72. do 73. strane.
Podsetimo se na naqine sabiranja, oduzimanja i mno�enja po-linoma, i na zakone koji va�e u primeni ovih pravila. (TekstUkratko na 72. strani.)
Zatim, rexavamo na xkolskoj tabli zadatke: 371 a) i b), 372a) i b), 373 a), 374 a), 375 a) i b).
Doma�i zadatak 371 v) i g), 372 v) i g), 374 b), 375 g).
Celi i racionalni algebarski izrazi 81
56. QAS
Kvadrat binoma Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Usvajanje formule za kvadriranje binoma.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 93. do 96. strane.
Ponovimo pojam kvadrata broja. Primenimo to na kvadrat bi-noma (a + b), uz primenu dokazane teoreme o proizvodu dva binoma.Uqenici samostalno, na mestu i na xkolskoj tabli, raqunaju kva-drat zbira, (a + b)2 i kvadrat razlike (a − b)2. Nastavnik istiqexta treba zapamtiti kao formulu (strana 93. u�benika).
Zatim, dolazimo do opxteg pravila kvadriranja zbira dva ne-sliqna monoma
(I + II)2 = I2 + 2 · I · II + II2.
Primenimo nauqena pravila pri rexavanju primera 1.Zatim, navodimo primenu kvadrata binoma u geometriji i re-
xavamo primer 2.Primenimo pravilo i na sluqaj iracionalnih brojeva, npr.
izraqunamo (√
3 − 2)2.Dobro je iskoristiti nekoliko minuta od zavrxnice qasa (ako
je toliko na raspolaganju), pa pokazati kako se na lagan naqin iz-raqunavaju kvadrati brojeva oblika 25, 35 itd.Uqenike uputiti daproqitaju o kvadratu trinoma (strana 95).
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 i 4 na 95. i 96. strani
82 Celi i racionalni algebarski izrazi
57. QAS
Kvadrat binoma Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uve�bavanje tehnike kvadriranja binoma.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 73. do 75. strane.
Ponovimo formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike, kao iopxtu formulu za (I + II)2.
Rexavamo zadatak 376, onako kako je opisano u postavci. Da-kle, raqunamo na dva naqina, na primer, zadatak d): (3x − 2)2 =(3x − 2) · (3x − 2) i mno�imo po pravilu ”svako sa svakim; drugorexenje je po formuli: (3x − 2)2 = (3x)2 + 2 · 3x · (−2) + (−2)2 itd.
Reximo jox i zadatak 377 l) i lj).Onda rexavamo zadatak 378.
Doma�i zadatak 377 od a) do k), 379, 382 a), b), v).
Celi i racionalni algebarski izrazi 83
58. QAS
Kvadrat binoma Uve�bavanje
Rad u nehomogenim grupama Dijalog
Cilj Utvrditi tehniku kvadriranja binoma i uoqiti primeneovih formula.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 74. do 75. strane.
Grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.Radimo na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama (kao
na 16. qasu).Ponovimo pravilo (I + II)2 = I2 + 2 · I · II + II2.Rexavamo zadatke: 382 d) i z), 383 a) i b).Zatim, rexavamo zadatke: 379 a), g) i d), pa zadatak 380.Onda reximo zadatak 387 a) i b).Na kraju uradimo i dva zadatka iz geometrije, 389 i 390.
Doma�i zadatak 378 v) i g), 381, 384 a) i b), 385 a), 387 v) i d),
388 b).
84 Celi i racionalni algebarski izrazi
59. QAS
Polinomi Sistematizovanje
Rad u nehomogenim grupama Dijalog
Cilj Obnoviti i povezati nauqeno o polinomima.
Osnovni tekstU�benik od 83. do 95. i Zbirka, od 63. do 75. strane.
Tok qasaIzbor grupa i rad sa njima sprovodimo na uobiqajeni naqin.Izbor zadataka mo�e se menjati od odeljenja do odeljenja, zavi-
sni od dostignutog nivoa znanja uqenika..Primer izbora zadataka (iz Zbirke) 337 a) i v), 345 g), 351
g) i d), 355 b), v) i g), 362 g), 366 d), 368 a) i v), 375 v), 380 d),386 a).
Doma�i zadatak RADNA SVESKA kontrolni i pismeni zada-ci (qetvrta kontrolna ve�ba).
Celi i racionalni algebarski izrazi 85
60. QAS
Qetvrta kontrolna ve�ba (polinomi) Kontrola znanja
Grupa A)
1. Izraqunaj: 3xy2 · (−5x3) + 2x2y · 4x2y.2. Oslobodi se zagrada u izrazima:
a) (2x2 − 0, 5)2; b) (1 + 3√
2)2.3. Doka�i identiqnost, tj. doka�i da leva i desna strana jed-
nakosti predstavljaju isti polinom:(ax + by)2 − (ay + bx)2 = (a2 − b2)(x2 − y2).
4. Ako je M = 3− x, N = 2x + 1 i P = 2 + 5x− x2, odredi polinomA = P − M · N .
Grupa B)
1. U praznu zagradu upixi odgovaraju�i monom.(−7a2b) − ( ) = 10a2b.
2. Oslobodi se zagrada u izrazima:a) (5m + 0, 1n)2; b) (
√5 − 3
√2)2.
3. Sredi polinom: (12x + 5)2 − (8x − 1)2 − (10x + 7)(8x + 3).4. Ako je M = x + 2, N = x2 − 2x + 6 i P = 3− 2x, odredi polinom
B = N − M · P .
Grupa V)
1. Izraqunaj:23x · 2x4 −
(−5
2x2
)·(− 2
15x3
).
2. Oslobodi se zagrada u izrazima:
a)(
12n − 6p
)2
; b) (√
2 +√
8)2.
3. Doka�i identiqnost, tj. doka�i da leva i desna strana jed-nakosti predstavljaju isti polinom.(x + 2)2 − 2(2 − x)(x + 2) + (2 − x)2 = 2x(2x − 1) + 2x.
4. Ako je M = 2x − y, N = x + 2y i P = x + y, odredi polinomV = P 2 − M · N + xy.
86 Celi i racionalni algebarski izrazi
Grupa G)
1. U praznu zagradu upixi odgovaraju�i monom.12a3x3 + ( ) = −8a3x3.
2. Oslobodi se zagrada u izrazima:
a)(
x2 + 112y
)2
; b) (2√
3 −√2)2.
3. Sredi polinom: (ax + by)2 − (a2 + b2)(x2 + y2) − 2abxy.4. Ako je M = 2x−3, N = 2−x i P = 2x2 −2x+5, odredi polinom
G = P − M · (−N).
Grupa D)
1. Izraqunaj 4x · 2y2z + 3y · (−2xyz) − yz · (−xy).2. Oslobodi se zagrada u izrazima
a) (0, 2x − 5yz2)2; b) (2√
3 + 3√
2)2.3. Proveri da li je taqna jednakost:
(2x − 1)(8x + 5) − (4x − 3)(4x + 3) = 2(x + 2).4. Ako je M = x − y, N = 2x + y, P = 2y − x, odredi polinom
D = 2 · M2 + N · P .
Celi i racionalni algebarski izrazi 87
61. QAS
Razlika kvadrata Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Uvo�enje formule za razliku kvadrata dva monoma, uz geo-metrijski dokaz formule.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 96. do 98. strane.
Nastavnik postavlja (na xkolskoj tabli) zadatak da se pomno�edva polinoma
(a + b)(a − b)
Jedan uqenik iza�e i izraquna proizvod (a2 − b2).Slede�i zadatak (postavi nastavnik):”Uoqimo monome 2a i 3x. Naqinite dva binoma, razliku i zbir
ovih monoma. Zatim, pomno�ite dva dobijena binoma”.Svi rade na mestu, a jedan uqenik demonstrira rexenje na ta-
bli. Uz eventualnu pomo� nastavnika, izvlaqimo zakljuqak (tekstna 96. strani u�benika).
Zatim, nastavnik, uz asistenciju uqenika, izvodi geometrijskidokaz (vidi u u�beniku).
Onda reximo primere 1 i 2.Zatim, navodimo kako se razlika kvadrata dva broja (u u�be-
niku navedeno 7652 − 2352) mo�e jednostavno izraqunati primenomizvedene formule.
Rexavamo primer 3.
Doma�i zadatak Ve�be 1 i 2 sa 98. strane.
88 Celi i racionalni algebarski izrazi
62. QAS
Razlika kvadrata Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Uve�bati formulu za razliku kvadrata i uoqiti njene pri-mene.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 76. strana.
Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Radimo na naqinkoji je uobiqajen za parove.
Podsetimo se na formulu za razliku kvadrata, zatim rexava-mo zadatke iz zbirke: 391 b), �), e), �), 393 v), g), 394 a), b), 395a), b), �).
Doma�i zadatak 391 v), d), z), 392, 394 v), 395 g), d).
Pismeni zadatak 89
63. QAS
Priprema za drugi pismeni zadatak Obnavljanje
Rad u nehomogenim grupama Dijalog
Cilj Uputiti uqenike da se xto bolje pripreme za pismeni zada-tak.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik i Zbirka, druga glava.
U zavisnosti od dostignutog nivoa znanja o stepenima i poli-nomima, nastavnik pripremi za svako odeljenje odgovaraju�e zadat-ke, radi obnavljanja znanja. Zadaci se rade na naqin uobiqajen zarad u nehomogenim grupama, uz obavezno ponavljanje znaqenja poj-mova, definicija i formula. Grupe qine uqenici koji sede u dvesusedne klupe.
Doma�i zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismenizadaci”, drugi pismeni zadatak
90 Pismeni zadatak
64. QAS
Drugi pismeni zadatak Kontrola znanja
Grupa A)
1. Izraqunaj (2x3y2z)3 · 9(xy3z3)4 : (6x5y9z6)2, x �= 0, y �= 0, z �= 0.2. Sredi polinom (x + 2)2 + 2(2 − x)(x + 2) + (2 − x)2 + 3(x − 2).3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na
jednostavan naqin 450, 52 − 350, 52.4. Sliqno prethodnom zadatku izraqunaj na jednostavan naqin
2997 · 3003.5. Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jedna
kateta 21 cm, a druga kateta je za 9 cm kra�a od hipotenuze.
Grupa B)
1. Izraqunaj(
x4y3
(x3y3)2
)3
:(
x5y
(x3y2)3
)2
, gde je x �= 0 i y �= 0.
2. Sredi polinom 4(x−6)−x2(2+3x)−x(5x−4)+3x2(x−1)+4(x−1)2.3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na
jednostavan naqin(
658
)2
−(
138
)2
.
4. Sliqno prethodnom zadatku, skrati razlomak1892 − 1682
862 − 1032.
5. Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jednakataeta 8 cm, a hipotenuza je za 2 cm du�a od druge katete.
Grupa V)
1. Izraqunaj(2a2bc4)4 · (3a2b4c3)3 : (4a3b4c7)2
(3a2b2c3)3, a �= 0, b �= 0, c �= 0.
2. Sredi polinom (x − 7)2 − 2(5 − x)(7 − x) + (x − 5)2 − (10 − x).3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na
jednostavan naqin 63, 252 − 36, 752.4. Sliqno prethodnom zadatku, izraqunaj na jednostavan naqin
5013 · 4987.5. Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jedna
kateta 11 cm, a hipotenuza je za 1 cm du�a od druge katete.
Pismeni zadatak 91
Grupa G)
1. Izraqunaj vrednost izraza(x2y4)3 : (xy6)2
(x3y2)4 : (x6y2)2, ako je x = 2y �= 0.
2. Sredi polinom (x+2)(x2 − 2x+4)− (x− 2)(x2 +2x+4)− (x− 4)2.3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na
jednostavan naqin(
4234
)2
−(
714
)2
.
4. Sliqno prethodnom zadatku skrati razlomak1252 − 1902
1152 − 802.
5. Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trougla kome je jednakateta 7 cm, a hipotenuza i druga kateta razlikuju se za 1 cm.
Grupa D)
1. Uprosti izraz(8a2b3)2 · (4a3b2)3
(22a2b)4:
128a2b · (4ab2)2
(8ab)3, gde je a �= 0,
b �= 0.2. Sredi polinom 4(a + 1)2 − (a + 2)2 + 3(a + 1)(3 − a).3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata izraqunaj na jed-
nostavan naqin 773, 752 − 226, 252.4. Sliqno prethodnom zadatku, izraqunaj na jednostavan naqin
3991 · 4009.5. Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trougla, kome je jedna
stranica 13 cm, a druga stranica je za 1 cm kra�a od dijago-nale.
92 Pismeni zadatak
65. QAS
Ispravka pismenog zadatka Sistematizovanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Ukazivanje na sistemetske i pojedinaqne grexke, uz pouku onaqinu otklanjanja tih grexaka.
Tok qasaUobiqajeno za ispravku pismenog zadatka (vidi 40. qas).
Celi i racionalni algebarski izrazi 93
66. QAS
Rastavljanje monoma i binoma na qinioce Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Nauqiti kako da se dati polinom, ako je mogu�e, predstaviu obliku proizvoda nekih polinoma.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 98. do 102. strane.
Ponovimo rastavljanje slo�enog broja na proste qinioce (98.strana). Zatim, uqenici, uz eventualnu pomo� nastavnika, zakljuqeda je promenljivi deo monoma ve� napisan u obliku proizvoda, pa,ako rastavimo na qinioce koeficijent, rastavili smo i monom naqinioce. Zatim, reximo primer 1.
Nastavnik na xkolskoj tabli napixe binome a · b + a · c i a2 − b2
i postavi zahtev da uqenici ova dva binoma napixu u vidu proi-zvoda. Kad dobije pozitivne odgovore, nastavnik podvuqe zakljuqke,kao xto je opisano na 99. strani. Onda, rexavamo primer 2.
Svaki od rexenih sluqajeva prokomentarixe se i obaveznose mno�enjem proveri rezultat. Nastavnik se posebno zadr�i nasluqaju �), kad u zagradi ostaje broj 1.
Dalje, rexavamo primere 3 i 4.Zatim, reximo primer 5 i istaknemo da se zbir kvadrata,
a2 + b2, ne mo�e rastaviti na qinioce.Zainteresovane uqenike uputimo da proqitaju tekst pod naslo-
vom ”Zbir i razlika kubova” na 102. strani.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 sa 102. strane.
94 Celi i racionalni algebarski izrazi
67. QAS
Binomi i monomi. Rastavljanje na qinioce Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Posti�i zadovoljavaju�u tehniku i brzinu u rastavljanjumonoma i binoma na qinioce.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 77. do 79. strane.
Ponovimo xta se podrazumeva pod rastavljanjem monoma na qi-nioce, pa reximo zadatak 396.
Ponovimo xta znaqi rastaviti binom na qinioce i koje me-tode smo upoznali (tekst Ukratko 77. strana). Zatim, rexavamozadatke 397 od a) do �), 398 a), b), v), g).
Onda, rastavimo na qinioce razlike kvadrata, zadaci: 399 oda) do �) i 400 a), b), v), g).
Podsetimo se da zbir kvadrata ne mo�emo rastaviti na qini-oce.
Onda, reximo slo�enije sluqajeve, zadatke 401 a), b), v), 403a), b) i 404 b).
Na kraju, reximo i zadatak 407 v).
Doma�i zadatak 397 e), �), z), i), 398, 399 e), �), z), i), j), k),
400 d), 402, 404 v), 406.
Celi i racionalni algebarski izrazi 95
68. QAS
Polinomi Sistematizovanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uputiti uqenike na bitne teme koje bi trebalo uve�batitokom zimskog raspusta.
Tok qasaZavisno od kvaliteta znanja po pojedinim odeljenjima, nastav-
nik napravi izbor zadataka u vezi sa svakim obra�enim nastavnimjedinicama iz polinoma. Posebno upu�uje uqenike da za slede�epolugodixte dobro prouqe operacije s polinomima, kvadrat bino-ma i razliku kvadrata.
Doma�i zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismenizadaci” proraditi prve qetiri kontrolne ve�be i prva dva pi-smena zadatka.
96 Celi i racionalni algebarski izrazi
69. QAS Drugo polugodixte
Polinomi Obnavljanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Povezivanje sa temama obra�enim krajem prvog polugodixta.
Osnovni tekst ”Kontrolni i pismeni zadaci”.
Tok qasaPonavljamo nauqena pravila o polinomima (kvadrat binoma,
razlika kvadrata). Rexavamo zadatke o polinomima zadate u tre-�oj i qetvrtoj kontrolnoj ve�bi i u prvom pismenom zadatku (kon-trolni i pismeni zadaci).
Celi i racionalni algebarski izrazi 97
70. QAS
Rastavljanje trinoma na qinioce Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Primena formula za kvadrat binoma.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 103. do 106. strane.
Podsetimo se na pravilo o izvlaqenju zajedniqkog qinioca predzagradu i reximo primer 1.
Zatim se podsetimo na kvadriranje binoma (na primer, izra-qunamo (x2 − 3a)2), pa se posebno zadr�imo na znaqenju pravila uobliku (I + II)2 = I2 + 2 · I · II + II2.
Uqenici se upu�uju da otkriju da li je neki dati trinom kva-drat binoma (kao xto je opisano na 104. strani u�benika). Posebnose insistira na proveru qlana 2 · I · II.
Onda, rexavamo primer 2.Zatim, kombinujemo izvlaqenje pred zagradu sa kvadratom bi-
noma i reximo primer 3.Zainteresovanim uqenicima se preporuqi da iz u�benika pro-
qitaju tekst iz zelenog boksa, pod naslovom ”kvadratni trinom”.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 sa 106. strane.
98 Celi i racionalni algebarski izrazi
71. QAS
Rastavljanje trinoma na qinioce Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Sticanje rutine u prepoznavanju kvadrata binoma.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 79. i 80. strana.
Ponovimo izvlaqenje pred zagradu i formulu za kvadrat bi-noma. Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke. Posebnu pa�nju svakiput obra�amo na onaj qlan trinoma, koji u kvadratu binoma qini2 · I · II. Prva va�na opaska: Znak ovog qlana odre�uje da li je upitanju kvadrat zbira ili kvadrat razlike. Druga opaska: da li jeto zaista qlan 2 · I · II ili samo liqi na njega?
Rexavamo zadatke redom: 411 a), b), 412 v), g), 413 a), b), 414,416 a), b), v).
Zatim, rexavamo kombinovane sluqajeve, zadaci 418 a), b), 419a) i 420 a).
Doma�i zadatak 411 v), g), 412 a), d), 415 a), b), 416 g), 418 v),
g), 419 b).
Celi i racionalni algebarski izrazi 99
72. QAS
Razlika kvadrata i kvadrat binoma Obnavljanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Priprema za rastavljanje na qinioce raznih polinoma.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 73. do 79. strane.
Uz pravila o razlici kvadrata i kvadratu binoma, ponovimoizvlaqenje pred zagradu.
Rexavamo zadatke redom: 391 a), b), v), g), 392 v), d), �), 394g), 395 d), 378 a), b), d), �), 380 a), b), d), 382 �), 388 g).
Doma�i zadatak 401 g), d), �), e), �), 403 v), g), d), 405, 415 g),
d), �), z).
100 Celi i racionalni algebarski izrazi
73. QAS
Rastavljanje polinoma na qinioce Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Prepoznati kojoj vrsti pripada dati polinom, radi odre-�ivanja metode koju �emo primeniti pri rastavljanju na qinioce.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik 107. strana.
Ponovimo metode koje smo do sada koristili za rastavljanjepolinoma na qinioce (izvlaqenje pred zagradu, razlika kvadrata,kvadrat binoma). To je do sada bilo jednostavno, jer smo u startuznali kojoj vrsti pripada dati polinom.
Da bismo rastavili bilo koji polinom, ako ne mo�emo odmahda otkrijemo kojoj poznatoj vrsti pripada, moramo smisliti odgo-varaju�u strategiju (tekst na 107. strani u�benika).
Izlo�enu strategiju uve�bavamo rexavaju�i primere 1 i 2.Kad se na polinom primeni odre�eni postupak i on se rasta-
vi na qinioce, onda treba utvrditi da li se i neki od dobijenihqinilaca mo�e jox rastaviti (vidi primer 2a)).
Doma�i zadatak Ve�be na strani 109, zadatak 1.
Celi i racionalni algebarski izrazi 101
74. QAS
Rastavljanje polinoma na qinioce Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Prepoznati kojoj vrsti pripada polinom koji treba rasta-viti na qinioce.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 77. do 81. strane
Podsetimo se na definisanu strategiju koju primenjujemo kadne znamo kojoj vrsti pripada zadati polinom. Onda rexavamo za-datke: 421 i 422 a), b), v), g), d), �), e).
Obratimo pa�nju na trinome koji liqe na kvadrat binoma, anisu kvadrati binoma, kao x3 − 6x2y + 36xy2. Prvo izvuqemo predzagradu zajedniqki qinilac: x(x2 − 6xy + 36y2). Trinom u zagradiliqi na (x − 6y)2, ali nije to. Naime, (x − 6y)2 = x2 − 12xy + 36y2, au datom primeru na mestu monoma −12xy, stoji −6xy.
Sliqno uoqavamo, na primer, kod polinoma 2a2 + 4a + 8.Uqenicima treba preporuqiti da sami prorade metodu grupi-
sanja qlanova, kao xto je opisano u zelenom boksu na 109. strani ida rastave neke od polinoma iz zadatka 423.
Doma�i zadatak 422 �), z), i), j), 419 v) g), d).
102 Celi i racionalni algebarski izrazi
75. QAS
Rastavljanje polinoma (jednaqine) Uve�bavanje
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Koriste�i se poznatom osobinom da je, npr. A · B = 0 ako jeA = 0 ili B = 0 i rastavljanjem polinoma na qinioce, rexava�emojednaqine koje do sada nismo upoznali.
Osnovni tekst U�benik, 107. i 108. i Zbirka, 81. strana.
Tok qasaRastavimo na qinioce nekoliko polinoma, na primer: 398 v),
�), i) i 399 e), j), 401 v). Time pripremimo teren za planiranorexavanje jednaqina.
Tra�imo odgovor na pitanje: ”Kada je proizvod jednak nuli”?Uz oqekivani odgovor: ”Kada je bar jedan od qinilaca nula”. Onda,dolazimo do zakljuqka
A · B = 0, ako je A = 0, ili B = 0;A · B · C = 0, ako je A = 0, ili B = 0, ili C = 0 itd.Rexavamo jednaqinu 2x2 − 10x = 0, datu na 107. strani u�beni-
ka i rexavamo kao xto je u u�beniku opisano. (Treba kod uqenikanegovati naviku da se rexenje uvek proveri.)
Onda, rexavamo primer 3. Zatim, rexavamo zadatak 2. iz ve-�be sa 109. strane (onoliko koliko nam raspolo�ivo vreme do kra-ja qasa dozvoli).
Doma�i zadatak Zbirka: 424 a), v), g), 425 g), d), �), e).
Celi i racionalni algebarski izrazi 103
76. QAS
Primene polinoma Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Ukazati na razne primene polinoma, pre svega za uqenikekoji �ele da znaju vixe.
Tok qasaNeke od primena polinoma sreli smo na prethodnim qasovima.
Podsetimo se kroz zadatke.Reximo zadatke: 395 g), 407 a); b), 379 �), 380 �).Rexili smo jednaqine, npr.: 424 �) 425 b), z).Mo�emo rexavati i ovakve jednaqine:1. Izraqunaj (
√3 − 2)2, pa rexi jednaqinu: x −√
3 =√
7 − 4√
3.2. Izraqunaj (2 −√
5)2, pa rexi jednaqinu: x +√
5 =√
9 − 4√
5.Polinomi imaju veliku primenu kod deljivosti brojeva. Na
primer, reximo zadatke 336. i 337.Zatim, rexavamo zadatak:3. Ako je n prirodni broj, doka�i da je vrednost polinoma
P (n) = n3 + 5n deljiva sa 6, za svako n.Rexenje: P (n) = n3−n+6n = n(n2−1)+6n = (n−1) ·n ·(n+1)+6n.
Prvi sabirak je proizvod tri uzastopna prirodna broja, pa je jedanod njih deljiv sa 3 i bar jedan je paran broj. Zbog toga je prvisabirak deljiv sa 2 · 3 = 6, a 6n je tako�e deljivo sa 6.
Reximo jox jedan zadatak.
4. Odredi sve celobrojne vrednosti razlomka R =n2 + 1n − 1
, gde
je n prirodan broj.
Rexenje. R =n2 + 1n − 1
=n2 − 1 + 2
n − 1=
n2 − 1n − 1
+2
n − 1=
(n − 1)(n + 1)n − 1
+2
n − 1odnosno R = (n+1)+
2n − 1
, a ovo je ceo broj za n ∈ {−1, 0, 2, 3}.Celobrojne vrednosti razlomka su redom: −1, −1, 5, 5. Dakle, imamodve tra�ene vrednosti, R = −1 ili R = 5.
104 Celi i racionalni algebarski izrazi
77. QAS
Polinomi Sistematizovanje
Rad u homogenim grupama Dijalog
Cilj Proveriti razne nivoe znanja uqenika.
Tok qasaNastavnik saopxtava da je pripremio zadatke za pripremu pi-
smene ve�be, i to u tri nivoa. Uqenicima predla�e da se samiodluqe za nivoe: A (elementarni), B (vixi), V (najvixi). U pro-tivnom sam ih rasporedi, ako izostane inicijativa uqenika. Uqe-nici se podele u homogene grupe, po 5 do 6 uqenika. Svakoj grupinastavnik daje pripremljen listi� sa zadacima odgovaraju�ih ni-voa.
Grupe rade zadatke na mestu i prijavljuju nastavniku kada ihrexe. Posle otprilike 15 minuta samostalnog rada, nastavnik po-ziva predstavnike grupa da rexenja demonstriraju na xkolskoj ta-bli. Izlaze redom predstavnici grupa: A, B, V, A, B, V, A, . . . idemonstriraju rexenja zadataka koje zahteva nastavnik.
Predlog sadr�aja listi�a (zadaci su iz Zbirke)A) 348 g), 355 b), 368 v), 380 �), 395 b), 417 v).B) 355 v), 373 g), 384 v), 394 v), 419 d), 410 a).V) 355 g), 375 v), 405 g), 419 v), 420 �), 410 b).
Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci” – peta kontrolna ve�ba.
Celi i racionalni algebarski izrazi 105
78. QAS
Peta kontrolna ve�ba(Rastavljanje polinoma) Kontrola znanja
Grupa A)
1. Rastavi na qiniocea) 84xy3; b) 3xy2 + 6xy3 − 15x2y2.
2. Koriste�i se polinomima, izraqunaj na jednosatavan naqin
745· 81
5.
3. Rastavi na qinioce 5m5n2 − 80mn2.4. Rastavi na qinioce 24ab − 18a2 − 8b2
5. Rexi jednaqinu 4x3 + 14x2 = 0.
Grupa B)
1. Rastavi na qiniocea) −60ab2x3; b) 24a2b3x2 + 8ab3 − 12a2b3x.
2. Koriste�i se polinomima, izraqunaj na jednostavan naqin4000, 7 · 3999, 3.
3. Rastavi na qinioce 2x4 − 32.
4. Rastavi na qinioce 3a2 +13b2 − 2ab.
5. Rexi jednaqinu: 9x2 − 4 = 0.
Grupa V)
1. Rastavi na qiniocea) −168m3x2; b) 20a2b3 − 15a3b2 + 10a2b2.
2. Koriste�i se polinomima, izraqunaj na jednostavan naqin
1137· 104
7.
3. Rastavi na qinioce x5 − x.4. Rastavi na qinioce 20x2y − 50x3 − 2xy2.5. Rexi jednaqinu 16x2 = 8x − 1.
106 Celi i racionalni algebarski izrazi
Grupa G)
1. Rastavi na qinioce:a) 150ab3c; b) 12xy3 + 4xy2 − 8xy4.
2. Koriste�i se polinomima izraqunaj na jednostavan naqin
9938· 1005
8.
3. Rastavi na qinioce 162 − 2y4.
4. Rastavi na qinioce a2x +12ax2 + 0, 5a3.
5. Rexi jednaqinu 2x3 − 18x = 0.
Grupa D)
1. Rastavi na qiniocea) −180ab5; b) 9ax3 − 3ax2 − 12a2x2.
2. Koriste�i se polinomima izraqunaj na jednostavan naqin300, 8 · 299, 2.
3. Rastavi na qinioce a5b − ab5.
4. Rastavi na qinioce 4xy − 8y2 − 12y.
5. Rexi jednaqinu 2x3 − 12x2 + 18x = 0.
Mnogougao 107
79. QAS
Vrste mnogouglova Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Podse�anje na pojam mnogougla i vrste mnogouglova.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 110. do 112. strane.
Pojam mnogougla sretali smo tokom prethodnih godina uqenja,a pojedine vrste smo izuqavali sa dosta detalja.
Obnovimo pojmove: izlomljena linija, zatvorena izlomljena li-nija, mnogougaona linija i mnogougao (u u�beniku na 110. i 111.strani).
Zatim, definixemo unutraxnjost mnogougla, pa konvensne i ne-konveksne mnogouglove.
Vrste mnogouglova prema broju stranica i oznaqavanje eleme-nata (temena, uglovi, stranice, dijagonale) izlo�imo kao na 112.strani u�benika.
Za svaki pojam o kojem se govori, uqenik ili nastavnik nacrtana xkolskoj tabli odgovaraju�u sliku.
Reximo primer 1 i Ve�be 1, 2, 3, 4, sa 112. strane.
Doma�i zadatak Zbirka: 426, 427, 428, 429, 430.
108 Mnogougao
80. QAS
Uglovi mnogougla Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Odrediti zbir unutraxnjih i zbir spoljaxnjih uglova pro-izvoljnog mnogougla.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 113. do 115. strane.
Podsetimo se na pojmove unutraxnjih i spoljaxnjih uglova tro-ugla i qetvorougla (uopxte, mnogougla) i veza: α + α1 = 180◦ =β + β1 = . . .
Obnovimo zbir unutraxnjih uglova u trouglu i u qetvorouglu,kao i zbir spoljaxnjih uglova trougla i qetvorougla.
Postavimo pitanje: ”Koliki je zbir unutraxnjih uglova u mno-gouglu koji ima n uglova”?
Nastavnik nacrta sliku kao na 113. strani u�benika i navodiuqenike da do�u do formule
Sn = (n−2)·180◦. (U u�beniku objaxnjeno na 113. i 114. strani.)Zatim, reximo primere 1 i 2.Koriste�i se formulom za zbir unutraxnjih uglova, izvodimo
zakljuqak da u svakom mnogouglu zbir spoljaxnjih uglova iznosi360◦. (Videti obrazlo�enje na 115. strani.)
Onda, ponovimo xta smo nauqili, pa rexavamo Ve�be sa 115.strane. Ako neki zadatak ne do�e na red, ostavimo ga za doma�izadatak.
Doma�i zadatak Zbirka, 431, 434, 436.
Mnogougao 109
81. QAS
Uglovi mnogougla Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Primene osobina uglova mnogougla.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 84. do 85. strana.
Obnovimo osobine uglova koje smo nauqili prethodnog qasa(tekst Ukratko na 84. strani).
Rexavamo zadatke redom: 432, 433, 435, 438, 439.Zatim, rexavamo zadatke: 445, 446, 447.
Doma�i zadatak 437, 440, 441, 442, 449.
110 Mnogougao
82. QAS
Dijagonale mnogougla Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Odre�ivanje veze izme�u broja temena i broja dijagonalamnogouglova.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 116. do 118. strane.
Na osnovu definicije dijagonale (du� qiji su krajevi dva ne-susedna temena) izvodimo zakljuqak da se iz jednog temena n-touglamo�e povu�i (n−3) dijagonale. (Ne brojimo teme iz kojeg konstrui-xemo dijagonale i dva susedna temena.) Odgovaraju�i tekst i slikesu na 116. strani u�benika.
Onda, reximo primere 1 i 2.Koriste�i prethodni zakljuqak, prebrojimo sve dijagonale mno-
gougla (sa n stranica), kao xto je opisano na 117. strani u�benika.Zatim, reximo primere 3 i 4.Na kraju, obnovimo xta smo nauqili, pa rexavamo Ve�be sa
118. strane. Ono xto preostane, ostaje za doma�i zadatak.
Doma�i zadatak Jox i Zbirka: 451, 453, 458, 459 a), 460 a).
Mnogougao 111
83. QAS
Dijagonale mnogougla Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Povezati osobine uglova i dijagonala mnogougla.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 86. i 87. strana.
Ponovimo formule, D1 = (n− 3) i Dn =n(n − 3)
2, (tekst Ukrat-
ko na 86. strani), pa rexavamo zadatke iz zbirke: 452, 454, 456,457.
Zatim, rexavamo zadatke, koji se povezuju sa ranije nauqenimvezama o uglovima mnogougla: 459 b) i v), 460 b) i v), 461.
Rexavamo i zadatke 462, 463 i 469.
Doma�i zadatak 455, 464, 465, 467.
112 Mnogougao
84. QAS
Pravilni mnogouglovi Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Upoznavanje sa osobinama pravilnih mnogouglova.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 118. do 123. strane.
Pravilni mnogougao je onaj kome su jednake sve stranice i jed-naki svi unutraxnji uglovi. Odranije znamo dva takva mnogougla(jednakostraniqni trougao i kvadrat).
Dokazujemo da se oko pravilnog mnogougla mo�e opisati kru-�nica, a odatle zakljuqujemo da su centralni uglovi ove kru�ni-ce nad stranicama mnogougla jednaki me�usobno. Dakle, centralniugao pravilnog xestougla je 60◦, odakle izvlaqimo posebne osobineovog mnogougla. (Videti tekst na 119. strani.)
Zatim, izvodimo formule za spoljaxnji i unutraxnji ugao pra-vilnog mnogougla i rexavamo primere 1, 2 i 3 (strana 120).
Onda, zakljuqujemo da je centralni ugao jednak spoljaxnjem(ϕn = βn), pa definixemo karakteristiqni trougao pravilnog mno-gougla i upisanu kru�nicu pravilnog mnogougla (strana 121).
Reximo primer 4.Na kraju, uoqimo i opixemo simetrije pravilnih mnogouglova.
Mnogouglovi sa neparnim brojem temena imaju samo osne simetrije,a mnogouglovi sa parnim brojem temena su i centralni simetriqni(122. i 123. strana).
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 sa 123. strane.
Mnogougao 113
85. QAS
Pravilni mnogouglovi Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Utvrditi osobine pravilnih mnogouglova
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 88. do 90. strane.
Ponovimo o uglovima pravilnih mnogouglova, pa rexavamo za-datke: 471, 472 a), b), v), 475 a), 476 b).
Ponovimo o karakteristiqnom trouglu, pa reximo zadatak 472.Ponovimo o simetrijama pravilnih mnogouglova, pa reximo
zadatke 487 i 488.Rexavamo i zadatke: 428, 425, 491, i 494.
Doma�i zadatak 473 g) i d), 475 b) i v), 477, 480 v), 483, 484,490.
114 Mnogougao
86. QAS
Mnogouglovi Sistematizovanje
Rad u homogenim grupama Dijalog
Cilj Sistematizovanje i diferenciranje ukupnog znanja uqenikao mnogouglovima.
Tok qasaIzbor homogenih grupa i naqin rada opisan je u toku qasa 77.
Konaqan izbor zadataka za ovaj qas, na pripremljenim listi�ima,vrxi nastavnik na osnovu procenjenog znanja uqenika.
Dajemo jedan predlog izbora zadataka u tri nivoa.A) 435, 446, 454, 462, 478, 490.B) 435, 452, 458, 465, 488, 492.V) 449, 450, 466, 470, 482, 493.
Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, xesta kontrolna ve�ba.
Mnogougao 115
87. QASXesta kontrolna ve�ba (mnogougao) Kontrola znanja
Grupa A)
1. Mere unutraxnjih uglova mnogouglova odre�uju produ�enurazmeru 19 : 18 : 36 : 29 : 33. Odredi ove uglove.
2. Koji pravilni mnogougao ima spoljaxnji ugao od 18◦?3. Zbir unutraxnjih uglova mnogougla je 1260◦. Koliko ovaj mno-
gougao ima dijagonala?4. U pravilnom petouglu ABCDE izraqunaj �ABD.
Grupa B)
1. Mere spoljaxnjih uglova mnogougla odre�uju produ�enu raz-meru 7 : 5 : 10 : 6 : 9 : 8. Odredi unutraxnje uglove.
2. Koliko dijagonala ima pravilni mnogougao koji ima unutra-xnji ugao od 150◦?
3. Iz jednog temena mnogougla mno�e se povu�i najvixe 11 dija-gonala. Koliki je zbir unutraxnjih uglova ovog mnogougla?
4. Doka�i da su sve dijagonale pravilnog petougla jednake me�usobom.
Grupa V)
1. Mere unutraxnjih uglova mnogougla odre�uju produ�ene raz-meru 15 : 13 : 16 : 9 : 11 : 17 : 19. Odredi ove uglove.
2. Odredi unutraxnji i spoljaxnji ugao pravilnog mnogougla,ako mu je centralni ugao ϕ = 22◦30′.
3. Mnogougao ima 6 puta vixe dijagonala nego stranica. Kolikije zbir unutraxnjih uglova tog mnogougla?
4. Simetrale dveju susednih stranica pravilnog mnogougla sekuse pod uglom od 15◦. Koji je to mnogougao?
Grupa G)
1. Mere spoljaxnjih uglova mnogougla obrazuju produ�enu raz-meru 9 : 12 : 10 : 15 : 11 : 17 : 16. Odredi unutraxnje uglove ovogmnogougla.
2. Koji pravilni mnogougao ima unutraxnji ugao sedam puta ve-�i od spoljaxnjeg? Koliki je unutraxnji ugao?
3. Svi spoljaxnji uglovi mnogougla iznose po 15◦. Koliko dija-gonala ima ovaj mnogougao?
4. U pravilnom xestouglu ABCDEF izraqunaj �CAD.
116 Mnogougao
Grupa D)
1. Mere unutraxnjih uglova mnogougla obrazuju produ�enu raz-meru 13 : 5 : 12 : 9 : 7 : 14. Odredi te uglove.
2. Koliko dijagonala ima mnogougao kome zbir svih spoljaxnjihi svih unutraxnjih uglova iznose 1980◦?
3. Ukupan broj dijagonala pravilnog mnogougla 5 puta je ve�a odbroja dijagonala koje se mogu povu�i iz jednog temena. Kolikije centralni ugao tog mnogougla?
4. U pravilnom petouglu ABCDE dijagonale AC i BE seku se utaqki M . Doka�i da je CM = EM = AB.
Mnogougao 117
88. QAS
Konstrukcije pravilnih mnogouglova Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Konstruisanje pravilnih mnogouglova za n ∈ {3, 4, 6, 8, 12}i pribli�no crtanje, uz korix�enje uglomera, za ostale pravilnemnogouglove.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 123. do 127. strane.
Odavno znamo konstrukcije pravilnih mnogouglova za n = 3,n = 4 i n = 6. Za konstrukciju pravilnih mnogouglova (xestaromi lenjirom), uz datu odgovaraju�u du� (stranica ili polupreq-nik upisane ili opisane kru�nice) navodimo primere 1, 2, 3 i 4(strana 124. 125. i 126.). Ove primere rexavamo na xkolskoj tabli.
Za pribli�no crtanje koristimo uglomer. (Primeri 5 i 6,prikazuju crtanje pravilnog petougla i pravilnog sedmougla).
Tekst o pravilnom sedamnaestouglu treba proqitati uqenici-ma, kao neobavezno xtivo.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, sa 127. strane.
118 Mnogougao
89. QAS
Konstrukcije pravilnih mnogouglova Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Jasno razlikujemo taqne konstrukcije lenjirom i xestarom,od pribli�nog crtanja uz pomo� uglomera.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 90. i 91. strana.
Ve�bamo najpre konstrukcije za n = 3, n = 4, n = 6 i n = 8.Rexavamo zadatke: 496 a), 497 b), 498, 500 i 501.
Zatim, pribli�no crtamo petougao, desetougao i devetougao,rexavaju�i zadatke: 503 a), 506 a) i 507.
Doma�i zadatak 499, 402, 505, 509.
Mnogougao 119
90. QAS
Obim i povrxina mnogougla Obrada
Frontalni rad Heuristiqka metoda
Cilj Odre�ivanje povrxine i obima nekih pravilnih mnogouglo-va.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 128. do 132. strane.
Podsetimo se najpre na poznate formule za jednakostraniqnitrougao i kvadrat. Obim mnogougla se definixe kao zbir du�i-ne svih stranica. U vezi s tim rexavamo primere 1 i 2 na 128.strani.
Zatim, koriste�i se formulom za povrxinu jednakostraniqnog
trougla, odredimo povrxinu pravilnog xestougla: P =3a2
√3
2.
Povrxinu bilo kog pravilnog mnogougla izra�avamo kao zbirpovrxina svih njegovih karakteristiqnih trouglova. (Videti tekstna 129. strani.)
Zatim, rexavamo primere 3 i 4.Na kraju, navodimo kako se mo�e izraqunati (pribli�no) po-
vrxina bilo kog zadatog mnogougla, primer 5.Treba preporuqiti uqenicima da proqitaju tekst o pravilnom
dvanaestouglu i osmouglu na 132. strani.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 na 131. strani.
120 Mnogougao
91. QAS
Obim i povrxina mnogougla Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Izraqunavanje povrxina i obima pravilnih i nepravilnihmnogouglova.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 92. do 94. strane.
Ponovimo nauqene formule (tekst Ukratko na 92. strani).Zatim, rexavamo redom zadatke: 511, 512 e), 513, 514, 515, 519,
521, 522, 527.Pri rexavanju zadataka 512 i 527 koristimo slike i objaxnje-
nja iz boksa sa 132. strane u�benika.
Doma�i zadatak 512 g), d), �) 516, 517, 518, 520, 524, 526.
Zavisne veliqine 121
92. QAS
Pravougli koordinatni sistem u ravni Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uvo�enje pojma pravouglog koordinatnog sistema u ravni iodre�ivanje polo�aja taqke u koordinatnoj ravni.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 133. do 138. strane.
Podsetimo se na preslikavanje brojeva na taqke brojevne prave(strana 133.).
Uvodimo pravougli Dekartov koordinatni sistem. Na primerutaqke P na slici (134. strana), opisujemo kako se odre�uje polo�ajtaqke u koordinatnoj ravni.
Uvodimo pojmove uzajamno normalnih koordinatnih osa (apsci-sa i ordinata). Zajedniqka taqka osa je koordiatni poqetak, taqkaO(0, 0). Na 133, 134. i 135. strani, delom kroz primere 1 i 2, ob-jaxnjavamo kako se u koordinatnom sistemu odre�uje taqka datihkoordinata (primer 1) i kako se odre�uju koordinate taqke kojaje oznaqena u koordinatnoj ravni (primer 2).
Zatim, kao xto je opisano na 137. strani, uvodimo pojam kva-dranata. Tako�e, razmatramo kako se menjaju koordinate ako taqkupreslikamo simetrijom u odnosu na neku koordinatnu osu ili si-metriqno u odnosu na koordinatni poqetak.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, sa 138. strane.
122 Zavisne veliqine
93. QAS
Koordinatni sistem Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Usvajanje pojma koordinatnog sistema, koordinatnih osa ikoordinata taqke u pravouglom koordinatnom sistemu.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 95. do 97. strane.
Obnavljamo pojmove uvedene prethodnog qasa, a utvr�ujemo ihrexavanjem zadataka redom: 536, 537, 538, 539, 540, 541.
Doma�i zadatak 542, 543, 544, 545.
Zavisne veliqine 123
94. QAS
Du� i mnogougao u koordinatnom sistemu Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Merenje du�ine du�i u koordinatnom sistemu i povrxinatrouglova i qetvorouglova.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 138. do 140. strane.
Najpre razmatramo odre�ivanje du�ina du�i koje su paralel-ne koordinatnim osama i povrxine trougla kojima su stranica iodgovaraju�a visina paralelne koordinatnim osama (primeri 1 i2, strana 138. i 139. u u�beniku).
Zatim, odre�ujemo du�inu kosih du�i, koriste�i se Pitago-rinom teoremom (primer 3).
Reximo i primer 4.Na kraju, uqenike uputimo na opxti sluqaj odre�ivanja du�i-
ne du�i, prikazan u zelenom boksu. Preporuqujemo uqenicima danauqe formulu: d =
√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2, gde je d du�ina du�i
odre�ene taqkama A(x1, y1) i B(x2, y2).Zatim, rexavamo zadatak 1 iz Ve�be.
Doma�i zadatak Ve�be 2, 3, 4 sa 141. strane.
124 Zavisne veliqine
95. QAS
Du� i mnogougao u koordinatnom sistemu Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Merenje du�ine i povrxine kad su du�i i ravne figurezadate koordinatama.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 98. i 99. strana.
Podsetimo se na formule za odre�ivanje du�ine du�i MN , akoje M(x1, y1) i N(x2, y2):
MN =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
(tekst Ukratko na 98. strani).Zatim, prema datom uputstvu, rexavamo zadatak 546.Onda rexavamo zadatke sa oznakom �, to je 547 a), b)) i zadatke
oznaqene sa � (to je 548 a) i b)).Zatim, primenimo Pitagorinu teoremu pri rexavanju zadatka
549.Na kraju, rexavamo zadatak 551 a), b) i v).
Doma�i zadatak 547 v), g), 548 v), g), 550, 551 g), d), �), 554 a).
Zavisne veliqine 125
96. QAS
Grafiqko predstavljanje podataka Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uvo�enje dijagrama (grafikona) u koordinatni sistem.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 141. do 144. strane.
Razmatra�emo promene para uzajamno zavisnih veliqina. Akopar njihovih odgovaraju�ih vrednosti predstavljaju brojevi x i y,onda taqka A(x, y) mo�e da se postavi u koordinatni sistem. Ako nataj naqin unesemo u koordinatni sistem vixe parova odgovaraju-�ih vrednosti, onda spajanjem odgovaraju�ih taqaka, po redosleduizvrxenih promena, dobijamo slikovit prikaz ove zavisnosti dvejupromenljivih. Dobijena slika je grafikon (ili dijagram).
Na primeru 1 (strana 141 i 142) pokazujemo kako se crta gra-fikon, ali i kako se sa grafikona odre�uju novi parovi (x, y)zavisnih veliqina.
Dalje, kroz rexavanje primera 3, produbljujemo steqena sazna-nja.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 i 4 sa 144. i 145. strane.
126 Zavisne veliqine
97. QAS
Grafiqko predstavljanje podataka Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Shvatanje pojma grafikona i uvo�enje pojma histograma.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 99. do 103. strane.
Razmotrimo kako se ”pravi” grafikon. Uzmemo primer iz tek-sta Ukratko, na 99. i 100. strani.
Zatim, nastavnik postavi zadatak 566 i rexavanje prepustiuqenicima, uz eventualne manje intervencije, prete�no postavlja-njem izabranih pitanja.
Na isti naqin uqenici rexevaju zadatak 557, a onda i 558.Odgovore na svako od pitanja a), b), v), g) prokomentarixe i na-stavnik.
Zatim, rexavamo zadatak 559, analiziraju�i pa�ljivo svakood pitanja a), b), v), g).
Onda, nastavnik objasni grafiqki prikaz u obliku histogramai rexavamo zadatak 563.
Doma�i zadatak Svaki uqenik treba da u svom okru�enju na�eprimer nekog procesa ili istra�ivanja koji je pogodan za grafiq-ko predstavljanje. Te primere demonstriramo slede�eg qasa. Svakiprimer �e pripremiti par uqenika. Parove izaberu sami uqeniciizme�u sebe.
Zavisne veliqine 127
98. QAS
Grafiqko predstavljanje podataka Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Razviti kod uqenika sposobnost da odre�ene procese pred-stave grafiqki, ali i da umeju sa grafika proqitati podatke.
Tok qasaUqenici demonstriraju zadatke i rexenja zadataka koje su sa-
mi uoqili i formulisali za doma�i zadatak. Za svaki nacrtangrafikon (ili histogram) nastavnik insistira na qitanju podata-ka sa grafikona. Qitanje sa grafikona obavljaju uqenici koji nisuuqestvovali u definisanju problema.
Pred kraj qasa nastavnik preuzima inicijativu i rexava sle-de�e zadatke sa histogramima: Ve�ba 4 sa 145. strane u�benika,zatim zadaci 564 i 565 iz zbirke.
Doma�i zadatak 560, 561, 562.
128 Pismeni zadatak
99. QAS
Priprema za tre�i pismeni zadatak Obnavljnje
Rad u homogenim grupama Dijalog
Cilj Diferenciranje znanja uqenika u vezi gradiva nauqenog udrugom polugodixtu.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik i Zbirka.
Raspore�ivanje uqenika u homogene grupe na tri nivoa znanjavrxi se na uobiqajeni naqin. Prema sopstvenoj proceni o uspe-xnosti uqenika u savla�ivanju gradiva, nastavnik priprema trivrste listi�a sa zadacima nivoa A (elementarni), B (vixi) i V(najvixi), sliqno izboru predlo�enom za 77 qas.
Doma�i zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismenizadaci”, predvi�eni za tre�i pismeni zadatak.
Pismeni zadatak 129
100. QAS
Tre�i pismeni zadatak Kontrola znanja
Grupa A)
1. Rastavi na qinioce polinom 3a4b3 − 12a2b3.2. Izraqunaj (
√3 − 2)2, pa rexi jednaqinu x −√
3 =√
7 − 4√
3.3. Ako je zbir unutraxnjih uglova mnogougla 2880◦, koliko dija-
gonala ima taj mnogougao?4. Konstruixi pravilan xestougao upisan u kru�nicu preqnika
5 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla.5. U pravouglom koordinatnom sistemu dat je trougao sa teme-
nom A(6, 1), B(0, 9) i C(−15, 1). Izraqunaj povrxinu i obimtrougla ABC.
Grupa B)
1. Rastavi na qinioce polinom 16 − 8x2 + x4.2. Izraqunaj (2 −√
5)2, pa rexi jednaqinu x√
5 − 2 =√
9 − 4√
5.3. Ukupan broj dijagonala pravilnog mnogougla 8 puta je ve�i
od broja dijagonala koje se mogu povu�i iz jednog temena. Od-redi unutraxnji ugao tog mnogougla.
4. Konstruixi pravilni xestougao obima 27 cm. Kolika je nje-gova povrxina? Raqunaj na dve decimale.
5. Trougao je dat u pravouglom koordinatnom sistemu temeni-ma M(−2,−1), N(2, 2), P (−6, 2). Izraqunaj obim i povrxinutrougla MNP .
Grupa V)
1. Rastavi na qinioce polinom 5xy7 − 45x3y5.
2. Izraqunaj (1 −√2)2, pa rexi jednaqinu 2x +
√2 =
√3 − 2
√2.
3. Spoljaxnji ugao kod temena A pravilnog mnogougla je 15◦. Ko-liko dijagonala ima ovaj mnogougao?
4. Konstruixi pravilan xestougao opisan oko kruga polupreq-nika 3 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla.
5. Trougao ABC dat je u pravouglom koordinatnom sistemu te-menima A(−4, 7), B(−4,−5), C(1, 7). Izraqunaj povrxinu obimovog trougla.
130 Pismeni zadatak
Grupa G)
1. Rastavi na qinioce polinom 1 − 18y2 + 81y4.
2. Izraqunaj (2 −√7)2, pa rexi jednaqinu x − 2 =
√11 − 4
√7.
3. Jedan mnogougao ima ukupno 119 dijagonala. Koliki je zbirunutraxnjih uglova tog mnogougla?
4. Konstruixi pravilan xestougao kome je ve�a dijagonala 7 cm.Izraqunaj obim i povrxinu tog xestougla.
5. U pravouglom koordinatnom sistemu dat je trougao temeni-ma M(−1, 2), N(3,−1), P (3, 5). Izraqunaj obim i povrxinutrougla MNP .
Grupa D)
1. Rastavi na qinioce polinom 2m3n2 − 18m3n4.2. Izraqunaj (
√2 −√
3)2, pa rexi jednaqinu x +√
3 =√
5 − 2√
6.3. Koliko dijagonala ima pravilni mnogougao qiji unutraxnji
ugao je 165◦?4. Konstruixi pravilni xestougao kome je manja dijagonala du-
�ine 4 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla.5. Trougao KLM dat je u pravouglom koordinatnom sistemu te-
menima K(−6, 6), L(−6,−2), M(9,−2). Izraqunaj povrxinu iobim trougla KLM .
Pismeni zadatak 131
101. QAS
Ispravka pismenog zadatka Sistematizovanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Ukazivanje na sistematske i pojedinaqne grexke, uz pouku onaqinu otklanjanja tih grexeka.
Tok qasaUobiqajeno za qas ispravke pismenog zadatka. (Vidi 40. qas.)Praksa je pokazala da veliki broj uqenika ne usvoji pravilno
pojam apsolutne vrednosti, a posebno jednakost√
a2 = |a|. Zbog to-ga bi trebalo posebno obratiti pa�nju na drugi zadatak i rexitibar dva sluqaja. Na primer:
Grupa B)
2. (2 −√5)2 = 22 + 2 · 2 · (−√
5) + (−√5)2 = 4 − 4
√5 + 5 = 9 − 4
√5.
Rexenje jednaqine: x√
5 − 2 =√
9 − 4√
5. Prema prethodnom re-
zultatu je x√
5− 2 =√
(2 −√5)2. Prema jednakosti
√a2 = |a| imamo:
x√
5 − 2 = |2 − √5|. Dalje, kako je 2 <
√5, to je 2 − √
5 < 0, pa je|2 −√
5| = −(2 −√5) = −2 +
√5.
Data jednaqina dobija oblik: x√
5 − 2 = −2 +√
5, a odatle jex√
5 =√
5, pa je konaqno x = 1.
132 Zavisne veliqine
102. QAS
Direktna proporcionalnost Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Grafiqki prikazati zavisnost dve promenljive veliqine,vezane jednakox�u y = kx, gde je k pozitivna konstanta.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 145. do 149. strane.
Razmatra�emo parove veliqina, qije su promene uzajamne za-visne (prouzrokovane). Navedemo neke primere.
Put koji pre�e automobil, pri brzini od 50 km na qas, zavisiod trajanja (vremena) putovanja
Visina raquna pri kupovini lubenice po ceni od 20 dinara zakilogram, zavisi od mase lubenice.
Nastavnik tra�i od uqenika da i sami opixu neke sliqne pa-rove promenljivih veliqina.
Dalje, kroz rexavanje primera 1, 2, 3 i 4 i i analiziranje me-�usobnih odnosa parova promenljivih veliqina, nastavnik uvodipojam direktne proporcionalnosti, y = kx, odnosno
y
x= k, gde je
pozitivna konstanta k tzv. koeficijent proporcionalnosti.Kao xto smo nauqili u prethodnom odeljku (96. i 97. qas),
grafikone koristimo za qitanje potrebnih podataka (kao xto smouqinili u primeru 1).
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, sa 149. strane.
Zavisne veliqine 133
103. QAS
Direktna proporcionalnost Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Grafiqko prikazivanje promena raznih vrsta zavisnih, di-rektno proporcionalnih veliqina.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 103. do 105. strane.
Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Ponovimo pojam direktno proporcionalnih veliqina (tekst
Ukratko na 103. i 104. strani).Rexavamo niz karakteristiqnih zadataka. Rexenja na xkolskoj
tabli i neophodne komentare i zakljuqke izvode uqenici, uz even-tualnu minimalnu pomo� nastavnika.
Rexavamo zadatke redom: 566, 567, 568, 569.Zatim, rexavamo zadatke 1. i 4. iz Ve�be sa 149. strane u�be-
nika.Na kraju, reximo zadatke 573 i 575.
Doma�i zadatak 570, 571, 572.
134 Zavisne veliqine
104. QAS
Obrnuta proporcionalnost Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Grafiqki prikazati promene parova obrnuto proporcional-nih veliqina.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 150. do 154. strane.
Kao xto je opisano na poqetku 150. strane, navedemo praktiqanprimer (odnos broja radnika i vremena rada) para zavisnih veli-qina, kod kojih pove�avanje jedne uslovljava smanjenje druge veli-qine. Nastavnik tra�i da i uqenici navedu neke sliqne primerezavisnih veliqina.
Onda, rexavamo primere 1 i 2. Sa grafikona iz primera 1qitamo tra�ene podatke, kao xto je opisano na 150. strani u�be-nika.
Zatim, analiziramo zavisne promenljive iz ovih primera i za-kljuqujemo da se one opisuju jednakox�u xy = k, gde je k pozitivnakonstanta, koeficijent proporcionalnosti.
Onda doka�emo osobinu obrnuto proporcionalnih veliqina:za odgovaraju�e parove vrednosti (x1, y1) i (x2, y2) va�i x1 : x2 =y2 : y1, odnosno
x1
x2=
y2
y1(strana 152).
Zatim, rexavamo i preostale dva primera navedena u u�beni-ku. Zakljuqak iz primera 4 treba zapamtiti.
Doma�i zadatak Ve�ba 1, 2, 3, 4, 5 sa 154. strane.
Zavisne veliqine 135
105. QAS
Obrnuta proporcionalnost Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Me�u praktiqnim primerima zavisnih promenljivih uoqitiobrnuto proporcionalne.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 105. do 106. strane.
Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Ponovimo pojam obrnute proporcionalnosti (tekst Ukratko na
105. strani).Zatim, nastavnik prepuxta uqenicima inicijativu u rexava-
nju zadataka 576, 577, 578.Onda, rexavaju zadatke, koje su prethodnog qasa dobili za do-
ma�i zadatak. To su zadaci 1, 2 i 4 iz Ve�bi sa 154. strane u�be-nika.
Doma�i zadatak 579 i 580.
136 Zavisne veliqine
106. QAS
Primene proporcionalnosti Uve�bavanje
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Osobine direktno i obrnuto proporcionalnih veliqina pri-meniti na praktiqne situacije.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 155. do 158. strane.
Iz definicija i nauqenih osobina direktno i obrnuto propor-cionalnih veliqina izvodimo va�ne zakljuqke:
a) Ako su (x1, y1) i (x2, y2) parovi odgovaraju�ih vrednostidirektno proporcionalnih veliqina, onda je
x1 : x2 = y1 : y2.
b) Ako je req o parovima obrnuto proporcionalnih veliqina,onda je
x1 : x2 = y2 : y1 i y1 : y2 =1x1
:1x2
.
(Videti 155. i 156. stranu u�benika.)Zatim, rexavamo primer 1, koji nastavnik iskoristi da obja-
sni kako se postavljaju strelice koje definixu razmere. Tako�e jebitno kako na osnovu odgovora vixe ili manje odre�ujemo direk-tno i obrnuto proporcionalne veliqine.
Uqenici dalje, uz diskretno pra�enje nastavnika, rexavaju pri-mere 2, 3 i 4, sa 157. i 158. strane.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 sa 158. strane.
Zavisne veliqine 137
107. QAS
Primene proporcionalnosti Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Rexavanje praktiqnih problema korix�enjem proporcional-nosti zavisnih veliqina.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 106. do 108. strane.
Ponovimo praktiqne osobine proporcionalnih veliqina (tekstUkratko sa 106. strane).
Uqenici na tabli rexavaju zadatke redom: 584, 582, 585, 586,588, 589, 592, 593.
Doma�i zadatak 581, 583, 587, 590, 591.
138 Zavisne veliqine
108. QAS
Svojstva proporcija Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Ista�i i koristiti praktiqne osobine proporcija.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 159. do 161. strane.
Ponovimo definiciju proporcije. Zatim, istaknemo va�ne prak-tiqne osobine:
Iz a : b = c : d, sledi a · d = b · c i a = ck, b = dk, gde je kpozitivna konstanta (strana 159. u u�beniku).
Rexavamo primere 1, 2, i 3.Zatim, izvedemo (doka�emo) osobinu.Iz a : b = c : d sledi (a + b) : (c + d) = a : c = b : d i(a − b) : (c − d) = a : c = b : d, (c > d).Zatim, reximo i primer 4 (strana 161).Ukoliko je do kraja qasa ostalo dovoljno vremena, rexavamo i
Ve�be 2 i 3.
Doma�i zadatak Ve�be sa 161. strane.
Zavisne veliqine 139
109. QAS
Svojstva proporcija Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Primena praktiqnih osobina proporcija.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 108. do 110. strane.
Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Ponovimo osobine koje smo istakli prethodnog qasa (tekst
Ukratko sa 108. strane).Onda, na naqin uobiqajen za rad u parovima, uqenici, uz dis-
kretno uqex�e nastavnika, rexavaju zadatke: 601, 602, 603, 604,605.
Zatim, rexavaju zadatke: 608, 610, 612.
Doma�i zadatak 606, 607, 611, 614.
140 Zavisne veliqine
110. QAS
Zavisne veliqine Sistematizovanje
Rad u homogenim grupama Dijalog
Cilj Sistematizovanje i diferenciranje ukupnog znanja uqenikau vezi sa zavisnim veliqinama.
Tok qasaIzbor homogenih grupa i naqin rada opisan je u toku qasa 77.
Izbor zadataka za ovaj qas, po nivoima zahteva, na pripremljenimlisti�ima, vrxi nastavnik na osnovu procenjenog znanja uqenika.
Ugledni predlog izbora zadataka u tri nivoa zahteva.
A) 549, 562, 571, 579, 596, 613
B) 552, 559, 573, 579, 597, 609
V) 555, 560, 575, 579, 600, 615
Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, zadaci za sedmu kontrolnu ve�bu.
Zavisne veliqine 141
111. QAS
Sedma kontrolna ve�ba(zavisne veliqine) Kontrola znanja
Grupa A)
1. Odredi du�inu du�i AB, ako je A(−7,−3) i B(5, 2).2. Ako slavinu odvrnemo do kraja u kadu se nalije 15 litara
vode u minutu. Naqini tabelu i grafikon za prvih 10 minutatoqenja.a) U kadu na 1 cm dubine staje 6 litara vode. Sa grafiko-na proqitaj posle koliko vremena dubina vode u kadi iznosi12 cm.b) Kolika �e dubina vode biti u kadi posle 7 minuta?
3. Beraqi jabuka obrali su vo�njak povrxine 2 hektara za 15dana, rade�i dnevno po 8 sati. Beraqi se dogovore da drugi,isti toliki vo�njak (2 hektara), oberu za 10 dana. Za kolikosati moraju produ�iti radno vreme, da bi izvrxili plan?
4. Odredi x i y ako je x : y = 559
: 1313
i 3x − y = 39.
Grupa B)
1. Odredi du�inu du�i MN , ako je M(0,−4) i N(−5, 8).2. Ako za qeliqnu oprugu zakaqimo teg od 1 kg, opruga se izdu-
�i za 3 cm. Za svaki novi teg od 1 kg izdu�i se jox za 3 cm.Nacrtaj grafikon, tako da je na osi x oznaqena masa tega.a) Sa grafikona proqitaj koliko se izdu�i opruga ako se oka-qi masa od 3,5 kg.b) Urox je okaqio svoju torbu s knjigama i opruga se izdu�ilaza 7,5 cm. Kolika je masa Uroxeve torbe s knjigama?
3. U radionici za izradu �onova za 6 radnih dana napravilisu 714 pari �onova. Koliko �e pari �onova proizvesti istagrupa radnika za 17 radnih dana?
4. Komad legure od 312 kg dobijen je mexanjem gvo��a i cinka urazmeri 7 : 5. Ako se za istu koliqinu legure upotrebi 20 %cinka vixe, za koliko treba smanjiti koliqinu gvo��a?
142 Zavisne veliqine
Grupa V)
1. Odredi du�inu du�i AB, ako je A(5, 9) i B(−3, 3).
2. Loptica za tenis pada sa krova solitera, sa visine od 125 me-tara. U prvoj sekundi padne taqno 5 metara, a onda, u svakojslede�oj sekundi pada za 10 metara vixe nego u prethodnoj.Naqini tabelu i odgovaraju�i grafikon. Vreme padanja ozna-qi na x osi, a sa y obele�i visinu u metrima, tj. udaljenostod tla. Sa grafikona proqitaj:a) Na kojoj je visini loptica posle 2,5 sekunde?b) Za koje vreme loptica padne do polovine visine?
3. Znamo da 6 radnika zavrxi odre�eni posao za 25 radnih dana.Koliko jox radnika treba zaposliti da bi posao bio zavrxenza 15 radnih dana?
4. Imamo 16 litara razbla�enog soka, koji smo dobili sipanjemkoncentrovanog vo�nog sirupa u qistu vodu. Koliqine vode isirupa su u razmeri 5 : 3. Ako dolijemo jox 2 litara qistevode, u kojoj �e razmeri biti koliqine vode i koncentrovanogsirupa?
Grupa G)
1. Odredi du�inu du�i MN , ako je M(6,−8) i N(−9, 0).
2. Olja priprema knjigu za xtampu rade�i 6 dana po tri satadnevno. Nacrtaj grafikon koji pokazuje zavisnost broja satidnevnog rada (y sati) od broja radnih dana (x dana). Sa gra-fikona proqitaj koliko sati dnevno treba da radi Olja, ako�eli da posao uradi za 9 dana.
3. U vo�njaku su xljive i jabuke. Xljiva ima 35 %, a jabuka imavixe za 24 stabala. Koliko je xljiva u vo�njaku?
4. Koliko litara 40-procentnog rastvora sir�eta treba pome-xati sa 45 litara 75-procentnog rastvora sir�eta, ako semexanje vrxi u razmeri 8 : 15?
Zavisne veliqine 143
Grupa D)
1. Odredi du�inu du�i PQ, ako je P (−13, 4) i Q(7,−11).2. Tokom jednog dana merena je temperatura vazduha, na svaka
dva sata. Rezultati su uneti u tabelu.
x sati 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24u ◦ C 8 3 2 5 9 14 16 15 11 9 7 6
Nacrtaj odgovaraju�i grafikom. Sa grafikona proqitaj tem-peraturu u 11 qasova. U koliko je sati temperatura vazduhabila 10◦ C?
3. Xest traktora uzore njivu za 12 radnih dana. Za koliko bidana pre roka istu njivu uzoralo 8 traktora?
4. U leguri bronze, bakar i kalaj su pomexani u razmeri 11 : 7.Kolika je masa bronze, ako je pomexano 22,4 kg kalaja?
144 Krug
112. QAS
O krugu ukratko Obnavljanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Obnoviti poznate osobine kruga, radi pripreme iz izuqa-vanja novih pojmova.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 162. do 165. strane.
Krug je jedna od najznaqajnijih ravnih figura. O krugu znajui ljudi koji nisu uqili xkolu, a tokom istorije njime su se bavilinajve�i umovi.
Ponovimo o krugu sve xto smo ranije nauqili, poqev od defi-nicije. Posebno �emo ista�i pojmove: centar, polupreqnik, preq-nik, tetiva, luk, centralni ugao, tangenta, seqica. Istiqemo qinje-nice da je krug centralno i osno simetriqan, sa beskonaqno mnogoosa simetrije. Zatim, da svaki trougao i svaki pravilni mnogougaoimaju opisanu i upisanu kru�nicu. Sve to je navedeno u u�beniku(od 162. do 165. strane), i to prirodnim redosledom. Najva�nijeqinjenice su posebno istaknute. To su qinjenice koje uqenici trebada znaju, a ako su zaboravili, neka ih ponovo nauqe.
Posebno istiqemo sluqaj kad se dva kruga dodiruju, spolja(O1O2 = r1 + r2) i iznutra (O1O2 = |r1 − r2|). Ako je A dodirnataqka dva kruga, onda su taqke O1, O2 i A kolinearne.
Tokom izlaganja, nastavnik crta odgovaraju�e slike na xkol-skoj tabli, a uqenici u svojim sveskama.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 sa 165. strane.
Krug 145
113. QAS
Centralni i periferijski ugao Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Uoqiti vezu izme�u centralnog i periferijskog ugla nadistom tetivom, pa utvrditi da je periferijski ugao nad preqnikomprav.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 165. do 169. strane.
Koriste�i se podudarnox�u trouglova, najpre doka�emo da ukrugu (i u podudarnim krugovima) jednakim tetivama odgovarajujednaki centralni uglovi, a va�i i obrnuto (primer 1).
Zatim, definixemo periferijski ugao nad datim lukom (teti-vom) i pojam periferijskog i njemu odgovaraju�eg centralnog ugla.
Onda, doka�emo teoremu o periferijskom i centralnom uglu(strana 167.), pa reximo primere 2 i 3 (strana 168).
Zatim, istaknemo bitnu posledicu dokazane teoreme: ugao nadpreqnikom je prav. U vezi sa tim proqitamo (ispriqamo) priqu oAdamu Riseu (zeleni boks na 171. strani).
Onda, reximo primer 4 (strana 169), pa navedemo kako jete qinjenice iskoristio arapski matemetiqar Abu Hasan (zeleniboks).
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 i 6 sa 172. strane.
146 Krug
114. QAS
Centralni i periferijski ugao Uve�bavanje
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Primene osobina centralnih i periferijskih uglova.
Osnovni tekstU�benik, 170. strana i Zbirka, od 111. do 116. strane.
Tok qasaPonovimo o centralnom i periferijskom uglu (definiciju i
odnose sa odgovaraju�im tetivama i lukovima), posebno teoremu otetivnom i centralnom uglu i uglu nad preqnikom.
Rexavamo zadatke iz zbirke: 616, 617, 619, 624, 627.Sa posebnom pa�njom rexavamo primere 5 i 6 (strana 170.
u u�beniku), uz nastojanje da uqenici sami (ili uz malu pomo�nastavnika) do�u do rexenja.
Uvodimo pojam tangentnih du�i iz date taqke na dati krug.Onda, rexavamo zadatke iz zbirke: 626, 630, 632, 634, 640.
Doma�i zadatak 618, 620, 622, 625, 629, 638, 649.
Krug 147
115. QAS
Uglovi u krugu Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Proxiriti znanja o krugu (tetivni qetvorougao, tangentni
ugao), radi ve�eg anga�ovanja radoznalih uqenika.
Osnovni tekst U�benik, boksovi na 171. i 172. strani.
Tok qasaObnovimo odnos izme�u centralnog i odgovaraju�eg perife-
rijskog ugla, ugao nad preqnikom i o tangentnim du�ima. Onda,reximo zadatke: 623, 633, 643, 650.
Definixemo tetivni qetvorougao i postavimo zadatak: ”Akoje ABCD tetivni qetvorougao, izraqunaj β + δ”. (Videti zeleniboks na 171. strani.)
Uqenici samostalno dolaze do rexenja.Istiqemo da dobijeni zakljuqak va�i za svaki tetivni qetvo-
rougao, ali da va�i i obrnuto. (Ako je zbir naspramnih uglovaqetvorougla jednak 180◦, oko qetvorougla se mo�e opisati krug.)
Reximo zadatak 5. iz Ve�be sa 172. strane.Definixemo (i nacrtamo) tangentni ugao (slika na 172. stra-
ni) i formulixemo zahtev:”Doka�i da je tangentni ugao koji odgovara tetivi AB jednak
periferijskom uglu koji odgovara toj tetivi”.Uqenici samostalno dokazuju tvr�enje.Reximo zadatak iz zelenog boksa na 172. strani.
Doma�i zadatak 645, 652, 654.
148 Krug
116. QAS
Obim kruga Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Pokazati da se obim kruga ne mo�e taqno odrediti i ukaza-ti da koliqnik O : 2r ima konstantnu, ali iracionalnu vrednost.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 173. do 176. strane.
Nastavnik pripremi ”krojaqki metar” (traku od platna) i parokruglih predmeta, radi izvo�enja ogleda o obimu kruga.
Uqenike treba upoznati sa problemom merenja du�ine krivelinije i klasiqno nerexivim problemom merenja kruga. Zatim, kaoxto je opisano na 173. i 174. strani, koriste�i se Arhimedovomidejom upisivanja i opisivanja pravilnih mnogouglova, utvrdimo
da je 3 <O
2r< 3, 146. Zatim, definixemo broj π =
O
2ri istaknemo
njegovu iracionalnost. Navedemo da se najqex�e koriste pribli-
�ne vrednosti: 3,14 i227
i reximo primer 1.Onda, navedemo primere eksperimenata opisanih na 175. stra-
ni u�benika, pa na qasu izvedemo jox neki sliqan eksperiment,koriste�i se donetim ”krojaqkim metrom”.
Poka�emo kako se pamti π ≈ 3, 14159 . . . . (obojeni tekst pri dnu175. strane).
Rexavamo Ve�be 1, 2, 3 sa strane 176.
Doma�i zadatak 656 a), b), 657 a), b), 659.
Krug 149
117. QAS
Obim kruga Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Koristiti razliqite pribli�ne vrednosti broja π. Prime-na na opisane i upisane kru�nice mnogouglova.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 116. do 119. strane.
Ponovimo ukratko priqu o merenju kruga i formulu za obim.Uqenici navedu nekoliko pribli�nih vrednosti broja π. (Videtitekst Ukratko na 116. strani.)
Rexavamo zadatke 656 v), d), �), 657 v), 660.Zatim, upoznajemo obim polukruga (pola kru�nice plus preq-
nik) i rexavamo zadatke: 658 a) i 659 b).Onda merimo opisane i upisane kru�nice poznatih mnogouglo-
va. Rexavamo zadatke: 666 a) i 667 b), 670.
Doma�i zadatak 656 g), 658 b), v), 661, 663, 666 v), 667 a), 669.
150 Krug
118. QAS
Broj π Obrada
Frontalni rad Monoloxka metoda
Cilj Ista�i znaqaj broja π u praksi i u razvoju nauke.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 176. do 179. strane.
Obnoviti o merenju obima kruga, o definiciji broja π i nje-govim pribli�nim vrednostima. Treba prepriqati ili proqitatitekst iz u�benika, jer, jedan xkolski qas je najmanje xto mo�emouqiniti da istaknemo veliku ulogu broja π u prirodi i nauci.
Pored navedenih primera, mogu se ista�i jox neka pojavljiva-nja broja π. Na primer, g = 9, 81 . . . je iz fizike poznata gravitacija,a√
g = 3, 13 . . . ≈ π.Mo�emo ispriqati i neku anegdotu.Na primer: ”Na Aljasci je vrlo hladno, a na hladno�i se sve
skuplja, pa je tamo π = 3”. (To je tzv. ”eskimsko π”.)Zanimljivo je da je 1897. godine skupxtina ameriqke dr�ave
Indijane (radi jednostavnijih izraqunavanja) donela zakon po ko-me broj π iznosi taqno 4.
Krug 151
119. QAS
Du�ina kru�nog luka Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Izraqunavanje du�ine i obima figura koje su delom ogra-niqene kru�nim lukovima.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 179. do 181. strane.
Ponovimo osobinu da jedanakim centralnim uglovima odgova-raju jednaki kru�ni lukovi, i obrnuto.
Zatim, podsetimo se koje mere imaju uglovi kojima odgovara:polukru�nica, cela kru�nica i qetvrtina kru�nice. Kao xto jeopisano na 179. strani u�benika, izvedemo zakljuqak da su du�inakru�nog luka i veliqina odgovaraju�eg centralnog ugla direktnoproporcionalne.
Kao xto smo uqili u odeljku 5. 6, uqenici izvedu formulu zadu�inu kru�nog luka (strana 179. u u�beniku).
Rexavamo redom primere od 1. do 5.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 na 181. i 182. strani.
152 Krug
120. QAS
Du�ina kru�nog luka Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Primene formule za du�inu kru�nog luka.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 119. do 121. strane.
Ponovimo odnose izme�u du�ine kru�nog luka i du�ine odgo-varaju�eg centralnog ugla i formulu za du�inu luka. Obnovimo ivezu izme�u centralnog i periferijskog ugla.
Rexavamo zadatke iz zbirke: 676 a), b), v), 677 b), v), 678 g),682, 685.
Doma�i zadatak 677 a), 678 b), 680 b), g), 684, 686.
Krug 153
121. QAS
Povrxina kruga Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Pribli�no izraqunavanje povrxine kruga.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 182. do 186. strane.
Obnovimo o izraqunavanju obima kruga, o problemima koje stva-ra kriva kru�na linija i pojam broja π. Podsetimo se na pribli-�ne vrednosti broja π.
Zatim, nastavnik definixe problem poznat kao problem kva-drature kruga i naglasi da je dokazano da je ovo nerexiv problem,pa povrxinu kruga, kao i obim, raqunamo pribli�no.
Koriste�i se idejom indijskog matematiqara Bhaskare iz XIIveka, nastavnik prika�e kako se dolazi do formule P = r2π. (Vi-deti 183, stranu u u�beniku).
Zatim, rexavamo primere 1, 2, 3, 4, 5.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 sa 186. strane.
154 Krug
122. QAS
Povrxina kruga Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Primene formule za povrxinu kruga.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 122. do 124. strane.
Ponovimo formulu P = r2π, pa rexavamo zadatke iz zbirke:691 a), v), d), 692 v), 693 a), �), 694 a), 695 b).
Rexavamo primer 6 sa 184. strane u�benika i uvodimo pojamkru�nog prstena. Onda, reximo zadatak 703 a) i b).
Zatim, reximo zadatke: 696 a), g), 697 b), 700 a).
Doma�i zadatak 696 d), 697 g), 698, 699 a), 704, 708.
Krug 155
123. QAS
Krug Sistematizovanje
Rad u homogenim grupama Dijalog
Cilj Sistematizovanje i diferenciranje znanja uqenika u vezi sakrugom.
Tok qasaUobiqajen naqin rada sa homogenim grupama, detaljno opisan
u pripremi 77. qasa.Predlog izbora zadataka u tri nivoa, sa pripremljenim listi-
�ima.
A: 621, 639, 662, 681, 699 b).
B: 642, 652, 671, 683, 701.
V: 654, 645, 674, 687, 709.
Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, osma kontrolna ve�ba.
156 Krug
124. QAS
Osma kontrolna ve�ba (krug) Kontrola znanja
Grupa A)
1. Prema podacima sa slike dole levo odredi nepoznate uglove�x i �y. Obrazlo�i!
2. Tetiva AB du�ine 12 cm deli kru�nu liniju na dva nejed-naka dela. Kolika je du�ina ve�eg od dva luka, ako je ABCjednakostraniqni trougao upisan u datu kru�nicu. (π = 3, 14)
3. Na krugu polupreqnika 6 cm dat je luk du�ine 7,536 cm. Od-redi periferijski ugao β, koji odgovara ovom luku.
4. Povrxina kru�nog prstena je 263,76 cm2. Ve�i polupreqnikje 12,5 cm. Koliki je manji polupreqnik?
Grupa B)
1. Prema podacima sa slike gore desno odredi nepoznate uglove�x i �y. Obrazlo�i!
2. Oko trougla ABC opisana je kru�nica. Nad stranicama AB,BC, CA du�ine lukova su redom 41,88 cm, 83,76 cm i 62,82 cm.Odredi unutraxnje uglove trougla ABC. (π = 3, 141).
3. Koliki je preqnik kruga u kome luku du�ine 78,5 cm odgovaraperiferijski ugao 22◦30′? (π = 3, 14).
4. Obim kruga se pove�ao za 30 %. Za koliko je procenata pove-�ana povrxina kruga?
Krug 157
Grupa V)
1. Prema podacima sa slike dole levo odredi nepoznate uglove�x i �y. Obrazlo�i!
2. Oko kvadrata KLMN opisana je kru�nica. Stranica KL, du-�ine 10 cm, deli kru�nicu na dva luka. Kolika je du�inamanjeg luka?
3. Obim kruga je 43,96 cm. Koliki luk odgovara centralnom ugluod 43◦12′?
4. Manji polupreqnik kru�nog prstena je du�ine 2√
7 cm. Akoje povrxina kru�nog prstena 65,94 cm2, odredi du�inu ve�egpolupreqnika. (π = 3, 14;
√7 = 2, 65).
Grupa G)
1. Trougao ABC na slici gore desno je jednakostraniqni. Odre-di nepoznate uglove �x i �y. Obrazlo�i!
2. Oko trougla MNP opisan je krug. Kru�ni luk nad stranicomMN predstavlja dve petine obima kruga, a luk nad stranicomMP je tri osmine obima. Odredi unutraxnji ugao trouglaMNP kod temena M .
3. Na krugu preqnika 9 cm dat je luk du�ine 16,656 cm. Kolikicentralni ugao odgovara ovom luku? (π = 3, 14).
4. Povrxina kruga se smanjila za 64 %. Za koliko se procenatasmanjio njegov obim?
158 Krug
Grupa D)
1. Xestougao ABCDEF na slici dole je pravilan. Odredi ne-poznate uglove �x i �y. Obrazlo�i!
2. Oko pravilnog xestougla stranice 15 cm opisana je kru�ni-ca. Stranica AB deli kru�nicu na dva luka. Odredi du�inumanjeg luka. (π = 3, 14).
3. U krugu polupreqnika 12 cm dat je periferijski ugao 37◦30′.Odredi du�inu luka koji odgovara datom uglu. (π = 3, 14).
4. Izraqunaj povrxinu polukruga kome je obim 25,705 dm. Raqu-naj π na tri decimale.
Krug 159
125. QAS
Povrxina kru�nog iseqka Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Izraqunavanje povrxina delova kru�ne povrxi.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 186. do 189. strane.
Tok qasaKru�ni iseqak je deo kru�ne povrxi zahva�en sa dva polupreq-
nika. Sliqno kru�nom luku, zakljuqujemo da su povrxina iseqka iogovaraju�i centralni ugao direktno proporcionalne veliqine.
Koriste�i se ovim zapa�anjem, uqenici samostalno izvode for-mulu za povrxinu iseqka:
Pi =r2πα
360. (Videti 186. stranu u�benika.)
Zatim, rexavamo primere 1 i 2.Nastavnik postavi zadatak: ”Odredi vezu izme�u du�ine luka
i povrxine iseqka”.Kao xto je opisano na 187. strani, dobijamo
Pi =r · l2
.
Onda, reximo primer 3.Zatim, reximo primer 4. Tamno plavo obojenu figuru na slici
nazivamo kru�ni odseqak. Njegova povrxina, kao xto je objaxnjenona 188. strani je
P0 = Pi − P�Reximo i primer 5.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5, 6 na strani 189.
160 Krug
126. QAS
Povrxina kru�nog iseqka Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Kombinovanje raznih formula vezanih za merenja u krugu.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 124. do 126. strane.
Ponovimo definicije kru�nog iseqka i kru�nog odseqka i for-mule za njihove povrxine (tekst Ukratko 124. strana).
Rexavamo zadatke iz Zbirke 711 a), g), 712, 713, 715, 717, 720.
Doma�i zadatak 714, 716, 718, 723.
Sliqnost 161
127. QAS
Proporcionalne veliqine Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Prouqavanje produ�enih proporcija.
Osnovni tekst U�benik, od 190. do 194. strane.
Tok qasaPonovimo definiciju proporcije i njene osobine. Posebno na-
glasimo osobinu:
Izy1
x1=
y2
x2= k, sledi y1 = kx1 i y2 = kx2.
Dakle, proporcija predstavlja jednakost dve jednake razmere.Uvodimo pojam produ�ene proporcije, koja predstavlja jedna-
kost vixe od dve jednake razmere:y1
x1=
y2
x2=
y3
x3=
y4
x4= k,
odakle je: y1 = kx1, y2 = kx2, y3 = kx3, y4 = kx4.Dogovoreno je da se produ�ena proporcija zapisuje i kao
y1 : y2 : y3 : y4 = x1 : x2 : x3 : x4 (vidi 191. stranu u u�beniku).Rexavamo primere 1 i 2.Zatim, rexavamo problem kako se iz obiqnih proporcija do-
bija produ�ena proporcija. U tom cilju reximo primer 3.Zatim, reximo i primer 4, pa definixemo razmeru du�i, kao
xto je opisano na 193. strani.
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 sa 194. strane.
162 Sliqnost
128. QAS
Proporcionalne veliqine Uve�bavanje
Rad u parovima Dijalog
Cilj Primene produ�enih proporcija
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 127. i 128. strana.
Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Radimo na naqinuobiqajen za rad u parovima.
Ponovimo definicije i osobine proporcija i produ�enih pro-porcija. (Tekst Ukratko, strana 127.) Sliqno obiqnoj proporciji,za produ�ene proporcije va�i osobina:
Iz a : b : c = m : n : p, sledi
(a + b + c) : (m + n + p) = a : m = b : n = c : p.
Ponovimo definiciju razmere dve du�i.Rexavamo zadatke iz zbirke: 726, 727, 729, 731, 733, 735.
Doma�i zadatak 728, 730, 732, 734.
Pismeni zadatak 163
129. QAS
Priprema za qetvrti pismeni zadatak Obnavljanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Sistematizovanje znanja iz druge polovine drugog polugo-dixta.
Tok qasaNa uobiqajan naqin, opisan u pripremi za 38. qas, nastavnik
odabira teme i zadatke, sa ciljem da uqenike usmeri da se dobropripreme za qetvrti pismeni zadatak. Ovaj qas se mo�e bitno raz-liqito organizovati i u dva paralelna odeljka sedmog razreda,shodno sastavu odeljenja i kvalitetu znanja uqenika.
Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, qetvrti pismeni zadatak.
164 Pismeni zadatak
130. QAS
Qetvrti pismeni zadatak Kontrola znanja
Grupa A)
1. Sa jednim �akom cementa izmexa se 0,45 m3 betona. Koli-ko kilograma cementa treba za betoniranje ploqe zapremine2,34 m3? U jednom �aku ima 50 kg cementa.
2. Spoljaxnji uglovi trougla ABC zadovoljavaju uslove
α1 : β1 = 2 : 3 i α1 : γ1 = 3 : 5.
Odredi unutraxnje uglove trougla ABC.
3. U kru�nicu je upisan trapez sa osnovicama AB i CD. Ako jeBC = 15 cm, koliko je AD?
4. Kru�nom iseqku povrxine 1256
cm2 odgovara luk du�ine 713
cm.
odredi centralni ugao iseqka i polupreqnik kruga.(
π =227
)5. Taqka O je centar kruga, a taqka S je sredixte preqnika po-
lukruga na slici. Izraqunaj povrxinu i obim polumeseca,osenqenog na slici. (π = 3, 14).
Pismeni zadatak 165
Grupa B)
1. Jasmina je proxlog meseca dobro radila i zaradila 15 % vi-xe od redovne plate, pa je primila 55200 dinara. Ovog mesecaje podbacila normu i primila 6000 dinara manje od redovneplate. Da li je Jasmina za poslednja dva meseca zaradila vi-xe ili manje od redovne plate?
2. Aca, Branka i Vera uplatili su redom 6, 10 i 9 kombinacijaigre LOTO. Dogovorili su se da ukupan iznos nagrade podeledirektno srazmerna broju upla�enih kombinacija. Dobili sunagradu u iznosu od 30750 dinara. Kako su podelili novac?
3. Na datu kru�nicu iz taqke A povuqene su tangente AB i AC,koje se seku pod uglom od 45◦. Koliki je �ABC?
4. Centralnom uglu od 67◦30′ odgovara luk du�ine 14,13 dm. Ko-lika je povrxina odgovaraju�eg iseqaka? (π = 3, 14).
5. Izraqunaj povrxinu i obim osenqene figure na slici levo.
Grupa V)
1. Aca je menjao evre za dolare. Za 155 evra dobio je 217 dola-ra. Mixa je menjao 350 dolara za evre. Koliko je evra dobioMixa?
2. Napravljena je legura od bakra, gvo��a i kalaja, koji su pome-xani u produ�enoj razmeri 6 : 11 : 9. Gvo��a je upotrebljenoza 5 kg vixe nego kalaja. Koliko je legure pripremljeno?
3. U oxtrouglom trouglu ABC du�i AM i BN su visine. Doka-�i da se oko qetvorougla ABMN mo�e opisati kru�nica.
4. U jednom krugu luku du�ine 18,8 cm odgovara iseqak povrxi-ne 56,52 cm2. Koliki je periferijski ugao nad ovim lukom?(π = 3, 14).
5. Trougao na slici gore desno je jednakostraniqan. Izraqunajpovrxinu i obim osenqene figure.
166 Pismeni zadatak
Grupa G)
1. Osam radnika je istovarilo ugalj iz vagona za 9 sati. Slede�enedelje ista koliqina uglja mora biti istovarena za 6 sati.Koliko novih radnika treba anga�ovati slede�e nedelje?
2. Odredi a, b i c iz uslova:a
8=
b
5,
a
6=
c
5i a + b − c = 38.
3. Iz taqke P konstruisane su tangente PM i PN na kru�nicusa centrom C. Doka�i da je MN normalno na CP .
4. Kru�nom iseqku povrxine 45,216 cm2 odgovara periferijskiugao od 40◦30′. Kolika je du�ina odgovaraju�eg luka? (π =3, 14).
5. Xestougao na slici dole levo je pravilan. Izraqunaj povr-xinu osenqene figure.
Grupa D)
1. Jedna brigada planirala je da ugovoreni posao zavrxi za 25dana. Me�utim, posle 5 dana rada, uvideli su da �e kasni-ti celih 10 dana, ako do kraja budu radili 6 sati dnevno,kao xto su qinili do sada. Za koliko sati moraju produ�itiradno vreme, da bi posao zavrxili u ugovorenom roku?
2. Odredi x, y i z iz uslova: x + y + z = 205, x : z = 4 : 9 iy : z = 5 : 6.
3. Du� AB je preqnik date kru�nice. Ako je C taqka u krugu,van du�i AB, doka�i da je ugao �ACB tup.
4. U jednakostraniqniqni trougao upisana je kru�nica obima18,84 cm. Kolika je povrxina opisanog kruga? (π = 3, 14).
5. Polupreqnici krugova na slici gore desno su du�ina 6 cm i9 cm. Izraqunaj obim i povrxinu osenqenog dela.
Pismeni zadatak 167
131. QAS
Ispravka pismenog zadatka Sistematizovanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Ukazivanje na sistemske i pojedinaqne karakteristiqne gre-xke, uz pouku.
Tok qasaNastavnik javno analizira postignute rezultate. Ukoliko je
bilo masovnih grexaka, ukazuje na njih i na potrebu i naqin is-pravljanja grexaka. Zatim, istiqe i druge karakteristiqne pojedi-naqne grexke, ne imenuju�i ko ih je naqinio.
Pohvala daje pozitivne i blagotvorne efekte, pa treba isko-ristiti svaku priliku da se neke pozitivne qinjenice istaknu iuqenici pohvale.
Onda se komentari ilustruju rexavanjem zadataka na xkolskojtabli. Treba rexiti svih pet zadataka, koje biramo iz raznih gru-pa.
168 Sliqnost
132. QAS
Sliqni trouglovi Obrada
Frontalni rad Dijalog
Cilj Definisa�emo sliqne trouglove, kao trouglove sa jednakimparovima odgovaraju�ih unutraxnjih uglova.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 194. do 199. strane.
Posmatramo figure kao na slici u u�beniku (194. strani).(Dobro je da sliqne slike nastavnik pripremi ili ima sliqnefigure u svom kabinetu). Uoqavamo koje figure upadljive liqe.Kao xto je opisano u u�beniku na 194. i 195. strani, zakljuqimo dao sliqnosti figure (trouglova) odluquju unutraxnji uglovi.
Na osnovu ovih zapa�anja definixemo sliqne trouglove, kaoxto je opisano i naglaxeno na 195. strani.
Rexavaju�i redom primere 1 i 2 zakljuqimo da su odgovara-ju�e stranice sliqnih trouglova proporcionalne (196. strana).
Zatim, rexavamo primer 3.Na osnovu osobina jednakosti utvrdimo da iz
�A1B1C1 ∼ �A2B2C2 i �A2B2C2 ∼ �A3B3C3,
sledi da je i
�A1B1C1 ∼ �A3B3C3.
Zatim, na osnovu zbira unutraxnjih uglova u trouglu, utvrdi-mo da su dva trougla sliqna ako imaju jedaka dva para odgovaraju�ihunutraxnjih uglova, na primer, ako je α = α1 i β = β1.
Dalje, rexavamo primer 4, 5 i 6.
Doma�i zadatak Ve�ba 1, 2, 3 sa strana 198. i 199.
Sliqnost 169
133. QAS
Sliqni trouglovi Uve�bavanje
Frontalni rad Dijalog
Cilj Dalje prouqavanje osobina sliqnih trouglova.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 128. do 131. strane.
Ponovimo definiciju sliqnih trouglova i teoremu o sliqnimtrouglovima (prvi stav sliqnosti). Zatim, ponovimo osobine dasu odgovaraju�e stranice sliqnih trouglova proporcionalne.
(Vidi tekst Ukratko sa 128. i 129. strane.)Onda, rexavamo zadatke iz zbirke: 736, 737, 738, 739, 740, 741.
Doma�i zadatak 742, 745, 746, 747.
170 Sliqnost
134. QAS
Sliqni trouglovi Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Prepoznavanje sliqnih trouglova.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 128. do 131. strane.
Parove qine uqenici koji sede u istim klupama. Radimo nanaqin uobiqajen za rad u parovima.
Ponovimo definiciju sliqnih trouglova i njihove osobine.Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 742, 743, 744, 747, 748,
749, 752, 753.
Doma�i zadatak 750, 751, 754, 755.
Sliqnost 171
135. QAS
Primene sliqnosti Obrada
Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda
Cilj Povezati paralelnost i sliqnost.
Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 199. do 202. strane.
Podsetimo se da su dva ugla sa paralelnim kracima jednaki,ako su oba oxtra, oba tupa ili oba prava. To nam ukazuje da para-lelnost stranica i sliqnost trougla mogu da se ukrste.
Nacrtamo ugao pOq i preseqemo njegove krake sa dve paralelneprave a i b, kao xto je prikazano u u�beniku na 199. strani. Uqeni-ci lako uoqe sliqne trouglove OAA1 i OBB1, pa izvuku zakljuqak oproporcionalnosti odgovaraju�ih odseqaka (poznata Talesova te-orema, koju treba neobavezno pomenuti na qasu.)
Nastavnik ispriqa legendu o Talesu i quvenom merenju visineKeopsove piramide uz pomo� senke.
(Videte tekst na 199. strani.)Onda, rexavamo primer 1 sa 200. strane, koriste�i se sliq-
nom idejom.Rexavanjem primera 2 pokaza�emo kako se uz pomo� sliqnih
trouglova mogu izmeriti du�ine mnogih nedostupnih du�i (obje-kata).
Zatim, reximo klasiqne geometrijske zadatke, istaknute u pri-merima 3, 4 i 5 (strana 201. i 202.)
Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 na 202. strani.
172 Sliqnost
136. QAS
Primena sliqnosti Uve�bavanje
Rad u parovima Heuristiqka metoda
Cilj Uoqimo sliqne figure u okru�enju i iskoristiti osobinekoje su posledice sliqnosti.
Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 131. do 134. strane.
Ponovimo zakljuqak o proporcionalnim odseqcima izme�u pa-ralelnih pravih – Talesovu teoremu. (Tekst Ukratko na 131. stra-ni.)
Reximo, zatim, nekoliko zadataka sa uglovima, du�ima i tro-uglovima, u kojim primenimo ovu teoremu. To su zadaci: 756, 758,759, 761, 762.
Zatim, reximo zadatke u kojima dolazi do primene sliqnostiu naxem prirodnom okru�enju. Rexavamo zadatke 765, 768 i 769.
Doma�i zadatak 757, 760, 763, 764, 770.
Sliqnost 173
137. QAS
Sliqnost Sistematizovanje
Rad u nehomogenim grupama Dijalog
Cilj Obnoviti karakteristiqne probleme iz sliqnosti i prime-ne sliqnosti.
Tok qasaNehomogene grupe formiraju se na uobiqajeni naqin, od uqe-
nika iz dve susedne klupe.Odabrane zadatke rexavamo na mestu i na xkolskoj tabli, kao
xto inaqe qinimo u radu sa nehomogenim grupama. Izbor zadataka,koji najvixe zavisi od koliqine usvojenih znanja uqenika (razli-qito od odeljenja, do odeljenja), ovog puta treba da bude izvrxenpa�ljivije nego inaqe. Trebalo bi ponuditi zanimljivije zadat-ke, imaju�i na umu qinjenicu da se xkolska godina zavrxava, painteresovanje uqenika opada.
Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, deveta kontrolna ve�ba.
174 Sliqnost
138. QAS
Deveta kontrolna ve�ba(krug, sliqnost) Kontrola znanja
Grupa A)
1. Oko pravouglog trougla ABC, sa katetama AC = 1 dm i BC =24 cm, opisana je kru�nica. Taqka C deli luk ̂ACB u razmeri1 : 3. Izraqunaj povrxinu kru�nog odseqka odre�enog katetomBC. (π = 3, 14)
2. Ako je a : b : c = 213
: 556
: 312
i 3c − b = 18, odredi a, b i c.
3. Pravougli trouglovi ABC i A1B1C1 su sliqni. Pravi uglo-vi su �C = �C1 = 90◦. Preqnik opisanog kruga trougla ABCje du�ine 6 dm. Ako je B1C1 = 3 dm i polupreqnik opisanogkruga trougla A1B1C1 je 25 cm, odredi stranice trougla ABC.
4. Nacrtaj du� MN = 7 cm, pa na njoj odredi taqke P i Q, takoda je MP : PQ : QN = 2 : 5 : 4.
Grupa B)
1. U krug preqnika 4 cm upisan je pravougaonik KLMN , tako dataqka L deli luk ̂KLM u razmeri 2 : 1. Izraqunaj povrxinuodseqka kojeg na krugu odre�uje manja stranica pravougaonika(π = 3, 14).
2. Odredi x, y i z, ako je x : y : z = 0, 75 : 1, 25 : 1, 5 i x+y +z = 42.
3. Stranice trougla ABC su a = 21 cm, b = 35 cm i c = 28 cm, aobim sliqnog trougla A1B1C1 je 48 cm. Odredi du�ine stra-nica trougla A1B1C1.
4. Jedno drvo na ravnom terenu ima senku du�ine 21 metar. Isto-vremeno, vertikalno postavljen xtap du�ine metar i po, bacasenku du�ine 140 cm. Koliko je visoko drvo?
Sliqnost 175
Grupa V)
1. U krugu preqnika 1 dm upisan je jednakokraki trougao sauglom kod vrha �BAC = 45◦. Kolika je povrxina odseqka kojegna krugu odre�uje osnovica sa manjim odgovaraju�im lukom?(π = 3, 14).
2. Ako je a : b : c = 3, 5 : 212
: 4 i a + b + c = 30, odredi a, b i c.
3. Trouglovi ABC i A1B1C1 sliqni su i �C = �C1 = 90◦. Trou-gao ABC, kome je kateta AC = 14 cm, upisan je u krug preqnika5 dm. Polupreqnik opisanog kruga trougla A1B1C1 je du�ine40 cm. Odredi du�ine stranica trougla A1B1C1.
4. Du� AB na slici je du�ine 9 cm. Odredi du�ine du�i x = PDi y = CP .
Grupa G)
1. Oko xestougla ABCDEF povrxine 24√
3 cm2 opisana je kru-�nica. Izraqunaj povrxinu manjeg od dva odseqka, kojeg od-re�uje dijagonala AC.
2. Odredi x, y i z, ako je 2x : 4y : 5z = 9 : 14 : 25 i x + y + z = 39.3. Trougao A1B1C1 ima stranice: a1 = 18 cm, b1 = 3 dm i c1 =
16 cm. Najdu�a stranica njemu sliqnog trougla ABC je 12 cm.Odredi stranice trougla ABC.
4. Doka�i da su sliqni trouglovi KLM i RST na slici.
176 Sliqnost
Grupa D)
1. Izraqunaj povrxinu kru�nog iseqka odre�enog lukom du�ine10,99 cm, kome odgovara periferijski ugao 52◦30′. (π = 3, 14).
2. Odredi m, n i p ako jem
2:n
3:z
4= 7 : 6 : 5 i m + n + z = 39.
3. Trouglovi ABC i A1B1C1 su sliqni. Stranice trougla ABCsu a = 12 cm, b = 6 cm i c = 10 cm. Odredi du�ine stranicatrougla A1B1C1 ako je B1C1 − A1C1 = 15 cm.
4. Odredi du�inu du�i x = RS na slici.
Sliqnost 177
139. QAS
Sliqnost Obnavljanje
Rad u parovima Dijalog
CiljOd 139. do (eventualno) 146. qasa plan rada �emo praviti u
hodu, zavisno od kalendara, uklapanja ovolikog broja qasova, kaoi od nivoa znanja svakog odeljenja posebno.
Na konaqan plan rada mo�e bitno uticati i potreba da se iz-vrxi poneka naknadna (usmena) kontrola znanja.
Ukoliko bude mogu�e obnavljanje gradiva, kao xto je ovde pred-lo�eno (od 139. do 142 qasa), onda to treba uqiniti u cilju upu�i-vanja uqenika na pojmove bitne za nastavak izuqavanja matematike.
Do kraja planiramo obnavljanje gradiva.
140. qas O krugu Rad u parovima
141. qas Polinomi Rad u parovima
142. qas Realni brojevi Rad u parovima
143. qas Rezervni qas
144. qas Rezervni qas