7. Proprietà dei circuiti lineari adinamici. Proprieta dei... · Reciprocità dei circuiti...
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A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
7. Proprietà dei circuiti lineari adinamici
Forma matriciale del sistema risolvente di un circuito lineare. Circuito inerte. Coefficientidi rete. Reciprocità dei circuiti lineari. Proprietà di sovrapposizione. Rappresentazione incorrente di bipoli lineari (Teorema di Thevenin). Rappresentazione in tensione di unarete bipolare lineare (Teorema di Norton). Rappresentazioni in corrente, in tensione eibride di doppi bipoli lineari.
1
Un circuito adinamico è lineare se contiene solo componenti adinamici lineari (bipoli, doppibipoli ….) e generatori indipendenti di corrente o tensione. Si consideri a titolo di esempio ilcircuito lineare di figura. Il sistema risolvente completo è di seguito riportato
R2 ig
+
R3
R1vgi2
i1 i4
i3i5
+
k i2
0
0
543
421
iii
iii
0
0
0
53
432
21
vv
vvv
vv
g
g
ii
ikv
iRv
iRv
viRv
5
14
333
222
111
0
0
0
R (N1) LKT
R relazioni costitutivedei componenti
N1 LKC
Alla destra del sistema compaiono, nel ruolo di termini noti, la corrente e la tensioneimpresse dai generatori indipendenti
2
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Risolvendo analiticamente si ottiene
g
gg
gg
gg
gg
ii
iGkGGG
GGv
GkGGG
GkGGi
iGkGGG
GkGv
GkGGG
GkGGi
iGkGGG
Gv
GkGGG
GGi
iGkGGG
Gv
GkGGG
GGi
5
2321
21
2321
2134
2321
23
2321
2133
2321
2
2321
122
2321
1
2321
111
11
1
1
1
1
1
11
11
1
Ogni corrente ed ogni tensione del circuito è composta, in generale, da due contributi:uno dovuto al generatore di tensione indipendente ed uno dovuto al generatore dicorrente indipendente
gg
gg
gg
gg
gg
iGkGGG
Gkv
GkGGG
GkGv
iGkGGG
Gkv
GkGGG
GGkv
iGkGGG
Gkv
GkGGG
GkGv
iGkGGG
vGkGGG
Gv
iGkGGG
vGkGGG
Gv
2321
2
2321
215
2321
2
2321
214
2321
2
2321
213
23212321
12
23212321
11
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
La relazione costitutiva di un bipolo lineare e di un generatore indipendente può essereespressa in termini generali nella seguente forma implicita
gv
givi
gg vhihvhih
;;0 viig
vg hRhhh
Si possono avere i seguenti casi
;1;0 vg
vig
i hhhh
i
v
R
;1;0 ig
ivg
v hhhh
iRv
i+
v
vg
ivv g vii g
i
v
ig
i1
v1
i2
v2
0
0
222121222121
212111212111
vhvhihih
vhvhihihvvii
vvii
Analogamente, qualunque sia la rappresentazione adottata, larelazione costitutiva di un doppio bipolo lineare può essereespressa in termini generali nella seguente forma implicita
2221212
2121111
irirv
irirv
;0;1
;;;;
21122211
2222212112121111
vvvv
iiii
hhhh
rhrhrhrh
esempio:
4
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Si consideri un circuito lineare avente R rami ed N nodi nel quale agiscono Ngi generatoriindipendenti di corrente e Ngv generatori indipendenti di tensione. Assemblando in formamatriciale le relazioni costitutive di tutti i componenti il sistema risolvente completo si puòesprimere in forma compatta come segue
gvg
gig
vi
v
H
0
0
i
H
0
0
v
i
HH
L0
0T
gvgg
ig
vi vHiHvHiH
0vL
0iT
R (N1) LKT
R relazioni costitutive dei componenti
N1 LKC
Esprimendo la precedente in forma matriciale otteniamo
La matrice ( ) è una matrice diagonale di dimensione R Ngi (R Ngv) il cui genericoelemento in posizione h,h vale +1 se sul ramo h è presente un generatore di corrente (ditensione) e zero altrimenti
igH v
gH
5
gig
gvg
vi
i
H
0
0
v
H
0
0
v
i
HH
L0
0T
gg
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
3
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0000010000
010000000
001000000
000100000
000010000
1010000000
0111000000
0001100000
0000011100
0000001011
vi
v
v
v
v
v
i
i
i
i
i
k
R
R
R
\
Ad esempio con riferimento al circuito considerato si ottiene
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Invertendo la matrice dei coefficienti (ciò è sempre possibile a condizione che il circuito sianon patologico) si ottiene la seguente espressione della soluzione
gvg
1
vig
ig
1
vi
v
H
0
0
HH
L0
0T
i
H
0
0
HH
L0
0T
v
i
Rh
virv
vgii
N
kkghk
N
kkghkh
N
kkghk
N
kkghkh
,...,1gvgi
gvgi
11
11
La corrente e la tensione in ciascun ramo di un circuito lineare sono esprimibili comecombinazione lineare della correnti e delle tensioni impresse dai generatori indipendenti
7
I coefficienti di proporzionalità sono detti coefficienti di rete
jv
kjikg
hhk
jg
jgi
i
0
0
guadagno di corrente
kjv
jikg
hhk
jg
jgv
ig
0
0
conduttanza di ingresso (k=h)conduttanza di trasferimento (kh)
jv
kjikg
hhk
jg
jgi
vr
0
0
resistenza di ingresso (k=h)resistenza di trasferimento (kh)
kjv
jikg
hhk
jg
jgv
v
0
0
guadagno di tensione
Il generico coefficiente xhk può essere calcolato/misurato spegnendo tutti i generatoriindipendenti all’interno del circuito fuorché quello agente sul ramo k, calcolando/misurandola grandezza (corrente o tensione) di interesse sul ramo h e facendone il rapporto. Data laproporzionalità tra tale grandezza e quella impressa sul ramo k e dovendone considerare ilrapporto risulta che ciascun coefficiente è indipendente dal valore delle grandezzeimpresse. 8
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Un circuito lineare nel quale siano spenti tutti i generatori indipendenti si dice inerte (talecircuito contiene solo resistori, generatori pilotati e doppi bipoli resistivi)
Un generatore di tensione spento ( i.e. con tensione impressa vg = 0 ) è equivalente ad uncorto circuito. Un generatore di corrente spento (i.e. con corrente impressa ig = 0 ) èequivalente ad un circuito aperto. Si può allora assumere che in ogni ramo della rete siapresente un generatore di tensione spento e tra ogni coppia di nodi sia presente ungeneratore di corrente spento.
Ciò comporta che, in termini generali, un coefficiente di rete possa essere definitorelativamente ad una qualunque combinazione di rami e/o coppie di nodi di un circuito inerte
Esempio: conduttanza di trasferimento tra le porte h e k
k
hhk v
ig
ihvk
+
+
Circuito inerte
Circuito lineare inerte
9
Un circuito inerte costituito da bipoli lineari è necessariamente reciproco rispetto a qualsiasipaio di rami e rispetto a qualunque paio di coppie di nodi
Proprietà di reciprocità dei circuiti lineari
Dimostrazione: Si consideri un circuito a R rami. Si introduca in serie al ramo h un generatore di tensione la cuitensione impressa è vg. Sia i'i la corrente imposta da tale generatore nell’i-esimo ramo. La tensione del i-esimo ramosarà v'i = ri i'i se i h e v'i = vg + ri i'i se i = h. Si introduca ora il medesimo generatore in serie al ramo k. Sia i''i lacorrente imposta da tale generatore nell’i-esimo ramo. La tensione dell’i-esimo ramo sarà v''i = ri i''i se i k e v''i =vg + ri i''i se i = k. Entrambi gli insiemi di corrente di ramo i' e i'' rispettano le LKC. Entrambi gli insiemi di tensioni diramo v' e v'' rispettano le LKT. È possibile dunque applicare il teorema di Tellegen ai prodotti incrociati v'i i''i e v'i i''i .Si ottiene quindi
0'''0'''11
R
iii
R
iii iviv
R
iiiikg
R
iiiihg iiriviiriv
11
'''''''''
da cui
Data l’arbitrarietà di vg si ottiene quindi i''h = i'k, il che prova la reciprocità del circuito rispetto ai due generici rami h ek. Con considerazioni analoghe è possibile dimostrare la reciprocità del circuito rispetto a qualunque paio di coppie dinodi.
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Un circuito inerte costituito da bipoli lineari e doppi bipoli (o m-porte) lineari è reciprocorispetto a qualsiasi paio di rami e rispetto a qualunque paio di coppie di nodi se è solo se idoppi bipoli (o m-porte) in esso presenti sono reciproci
Dimostrazione: Si consideri un circuito a R rami in cui è presente un doppio bipolo caratterizzato dall matrice R.Siano p e q i rami corrispondenti alle sue porte. Si introduca in serie al ramo h un generatore di tensione la cuitensione impressa è vg. Sia i'i la corrente imposta da tale generatore nell’i-esimo ramo. Sia i' il vettore delle correntiimposte nel doppio bipolo ( i't = [i'p , i'q] ). La tensione dell’i-esimo ramo sarà v'i = ri i'i se i h,p,q e v'i = vg + ri i'i sei = h. Il vettore delle tensioni dei rami p e q sarà v'=Ri'. Si introduca ora il medesimo generatore in serie al ramo k.Sia i''i la corrente imposta da tale generatore nell’i-esimo ramo. La tensione dell’i-esimo ramo sarà v''i = ri i''i se i k,p, q e v''i = vg + ri i''i se i = k. Sia i'' il vettore delle correnti del doppio bipolo. Il vettore delle tensioni dei rami p e qsarà v''=Ri''. Entrambi gli insiemi di corrente di ramo i' e i'' rispettano le LKC. Entrambi gli insiemi di tensioni di ramov' e v'' rispettano le LKT. È possibile dunque applicare il teorema di Tellegen ai prodotti incrociati v'i i''i e v'i i''i . Siottiene quindi
''''''''
''''''''
0''''''
tt
,1
t
,1
t
,1
iRi
iiR
iv
R
qpii
iiihg
R
qpii
iiihg
R
qpii
ii
iiriv
iiriv
iv
Data l’arbitrarietà di vg si ottiene quindi che i''h = i'k (i.e. il circuito è reciproco rispetto ai due generici rami h e k) se esolo se R=Rt , ossia se è solo se il doppio bipolo è reciproco (r12 = r21 ). Con considerazioni analoghe è possibiledimostrare che la reciprocità del doppio bipolo è condizione necessaria e sufficiente anche per la reciprocità delcircuito rispetto a qualunque paio di coppie di nodi.
R
qpii
iiikg
R
qpii
iiikg
R
qpii
ii
iiriv
iiriv
iv
,1
t
,1
t
t
,1
'''''''
'''''''
0''''''
iRi
iiR
iv
11
Per un circuito lineare è possibile enunciare la seguente proprietà di sovrapposizione
La corrente (tensione) che si stabilisce in un ramo del circuito a causa della presenzacontemporanea di più generatori indipendenti è ottenibile come somma dei contributidovuti a ciascun generatore considerato agente singolarmente
Ciò comporta che in un circuito all’interno del quale sono presenti Ngi e Ngv generatoriindipendenti di corrente e di tensione rispettivamente sia scomponibile in Ngi + Ngv circuitidistinti all’interno dei quali agisce un solo generatore
Proprietà di sovrapposizione
La proprietà di sovrapposizione può essere sfruttata per risolvere rapidamente circuiti chenon contengono generatori pilotati. Infatti in tal caso ciascuno dei sotto circuiti contiene,oltre ai resistori, un solo generatore (indipendente) e può essere quindi ridotto ad una solamaglia elementare attraverso equivalenze serie/parallelo e/o trasformazioni stella-triangolo.In questo modo è possibile calcolare rapidamente il contributo di ciascun generatore allacorrente e alla tensione di ciascun ramo. La corrente e le tensioni complessive possonoessere ottenute sommando infine i diversi contributi. Questa procedura è mostrata nelseguente esempio.
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R2 ig
+
R3
R1vgi2
i1= i1+ i1i2= i2+ i2i3= i3+ i3i4= i4+ i4i5= i5+ i5
i4
i3i5
R4
432
4321
1 )(RRR
RRRR
v'i g
'i
RRR
RR'i 1
432
432
i5
R2
+
R3
R1vgi2
i4
i3R4
i1
i5
R2 R3
R1 i2
i4
i3R4
ig
i1
+
gi
RR
RRRR
RR
RRR
''i
21
2143
21
214
3
gi
RR
RRRR
R''i
21
2143
34
'i
RRR
R'i'i 1
432
243 05 'i
''iRR
R''i 4
21
12
''iRR
R''i 4
21
21
gi''i 5
i1
13
R2
+
R3
R1vgi2 i3
+
+
i4i1
i1= i1+ i1+ i1i2= i2 + i2 + i2i3= i3 + i3 + i3i4= i4 + i4 + i4i5= i5 + i5 + i5
La proprietà di sovrapposizione può esseresfruttata anche per risolvere circuiti in cuisiano presenti generatori dipendentiattraverso i seguenti passaggi:
1. Si suddivide il circuito in tantisottocircuiti quanti sono i generatori,sia indipendenti che pilotati. In ciascunsottocircuito agisce un solo generatore,indipendente oppure pilotato.
i5
R2
+
R3
R1
vg
i2 i4 i3i1 i5
R2 R3
R1i2 i4 i3
ig
i1
R2 R3
R1i2 i4 i3
i1 i5+
vgp+
14
ki2
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)( 323211 RRRRR
v'i g
)( 32312 RRR'i'i
05 'i
giRRRRR
RRRR''i
)(
)(
21213
21213
gi''i 5
)( 21142 RRR''i''i
)( 322143 RRR'i'i'i
giRRRRR
R''i
)( 21213
34 )( 21241 RRR''i''i
)( 21213
gp34 RRRRR
v'''i'''i
05 '''i)( 21142 RRR'''i'''i
)( 21241 RRR'''i'''i
2. Si determina il contributo di ciascun generatore alla corrente e alla tensione di ogni ramo.Per quanto riguarda il generatore pilotato lo si tratta come se fosse un generatoreindipendente la cui grandezza impressa però non è nota. Si ottiene così un relazione diproporzionalità tra le grandezze di ramo (corrente, tensione) e la grandezza impressa. Inparticolare si ottiene una relazione di proporzionalità tra la grandezza di pilotaggio e quellaimpressa dal generatore pilotato.
15
gp
21213
211
21213
2131
32321
323gp )(
)(
)(
)(
)(
)(v
RRRRR
RRRi
RRRRR
RRRRv
RRRRR
RRRkv gg
gg iGkGGG
Gkv
GkGGG
GGkv
2321
2
2321
21gp 11
'''i''i'ikikv 2222gp
3. Si considera la relazione di definizione del generatore pilotato. La grandezza impressasarà composta da tanti contributi noti dovuti ai generatori indipendenti, nonché da uncontributo proporzionale ad essa stessa. Si ottiene quindi un’equazione in cui l’unicaincognita è la grandezza impressa che può esser quindi determinata (nel caso sianopresenti Ngp generatori pilotati è possibile ottenere un insieme di Ngp equazioni in cui leincognite sono le Ngp grandezze impresse)
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Risolvere il circuito di figura adoperando la proprietà di sovrapposiozne degli effettti
Esercizio 7.1
R1 = 2
R2 = 2 R3 = 1
R4 = 2
vg = 24 V
ig = 16 A
17
R2
R3
vg
ig
R1
R4
+
Risolvere il circuito di figura adoperando la proprietà di sovrapposiozne degli effettti
Esercizio 7.2
R1 =1
R2 = 2 R3 = 2
vg = 12 V
k = 2
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vg +ki3R2R1
R3i3
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Rappresentazioni una rete bipolare lineare (Teoremi di Thevenin e Norton)Si consideri un circuito adinamico lineare, comunque complesso, accessibile attraverso dueterminali. Tale circuito costituisce un bipolo. Ci proponiamo di valutare la tensione v che sistabilisce ai suoi capi quando nei suoi terminali circola una generica corrente i. In altritermini ci proponiamo di trovare la rappresentazione in corrente del bipolo, ossia larelazione che esiste tra la tensione v ai suoi capi e la corrente i che lo attraversa.
bipolo lineare composto
A tal fine colleghiamo al bipolo un generatore dicorrente che impone la corrente i. Assumiamo chetale collegamento sia possibile, ossia che il circuitocosì costruito non sia patologico.
ivb
iv
i
va
Si noti che la proprietà di sostituzione assicura che, assegnata la corrente i, la tensione aicapi del bipolo è la medesima qualunque sia il bipolo esterno ad esso collegato, purchéquesto eroghi la corrente i
L’utilizzo del generatore di corrente nonlede quindi la generalità delle conclusioni.La relazione v-i è indipendente dal tipo dibipolo esterno
vb = va 19
Utilizzando la proprietà di sovrapposizione possiamo scomporre il circuito così ottenuto indue circuiti distinti: un primo circuito nel quale agiscono solo i generatori indipendentipresenti all’interno del bipolo ed un secondo circuito in cui agisce solo il generatore dicorrente esterno. La tensione v sarà ottenibile dalla somma dei due contributi v' e v'' indicatiin figura
La tensione v' coincide con la tensione a vuoto ai capi del bipolo ed è indipendente dallacorrente i che circola nel bipolo in condizioni di carico. È consuetudine indicare taletensione con veq. Indicando con Ngi e Ngv rispettivamente il numero di generatoriindipendenti di corrente e di tensione presenti all’interno del bipolo essa può essereespressa come
iv v'
iv''+
gvgi
11eq '
N
kkgk
N
kkgk virvv
''' vvv
20
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La tensione v'' è dovuta esclusivamente al generatore di corrente esterno. Essa èproporzionale alla corrente impressa i attraverso la resistenza di ingresso del bipolo inerteassociato. È consuetudine indicare tale resistenza di ingresso con req. La sue espressione è
kvkieq
kg
kgi
v
i
vr
00
''
Si ottiene quindiirvvvv eqeq '''
Qualunque bipolo lineare che ammetta la rappresentazione in corrente è equivalente ad unbipolo costituito da un generatore indipendente di tensione e da una resistenza in serie. Latensione veq impressa dal generatore è quella che si stabilisce a vuoto ai capi del bipolo e laresistenza req è la resistenza del bipolo vista dai terminali di ingresso quando i generatoriindipendenti al suo interno sono spenti.
v
i
+veq
req
irvv eqeq
v
i
kvki
v
N
kkgk
N
kkgki
kg
kgi
v
i
vr
virvv
00
0eq
110eq
eq
gvgi
da cui discende la seguente proprietà generale nota come Teorema di Thevenin:
21
Si vuol determinare, a titolo di esempio, la rappresentazione di Thevenin del bipolo difigura
1. Determinazione di veq
g21
22 v
RR
Rv
+vg
R1
R2
R3
v2
k v2
g21
3223333 v
RR
RRkvkRiRv
g21
2332eq 1 v
RR
RRkvvv
+vg
R1
R2
R3
v2
k v2
i3
v3veq
22
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2. Determinazione di req iRR
Ri
21
12
iRR
RRkRRRivkRiRv
21
2121323333 )(
iRR
RRRkRRRRRRvvv
21
32132312132
iRR
RRiRv
21
21222
21
321323121eq RR
RRRkRRRRRR
i
vr
Per la determinazione di req è necessario risolvere il circuito in forma simbolica. In alternativaè possibile assegnare un valore arbitrario alla corrente i, calcolare il corrispondente valorenumerico della tensione v e farne il rapporto. Si ottiene quindi
R1
R2
R3v2
k v2
i3
i1
i2
i
iv
v3
+vg
R1
R2
R3
v2
k v2
v
i
+veq
req
Si noti che sia la tensione che la resistenza equivalente possono risultare positive, nulle onegative a seconda del valore del parametro k. In assenza di generatori pilotati la resistenza ènecessariamente positiva.
21
321323121eq
g21
23eq 1
RR
RRRkRRRRRRr
vRR
RRkv
i
v
23
iv
La rappresentazione di Thevenin di un bipolo èpossibile se e solo se la LKC non risulta violataqualunque sia il valore di corrente nei suoiterminali. In altri termini la rappresentazione diThevenin è possibile se e solo se il circuitoottenuto collegando ad esso un generatore dicorrente non è patologico circuito non patologicoSi consideri il seguente circuito costituito da un bipolo generico in serie ad un generatore dicorrente. Ad esso non è possibile applicare nessuna corrente diversa da ig (neppure i = 0 èammessa, quindi esso non può operare a vuoto) pertanto non è possibile determinare latensione che si stabilisce ai suoi capi in funzione della corrente. Il bipolo non ammettequindi la rappresentazione in corrente (di Thevenin).
iv
circuito patologico
ig
Si noti che ai fini del circuito esterno tale bipolo èequivalente al solo generatore di corrente ig. Lanon esistenza della rappresentazione di Theveninè il semplice riflesso del fatto che non è possibilerappresentare un generatore di correnteindipendente mediante un generatore di tensione
Si noti che in alcuni casi la non esistenza della rappresentazione di Thevenin può nonessere evidente (in presenza di generatori pilotati). In ogni caso se essa non esiste entrambii circuiti per la determinazione di veq e req risultano impossibili o indeterminati 24
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bipolo lineare composto
A tal fine colleghiamo al bipolo un generatore ditensione che impone la tensione v. Assumiamo chetale collegamento sia possibile, ossia che il circuitocosì costruito non sia patologico.
v
La proprietà di sostituzione assicura che, assegnata la tensione v, la corrente ai capi delbipolo è la medesima qualunque sia il bipolo esterno ad esso collegato, purché questoimponga la tensione v
L’utilizzo del generatore di tensione nonlede quindi la generalità delle conclusioni.La relazione i-v è indipendente dal tipo dibipolo esterno
ib = ia
Si consideri ancora un bipolo adinamico lineare la cui struttura interna può esserecomunque complessa. Ci proponiamo ora di valutare la corrente i che circola nei suoiterminali quando ai suoi capi si stabilisce una generica tensione v. In altri termini ciproponiamo di trovare la rappresentazione in tensione del bipolo, ossia la relazione cheesiste tra la corrente i che lo attraversa e la tensione v ai suoi capi.
i+
v
ia
+v
ib
25
Utilizzando la proprietà di sovrapposizione possiamo scomporre il circuito ottenuto in duecircuiti distinti: un primo circuito nel quale agiscono solo i generatori indipendenti presentiall’interno del bipolo ed un secondo circuito in cui agisce solo il generatore di tensioneesterno. La corrente i sarà ottenibile dalla somma dei due contributi i' e i'' indicati in figura
La corrente i' coincide con la corrente di corto circuito del bipolo ed è indipendente dallatensione v che si stabilisce ai sui capi in condizioni di carico. È consuetudine indicare talecorrente con ieq. Indicando con Ngi e Ngv rispettivamente il numero di generatoriindipendenti di corrente e di tensione presenti all’interno del bipolo essa può essereespressa come
i
v +
gvgi
11eq '
N
kkgk
N
kkgk vgiii
''' iii
+i' i''
v+
26
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La corrente i'' è dovuta esclusivamente al generatore di tensione esterno. Essa èproporzionale alla tensione impressa v attraverso la conduttanza di ingresso del bipoloinerte associato. È consuetudine indicare tale conduttanza di ingresso con geq. La suaespressione è
kvkieq
kg
kgv
i
v
ig
00
''
Si ottiene quindivgiiii eqeq '''
Qualunque bipolo lineare che ammetta la rappresentazione in tensione è equivalente ad unbipolo costituito da un generatore indipendente di corrente e da una conduttanza inparallelo. La corrente ieq impressa dal generatore è quella che si stabilisce nel bipolo incondizioni di corto circuito e la conduttanza geq è la conduttanza del bipolo vista daiterminali di ingresso quando i generatori indipendenti al suo interno sono spenti.
v
i
ieqgeq
vgii eqeq
v
i
kvki
i
N
kkgk
N
kkgkv
kg
kgv
i
v
ig
vgiii
00
0eq
110eq
eq
gvgi
da cui discende la seguente proprietà generale nota come Teorema di Norton:
27
v
iLa rappresentazione di Norton di un bipolo èpossibile se e solo se la LKT non risulta violataqualunque sia il valore di tensione nei suoiterminali. In altri termini la rappresentazione diNorton è possibile se e solo se il circuito ottenutocollegando ad esso un generatore di tensione nonè patologico circuito non patologicoSi consideri il seguente bipolo costituito da un bipolo generico in parallelo ad un generatoredi tensione. Ad esso non è possibile applicare nessuna tensione diversa da vg (neppure v= 0è ammessa, quindi esso non può operare in corto circuito) pertanto non è possibiledeterminare la corrente che si stabilisce nei suoi terminali in funzione della tensione. Ilbipolo non ammette quindi la rappresentazione in tensione (di Norton).
circuito patologico Si noti che ai fini del circuito esterno tale bipolo èequivalente al solo generatore di tensione vg. Lanon esistenza della rappresentazione di Norton è ilsemplice riflesso del fatto che non è possibilerappresentare un generatore di tensioneindipendente mediante un generatore di corrente.
Si noti che in alcuni casi la non esistenza della rappresentazione di Norton può non essereevidente (in presenza di generatori pilotati). In ogni caso se essa non esiste entrambi icircuiti per la determinazione di veq e req risultano impossibili o indeterminati
+
+vg v
i+
28
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Si consideri un bipolo che ammettela rappresentazione di Thevenin i+veq
i
+ v
v+
irvv eqeq
i+veq v+
Se la resistenza equivalente req è non nulla allora il circuito ottenuto collegando il bipolo adun generico generatore di tensione è necessariamente non patologico, pertanto il bipoloammette anche la rappresentazione di Norton. Al contrario se req è nulla allora il suddettocircuito è patologico e il bipolo non ammette la rappresentazione di Norton.
Ciò è il riflesso del fatto che se req = 0è allora il bipolo è equivalente ad ungeneratore di tensione indipendente(v = vg i) e non può essererappresentato mediante ungeneratore di corrente.
vg+ + veq = vg
req = 0
req 0
Non patologico
req = 0
Patologico
29
Parametri del bipolo di Norton
eq
eq
0eq r
vii
v
ieq
+veq
req ireq
v+
eq000eq
1
eqrv
i
v
ig
vkvki
kg
kg
v
i
+veq
irvv eqeq
v
i
ieqgeq
vgii eqeq eqeq
eq
eqeq
1
rg
r
vi
0eq r
Se la resistenza equivalente req è non nulla la rappresentazione di Norton esiste e i suoiparametri possono essere determinati sulla base dei parametri della rappresentazione diThevenin
30
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Analogamente si consideri un bipolo cheammette la rappresentazione di Norton
i
+ virvv eqeq
Se la conduttanza equivalente geq è non nulla allora il circuito ottenuto collegando il bipoload un generico generatore di corrente è necessariamente non patologico, pertanto il bipoloammette anche la rappresentazione di Thevenin. Al contrario se geq è nulla allora il suddettocircuito è patologico e il bipolo non ammette la rappresentazione di Thevenin.
geq 0
Non patologico
Ciò è il riflesso del fatto che se geq = 0è allora il bipolo è equivalente ad ungeneratore di corrente indipendente(i = ig v) e non può essererappresentato mediante ungeneratore di tensione.
igieq = ig
geq = 0
geq = 0
Patologico
i
vieq
geq
i
vieq
31
Parametri del bipolo di Thevenin
eq
eq
0eq g
ivv
i
eq000eq
1
eqgi
v
i
vr
ikvki
kg
kg
v
i
+veq
irvv eqeq
v
i
ieqgeq
vgii eqeq eqeq
eq
eqeq
1
gr
g
iv
0eq g
Se la conduttanza equivalente geq è non nulla la rappresentazione di Thevenin esiste e i suoiparametri possono essere determinati sulla base dei parametri della rappresentazione diNorton
veq
ieqgeq geq i
v
32
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Determinare la rappresentazione di Norton del bipolo di figura
Esercizio 7.3
R1 = 2
R2 = 1 R3 = 3
R4 = 0.5
vg = 12 V
Determinare, se esistono, le rappresentazioni di Thevenin e Norton del bipolo di figura
Esercizio 7.4
33
R1
R2
R4
R3
+ vg
R1
R2
R4
R3
R1 = 2
R2 = 1 R3 = 3
R4 = 0.5
ig = 6 Aig
Esercizio 7.5Determinare le rappresentazione di Thevenin e Norton del bipolo di figura
R1
34
R1 = 1 R2 = 0.5
R3 = 1 R4 = 1
R5 = 1.5
R6 = 1.5
vg = 10 V
R2
R3 R4
R5
R6
+ vg
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Determinare la rappresentazione di Thevenin del bipolo di figura
Esercizio 7.6
i4
k i4
Determinare la rappresentazione di Norton del bipolo di figura
Esercizio 7.7
i1
k i1
35
R1 = 2
R2 = 1 k = 0.5
vg = 8 V
R1 = 1
R2 = 2 R3 = 2
R4 = 0.5
k = 0.5
vg = 8 V
R1 R2
R3
R4
+ vg
R1 R2
+ vg
Determinare la rappresentazione di Norton del bipolo di figura
Esercizio 7.8
k i2
i2
Determinare la rappresentazione di Thevenin del bipolo di figura
Esercizio 7.9
k i1
i1
36
R1 = 1
R2 = 1
R2 = 3 k = 0.5
R1 = 10
R2 = 2 R3 = 0.5
k = 2
ig = 8 A
R1R2
R3
+
R2 R1
R3
ig
+
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Esercizio 7.10Determinare la corrente che attraversa il resistore R nei seguenti casi:
a. R = 0.1 b. R = 1 c. R = 10
k i1
R
37
R2R1
R3
i1
ig
+
+
R1 = 2
R2 = 1 R3 = 2.5
k = 1.5
ig = 6 A
Rappresentazione in corrente di un doppio bipolo lineare non inerte
Si consideri un circuito adinamico lineare, comunque complesso, accessibile attraverso dueporte (i.e. due coppie di terminali). Tale circuito costituisce un doppio bipolo. Ci proponiamodi valutare le tensioni v1 e v2 che si stabiliscono ai capi delle due porte quando in essecircolano le generiche correnti i1 e i2 .
A tal fine colleghiamo al doppio bipolo duegeneratori di corrente che impongono lecorrenti i1 e i2 . Assumiamo che talecollegamento sia possibile, ossia che ilcircuito così costruito non sia patologico.
La proprietà di sostituzione assicura che, assegnate le correnti i1 e i2 alle porte, le tensionisiano le medesime qualunque siano i bipoli esterni ad esso collegati (purché questi sianointeressati dalle correnti i1 e i2 )
i2
v2
i1
v1
38
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Utilizzando la proprietà di sovrapposizione possiamo scomporre il circuito così ottenuto indue circuiti distinti: un primo circuito nel quale agiscono solo i generatori indipendentipresenti all’interno del doppio bipolo, un secondo circuito in cui agiscono solo i generatori dicorrente esterni i1 e i2. Ciascuna tensione di porta sarà ottenibile dalla somma dei contributiv' , v '' indicati in figura
i2
v2
i1
v1
v2'v1' v2''
i1
v1''
'''
'''
222
111
vvv
vvv
+
39
i2
La tensione v1' (v2') coincide con la tensione a vuoto ai capi della porta 1 (2) ed èindipendente dalle correnti che circolano in entrambe le porte in condizione di carico. Èconsuetudine indicare tale tensione con v1eq (v2eq). Indicando con Ngi e Ngv rispettivamente ilnumero di generatori indipendenti di corrente e di tensione presenti all’interno del bipoloessa può essere espressa come
gvgi
gvgi
12
1222eq
11
1111eq
'
'
N
kkgk
N
kkgk
N
kkgk
N
kkgk
virvv
virvv
r1k e 1k (r1k e 1k ): resistenze ditrasferimento e guadagni di tensione delcircuito inerte associato
Le tensioni v1'' e v2'' sono dovute esclusivamente ai generatori di corrente esterno i1 e i2.Esse sono proporzionali alle correnti impresse i1 e i2 attraverso la resistenza di ingresso e laresistenza di trasferimento del doppio bipolo inerte associato.
2221212
2121111
''
''
irirv
irirv
40
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Possiamo enunciare quindi la seguente proprietà generale: qualunque doppio bipololineare che ammetta la rappresentazione in corrente è equivalente ad un doppio bipolocostituito dal doppio bipolo inerte associato (rappresentato mediante la matrice R) e dadue generatori indipendenti di tensione posti in serie a ciascuna porta.
2
1
2221
1211
2
1
2
1
i
i
rr
rr
v
v
v
v
eq
eq
v1
i1
v2
i2 +
v1
i1
v2
i2
v1eq
+
v2eq
Tensioni a vuoto sulle due porte
Matrice della resistenze del doppiobipolo inerte associato
41
Le tensioni v1eq e v1eq impresse dai generatori sono quelle che si stabiliscono sulle porte 1e 2 rispettivamente quando entrambe lavorano a vuoto
I coefficienti sono r11, r12 , r21 e r22 sono gli elementi della matrice della resistenze delbipolo inerte associato.
0022
0011
2
1
2
1
iieq
iieq
vv
vv
kvki
i
kvki
i
kvki
i
kvki
i
kg
kg
kg
kg
kg
kg
kg
kg
i
vr
i
vr
i
vr
i
vr
00
02
112
00
02
222
00
01
221
00
01
111
11
22
Procedendo in modo del tutto analogo quanto fatto per la rappresentazione in corrente èpossibile introdurre le rappresentazioni in tensione, ibrida diretta e ibrida inversa doppibipoli non inerti. Tali rappresentazioni sono esposte nel seguito. 42
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Qualunque doppio bipolo lineare che ammetta la rappresentazione in tensione èequivalente ad un doppio bipolo costituito dal doppio bipolo inerte associato (rappresentatomediante la matrice G) e da due generatori indipendenti di corrente posti in parallelo aciascuna porta.
2
1
2221
1211
2
1
2
1
v
v
gg
gg
i
i
i
i
eq
eq
v1
i1
v2
i2
v1
i1
i1eq
Correnti di cortocircuito sulle due porte
Matrice della conduttanze deldoppio bipolo inerte associato
v2
i2
i2eq
Rappresentazione in tensione di un doppio bipolo lineare non inerte
43
Qualunque doppio bipolo lineare che ammetta la rappresentazione ibrida diretta èequivalente ad un doppio bipolo costituito dal doppio bipolo inerte associato (rappresentatomediante la matrice H), da un generatore indipendente di tensione posto in serie alla primaporta e da un generatore indipendente di corrente posto in parallelo alla seconda porta.
2
1
2221
1211
2
1
2
1
v
i
hh
hh
i
v
i
v
eq
eq
v1
i1
v2
i2
Correnti di cortocircuito sulla porta 2 (porta 1 a vuoto)
Matrice ibrida diretta del doppiobipolo inerte associato
v2
i2
i2eq
Rappresentazione ibrida diretta di un doppio bipolo lineare non inerte
+
v1
i1
v1eq
Tensione a vuoto sulla porta 1 (porta 2 in corto circuito)
44
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Qualunque doppio bipolo lineare che ammetta la rappresentazione ibrida diretta èequivalente ad un doppio bipolo costituito dal doppio bipolo inerte associato (rappresentatomediante la matrice H'), da un generatore indipendente di corrente posto in parallelo allaprima porta e da un generatore indipendente di tensione posto in serie alla seconda porta.
2
1
2221
1211
2
1
2
1
''
''
i
v
hh
hh
v
i
v
i
eq
eq
v1
i1
v2
i2
Tensione a vuoto sulla porta 2 (porta 1 in corto circuito)
Matrice ibrida inversa deldoppio bipolo inerte associato
Rappresentazione ibrida inversa di un doppio bipolo lineare non inerte
v1
i1
i2eq
+
v2
i2
v2eq
Correnti di cortocircuito sulla porta 1 (porta 2 a vuoto)
45
Rappresentazioni di m-porte adinamici lineari non inerti
Tutto quanto esposto fino ad ora relativamente ai doppi bipoli lineari non inerti ègeneralizzabile ai componenti a m-porte
Per gli m-porte lineari non inerti sono definibilila rappresentazione in corrente: v = veq R ila rappresentazione in tensione: i = ieq G vle rappresentazioni ibride
i1
v1
i2
v2
in
vn
46
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Determinare la rappresentazione ibrida diretta del doppio bipolo non inerte di figura
Esercizio 7.11
+
Determinare la rappresentazione in tensione del doppio bipolo non inerte di figura
Esercizio 7.12
ic
47
Ra = 1
Rb = 1
Rc = 1 k = 1.5
ig = 3 A
Ra Rcig
Ra = 2
Rb = 4
Rc = 1
Rd = 2 vg = 5 V
Rd
RbRa
vg
Rc
Rb