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7 Implementações numéricas adicionais visando à análise de estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados
7.1. Considerações gerais
Problemas de estabilidade de taludes constituem uma linha de pesquisa que
tem sido bastante explorada nos últimos anos, sobretudo pelas recentes mudanças
climáticas que originam eventos extraordinários de chuva. As águas destas chuvas
podem produzir um fluxo subsuperficial, no interior do talude, e superficial, sobre
o talude.
Os processos de fluxo subsuperficial produzem uma redução na sucção, ou
um incremento na poropressão, nos solos que constituem o talude. Em ambos os
casos, se geram mecanismos de deformação e cisalhamento, podendo provocar a
ruptura de taludes que permaneceram estáveis por muito tempo.
Por outro lado, os processos de fluxo superficial não têm impacto direto na
estabilidade do talude; entretanto, podem afetar o fluxo subsuperficial em função
do balanço hídrico que se estabelece na superfície do talude.
Neste capítulo são abordados ambos os tipos de escoamento, visando futuras
aplicações da ferramenta computacional GEOFLUX3D à estabilidade de taludes
parcialmente saturados.
Inicialmente, os principais tipos de análise para avaliação da estabilidade de
taludes são discutidos. Discute-se também a importância de uma formulação
acoplada para este tipo de problema propondo-se uma forma de avaliar fatores de
segurança a partir dos resultados obtidos de uma análise acoplada.
Posteriormente, são discutidos os principais aspectos relacionados à origem
do escoamento superficial, assim como sua ligação com os processos de
escoamento subsuperficial. A equação governante para o desenvolvimento do
fluxo superficial é apresentada, assim como algumas relações constitutivas que
podem ser adotadas a fim de se obter uma solução aproximada.
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7.2. Análise do fenômeno de fluxo subsuperficial aplicado à estabilidade de taludes
A maioria dos taludes naturais permanece estável pela presença de zonas
não saturadas nas quais a resistência do solo do talude é superior. No entanto, com
a ocorrência de chuvas de forte intensidade, estas zonas podem desaparecer e a
estabilidade do talude pode ser comprometida. Mecanismos de falha podem ser
originados pelo umedecimento do talude através de uma frente de saturação que
se desenvolve ao longo do tempo, mudando a distribuição das poropressões dentro
do talude. Estas poropressões são fundamentais para avaliar a resistência do solo
através de uma formulação em tensões efetivas.
Diversos autores desconsideram os processos mecânicos que se
desenvolvem no talude pela infiltração das águas de chuva, utilizando análises de
fluxo desacoplado para determinar as poropressões, como nos trabalhos de Cai &
Ugai (2004), Chien-Yuan et al. (2005), Miqueletto (2007), Huang & Jia (2009),
Nian et al. (2011a), Hamdan & Schweiger (2011), entre outros.
Embora estas análises sejam muito atrativas por sua simplicidade e rápida
resposta, podem fornecer respostas divergentes da realidade, já que à medida que
o talude é umedecido, as tensões totais podem apresentar mudanças significativas,
violando uma das hipóteses fundamentais para o uso da equação de fluxo
desacoplado. Apesar disto, alguns autores afirmam que esta violação não
influencia sobremaneira a previsão dos fatores de segurança nos taludes. Desta
forma, nessas abordagens se realiza uma análise da estabilidade do talude
empregando uma estratégia de acoplamento explícita, determinando primeiro as
poropressões e depois verificando a estabilidade do talude.
Análises hidromecânicas com acoplamento implícito durante o processo de
infiltração em taludes ainda são pouco difundidas. Smith (2003) apresentou uma
formulação empregando o modelo de Mohr-Coulomb estendido para solos não
saturados. Nuth (2009) apresentou outra formulação na mesma linha de
abordagem, mas utilizando uma variante do modelo Cam-Clay Modificado para
solos parcialmente saturados. Em ambas as contribuições, o comportamento
hidromecânico do solo do talude frente às precipitações é modelado de maneira
mais fiel à realidade. No entanto, nestas pesquisas não se fornecem os fatores de
segurança necessários para avaliar a estabilidade do talude ao longo do tempo.
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Basicamente, as análises de estabilidade de taludes podem ser conduzidas
por duas aproximações; a primeira é baseada nos métodos de equilíbrio limite
(Bishop, 1955; Morgenstein & Price, 1965; Janbu, 1973) e a segunda é baseada
nas relações tensão-deformação.
Os métodos de equilíbrio limite têm tido bastante aceitação por sua
simplicidade; no entanto apresentam algumas limitações devido às hipóteses
adotadas nas forças laterais das fatias do talude e à forma pré-definida da
superfície de ruptura do talude (Chang & Huang, 2005).
Por outro lado, as análises de tensão-deformação baseadas no método dos
elementos finitos podem capturar o desenvolvimento progressivo das superfícies
de falha sem nenhuma hipótese adicional, apenas considerando a geometria do
talude e suas propriedades mecânicas. Várias opções têm sido apresentadas neste
tipo de análise, destacando-se a técnica da redução da resistência. Nesta técnica,
os parâmetros de resistência originais são reduzidos até propiciar a falha do
talude. No entanto, a grande dificuldade desta técnica encontra-se na escolha de
um critério específico para definir a instabilidade do talude quando este se
aproxima do colapso.
De acordo com Nian et al. (2011b) existem quatro critérios para definir a
instabilidade do talude na falha: 1) acompanhamento da extensão da zona plástica,
do pé ao topo do talude; 2) acompanhamento das deformações plásticas ao longo
da superfície potencial de falha; 3) acompanhamento dos deslocamentos em nós
característicos do talude e 4) a não convergência da solução não linear.
Entre estes critérios, os três primeiros precisam de dados geométricos
especiais, já que devem ser especificadas regiões nas quais as deformações
plásticas ou os deslocamentos devem ser conferidos. Por outro lado, o critério da
não convergência da solução não linear não precisa estes dados; no entanto, pode
gerar um processo muito demorado, dependente do tipo de solução não linear
adotada.
Precisamente, através do método de solução não linear (MNRA),
implementado no GEOFLUX3D, foi possível determinar o fator de segurança de
um talude através da técnica da redução dos parâmetros de resistência de Mohr-
Coulomb. O critério de convergência foi adotado em função do incremento de
carga mínimo (equivalente ao incremento de tempo mínimo tmin). Ante o
iminente colapso do talude, verificou-se que os subincrementos de carga são
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reduzidos até que, abaixo do incremento de carga mínimo, a solução páre de
convergir. O esquema apresentado na figura (7.1) foi adotado para determinar o
fator de segurança de um talude em função do critério de convergência baseado no
subincremento de carga mínimo.
Para esta finalidade, foram implementadas sub-rotinas especificas dentro do
processador de dados do GEOFLUX3D capazes de determinar fatores de
segurança a partir das tensões constitutivas obtidas de uma análise hidromecânica.
Basicamente segue-se o esquema apresentado na figura (7.1). Observe que as
matrizes eD , uB , D e epK são aquelas mesmas definidas no capítulo 3 desta tese.
Ingresse 0'σ , Fsmax, Fsmin, TOLFs
Calcule 01
e0 'σDε
Calcule 01
1' εDσ
Calcule
e
ed)''( 10Tug σσBF
Fazer enquanto (Fsmax-Fsmin > TOLFs) 2/)FsFs(Fs minmax
Determine 1D (utilizando parâmetros de resistência reduzidos com Fs)
Solucione gep FuK
Se a solução converge, faça Fsmax = Fs Se a solução não converge, faça Fsmin = Fs
Fim do processo iterativo Figura 7.1.- Esquema para determinação do fator de segurança através da técnica da
redução da resistência.
Observe que para determinar o fator de segurança, emprega-se o algoritmo
da bissecção, sendo necessário definir os parâmetros TOLFs (uma tolerância que
define a precisão do fator de segurança), Fsmax e Fsmin (os limites, máximo e
mínimo, entre os quais a busca do fator de segurança deve ser realizada).
A implementação desta metodologia foi relativamente simples já que se
utilizaram a maior parte das sub-rotinas do processador GEOFLUX3D. Para sua
verificação, empregou-se a geometria e a malha apresentadas na figura (7.2). No
total, foram empregados 262 elementos tipo QUAD8 e 961 nós. Os parâmetros
utilizados também são apresentadas na tabela (7-1). As tensões iniciais foram
estabelecidas pelo GEOFLUX3D através da aplicação das forças de corpo. Como
tolerância empregou-se TOLFs = 0,001 e limites Fsmax = 1,5 e Fsmin = 1,0.
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Figura 7.2.- Geometria e malha de elementos finitos do talude simulado para validação
do GSLOPE.
Tabela 7-1.- Propriedades do solo do talude simulado para validação do GSLOPE.
Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young (E) 2x105 [kPa] Módulo de Poisson ( ) 0,25 [-] Coesão (c’) 10,0 [kPa] Ângulo de atrito (’) 20,0 [DEG] Peso específico do solo () 20,0 [kN/m3]
As deformações plásticas equivalentes, obtidas no instante prévio ao
colapso do talude, são apresentadas na figura (7.3). Nesta figura também se
observa a definição da superfície de falha, partindo do pé em direção ao topo do
talude. O fator de segurança teve um valor igual a 1,36. Já o fator de segurança
empregando o método simplificado de Bishop fornece um valor de 1,37.
Figura 7.3.- Deformação plástica equivalente do talude simulado no GSLOPE.
7.3. Análise do fenômeno de fluxo superficial aplicado à estabilidade de taludes
Quando modelagens de fluxo para análises da estabilidade de taludes são
realizadas, considera-se que as taxas de infiltração são iguais às taxas de
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precipitação. Esta consideração simplifica os processos de infiltração que ocorrem
na superfície do solo de um talude. No entanto, estes processos também podem ser
influenciados pela ocorrência do escoamento superficial como ilustra a figura
(7.4).
Figura 7.4.- Balance hídrico para um sistema composto por água superficial.
Considerando esta figura, o balanço hídrico em condições naturais de um sistema
composto unicamente por água, sobre a superfície do solo, pode ser representado
por
0 IRP (7.1)
em que P é a taxa de precipitação, R é a taxa do escoamento superficial e I é a
taxa de infiltração.
Nos taludes parcialmente saturados, as taxas de infiltração dependem das
taxas de precipitação e da capacidade de infiltração, que por sua vez, depende da
umidade e da permeabilidade do solo presente no talude. Quando as taxas de
precipitação são menores que a capacidade de infiltração do solo, toda a água
penetra no solo, sendo neste caso válida a hipótese assumida nas análises de
estabilidade de taludes. No entanto, ao longo do tempo ocorre uma queda
progressiva da capacidade de infiltração, já que se incrementa a umidade do solo,
reduzindo as taxas de infiltração. Neste caso, se as taxas de precipitação
continuam elevadas, parte da água pode não penetrar no solo, provocando as taxas
de escoamento superficial.
O escoamento superficial trata do fluxo de água na superfície do solo e de
acordo com sua ocorrência, pode ser diferenciado em dois tipos: escoamento
Hortoniano e escoamento por exfiltração. O escoamento hortoniano, em referência
ao trabalho de Horton (1933), ocorre quando a intensidade das chuvas excede a
capacidade de infiltração do solo em estado não saturado. Por outro lado, o
escoamento por exfiltração ocorre pela completa saturação do solo.
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A equação da conservação da massa que descreve o escoamento superficial
é descrita por
0)(2 IPhh Dss V (7.2)
em que sh é a altura de água sobre a superfície do solo, sh é a taxa de variação
temporal desta altura, }//{T2D yx é o operador gradiente bidimensional
e, }{ wywx vvV é o vetor de velocidade d’água.
Para determinar cada uma das componentes deste vetor de velocidade
parte-se da equação de conservação de momento assumindo-se que a distribuição
de pressão d’água na superfície do solo é hidrostática (Morita & Yen, 2002).
Desta forma tem-se
0)()()(
0
fxx
swxwy
wxwx
wx gSgSx
hg
y
vv
x
vv
t
v (7.3)
0)()()(
0
fyy
swywx
wywy
wy gSgSy
hg
x
vv
y
vv
t
v (7.4)
I II III IV V
Os termos em I referem-se à aceleração local do sistema, os termos em II
referem-se à aceleração convectiva do sistema, os termos em III referem-se aos
gradientes da carga de pressão, os termos em IV referem-se aos gradientes da
carga de elevação e os termos em V referem-se à ação do atrito da água com a
superfície do solo.
As equações anteriores são conhecidas como equações da onda dinâmica.
Várias simplificações dessas equações são utilizadas para aproximar sua solução
(Jobson & Harbaugh, 1999; Panday & Huyakorn, 2004; Morita & Yen, 2002;
Castagnoli, 2007). A mais simples é a relação da onda cinemática que ignora os
termos em I, II e III, aceitável somente em canais com elevadas inclinações. Uma
melhor aproximação é a da onda difusiva, que ignora apenas os termos em I e II.
Neste caso, com os gradientes de carga de pressão mantidos, a relação da onda
difusiva supera a limitação da relação da onda cinemática. Segundo Morita & Yen
(2002), na maioria de casos em que os termos de aceleração não são muito
elevados, a relação da onda difusiva simplifica sobremaneira os esforços
computacionais sem sacrificar a precisão da solução.
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Sabendo que os gradientes de carga de elevação são dados por
xzS x /0 e yzS y /0 , a equação da onda difusiva pode ser escrita como
fxs Sx
zh
)(
(7.5)
fys Sy
zh
)(
(7.6)
em que z é a carga de elevação. Os termos que representam a ação do atrito
d’água com a superfície do solo podem ser aproximados a partir de analogias com
relações empíricas utilizadas em canais abertos pela engenharia hidráulica. Entre
estas relações constitutivas podem-se citar as de Darcy-Weisbach, a de Chezy e a
de Manning. Esta última é bastante utilizada por sua simplicidade, sendo definida
em cada direção por
wxwywx
s
sfx vvv
h
nS
2/1223/4
2
(7.7)
wywywx
s
sfy vvv
h
nS
2/1223/4
2
(7.8)
em que sn [T/L1/3] é o coeficiente de Manning em função da rugosidade da
superfície do solo em contato com a água (Akan, 2006).
Substituindo estas equações naquelas da onda difusiva e realizando algumas
operações é possível determinar cada uma das componentes de velocidade como
x
zh
y
zh
x
zhn
hv s
sss
swx
)(
)()(4
22
3/2
(7.9)
y
zh
y
zh
x
zhn
hv s
sss
swy
)(
)()(4
22
3/2
(7.10)
Estas equações também podem ser reescritas de forma simplificada por
)(2Dd zhh ss
k
V (7.11)
em que
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4
22
3/5
4
22
3/5
d
)()(0
0)()(
y
zh
x
zhn
h
y
zh
x
zhn
h
sss
s
sss
s
k (7.12)
Observe que as unidades de cada uma das componentes da matriz dk são
similares àquelas empregadas para a transmissibilidade [L2/T]. Finalmente,
substituindo a equação (7.11) na equação (7.2) chega-se à equação governante
para escoamento superficial
0)()]([ 2Dd2D IPzhh ss k (7.13)
Esta equação diferencial parcial não linear é bastante similar àquela deduzida no
capítulo 2 para escoamento subsuperficial desacoplado.
De forma similar à solução das equações de acoplamento hidromecânico, a
equação anterior pode ser discretizada espacialmente empregando o método de
elementos finitos. Considerando que h’s representa a solução aproximada da
profundidade de água superficial, tem-se
)'(Res)()'(' 2Dd2D sss hIPzhh k (7.14)
em que )'(Res sh representa o resíduo desta solução aproximada.
Assumindo que sh' e sh' podem ser aproximadas pelas funções de interpolação
( sN ), tem-se
ss' hNsh (7.15)
ss' hN sh (7.16)
Ao substituir as equações anteriores na equação (7.14), considerando s2Ds NB
e seguindo os procedimentos de solução por elementos finitos similares àqueles
apresentados no capítulo 2, pode-se obter
piqsssss QQhHhS (7.17)
sendo
esT
ss )( de
NNS (7.18)
esdT
ss )( de
BkBH (7.19)
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vsTsqs dqNQ (7.20)
piTspi )( dIP NQ (7.21)
Em todas estas equações, os sinais de somatório indicam que as matrizes são
determinadas para cada elemento e agrupadas para formar as matrizes globais.
Observe que a unidade de cada elemento da matriz sS é [L2], da matriz sH é
[L2/T] e dos vetores taxa qsQ e piQ é [L3/T].
O vetor sq constitui as vazões nodais de entrada ou saída no sistema. No
caso de vazões de saída, estas podem ser consideradas seguindo um
comportamento similar ao da boca de um rio (Kollet & Maxwell, 2006). Nestes
casos, dois tipos de condição de contorno podem ser utilizados: o gradiente de
profundidade nulo, dado por
3/5,outs
s
outout h
n
Sq (7.22)
e a profundidade crítica dada por
3/5,outsout ghq (7.23)
em que g é a gravidade e outS e outsh , são a inclinação da superfície e a altura
d’água no contorno de saída, respectivamente.
Observe que o sistema de equações (7.17) apresenta a forma do sistema
geral (3.32); por tanto é possível solucionar este problema empregando os
mesmos métodos de solução apresentados no capítulo 4.
Com o objetivo de verificar esta implementação, simulou-se um problema
de escoamento superficial unidimensional, comparando os resultados com a
solução analítica, possível somente na base da equação da onda cinemática.
Este problema foi apresentado por Weill (2009) e consiste na simulação de
uma chuva, com taxas de 1,4x10-5 m/s por um período de 30 minutos sobre uma
estrada impermeável de 183m de comprimento, como ilustrado na figura (7.5). A
estrada apresenta uma inclinação de 0,0016 e seu coeficiente de Manning é de
0,025 sm-1/3. Na base do modelo aplica-se uma condição de contorno de gradiente
de profundidade nulo. Duas malhas de elementos finitos foram utilizadas, a
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primeira foi composta por 50 elementos tipo QUAD4 de 102 nós, a segunda foi
composta por 84 elementos tipo TRIA3 de 65 nós.
As tolerâncias utilizadas foram ITOL = 10-5 e DTOL = 10-3. Os incrementos
de tempo adotados foram t0 = 10-2min; tmin = 10-5min e tmax = 10-1min. O
tempo total de simulação foi Timetotal = 70min.
Figura 7.5.- Modelo unidimensional do escoamento superficial.
A figura (7.6) apresenta a vazão no ponto de observação A durante o
período simulado para cada malha utilizada. Os resultados das simulações e os da
solução analítica são confrontados, apreciando-se uma excelente concordância
entre ambos. Verifica-se que os resultados da simulação atingem suavemente a
vazão de pico obtida pela equação da onda cinemática. De acordo com Weill
(2009), as aproximações baseadas na onda difusiva não conseguem representar
exatamente esta vazão de pico pela presença do termo difusivo nas equações.
0 10 20 30 40 50 60 70
Tempo (minutos)
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Vaz
ão
(10-3
m/s
)
Solução analítica
QUAD4
0 10 20 30 40 50 60 70
Tempo (minutos)
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Va
zão
(10-3
m/s
)
Solução analítica
TRIA3
Figura 7.6.- Vazão no ponto de observação A durante o período de simulação.
A fim de obter um balanço hídrico adequado para um sistema, o fluxo
superficial deve interagir com o fluxo subsuperficial através de um novo processo
de acoplamento.
Como no caso do acoplamento hidromecânico, a opção ideal é fazer um
acoplamento implícito das equações governantes através de um único sistema. No
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entanto, este sistema é retangular, gerando uma série de dificuldades numéricas.
Nestes casos as estratégias de acoplamento parecem ser as melhores alternativas.
No caso de um acoplamento iterativo, um fluxo de interação é aplicado na
interface dos dois sistemas através de um esquema iterativo que se repete até que
o balanço hídrico entre ambos seja estabelecido.
No caso de um acoplamento explícito, os dois sistemas são solucionados em
separado utilizando os resultados do sistema superficial como condições de
contorno para o modelo de fluxo subsuperficial.
Outra alternativa, ainda mais simplificada, corresponde aos modelos
baseados na visão hortoniana (Green & Ampt, 1911; Horton, 1933; Philip, 1957).
Estes modelos utilizam soluções analíticas para o cálculo da taxa de infiltração
assumindo que existe uma pequena e constante lâmina d’água na superfície do
solo, enquanto que o fluxo subsuperficial é simplificado por um fluxo 1D na
direção vertical.
Um resumo de vários trabalhos que empregam estas estratégias de
acoplamento pode ser encontrado em Morita & Yen (2002). No entanto, todos
estes trabalhos têm sido orientados à análise do fenômeno de fluxo. Aplicações
diretas do acoplamento de fluxo superficial-subsuperficial para estabilidade de
taludes ainda não tem tido a atenção necessária, talvez pela elevada complexidade
deste problema.