7 chu de on tap tot nghiep 2015.doc

Ôn tập toán 12.

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

VẤN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐDạng 1: Tính đơn điệu của hàm số B1: Tìm tập xác định D của hàm sốB2: Tính . Tìm các điểm mà tại đó hoặc không xác địnhB3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến. Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

a) y = x3 – 3x2 + 2 ; b) y = − x4 + 4x2 – 3 c) ; d) e) y = x – ex

Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.

Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]. ( khoảng (1 ; 2) )

Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; + ) ( khoảng (3; + ) ).

Dạng 2. Tìm giá trị của tham số m để một hàm số đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai.

f(x) đồng biến trên D f’(x) ≥ 0; x D ( )

f(x) nghịch biến trên D f’(x) ≤ 0; x D ( )

Hàm số bậc 3 Tập xác định Đạo hàm y/ ( y’ = 0 ax2 + bx + c = 0)

Hàm số tăng trên (tăng trên tập xác định): y/ 0; x . Giải Tìm m.

Hàm số giảm trên (giảm trên tập xác định): y/ ≤ 0; x . Giải Tìm m.

Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có tham số thì phải xét khi a = 0

Hàm số nhất biến :

Tập xác định

Đạo hàm

Hàm số tăng (giảm) trên (∞; d/c) và (d/c; +∞) : y/ > 0 ( y/ < 0 ), x D ad − bc (tử) > 0 (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0. Tổng quát: “ Tìm m để hàm số y = f(x; m) đồng biến trên K ”. (nâng cao)B1. Tính đạo hàm f’(x; m). B2. Hàm số đồng biến trên K f’(x; m) 0; x K m g(x); xK (m g(x)) B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.

Tìm giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên .

Cho hàm số

a. Định m để hàm số luôn đồng biến; b. Định m để hàm số luôn nghịch biến.

Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định .

1

Ôn tập toán 12.

Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên

Định m để hàm số: đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định .

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐDạng 1. Tìm cực trị của hàm sốPhương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Qui tắc IB1: Tìm tập xác định D của hàm số. B2: Tính . Tìm các điểm mà tại

đó hoặc không xác định. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị

Qui tắc IIB1: Tìm tập xác định D của hàm số. B2: Tính . Tìm các điểm mà tại đó

hoặc không xác định. B3: Tính f ”(xi)B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi

Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc xét dấu phức tạp. Ví dụ . Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10

Qui tắc I D = ;

BBT

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = − 54 Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và ycđ =71

Qui tắc II D = ;

y”= 12x + 6y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = − 54y’’(−3) = −30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = −3 và ycđ =71

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x = a

Cách 1:B1: Tính y’ = f’(x). B2: Giải phương trình tìm được tham số.B3: Thử lại giá trị tham số có thoả mãn điều kiện cực trị đã nêu không. ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)Nhớ : y’’(xo) ≠ 0 cực trị ; y’’(xo) < 0 cực đại y’’(xo) > 0 cực tiểu.Cách 2 :

2

Ôn tập toán 12.

Hàm số y= f (x) đạt cực đại tại

Hàm số y= f (x) đạt cực tiểu tại

Hàm số y= f (x) đạt cực trị tại

Ví dụ . Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2Ta có .

Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0

Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có :

Dùng QT I hoặc II ta có tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.

Tìm m để hàm số có cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT

Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1. Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiễn cho trước: Hàm số có n cực trị pt có n nghiệm đơn.Đặc biệt :Hàm số có đạo hàm

Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt . Hàm số có 1 cực trị có 1 nghiệm

Hàm số có y’ = 3ax2 + 2bx + c; đồ thị (C).

Hàm số có 2 cực trị .

Hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi yCĐ. yCT < 0. Hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi xCĐ. xCT < 0.

Hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi .

Hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi .

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi yCĐ. yCT = 01. Tìm m để các hàm số sau có cực trị :

a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m; b)

2. Tìm m để hàm số sau không có cực trị y = (m − 3)x3 − 2mx2 + 3. VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐDẠNG 1: GTLN – GTNN của hàm số trên khoảng (a; b)

B1: Hàm số liên tục trên D = (a; b) B2: Tính y’ = f’(x).Tìm xi (a; b)(i = 1; 2; . . . ; n) làm cho y ‘ = 0 hoặc không xác định B3: Lập bảng biến thiên.

B4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNNDẠNG 2: GTLN - GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b]

B1: Hàm số liên tục trên D = [a; b] B2: Tính y’ = f’(x).Tìm xi (a; b)(i = 1; 2; . . . ; n) làm cho y ‘ = 0 hoặc không xác định B3: Tính f(a); f(b); f(x1); f(x2); …; f(xn).

3

Ôn tập toán 12.

B4: Kết luận: GTLN = max{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)}

GTNN = min{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)}

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên

. Lập BBT

KL: = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.

Ví dụ 2. Tính GTLN; GTNN của hàm số trên đoạn [−4; 0]

Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0]. f’(x) = x2 + 4x +3;

f’(x)=0 .

Vậy: f(x) = f(−3) = f(0) = − 4; f(x) = f(−4) = f(−1) =

Luyện tập. Tìm GTLN; GTNN của hàm số (nếu có): a) y = x3 + 3x2 – 9x + 1 trên [−4; 4]; b) y = x3 + 5x – 4 trên [−3; 1] c) y = x4 – 8x2 + 16 trên [−1; 3]; d) y = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên [−4; 3]

a) y = / (−2; 4]; b) y = x + 2 + trên (1; +∞); c) y= trên ;

d) y = x ; e) y = x2. ex / [−1; 1]; f) y = / [e; e3]; g) y= ln(x2 +x−2) / [ 3; 6]

a. / ( )

b. trên ( )

c. f(x) = x2 ln(1−2 x) trên đoạn [−2; 0] ( )

d. f(x) = sin3x − cos2x + sinx + 2 (. M = 5; m = )

e. f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx + 5 ( M = 9; m = −11)VẤN ĐỀ 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ Tìm tập xác định D của hàm số . Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm của phương trình y’= 0. Tìm các giới hạn tại tại các đầu mút của D và tìm tiệm cận (nếu có). Lập bảng biến thiên. Tìm điểm đặc biệt : cực trị, giao điểm của đồ thị với Ox, Oy,… và tính đối xứng của đồ thị. Vẽ đồ thị. Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)− Xét y’ = 0 : ≤ 0 luôn đồng biến ( a > 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên > 0 có 2 điểm cực trị. Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)− Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0)

Hàm nhất biến: y = (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0)

− Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; − ) và (− ; +∞).

4

Ôn tập toán 12.

− Tiệm cận đứng: x = − ; tiệm cận ngang y = .

− Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Baøi 1 : Khaûo saùt caùc haøm soá sau:a/ y=x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – 2 c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8

d/ y = x4 – 6x2 + 5 e/ y = - x4 + 2x2 + f/ y = x4 + 2x2

Baøi 2 : a/Cho haøm soá y= x3 – 3m x2 + 4m3 . Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m=1.b/Cho haøm soá y= x4 – m x2 + 4m -11 . Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m=4.Baøi 3: khaûo saùt caùc haøm soá sau:

a/ y = b/ y = . c/y =

Baøi 4:

Cho haøm soá y= khaûo saùt haøm soá khi m = 2.

VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐDạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:

a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường : và :

Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : .

Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại

Phương trình có dạng: ( hệ số góc tiếp tuyến là k = f’(xo) )a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo).b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến : sử dụng tìm x0 ; tìm y0. Tiếp tuyến // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a f’(x0 ) = a; giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 .

Tiếp tuyến d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0 ) = ;

giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 .

Dạng 3: Dùng đồ thị (C): y = f (x), biện luận phương trình f (x, m) = 0

Ta có : Đặt

Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và d.

Dựa vào đồ thị (C) ta có :

Nếu thì phương trình có…





Dạng Khác:

5

Ôn tập toán 12.

Tùy theo bài toán mà ta có cách giải cụ thể.

CÁC BÀI TOÁN THI VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐBài 1 Cho hàm số y = f(x) = x(3 –x)2 có đồ thị (C) , 1. Khảo sát hàm số . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành . 3. Một đường thẳng (d) đi qua O có hệ số góc m . Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt O; A; B .

Bài 2 Cho hàm số y = 1 – có đồ thị (C) .

1. Khảo sát hàm số . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 6 –x. Bài 3 Cho hàm số y = f(x) = 3 – 2x2 – x4. 1. Khảo sát hàm số . 2. Gọi (C) là đồ thị ở câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox

Bài 4 Cho hàm số y = có đồ thị (C) ,

1. Khảo sát hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm A(3; –2) . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; (D) ; Oy .

Bài 5 Cho hàm số , có đồ thị (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số2. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = 3.

Bài 6 Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số .

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành và đường thẳng x = –2 . 3. Chứng minh rằng với mọi k 0 đường thẳng y = kx cắ (C) tại 2 điểm phân biệt . Bài 7 Cho hàm số y = –x3 + 3x2 có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số . 2. Gọi A là điểm uốn của (C), B là điểm thuộc (C) có hoành độ x = 3 . Viết các phương trinh tiếp tuyến của (C) tại A và B . Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung AB và các đoạn thẳng AD ; BD .

Bài 8 Cho hàm số y = có đồ thị là (C) .

1. Khảo sát hàm số . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng x – y + 2 = 0 . Bài 9 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn . 3. Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 –6x2 +9x –m =0 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox , các đường thẳng x =1 , x =2 Bài 10 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn . 3. Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 –6x2 +9x –m =0 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox , và các đường thẳng x = 1, x = 2 . Bài 11 Cho hàm số y = x3 –3x + 1 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x=13. Một đưòng thẳng (d) đi qua điểm uốn của (C) có hệ số góc k . Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) . Tmì toạ độ giao điểm trong trường hợp k =1 . Bài 12 Cho hàm số y = x3 + 3x2 +mx + m –2 , m là tham số , đồ thị là (Cm) .

6

Ôn tập toán 12.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 3 . 2. Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của(C) tại điểm A . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến (d) . 3. Tìm giá trị của tham số m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Bài 13 Cho hàm số y = f(x) =

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox và các đường thẳng x = –2; x = 1 . 3. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y = k .

Bài 14 Cho hàm số y = x3 – ( m + 2 )x + m ; m là tham số . 1 . Định m để hàm số tương ứng có cực trị tại x = –1 . 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1 . 3. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k .

Bài 15 Cho hàm số y = .

1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số . 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) đi qua điểm A(0; 1) . Chứng minh rằng có đúng một tiếp tuyến của đồ thị (H) đi qua điểm B(0; –1) . 3 . Tìm tất cả các điểm nguyên trên đồ thị (H) . (Điểm nguyên là điểm mà cả hoành dộ lẫn tung độ đều là số nguyên ) . Bài 16 Cho hàm số y = x3 – 3x có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số . 2. Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x = 2 . Viết phương trình đuờng thẳng d đi qua M và là tiếp tuyến của (C) . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại M Bài 17 Cho hàm số y = – x4 + 2x2 +3 có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số . 2. Xác định các các giá trị m để phương trình x4 – 2x2 + m =0 có 4 nghiệm phân biệt . Bài 18 Cho hàm số y = (x + a )3 + ( b + x )3 – x3 . 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 1 ; b = 2 . 2 . Các số a , b thoả điều kiện gì để hàm số có cực đại , cực tiểu . Bài 19 Cho hàm số y = x3– 3mx2 +2(m2 – 1 )x – m2 – 1 . 1. Chứng minh rằng với mọi m tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến với đồ thị . 2. Tìm m để : a/ Hàm số không có cực trị. b/ Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =–1 . 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và đưòng thẳng x = –2 Bài 20 Cho hàm số y = x3 –mx2 + (m+2)x +2m . 1 . KSHS khi m = –2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn . 2 . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . Bài 21 Cho hàm số y = 2x3 – 3( 2a + 1 )x2 + 6a(a + 1)x . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 1 . 2. CMR a hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 và x1 –x2 không phụ thuộc vào a . 3. Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 1) . Bài 22 Cho hàm số y = f(x) = x3– 4x2 + 4x , có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số. 2. Tìm toạ độ giao điểm của (C) và đường thẳng (D) : y = 3x – 6. 3. Tiếp tuyến của (C) tại O cắt (C) tại A . Tìm toạ độ điểm A . 4. Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thằnh y = kx . 5. Tìm m để phương trình x3– 4x2 + 4x – m = 0 có ba nghiệm phân biệt . 6. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng (d1): y = 7x . 7. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d2): y = x .

7

Ôn tập toán 12.

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT.

TÓM TẮT KIẾN THỨC:1) Luỹ thừa: Các công thức cần nhớ: với

Tính chất của lũy thừa:

; ; ; ; ;

Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì + Với 0 < a < 1 thì

2) Căn bậc n: ;

; ; ;

;

3) Lôgarit: Định nghĩa: Cho :

Tính chất: Với ta có:

Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì:

+ Với 0 < a <1 thì:

Quy tắc tính: ;

;

;

Công thức đổi cơ số: hay

hay ;

Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgxLôgarit tự nhiên là logarit với cơ số e kí hiệu là: lnx

HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ1) Hàm số mũ y = ax:

TXĐ: ; y = ax > 0 với mọi x.Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1; nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.

2) Phương trình mũ cơ bản: phương trình vô nghiệm. :

Dạng 1. Đưa về cùng cơ số : )x(glog)x(f0)x(g,1a0

)x(ga);x(g)x(f

1a0

aaa

)x(f)x(g)x(f

8

Ôn tập toán 12.

Ví dụ a) ; b) ; c) ; d)

a) pt x2 + 3x – 2 = −2 x2 + 3x = 0 x = 0 x = − 3

b) pt … x2 – 3x + 2 = 0 x = 1 x = 2

c) pt

d)

Dạng 2. đặt ẩn phụ Ví dụ a) ; b) ; c) ; d)

a) pt (*)

Đặt t = 3x > 0 ta có phương trình (*) 6561t2 – 972t + 27 = 0

Với ; Với

b) pt (*). Đặt ; (*)

Với t = 5 5x = 5 x = 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 1.

c) pt (*)

Đặt . Pt (*)

Với ; Vậy phương trình có nghiệm:

d) Chia hai vế của pt cho . Đặt

Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – 6 = 0. (TNBTT2007) a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 − 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0

d) e) f)

g) i)

Dạng 3. Logarit hóạ a) 2x − 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 =

d) e) f) 52x + 1− 7x + 1 = 52x + 7x

Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x

Bất phương trình mũ

9

Ôn tập toán 12.

a) b) c)

d) e) 16x – 4 ≥ 8 f) 52x + 2 > 3. 5x g) (1/2) 2x − 3≤ 3

a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x −2 ≤ 3 c)

d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 −16x ≥ 2log48

HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT1) Hàm số: y = logax.

Tập xác định D = (0 ; +∞); . Tập giá trị: Hàm số đồng biến nếu a > 1; nghịch biến nếu 0 < a < 1

2) Phương trình logarit cơ bản:

Điều kiện: x > 0.Phương trình có duy nhất nghiệm

Dạng 1. Đưa về cùng cơ số

a) ;

b) c)

d) e) log4x + log2x + 2log16x = 5

f) g) log3x = log9(4x + 5) + .

KQ: a) 1; b) −1; c) ; d) ; e) ; f) 3; g)

Dạng 2. đặt ẩn phụ (TNTHPT 2010) giải :

h) i)

j) k)

l) m)

n) log3(3x – 8) = 2 – x o) p)

KQ: h) ; i) ; j) 2; 3; k) e; e2; l) ; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 4.

Dạng 3 mũ hóa a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = 2 – xDạng 4. sử dụng tính đơn điệu

10

Ôn tập toán 12.

Bất phương trình logarit

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 c) log2( x2 – 4x – 5) < 4d) log ½ (log3x) ≥ 0 e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3 f) log2x(x2 −5x + 6) < 1

g) h) k)

Bảng đạo hàm:Đạo hàm các hàm số cơ bản Hệ quả: Với

CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Cho u = u(x) ; v = v(x) )

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.1) y = esinx CMR: y’cosx – ysinx – y’’ = 02) y = ln(cosx) CMR: y’tanx – y’’ – 1 = 0

3) y = ln(sinx) CMR: y’ + y’’sinx + tan = 0

4. y = ex. cosx CMR: 2y’ − 2y − y’’ = 05. y = ln2x CMR: x2y’’ + xy’ = 2

11

Ôn tập toán 12.

Tự luyện Giải các phương trình sau :

1/ ĐS : x =1

2/ 5x + 5x + 1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 ĐS : x =

3/. 32x+2 – 28.3x + 2 = 0 ĐS : x =1 ; x = −24/. log2x + log4(2x) = 1 ĐS :

5/. ĐS : x = 2 ; x = 4

6/. 3x +2.31 – x −5 = 0 ĐS : x = 1 ; x = log327/. ĐS :

8/. ĐS :

9/. ĐS :

10/. ĐS: x = −2; 0; 1.

11/. ĐS:

Giải bất phương trình : 1/. 22x+6 + 2x+7 – 17 > 0 2/. 2. 2x + 3. 3x > 6x – 1 3/ logx[ log3 ( 3x −9) ] < 1

4/. 5/. 6/.

Giải hệ phương trình :

1/. 2/. 3/.

12

Ôn tập toán 12.

CHỦ ĐỀ 3 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM:1/ Định nghĩa:

Trong đó

2/ Tính chất:

TC1:

TC2: 3/ Bảng các nguyên hàm:

Bảng nguyên hàm với Hàm hợp:

Mở rộng: ( )

4/ Các phương pháp tìm nguyên hàm:13

Ôn tập toán 12.

a/ Phương pháp đổi biến số: Giả sử tính

Đặt

Khi đó

Một số phép đặt cơ bản trong phương pháp đổi biến số:Nếu nguyên hàm cần tìm có chứa:

Hàm lũy thừa. Ta đặt t = cơ số. Mẫu thức. Ta đặt t = mẫu thức. Căn thức. Ta đặt t = căn thức. Hàm số mũ. Ta đặt t = số mũ hoặc t = hàm số mũ đó.

. Ta đặt t = lnx hoặc t = a.lnx+b

. Ta đặt t = sinx hoặc t = a.sinx+b . Ta đặt t = cosx hoặc t = a.cosx+b

. Ta đặt t = tanx hoặc t = a.tanx+b

. Ta đặt t = cotx hoặc t = a.cotx+b

b/ Nguyên hàm từng phần:

Một số phép đặt cơ bản trong phương pháp từng phần:

Nếu nguyên hàm có dạng: trong đó P(x) là đa thức

theo x thì ta đặt .

Nếu nguyên hàm có dạng: trong đó P(x) là biểu thức theo x

thì ta đặt

1) Các công thức lượng giác:

Công thức cơ bản: ; ;

; ;

Công thức nhân đôi:* sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a

Công thức hạ bậc: * sin2a = * cos2a =

Công thức biến đổi tích thành tổng: *

* *

Hệ quả: ;

14

Ôn tập toán 12.

4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :

* và * ; *

* a0 = 1; a1 = a ; a–n =

* ; * ; * ; * *

5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

* a2 – b2 = (a+b)(a – b) *

* * .

* (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc* (a – b + c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc

I. BÀI TẬP NGUYÊN HÀM

Cho f(x) = sin2x , tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(π) = 0. Đs 1 1

sin 22 4 2

x x

Chứng minh F(x) = ln 2 1x x c là nguyên hàm của f(x) = 2

1

1x Hướng dẫn : Chứng minh : F /(x) = f(x)

Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) =

2. f(x) = ĐS. F(x) = 3. f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C

4. f(x) = ĐS. F(x) =

5. f(x) = ĐS. F(x)=

6. f(x) = ĐS: F(x) =

7. f(x) = ; 8. f(x)= ĐS 7. ; 8.

9. f(x) = ; 10. f(x) = tan2x ĐS 9. F(x) = x – sinx + C; 10. tanx – x + C

11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) =

12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx − cotx – 4x + C

13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx − cotx + C

14. f(x) = ĐS. F(x) = − cotx – tanx + C

15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =

16. f(x)=2sin3xcos2x ĐS. F(x)=

17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) =

15

Ôn tập toán 12.

18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C

19. f(x) = 2ax + 3x ; 20. f(x) = e3x+1 ĐS. 19. ; 20.

TÍCH PHÂN:1) Định nghĩa:

. Trong đó

2) Tính chất:

TC1:

TC2:

TC3: Với

TC4:

Bài tập tích phân cơ bản: . 1) Tính các tích phân

a) I1 = b) I2 = c)I3 =

KQ: I1 = I2 = e2 –1 I3 =

2) Tính các tích phân

a) J1 = b) J2 = c) J3 =

J1 = J2 = 7ln2 – 2 J3 =

3) Tính các tích phân

a) K1 = b) K2 = c) K3 =

KQ: K1 = K2 = K3 =

4) Tính các tích phân:

1) L = KQ: L = 2) I = KQ: I =

16

Ôn tập toán 12.

3) J = KQ: J = 4) K = KQ: K = – 2

5) M = KQ: M = 6) N = KQ: N =

7) P = KQ: P = 8) Q = KQ:

9) R = KQ: 10) S = KQ:

3) Phương pháp đổi biến số:

Giả sử tính

Đặt

Khi đó

Ví dụ : Tính các tích phân

a) J1 = b) J2 = c)J3 = d) J4 =

e) J5 = . KQ: J1 = ( e4 – e) J2 = J3 = J4 = J5 =

Bài tập tự luyện

1) Tính a) I = KQ: I = b) J = KQ: J = –4

c) K = KQ: K = d) L = KQ: L =

e) M = KQ: M = g) N = KQ: N = ln

h) P = KQ: P = i) Q = KQ:

2) Tính a) I1 = KQ: 4

b) J1 = KQ: c) P = KQ: 2ln3

d) Q= KQ: 16/3 e) L1 = KQ:

17

Ôn tập toán 12.

g) N1 = KQ: ln(e+1) h) J4’ = KQ:

4) Phương pháp tích phân từng phần:

Tích phân từng phần:


a) I1 = b) I2 = c) I3 =

KQ: I1 = I2 = I3 = 8ln2 –


a) J1 = KQ: J1 = b) J2 = KQ: J2 =

Bài tập tự luyện1) Tính các tích phân:

a) I 1= KQ: I = b) I2 = KQ:

c) I3 = KQ: M = – ln d) I4 = KQ: N = 2(1 – )

2) Tính các tích phân:

a) K1= KQ: b) K2 = KQ:

c) K3 = KQ: J = 2 d) K4 = KQ:

e) K5 = KQ:

IV. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:

1) Diện tích hình phẳng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục

hoành) được tính bởi: S = (1).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục);

x = a; x= b được tính bởi: S = (2).

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số a) y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. ĐS: 2

18

Ôn tập toán 12.

b) y = 2 – x2 và y = x. ĐS:

2) Thể tích vật thể tròn xoay:Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục

Ox được tính bởi: V = (3)

Ví dụ a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh

ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., ĐS:

b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.Giải: Phương trình hoành độ giao điểm : – x2 = x3 x = 0 V x = –1 Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x =

0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng quay quanh Ox: V1= =

Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3, x = 0,

x = -1 và trục Ox…: Có V2 = =

Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt)

Chú ý: Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay quanh trục

Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức dẫn đến kết quả sai KQs : V =

đvtt.

Bài tập tự luyện Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : a) y = x2 − 3x + 2 ; y = x −1; x = 0 ; x = 2. ĐS: 2b) y = x.ex ; x = 1 ; y = 0. ĐS: S= 1

c) y = sin2x + x ; y = x; x = 0; x = π . ĐS: S=

d) y2 = 2x và y = 2x −2 . ĐS : S=

e) đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = 0. ĐS: S = 63 −16 ln 8

f) y2 = 2x +1 và y = x – 1. ĐS: 16/ 3

g) (P): y = – x2 + 4x và trục Ox. ĐS:S = đvdt

h) (P): y = – x2 và y = – x – 2 . ĐS:S = đvdt

i) (C): y = 5x4 – 3x2 – 8; trục Ox trên [1; 3] ĐS: S = 200 đvdt Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi :

a) (C): y= ; các trục toạ độ . ĐS : V= ( 3− 4 ln2 )

b) (P): y 2 = 8x và x = 2 ĐS : 16 đvtt

c) y = x2 và y = 3x ĐS : đvtt

19

Ôn tập toán 12.

d) y = ; y = 0; x = 0; x = ĐS : đvtt

Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số :

2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số :

4/. ; Đáp số : 9/28 5/. Đáp số

Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số :

2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số :

4/. ; Đáp số :8/15 5/. ; Đáp số :2/63

6/. ; Đáp số :ln2 7/. ; Đáp số :

Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số :e−1

2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số :2e2 – 2e

4/. ; Đáp số : 5/. ; Đáp số :

6/. ; Đáp số :−1 7/. ; Đáp số :

8/. ; Đáp số : 9/. ; Đáp số :2ln2−1

10/. ; Đs: 11/. ; Đáp số :

12/. ; Đáp số : 13/. ; Đáp số :0

14/. ; Đáp số : 15/. ; Đáp số :1/2

Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:

(2001 – 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x −1

(2002 – 2003) 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = ; biết F(1) =

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= và trục Ox.

20

Ôn tập toán 12.

HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y =

và y = 0 là = 0 x = –1; x = 6.

S = = (đvdt)

(TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Cho hàm số y = x3 – x2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình

phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0; x =0; x = 3 quay quanh trục Ox.

HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ; y = 0

là = 0 x = 0; x = 3. Ta có: V = .

V = (đvtt)

(TNTHPT năm 2004 – 2005) Tính tích phân: I =

Hướng dẫn: I = .

Tính J: Đặt u = x du = dx; dv = cosx dx v = sinx

Tính K: Đặt t = sinx dt = cosxdx.

Đổi cận: . Do đó K = . Vậy I =

(TNTHPT năm 2005– 2006) a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = ex; y = 2; x = 1.

b. Tính tích phân: I =

( THPT năm 2005− 2006 Ban A). Tính tích phân I = .

Hướng dẫn: Đặt t = . Đổi cận. ĐS

(TN.THPT năm 2005 − 200 6 Ban C). Tính tích phân I = .

Hướng dẫn: Đặt u = 2x + 1 du = 2dx; dv = exdx v = ex. ĐS = e + 1. (TNTHPT năm 2006– 2007)

Tính tích phân J = . HD: Đặt t = lnx dt = . Đổi cận. ĐS = .

Tính tích phân I = .

Đặt t = + 1 dt = 3 dx. Đổi cận: . Do đó I =

21

Ôn tập toán 12.

(THPT năm 2006 − 20007 Phân ban).

Tính tích phân I = . HD : Đặt t = .

Đổi cận: . I = .

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx; y = 0; x = . Tính thể tích khối tròn xoay được

tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 x = 0.

Do đó V = . (đvtt)

(TNTHPT năm 2007– 2008)

Tính I . Đặt t = 1 – dt = –3x2dx. Đổi cận ; ĐS

Tính tích phân I = . HD: I = . Đặt

I =

(TNTHPT năm 2008– 2009) Tính tích phân I = .

HD: I = .

Đặt . I =

(TNTHPT năm 2009– 2010) Tính tích phân I .

I = = = .

22

Ôn tập toán 12.

CHỦ ĐỀ 4 SỐ PHỨC Lý thuyết:

1/ Số i:

2/ Số phức: Số phức là số có dạng với a, b là hai số thực.a được gọi là phần thực.b được gọi là phần ảo.i được gọi là đơn vị ảosố phức bi được gọi là số thuần ảo.

tập hợp số phức kí hiệu là .

3/ Modun: gọi là modun của số phức .

4/ Số phức liên hợp : Số phức gọi là số phức liên hợp của số phức .5/ Hai số phức bằng nhau :

Cho số phức và . Khi đó :

.6/ Các phép toán trên tập hợp số phức :a/ Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

Chú ý :Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số thông thường với chú

ý rằng .Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.

Cho . Khi đó : .b/ Phép chia hai số phức :

.Chia số phức ta nhân tử và mẫu với số phức liên hợp của số phức ở mẫu.

7/ Phương trình bậc hai :a/Căn bậc hai của số thực âm :

Cho a là số thực âm. Khi đó a có hai căn bậc hai là : và .b/ Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực :

.

Tính .Kết luận :

Nếu thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt .

Nếu thì phương trình có một nghiệm kép thực .

23

Ôn tập toán 12.

Nếu thì có hai căn bậc hai là và . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân

biệt là và .

Ví dụ 1: Cho số phức z = . Tính các số phức sau: ; z2; ( )3; 1 + z + z2

Vì z = =

z2= = = ( )2 =

( )3 =( )2 . =

1 + z + z2 =

Trong bài toán này, để tính ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực.

Ví dụ 2 : Tìm số phức liên hợp của:

Ta có : . Suy ra

Ví dụ 3: Tìm mô đun của số phức

Giải: Ta có : .Vậy, mô đun của z bằng:

Ví dụ 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

Giải hệ này ta được: .

Ví dụ 5: Tính số phức sau: z = (1+i)15

Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

Một vài bài tập:

24

Bài 1: Thực hiện các phép tính

a) b) c)

Ôn tập toán 12.

Bài giải

Câu a:

Câu b:

Câu c:

Bài giài

Câu a:

Câu b:

Bài giải

`

Bài giải

Bài giải

Câu a:

Ta có,

Vậy, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

25

Bài 2: Tìm môđun của số phức sau đây

a) b)

Bài 3: Tìm số phức nghịch đảo của số phức:

Bài 4: Giải phương trình sau trên tập số phức:

Bài 5: Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:a) b) c)

Ôn tập toán 12.

và

Câu b:

Đặt , phương trình (2) trở thành:

. Từ đó,

Vậy, phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt:

và

Câu c:

Giải (*) : ta có

(*) có 2 nghiệm phức phân biệt:

Vậy, phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt:

và

Bài giải

Câu a:

Câu b: Với ta có , do đó

Bài 7: Thực hiện các phép tính

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

m) n) o) p)

26

Bài 6: Tìm môđun của số phức z biết:

a) b)

Ôn tập toán 12.

Bài 8: Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau đây:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

Bài 9: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

Bài 10: Tính , biết rằng

a) b)

Bài 11: Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây:

a) b) c)

Bài 12: Cho . Tính và

Bài 13: Cho . Tìm phần thực, phần ảo và môđun của

Bài 14: Cho và . Tính

Bài 15: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

Bài 16: Tìm các số phức có phần thực và phần ảo đối nhau và

27

Ôn tập toán 12.

Bài 17: Cho là 2 nghiệm phức của phương trình

Chứng minh rằng tổng nghịch đảo của và bằng 2


Chứng minh rằng


Chứng minh rằng


Chứng minh rằng

Bài 21: Cho là 2 nghiệm phức của phương trình và có phần ảo là một số âm

Tính

Bài 22: Tìm số phức có phần thực và phần ảo bằng nhau và

Bài 23: Cho 2 số phức và , với . Tìm và biết rằng

Bài 24: Cho số phức . Tìm biết rằng

Bài 25: Cho số phức . Tìm z biết

Bài 26: Cho số phức . Tìm biết rằng là một số phức có phần thực bằng -

5

Bài 27: Giài các phương trình sau đây trên tập các số phức

a) b)

28

H

A

B C

H

A

B C

Ôn tập toán 12.

CHỦ ĐỀ 5 & 6: KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAYMột số kết quả cần nhớ

Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao .

* Diện tích: .

Tam ABC vuông tại A: Định lý pitago ;

;

Diện tích:

Tam ABC cân tại A ta tính đường cao bằng định lý pitago: .

Hình vuông ABCD: * Đường chéo .

* Diện tích:

Hình chữ nhật ABCD : * Đường chéo .

* Diện tích: Khoảng cách:

+Từ một điểm đến một đường thẳng: Là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng

.Từ một điểm đến một mặt phẳng: Là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng.

.Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ năm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Với và B là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng b.Hoặc và A là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng a.

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một đểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng.

Với và H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng .Từ một điểm đến một mặt phẳng: Là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng.

.

29

Ôn tập toán 12.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ năm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Với và B là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng .Hoặc và A là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: + Là độ dài đoạn vuông góc của hai đường thẳng chéo nhau đó .

Với .

+ Là khoảng cách giữa mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song đường thẳng còn lại. .

Với .

+ Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Với .

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a3 Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước a; b; c: Vhộp = a.b.c

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao.

Vchóp = Sđáy. Cao = B.h

Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó.

Vlăng trụ = Sđáy. Cao =B.h

TỶ SỐ THỂ TÍCH

ĐỊNH LÝ 1: Cho ABC và đường thẳng d cắt AB; AC lần lượt tại B’;C’ khi đó

ĐỊNH LÝ 2: Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA;SB;SC lần lượt tại

A’; B’; C’ khi đó

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Khối nón: Sxq = πRl; Stp = Sxq + Sđáy = πRl + πR2 ; V = Sđáy. Cao =

Khối trụ: Sxq = 2πRl; Stp = Sxq + 2Sđáy = 2πRl + 2πR2 ; V = Sđáy. Cao = πR2h

Khối cầu: Smặt cầu = 4πR2; Vcầu =

30

Ôn tập toán 12.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CƠ BẢN

Bài toán1: Tính thể tích của khối chóp, lăng trụ. Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp có đáy là tam giác. Xác định mặt đáy của khối chóp, khối lăng trụ. Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy. Tính diện tích đáy và chiều cao từ đó suy ra thể tích Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy; nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.Bài toán2: Tính thể tích; diện tích của khối trụ; khối nón Xác định đường cao bán kính của khối trụ; khối nón. Áp dụng công thức phù hợpBài toán3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Các cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp. Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông Tìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.Bài toán4: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn.Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy.Bài toán5: Xác định đường cao hay diện tích đáy của khối chóp, lăng trụ, khốp nón, khối trụ khi biết thể tích của chúng.

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC) đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gọi H,K

là hình chiếu của A lên SB,SC cho SA=AB=BC=a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

b) Chứng minh rằng SC AH.

Tính thể tích khối chóp S.AHKBài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA(ABC) đáy ABC là tam giác cân tại A cho SA=AB=a

góc ABC=. Gọi H, K là hình chiếu của A lên SB và SC

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .

b) Tính thể tích khối chóp A.BCKHBài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC (ABCD) cho

SC= . Gọi H là hình chiếu của C lên SB, K là trung điểm của SD.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Chứng minh rằng tam giác CHK đều.

c) Tính thể tích khối chóp C.BDKH

31

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy.Cách giải

Đường cao của khối chóp là cạnh bên vuông với đáy.Tìm cách tính được diện tích đáy và chiều cao.

Ôn tập toán 12.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,

AB=BC=a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của SA, SD.


b) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp

S.BCNM theo a.

Bài 5 Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC vuông góc nhau từng đôi một và

OA=a;OB=b;OC=c. Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC).

a) CMR H là trực tâm của tam giác ABC.

b) CMR .

c) CMR .

d) Tính diện tích toàn phần và thể tích tứ diện.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SBC)

và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), cho SC= . Gọi H là hình

chiếu của C lên SB, K là trung điểm của SD.

a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD.


c) Tính thể tích khối chóp C.BDKH

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,

AB=BC=a, AD = 2a, mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy và SA =

2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.


b) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM

theo a.

32

Dạng 2 Tính thể tích khối chóp có hai mặt bên vuông góc với mặt đáy hoặc một mặt bên và một mặt chéo vuông góc mặt đáy.

Cách giảiCạnh chung của mặt bên đó là đường cao của khối chóp.Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy

Dạng 3 Tính thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.Cách giải

Đường cao kẻ từ đỉnh của mặt bên đó là đường cao của khối chóp.Chân đường cao của khối chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên đó và mặt đáy.Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy

Ôn tập toán 12.

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC.

Mặt phẳng SAD vuông góc với mặt đáy của hình chóp cho AB=BC=CD=a,

SA=SD=AD=2a.


b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o ,SA=SB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCDBài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a,

CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của

cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Tính diện tích tam giác BIC.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 1 Tính thể tích tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a.

Bài 2 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa

cạnh bên và cạnh đáy kề nhau bằng 450.

Bài 3 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a

Bài 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có . Gọi M, N và P lần

lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD .

a) Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD theo a.

b) Tính thể tích tứ diện AMNPBài 5 Tính thể tích của khối chóp lục giác đều có cạnh đáy a và cạnh bên 2a

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB = 6a, BC = 8a. Các

canh bên SA = SB = SC = 10a. Tính thể tích khối chóp theo a.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có AB=2CD, cạnh bên SA =

SB = SC = SD.

Biết và góc giữa SA va mặt đáy là 600. Tính thể tích khối chóp theo a.

33

Dạng 4: Tính thể tích của khối chóp đều

Cách giải: Xác định đường cao của khối chóp và tính độ dài đường cao.Tính diện tích đáy của khối chóp.

Chú ý: Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và đáy là một đa giác đều.

Dạng 4: Tính thể tích của khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

Cách giải: Xác định đường cao của khối chóp và tính độ dài đường cao.Tính diện tích đáy của khối chóp.

Chú ý: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau sẽ có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.

Ôn tập toán 12.

Bài 1 Cho tứ diện ABCD biết ABC là tam giác vuông tại A có ; cho

và tam giác DBC vuông. Tính thể tích tứ diện theo a.

(bài toán yêu cầu học sinh phải có nhận xét tốt về chân đường cao của khối chóp

có ba cạnh bên bằng nhau)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A cho AB=3; AC=4

góc hợp bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng 600 . Tính thể tích khối chóp.

(bài toán yêu cầu HS có nhận xét tốt về chân đường cao và công thức diện tích tam giác)

THỀ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Bài 1 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng a.

Đáp số

Bài 2 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết rằng mp(A’BC) tạo với đáy một

góc 30o và tam giác A’BC có diện tích bằng 8 tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a; hình chiếu của A’ lên

mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của đoạn BC. Góc hợp bởi AA’ và

mp(A’B’C’) bằng 30o. Tính thể tích lăng trụ theo a.

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cho

A’C=a góc hợp bởi(A’BC) và mặt phẳng đáy bằng . Tìm để lăng trụ có thể tích

lớn nhất.Bài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a .AC’=2a

Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 6 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Gọi O’ là tâm

của tam giác A’B’C’. Biết O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) , cho cạnh bên của lăng

trụ bằng . Tính thể tích khối lăng trụ.

34

Dạng 6: Thể tích khối chóp bất kỳCách giải: Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác.Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy.

Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.

Cách giảiĐường cao của lăng trụ đứng, lăng trụ đều là độ dài cạnh bên, lăng trụ xiên là hình chiếu của một đỉnh lên mặt đối diện.Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy.

Ôn tập toán 12.

Bài 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. biết

rằng tam giác A’B’C’ vuông tại B’, A’B’=3, B’C’=4 . B’H’ là đường cao của tam giác

A’B’C’ và H’ là hình chiếu của điểm B lên (A’B’C’). Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A’B’C’.

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Bài 1: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh đáy bằng a cạnh bên 2a. Tính

thể tích và diện tích xung quanh khối nón ngoại tiếp hình chóp.

Bài 2: Một hình nón có đường sinh bằng a góc ở đỉnh bằng 90o. Cắt hình nón bởi

một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và đáy hình nón bằng 60o.

a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối nón.

b) Tính diện tích thiết diện.Bài 3: Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích khối nón thì khối cầu có bán kính bằng bao nhiêu?Bài 4: Cho hình nón đỉnh S đáy là hình tròn tâm Obán kính R, góc ở đỉnh bằng

120o. trên đường tròn đáy lấy một điểm A cố định và một điểm M di động. Tìm độ

dài AM theo R để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5 : Khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp khối nón tính thể tích khối nón

Bài 1: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông cạnh 2a

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh khối trụ theo a.

b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ

Bài 2: Một khối trụ có bán kính R và chiều cao

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối trụ theo R.

b) Cho hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB

và trục hình trụ là 30o. Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ.

Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao bằng 2a

a) Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ.

b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.Bài 4: Một khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c nội tiếp trong khối trụ. Tính

thể tích khối trụ.

35

Dạng toán1: Tính thể tích, diện tích của khối nón

Cách giải: Xác định đường cao, bán kính của khối nón.Áp dụng công thức phù hợp

Dạng toán2: Tính thể tích, diện tích của khối trụ

Cách giải: Xác định đường cao, bán kính của khối trụ.Áp dụng công thức phù hợp

Ôn tập toán 12.

Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B gọi

H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Cho SA=AB=a

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK.

(Mục đích: xác định tâm mặt cầu bằng cách tìm một điểm cách đều các đỉnh của

hình chóp,hay tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông)

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên . Gọi

A’B’C’D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm

ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu , tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.( hãy thay giả

thiết cạnh bên bằng bằng giả thiết cạnh bên có độ dài a).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SC (ABCD) cho SA=

gọi H là trung điểm của SB K là hình chiếu của C lên SD.



c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

d) Chứng minh rằng 6 điểm ABCDHK cùng thuộc mặt cầu.

Bài 4: Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC vuông góc nhau từng đôi một SA=a; SB=b;

SC=c. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).Xác định tâm và bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC), AB=AC=SA=a, góc .Gọi H,K là

hình chiếu của A lên SB và SC.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

c) Gọi H,K là hình chiếu của A lên SB và SC. CMR ABCHK cùng nằm trên mặt cầu

hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

36

Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp.Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuôngTìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.

Ôn tập toán 12.

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Tính thể tích

và diện tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A. Biết góc

hợp bởi B’C và mặt phẳng đáy bằng 60o và BC=a. Xác định tâm và tính thể tích

khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABCcó cạnh đáy bằng a khoảng cách giữa

cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m tính thể tích khối chóp theo a và m.

Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng

60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

(TN-THPT2010).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết tính thể tích khối chóp S.ABC theo

a.

(TN-THPT 2009).

Bài 4 :Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.

Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

1) Chứng minh SA vuông góc với BC.

2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.

(TN-THPT 2008)

Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B,

cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối

chóp S.ABC.

(TN THPT 2007)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng .

1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD.

(TN-THPT 2006)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB)

vuông góc với mặt phẳng đáy,SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy

bằng 45o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. 37

Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy.

CÁC BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆPCÁC BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP

Ôn tập toán 12.

(Khối A-CĐ 2010).

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có Gọi M,N và P lần lượt

là trung điểm của các cạnh SA,SB và CD Chứng minh rằng đường thẳngMN vuông

góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.

(Khối A- CĐ 2009)

Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a; cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC.a. Chứng minh SA vuông góc với BC.

b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. Biết AB=a; ; SA=3a.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a.

Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và

SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh .

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.Bài 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a; bán kính đáy r=1;5a. Tính diện tích xung quanh của

hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a.

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD; có AB=a; AC= . Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC.

ĐS: ; ; .

Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a; AB=b; AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp

hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS:

Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a; góc . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300.a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. .KHỐI TRÒN XOAYBài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a . ĐS : Sxq = ; V =

Bài 2 : Cho hình lập phương cạnh a . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ ngọai tiếp hình

lập phương . ĐS : Sxq = ; V =

38

Ôn tập toán 12.

Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm ; một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm2 . 1/. Tính chu vi của thiết diện (S). ĐS : 1/. 28cm2/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T). ĐS Sxq = (cm2) ; V = 96 Bài 4 : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S1 = 4a2 và diện tích xung quanh bằng S . 1/. Tính thể tích của (T) . ĐS : aS

2/. Cho S = 25a2 ; Tính diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T). ĐS :

Bài 5 : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm; một thiết diện song song với trục hình trụ ; cách trục một khoảng 6cm có diện tích 80cm2 . Tính thể tích khối trụ (T). ĐS : 500 Bài 6: Cho hình nón có bán kính đáyR và góc giữa đường sinh và mp chứa đáylà .

1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón ĐS : V = ; Sxq =

2/. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nón . ĐS : R2 tan Bài 7 : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB có góc ASB là 600 .1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón 2/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón .3/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón .

ĐS : 1/. V = ; Sxq = 2/. 3/.

Bài 8 : Một hình nón có diện tích xq là 20 (cm2) và diện tích toàn phần là 36(cm2) . Tính thể tích khối nón . ĐS : V =36 (cm3 )

CHỦ ĐỀ 7 : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIANI. HỆ TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM :

1. Hệ toạ độ:Hệ tọa độ đề các vuông góc trong không gian là hệ gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz đôi một vuông

góc nhau và lần lượt có véctơ đơn vị là .Ký kiệu: Oxyz

O: gốc tọa độ;x’Ox: Trục hoành.y’Oy: Trục tung.z’Oz: trục cao.

Ta có:

VàKhông gian chứa hệ toạ độ Oxyz được gọi là khong gian Oxyz.

2. Toạ độ của véctơ:

: hoành độ của véctơ

: tung độ của véctơ

: cao độ của véctơ

Chú ý:

Tính chất: Trong không gian Oxyz cho , và .

Khi đó:

39

Ôn tập toán 12.

hoặc

3. Toa độ của điểm:

x: hoành độ của điểm My: tung độ của điểm Mz: cao độ của điểm M

Chú ý: ;

Tính chất: Trong không gian Oxyz cho ; . Khi đó:

M là trung điểm AB thì

Nếu và A, B, C khong thẳng hàng thì trọng tâm tam giác ABC là

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:Mặt cầu (S) tâm bán kính R có phuong trinh là:

Phương trình với là phương trình mặt cầu (S)

có tâm bán kính

III. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ, CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG:1. Véctơ chỉ phương của đường thẳng:

Véctơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng .

Nhận xét: Một đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương nhau. Nếu

là một véctơ chỉ phương cho đường thẳng thì củng là một véctơ chỉ phương của .2. Phương trình tham số:

Trong không gian Oxyz đường thẳng đi qua điểm và nhận véctơ

làm véctơ chỉ phương có phương trình tham số là:

40

Ôn tập toán 12.

(t là tham số: )

3. Phương trình chính tắc:Nếu thì đường thẳng có phương trình chính tắc là:

Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho điểm . Khi đó đường thẳng AB có véctơ chỉ

phương là và đi qua điểm . Khi đó:

Phương trình tham số:

Phương trình chính tắc:

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng :

qua và có véctơ chỉ phương .

qua và có véctơ chỉ phương .Khi đó:

5. Góc giữa hai đường thẳng:Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng :

có véctơ chỉ phương

véctơ chỉ phương .

Khi đó góc tạo bởi và được xác định bởi :

6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng đi qua có véctơ chỉ phương và điểm

. Khi đó khoảng cách từ đến đường thẳng là:

41

Ôn tập toán 12.

7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau:



Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng và là:

IV. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG : 1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Véctơ có giá vuông góc với mặt phẳng được gọi là véctơ pháp tuyến (pháp véctơ) của mặt phẳng .

Nhận xét: Một mặt phẳng có vô số véctơ pháp tuyến, các véctơ này cùng phương nhau. Nếu

véctơ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng thì cũng là một véctơ pháp tuyến của

mặt phẳng . Nếu hai véctơ và không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong mặt

phẳng thì một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là: .

Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C có một pháp véctơ là :

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng:Trong không gian Oxyz, mặt phẳng có vectơ pháp tuyến và đi qua

có phương trình là:

3. Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, phương trình có dạng (với

: A, B và C không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

nào đó. Mặt phẳng này có véctơ pháp tuyến là: .4. Các trường hợp riêng:

Cho mặt phẳng

Nếu D=0 thì . Khi đó mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và

ngược lại.

Nếu A=0 thì . Khi đó mặt phẳng cùng phương trục Ox.

Nếu A=D=0 thì . Khi đó mặt phẳng chứa trục Ox.

Nếu A=B=0 thì . Khi đó mặt phẳng cùng phuong (Oxy).

Nếu A=B=D=0 thì hay z=0. Khi đó mặt phẳng trùng (Oxy).

Vậy: Mặt phẳng Mặt phẳng Mặt phẳng .

Nếu thì . Phương trình này được gọi là

phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Mặt phẳng này cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0) và cắt Oz tại C(0;0;c).

5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

42

Ôn tập toán 12.

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng: và

. Khi đó:

6. Góc giũa hai mặt phẳng:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng có véctơ pháp tuyến và mặt

phẳng có véctơ pháp tuyến .

Khi đó góc tạo bởi và được xác định bởi:

7. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:Trong kg Oxyz, cho điểm và mp . Khi đó khoảng

cách từ đến mp là:

V. TƯƠNG QUAN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG :1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Trong kg Oxyz , cho mp và đt .

có véctơ pháp tuyến và đường thẳng đi qua có véctơ chỉ

phương . Khi đó:

Toạ độ giao điểm của đt và mp là nghiệm của hệ:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

43

Ôn tập toán 12.

Trong không gian Oxyz , có véctơ pháp tuyến và đường thẳng có véctơ

chỉ phương . Khi đó góc nhọn giữa mặt phẳng và đường thẳng được xác định

bởi:

Đặc biệt:

BÀI TẬP

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho

a) CMR : 3 điểm A, C, D không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ADC.b) CMR : 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng.

a) Ta có ≠

Do đó : 3 điểm A, C, D không thẳng hàng., ta có

b) Ta có

các vectơ đồng phẳng. Do đó 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng.

Bài 2 : Cho tứ diện ABCD với

a) Viết PT của các mặt phẳng (ABC); (BCD).b) Viết PT mp() chứa AB và song song CD.c) Viết PT đt qua A & vuông góc với (BCD).Tìm tọa độ giao điểm của chúng.

a) Ta có ;

* Phương trình mặt phẳng (ABC)

mp(ABC) có VTPT : .Do đó phương trình tổng quát mp(ABC) là:

* Tương tự mặt phẳng (BCD): 3x + 8y – 2z – 8 = 0.

b) Ta có . Vì () chứa AB và song song CD nên có cặp VTCP là ; do đó có một

VTPT là:

Do đó ():

c) Vì (BCD) nên nhận làm VTCP; do đó PTTS của đường thẳng :

; Thay x; y; z vào phương trình (BCD); ta được:

Vậy giao điểm của với (BCD) là :

Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz; cho (S):a) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính (S).b) Xét vị trí tương đối của (S) và mp(): x + y − z + k = 0 tuỳ theo k.

c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đi qua . Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với

(S) tại các giao điểm đó.

44

Ôn tập toán 12.

a) Ta có .Vậy (S) có tâm I(1; 2; 3) ; bán kính R = .

b) Ta có

() và (S) cắt nhau.

() và (S) tiếp xúc nhau.

() và (S) không có điểm chung.

c) Đường thẳng qua M; N có VTCP

Phương trình là:

Thay x; y; z vào phương trình (S); ta được: .

t = 1: cắt (S) tại A(2; −1; 5)

* Phương trình tiếp diện tại A: Ta có

Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nhận làm VTPT nên có PTTQ:

(P):

: cắt (S) tại .

* Phương trình tiếp diện tại B: Ta có

Tương tự: (Q): BÀI 4: Trong không gian Oxyz cho A(3;2;6);B(3; −1; 0); C(0;−7;0); D(−2; 1; −1).a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC).b/ Tính góc giữa đường thẳng (d) đi qua hai điểm A; D và mp(ABC)

a/ Ta có:

Vậy Phưong trình mp(ABC): 5(x − 3) − 2(y − 2) +(z − 6) = 0 5x–2y+z –17 = 0b/ Ta có là vtcp của đường thẳng AD

Gọi là góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC) ;

Khi đó: sin » arcsin .

BÀI 5(TN 05+06)Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): và hai đthẳng

1.Chứng minh: (1) và (2) chéo nhau.2.Viết pt tiếp diện của mặt cầu (S); biết tiếp diện đó song song với (1) và (2)

1/ Xét qua điểm A(0;1;0) và có vtcp ;

qua điểm B(1;0;0) và có vtcp ;

45

Ôn tập toán 12.

(1) và (2) chéo nhau.

2/ Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) // với (1) và (2) nên có

vtpt .Phưong trình mặt phẳng (P) có dạng y + z +m = 0

Mặt cầu (S) có tâm I(1;−1;−2)và có bán kính R = 3.

(P) tiếp xúc (S) d[I;(P)] = R

+Với

+ Với

Bài 6: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp : 2x+y+z−1=0

Đáp số : d cắt tại A(2;1/2;−7/2)

Bài 7: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp : 5x−y+4z+3=0. (d )

Tự luyệnA. Tọa độ điểm, vectơ Cho = ( −2 ;1; 0 ); = ( 1; 3;−2 ); = (2;4;3 )

1/ Tìm toạ độ = . Đáp số :

2/ Cm ; không cùng phương HD: −2: 1: 0 ≠ 1: 3: −2

3/ Tìm toạ độ / = ( 2; yo; zo ); biết / cùng phương Đáp số :

Cho A( 0 −2; 4 ) ; B( 5;−1;2 ); . 1/ Cm: A; B; C không thẳng hàng.2/ Tìm toạ độ M là giao điểm của đường thẳng BC với (0xy); M chia đoạn BC theo tỉ số nào? Đáp số : M( −11;9;0 ) k = 2

3/ Tìm toạ độ D ; biết = ( 1;−2; −4 ) Đáp số : D ( −2;2;−3 )4/ Tìm toạ độ A/ đối xứng với A qua B Đáp số : A/ ( 10;0; 0 )5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành Đáp số : E( 2;5;−1 ) Cho M( x; y; z ); tìm toạ độ các điểm: 1/ M1 ; M2 ; M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ;( 0yz) ;( 0xz )

Đáp số : M1 ( x; y; 0) ; M2 ( 0; y; z ) ; M3 ( x; 0; z )2/ M/

1 ; M/2 ; M/

3 lần lượt là hình chiếu của M trên Ox; Oy; OzĐáp số : M/

1 ( x;0;0 ); M/2 ( 0;y;0 );M/

3( 0;0;z )3/ A; B; C lần lượt đối xứng với M qua Ox; Oy; Oz

Đáp số : A( x;−y; –z ); B( −x; y;−z ); C( −x;−y;z )4/ D; E; F. lần lượt đối xứng với M qua mp ( Oxy ); ( Oyz ); ( Oxz )

Đáp số : D( x; y; −z ); E (−x ; y; z ); F ( x; −y; z ) Cho hình hộp chữ nhật OABC. O’A’B’C’ biết A( 2; 0; 0); C( 0; 3; 0); 0’( 0; 0; 4) . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật. Hướng dẫn: ( vẽ hình )

; tương tự B/( 2;3;4 ) ; C/ ( 0;3;4 )

B. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Cho A(3;−2;−2) ; B(3;2;0) ; C(0;2;1) ; D( −1;1;2) Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z −7 = 0

1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.2/. Viết ptmp() qua A và () // (BCD). Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0

3/. Viết pt mp qua A và vuông góc với BCĐáp số : −3x + z + 11= 0

Cho A(5;1;3) ; B(1;6;2) ;C(5;0;4) ; D(4;0;6)1/. Viết pt mp () qua A ; B và () // CD. Đáp số :10x+9y+5z−74=0

46

Ôn tập toán 12.

2/. Viết ptmp trung trực () của CD ; tìm toạ độ giao điểm E của () với Ox.Đáp số :−2x+4z−11=0 ; E(−11/2 ; 0 ;0)

3/. Viết ptmp (P) qua A và (P) // (Oxy) Đáp số : z – 3= 0 Cho A(4;−1;1) ; B(3;1;−1)1/. Viết phương trình mp () qua A và () chứa trục Oy. Đáp số : x−4z=02/. Viết ptmp () qua A và () vuông góc với trục Oy. Đáp số : y+1=03/. Viết ptmp (Q) qua A ; (Q) // Oy ; (Q) () Đáp số : 4x+z−17=04/. Viết pt mp (P) qua B ; (P) () ; (P) (Oxz) Đáp số : 4x+z−11=0

Cho A(−1;6;0) ; B(3;0;−8) ; C(2;−3;0). 1/. Viết ptmp qua A ; B ;C.

2/. () cắt Ox ; Oy ; Oz lần lượt tại M ; N; P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp (MNP).Đáp số : ():12x+4y+3z−12=0. V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z−12=0

Lập phương trình mp qua G( 2 ; −1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A ; B ;C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Xác định n và m để các cặp mp sau song song nhau :

1/. Cho : 2x + ny + 3z −5 =0; : mx −6y −6z +2 =0 Đáp số : m =4 ; n =3

2/. Cho : 3x − y + nz −9 =0; : 2x +my +2z −3 =0 Đáp số : m = −2/3 ; n =

3 Cho 2 mp : (1): 2x – y + 3z + 1 = 0; (`2): x + y – z + 5 = 0 có giao tuyến (d)1/. Viết pt mp (P) qua (d) và (P) (3): 3x – y + 1 = 0. ĐS :−3x−9y+13z−33=02/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của (1), (2) và (Q) song song với đường thẳng AB với A(−1;2;0) và B(0;−2;−4). Đáp số : 8x+5y−3z+31=0C. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Ghi nhớ : d () vtcp của d là vtpt của () ; vtpt của () là vtcp của d. Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) của d biết :1/. d qua M (2;3;−1) và d vuông góc với mp : −x−y+5z+7=0

2/. d qua N(−2;5;0) và d// d / : 3/. d qua A(1;2;−7) và B(1;2;4)

Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) của đt d là giao tuyến của 2 mp :

1/. Viết pt mp( ) qua A(0;1;−1) và ( )

2/. Tìm toạ độ giao điểm M của () với trục Ox.3/. Viết pt tham số của giao tuyến d / của () với (Oxy). Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2; −3; 1 )trên mp() : −x+ 2y +z+ 1= 0 .Tìm toạ độ M/ đxứng M qua ( ) Đáp số : H (1; −1 ; 2 ) ; M/( 0; 1; 3)D. Phương trình mặt cầu: Bài 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu:a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n) Bài 2: Viết phương trình mặt cầu: a) Đường kính là:

AB với: CD với :

47

Ôn tập toán 12.

MN biết PQ biết :

Viết phương trình mặt cầu:

a) Tâm và mặt cầu qua .

b) Tâm và mặt cầu qua .

c) Tâm và mặt cầu qua .

d) Tâm và mặt cầu qua .

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu:

a) Qua 3 điểm và có tâm trên mp Oxz

b) Qua 3 điểm và có tâm trên mp Oxy

Bài 4: Viết phương trình mặt cầu:

a) Qua 4 điểm: .

b) Qua 4 điểm

c) Ngoại tiếp tứ diện ABCD biết ;

Bài 5: Trong kg Oxyz cho

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích.b) Tìm trong tâm G của c) Viết phương trình mặt cầu có đường kính BCBài 6: Viết phương trình mặt cầu:a) Tâm và tiếp xúc mp b) Tâm và nhận mp làm tiếp diện.c) Tâm và tiếp xúc đt .

d) Tâm và nhận đt làm tiếp tuyến.

e) Tâm và tiếp xúc mặt cầu

f) Tâm và tiếp xúc mặt cầu

48

7 chu de on tap tot nghiep 2015.doc

Documents

Transcript of 7 chu de on tap tot nghiep 2015.doc