第 7 章 相対論的量子論（入門）

7.1 特殊相対性理論

7.1.1 ４元ベクトル

Einstein は 1905 年，Lorentz 変換に対する光速度不変性と電磁場に関する Maxwell 方程式の共変性に基づいて特殊相対性理論を構築した．相対性理論によると，どの慣性系においても，光速度 cが一定であるだけでなく，物理法則は同じ形で表される．

４元ベクトル粒子のエネルギー E と運動量 pは，異なる慣性系においては異なる値をとる．しかし，両者の２乗の差

E2 − (pc)2 = m2c4 (7.1)

は，どの慣性系で観測しても同じ値になる．ここで，m は粒子の質量で，粒子が静止している慣性系におけるエネルギー E を光速度の２乗で割ったものである．すなわち，慣性系のあいだの変換によってエネルギーと運動量は値を変えて見えるが，両者を合わせた量は変換に対して不変であるので，ひとまとまりの量と考えた方が合理的である：

pµ = ( p0, p1, p2, p3 ) = ( p0, p ) =(E

c, p

)(7.2)

これを４元運動量と呼ぶ．同様に，時間座標と空間座標を合わせて

xµ = (x0, x1, x2, x3 ) = (x0, x ) = ( ct, x ) (7.3)

とする．４元運動量の時間成分は E/cとし，時間座標は ctとするが，これによって４元ベクトルの成分が同じ次元をもつ．このような量を４元ベクトルという．一般に，４元ベクトルの成分を表すときにはギリシャ文字の添字が用いられる．

４元運動量の時間成分は質量を含むエネルギーである．非相対論の場合との対応から，運動エネルギーを

K = E −mc2 (7.4)

で定義する．(7.1) より，

E =√m2c4 + p2c2 = mc2

√1 +

p2

m2c2(7.5)

123

124 第 7 章 相対論的量子論（入門）

であるから，運動量が質量に比べて十分小さいときは p2/(mc)2 について展開して

E = mc2

1 + 1

2p2

m2c2− 18

(p2

m2c2

)2

+116

(p2

m2c2

)3

+ · · ·

= mc2 +12mv2

[1− 1

4

(v

c

)2

+18

(v

c

)4

− · · ·] (7.6)

が得られる．ここで，p = mv を用いた．(7.4)で定義した運動エネルギーは，v/cが小さい極限で古典論に一致する．

反変ベクトルと共変ベクトル４元ベクトルの内積は通常の３次元のベクトルの内積と異なり，たとえば，４元運動量の内積は

p · p = p0p0 − (p1p1 + p2p2 + p3p3) =E2

c2− p2 (7.7)

で定義される．そこで，４元ベクトルの空間成分の符号を変えたベクトルを新たに定義し，上で定義した４元ベクトルと区別するために添字を下につける．たとえば，４元運動量は

pµ = ( p0, p1, p2, p3 ) =(E

c, −p

)(7.8)

である．内積は上付き添字と下付き添字について和をとると約束する．すなわち，２つの４元ベクトルの内積は次のように書ける：

a · b =3∑

µ=0

aµbµ =3∑

µ=0

aµbµ = a0b0 − a · b (7.9)

上付きの添字がある４元ベクトルを 反変ベクトル（contravariant vector），下付き添字がある４元ベクトルを 共変ベクトル（covariant vector）と呼ぶ．たとえば，座標 xµ の内積は

x · x =3∑

µ=0

xµxµ =3∑

µ=0

xµxµ = (ct)2 − x2 (7.10)

である．

４元ベクトルの内積は，４行４列の Minkowski計量テンソル

gµν = gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(7.11)

を導入して，a · b =

∑µν

gµνaµbν =

∑µν

gµνaµbν (7.12)

7.1 特殊相対性理論 125

と表すこともできる．すなわち，計量テンソルを用いて４元ベクトルの添字の上げ下げができる：

aµ =3∑

ν=0

gµνaν aµ =3∑

ν=0

gµνaν (7.13)

なお，繰り返し現われる添字については和をとるという約束が用いられることが多い．これを Einsteinの規約 という．たとえば，上の式を

aµ = gµνaν aµ = gµνaν (7.14)

と書き，ν について 0 から 3 までの和があると解釈する．

7.1.2 ４元ベクトルの変換

２つの慣性系のあいだの変換を与えるのが Lorentz変換である．これは，Newton力学における Galilei変換に対応する．Newton力学においては，時間は全ての慣性系で同じであるが，相対論では時間座標と空間座標は独立ではない．

ある慣性系における４元ベクトルが aµ であるとき，この慣性系に対して z軸方向に速度 −v で運動している別の慣性系からみた同じ４元ベクトルの値 a′µ は変換

a′0

a′1

a′2

a′3

=

1/√1− β2 0 0 β/

√1− β2

0 1 0 00 0 1 0

β/√1− β2 0 0 1/

√1 − β2

a0

a1

a2

a3

(7.15)

で与えられ，ここで，β =

v

c(7.16)

である．あるいは，β = tanh θ (7.17)

とおくと，

cosh2θ − sinh2θ = 1 tanh θ =sinh θcosh θ

(7.18)

を用いて，1√1− β2

= cosh θβ√1− β2

= sinh θ (7.19)

となる．従って，Lorentz変換 (7.15)は

a′0

a′1

a′2

a′3

=

cosh θ 0 0 sinh θ0 1 0 00 0 1 0

sinh θ 0 0 cosh θ

a0

a1

a2

a3

(7.20)

126 第 7 章 相対論的量子論（入門）

と表せる．

４元ベクトル xµ ４元ベクトル xµ に対する Lorentz変換は

ct′

x′

y′

z′

=

1/√1− β2 0 0 β/

√1− β2

0 1 0 00 0 1 0

β/√1− β2 0 0 1/

√1− β2

ct

x

y

z

(7.21)

と書ける．ここでは，z 軸方向の運動を考えているので，空間座標の x 成分と y 成分は変化しない．時間成分と空間座標の z 成分は

t′ =t√1− β2

+vz/c2√1− β2

z′ =v√1− β2

+z√1− β2

(7.22)

と変換される．ここで，β = v/c→ 0 の極限をとると，

t′

x′

y′

z′

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0v 0 0 1

t

x

y

z

(7.23)

となり，Galilei変換が得られる．

４元運動量 ４元運動量 pµ に対する Lorentz変換は，同様に

E′/c

p′1

p′2

p′3

=

1/√1− β2 0 0 β/

√1− β2

0 1 0 00 0 1 0

β/√1− β2 0 0 1/

√1− β2

E/c

p1

p2

p3

(7.24)

で与えられる．特に，粒子の静止系では p = 0 であるから，エネルギーは質量に等しい：E = mc2．この４元運動量に Lorentz変換をほどこすと，

E′ =mc2√1− β2

, p′1 = p′

2 = 0, p′3 =

mv√1− β2

(7.25)

が得られる．E ′ は速度 v で運動する質量 m の粒子のエネルギーである．すなわち，エネルギーは

E2 = p2c2 +m2c4 =m2c4

1− v2

c2

(7.26)

7.1 特殊相対性理論 127

と表せる．これより，３次元運動量の大きさとエネルギーの関係式

|p | = Ev

c2(7.27)

が得られる．

内積 慣性系の変換（Lorentz変換）に対して，内積は不変量になる．実際，２つの４元ベクトル aµ と bµ を Lorentz 変換 (7.15)して得られる a′µ と b′µ の内積をつくると，

a′ · b′ = a′0b′0 − a′1b′1 − a′2b′2 − a′3b′3

=a0 − βa3√1− β2

b0 − βb3√1− β2

− a1b1 − a2b2 − −βa0 + a3√1 − β2

−βb0 + b3√1− β2

= a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 = a · b

(7.28)

であり，不変であることが確かめられる．

128 第 7 章 相対論的量子論（入門）

7.2 Dirac方程式

7.2.1 自由粒子の基本方程式

非相対論的古典論 質量が m の自由粒子のエネルギー（運動エネルギー）は，古典力学では次の式で与えられる：

E =p2

2m(7.29)

非相対論的量子論（Schrodinger方程式）古典力学から量子力学への移行は，エネルギー E と運動量 pを微分演算子に置き換えることによって行われる：

E −→ ih∂

∂tp −→ h

i∇ (7.30)

この置き換えにより，(7.29)に対応した自由粒子の Hamiltonian

H =p2

2m(7.31)

から，自由粒子の Schrodinger方程式

ih∂ψ(t,x)

∂t= − h2

2m∇2ψ(t,x) (7.32)

が得られる．この方程式は波動関数 ψ(t,x) の時間発展を規定する．

(7.32) に ψ∗ をかけたものから，(7.32) の複素共役に ψ をかけたものを引くと，連続の方程式（確率の保存）

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (7.33)

が得られる．ここで，ρ = ψ∗ψ = |ψ |2

j =12m

h

i[ψ∗ (∇ψ)− (∇ψ∗)ψ]

(7.34)

は，それぞれ，確率密度と確率の流れの密度であり，(7.33)は確率の保存を表す．ρは正値であり確率密度と解釈することができる．

相対論的量子論（Klein-Gordon方程式）Schrodinger方程式 (7.32)は非相対論的であり，相対論的なエネルギーと運動量の関係

E2 = p2c2 +m2c4 (7.35)

に対応していない．また，そのため，Lorentz変換に対して左辺と右辺の変換は異なる．相対論的量子論における自由粒子の方程式は，エネルギーと運動量の関係式 (7.35) に，演算

7.2 Dirac方程式 129

子による置き換え (7.30) をして得られる：[h2

(∂2

∂t2− c2∇2

)+m2c4

]ψ = 0 (7.36)

この方程式は Klein-Gordon方程式 と呼ばれる．

相対論では，エネルギーと運動量は４元ベクトル（４元運動量）の成分として変換する．従って，上に示した方程式は４元ベクトルを用いて表すことができる．ただし，反変ベクトルと共変ベクトルに注意が必要である．次の４つの成分(

1c

∂

∂t, −∇

)=(1c

∂

∂t, − ∂

∂x1, − ∂

∂x2, − ∂

∂x3

)(7.37)

は，Lorentz変換に対して，上付き添字の反変ベクトル ( ct, x1, x2, x3 )と同じように変換し，(1c

∂

∂t, ∇

)=(1c

∂

∂t,

∂

∂x1,

∂

∂x2,

∂

∂x3

)(7.38)

は下付き添字の共変ベクトル ( ct, −x1, −x2, −x3 ) = ( ct, x1, x2, x3 )と同じように変換する．従って，４元運動量の反変ベクトル pµ と共変ベクトル pµ は，それぞれ，次のように表すことができる：

pµ = ih∂µ = ih∂

∂xµ

=(ih

c

∂

∂t,h

i

∂

∂x

)

pµ = ih∂µ = ih∂

∂xµ=

(ih

c

∂

∂t, − h

i

∂

∂x

) (7.39)

エネルギーと運動量の関係式は４元運動量の内積を用いて

pµpµ −m2c2 = 0 (7.40)

と書けるので，Klein-Gordon方程式は

[ h2∂µ∂µ +m2c2 ]ψ = 0 (7.41)

と簡単に表せる．

確率解釈の問題 非相対論的 Schrodinger方程式の解に対して確率の保存 (7.33) を求めたのと同様な計算を，Klein-Gordon方程式の解に対して行うと，全く同じ形の連続の方程式

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (7.42)

が得られる．ただし，

ρ =ih

2mc2

[ψ∗(∂ψ

∂t

)−(∂ψ∗

∂t

)ψ

]

j =12m

h

i[ψ∗ (∇ψ)− (∇ψ∗)ψ]

(7.43)

130 第 7 章 相対論的量子論（入門）

である．空間成分 j は非相対論的な場合と同じであるが，時間成分 ρ は時間微分を含んでいる．従って，ρ が正値である保証はなく，ρ を確率密度とみる解釈ができない．これは，Klein-Gordon方程式が時間についての２階微分を含んでいることに起因する．

簡単な例として，Klein-Gordon方程式の平面波解

ψ = N exp[− i

h(Et− p · x)

](7.44)

を考えると，(7.43)から

ρ =1

mc2|N |2E (7.45)

となる．エネルギーE = ±

√p2c2 +m2c4 (7.46)

の符号に応じて，ρは正にも負にもなることがわかる．

この段階では，Klein-Gordon方程式の解に対する確率密度の問題は解決できない．実際には，場の量子論に基づいて確率密度を定義することができ，Klein-Gordon方程式はスピンが 0 であるスカラー粒子が満たす方程式であることが示せる．

7.2.2 Dirac方程式

時間微分について線形な方程式 P.A.M. Dirac は，Lorentz変換に対して不変（E2 =p2c2 +m2c4 を満たす）であり，しかも，Schrodinger方程式のように時間微分に関して線形である方程式を求め，いわゆる Dirac方程式に至った．

エネルギーと運動量は４元ベクトルの成分として変換されるので，時間微分に関して線形であるならば，空間座標についての微分も線形でなければならない．すなわち，次のような方程式が考えられる：

H ψ = ih∂ψ

∂t=

hc

i

(α1 ∂ψ

∂x1+ α2 ∂ψ

∂x2+ α3 ∂ψ

∂x3

)+ βmc2ψ

=(hc

iαk ∂

∂xk+ βmc2

)ψ

(7.47)

ここで，３つの空間成分についての和（k = 1, 2, 3）を暗に表した．

微分演算を２回行うと２階の微分方程式(ih

c

∂

∂t

)2

ψ =(hc

iαj ∂

∂xj+ βmc2

)(hc

iαk ∂

∂xk+ βmc2

)ψ

= − (hc)23∑

k=1

(αk)2∂2ψ

(∂xk)2− (hc)2

3∑1=j<k

(αjαk + αkαj)∂2ψ

∂xj ∂xk

+hcm

i

3∑k=1

(αkβ + βαk)∂ψ

∂xk+ β2m2c4ψ

(7.48)

7.2 Dirac方程式 131

になるが，この式が，４元運動量の関係式 (7.35) から導かれる Klein-Gordon方程式(ih

c

∂

∂t

)2

ψ =(hc

i

∂

∂xk

)2

ψ +m2c4ψ (7.49)

に一致しなければならない．そのためには，αk と β が反交換関係

αjαk + αkαj = 2δik αkβ + βαi = 0 (7.50)

を満たすことが要請され，また，β2 = 1 (7.51)

である．さらに，Hamiltonianの固有値であるエネルギーは実数であるから，Hamiltonianは Hermite であり，従って，αk と β も Hermiteでなければならない：

αk† = αk β† = β (7.52)

このような条件を満たす αk と β は単なる数ではなく，正方行列（行の数と列の数が等しい行列）で表される．従って，波動関数 ψ は幾つかの成分をもつことになる．

ガンマ行列 上で導入した４つの行列 αk と β の代わりに，相対論的な形式に合ったガンマ行列を次のように定義する：

γ0 = β γk = βαk ( k = 1, 2, 3 ) (7.53)

αk と β が満たすべき条件 (7.50), (7.51), (7.52)は

γµγν + γνγµ = 2gµν (7.54)

γ0† = γ0 γk† = −γk (7.55)

と書き直される．gµν は４元ベクトルの添字の上げ下げをする計量テンソルである．また，ガンマ行列の時間成分 γ0 は Hermiteであるが，空間成分 γk は反Hermite になる．

波動関数 ψ の成分の数は以下のように考えられる．第１に，４つの行列が互いに反交換しなければならないので，成分の数は３以上である．成分の数が２であると仮定すると，２行２列の行列で互いに反交換するものが４つなければならない．しかし，２行２列の行列はPauliのスピン行列（３個）と単位行列で表すことができるが，反交換するのは３つである．第２に，ガンマ行列の反交換関係 (7.54) から，波動関数の成分の数は偶数でなければならないことが示せる．まず，µ = ν = 0 のとき，(γ0)2 = 1 から，γ0 の固有値は ±1 であり，k = µ = ν �= 0 のとき，(γk)2 = −1から，γk の固有値は ±i である．また，ガンマ行列の積の対角成分の和（トレースという）は，µ �= ν のとき

Tr (γµγνγν) = −Tr (γνγµγν) = −Tr(γµγνγν) = 0 (7.56)

となる．ここで，(γν)2 = ±1 より，

Tr (γµ) = 0 (7.57)

132 第 7 章 相対論的量子論（入門）

が得られる．このような条件を満たす行列の行数（列数）は偶数でなければならない．上で得られた「３以上」で「偶数」という条件から，以下では，波動関数の成分の数は４であるとする：

ψ(t,x) =

ψ1(t,x)ψ2(t,x)ψ3(t,x)ψ4(t,x)

(7.58)

反交換関係を満たす４行４列の行列として，ここでは，次の形を採用する：

γ0 =

(I 00 −I

)γk =

(0 σk

−σk 0

)(7.59)

I は２行２列の単位行列で，σk は Pauliのスピン行列である：

σ1 =

(0 11 0

)σ2 =

(0 −ii 0

)σ3 =

(1 00 −1

)(7.60)

ここで採用した形を Dirac-Pauli 表示と言う．一般に，上に示した行列を unitary変換して得られる行列も反交換関係を満たす．別の表示としては，たとえば，

γ0 =

(0 I

I 0

)γk =

(0 −σk

σk 0

)(7.61)

が用いられる．これをWyle表示 あるいは Chiral表示 という．

Dirac方程式 ガンマ行列を用いると (7.47)は

ih

(γ0 ∂

∂x0+ γ1 ∂

∂x1+ γ2 ∂

∂x2+ γ3 ∂

∂x3

)ψ −mcψ = 0 (7.62)

と書ける．これが，スピンが 12 の自由な粒子の波動関数が満たすべき Dirac方程式である．

また，波動関数は（４成分）スピノールと呼ばれる．上の Dirac方程式は，繰り返し現われる添字について和をとると約束して

( ihγµ∂µ −mc )ψ = 0 (7.63)

と簡単に表すことが多い．

確率密度 Klein-Gordon方程式で問題になった確率密度（及び，確率の流れの密度）は，Dirac方程式 (7.47)から導ける．ただし，波動関数は４成分をもつので，複素共役の代わりに Hermite共役をとる．(7.47) の Hermite共役は

−ih ∂ψ†

∂t= ψ†

(− hc

iα · ←−∇ + βmc2

)(7.64)

7.2 Dirac方程式 133

であり，ここで，←−∇ は左にある ψ† に作用する微分演算子で，たとえば，x成分は

ψ†←−∇x =∂ψ†

∂x(7.65)

を意味する．確率の保存は∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (7.66)

と表され，ここで，

ρ = ψ†ψ

j = cψ† αψ = c(ψ†α1ψ, ψ†α2ψ, ψ†α3ψ, )(7.67)

である．４元ベクトルでは次のように表される：

∂jµ

∂xµ= ∂µj

µ = 0 jµ = ( cρ, j ) (7.68)

確率密度 ρ は，波動関数の４成分で陽に表すと

ρ = (ψ ∗1 , ψ

∗2 , ψ

∗3 , ψ

∗4 )

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

=

4∑k=1

|ψk |2 > 0 (7.69)

より，常に正値であり，確率解釈が可能である．

7.2.3 Dirac方程式の解

４成分からなる Dirac方程式は，独立な４つの解をもつ．エネルギー E と運動量 pの固有状態は

ψ(t,x) = w exp[− i

h(Et− p · x)

](7.70)

と書くことができる．w は４成分をもつ：

w =

u1

u2

u3

u4

(7.71)

(7.71) を Dirac方程式 (7.62) に代入し，Dirac-Pauli表示のガンマ行列の表示 (7.59) と(7.60)を用いると，uk(p)（k = 1, 2, 3, 4）に関する連立方程式が得られ，行列の形で書くと

E −mc2 0 −cp3 −c(p1 − ip2)

0 E −mc2 −c(p1 + ip2) cp3

−cp3 −c(p1 − ip2) E +mc2 0−c(p1 + ip2) cp3 0 E +mc2

u1

u2

u3

u4

= 0 (7.72)

134 第 7 章 相対論的量子論（入門）

となる．この連立方程式が解をもつのは，uk の係数行列の行列式が 0になるとき

(E2 − (pc)2 −m2c4

)2= 0 (7.73)

すなわち，エネルギーと運動量の関係式が成り立つときである．運動量 p が指定されたとき，エネルギーは

E± = ±√

p2c2 +m2c4 (7.74)

の２つの値が許される．絶対値は等しく，一方は正であり，他方は負である．これは，Klein-Gordon方程式の場合と同じである．正のエネルギー E+ に対して２つの独立な解が存在する：

w = N

10cp3

E+ +mc2

c(p1 + ip2)E+ +mc2

w = N

01

c(p1 − ip2)E+ +mc2

− cp3

E+ +mc2

(7.75)

同様に，負のエネルギー E− に対しても２つの独立な解が存在する：

w = N

cp3

E− −mc2

c(p1 + ip2)E− −mc2

10

w = N

c(p1 − ip2)E− −mc2

− cp3

E− −mc2

01

(7.76)

規格化因子は

N =

[1 +

p2c2

(|E± |+mc2)2

]−1/2

(7.77)

で与えられる．

４成分スピノール w は，しばしば，２成分ずつに分けて

w =

(φ

χ

) φ =

(u1

u2

)

χ =

(u3

u4

) (7.78)

と表される．(7.70) を Dirac方程式 (7.62) に代入し，(7.59)を用いると，

E

c

(I 00 −I

)(φ

χ

)+

(0 σ · p

−σ · p 0

)(φ

χ

)−mc

(I 00 I

)(φ

χ

)= 0 (7.79)

7.2 Dirac方程式 135

より，２成分スピノール φ と χ の連立方程式

(E −mc2)φ− cσ · pχ = 0

(E +mc2)χ− cσ · pφ = 0(7.80)

が得られる．後者を χ について解いて，４成分スピノール w は

w = N

φ

cσ · pE +mc2

φ

(7.81)

と表される．エネルギーと運動量の関係は，(7.80) の下の式を χ について解いて上の式に代入すると，Pauli行列の関係式

(σ · p) (σ · p) = p2 I (7.82)

を用いて(E −mc2) (E +mc2)φ = (pc)2 φ (7.83)

が得られる．この結果は，４成分に分けて計算した場合 (7.73) に一致する．

136 第 7 章 相対論的量子論（入門）

7.3 Dirac波動関数の変換

7.3.1 Lorentz変換

この章の始めに Lorentz変換について簡単に述べたが，ここでは，広い意味での Lorentz変換について説明する．

４元ベクトルの線形変換一般に，Lorentz変換とは，４元ベクトル xµ の線形変換

xµ −→ x′µ = Λµ

νxν (7.84)

で，x · x = xµxµ (7.85)

を不変に保つもの，すなわち，x′

µx′µ = xµxµ (7.86)

が成り立つものをいう．

(7.86) の左辺にある４元ベクトルの内積において，計量テンソル gµν を用いて共変ベクトル x′µ を反変ベクトル x′µ で表し，x′µ を (7.84)によって書き換える：

x′µx′µ = gµνx

′µx′ν = gµν(Λ

µρx

ρ) (Λνσx

σ) = gµνΛµρΛ

νσ x

ρxσ (7.87)

一方，(7.86) の右辺はxρxρ = gρσx

ρxσ (7.88)

と表せる．両者が一致するためには，Lorentz変換を表す Λµν が

gµνΛµρΛ

νσ = gρσ (7.89)

を満たさなければならない．

連続的な変換と離散的な変換gµν 及び Λµ

ν は４行４列の行列で表される．そこで，(7.89)の行列式を計算する．行列の積の行列式は，個々の行列の行列式の積に等しいので，(7.89) より

( detΛ )2 = 1 (7.90)

が得られる．すなわち，detΛ = ±1 (7.91)

である．例として，z 軸方向の並進運動を表す Lorentz変換 (7.15) の場合は，

detΛ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1/√1− β2 0 0 β/

√1− β2

0 1 0 00 0 1 0

β/√1 − β2 0 0 1/

√1− β2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 (7.92)

7.3 Dirac波動関数の変換 137

である．

一般に，恒等変換から微小変換の積み重ねで到達できる Lorentz変換の場合は detΛ = +1である．行列式が detΛ = −1である Lorentz変換は離散的な空間反転と時間反転（Λをそれぞれ P , T と表す）：

空間反転 P =

+1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(7.93)

時間反転 T =

−1 0 0 00 +1 0 00 0 +1 00 0 0 +1

(7.94)

及び，そこから微小変換の積み重ねで到達できる場合である．

共変ベクトルの変換(7.89) の両辺に gτρ をかけて τ と ρについて和をとる．左辺は計量テンソルによる添字の上げ下げの規則により

gτρgµνΛµρΛ

νσ = gτρΛνρΛ

νσ = Λ τ

ν Λνσ (7.95)

右辺はgτρgρν = δτ

σ (7.96)

より，Λ τ

ν Λνσ = δτ

σ (7.97)

が得られる．ここで，δτσ は Kroneckerのデルタである．(7.97)は Λµ

ν の添字を上げ下げして得られる Λ ν

µ が，もとの行列 Λ の転置逆行列 (Λ−1)T になっていることを表している：

Λ νµ = (Λ−1 )νµ (7.98)

共変ベクトルの変換 xµ → x′µ は，添字の上げ下げを用いて次のようにして求められる：

x′µ = gµνx′ν = gµν Λ

νρx

ρ = gµνΛνρg

ρσxσ = Λ σµ xσ (7.99)

最後の等号では計量テンソルによる Λ の添字の上げ下げを用いた．この結果，及び (7.98)の関係より，共変ベクトルの変換

xµ −→ x′µ = Λ νµ xν = xν (Λ

−1 )νµ (7.100)

が得られる．

138 第 7 章 相対論的量子論（入門）

２階のテンソル一般に，任意の階数のテンソルの Lorentz変換は，上付き添字は反変ベクトルとして，下付き添字は共変ベクトルとして変換するものとして定義する．たとえば，上付き添字を２つもつ２階のテンソル T µν は次のように変換される．

T µν −→ T ′µν = ΛµρΛ

νσT

ρσ (7.101)

特に，計量テンソル gµν の場合は

gµν −→ g′µν = Λµ

ρΛνσg

ρσ = ΛµσΛνσ = gµρΛ σ

µ Λνσ = gµρδν

ρ = gµν (7.102)

と変換されるので，Lorentz変換に対して不変である（不変テンソル）ことがわかる．

Dirac方程式は Lorentz変換に対して形を変えないことが確かめられる．（それを示すことはここではしない．）慣性系によらずに同じ形になることを 相対論的に共変 であるという．以下では，連続的な変換として簡単な例を示し，また，離散的な変換と関連した事項について述べる．

7.3.2 連続的な変換

空間座標軸のまわりの回転例として k軸（k = 1, 2, 3）のまわりの角度 θ の回転を考える．非相対論において，k軸のまわりの角度 θ の回転に対するスピン s 状態の変換は，角運動量演算子 Jk の 2s+ 1 表現を用いて

ψs −→ ψ′s = S(θ)ψs (7.103)

S(θ) = exp (iJk θ) (7.104)

と書ける．スピンが 12 のとき，角運動量演算子は Pauli行列で表される（Jk = 1

2σk）ので，

２成分スピノールに作用する変換行列は

S(θ) = exp

(iσk

2θ

)(7.105)

と表すことができる．２行２列の行列 σk を含む exp(iσkθ/2)は級数展開

exp

(iσk

2θ

)=

∞∑n=0

1n!

(iσk

2θ

)n

(7.106)

で定義される．Pauli行列の性質 (σk)2= I (7.107)

を用いると，偶数次の項は単位行列になり，その結果，

exp

(iσk

2θ

)= I cos

θ

2+ i σk sin

θ

2(7.108)

7.3 Dirac波動関数の変換 139

と表される．

Dirac波動関数はスピンが 12 の粒子の相対論的波動関数である．非相対論的な場合との

違いは Dirac波動関数 ψ が４成分スピノールで表されることである．実際には，４成分のうち，上の２成分と下の２成分が非相対論的な場合と同様に変換する．すなわち，

ψ(x) −→ ψ′(x′) = S(θ)ψ(x) (7.109)

と表すことができ，S(θ)は４行４列の変換行列で与えられる：

S(θ) =

(I 00 I

)exp

(iσk

2θ

)(7.110)

σk は k軸のまわりの無限小回転を生じる Hermite行列であるので，変換行列は unitary行列である．

並進（狭義の Lorentz変換）例として x軸（１軸）方向への速度 v の並進運動を考える．このとき，時間座標 x0 と１軸座標 x1 は，β = v/c = tanh θ として次のように変換する（Lorentz変換 (7.20) において，速度の符号を変えて）：

x0 −→ x′0 = + x0 cosh θ − x1 sinh θ

x1 −→ x′0 = − x0 sinh θ + x1 cosh θ

(7.111)

この Lorentz変換のもとで，４成分スピノール ψ(x) の変換は

ψ(x) −→ ψ′(x′) = S(θ)ψ(x) (7.112)

と書ける．S(θ)は４行４列の行列で，空間座標の回転の場合と良く似た形で表される：

S(θ) = exp(−i σ01

2θ

)(7.113)

ここで，

σ01 =

0 0 0 −i0 0 −i 00 −i 0 0−i 0 0 0

(7.114)

である．σ01 の２乗は４行４列の単位行列に −1をかけたものになるので，

S(θ) = I4 coshθ

2− i σ01 sinh

θ

2(7.115)

と書ける．I4 は４行４列の単位行列である．無限小変換を生じる行列 σ01 は Hermiteではないので，変換行列は unitary行列ではない．

140 第 7 章 相対論的量子論（入門）

スカラー・ベクトル・テンソル４元ベクトルに対して定義される Lorentz変換

xµ −→ x′µ = Λµ

νxν (7.116)

のもとで，Dirac方程式の解 ψ は次のように変換される：

ψ −→ ψ′ = S ψ (7.117)

しかし，Lorentz変換 (7.111)の場合，Dirac波動関数の変換 (7.112)において，変換行列はunitaryでない．従って，波動関数 ψ の Hermite共役 ψ† は Lorentz変換に対する良い変換性を示さない．相対論的に共変であることを見やすくするには，Dirac波動関数の Hermite共役の代わりに，Hermite共役に右から γ0 をかけた波動関数を導入すると便利である．これを ψ の上に横線を付けて表す：

ψ = ψ†γ0 (7.118)

４成分を陽に書くと

ψ = (ψ1∗, ψ2

∗, ψ3∗, ψ4

∗ )γ0 = (ψ1∗, ψ2

∗, −ψ3∗, −ψ4

∗ ) (7.119)

である．上に横線を付けた波動関数は，Lorentz変換に対して S(θ)の逆行列で変換される：

ψ(x) −→ ψ′(x′) = ψ(x)S(θ)−1 (7.120)

関係式 (7.120) を考慮すると，波動関数 ψ1 と ψ2 の積の変換は

ψ1ψ2 −→ ψ′1ψ

′2 = ψ1S

−1Sψ2 = ψ1ψ2 (7.121)

となり，Lorentz変換に対して不変であることがわかる．添字 1と 2は異なる波動関数に対しても成り立つことを表す．このように Lorentz変換に対して不変な量をスカラーと呼ぶ．

ガンマ行列 γµ をはさんだ量 ψ1γµψ2 の変換は

ψ1γµψ2 −→ ψ

′1γ

µψ′2 = ψ1S

−1γµSψ2 (7.122)

と書ける．（ここでは導出しないが）変換行列 S に対して，

S−1γµS = Λµνγ

ν (7.123)

が成り立つ．従って，上の変換は

ψ1γµψ2 −→ ψ

′1γ

µψ′2 = Λµ

ν ψ1γµψ2 (7.124)

となり，４元ベクトルと同じ変換をすることがわかる．このように４元ベクトルと同じように変換する量をベクトル という．

7.3 Dirac波動関数の変換 141

ガンマ行列の変換 (7.123)を考えると，２つのガンマ行列の積をはさんだ量はテンソルとして変換する：

ψ1γµγνψ2 −→ ψ

′1γ

µγνψ′2 = Λµ

ρΛνσψ1γ

ργσψ2 (7.125)

通常，γµγν の代わりに，ガンマ行列の交換関係によって定義される σµν がテンソルとして用いられる：

σµν =i

2[γµ, γν ] (7.126)

なお，計量テンソルを用いて添字を下げた σ01 が，変換行列 (7.113)に現われた４行４列の行列である．

確率密度 Dirac波動関数の確率密度は４元ベクトルで

jµ = ( cρ, j ) = ( cψ†ψ, cψ†αψ ) (7.127)

と表される．ここで，ψ† の右側に単位行列 β2 = I を挿入し，β = γ0，ψ = ψ†γ0，γk = βαk

の関係式を用いると，jµ = cψγµψ (7.128)

と書き直せる．すなわち，確率密度の４元ベクトル jµ は Lorentz変換に対してベクトルとして変換することが確かめられる．

7.3.3 空間反転とカイラリティ

空間反転空間反転は次の変換として定義される：{

t −→ + t

x −→ −x(7.129)

すなわち，Lorentz変換を表す Λµν は計量テンソル gµν に等しい．従って，ガンマ行列の変

換は

P−1γµP = gµνγν =

{+γ0 (µ = 0)−γk (µ = 1, 2, 3)

(7.130)

と表される．変換行列 P はP = eiϕγ0 (7.131)

と表すことができる．実際，P の逆行列は

P−1 = e−iϕ(γ0)−1 = e−iϕγ0 (7.132)

であるので，P−1γµP = γ0γµγ0 (7.133)

142 第 7 章 相対論的量子論（入門）

から，µ = 0 のときは(γ0)3 = γ0 であり，µ = 1, 2, 3 のときはガンマ行列の反交換関係を

用いてγ0γkγ0 = −γkγ0γ0 = − γk (7.134)

となる．また，変換行列は

P †P = γ0e−iϕ eiϕγ0 = (γ0)2 = I (7.135)

を満たすので，明らかに unitary変換である：

P−1 = P † (7.136)

擬スカラー・擬ベクトル位置ベクトル xや運動量ベクトル pは空間反転に対して符号を変えるが，角運動量 x× p

は符号を変えない．角運動量のように，空間回転に対してはベクトルと同じように変換するが，空間反転に対して符号を変えない量を 擬ベクトル量と呼ぶ．また，空間回転に対して変換しないスカラーのなかには，空間反転に対して符号を変えるものがある．このような量を 擬スカラー量 と呼ぶ．

擬スカラー量や擬ベクトル量をつくるには，次の式で定義される γ5 を導入すると便利である：

γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3 =

(0 I

I 0

)(7.137)

ここでは，具体的な形として Dirac-Pauli表示で示した．

ψ1γ5ψ2 は擬スカラーである．すなわち，Lorentz変換に対してはスカラー ψ1ψ2 と同様に符

号を変えないが，空間反転に対してはスカラーと異なって符号を変える．ベクトル ψ1γµψ2

に対応して，擬ベクトルは ψ1γ5γµψ2 である．Lorentz変換に対してはベクトルと同様に振

るまい，空間反転に対しては符号を変えない．

双一次形式Dirac波動関数 ψ と ψ = ψ†γ0 から作られる ψΓψ を双一次形式という．ガンマ行列は４行４列の行列であるから，独立成分の数は 16 である．従って，双一次形式の Γ をガンマ行列の組み合わせでつくるとすると，双一次形式の独立な成分の個数も 16である．それらは，Lorentz変換と空間反転に対する変換性から，以下のように分類することができる：

スカラー S ψψ 1擬スカラー P ψγ5ψ 1ベクトル V ψγµψ 4擬ベクトル A ψγ5γµψ 4テンソル T ψσµνψ 6

右端の数字は独立な成分の個数を表している．独立な成分の和は 16になり，双一次形式のすべてが尽くされている．

7.3 Dirac波動関数の変換 143

カイラリィ(7.137) で定義した行列 γ5 を２乗すると恒等変換になる：

( γ5 )2 =

(I 00 I

)(7.138)

従って，固有値は ±1である．Dirac波動関数は固有値が +1 の成分と −1 の成分をもっている．前者をカイラリィが正であるといい，後者をカイラリィが負であるという．

２つの成分は，次の行列を用いることによって分離できる：

P+ =1 + γ5

2P− =

1− γ5

2(7.139)

(7.138) より，(P+ )

2 = P+ (P− )2 = P− P+ P− = 0 (7.140)

が容易に導ける．また，明らかにP+ + P− = 1 (7.141)

である．すなわち，P± は射影演算子の役割を果たす．P+ は γ5 の固有値が +1の成分だけを取り出し，P− は −1 の成分だけを取り出す：

ψ = ψR + ψL

ψR = P+ψ ψL = P−ψ(7.142)

カイラリィ正は右巻き（right-handed）に対応し，カイラリィ負は左巻き（left-handed）に対応する．波動関数につけた添字 R と Lは頭文字を付けたものである．

7.3.4 Hole理論

負エネルギー解の問題Dirac方程式にはエネルギーが正の解だけでなく，負の解も存在する（Klein-Gordon方程式の場合も同様であった）．たとえば，運動量が p の電子があるとき，エネルギー E はE = ±

√p2c2 +m2c4 の２つの値をもつ解が存在する．電子が取り得るエネルギーの値は

E = 0に対して対称である（ただし，−mc2 < E < mc2 の範囲の値を取ることはできない）．

正のエネルギーをもつ電子はフォトン（光子）を放出して，よりエネルギーが低い負のエネルギー状態へと遷移できる．従って，電子は全て負のエネルギー状態へと遷移してしまうことになる．これを負エネルギー解の問題という．

Diracの解釈Diracは負エネルギー解の問題を次のように解釈した．真空は，負エネルギー状態は全て電子によって占有されている．Fermi粒子である電子には Pauliの排他律がはたらき，１つの

144 第 7 章 相対論的量子論（入門）

量子状態には１つの電子しか入ることができない．従って，既に電子によって占有されている負のエネルギー状態へ，正エネルギーをもつ電子は遷移できない．このような真空は無限に大きな負の電荷とエネルギーをもつことになるが，我々が観測するのは，この真空からのずれだけである．

0

mc 2

−mc 2

0

mc 2

−mc 2

図 7.1: 左：陽電子，右：電子と陽電子の対消滅

真空中の負エネルギー状態の電子が１つないとき，真空に１つの hole があると考える．この holeは，真空に対して１つの電子が欠如している状態であるから，電子と等しい大きさで反対符号の正電荷をもつ．従って，真空中の１つの hole を，正エネルギーをもつ状態に正電荷をもつ粒子（陽電子）が存在すると解釈する（図 7.1 の左図参照）．この解釈を応用すると，電子と陽電子の対消滅

e− + e+ → γ + γ (7.143)

は，正エネルギー状態にある電子が負エネルギー状態の hole（陽電子）へ遷移することに対応する（図 7.1 の右図参照）．逆に，電子と陽電子の対生成は，真空中の負エネルギー状態にある電子がエネルギーを受け取って，正エネルギー状態へ遷移することとして理解できる．

Feynmanの解釈Feynmanは負エネルギー解を次のように解釈した：

負エネルギー状態にあり，時間を負の向きに進む粒子は，正エネルギー状態にあり，時間を正の向きに進む反粒子に等しい．

例として，電子 e− のポテンシャルによる散乱を考える．Feynmanによると，図 7.2 の左図に示すように，粒子が時間の負の向きに散乱されることも可能である．この散乱過程は，図 7.2 の右図と等価であると考える．すなわち，時間を負の向きに進む e− は負エネルギー解であり，時間の負の向きにしか進むことができないと考える．そして，これを正エネル

7.3 Dirac波動関数の変換 145

t

x

e−

e−e−

t

x

e−

e+e−

図 7.2: 電子 e− のポテンシャルによる散乱

ギーをもち時間の正の向きに進む陽電子 e+（e− の反粒子）であるとする．一方，正エネルギーの e− は時間の正の向きにしか進むことはできない．

この考えを次のように推し進めることができる．ある系が正エネルギー E の電子 e− を放出したとする．系のエネルギーは E だけ減少する．また，電荷は −eだけ減少する．つまり，+eだけ増加する．この電荷の増加は陽電子 e+ の吸収によってももたらされる．しかし，e+ の吸収過程が e− の放出過程と等価であるには，すなわち，e+ の吸収によってエネルギーが E だけ減少するには，陽電子 e+ は負のエネルギーをもたなければならない．

反粒子以上見てきたように，真空状態に１つ holeができた状態は，１つの粒子として扱うことができる．この粒子の質量は電子の質量に等しいが，エネルギーは逆符号（負）であり，電子とは逆符号で等量の電荷をもつ．このような粒子を電子の 反粒子と呼ぶ．負エネルギー解の状態が消滅したとき，正エネルギーの反粒子が生成したと解釈する．逆に，正エネルギーの反粒子が消滅したときは，負エネルギー状態に粒子が生成されたと考えられる．

Diracは Dirac方程式に負エネルギー解が存在することを示し，また，Hole理論を提唱して，電子に反粒子があることを予言した．後に，Andersonによって電子と同じ質量をもち，異符号等量の電荷をもった粒子（反粒子）が発見され，陽電子（positron）と名付けられた．

7.3.5 荷電共役

荷電共役変換粒子と反粒子を入れ換える変換を荷電共役変換という．粒子の波動関数を ψ とすると，反粒子の波動関数は複素共役 ψ∗ で基本的にはよい．しかし，荷電共役変換は内部変換でありLorentz変換性を保たなければならない．すなわち，複素変換とともに成分の混合が考えられる．そこで，成分の混合を表す４行４列の行列を C として，Dirac波動関数に対する荷

146 第 7 章 相対論的量子論（入門）

電共役をψc = C ψ

T (7.144)

と定義する．上付きの横線を引いた ψ = (ψ∗)T γ0 は，ψ に複素共役と転置の操作をして得られる行ベクトルに，右から γ0 をかけたものである．

４行４列の行列 C は，反粒子が粒子と同じ Dirac方程式を満たす要請から求められる．その結果，ガンマ行列は C によって次のように変換される：

C−1γµC = − (γµ)T (7.145)

行列 C は unitary行列で表すことができ，Dirac-Pauli表示における具体的な形は

C = i γ2γ0 =

0 0 0 −10 0 1 00 −1 0 01 0 0 0

(7.146)

である．ψ の４成分を

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

(7.147)

と表すと，ψ の荷電共役は

ψc =

ψ4∗

−ψ3∗

−ψ2∗

ψ1∗

(7.148)

である．なお，関係式 (7.145)から，行列 C により，γ5 は

C−1γ5C = (γ5)T (7.149)

と変換される．

反粒子のカイラリティ粒子のカイラリティが負である成分に対して荷電共役変換をすると，反粒子の正のカイラリティの成分が得られる．これは次のように示せる．まず，ψ の荷電共役変換は

ψc = C ψT = C

(ψ†γ0

)T= C (γ0)Tψ∗ (7.150)

と表せる．カイラリティの射影演算子は

PL =1− γ5

2PR =

1 + γ5

2(7.151)

7.3 Dirac波動関数の変換 147

で定義され，γ5 は実対称行列である（Dirac-Pauli表示）．従って，

(ψL)c = C PLψ

T

= C (γ0)T (PLψ)∗ (7.150)

= C (γ0)TPLψ∗ PL

∗ = PL

= C PR(γ0)Tψ∗ γ0γ5 = −γ5γ0

= PR C (γ0)Tψ∗ ガンマ行列の反交換関係

= PR ψc (7.150)

(7.152)

となる．カイラリティが正の成分に対する荷電共役変換では，γ5 にかかる符号が逆になるだけの違いであるので，結果としてカイラリティが逆になる．すなわち，

(ψL)c = (ψc)R (ψR)

c = (ψc)L (7.153)

が得られる．

148 第 7 章 相対論的量子論（入門）

7.4 電磁場

7.4.1 Maxwell方程式

古典電磁気学の基本法則は Maxwell方程式にまとめられる：電場を E，磁束密度を B，電荷密度を ρem，電流密度を jem として

∇ ·E = ρem (7.154)

∇×E = − ∂B

∂t(7.155)

∇ ·B = 0 (7.156)

∇×B = jem +∂E

∂t(7.157)

また，電荷に関する連続の方程式

∂ρem

∂t+∇ · jem = 0 (7.158)

が成り立つ．

電磁場のポテンシャル古典電磁気学，そして，特に量子力学では，電場と磁束密度の代わりにスカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A を導入すると便利である：

E = −∇φ− ∂A

∂t(7.159)

B = ∇×A (7.160)

この定義により，(7.155)と (7.156) は自動的に満たされる（勾配の回転，及び回転の発散は恒等的に 0 である）．

相対論的表現Lorentz変換に対して，スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルは合わせて４元ベクトルとして変換する．反変ベクトル Aµ と共変ベクトル Aµ は，それぞれ

Aµ =(φ

c, A

)Aµ =

(φ

c, −A

)(7.161)

と表される．また，電荷密度 ρem と電流密度 jem も４元ベクトル

j µem = ( cρem, jem ) jem µ = ( cρem, −jem ) (7.162)

として変換し，連続の方程式は

∂µjµ

em =∂j µ

em

∂xµ= 0 (7.163)

7.4 電磁場 149

と書ける．

場の強さのテンソルポテンシャルが４元ベクトルを成すのに対して，電場や磁束密度は次の式で定義される場の強さのテンソル（２階の反対称テンソル）の成分として現れる：

F µν = ∂µAν − ∂νAµ (7.164)

このテンソルは４行４列のテンソルであるが，定義から明らかに反対称

F µν = −F νµ (7.165)

であるので，対角成分は Fµµ = 0である．非対角成分のうち，µ = 0, ν = 1, 2, 3の成分は

F 0k =1c

∂Ak

∂t− 1

c

∂φ

∂xk

=1c

(∂Ak

∂t+

∂φ

∂xk

)= −1

cEk (7.166)

より，電場 E の k 成分に比例する．残る 1 ≤ µ < ν ≤ 3 の成分は，

F jk =∂Ak

∂xj

− ∂Aj

∂xk

= −(∂Ak

∂xj− ∂Aj

∂xk

)(7.167)

となる．これは，磁束密度 B の成分であることがわかる．２つをまとめて，場の強さのテンソルは

Fµν =

0 −E1/c −E2/c −E3/c

E1/c 0 −B3 B2

E2/c B3 0 −B1

E3/c −B2 B1 0

(7.168)

と書ける．

F µν は (7.164)の定義から明らかに，Lorentz変換に対して２階の反変テンソルとして変換する．従って，計量テンソルによって添字を下げることができ，

Fµν = gµρgνσFρσ (7.169)

その結果，２階の共変テンソル

Fµν =

0 E1/c E2/c E3/c

−E1/c 0 −B3 B2

−E2/c B3 0 −B1

−E3/c −B2 B1 0

(7.170)

が得られる．反変テンソルと共変テンソルの添字について和をとると

− 14FµνFµν =

12

(E2

c2−B2

)(7.171)

150 第 7 章 相対論的量子論（入門）

は，Lorentz変換に対してスカラーとして変換する（不変である）．

Maxwell方程式のうちの２つはポテンシャルの導入で自動的に成立したが，残る２つの方程式 (7.154) と (7.157) は，反対称テンソルを用いて，

∂µFµν =

∂Fµν

∂xµ= j ν

em (7.172)

とまとめられる．ここで，反対称テンソルの定義式 (7.164)を代入して４元ベクトル Aµ で表すと

∂µ∂µAν − ∂ν (∂µA

µ) = j νem (7.173)

となる．

7.4.2 ゲージ不変性

ゲージ変換物理的な場である電場 E と磁束密度 B に対して，ポテンシャル φとAは一意的には決まらない．χ(t,x)を任意の関数として，ベクトルポテンシャルを

A −→ A′ = A+∇χ (7.174)

としても，勾配の回転は恒等的に 0であるので，磁束密度 B は変わらない．このとき，電場 E も変わらないようにするには，ベクトルポテンシャルと同時に，スカラーポテンシャルを

φ −→ φ′ = φ− ∂χ

∂t(7.175)

とすればよい．４元ベクトルの形では，

Aµ −→ A′µ = Aµ − ∂µχ (7.176)

と表せる．

このように，電磁場のポテンシャルには不定性がある．(7.174) と (7.175) を合わせて，あるいは，(7.176)を（電磁場の）ゲージ変換と言い，χを ゲージ関数という．ゲージ変換に対して，電場や磁束密度は変わらない．これを ゲージ不変性という．電磁場の強さのテンソル F µν は，電場と磁束密度から構成されるので，Fµν は必然的にゲージ変換 (7.176)に対して不変である．

最小作用の原理によると，作用

Sem = cε

∫d4x

(− 14FµνFµν

)(7.177)

を最小にするように，電磁場のポテンシャル Aµ が実現する．すなわち，この作用をポテンシャルについて変分すると，電磁場の基本方程式である Maxwell方程式が導かれる．Fµν

7.4 電磁場 151

はゲージ変換に対して不変であるので，Maxwell方程式だけでなく，作用 Sem もゲージ変換に対して不変である．

ゲージ条件ゲージ変換の不定性を利用して，扱う問題に応じて，適当なゲージを取ることができる．言いかえると，ある条件を課してゲージの不定性を除くことができる．この条件を ゲージ条件 といい，ゲージ条件を課してゲージの不定性を除く操作を ゲージ固定 という．

Lorentzゲージ は相対論的共変性を明確にするのに便利なゲージである：

∂µAµ =

1c

∂

∂t

φ

c+∇ ·A = 0 (7.178)

この条件を Lorentz条件という．ただし，Lorentz条件によって，ゲージ変換の自由度が完全になくなったわけではない．ゲージ関数 χが

1c2

∂2χ

∂t2−∇ · (∇χ) = 0 (7.179)

を満たす限り，Lorentz条件が満たされているからである．

ゲージ関数を適当に選んで，ベクトルポテンシャル Aが

∇ ·A = 0 (7.180)

を満たすとき，これを Coulombゲージ という．このとき，真空中（ρem = jem = 0）では，

φ = 0

(1c2

∂2

∂t2−∇ ·∇

)A = 0 (7.181)

となる．この式は波動方程式であり，解は電磁波を表す．なお，３成分をもつベクトルポテンシャル A には Coulombゲージ条件 (7.180) が課せられているので，電磁場の自由度は２である．すなわち，電磁波は横波であり，縦波成分はない．

152 第 7 章 相対論的量子論（入門）

7.5 第7章の参考文献

1. 物理学基礎シリーズ １０ 「素粒子物理学」，坂井典佑（培風館，１９９３年）

2. 「量子力学」，L.I. Schiff, 井上健 訳（吉岡書店，１９７１年）

3. Advanced Quantum Mechanics, J.J. Sakurai, (Addison-Wesley Publishing Company,1967)

4. Relativistic Quantum Mechanics, J.D. Bjorken and S.D. Drell, (McGrow-Hill, Inc.,New York, 1964)

5. Relativistic Quantum Field Theory, J.D. Bjorken and S.D. Drell, (McGrow-Hill, Inc.,New York, 1964)

6. Gauge Theories in Particle Physics, I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, GraduateStudent Series in Physics, (Adam Hilger, Bristol, Philadelphia, 1989)

7. 新物理学シリーズ ２３，２４ 「ゲージ場の量子論」I・II，九後汰一郎，（培風館，１９８９年）