7. Элементы логических схем ( логические элементы )
description
Transcript of 7. Элементы логических схем ( логические элементы )
7. Элементы логических схем (логические элементы)
Электрическую схему, обрабатывающую двоичные коды называют дигитальной схемой.
Составляющими частями каждой дигитальной схемы являются логические элементы, которые выполняют простейшие логические действия с логическими константами 0 и 1.
Логическая схема получается соединением логических элементов.
Каждое дигитальное устройство состоит из логических схем и обрабатывает последовательности из нулей и единиц.
Логические функции = математические модели логических схем.
Логические схемы = физические модели логических функций.
7.1 Обозначения логических элементов
1. Инвертор или НЕ-элемент (NOT)
X X
вход выход
2. Конъюнкция или И-элемент (AND)
X1
X2
X1 & X2&
3. Дизъюнкция или ИЛИ-элемент (OR)
вход выход
X1
X2
вход
1 X1 X2
выход
X1
X2
(X1 & X2)&
5. Инверсия дизъюнкции или ИЛИ-НЕ-элемент (NOR)
вход выход
X1
X2
вход
1 (X1 X2)
выход
4. Инверсия конъюнкции или И-НЕ-элемент (NAND)
Пример.
Логической функции 3-х переменныхf (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & ( X2 X3))
соответствует логическая схема:
X3
X21
X1
& f (X1 , X2 , X3 )
7.2 Минимизация логических схем
Алгоритм:
1. шаг: найти логическую функцию, соответствующую данной схеме
2. шаг: найти МДНФ или МКНФ этой функции
3. шаг: найти схему, соответсвующую минимальной форме
Пример. Дана логическая схема, реализующая логическую функцию f на ИЛИ-НЕ элементах. Является ли данная схема минимальной? Найти МДНФ функции и соответствующую ей схему.
X3
X2 1
X1
1 f (X1 , X2 , X3 , X4 )
X1
X4
X2
X2
X3
X4
1
1
Решение: функция, соответствующая логической схеме
f (X1, X2, X3, Х4 ) =
= ((X1 X2 X3 X4 ) ( X2 X3 X4) ( X1 X2))
Найдем МДНФ:
f (X1, X2, X3, Х4 ) = ((X1 X2 X3 X4 ) ( X2 X3 X4)
( X1 X2)) = (X1 X2 X3 X4 ) & ( X2 X3 X4) & ( X1 X2) = ( X2 X3 X4) & ( X1 X2)
7.b) 11.а )
Карта Карно:
X3 X4
X1 X2 00 01 11 10
000
0
0
1
0
3
0
2
011
4
1
5
1
7
1
6
111
12
1
13
1
15
1
14
100
8
1
9
1
11
1
10
МДНФ:
X2 X1& X4 X1& X3.
МДНФ:
X2 X1& X4 X1& X3.
Соответствующая логическая схема:
X4
X1& 1 f (X1 , X2 , X3 , X4 )
X1
X3
&
X2
8. Разложение логических функций в ряд Шеннона
Разложение Шеннона
дизъюнктивное конъюнктивное
частичное полное частичное полное
Частичное разложение = разложение по одной или нескольким переменным Xi.
Полное разложение = разложение по всем переменным Xi.
8.1 Дизъюнктивное разложение Шеннона
Дизъюнктивное разложение по одной переменной Xi :
f (X1,...,Xi ,..., Xn) = Xi & f (X1,..., Xi-1 ,0, Xi+1,..., Xn) Xi & f (X1,..., Xi-1 ,1, Xi+1 ,..., Xn),
где f (X1,...,0 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 0 иf (X1,...,1 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 1.
Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4
Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X2 & f (X1 , 0, X3 , X4 ) X2 & f (X1 , 1, X3 , X4 ) =
= X2 & (X1 & 1 &X3 X3 & X4 ) X2 & (X1 & 0 &X3 X3 & X4 ) =
= X2 & (X1 & X3 X3 & X4 ) X2 & (X3 & X4 )
Дизъюнктивное разложение по двум переменным Xi и Xk :
f (X1,...,Xi , Xk ..., Xn) = Xi & Xk & f (X1,...,0 , 0,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 0, 1 ,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 1, 0 ,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 1, 1 ,..., Xn)
Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4
f (X1 , X2 , X3 , X4 )= X2 &X3 & f (X1 , 0, 0 , X4 ) X2 & X3 & f (X1 , 0, 1, X4 )
X2 &X3 & f (X1 , 1, 0 , X4 ) X2 & X3 & f (X1 , 1, 1, X4 ) =
= X2 & X3 & (X1 & 1 & 1 0 & X4 ) X2 & X3 & (X1 & 1 & 0 1 & X4 )
X2 & X3 & (X1 & 0 & 1 0 & X4 ) X2 & X3 & (X1 & 0 & 0 1 & X4 ) =
= X2 & X3 & (X1 ) X2 & X3 & (X4 ) X2 & X3 & (0) X2 & X3 & (X4 )
Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:
Полное дизъюнктивное разложение:
f (X1, X2 , ..., Xn-1, Xn) = X1 &X2 &...&Xn-1 &Xn & f (0,0 ,... 0,0) X1 &X2 &...&Xn-1 & Xn & f (0,0 ,... 0,1) X1 &X2 &...& Xn-1 & Xn & f (0,0 ,... 1,0) ... X1 & X2 &...& Xn-1 & Xn & f (1,1 ,... 1,0) X1 & X2 &...& Xn-1 & Xn & f (1,1 ,... 1,1).
Полное дизъюнктивное разложение = СДНФ
Пример. Найти полное дизъюнктивное разложение Шеннона для логической функции
f (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & X2 X2 & X3) Решение:
f (X1 , X2 , X3 , X4 )= X1 &X2 &X3 & f (0, 0, 0 ) X1 &X2 & X3 & f (0, 0, 1)
X1 &X2 & X3 & f (0, 1, 0) X1 &X2 & X3 & f (0, 1, 1)
X1 &X2 & X3 & f (1, 0, 0) X1 &X2 & X3 & f (1, 0, 1)
X1 & X2 & X3 & f (1, 1, 0) X1 &X2 & X3 & f (1, 1, 1) =
= X1 &X2 &X3 & (1 ) X1 &X2 & X3 & (1) X1 &X2 & X3 & (1)
X1 &X2 & X3 & (0) X1 &X2 & X3 & (0) X1 &X2 & X3 & (0)
X1 & X2 & X3 & (1) X1 &X2 & X3 &(0)
8.2 Конъюнктивное разложение Шеннона
f (X1,...,Xi ,..., Xn) = (Xi f (X1,...,0 ,..., Xn)) &
& (Xi f (X1,...,1 ,..., Xn)),
Конъюнктивное разложение по одной переменной Xi :
где f (X1,...,0 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 0 иf (X1,...,1 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 1.
Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = (X2 f (X1 , 0, X3 , X4 )) & (X2 f (X1 , 1, X3 , X4 )) =
= (X2 (X1 & 1 &X3 X3 & X4 )) & (X2 (X1 & 0 &X3 X3 & X4 )) =
= (X2 (X1 & X3 X3 & X4 )) & (X2 (X3 & X4 ))
f (X1,...,Xi , Xk ..., Xn) = (Xi Xk f (X1,...,0 , 0,..., Xn)) & & (Xi Xk f (X1,..., 0, 1 ,..., Xn))& & ( Xi Xk f (X1,..., 1, 0 ,..., Xn)) & & ( Xi Xk f (X1,..., 1, 1 ,..., Xn))
Конъюнктивное разложение по двум переменным Xi и Xk :
Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4
f (X1 , X2 , X3 , X4 )= (X2 X3 f (X1 , 0, 0 , X4 )) & (X2 X3 f (X1 , 0, 1, X4 )) &
& (X2 X3 f (X1 , 1, 0 , X4 )) & (X2 X3 f (X1 , 1, 1, X4 )) =
= (X2 X3 (X1 & 1 & 1 0 & X4 )) & (X2 X3 (X1 & 1 & 0 1 & X4 )) &
& (X2 X3 (X1 & 0 & 1 0 & X4 )) & (X2 X3 (X1 & 0 & 0 1 & X4 )) =
= (X2 X3 (X1 )) & (X2 X3 (X4 )) & (X2 X3 (0)) & (X2 X3 (X4 ))
Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции
f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:
f (X1, X2 , ..., Xn-1, Xn) = (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 0,0)) & & (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 0,1)) & & (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 1,0)) & ... & ( X1 X2 ... Xn-1 Xn f (1,1 ,... 1,0)) & & ( X1 X2 ... Xn-1 Xn f (1,1 ,... 1,1)).
Полное конъюнктивное разложение:
Полное конъюнктивное разложение = СКНФ
Пример. Найти полное конъюнктивное разложение Шеннона для логической функции
f (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & X2 X2 & X3)
Решение:
f (X1 , X2 , X3 , X4 )= (X1 X2 X3 f (0, 0, 0 )) & (X1 X2 X3 f (0, 0, 1)) &
& (X1 X2 X3 f (0, 1, 0)) & (X1 X2 X3 f (0, 1, 1)) &
& (X1 X2 X3 f (1, 0, 0)) & (X1 X2 X3 f (1, 0, 1)) &
& (X1 X2 X3 f (1, 1, 0)) & (X1 X2 X3 f (1, 1, 1)) =
= (X1 X2 X3 (1 )) & (X1 X2 X3 (1)) & (X1 X2 X3 (1)) &
& (X1 X2 X3 (0)) & (X1 X2 X3 (0)) & (X1 X2 X3 (0)) &
& (X1 X2 X3 (1)) & (X1 X2 X3 (0))