68668823 Libro OFICIAL Trigonometria 1
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COLEGIO EL SALVADOR
SAN VICENTE T.T.
Colegio El Salvador-Trigonometría
JUAN CRISTÓBAL DÍAZ OLEA
JUAN PABLO LOBOS MADARIAGA
NICOLÁS ANDRÉS SILVA ABARCA
BYRON ANDRÉ RIQUELME VÁSQUEZ
GUILLERMO RENÉ MORALES YÉVENES
SERGIO IGNACIO SALINAS ROZAS
JUAN EDUARDO AMADO HINOJOSA
Colegio El Salvador-Trigonometría
Índice
1) Introducción
2) Prólogo
3) Reseña Histórica de la trigonometría
4) Ángulos orientados
5) Sistemas de medición de ángulos
6) Razones trigonométricas y sus recíprocas en el triángulo rectángulo
7) Razones trigonométricas de ángulos complementarios
8) La circunferencia goniométrica
9) Razones trigonométricas de ángulos notables: 30º, 45º y 60º
10) Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales
11) Resolución de triángulos rectángulos
12) Ángulos de elevación y de depresión
13) Resolución de problemas
14) Signo de la razones trigonométricas
15) Reducción al primer cuadrante
16) Grafica de la funciones trigonométricas
17) Identidades trigonométricas básicas y pitagóricas
18) Identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos
19) Identidades trigonométricas para el doble de un ángulo
20) Identidades trigonométricas para el valor medio de un ángulo
21) Ecuaciones trigonométricas
22) Teoremas fundamentales para resolución de triángulos oblicuángulos
23) Facsímil de PSU trigonometría N°1
24) Facsímil de PSU trigonometría N°2
25) Bibliografía
Colegio El Salvador-Trigonometría
1.- Introducción
El texto “Introducción al Calculo
Infinitesimal” ha sido creado para
ayudar a los estudiantes a reforzar
sus conocimientos en dicho tema;
además, puede servir como
respaldo a trabajos escolares y
podrá responder a diferentes
inquietudes que pudieren
presentarse a los alumnos.
Este proyecto ayuda a
comprender de variadas formas
los métodos posibles para
desarrollar los temas sobre la
trigonometría. Personalmente, nos
permitió reestudiar la materia vista
este año, para no olvidar
fácilmente lo aprendido.
Al entender la
trigonometría, fácilmente
podemos notar cómo aplicarla a
la vida real.
Al determinar el ángulo
dado por el extremo de una
pirámide, por ejemplo, vemos que
son 4 triángulos rectángulos unidos
por uno de sus catetos, de
manera que usando una función
trigonométrica podemos obtener
el valor buscado. Así como en
otros casos, es necesario saber los
temas que este libro abarca.
Ser un buen estudiante
implica ser de los mejores, realizar
las actividades y sobre todo tener
las ganas. Esto dará todos los
instrumentos necesarios para
lograr tal objetivo.
Colegio El Salvador-Trigonometría
2.- Prólogo
El estudio de la matemática
es, sin duda, un factor
fundamental en el desarrollo de
las habilidades básicas necesarias
para el ser humano post-moderno,
tales como la rápida
comprensión, análisis,
interpretación e inferencia, entre
otras. Ellas son imprescindibles
para enfrentar cualquier situación
de nuestras vidas.
La ciencia deductiva de los
entes abstractos entrega
instrumentos cognitivos
imprescindibles al momento de
enfrentarse a las dificultades
propias del diario vivir, más aun la
trigonometría, que tiene una
aplicación mucho más concreta y
aparentemente más cercana a la
realidad cotidiana.
Es por los motivos
anteriormente señalados, que es
primordial manejar contenidos
relacionados con la trigonometría,
para lo cual se entregarán en este
texto de manera metódica y clara
los conocimientos considerados
de mayor importancia por los
entendidos en el tema.
El trabajo de recopilación y
adaptación de la información
obtenida está hecho de tal forma,
que los conocimientos transmitidos
por este medio serán
probablemente asimilados sin
mayores dificultades, incluso, con
más facilidad que un texto
científico de mayor complejidad.
Esto se respalda en el hecho de
que los autores de la obra son
justamente estudiantes, pares de
los receptores, lo cual genera
rápidamente una favorable
empatía.
Finalmente, es necesario
dar a conocer que el objetivo de
este texto es lograr que los
Colegio El Salvador-Trigonometría
estudiantes de enseñanza media
logren, a través del correcto uso
de este material y
complementándolo con la labor
de un guía, internalizar de manera
satisfactoria lo más elemental de
la trigonometría para su posterior
correcto uso en las situaciones
que sean necesarias bajo
cualquier ámbito del saber.
3.- Historia de la trigonometría
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los
Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados,
minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el
siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas
para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta
180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda
delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una
circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los
griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la
introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el
Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la
explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio
ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos
desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de
Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado
también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de
cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado
opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los
matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función
seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras
cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas
fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como
esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y
esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
Colegio El Salvador-Trigonometría
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través
de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a
aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en
Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller,
llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los
logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran
empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial
e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la
representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas
de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y
series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las
funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía
hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras
como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró
que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de
los números complejos y además definió las funciones trigonométricas
utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más
importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue
extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos
parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo
alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus
estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco
descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical,
duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de
error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También
inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de
latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil
estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que
fueron la base de la trigonometría moderna.
Tolomeo
Colegio El Salvador-Trigonometría
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, astrónomo y matemático que
dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y
explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su
verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe
de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' que era
ciudadano romano. Contribuyó con sus estudios en trigonometría y aplicó
sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Euler
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se
centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y
se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la
Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de
física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de
matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San
Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo
una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi
total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como
reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la
trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran
Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral
(1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en
Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y
allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de
unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor
de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de
logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en
utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales
de una forma sistemática.
Pitágoras de Samos
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(siglo VI A.C.). Se dice que fue discípulo de Tales, pero apartándose
de la escuela jónica fundo en trotona, italia, la escuela pitagórica.
Los egipcios conocieron la propiedad del triangulo rectángulo cuyos
lados miden 3,4 y 5 unidades, en los que se verifica la relación 5² = 3² + 4²,
pero el descubrimiento de la relación a² = b² +c¹ para cualquier triangulo
rectángulo y su demostración de deben indiscutiblemente a Pitágoras.
Se atribuye también ala escuela pitagórica la demostración de la
propiedad de la suma de los ángulos internos de un triangulo y la
construcción geométrica del polígono estrellado de cinco lados.
Euclides
(siglo IV A.C.) escribió una de las obras más famosas de todos los
tiempos llamada Elementos, que constan de trece capítulos titulados
“libros”. De esta obra se han hecho tantas ediciones que solo la aventaja
La Biblia
Euclides construyó la geometría partiendo desde definiciones,
postulados y otros teoremas.
El edificio geométrico construido por Euclides ha sobrevivido hasta nuestros
días. El contenido de los 13 libros es el siguiente:
a) Libro I: Relación de igualdad de triángulos. Teoremas sobre paralelas.
Suma de los ángulos de un polígono. Igualdad de las áreas o
paralelogramos de igual base y altura. Teorema de Pitágoras.
b) Libro II: Conjuntos de relaciones de igualdad entre área de rectángulos
que conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo
grado.
c) Libro III: Circunferencia, ángulo inscrito
d) Libro IV: Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a
una circunferencia
e) Libro V: Teorema general de la medida de magnitudes bajo formas
geometría, hasta los números irracionales
f) Libro VI: Proporciones. triángulos semejantes.pr
g) Libro VII, VIII y IX: Aritmética: proporciones, máximo común divisor y
números primos
h) Libro X: Números inconmensurables bajo forma geométrica a partir de
los radicales cuadráticos
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i) Libro XI y XII: Geometría del espacio y, en particular, relación entre
volúmenes de prismas y pirámides; cilindro y cono; proporcionalidad de un
volumen de una esfera al cubo del diámetro.
j) Libro XIII: Construcción de los cinco poliedros regulares
Platón
(Siglo IV A.C.). En la primera mitad de este siglo, se inició en Atenas un
movimiento científico a través de la academia de platón. Para él, la
matemática no tiene finalidad práctica sino simplemente se cultiva con el
único fin de conocer. Por esta razón, se opuso alas aplicaciones de la
geometría. Dividió la geometría en elemental y superior. La geometría
elemental comprendía todos lo problemas que se podía resolver con regla
y compas. La geométrica superior estudiaba los 3 problemas más famosos
de la geometría antigua no resolubles con regla y compas
1. la cuadratura del círculo. Se trata , como indica su nombre de
construir el lado de un cuadrado que tenga la misma área que un
circulo dado , utilizando solamente la regla y el compas
2. la trisección del ángulo. El problema de dividir un ángulo en tres
partes iguales utilizando solamente la regla y el compas no es , mas
que en casos particulares, resolubles
3. la duplicación del cubo. Este problema consiste en hallar , mediante
una construcción geométrica , en la que se utilice solo la regla y el
compas , un cubo que tenga un volumen doble de el de un cubo
dado
Estos tres problemas se puede resolver con la regla y el compas con
toda la aproximación que se desee. Y se resuelven exactamente utilizando
curvas especiales. No se trata por consiguiente de problemas que no se
hayan resuelto en la práctica, sino de problemas de importancia
puramente teórica.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para tener
una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor
entendimiento acerca del tema.
Colegio El Salvador-Trigonometría
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama
independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere
decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan
continuado. El estudio de la trigonometría actualmente no se limita a las
relaciones entre los elementos de un triángulo y a sus aplicaciones. Hoy en
día, la trigonometría es parte de la matemática y se emplea en muchos
campos del conocimiento tanto teóricos como prácticos, e interviene en
toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales
aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación
además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc.
No está demás aclarar que la palabra trigonometría deriva de dos
raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida,
entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias
relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas,
distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la
resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría,
ocupada de formular relaciones entre las medidas angulares y las
longitudes de los lados de un triángulo, y que surgió para resolver
inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el cálculo del
tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha
convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por
ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para
encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de
una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas
fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras
contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo
en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir,
triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
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4.-Ángulos orientados
Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas
que se cortan en un punto denominado vértice; a las semirrectas se le
llama lados. Para designar a los ángulos se utilizan tres letras: dos para los
lados y uno para el vértice, o bien con una sola letra colocada en el
vértice, normalmente del alfabeto griego.
Diremos que un ángulo está orientado
en sentido positivo, si dicho ángulo está en
sentido contrario a las agujas del reloj. En caso contrario se dice de sentido
negativo.
Ángulo BOC es positivo
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Ángulo BOA es negativo
5.- Sistemas de Medición de Ángulos
Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más
usados son:
sistema centesimal, la circunferencia se divide en 400 partes iguales,
cada una de ellas llamada grado centesimal (g). cada grado tiene 100
minutos centesimales (m) y cada minuto tiene 100 segundos
centesimales (s).
Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado
sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto y se
simboliza 1º. La sesenta-ava parte de un grado es un minuto (1’) y la
sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1”).
"'
' 160
11
60
º1º1
90
rectoángulo
Un ángulo llano mide 180º y un giro completo mide 360º.
Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La
proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos
circunferencias concéntricas cualesquiera determinados por un ángulo
central α y los radios r correspondientes, permite tomar como medida
del ángulo el cociente rs
radioarco . Un ángulo central de 1 radián es
aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio.
s = r, por lo tanto 1
rs .
Un radián es la medida del ángulo con
vértice en el centro de la circunferencia y
s3
s1 s2
r2
r3
r1
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Ejemplo:
Si determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 2 cm de radio,
entonces la medida en radianes de β es: 3cm2
cm6
rs
. En el sistema circular, β
mide 3 radianes, o decimos que mide 3, sin indicar la unidad de medida.
La medida en radianes de un ángulo de un giro es 22r
r.. .
La medida en radianes de un ángulo llano, que es la mitad de un giro, es
2
2 ..
La medida en radianes de un ángulo recto es 2 .
Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente
tabla:
Ángulo Sistema
sexagesimal
Sistema
circular
1 giro 360º 2
llano 180º
recto 90º /2
¿A cuántos grados sexagesimales equivale un radián?
Haciendo uso de las proporciones y teniendo en cuenta la medida del
ángulo llano, tenemos
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π 180º
1 "'ºº 4517571801
Nota: es aproximadamente igual a 3,14. Un ángulo de radianes
equivale a un ángulo de 180º. Pero 180.
Actividad:
1) Expresar en radianes las medidas de los ángulos, si es posible, utilizando
fracciones de :
a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º
2) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en
radianes:
2 1/2 /2 2
3) Efectuar las siguientes operaciones.
a) Hallar el ángulo complementario de 56º 41’ 27’’
b) Hallar el ángulo suplementario de 102º 25’
c) ¿Cuánto mide el ángulo que supera en 12º 33’ a la quinta parte
de 39º 40’ ?
d) El minutero de un reloj es de 12 cm de largo. ¿Qué recorrido
realiza la punta de la manecilla en 20 minutos?
4) Expresa en grados sexagesimales:
i) 3π/5 ii)5π/3 iii) 4π/5 iv) 5π/6 v) 9π/10 vi) π/12
5) Expresa en radianes:
i) 310° ii) 75° iii) 600° iv) 12° v)35° vi) 220°
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6.- Razones Trigonométricas y sus recíprocas en el
triángulo rectángulo
De un triángulo rectángulo ABC como se muestra en la figura:
Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno
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Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la
hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el
cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tan B.
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
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Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
Guía de ejercicios:
1) Calcular las demás razones trigonométricas sabiendo que:
i) cosA= 4/5
ii) senA= 1/√5
iii) tanA= √2/4
iv) cotgA= 2
v) cscA= 2
vi) senδ= 0,3
vii) cotgφ= 1,2
viii) senθ= 5/12
ix) tanB= 1/3
x) cosC= 7/25
2) Encuentre el valor de:
i) senγ – cosγ, si tanγ= 1/b
ii) cos2ω -1, si secω= (1+a)/(1-a)
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7.- Razones trigonométricas de ángulos
complementarios
Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos
complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que
no son rectos son complementarios entre si: a + b = 90º entonces b = 90º-a
tg (90 - a) = cotg a
cotg (90 - a) = tg a
sec (90 - a) = cosec a
cosec (90 - a) = sec a
Ejemplo:
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8.- Circunferencia goniométrica
Circunferencia goniométrica, circunferencia de radio unidad sobre
la cual se representan los ángulos para que se puedan visualizar sus
razones trigonométricas.
Sobre un sistema de ejes coordenados con centro en el origen, O, se
traza una circunferencia de radio unidad:
El vértice del ángulo se sitúa en O, el primero de sus lados, a, sobre la
parte positiva del eje de las X, y el segundo lado, b, se abre girando en
sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la
circunferencia goniométrica en un punto P cuyas coordenadas son
c = cos a y s = sen a. La tangente t se sitúa sobre la recta r tangente a la
circunferencia en U y queda determinada por el punto T, en el que el lado
b, o su prolongación, corta a r.
La circunferencia goniométrica – Ángulos orientados
Cuando trabajamos en radianes, las medidas de los ángulos son
números reales. Si definimos ángulos orientados esta medida puede tomar
valores negativos. Al trabajar con un ángulo en un sistema de
coordenadas cartesianas, éste está generado por la rotación de una
semirrecta o rayo que parte del semieje positivo de las x.
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I cuadrante II cuadrante
P1
III cuadrante IV cuadrante
P0
P2
P3
δ
P1
Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que
el ángulo es positivo. Y es negativo cuando está generado en sentido
horario. Puede, además, realizar más de un giro completo.
Para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano
divido en cuatro sectores, llamados cuadrantes y una circunferencia con
centro en el origen y radio 1 que llamaremos circunferencia goniométrica.
Para hallar el segmento asociado al sen , se construye en el
segundo cuadrante el triángulo rectángulo con las componentes de P1 y
el segmento de ordenadas corresponde a seno de . Análogamente
sucede con los ángulos del tercer y cuarto cuadrante, donde el segmento
de ordenada se asocia con el seno del ángulo y el segmento de abscisa,
con el coseno del ángulo.
Los signos de los valores de las relaciones trigonométricas de los
distintos cuadrantes dependen de los signos de las coordenadas del punto
sobre el lado terminal del ángulo.Esta información se resume en la siguiente
tabla, que se debe completar:
Actividad:
sen cos tg cosec sec cotg
I + + +
II
III
En la figura, como r = 1 tenemos que:
0
00
1y
y
r
ysen el segmento de
ordenadas está relacionado con el
sen .
0
00
1x
x
r
xcos El segmento de
abscisas está relacionado con el
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IV
9.- Razones trigonométricas de ángulos notables
(30º, 45º y 60º)
Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres
ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del
vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º
cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:
Seno, coseno y tangente de 45
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10.- Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales
II I
III IV
270°
0° 90° 180° 270° 360°
Seno 0 1 0 -1 0
Coseno 1 0 -1 0 1
Tangente 0 0 0
Cosecante 1 -1
Secante 1 -1 1
Cotangente 0 0
: No existe
Ejercicios:
180° 0°
360°
90°
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i) sen30° + tan 45°
ii) 3Tan260° - 3/4sen270°
iii) (Csc270° - sen30°)2
iv) ½Cos60° - 1/4tn30° + 1
v) cos30°cos60° - sen30°sen60°
vi) sen30°cos60° + cos30° sen60°
vii) Sen90° • cos45° - 3cos45° - 3cos90° • sen60°
viii) (tan60° - tan30°) : (1 + tan30°tan60°)
ix) (tan60° - sen45°) : -(1 + sen45° + cos45°)
x) (csc30° + csc 60° + csc90°) : (sec0° + sec30° + sec60°)
xi) 2sec45° - 3 sec230°
xii) 3tan2 30° + 4/3(cos230°) - (sec245°)/2 – 1/3 (sen260°)
xiii) ( 1 + sec230°) : (tan60° + sec30°) – tan245°
xiv) sen180° + 2 cos180° + 3csc270° + 5 cos270° - 5sec180° - 6 csc270°
xv) (sen30° - cos20° + tan260°) : (3sec30° + cos245°)
xvi) [sen60° - cos30° + tan245°] : 3cosec30°
xvii) (tan30°sen30°cos30°) : (tan45°cos45°)
xviii) (sen45° + tan45°) : (cos45° - cotg45°)
xix) sen30° + cos245° - 2tan230°
xx) 5cos245° - 2cos20° + cotg 30° - 2 cotg90° + 2/3(sen180°) – sen30°cos260°
11.- Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres
ángulos. Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la
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resolución de triángulos. También veremos como resolver triángulos no
rectángulos por descomposición en triángulos rectángulos.
El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de
Pitágoras, nos permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo
dos datos, uno de ellos ha de ser un lado.
i) Se conocen la hipotenusa y un cateto
*Resolver el triángulo conociendo:
1) a = 415 m y b = 280 m.
2) sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
3) C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
4) c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
ii) Se conocen los dos catetos
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*Resolver el triángulo conociendo:
1) b = 33 m y c = 21 m.
2) tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
3) C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′
4) a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m
iii) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
*Resolver el triángulo conociendo:
1) a = 45 m y B = 22°.
2) C = 90° - 22° = 68°
3) b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
4) c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
iv) Se conocen un cateto y un ángulo agudo
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*Resolver el triángulo conociendo:
1) b = 5.2 m y B = 37º
2) C = 90° - 37° = 53º
3) - a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
4) - c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
12.- Ángulos de elevación y depresión
Los ángulos de elevación y de depresión, son los que se forman por
la línea visual y la línea horizontal.
Se llama línea visual (o de visión) a la recta imaginaria que une el ojo
de un observador con el lugar observado.
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En la imagen, A observa a B
Ángulo de elevación
Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del
observador y el lugar observado, cuando éste está situado arriba del
observador.
En la imagen, A observa a B.
: ángulo de elevación
H : horizontal del observador
Ángulo de depresión
Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.
En la imagen, el observador ahora está en la torre, hablaremos entonces
de un ángulo de depresión.
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En la imagen B observa a A.
: ángulo de depresión
H : horizontal del observador
Ejemplo:
Una piedra que está en el suelo se encuentra a 20 metros de un árbol con
un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuál es la altura del árbol?
Solución: El árbol es perpendicular al suelo, entonces su dibujo es:
Los datos corresponden a los catetos del triángulo rectángulo y la función
trigonométrica que los relaciona es la tangente, entonces:
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Ejemplo 2:
Una persona se encuentra en la parte superior de un faro de 30 metros de
altura y observa un gato que se encuentra en el techo de una casa de 5
metros de altura, con un ángulo de depresión de 30º. ¿Cuál es la distancia
entre el gato y la persona?
Los datos que se tienen corresponden al cateto opuesto y a la hipotenusa,
del triángulo rectángulo formado. La función trigonométrica que los
relaciona es el seno, entonces:
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Ejercicios
1) Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre,
el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57°. Calcular la
altura de la torre. [R=207,88]
2). Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el
suelo horizontal que está a 40m de la base de la antena. Si el alambre
hace un ángulo de 58° con el suelo, encuentre la longitud del alambre.
[R=75,48]
3) Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de
meteorología dirige la luz de un faro verticalmente hacia arriba desde el
suelo. Desde un punto P situado a 1000m del faro, se mide el ángulo de
elevación de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59°. Hallar la
altura de la capa de nubes. [R=1 664,28]
4) Calcular el ángulo de elevación al sol, si una persona que mide 165cm
de estatura proyecta una sombra de 132cm de largo a nivel del suelo.
[R=51°]
5) Un constructor desea construir una rampa de 8m de largo que se
levanta a una altura de 1.65m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ángulo
de la rampa con la horizontal. [R=12°]
13.- Resolución de Problemas
A continuación, una serie de ejemplos para resolver distintos tipos de
problemas sobre lo aprendido.
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Nota: Todas las operaciones están aproximadas con dos o tres decimales.
Ejemplo 1:
Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :
Los tres lados del triángulo son conocidos, así que
para calcular las razones trigonométricas sólo
tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el
ángulo α el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la
hipotenusa 15.
Ejemplo 2:
Calcula las razones trigonométricas del ángulo C
del siguiente triángulo
Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres
lados, falta uno de los catetos y para calcularlo
vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.
Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras
minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la
correspondiente letra mayúscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado
que queremos calcular.
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:
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a2 = b2 + c 2
142= 82 + c2
196 = 64 + c2
196 - 64 = c2
132 = c2 y aplicando las fórmulas
11,49 = c tenemos:
Luego c = 11, 49 m.
Ejemplo 3:
Determina los ángulos del ejercicio anterior
Obviamente ya sabemos que el ángulo A es el ángulo recto y por
tanto A = 90º. Para calcular los otros dos vamos a hacerlo con las razones
trigonométricas y con la ayuda de la calculadora.
Si queremos calcular el ángulo C con los datos que parto, lo primero
es identificar los lados que conozco respecto al ángulo C, que en este
caso son cateto contiguo e hipotenusa y pienso en qué razón
trigonométrica intervienen esos lados. La respuesta es el coseno, así que
calculo cos C.
Cos C = 8 / 14 = 0,57. Ahora con la calculadora sacamos cuál es el
ángulo, utilizando la función inversa de la tecla "cos", y el resultado es C =
55,25º.
Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qué razón puedo
calcular, o como ya tengo dos ángulos, sacarlo de que la suma de los
ángulos de cualquier triángulo es 180º ( A + B + C = 180). Por cualquier
camino el resultado es B = 34,75º.
Ejemplo 4:
De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulos agudos
es 40º y que el cateto opuesto a éste mide 10m. Calcula el ángulo y los
lados que faltan.
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Lo primero es hacer un dibujo que
nos aclare la situación y ponerle nombre
a los lados y ángulos. Esta sería nuestra
situación.
Para empezar los más fácil es sacar
el ángulo que falta, y aplicando que la
suma de los tres es 180, el ángulo B vale
50º.
Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el
ángulo C, el lado que sé es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es
el contiguo. Como la razón trigonométrica en la que intervienen estos es la
tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ahí:
Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podríamos
aplicar Pitágoras o sacarlo por alguna razón. Vamos a seguir este camino
que será más corto.
Por ejemplo, fijémonos en el lado "c" y el ángulo "C", aunque ya se
podría utilizar cualquiera de los datos. Para el ángulo "C", tenemos cateto
opuesto y necesitamos la hipotenusa; así que habrá que utilizar el seno:
Ejemplo 5:
Calcula la altura de la torre si
nuestro personaje está a 7 m de la base
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de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60º y
sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.
Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la
situación poniendo los datos que conocemos.
Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una vez que
tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre sólo
tendremos que sumarle los 1,5 m. Así pues, vamos a calcular el lado b.
Para el ángulo 60º, el lado que conozco es el cateto contiguo y el
que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo la tangente de
60º.
Por tanto la altura de la torre es 12,11 m +
1,5 m = 13, 61 m.
Ejemplo 6:
El seno de cierto ángulo α del segundo cuadrante vale 0,45. Calcula el coseno y la tangente.
Para resolver este ejercicio tenemos que recurrir a las relaciones
trigonométricas. De la primera sacaremos el valor del coseno y una vez
que lo tengamos sacaremos la tangente: Sacamos el valor del coseno
despejándolo de la fórmula:
sen2α + cos2α = 1.
Como nuestro
ángulo está en el segundo
cuadrante y en ese
cuadrante el coseno es
negativo, tenemos que quedarnos con el signo -, por tanto cos α = - 0,893.
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Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda fórmula:
Ejemplo 7:
Sabiendo que cos 42º = 0,74. Calcula:
sen 222º, tg 138º, cos 48º y sen 318º
sen 222º
El ángulo 222º pertenece al tercer cuadrante. Vamos a ver con que
ángulo del primero se relaciona: α = 222º - 180º = 42º. Por tanto y teniendo
en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo, sen222º = - sen
42º = - 0,669 (Para calcular el sen 42º seguimos el mismo procedimiento que
en el ejercicio 6).
tg 138º
138º está en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con α =
180º - 138º = 42º, que vuelve a ser el ángulo que conocemos. Como la
tangente es negativa en el segundo cuadrante, tg 138º= - tg 42º= -0,9 (tg
42º lo calculamos igual que en el ejercicio 6)
cos 48º
48º es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario
del ángulo que conozco 42º. Entonces cos 48º = sen 42º = 0,669.
sen 318º
318º está en el cuarto cuadrante y se relaciona con 360º - 318º = 42.
Entonces sen 318 º= - sen 42º = - 0,669
Ejercicios:
1) En un triángulo rectángulo isósceles la hipotenusa es igual a 7 cm.
¿Cuánto miden los catetos?
2) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo B=37°45’28”. Calcula el ángulo
C.
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3) En un triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa a=15 cm y el
ángulo B=20°. Halla los restantes elementos.
4) En un triángulo rectángulo ABC se conocen el lado b=102,4 m y el
ángulo B=55°, Resuelve el triángulo.
5) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide a=25 m y el cateto B=20
m. resuelve el triángulo.
6) Los catetos de un triángulo miden b= 8 cm y c=24 cm. Halla los restantes
elementos del triángulo.
7) Calcula el radio y el apotema de un octógono de lado 10 cm.
8) Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura
correspondiente a la hipotenusa
9) Halla el radio de la circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 m
tiene como arco correspondiente uno de 70°.
10) La base de un triángulo isósceles miden 10 m y el ángulo opuesto 50°.
Halla el área.
11) Una moneda de 25 pesetas mide 2,5 cm de diámetro. Halla el ángulo
que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm
del centro.
12) Un ángulo de elevación de la veleta de la torre es de 45°15’’, a una
distancia de 172 m de la torre. Si el observador se encuentra a 1,10 metros
sobre el suelo, calcula la altura de la torre.
13) Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes;
para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo
como ángulos de elevación 30° y 45°, respectivamente. La distancia AB=30
m. Halla la altura de la torre.
14) Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión,
bajo los ángulos de 45° y 60°. la distancia entre las casas es de 126 m y la
antena está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.
15) Dos amigos han creído ver un OVNI, desde dos puntos situados a 800
m, con ángulos de elevación 30° y 75°, respectivamente. ¿Sabrías hallar la
altura a la que se encuentra el OVNI?
16) halla el área de u pentágono regular de lado 10 m.
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17) Halla el área de un octógono regular de lado 1o m.
18) En un ∆ABC se conoce el lado a=BC=10 m., el ABC=105° y el
ACB = 30°. Halla los lados y el área del triángulo.
19) Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales y miden 10 m. Halla
la altura sobre la hipotenusa.
20) Calcula el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia
de radio 10m.
14.- Signo de las razones trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del
ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al
origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la " ley de los
signos", las razones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
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Sea P = (a,b) punto sobre el círculo unitario que corresponde al
ángulo . Si sabemos en que cuadrante está el punto P, entonces
podemos determinar los signos de las funciones trigonométricas de . Por
ejemplo, si P = (a,b) esta en el cuarto cuadrante, entonces sabemos que
a >0 y que b<0.
Guía de ejercicios:
En los siguientes problemas diga en que cuadrante esta el ángulo .
1) sen > 0, cos < 0
2) sen < 0, cos > 0
3) sen < 0, tan < 0
4) cos > 0, tan > 0
5) cos > 0, tan < 0
6) cos < 0, tan > 0
7) sec < 0, sen > 0
8) csc < 0, cos < 0
15.- Reducción al primer cuadrante
Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo
cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal
efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones
trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a
constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer
cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario".
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Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de
un ángulo.
Ángulos Complementarios
Ángulos Suplementarios
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Ángulos que difieren en 180°
Ángulos Opuestos
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Ángulos Negativos
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Mayores de 360°
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Ángulos que difieren en 90°
Ángulos que suman en 270°
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Ángulos que difieren en 270°
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Ejercicios:
I. Reduce al primer cuadrante cada una de las expresiones siguientes.
i) sec (-830º)
ii) csc(-1.200º)
iii) tg2.295º
iv) sen (2 ) – cos( - ) + cot g( - )
v) sen195º+sec195º+csc345º
vi) csc1.590º
vii) sec(-945º)
viii) ctg600º
ix) sen225º+cos225º - tg225º
x) sec(-30º)
xi) cosec315º + sec 315º - cos( -315º)
xii) cosec(-45º) + cot g(-60º)
xiii) sen120º-2 ×cos120º
xiv) tg(-60º) + cot g(-420º)
II. Relaciona las razones trigonométricas de un ángulo de 210º con las de
un ángulo del primer cuadrante.
III. Considera un ángulo de 850º. Redúcelo a un ángulo menor a 360º y
relaciona las razones trigonométricas con las de un ángulo del primer
cuadrante.
16.- Gráfica de la funciones trigonométricas
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Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las
ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como:
movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes,
oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los
planetas, ciclos biológicos, etc.
En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con
fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios
sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las
funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por
ejemplo, se debe usar el modo radián.
La función seno
La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.
Características de la función seno
1. Dominio: IR
Recorrido: [-1, 1]
2. El período de la función seno es 2 .
3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR.
4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas
son: x =n π. para todo número entero n.
5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la
función
y=senx es 1.
y = sen x
La función coseno
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La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.
Características de la función coseno
1. Dominio: IR
Recorrido: [-1, 1]
2. Es una función periódica, y su período es 2 .
3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.
4. La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son:
,para todo número entero n.
5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud
de la función y=cosx es 1.
y = cos x
Función Tangente
Características de la función tangente
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1. Dominio:
Recorrido: IR
2. La función tangente es una función periódica, y su período es π.
3. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x.
4. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas
son: x =n , para todo número entero n.
y = tan x
17.- Identidades trigonométricas básicas y pitagóricas
Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre
expresiones trigonométricas que son verdaderas para todas las medidas
angulares para las cuales están definidas.
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Ejemplo: sen2+ cos2 = 1
Las identidades trigonométricas son útiles para reducir, simplificar o
transformar otras expresiones trigonométricas como también para
demostrar nuevas identidades
Identidades trigonométricas básicas:
Identidades trigonométricas pitagóricas:
Relaciones pitagóricas:
C A
B
b
c a
sen
sen
1csc
csc
1
cos
1sec
sec
1cos
tan
1cot
cot
1tan
costan
sen
sen
coscot
Sen •csc = 1
Csc •sen = 1
Cos •sec = 1
Sec •cos = 1
Tan •cot = 1
Cot •tan = 1
22
22
22
csccot1
sec1tan
1cos
sen
B
¿
B
a c
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De acuerdo al Teorema de Pitágoras:
Dividiendo entre c2
De donde
Por tanto
Ejercicios:
1. 1csc xsenx
2. xxsenx tansec
3. 1seccot xsenxx
4. xxx
xsenseccos
cos
2
5. xxsen 22 cos1
6. xsenxxsen 222 1cot
7. xsenxsenx 2cos)1)(1(
8. xsenxsenx 222 21cos
9. xsenxxsenx cos21)cos( 2
10. 1cotcsc 22 xx
18. Razones trigonométricas de la suma
y diferencia de ángulos
222 cba
2
2
2
2
2
2
c
c
c
b
c
a
1
22
c
b
c
a
1cos22 sen
A
C b
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Ejemplo:
Ejercicios:
i))cos(
)()tan(
yx
yxsenyx
ii) xyxseny
yxtancot
cos
)cos(
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iii) ?º15 sen
iv) ?º165cos
v) ?º120tan
vi) yxxseny
yxtantan
cos
)cos(
vii) yyxsenyxsen
yxyxtan
)()(
)cos()cos(
viii)yx
yxsenyx
coscos
)(tantan
ix) ?º135tan
x) ?º15sec
19.- Identidades trigonométricas del ángulo doble
Ejemplo:
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Ejercicios:
i) xxsenx 2tan2cos1
ii) xsenxsenx 21)cos( 2
iii) )2cos1)((tan2 xxxsen
iv) xx
xtancot
22tan
v) x
xx
cot2
1cot2cot
2
vi) 2
tancot2cot
xxx
vii) )sec2)(2(secsec 22 xxx
viii) xxsen
x 2sec2
tan2
ix) 1cot
cot22tan
2
x
xx
x) x
xx
tan
tan12csc2
2
20.- Identidades trigonométricas del valor medio
de un ángulo
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Ejemplo:
Ejercicios:
i) sen15° + cos165°
ii) tan 120° - cos22,5°
iii) csc 105°cos135°
iv) senXsecX = tanX
v) (1 – sen2A)(1 + sen2A) = 1
vi) 1 + tan2X = sec2X
vii) [√(1 + tan2A)] : tanA = cscA
viii) tanB + cotgB = cscB/cosB
ix) (1 – sen2θ)(1 + tan2θ) = 1
x) tanβ – cscβsecβ(1 – 2cos2β) = cotgβ
xi) (tanΔ – senΔ) : sen3Δ = secΔ/(1 + cosΔ)
xii) tan2Θcsc2Θcotg2Θsen2Θ = 1
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xiii) (1 – 2cos2γ) : senγcosγ = tanγ - cotgγ
xiv) tanXsenX + cosX = secX
xv) senAcosA(tanA+ cotgA) = 1
xvi)senB : (senB + CosB) = secB : (secB+ cscB)
xvii) (Rsenθcosφ)2 + (Rsenθsenφ)2 + (Rcosθ)2 = R2
xviii) (xsenA – ycosA)2 + (xcosA + ysenA)2 = x2 + y2
xix) cotgX + senX : (1 + cosX) = cscX
xx) (secδ + cscδ) : (tanδ + cotgδ) senδ + cosδ
xxi) 2 : (sec2B) = (1 – tan2B) : (1 + tan2B) + 1
xxii) (2senXcosX) : (1 + cos2X - sen2X) = tanX
xxiii) tany + cotgy = secycscy
xxiv) (tan3a – cotg3a) : (tana- cotga) = tan2a + cotg2a
xxv) (1 –cos2A) : sen2A = tanA
xvi) 2tanc : (1 + tan2c) = sen2c
xvii) sen(45° + B) – sen(45° - B) = √2senB
xviii) sen(x+y) : cos(x-y) = (tanx + tany) : (1 + tanxtany)
xxix) sen(a+b)sen(a-b) = sen2a – sen2b
xxx) 2tan2X = (cosX + senX) : (cosX - senX) – (cosX – senX) : (cosX + senX)
21.- Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que
aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones
trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones
trigonométricas.
No puede especificarse un método general que permita resolver
cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento
efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar,
usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones
que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a
senos o cosenos).
Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función
trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones
algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte
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trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica
de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
En las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la
manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos
puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues
el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar
todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la
ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de
los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos
dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica.
Ejemplo 1:
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Ejem
plo 2:
Ejemplo 3:
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Ejercicios:
e) Senx = sen2x
f) Csc2x = 4/3
g) Secx + tanx = 0
h) Cosx + cos2x + cos3x = 0
i) 2cosx = 1 – senx
22.- Teoremas fundamentales para la resolución de
triángulos oblicuángulos
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Triángulos oblicuángulos: Definición y propiedades
Se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier tipo de triángulo,
siendo el triángulo rectángulo un caso particular de esta denominación.
Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos
importantes propiedades:
1ª.- En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º.
2ª.- En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es
mayor que la longitud del tercero.
22.1 .- Teorema del seno y el coseno
La herramienta fundamental para resolver triángulos cualesquiera
son los llamados Teoremas del Seno y el Coseno.
Teorema del seno
Si ABC es un triángulo oblicuángulo con los ángulos y lados marcados en la forma
acostumbrada entonces:
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c
sen
b
sen
a
sen
La ley de los senos consta de las
siguientes tres fórmulas:
Por lo tanto: En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado
opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado
opuesto a ese ángulo.
El teorema del seno se puede aplicar cuando se conocen los siguientes datos del
triángulo
1. Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
2. Dados dos lados y un ángulo entre ellos.
3. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
c
sen
b
sen
c
sen
a
sen
b
sen
a
sen
Colegio El Salvador-Trigonometría
Demostración Teorema del seno
Teorema del coseno
a
sen
b
sen
bsenasen
asenha
hsen
RECTÁNGULODBC
bsenhb
hsen
RECTÁNGULOADC
AlturahCD
LOOBLICUÁNGUABC
c
sen
b
sen
bsencsen
bsenhb
hsen
RECTÁNGULOECA
csenhc
hsen
RECTÁNGULOABE
AlturahAE
11
11
c
sen
b
sen
a
sen
Colegio El Salvador-Trigonometría
Si ABC es un triángulo oblicuángulo, el teorema del coseno queda expresado
como:
1. cos2222 bccba
2. cos2222 accab
3. cos2222 abbac
Por lo tanto: El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual
a la suma de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble del producto de
las longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
El teorema del coseno se puede aplicar cuando se conocen los siguientes datos
del triángulo
1. Dados dos lados y el ángulo que forman entre ellos
2. Dados los tres lados
Colegio El Salvador-Trigonometría
Demostración teorema del coseno
2222222
222
2222
222222
222
222
cos22
coscos
2
bcbcahADADcca
bADb
AD
bhAD
RECTÁNGULOADC
hADADcca
hADcahDBa
DBADc
DBADc
DBADAB
hDBa
CDDBBC
RECTÁNGULOBDC
AlturahCD
cos2222 bccba
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Podemos ahora comenzar los problemas relativos a triángulos
oblicuángulos.
1. Supongamos que queremos resolver un triángulo, del cual conocemos dos ángulos α y β y el lado comprendido c γ se calcula inmediatamente
porque α + β + γ = 180◦, luego γ = 180◦ − (α + β)
El teorema del seno nos permite calcular a y b
Ejemplo 1:
Dos estaciones de radar, separadas por una distancia de 25 Km. detectan
un avión que vuela justo sobre la recta que une a las dos estaciones. La
primera lo ve con una elevación de 35◦, la segunda con elevación de 60◦.
Calcular la distancia del avión a la primera estación.
Solución: Hay que resolver un triángulo como el de figura y calcular b:
Colegio El Salvador-Trigonometría
Ejemplo 2:
Queremos ahora resolver un triángulo del cual sólo conocemos los tres
lados a, b, y c.
Tenemos que calcular los tres ángulos, por el teorema del coseno
obtenemos
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
De aquí:
Una vez hallados β y γ en las tablas, calculamos a. α :
Ejercicios:
Colegio El Salvador-Trigonometría
Resolver los triángulos ABC, si:
i) 5,10,º77,º41 a
ii) 210,º31,º20 b
iii) 4,32,'10º52,'40º27 a
iv) 537,'30º70,'50º50 c
v) 24,20;31,17;º01,73 ca
vi) 195,248,'10º113 cb
vii) 30,20,º60 cb
viii) 15,10,º45 ab
ix) 87,14,'50º73 ac
x) 12,15,10 cba
xi) 60,80,25 cba
xii) 10,20,20 cba
23.- Facsímil PSU trigonometría N° 1
Colegio El Salvador-Trigonometría
1) Sen30º + cos 60º=
a) 2
b) 1/2
c) 3/2
d) 1
e) N.A.
2) Sen90º + 5cot90º + 5sec60º - 2csc30º
a) 1/2
b) 2
c) 7
d) 3
e) Ninguna de las anteriores
3) Tan30º x tan60º - cos30º x sen60º
a) 2
b) 1/4
c)7/2
d)5/4
e)1
4) Al reducir al primer cuadrante: Cot420º - cot225º = X
X es igual a:
a) 1/2
b) cos 20º
c) 2
d) sen70º
e) 3 + 1
5) Al reducir al primer cuadrante: Sec225º x sen225º
a) 4
b) 2
c) 3/2
Colegio El Salvador-Trigonometría
d) 0
e) 1
6) Sen = X
X es igual a:
a) Cos
b) 1
c) 1/Csc
d) 1/Cos
e) Sec
7) En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos = cot, entonces el
valor de es:
a) 0º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) Ninguna de las anteriores
8) Expresar 160º en radianes el resultado es:
a) 5π/36 rad o 0,4363 rad
b) 151π/360 rad o 1,3177 rad c) 169π/270 rad o 1,9664 rad
d) 0,2130 rad. e) 8π/9 rad o 2,7925 rad
9) Expresar e) 12º12´20´´ en radianes el resultado es:
a) 5π/36 Rad. o 0,4363 Rad. b) 8π/9 Rad. o 2,7925 Rad. c) 151π/360 Rad. o 1,3177 Rad.
d) 0,2130 Rad.
Colegio El Salvador-Trigonometría
e) 169π/270 Rad. o 1,9664 Rad.
10) La expresión equivalente a 22 )tg1()tg1( es:
a) 4tg2
b) cos2
c) 2
d) 2sec2
e) Ninguna de las Anteriores
11) Calcular el valor de x con tres cifras significativas
a) 4,21
b) 2,64
c) 2,18
d) 7,45
e) 2,29
12) El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado
bajo un ángulo de 60º. Si el barco se aleja 100 m se observa bajo un ángulo
de 45º. Calcula la altura del acantilado.
a) 150 50√3 metros.
b) 150 + 25√3
c) 150 + √8
d) 150 + 100√3
e) 150 + √18
Colegio El Salvador-Trigonometría
13) sen 30 = x,¿ x es?
a) 1/2
b) 1/3
c) 6/3
d) √3/2
e) √2/2
14) Expresar π/4 Rad., en grados el resultado es:
a) 126º
b) 150º
c) 14º19´26´´
d) 80º 12´51´´
e) 45º
15) Expresar ¼ Rad., en grados el resultado es:
a) 14º19´26´´
b) 45º
c) 126º
d) 150º
e) 80º 12´51´´
16) sen 90° x cos 45° - 3cos45°-3cos90 x sen60°
a) 1/2
b) 2/3
c) √2/2
d) √3/2
e) √3/3
17) Expresa en grados sexagesimales π/3
a) 171° 53’ 14’’
b) 180°
c) 0°
d) 171° 55’ 46’’
e) 54° 44’ 02’’
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18) Calcular el valor de x con tres cifras significativas
a) 8,08
b) 7,09
c) 7,59
d) 8,18
e) 8.65
19) Expresar 7/5 Rad., en grados el resultado es:
a) 45º
b) 126º
c) 150º
d) 80º 12´51´´
e) 14º19´26´´
20) Exprese 45º en radianes el resultado es: a) π/12 b) 5π/6 c) 5π/3 d) 5π/4 e) π/4
21) En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base
AB, igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es:
a) 1
b) ½
c) 3
3
d) 3 e) Falta Información
22) Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de
elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la
distancia desde A hasta la cima de la colina.
a) 420 m.
b) 2420
c) 840
d) 2840
e) Ninguna de las anteriores
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23) Calcular el valor de x con tres cifras significativas
a) 7,71
b) 7,01
c) 7,53
d) 7,49
e) 7,33
24) ABCD trapecio. AD = 10 cm. y BC = 13 cm. Si sen = 0,5, entonces cos
es:
a) 5
12
b) 12
13
c) 13
12
d) 12
5
e) 13
5
25) Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo
adyacente a ella es 3
2. El perímetro del triángulo es:
a) 12cm
b) 18cm
c) 20cm
d) 24cm
D
A B
C
Colegio El Salvador-Trigonometría
e) 26cm
26) Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo
adyacente a ella es 3
2. El perímetro del triángulo es:
a) 12 cm.
b) 18 cm.
c) 20 cm.
d) 24 cm.
e) 26 cm.
27) En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB,
igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es:
a) 1
b) 2
1
c) 3
3
d) 3
e) Falta Información
28) En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos = cot , entonces el
valor de es:
a) 0°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) Ninguna de las anteriores
29) El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen = 1/2.
Entonces PR mide:
a) 32 cm.
b) 3 cm.
c) 2 cm.
P
R
Q
Colegio El Salvador-Trigonometría
d) 2
3cm.
e) 6 cm.
30) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. y tg = 2
3,
entonces BC =
a) 3 cm.
b) 13
15 cm.
c) 13
10 cm.
d) 2
15 cm.
e) 2 cm.
31) Si sen = 13
5, donde a es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
entonces el valor de cos es:
a) 12
13
b) 5
12
c) 13
12
d) 12
5
e)
5
13
32) Los valores según la figura de sen, cos y tg, respectivamente son:
a) 4/3 ; 4/5 ; 3/5
b) 4/5 ; 3/5 ; 4/3
c) 3/5 ; 4/3 ; 4/5
d) 4/3 ; 3/5 ; 4/5
e) 4/5 ; 4/3 ; 3/5
A
B
C
Colegio El Salvador-Trigonometría
33) Expresar 25º en radianes el resultado es: a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 8π/9 rad o 2,7925 rad c) 151π/360 rad o 1,3177 rad d) 169π/270 rad o 1,9664 rad
e) 0,2130 rad.
34) Expresar 75º30´ en radianes el resultado es: a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 151π/360 rad o 1,3177 rad c) 8π/9 rad o 2,7925 rad d) d) 169π/270 rad o 1,9664 rad
e) 0,2130 rad.
35) Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de
elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la
distancia desde A hasta la cima de la colina.
a) 420 m.
b) 2420 c) 840
d) 2840
e) Ninguna de las Anteriores
36) Expresar 7π/10 Rad., en grados el resultado es:
a) 126º
b) 45º
c) 150º
d) 14º19´26´´
e) 80º 12´51´´
37) Una escalera apoya su pie a 3 m. de un muro. La parte superior se
apoya justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la
escala mide 60º. El largo de la escalera es:
a) 32 m.
b) 23 m
c) 6 m
d) 8 m.
e) No se puede determinar
Colegio El Salvador-Trigonometría
38) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. y tg = 2
3,
entonces BC =
a) 3 cm
b) 13
15 cm.
c) 13
10 cm
d) 2
15 cm
e) 2 cm.
39) Expresar 5π/6 Rad., en grados el resultado es:
a) 45º
b) 126º
c) 14º19´26´´
d) 80º 12´51´´
e) 150º
40) La expresión equivalente a 22 )tg1()tg1( es:
a) 4 tg2
b) 2 cos2
c) 2
d) 2 sec2
e) Ninguna de las anteriores
41) El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen = 1/2.
Entonces PR mide:
a) 32 cm.
b) 3 cm
c) 2 cm.
d) 2
3cm.
e) 6 cm.
A
B
C
P
R
Q
Colegio El Salvador-Trigonometría
42) Si sen= 13
5, donde a es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
entonces el valor de coses:
a) 12
13
b) 5
12
c) 13
12
d) 12
5
e) 5
13
43) Expresar 112º40´en radianes el resultado es:
a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 8π/9 rad o 2,7925 rad
c) 151π/360 rad o 1,3177 rad
d) 0,2130 rad. e) 169π/270 rad o 1,9664 rad
44) Expresar 225º en radianes, el resultado es:
a) π/4 b) π/12 c) 5π/6 d) 5π/3
e) 5π/4
45) Expresar 225º en radianes, el resultado es:
Colegio El Salvador-Trigonometría
a) π/4 b) π/12 c) 5π/6 d) 5π/3
e) 5π/4
46) Expresar 300º en radianes, el resultado es: a) 5π/3 b) π/4 c) π/12 d) 5π/6
e) 5π/4
47) Expresar 150º en radianes, el resultado es:
a) π/4
b) π/12
c) 5π/6
d) 5π/3
e) 5π/4
48) expresar -60º en radianes, el resultado es: a) –π/3 a) π/4 b) π/12
c) 5π/6 d) 5π/3
e) 5π/4
49) Exprese 15º en radianes, el resultado es: a) π/4 b) 5π/6 c) 5π/3 d) π/12
e) 5π/4
50) Expresar -135º en radianes, el resultado es: a) -π/4 b) π/12 c) -3π/4
Colegio El Salvador-Trigonometría
c) -5π/6 d) 5π/3
e) -π/3
51) El valor de la expresión sen245º + cos230º es:
a) 232
b)
4
322
c) 4
5
d) 4
5
e) Ninguna de las anteriores
52) Si sen = 13
5, donde a es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
entonces el valor de cos es:
a) 12
13
b) 5
12
c) 13
12
d) 12
5
e) 5
13
53) Sabiendo que sen = 5
3, entonces el valor de cos + tg - sen es:
a) 1,55
b) 0,95
c) 1,45
d) 1,95
e) Ninguna de las anteriores
54) ¿En qué ángulo de elevación está el sol si un edificio proyecta una
sombra de 25 m y tiene una altura de 70 m?
a) 19,6º
b) 20,9º
c) 69º
d) 70,3º
Colegio El Salvador-Trigonometría
e) N.A.
55) Si sen =7
3, entonces el valor de la tg es:
a) 3
7
b) 7
102
c) 20
103
d) 3
102
e) N.A.
56) ¿Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombra de 20 m, cuando el
ángulo de elevación del sol es de 50º?
a) 23,8 m
b) 12,8 m
c) 15,3 m
d) 16,8 m
e) 1,53 m
57) Si sen = 7
5 y es un ángulo agudo, entonces de las siguientes
afirmaciones son verdaderas:
I) cos = 7
32 II) sec =
6
3 III) cosec =
5
7
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y III
e) Todas
58) Tan90° = X, X es:
Colegio El Salvador-Trigonometría
a) 1
b) 0
c) -1
d) No existe
e) Ninguna de las Anteriores
59) Sen2+ cos2 = X, ¿X es?
a)1
b) sen
c) cos
d) tan
e) cot
60) Sec(-945)= X ¿X es igual a?
a) 2
b) 1
c) 0
d) 2
e) 3
61) 1 + tan2 =
es igual a
a) Sec2
b) sec
c) cos2
d) cos
e) cot2
Colegio El Salvador-Trigonometría
62) En la figura, el triangulo MNP es rectángulo en P, NP = 1 cm y su área es
2/3 cm2, entonces tg =
63) Si los catetos de un triangulo rectangulo miden 5 cm y 12 cm, entonces
el coseno del angulo menor es:
64) Si es un angulo agudo de un triangulo rectangulo y sen 3/5,
entonces tg α cos α =
65) Con los datos de la figura, la expresion sen α – cos α es igual a:
Colegio El Salvador-Trigonometría
66) Es un ejemplo de identidad trigonométrica:
a) sen2 + cos2 = -1
b) sen2 - cos2 = -1
c) sen = cos
d) sec =
e) tg2 = 1 + sec2
67) Sabiendo que sen = 5
3, entonces el valor de cos + tg - sen es:
a) 1,55
b) 0,95
c) 1,45
d) 1,95
e) N.A.
68) Según la información dada en la figura, CD mide:
cos
1
Colegio El Salvador-Trigonometría
69) En el triángulo ABC isósceles de base AB, calcula la medida de su base
si uno de sus lados mide 10 cm y uno de sus ángulos basales mide 30º.
a) 0,05 cm
b) 0,17 cm
c) 12,3 cm
d) 17,32 cm
e) N.A.
70) Para determinar la medida del lado AB es necesario saber:
(1)
(2) triángulo rectángulo en C.
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas
d) Cada una por sí sola
e) Falta información
Soluciones
1) D
2) C
3) B
4) E
Colegio El Salvador-Trigonometría
5) B
6) C
7) B
8) E
9) D
10) D
11) C
12) A
13) A
14) E
15) A
16) C
17) A
18) A
19) D
20) E
21) A
22) B
23) A
24) C
25) C
26) A
27) B
28) D
29) B
30) B
31) C
32) B
33) A
34) B
35) B
36) A
37) C
38) B
39) E
40) D
41) A
42) C
43) E
44) E
45) C
46) A
47) C
48) A
49) D
50) C
51) D
52) C
53) B
54) D
55) C
56) A
57) C
58) D
59) A
60) A
61) A
62) E
63) A
64) A
65) A
66) D
67) B
68) E
69) D
70) E
24.- Facsímil PSU trigonometría N°2
1) ¿Cuál(es) de las siguiente(es) relación(es) es(son) verdadera(s):
Colegio El Salvador-Trigonometría
I. 1cos 22 xsenx
II. 1seccoscsccottan xxxsenxxx
III. x
xsenxsec
1cot
a) Sólo II
b) Sólo II y III
c) Sólo I y III
d) Sólo III
e) Todas
2) De la figura se desprende que cotx – tanx =
a) –12/7
b) –7/12
c) 7/12
d) 12/7
e) Ninguna de las anteriores
3) De la figura anterior se desprende que senx=
a) 3/10
b) 3/7
c) 3/6
d) 6/8
e) 9/15
4) De la figura del ejercicio 2 se desprende que cos x- senx=
a) 1/5
b) 2/5
c) 6/8
d) 4/3
e) Ninguna de las anteriores
Colegio El Salvador-Trigonometría
5) De la figura del ejercicio 2 se desprende que 1cos22 xxsen
a) 1
b) 0
c) ½
d) 1/5
e) Ninguna de las anteriores
6) De acuerdo a la figura. ¿Cuál es el valor de la hipotenusa?
a) 4
b) 16
c) 12
d) 10
e) 6
7) De acuerdo a la figura siguiente ¿Cuál es el valor del área?
a) 2
838
b) 8
c) 838
d) 8·6
e) 238
Colegio El Salvador-Trigonometría
8) De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es la incorrecta?
a) x
senxcsc
1
b) 1cos22 xxsen
c) x
senxx
costan
d) gxsenxx cotcos
e) 1cos xsenx
9) De acuerdo a la siguiente figura. ¿Cuál es el valor de su perímetro?
a) 299
b) 18
c) 27
d) 29
e) 12
10) Respecto a la figura anterior. ¿Cuál es el valor de su área?
a) 81/4
b) 81/2
c) 9/2
d) 18/4
e) Ninguna de las anteriores
Colegio El Salvador-Trigonometría
11) De acuerdo a la siguiente figura. ¿Cuál es el valor de CB
a) 2h
b) 2h 2
c) h 2
d) 2 2
e) 4h
12) De acuerdo a la figura anterior. ¿Cuál es el valor de AC ?
a) 4h
b) 3h
c) 2h
d) 2h 3
e) Ninguna de las anteriores
13) De acuerdo a la figura del ejercicio 11. ¿Cuál es su perímetro?
a) )322( hh
b) )3222( h
c) 322 hh
d) 2hh
e) No se puede determinar
14) ¿Cuál de las siguientes igualdades es la incorrecta?
a) 1cos xsenx
b) 1sectan 22 xx
c) xx 22 csccot1
d) xsenx 22 1cos
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e) xsenx 2cos1
15) En el siguiente rectángulo. ¿Cuál es el valor de su diagonal?
a) 12
b) 10
c) 13
d) 11
e) 9
16) ¿Cuál es el valor del perímetro del rectángulo anterior?
a) 20
b) 25
c) 22
d) 21 3
e) 10310
17) De acuerdo a la figura del ejercicio 15. ¿Cuál es el valor de su área?
a) 320
b) 225
c) 22
d) 325
e) Ninguna de las anteriores
18) La expresión equivalente a 22 )tg1()tg1( es:
a) 4tan2 α
b) 2cos2 α
c) 2
d) 2sec2 α
e) Ninguna de las anteriores
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19) El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen = 1/2.
Entonces PR mide:
a) 32 cm.
b) 3 cm
c) 2 cm.
d) 2
3cm.
e) 6 cm.
20) En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos β = cot β, entonces el
valor de β es:
a) 0º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) Ninguna de las anteriores
21) Una escalera apoya su pie a 3 m. de un muro. La parte superior se
apoya justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la
escala mide 60º. El largo de la escalera es:
a) 32 m.
b) 23 m.
c) 6 m.
d) 8 m.
e) No se puede determinar
22) Si sen α = 13
5, donde a es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
entonces el valor de cos α es:
a) 12
13
P
R
Q
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b) 5
12
c) 13
12
d) 12
5
e) 5
13
23) Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de
elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la
distancia desde A hasta la cima de la colina.
a) 420 m.
b) 2420
c) 840
d) 2840
e) Ninguna de las anteriores
24) ABCD trapecio. AD = 10 cm. Y BC = 13 cm. Si senβ = 0,5, entonces cosβ es:
a) 5
12
b) 12
13
c) 13
12
d) 12
5
e) 13
5
25) Un triángulo isósceles tiene 8 cm. De base y el coseno del ángulo
adyacente a ella es 3
2. El perímetro del triángulo es:
a) 12 cm.
b) 18 cm.
c) 20 cm.
D
A B
C
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d) 24 cm.
e) 26 cm.
26) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. Y tg α = 2
3,
entonces BC =
e) 2 cm
27) En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB,
igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es:
a) 1
b) 2
1
c) 3
3
d) 3
e) Falta Información
28) Según la información dada en la figura, CD mide
a) 1
b) 2
1
c) 2
a) 3 cm.
b) 13
15 cm
c) 13
10 cm.
d) 2
15 cm.
A
B
C
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d) 3
e) 2
3
29) En un triángulo se cumple que 2cosβ = cotgβ. Encontrar el valor de β.
a) 60°
b) 30°
c) 45°
d) 15°
e) 75°
30) ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) igual(es) a sen60º ∙
csc60º?
I) √3/√3 II) √3/2 III) tg 45
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo II y III
e) Sólo I y III
31) Señale cuál es la alternativa FALSA.
a) Si uno de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es 45º y
uno de sus catetos mide 2 cm es posible conocer el valor de la
tangente de 45º.
b) La cosecante α equivale a 1/sen α
c) La tangente de 45º equivale a la cotangente de 45º.
d) Si el seno de un triángulo rectángulo es 30/50 el coseno es 40/50
e) Conocidos los tres ángulos interiores de un triángulo es posible
resolver el triángulo.
32) Al mirar la cumbre del cerro San Cristóbal desde un punto en plaza
Baquedano se observa que el ángulo de elevación es de 30º. Al acercarse
horizontalmente 580√3/3 metros, el ángulo es ahora 60º. ¿Cuál es la altura
del cerro San Cristóbal?
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a) 290 metros
b) 580 metros
c) 1160 metros
d) 1160 √3 metros
e) 580 √3 metros
33) cotg 45º + cosec 30º =
a) 1
b) 3
c) √3/2
d) 2/√3
e) No se puede calcular
34) α y β corresponden a los ángulos internos agudos de un triángulo
rectángulo, si sen α = 6/10 , sen β =
a) 4/5
b) 8/6
c) 10/8
d) 8
e) 6/10
35) Si 3 + 3cot²x = 4 ¿Cuál podría ser el valor de x/3?
a)10°
b)60°
c)20°
d)15°
e)30°
36) en un triángulo rectángulo ABC rectángulo en c, tan β = 0.2. ¿Cuál
puede ser la medida de la hipotenusa?
a)4
b)√26
c)5.5
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d)√47/2
e)5
37) La expresión tan β + cotg β equivale a:
a)1
b)senβ
c) cos2 β
d) sen β + cos a
e)sec β * csc β
38) la expresión sen a, aplicada a un triángulo rectángulo en C, equivale a:
I) cos β II) cos (90°-a) III) tan a * cos a
a) sólo I
b) sólo II
c) II y III
d) I y III
e) Todas
39) En la figura, el triangulo ABC es rectángulo en C, BC = 3 y AB = 5,
entonces el seno de es:
a) 3/5
b) 4/5
c) 5/4
d) 4/3
e) 5/3
40) En la figura el triangulo ABC es rectángulo e B. el coseno de es:
a) 10
1
b) 5
1
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c) 5
3
d) 10
3
e) ninguno de los valores anteriores.
41) En la figura, AB = 20 5 y BC = 40, entonces la tangente de es:
a)10
20
b) 2
c) 5
2
d) 2
1
e) 20
10
42) Si tg = 5/12, entonces la cosecante de es:
a) 13/5
b) 13/12
c) 12/13
d) 5/13
e) ninguno de los valores anteriores.
43) Si cos = 6/10, entonces la cotangente de es:
a) 10/6
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b) 8/6
c) 10/8
d) 6/8
e) 6/10
44) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm. Y 16 cm.,
entonces el seno del ángulo menor es:
a) 20/12
b) 16/12
c) 16/20
d) 12/16
e) 12/20
45) Si tg = 2.4, entonces ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) sec 5/13
II) sen 13/5
III) cotg 12/5
a) sólo I
b) sólo I Y II
c) sólo I Y III
d) sólo II Y III
e) I, II, III
46) Si a = sen y b = cos2 , entonces el valor de 3(a2 +b) es
a) 1
b) 3
c) 6
d) 9
e) 11
47) Cos2 50° + Cos2 40° =
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a) 1
b) 2
c) 2 cos 50° + 2 sen 50°
d) 2 cos 50° + 2 cos 40°
e) (cos 50° + cos 40°)2
48) Un helicóptero despega del helipuerto con un ángulo de elevación de
30°. Si el helicóptero alcanza una altura de 3000 m., entonces ¿a que
distancia se encuentra el helicóptero del punto de despegue?
a) 1500 m.
b) 1500 3 m.
c) 3000 3 m.
d) 6000 m.
e) 5500 m.
49) Un árbol perpendicular al suelo proyecta una sombra de 2,8 metros,
con un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuál es la altura del árbol?
a) 5,6 metros.
b) 2,8 3 metros.
c) 2,8 metros.
d) 1,5 metros.
e) 1,4 metros.
50) La distancia entre un papel que se encuentra en el suelo y la punta de
un poste perpendicular a él es de 8 metros. Si el ángulo de elevación es de
30°, ¿a que distancia se encuentra el papel del poste?
a) 8 3 m.
b) 8 m.
c) 4 3 m.
d) 4 m.
e) 5 m.
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51) Si cos a = 5/13, entonces ctg a vale
a) 5/13
b) 5/12
c) 12/13
d) 13/12
e) 13/5
52) En un bote, los ángulos de elevación hacia los puntos más alto y más
bajo del asta de una bandera de 9 metros de altura situada sobre un
acantilado son 60 y 30 respectivamente. Determina la altura del
acantilado.
a) 9 3 m.
b) 9m.
c) 6 m.
d) 4,5 m.
e) 3m.
53) Calcula sen30° + cos60° + tg45°
a) 1/3
b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) 2
54) En la siguiente figura la
función
a)
b)
c)
d)
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e)
55) En el triángulo ABC, rectángulo
en C. . Calcular
a)
b)
c)
d)
e)
56) Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
57) El largo de la sombra que proyecta una torre de 150m de alto, cuando
el sol se encuentra a 30º por encima del horizonte.
a) 150m
b) 180m
c) 150
d) 150
e) 30
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58) Cos60° = x
X equivale a:
a) 1
b) No existe
c) 0
d) 4
e)1/2
59) 27º54`18``, expresado en grados sexagesimales =
a) 27º
b) 29,8º
c) 30º
d) 25º
e) 27,905º
60) Dado que . =
a) 1
b) 2
c) 3
d) 1/2
e) 1.5
61) sea γ un ángulo tal que 0°<γ<90°. Si cosγ = 3/8, entonces senγ =
a) 5/8
b) 9/64
c) 8√55
d) 3√55/8
e) √55/8
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62) Dado un Δ ABC rectángulo en C, donde cos a = 5/6 entonces sen2a +
cos2a es igual a:
a) 25/36
b) √11 + 5
c) 1
d) √11/6
e) Ninguna de las anteriores
63) senβ – tanβcosβ = ¿
a) 0
b) 1/2
c) 1
d) – sen β
e) -2 sen β
64) Se puede resolver un triángulo rectángulo, con γ=90°, si:
(1) el ángulo α mide 60°
(2) la hipotenusa mide √10 dm.
a) 1 por sí sola
b) 2 por sí sola
c) ambas juntas (1 y 2)
d) cada una por sí sola (1 ó 2)
e) se requiere información adicional
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65) Es posible determinar senβ en un triángulo rectángulo en C, si se sabe
que:
(1) α = 30°
(2) la hipotenusa mide 15 m.
a) 1 por sí sola
b) 2 por sí sola
c) ambas juntas (1 y 2)
d) cada una por sí sola (1 ó 2)
e) se requiere información adicional
66) En una circunferencia de 100m de radio se unen dos puntos con una
cuerda. Para determinar la medida del ángulo central, es necesario saber:
(1) la medida de la cuerda
(2) el perímetro de la circunferencia
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas (1 y 2)
d) Cada una por sí sola (1 ó 2)
e) Falta información
67) Para encontrar la altura del árbol, que el hombre observa, es necesario
saber:
(1) Que el observador del árbol mide 5 metros
(2) Que el ángulo de elevación de su parte cambia de 20º a 40º cuando el
observador avanza 75 pies a la base del árbol.
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas (1 y 2)
d) Cada una por sí sola (1 ó 2)
e) Falta información
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68) Se puede determinar la medida de los catetos de un triángulo
rectángulo si:
(1) se sabe que es isósceles
(2) se conoce el valor de la hipotenusa
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas (1 y 2)
d) Cada una por sí sola (1 ó 2)
e) Se requiere información adicional
69) Es posible conocer el valor del coseno de un ángulo agudo de un
triángulo rectángulo si:
(1) se conoce el coseno y el valor de su complemento
(2) se conoce el valor del ángulo
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas (1 y 2)
d) Cada una por sí sola (1 ó 2)
e) Se requiere información adicional
70) Es posible calcular la apotema de un polígono cualquiera si:
(1) Se conoce el número de lados del polígono
(2) se sabe que su área es el triple de su perímetro
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas (1 y 2)
d) Cada una por sí sola (1 ó 2)
e) Se requiere información adicional
Soluciones:
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1) B
2) C
3) E
4) A
5) B
6) B
7) A
8) E
9) A
10) B
11) C
12) C
13) B
14) A
15) B
16) E
17) D
18) D
19) A
20) B
21) C
22) C
23) B
24) C
25) C
26) B
27) A
28) E
29) B
30) E
31) E
32) A
33) B
34) A
35) C
36) B
37) E
38) E
39) B
40) D
41) B
42) A
43) D
44) E
45) C
46) B
47) A
48) D
49) B
50) E
51) B
52) D
53) E
54) A
55) A
56) B
57) D
58) C
59) E
60) A
61) E
62) C
63) A
64) C
65) A
66) A
67) A
68) C
69) D
70) E
25.- Bibliografía
Colegio El Salvador-Trigonometría
- Libro “Geometría Plana y del espacio y trigonometría” de Baldor
- Libro “Álgebra y trigonometría” de Raymond A. Barnet
- Libro “Matemática general” de Procshle
- Facsímiles preuniversitario “Cepech”
- Facsímiles preuniversitario “Pedro de Valdivia”
- Diccionario de la Real Academia Española
- Página web www.vitutor.com
- Página web http://matematicasies.com
- Página web www.juntadeandalucia.es
- Página web www.rmm.cl
- Página web http://usuarioslycos.es/calculo21
- Página web http://descartes.cnice.mec.es/
- Página web http://www.aritor.com/trigonometria/reduccion_angulos.html
- Página web www.educarchile.cl
- Página web www.sectormatematica.cl
- Página web www.slideshare.net