第六章 能带理论

§6.6 导体、半导体和绝缘体的能带论解释

虽然所有固体都包含大量的电子，但它们的导电性却有很大差别，

如有的固体（金属）有很好的电子导电性，

有的固体（半导体）则较差，

有的固体（绝缘体）则基本上观察不到电子导电性。

第六章 能带理论

这些问题长期得不到合理的解释。

能带论的出现，为说明固体划分为导体、半导体和绝缘体提供了理论基础

这是能带论发展初期的一个重大成就。

满带：填满电子的能带。

空带：没有电子占据的能带。

不满带：未填满电子的能带。

禁带：不能填充电子的能区。

价带：和价电子能级相应的能带，

对半导体，价带通常是满带。

即最高的充有电子的能带。

几个概念

满带

E

不满带

禁带

禁带

价带

空带

第六章 能带理论

6.6.1 满带电子不导电

据能带理论，E ( k )是一个偶函数，即

（6.117）

利用（6.87）式，可以得到

（6.118）

)()( kk −= nn EE

)()(

)E(1

-)E(-1

)(-

)E(1

)(

kvkv

kkkv

kkv

−−=

=

kk

k

hh

h Q

第六章 能带理论

在同一能带中 k 和 －k 态的电子具有相反的速度

在一个完全填满电子的能带，电子在能带上的分布，在 k 空间具有中心对称。

尽管对每一个电子来讲，都有电流－ev，

但 k 和 －k 状态的电子电流正好抵消

晶体中没有宏观电流。

第六章 能带理论

当存在外场时，电子在能带中分布具有的k空间中心对称性仍不会改变

如当施加外电场E时，每个电子都受一个电场力作用:

EF e−=

第六章 能带理论

则：

（6.119）

这表明，所有电子都以同一速度在k空间内移动。

以一维能带为例，图6.11中k 轴上的点表示简约布里渊区中均匀分布的各量子态的电子

在电场力驱动下，电子以相同速度沿k轴移动。

Ek e

dt

d−=

第六章 能带理论

布里渊区边界A和A’两点代表同一状态，

在电子填满布里渊区所有状态即满带的情况下，从A点移动出去的电子同时就从A’点流进，

使整个能带仍处于均匀分布填满的状态，因此不会有宏观电流，

故满带电子不导电。

第六章 能带理论

图6.11 外场下满带电子的运动

第六章 能带理论

6.6.2 未满带电子导电

无电场时，电子在未满带中的填充如图6.12（a）所示，仍是中心对称分布。

总电流抵消，不会有宏观电流。

第六章 能带理论

图6.12 不满能带 （a）无电场（b）加电场

第六章 能带理论

但在外场力F作用下，整个电子分布将向一方

移动，经碰撞作用达到平衡后，电子的分布将不再对称，而有一个小的偏移，如图6.12（b）所示。

这时电子电流只是部份抵消，因而将出现一定的宏观电流。

不满带中的电子才会导电。

6.5.3 导体，绝缘体和半导体

导电性能不同，来源于它们不同的能带结构

固体按导电性能的高低可以分为

导体

m108

−

半导体

m101074

−−

绝缘体

m108

第六章 能带理论

从能带理论分析可知，满带电子不导电，未满能带中的电子才导电；

因此，导体的能带中一定有不满的带，

绝缘体的能带中就只有满带和空带，

如图6.13（a）, (b)所示。

第六章 能带理论

图6.13（a）导体（b）绝缘体（c）半导体和（d）半金属的能带填充情况

第六章 能带理论

金属中的未满能带叫导带或价带。

未满能带的产生主要有二种情况：

（1）价电子数为奇数的金属

如碱金属，N个原胞（原子）组成的晶体有N个s

态价电子，其导带有N个状态，每个状态可容纳自旋向上和向下的二个电子，故导带可容2N个电子

因此导带是半满的

第六章 能带理论

（2）价电子数为偶数的碱土金属

由于有2N个s态价电子，粗一看，价带应被填满而是非金属，

但 s 带的顶部与上一个能带的底部有大量交叠，

使两个带都是部分填充的。

因而有众多电子参与导电，故仍是导体。

第六章 能带理论

半导体的能带结构与绝缘体没有本质区别，只是分割价带和导带的带隙——禁带宽度Eg较小。

半导体的 Eg ≤ 2 eV。

在极低温度（接近绝对零度），半导体的导电率接近于绝缘体

第六章 能带理论

在一定温度下，总有部分电子从满带被热激发而跃过窄的禁带到达导带（见图6.13（c）），因而有一定的导电性。

本征半导体的导电性与温度和禁带宽度有关。

第六章 能带理论

在金属和半导体之间存在一种称为半金属的中间情况。如图6.13（d）所示。

半金属的导带底和价带顶具有相同的能量（零带隙宽度）或发生交叠（负带隙宽度）。

它们类同于碱土金属的情况，理应被叫做金属

第六章 能带理论

但由于重叠得极小，参与导电的导带中电子数和价带中的未满状态数都较少，因此其导电性比一般金属低几个数量级，故被称作半金属。

砷（As），锑（Sb）和铋（Bi）等VA族元素晶体就是常见的半金属。

半金属的电导率虽低于金属，但比一般的本征半导体还是要好。

0 时I=0

导带

满带

0I

导体、半导体和绝缘体的能带

有导带

导带

导体

半导体禁带窄

禁带

半导体

空带

禁带

绝缘体

空带

绝缘体禁带宽

几个实例

1.碱金属

Li 122s1s

Na 16223s2p2s1s

K162622

4s3p3s2p2s1s

ns电子只占一半

能带，为导体。

2.碱土金属

Be22

2s1s

Mg2622

3s2p2s1s

Ca262622

4s3p3s2p2s1s

ns电子填满了ns能

带，但ns能带与上

面能带形成能带交

叠，故仍为导体。

1、导体的能带结构

空带

导带

E

某些一价金属，如:Li …

满带

空带

E

某些二价金属，如:Be, Ca, Mg,

Zn, Ba …

导带

空带

E

如:Na, K, Cu,

Al, Ag…

25

在外电场的作用下，大量共有化电子

易获得能量，集体定向流动形成电流。

从能级图上来看，是因为其共有化电子

很易从低能级跃迁到高能级上去。

E

导体

2、绝缘体的能带结构

E空带空带

满带

禁带ΔEg=3～6eV

从能级图来看，是因为满带与空带间有一个较宽的禁带（Eg ：3～6 eV ）

共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）上去。

当外电场足够强时，共有化电子还是能越过

禁带跃迁到上面的空带中，使绝缘体被击穿 。

3、半导体的能带结构

本征半导体是指纯净的半导体，导电性能在导体与绝缘体之间。

Eg=0.12eV

E

空带（导带）

满带

禁带

本征半导体

所以加热、光照、加电场都能把电子从满带激到发空带中去，同时在满带中形成“空穴”（hole）。

半导体的禁带宽度ΔEg 很

窄（0.1 ～2eV），

28

绝缘体与半导体的击穿

当外电场非常强时，它们的共有化电子还是能越过禁带跃迁到上面的空带中的。

绝缘体

半导体导体

解

max

min

hc

hE g ==

nm514106.142.2

1031063.619

834

max =

=

=

−

−

gE

hc

【例】要使半导体 CdS产生本征光电导，求

激发电子的光波的波长最大多长？已知禁带宽

度为 2.42 eV。

第六章 能带理论

6.6.4 近满带和空穴

不满带中有一种 近满带，它指只有能带顶附近少量的状态未被电子占据的能带。

半导体中的价带，由于带顶附近少量电子被热激发到了导带而包含一些空态，就是典型的近满带

近满带在半导体的研究中尤为重要。

第六章 能带理论

近满带具有一定的导电性。

要描述近满带中电子的运动，涉及到数目很大的电子集体运动，因而在处理上很不方便。

引入空穴(hole)的概念，用以代表大量电子的集

体运动，使有关近满带的导电问题变得简单而直观。

第六章 能带理论

为说明空穴的概念并说明用它来描述近满带电子运动的有效性

考虑一简化情况，即假设价带中只有一个状态 k 未被电子填充

此时能带为未满带，因而应有电流产生。

第六章 能带理论

电流 j（k）：设想在空的 k 态中放入一电子，这个电子的电流则为－ev ( k )，

由于k态放上电子后，能带完全填满，故总电流为零，于是

（6.120）0)]([)( =−+ kvkj e

第六章 能带理论

则

（6.121）

当k态缺少一个电子时，近满带所有电子运动的总电流就等价于：

一个具有正电荷 e 的粒子，

以空态 k 的电子速度 运动而产生的电流

)()( kvkj e=

)(kv

第六章 能带理论

在外电场 E 的作用下，空态在k空间位置随时间 t 的变化率

和周围电子状态变化是一样的，即

（6.122）

dtdk

Ek e

dt

d−=

第六章 能带理论

这样，空态的加速度为

（6.123）

近满带中的空穴往往在满带顶附近，此处电子有效质量为负值，所以上式又可以写成

（6.124）

)(1)(

*E

kve

mdt

d

e

−=

*

)(

em

e

dt

d Ekv=

第六章 能带理论

定义空穴的有效质量：

（6.125）

上面讨论表明：当满带顶附近有空态k时，整

个能带中的电子运动，以及电流在外场中的行为，完全可等价于：

一个带正电荷e，具有正的有效质量 ，

速度v (k)的粒子。

|)(|)(**

kk eh mm =

||*

em

第六章 能带理论

这个假想粒子称为空穴（hole）。

空穴和电子一样，都能荷载电流而导电，

它们都是载流子；也是准粒子

空穴是一个准粒子，它带正电；可很好解释半导体的导电机理

例：已知价带顶附近电子的能量为：

尔格）(101)(226

kk−

−=

将一个电子从 17101

−= cmik

处移走，于是

能带成为不满带，试给出：a.该空穴的有效质量和符号b.该空穴的波矢量的大小和方向c.该空穴的动量d.该空穴的速度e.该空穴的能量f.该空穴的电流 f.该空穴的所运载的电流

解：a. )(101

2)(

22622

ergkm

kk

−−==

262

1012

−−=

em

kg.me

281050

−−=

28*105.0

−=−= eh mm

b. ikk eh

7

101−=−=

c. )101)(101(727ikp hh

==

−

d.18

102−

−== scmm

Pv

h

nn

e.226

)101( een k−

−−=−=

)(101120 −

−= scmgi

eVerg 110112

==−

f.)102(106.1

619ivej h ==

−

i

13102.3

−=

第六章 能带理论

注意：虽然空穴具有有效质量、电荷等属性，但它并不是一种真实的粒子，

是近满带中电子集体运动的一种等价描述，

是一种准粒子。

实际上，晶体中的电子由于动量是准动量、有效质量又很不同于自由电子时的质量，

因此，晶体中的电子也是准粒子。

第六章 能带理论

晶体中的载流子——晶体电子和空穴，都是准粒子。

空穴概念的引入，可解释某些金属，如Be, Ca等具有正的霍尔系数的现象。

从能带论的角度，晶体中有两种载流子，它们对霍尔系数都有贡献。

因此晶体中导电的粒子有两种：

（1）电子；（2）空穴.

第六章 能带理论

带负电的电子的贡献占优势，则霍尔系数为负；

带正电的空穴贡献占优势，则霍尔系数为正。

据霍尔系数的正负，可判断某些晶体（如半导体）的载流子中那一种占优势。

例：晶格常量为a的一维晶格，其价带顶附近的色散关系为

m

k

m

kkEV

222

0

2 3

6)(

−= 其中

ak

π0= ，在导带底附近的色散

关系为m

kk

m

kkEc

2

0

222)(

3)(

−+=

求：

(1)禁带宽度；

(2)导带底电子的有效质量和价带顶空穴的有效质量；

(3)电子由价带顶激发到导带底时，准动量的变化；

(4)在外电场作用下，导带底的电子和价带顶空穴的加速度；

(5)设a=0.25 nm，=100 V/m，请求出空穴自价带顶漂移到

k0处所需的时间。

m

k

m

kkEV

2220

2 3

6)(

−=

m

kk

m

kkEc

20

222 )(

3)(

−+=

ak

π0=

价带顶 导带底

(1)导带底 0d

d=

k

Ec

akk

c

π

4

3

4

30==

价带顶 0d

d=

k

Ev 0=v

k =maxv

E

22

maxmin

π

12

=−=

amEEE

vcg

=mincE22

π

4

am

22π

6

am

(2)导带底=

=

ck

*

ek

E

m2

2

2d

d11

m3

8

8

3*

mme =

价带顶=

=

vk

*

ek

E

m2

2

2d

d11

m

6−

6*

mme −=

6**

mmm eh =−=

(3)

=−

=−=

aakkp vc

π

4

30

π

4

3

(4)amF *=

ee ame *=− *e

em

ea

−=

m

e

3

8 −=

hhame *=*h

hm

ea

=

m

e6=

(5) et

kh =d

dh

ke

t dd

=

aek

et a

h

πd

π

0

==

第六章 能带理论

作业：

一、6.9; 6.10

二、导体、半导体、绝缘体、半金属的能带有什么特点？试各举一例说明。

三、为什么说空穴、晶体电子都是准粒子？