656 Kuliah I-II Matematika III
-
Upload
ratri-berliana -
Category
Documents
-
view
63 -
download
3
Transcript of 656 Kuliah I-II Matematika III
1DERET TAK HINGGA
Barisan Tak hingga
Barisan tak hingga: fungsi yang daerah asalnya himpunan bilangan asli atau susunan bilangan yang terurut sesuai dengan urutan bilangan asli.
Barisan a1,a2,a3, dapat ditulis sebagai
=
1
}
{
n
n
a
atau {an} saja.
Barisan {an} dinamakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis
L
a
n
n
=
lim
apabila untuk setiap >0 ada bilangan positif N sehingga untuk nN an-L < .
Suatu barisan yang tak konvergen ke suatu bilangan L disebut divergen.
Teorema A
Andaikan {an} dan {bn} barisan barisan yang konvergen dan k sebuah konstan maka
(i).
k
k
n
=
lim
(ii).
=
n
n
ka
lim
k
n
n
a
lim
(iii)
=
)
(
lim
n
n
n
b
a
n
n
a
lim
n
n
b
lim
(iv).
=
)
.
(
lim
n
n
n
b
a
n
n
a
lim
.
n
n
b
lim
(v).
=
)
(
lim
n
n
n
b
a
n
n
a
lim
/
n
n
b
lim
, asalkan
n
n
b
lim
0.
Teorema B (teorema apit):
Andaikan {an} dan {cn} barisan yang konvergen ke L dan andaikan anbncn untuk nK (K bilangan asli yang tetap), maka {bn} juga konvergen ke L.
Teorema C:
Apabila
|
|
lim
n
n
a
=0 maka
n
n
a
lim
=0.
Teorema D (Teorema barisan monoton):
Apabila U suatu batas atas untuk suatu barisan tak turun {an}, maka barisan itu konvergen menuju A yang kurang dari atau sama dengan U. Sebaliknya, Apabila L suatu batas bawah untuk suatu barisan tak naik {bn}, maka barisan itu konvergen menuju B yang lebih dari atau sama dengan L.
Deret tak hingga
Deret tak hingga a1+a2+a3+ dapat ditulis sebagai
=
1
k
k
a
atau
k
a
. Jumlah parsial ke-n dari barisan ditulis Sn= a1+a2+a3++an =
=
n
k
k
a
1
.
Deret tak hingga
=
1
k
k
a
konvergen dan memmiliki jumlah S apabila barisan jumlah parsial {Sn} konvergen menuju S. Apabila barisan jumlah parsial {Sn} divergen, maka deret divergen.
Deret Geometri
Deret geometri memiliki bentuk
=
-
n
k
k
ar
1
1
, dengan a 0.
Suatu deret geometri konvergen dengan jumlah S = a/(1-r) apabila |r|0, dan
L
b
a
n
n
n
=
lim
. Apabila 0an+1>0. Apabila
n
n
a
lim
=0, maka deret konvergen. Jika S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama Sn, maka kesalahannya tidak akan melebihi an+1.
Teorema B (Uji kekonvergenan Mutlak).
Apabila
|
|
n
u
konvergen maka
n
u
juga konvergen (disebut konvergen mutlak).
Teorema C (uji pembanding mutlak)
Andaikan
n
u
sebuah deret yang suku-sukunya tak nol dan andaikan
r
=
+
|
|
|
|
lim
1
n
n
n
u
u
.
(i). Jika r < 1, deret konvergen mutlak
(ii). Jika r > 1 deret divergen
(iii). Jika r = 1, pengujian tidak dapat memberikan kepastian.
Teorema D (Penukaran tempat)
Suku-suku suatu deret yang konvergen mutlak dapat diubah-ubah kedudukannya tanpa mempengaruhi kekonvergenan atau jumlahnya.
Deret pangkat (kuasa)
Ingin diketahui untuk nilai-nilai x yang mana saja deret fungsi
)
(
x
u
n
konvergen serta ke fungsi apakah deret tersebut konvergen. Pada khususnya dipelajari untuk deret pangkat (kuasa) yakni deret berbentuk
n
n
x
a
. Himpunan bilangan riil yang anggota-anggotanya membentuk sebuah deret kuasa yang konvergen disebut himpunan kekonvergenan.
Teorema A
Himpunan kekonvergenan deret kuasa
n
n
x
a
selalu berbentuk selang (interval) yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:
(i). Satu titik x=0
(ii). Selang (-R,R) yang mungkin mencakup salah satu titik ujungnya atau kedua ujungnya.
(iii). Seluruh himpunan bilangan riil.
Teorema B
Deret kuasa
n
n
x
a
konvergen mutlak pada bagian dalam selang kekonvergenannya.
Sebuah deret kuasa berbentuk
-
n
n
a
x
a
)
(
dinamakan deret kuasa dalam x-a. Himpunan kekonvergenan deret ini adalah salah satu dari:
(i). Satu titik x=a
(ii). Selang (a-R, a+R) yang mungkin mencakup salah satu titik ujungnya atau kedua ujungnya.
(iii). Seluruh himpunan bilangan riil.
Operasi-operasi deret kuasa
1.6.1 Pendifferensialan dan Pengintegralan suku demi suku
Teorema A
Andaikan S(x)=
=
0
n
n
n
x
a
adalah jumlah sebuah deret kuasa pada sebuah selang I. Maka, apabila x ada dalam I, berlakulah:
(i). S(x)=
=
-
1
1
n
n
n
x
na
(ii).
x
dt
t
S
0
)
(
=
=
+
+
0
1
1
n
n
n
x
n
a
Operasi-operasi aljabar
Teorema B
Andaikan f(x) =
=
0
n
n
n
x
a
dan g(x) =
=
0
n
n
n
x
b
, yang masing-masing konvergen untuk x