60 vector 3 d-full

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 1

เวกเตอร 3 มิติ 푉푒푐푡표푟 푖푛 푠푝푎푐푒 หมายถึง ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ระบบ 3 มิติ มีแกน 3 แกน คือแกน 푋푋′ แกน푌푌′และแกน푍푍′

โดยนิยมระบบ มือขวาและระบบมือซาย ดังรูป

1. พื้นที่แบงเปน 8 อัฐภาค (푂푐푡푎푛푡)

เริ่มที่ พื้นที่ดานบนระหวางแกน 푋และแกน푦 เปนอัฐภาคที่ 1 แลว

นับทวนเข็มนาฬิกา พื้นที่ดานลางก็เชนกัน ดานลางของอัฐภาคที่1

เปนอัฐภาคที่ 5 แลววนขวาจนครบอัฐภาคที่ 8

2. การลงจุดระบบ 3 มิติ เชน 퐴(2,2, −1), 퐵(1, −3,2), 퐶(−1,3,3)

ลงจุดทั้งสามไดดังรูป

3. ในระบบ 3 มิต ิ

3.1. ระยะหางระหวาง จุดA กับ จุดB เขียนแทนดวย |AB|

ถา A x1, y1, z1 B x2, y2 , z2 แลวระยะหางของ AกับB คือ

|AB| = (x − x ) + (y − y ) + (z − z )

3.2. จุด 푃(푥, 푦, 푧) แบงระยะ A(x , y , z )B(x , y , z )

ออกเปนอัตราสวน |퐴푃||퐴퐵| = 푟 แลวสามารถหาจุด 푃 ไดดังนี้

푥 = x + 푟(x − x ), 푦 = y + 푟(y − y ),

푧 = z + 푟(z − z )

4. เวกเตอร 1 หนวย (푢푛푖푡 푣푒푐푡표푟) ในระบบ 3 มิติ

ให 푖 ̅ เปน เวกเตอร 1 หนวยตามแกน 푥

횤 ̅ เขียนแทนดวย < 1,0,0 > หรือ 100

ให 푗 ̅ เปน เวกเตอร 1 หนวยตามแกน 푦

횥 ̅ เขียนแทนดวย < 0,1,0 > หรือ 010

ให 푘 เปน เวกเตอร 1 หนวยตามแกน 푧

푘 เขียนแทนดวย < 0,0,1 > หรือ 001

5. เวกเตอร 푣⃗ =< a, b, c >=푎푏푐

= a 횤̅ + b 횥̅ + c푘

|푣⃗| = 푎 + 푏 + 푐

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 2 6. เวกเตอร 퐴퐵⃗ ในระบบ 3 มิต ิ

ถา A(x , y , z )B(x , y , z ) แลวจะหา 퐴퐵⃗ ไดดังนี้

퐴퐵⃗ =x − xy − yz − z

= (x − x )횤̅ + (y − y )횥̅ + (z − z )푘

퐴퐵⃗ = (x − x ) + (y − y ) + (z − z )

7. ถา 푢⃗ เปนเวกเตอร 1 หนวยที่มีทิศทางเดียวกับ 퐴퐵⃗

แลวสามารถหา 푢⃗ ไดดังนี้ 푢⃗ =퐴퐵⃗퐴퐵⃗

8. ถา 푣⃗ เปนเวกเตอร 1 หนวยที่มีทิศทางตรงขามกับ 퐴퐵⃗

แลวสามารถหา 푣⃗ ไดดังนี ้ 푣⃗ = −퐴퐵⃗퐴퐵⃗

9. 푣⃗ = 푢⃗ หมายความวา 푣⃗ มีทิศทางเดียวกับ 푢⃗ และ| 푣⃗| = |푢⃗|

10. ถา a > 0 และ 푣⃗ = 푎푢⃗ , หมายความวา

푣⃗ มีทิศทางเดียวกับ 푢⃗ และ| 푣⃗| = |푎||푢⃗|

11. ถา a > 0 และ 푣⃗ = −푎푢⃗ , หมายความวา

푣⃗ มีทิศทางตรงขามกับ 푢⃗ และ| 푣⃗| = |푎||푢⃗|

12. ถา 푢⃗ ไมขนานกับ 푣⃗ และ 푢⃗ ≠ 0, 푣⃗ ≠ 0

แลว 푎푢⃗ + 푏푣⃗ = 0 ก็ตอเมื่อ 푎 = 0 และ 푏 = 0

13. การเทากันของเวกเตอร

ถา 퐴̅ =푥푦푧

, 퐵 =푥푦푧

แลว 퐴̅ = 퐵 ก็ตอเมื่อ

푥 = 푥 , 푦 = 푦 , 푧 = 푧

14. การบวกลบเวกเตอร

1) ถา 퐴̅ =푥푦푧

, 퐵 =푥푦푧

แลว 퐴̅ + 퐵 = 푥 + 푥푦 + 푦푧 + 푧


, 퐵 =푥푦푧

แลว 퐴̅ − 퐵 = 푥 − 푥푦 − 푦푧 − 푧


, 0 =000

แลว 퐴̅ + 0 = 퐴̅

15. สมบัติการบวกของเวกเตอร

1) 푣⃗ + 푢⃗ = 푢⃗ + 푣⃗

2) (푣⃗ + 푢⃗) + 푤⃗ = 푢⃗ + ( 푣⃗ + 푤⃗)

3) ทุก 푣⃗ จะมี − 푣⃗ ที่ทําให 푣⃗ + (− 푣⃗) = 0⃗

4) 푣⃗ = 푢⃗ แลวจะไดวา 푣⃗ + 푤⃗ = 푢⃗ + 푤⃗

5) 푣⃗ + 푢⃗ มีผลบวกเปนเวกเตอร และ 푚푢⃗ เปนเวกเตอร

6) |푣⃗ + 푢⃗| ≤ |푣⃗| + | 푢⃗| , |푣⃗ − 푢⃗| ≥ |푣⃗| − | 푢⃗|

7) ถา 푣⃗ ขนานกับ 푢⃗ แลว |푣⃗ + 푢⃗| = |푣⃗| + | 푢⃗|

8) ถา 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푢⃗ แลว |푣⃗ + 푢⃗| = |푣⃗ − 푢⃗|

9)จาก |푢⃗| = |−푢⃗|

ดังนั้น |푣⃗ − 푢⃗| = |−(푣⃗ − 푢⃗ )| = |푢⃗ − 푣⃗ |

16. การคูณเวกเตอร ดวยปริมาณสเกลาร


และ 푎 ∈ 푅 แลว a퐴̅ = 푎푥푦푧

=푎푥푎푦푎푧

17. สมบัติการคูณเวกเตอร ดวยปริมาณสเกลาร

1) 푚(푣⃗ + 푢⃗) = m푣⃗ + m푢⃗ โดยที่ 푚 ∈ 푅

2) (m + n)푣⃗ = m푣⃗ + n푣⃗ โดยที่ 푚, 푛 ∈ 푅

3) (mn)푣⃗ = m(n푣⃗) โดยที่ 푚, 푛 ∈ 푅

18. ระบบวงปดของเวกเตอร

ถา 퐴 , 퐴 , 퐴 , … . 퐴 เปนจุดใดๆ แลวจะไดวา

퐴 퐴⃗ + 퐴 퐴⃗ + 퐴 퐴⃗ + ⋯ + 퐴 퐴⃗ = 0 เสมอ

สมบัติที่นาสนใจ

จากรูป จะไดวา 푤 =1

푚 + 푛(푛푣̅ + 푚푢)

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 3 19. ผลคูณเชิงสเกลารของเวกเตอร (퐷표푡 푃푟표푑푢푐푡)


, 퐵 =푥푦푧

แลว 퐴 ∙ 퐵 = 푥1푥2 + 푦1푦2 + 푧1푧2

หรือ 퐴 ∙ 퐵 = |퐴||퐵|푐표푠휃 , 휃 เปนมุมระหวาง 퐴 กับ 퐵

푐표푠휃 =퐴̅ ∙ 퐵

|퐴̅||퐵| =푥 푥 + 푦 푦 + 푧 푧

|퐴̅||퐵|

20. สมบัติการ 퐷표푡 푃푟표푑푢푐푡

1) 퐴̅ ∙ 퐴̅ = |퐴̅| = 푥 + 푦 + 푧

2) 퐴̅ ∙ 0 = 0

3) 퐴̅ ∙ 퐵 = 퐵 ∙ 퐴̅

4) 퐴̅ ∙ ( 퐵 + 퐶̅) = 퐴̅ ∙ 퐵 + 퐴̅ ∙ 퐶̅

5) 퐴̅ ∙ 퐵 = 0 แสดงวา 퐴̅ = 0 หรือ 퐵 = 0 หรือ 퐴̅ ตั้งฉากกับ퐵

6) 퐴̅ ∙ 퐵 > 0 แสดงวา 0° < θ < 90°

7) 퐴̅ ∙ 퐵 < 0 แสดงวา 90° < θ < 180°

8) 횤 ̅ ∙ 횤 ̅ = 횥̅ ∙ 횥̅ = 푘 ∙ 푘 = 1

9) 횤 ̅ ∙ 횥 ̅ = 횥̅ ∙ 푘 = 푘 ∙ 횤̅ = 0

21. ผลคูณเชิงเวกเตอร (퐶푟표푠푠 푃푟표푑푢푐푡)


, 퐵 =푥푦푧

แลว 퐴 × 퐵 =푥1푦1푧1

×푥2푦2푧2

=푦1푧2 − 푦2푧1푧1푥2 − 푧2푥1푥1푦2 − 푥2푦1

แลว 퐴 × 퐵 =푖 ̅ 푗 ̅ 푘

푥1 푦1 푧1푥2 푦2 푧2

=푦 푧푦 푧 횤̅ +

푧 푥푧 푥 횥̅ +

푥 푦푥 푦 푘

= (푦 푧 − 푦 푧 )횤̅ + (푧 푥 − 푧 푥 )횥̅ + (푥 푦 − 푥 푦 )푘

22. |퐴̅ × 퐵| = |퐴̅||퐵|푠푖푛휃 , 휃 เปนมุมระหวาง 퐴̅ กับ 퐵

∴ 푠푖푛휃 =|퐴̅ × 퐵||퐴̅||퐵|

23. ถา 푛 เปนเวกเตอรหนึ่งหนวยที่ขนานกับ 퐴̅ × 퐵

แลว 푛 = ±퐴̅ × 퐵

|퐴̅ × 퐵| = ± 퐴̅ × 퐵

|퐴̅||퐵|푠푖푛휃

24. สมบัติการ 퐶푟표푠푠 푃푟표푑푢푐푡

1) 횤̅ × 횤̅ = 횥̅ × 횥̅ = 푘 × 푘 = 0

2) 횤̅ × 횥̅ = 푘, 횥̅ × 푘 = 횤,̅ 푘 × 횤̅ = 횥 ̅

3) 퐴̅ × 퐵 ≠ 퐵 × 퐴̅ แต 퐴̅ × 퐵 = −퐵 × 퐴̅

4) 퐴̅ × ( 퐵 × 퐶̅) ≠ (퐴̅ × 퐵) × 퐶̅

5) 퐴̅ × ( 퐵 ± 퐶̅) = (퐴̅ × 퐵) ± (퐴̅ × 퐶̅)

6) 퐴̅ × 0 = 0 × 퐴̅ = 0

7) 퐴̅ × 퐵 = 0 แสดงวา ( 퐴̅ ขนานกับ 퐵) หรือ( 퐴̅ = a퐵)

8) 퐴̅ และ 퐵 ตั้งฉากกับ (퐴̅ × 퐵) เสมอ

9) 푐표푠푖푛푒 ของมุมที่กําหนดทิศทางของเวกเตอร 푣̅

เมื่อ 푣̅ = 푥횤̅ + 푦횥̅ + 푧푘 แลวจะไดวา

cos 훼 =푥

|푣̅| , cos 훽 =푦

|푣̅| , cos 훾 =푧

|푣̅| ,

24. สมบัติของ 퐷표푡 푃푟표푑푢푐푡 & 퐶푟표푠푠 푃푟표푑푢푐푡

1) 퐴̅ ∙ ( 퐵 × 퐶̅) = |퐴̅||퐵||퐶̅|푠푖푛훽푐표푠휃

= 푥 푦 푧푥 푦 푧푥 푦 푧

2) กําหนดให 퐴̅ ∙ (퐵 × 퐶̅) = [퐴̅ 퐵 퐶̅] แลวจะไดวา

2.1) [퐴̅ 퐵 퐶̅] = [퐵 퐶̅ 퐴̅] = [퐶̅ 퐴̅ 퐵]

2.2) [푎 퐴̅ 퐵 퐶̅] = 푎[퐴̅ 퐵 퐶̅]

2.3) [퐴̅ 퐴̅ 퐵] = [퐵 퐵 퐴̅] = 0

2.4) [퐴̅ − 퐵 퐵 − 퐶̅ 퐶̅ − 퐴̅] = 0

2.5) [퐴̅ + 퐵 퐵 + 퐶̅ 퐶̅ + 퐴̅] = 2 [퐴̅ 퐵 퐶̅]

2.6) [퐴̅ × 퐵 퐵 × 퐶̅ 퐶̅ × 퐴̅] = [퐴̅ 퐵 퐶̅]

3) 퐴̅ × ( 퐵 × 퐶̅) = ( 퐴̅ ∙ 퐶̅)퐵 − (퐴̅ ∙ 퐵)퐶̅

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 4 25. พื้นที่และปริมาตรระหวางเวกเตอร

1) พื้นที่ ∆퐴퐵퐶 = 12

|퐴퐵 × 퐴퐶|

= 12

|퐵퐴 × 퐵퐶| = 12

|퐶퐴 × 퐶퐵|

2) พื้นที่ ⊡ ดานขนาน 퐴퐵퐶퐷 = |퐴퐵 × 퐴퐷|

3) ปริมาตรของกลองที่มี 퐴̅, 퐵, 퐶̅ เปนดานขอบของกลอง

ปริมาตรของกลอง = พื้นที่ฐาน × สูง

= | 퐴̅ × 퐵|. h

= | 퐴̅ × 퐵|. | 퐶̅|cosθ

= | (퐴̅ × 퐵) ∙ 퐶̅|

= (퐴̅ × 퐵) ∙ 퐶̅ = 푥 푦 푧푥 푦 푧푥 푦 푧

= |퐴̅||퐵||퐶̅|푐표푠휃푠푖푛훽

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 5 퐸푥1. จงพิจารณาวาจุดตอไปนี้อยูในอัฐภาคที่เทาไร

1) (−2, −3,4) 2) (3, −1, −5) 3) (2,3, −4)

4) (−2, 5, −4) 5) (5, 1,3) 6) (2, −7, 4)

7) (−1, −3, −4) 8) (−8, 1,6)

คําตอบ 1) อัฐภาคที่ 3 2) อัฐภาคที่ 8 3) อัฐภาคที่ 5

4) อัฐภาคที่ 6 5) อัฐภาคที่ 1 6) อัฐภาคที่ 4

7) อัฐภาคที่ 7 8) อัฐภาคที่ 2

퐸푥2. จงหาเวกเตอรและขนาดของเวกเตอร 퐴퐵⃗ จากเงื่อนไขตอไปนี้ 1) 퐴 = (−2, −3,4), 퐵 = (3, −1, −5)

2) 퐴 = (−2, 5, −4), 퐵 = (2, −7, 4)

วิธีทํา 1) 퐴퐵⃗ = x2 − x1y2 − y1z2 − z1

=3 − (−2)

−1 − (−3)−5 − (4)

=52

−9

퐴퐵⃗ = 5횤̅ + 2횥̅ − 9푘 퐴푛푠.

จาก 퐴퐵⃗ = (x − x ) + (y − y ) + (z − z )

∴ 퐴퐵⃗ = (5) + (2) + (−9) = √110 Ans.

2) 퐴퐵⃗ = x − xy − yz − z

=2 − (−2)−7 − (5)4 − (−4)

=4

−128

퐴퐵⃗ = 4횤̅ − 12횥̅ + 8푘 퐴푛푠.

จาก 퐴퐵⃗ = (x − x ) + (y − y ) + (z − z )

∴ 퐴퐵⃗ = (4) + (−12) + (8) = √224 Ans.

퐸푥3. ให 퐴퐵⃗ =3

−2−4

และ จุด퐴 = (−1,3, −5) จงหาพิกัดจุด 퐵

วิธีทํา 퐴퐵⃗ = 3

−2−4

ถา 퐴 = (−1,3, −5)

∴ พิกัดจุด 퐵 = (−1 + 3,3 + (−2), −5 + (−4))

= (2,1, −9) 퐴푛푠.

แบบทดสอบความเขาใจ

1. จงพิจารณาวาจุดตอไปนี้อยูในอัฐภาคที่เทาไร

1) ( 2, −1, 3) 2) (3, 2, −5) 3) (2, −3, −4)

4) (−2, −5,4) 5) (−5, 1,3) 6) (2, 7, 4)

7) (−1,2, −4) 8) (−2, −2, −5)

คําตอบ 1) อัฐภาคที่ … . 2) อัฐภาคที่ … . 3) อัฐภาคที่ … …

4) อัฐภาคที่ … . 5) อัฐภาคที่ … . 6) อัฐภาคที่ … …

7) อัฐภาคที่ … . 8) อัฐภาคที่ … …

2. จงหาเวกเตอรและขนาดของเวกเตอร 퐴퐵⃗ จากเงื่อนไขตอไปนี้ 1) 퐴 = (−2,1,4), 퐵 = (−3, −1, 5)

2) 퐴 = (−3, −5, −4), 퐵 = (−2, −1, 3)

3. ให 퐴퐵⃗ =−31

−2และ จุด퐴 = (−2,4,5) จงหาพิกัดจุด 퐵


퐸푥4. ให 퐴퐵⃗ =−3−14

และ จุด퐵 = (−1,2, −6) จงหาพิกัดจุด 퐴

วิธีทํา 퐴퐵⃗ = −3−14

ถา 퐵 = (−1,2, −6)

∴ พิกัดจุด 퐴 = (−1 − (−3),2 − (−1), −6 − (4))

= (2,3, −10) 퐴푛푠.

퐸푥5. ให 푃 แบง 퐴(−1,5, −2)퐵(4, −5,8)

เปนอัตราสวน 퐴푃퐴퐵 =

25 จงหาพิกัดจุด 푃

และจงหา 퐴푃⃗ และ 퐴푃⃗

วิธีทํา ใหจุด 푃 = (푥, 푦, 푧) แบง 퐴퐵 เปนอัตราสวน 퐴푃

퐴퐵=

2

5

จากสูตร 푥 = x1 + 푟(x2 − x1), 푦 = y1 + 푟 y2 − y1 ,

푧 = z + 푟(z − z )

∴ 푥 = −1 +2

54 − (−1) = 1

∴ 푦 = 5 +2

5−5 − (5) = 1

∴ 푧 = −2 +2

58 − (−2) = 2

∴ 푃 = (1,1,2)

∴ 퐴(−1,5, −2)푃(1,1,2)⃗ =1 − (−1)1 − (5)

2 − (−2)=

2−44

∴ 퐴푃⃗ = 2 + (−4) + 4

= √4 + 16 + 16 = 6 퐴푛푠.

4. ให 퐴퐵⃗ =2

−3−4

และ จุด퐵 = (1, −2, −5) จงหาพิกัดจุด 퐴

5. ให 푃 แบง 퐴(2,5, −2)퐵(−8, −15,3)

เปนอัตราสวน 퐴푃퐴퐵 =

45 จงหาพิกัดจุด 푃

และจงหา 퐴푃⃗ และ 퐴푃⃗

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 7 퐸푥6. กําหนดให 퐴 = (−3,1,2), 퐵 = (−1, −2,8)

จงหาเวกเตอร 14 หนวยที่มีทิศตรงขามกับ 퐴퐵⃗

วิธีทํา 퐴퐵⃗ = x2 − x1y2 − y1z2 − z1

=−1 − (−3)−2 − (1)8 − (2)

=2

−36

퐴퐵⃗ = 2횤̅ − 3횥̅ + 6푘

จาก 퐴퐵⃗ = (x − x ) + (y − y ) + (z − z )

∴ 퐴퐵⃗ = (2) + (−3) + (6)

= √4 + 9 + 36 = √49 = 7

∴ เวกเตอร 14 หนวยที่มีทิศตรงขามกับ 퐴퐵⃗ = −14퐴퐵⃗

퐴퐵⃗

= −147

2−36

=−46

−12 퐴푛푠.

퐸푥7. ให 퐴퐵⃗ มีทิศตรงขามกับเวกเตอร 푣̅ = 3횤̅ − 2횥̅ + 6푘

และ 퐴퐵⃗ = 21 ถา 퐴 = (2,1,0) จงหาพิกัดจุด 퐵

วิธีทํา 퐴퐵⃗ = −21푣

|푣| = −213푖 ̅ − 2푗 ̅ + 6푘

32 + (−2)2 + 62

퐴퐵⃗ = −213횤̅ − 2횥̅ + 6푘√9 + 4 + 36

= −217

3−26

=−96

−18

ถา 퐴 = (2,1,0) ∴ พิกัดจุด 퐵 = (−7,7, −18) 퐴푛푠.

퐸푥8. ให 푣⃗ =−231

, 푢⃗ =12

−2 จงหา |3푣̅ − 2푢|

วิธีทํา 3푣 − 2푢 = 3−231

− 212

−2=

−857

|3푣̅ − 2푢| = (−8) + 5 + 7

= √64 + 25 + 49 = √138 퐴푛푠.

6. กําหนดให 퐴 = (−2, −1,3), 퐵 = (0,1,4)

จงหาเวกเตอร 12 หนวยที่มีทิศตรงขามกับ 퐴퐵⃗

7. ให 퐴퐵⃗ มีทิศตรงขามกับเวกเตอร 푣̅ = 3횤̅ − 12횥̅ + 4푘

และ 퐴퐵⃗ = 26 ถา 퐴 = (−2,1, −3) จงหาพิกัดจุด 퐵

8. ให 푣⃗ =1

−3−2

, 푢⃗ =−21

−1 จงหา |2푣̅ − 3푢|


퐸푥9. ให 퐴퐵⃗ =213

, 퐵퐶⃗ =−32

−1, 퐷퐶⃗ =

102

จงหา 퐴퐷⃗ − 2 퐷퐵⃗

วิธีทํา 퐴퐷⃗ = 퐴퐵⃗ + 퐵퐶⃗ + 퐶퐷⃗ = 퐴퐵⃗ + 퐵퐶⃗ − 퐷퐶⃗

=213

+−32

−1−

102

=−230

퐷퐵⃗ = 퐷퐶⃗ + 퐶퐵⃗ = 퐷퐶⃗ − 퐵퐶⃗

=102

−−32

−1=

4−23

퐴퐷⃗ − 2 퐷퐵⃗ =−230

− 24

−23

=−10

7−6

퐴퐷⃗ − 2 퐷퐵⃗ = (−10) + 7 + (−6)

= √100 + 49 + 36 = √185 퐴푛푠.

퐸푥10. ให 퐴퐵⃗ =−212

, 퐴퐶⃗ =−13

−2, 퐷퐴⃗ =

3−21

จงหา 퐵퐷⃗ − 2 퐶퐵⃗

วิธีทํา 퐵퐷⃗ = 퐵퐴⃗ + 퐴퐷⃗ = −퐴퐵⃗ − 퐴퐷⃗

= −−212

−3

−21

=−11

−3

퐶퐵⃗ = 퐶퐴⃗ + 퐴퐵⃗ = −퐴퐶⃗ + 퐴퐵⃗

= −−13

−2+

−212

=−1−24

퐵퐷⃗ − 2 퐶퐵⃗ =−11

−3− 2

−1−24

=15

−11

퐵퐷⃗ − 2 퐶퐵⃗ = 1 + 5 + (−11)

= √1 + 25 + 121 = √147 퐴푛푠.

9. ให 퐴퐵⃗ =1

−2−1

, 퐵퐶⃗ =342

, 퐷퐶⃗ =−211

퐷퐸⃗ =0

−11

จงหา 퐴퐷⃗ − 3 퐸퐵⃗

10. ให 퐴퐵⃗ =−11

−2, 퐴퐶⃗ =

−2−13

, 퐴퐷⃗ =3

−22

จงหา 퐵퐷⃗ − 3 퐶퐵⃗

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 9 퐸푥11. กําหนด ∆퐴퐵퐶 ดังรูป

โดยมี 퐴퐹: 퐹퐵 = 1: 2

퐴퐺: 퐺퐷 = 1: 4

퐴퐸: 퐸퐶 = 1: 3

퐵퐷: 퐷퐶 = 2: 3

퐴퐹⃗ =13

−1 , 퐴퐸⃗ =

213

จงหา 퐴퐺⃗

วิธีทํา 퐴퐹⃗ =1

3퐴퐵⃗ , ∴ 퐴퐵⃗ = 3퐴퐹⃗

퐴퐸⃗ =14 퐴퐶⃗ , ∴ 퐴퐶⃗ = 4퐴퐸⃗

퐴퐺⃗ =15 퐴퐷⃗ , ∴ 퐴퐷⃗ = 5퐴퐺⃗

퐴퐷⃗ =15 2퐴퐶⃗ + 3퐴퐵⃗

=15 2 4퐴퐸⃗ + 3 3퐴퐹⃗

= 15 (8 퐴퐸⃗ + 9퐴퐹⃗)

=15 8

213

+ 913

−1=

15

253515

=573

∴ 퐴퐷⃗ = 5 + 7 + 3

= √25 + 49 + 9 = √83

∴ 퐴퐺⃗ =15 퐴퐷⃗

=15 √83 퐴푛푠.

11. กําหนด ∆퐴퐵퐶 ดังรูป

โดยมี 퐴퐹: 퐹퐵 = 1: 4

퐴퐺: 퐺퐷 = 1: 2

퐴퐸: 퐸퐶 = 1: 5

퐵퐷: 퐷퐶 = 1: 4

퐴퐹⃗ =12

−1 ,

퐴퐸⃗ =−210

จงหา 퐴퐺⃗

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 10 퐸푥12. กําหนด ⊡ 퐴퐵퐶퐷เป็นสีเหลียมด้านขนาน ดังรูป

โดยมี 퐴퐺: 퐺퐵 = 2: 3 , 퐵퐹: 퐹퐶 = 1: 3

퐷퐸: 퐸퐶 = 3: 2 และ 퐴퐵⃗ =10−5

−15 , 퐴퐷⃗ =

48

−12

จงหา 퐺퐹⃗ + 퐺퐸⃗ + 퐺퐷⃗

วิธีทํา 퐺퐵⃗ =3

5퐴퐵⃗, 퐵퐹⃗ =

1

4퐵퐶⃗ =

1

4퐴퐷⃗

퐺퐹⃗ = 퐺퐵⃗ + 퐵퐹⃗ =35 퐴퐵⃗ +

14 퐴퐷⃗

퐺퐸⃗ = 퐺퐵⃗ + 퐵퐶⃗ + 퐶퐸⃗

=35 퐴퐵⃗ + 퐴퐷⃗ −

25 퐴퐵⃗ =

15 퐴퐵⃗ + 퐴퐷⃗

퐺퐷⃗ = 퐺퐴⃗ + 퐴퐷⃗

= −25 퐴퐵⃗ + 퐴퐷⃗

∴ 퐺퐹⃗ + 퐺퐸⃗ + 퐺퐷⃗

= 35 퐴퐵⃗ +

14 퐴퐷⃗ +

15 퐴퐵⃗ + 퐴퐷⃗ + −

25 퐴퐵⃗ + 퐴퐷⃗

=25 퐴퐵⃗ +

94 퐴퐷⃗

=25

10−5

−15+

94

48

−12

=4

−2−6

+9

18−27

=1316

−33 퐴푛푠.

12. กําหนด ⊡ 퐴퐵퐶퐷เป็นสีเหลียมด้านขนาน ดังรูป

โดยมี 퐴퐺: 퐺퐵 = 3: 2 , 퐵퐹: 퐹퐶 = 2: 3

퐷퐸: 퐸퐶 = 1: 4 และ 퐴퐵⃗ =0

−510

, 퐴퐷⃗ =5

10−5

จงหา 퐺퐹⃗ + 퐺퐸⃗ + 퐺퐷⃗

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 11 퐸푥13. กําหนด กลองดานขนาน ดังรูป

โดยมี 퐺푀: 푀퐻 = 2: 3 , 퐻푁: 푁퐸 = 1: 4

퐴퐹⃗ =1

−2−3

, 퐴퐷⃗ =50

−10, 퐴퐵⃗ =

−105

15

จงหา 퐴푀⃗ + 퐴푁⃗

วิธีทํา 퐴푀⃗ = 퐴퐹⃗ + 퐹퐺⃗ + 퐺푀⃗

= 퐴퐹⃗ + 퐴퐵⃗ +25 퐺퐻⃗

= 퐴퐹⃗ + 퐴퐵⃗ +25 퐴퐷⃗

퐴푁⃗ = 퐴퐷⃗ + 퐷퐸⃗ + 퐸푁⃗

= 퐴퐷⃗ + 퐷퐸⃗ +45 퐸퐻⃗

= 퐴퐷⃗ + 퐴퐹⃗ +45 퐴퐵⃗

∴ 퐴푀⃗ + 퐴푁⃗

= 퐴퐹⃗ + 퐴퐵⃗ +25 퐴퐷⃗ + 퐴퐷⃗ + 퐴퐹⃗ +

45 퐴퐵⃗

= 2퐴퐹⃗ +95 퐴퐵⃗ +

75 퐴퐷⃗

= 21

−2−3

+95

−105

15 +

75

50

−10

= −957

퐴푛푠.

13. กําหนด กลองดานขนาน ดังรูป

โดยมี 퐺푀: 푀퐻 = 1: 4 , 퐻푁: 푁퐸 = 3: 1

퐴퐹⃗ =0

−48

, 퐴퐷⃗ =−50

10, 퐴퐵⃗ =

−123

จงหา 퐴푀⃗ + 퐴푁⃗


퐸푥14. กําหนดให 푢⃗ =3

−1−2

, 푣⃗ =123

และ θ เปนมุมระหวางเวกเตอร 푢⃗ และ 푣⃗

จงหา 푢⃗ ∙ 푣⃗ และ 푐표푠휃

วิธีทํา 푢⃗ ∙ 푣⃗ = 푥1푥2 + 푦1푦2 + 푧1푧2

푢⃗ ∙ 푣⃗ = (3)(1) + (−1)(2) + (−2)(3) = −5 퐴푛푠.

푐표푠휃 = 푢⃗ ∙ 푣⃗

| 푢⃗| 푣̅⃗

=−5

3 + (−1) + (−2) √1 + 2 + 3

=−5

√9 + 1 + 4 √1 + 4 + 9

=−5

√13 √13 =

−5 13 퐴푛푠.

퐸푥15. กําหนดให 푢⃗ =101

, 푣⃗ =213

, 푤⃗ =3

−2−1

และ θ เปนมุมระหวางเวกเตอร 2푢⃗ − 3푣⃗ กับ 푤⃗

จงหา 푐표푠휃

วิธีทํา 2 푢⃗ − 3푣⃗ = 2101

− 3213

=−4−3−7

(2 푢⃗ − 3푣⃗) ∙ 푤⃗ =−4−3−7

∙3

−2−1

= (−4)(3) + (−3)(−2) + (−7)(−1)

= −12 + 6 + 7 = 1

푐표푠휃 = (2 푢⃗ − 3푣⃗) ∙ 푤⃗| 2 푢⃗ − 3푣⃗||푤⃗|

=1

√16 + 9 + 49 √9 + 4 + 1

=1

√74 √14 =

1 √1036

퐴푛푠.

14. กําหนดให 푢⃗ =3

−6−2

, 푣⃗ =−1−22

และ θ เปนมุมระหวางเวกเตอร 푢⃗ และ 푣⃗

จงหา 푢⃗ ∙ 푣⃗ และ 푐표푠휃

15. กําหนดให 푢⃗ =101

, 푣⃗ =212

, 푤⃗ =2

−21

และ θ เปนมุมระหวางเวกเตอร 3푢⃗ − 2푣⃗ กับ 푤⃗

จงหา 푐표푠휃

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 13 퐸푥16. ให A = (1, −1,0), B = (3,1, −1), C = (−1,2,6)

จงหา 퐴퐵⃗ ∙ 퐴퐶⃗, 퐵퐶⃗ ∙ 퐵퐴⃗ , 퐶퐴⃗ ∙ 퐶퐵⃗ , cosA, cosB, cosC

วิธีทํา 퐴퐵⃗ =3 − (1)

1 − (−1)−1 − (0)

=22

−1∴ 퐵퐴⃗ =

−2−21

퐴퐵⃗ = 퐵퐴⃗ = 2 + 2 + (−1) = √9 = 3

퐴퐶⃗ =−1 − (1)2 − (−1)6 − (0)

=−236

∴ 퐶퐴⃗ = 2

−3−6

퐴퐶⃗ = 퐶퐴⃗ = (−2) + 3 + 6 = √49 = 7

퐵퐶⃗ =−1 − (3)2 − (1)

6 − (−1)=

−417

∴ 퐶퐵⃗ = 4

−1−7

퐵퐶⃗ = 퐶퐵⃗ = (−4) + 1 + 7 = √66

퐴퐵⃗ ∙ 퐴퐶⃗ =22

−1∙

−236

= −4 + 6 − 6 = −4 Ans.

퐵퐶⃗ ∙ 퐵퐴⃗ =−417

∙−2−21

= 8 − 2 + 7 = 13 Ans.

퐶퐴⃗ ∙ 퐶퐵⃗ =2

−3−6

∙4

−1−7

= 8 + 3 + 42 = 53 Ans.

푐표푠퐴 = 퐴퐵⃗ ∙ 퐴퐶⃗퐴퐵⃗ 퐴퐶⃗

=−4

(3)(7) = −4

21 퐴푛푠.

푐표푠퐵 = 퐵퐶⃗ ∙ 퐵퐴⃗퐵퐶⃗ 퐵퐴⃗

=13

(√66 )(3)=

133√66

퐴푛푠.

푐표푠퐶 = 퐶퐴⃗ ∙ 퐶퐵⃗퐶퐴⃗ 퐶퐵⃗

=53

(7)(√66)=

537√66

퐴푛푠.

16. ให A = (2,2,0), B = (0,1,2), C = (−1,4,6)

จงหา 퐴퐵⃗ ∙ 퐴퐶⃗, 퐵퐶⃗ ∙ 퐵퐴⃗ , 퐶퐴⃗ ∙ 퐶퐵⃗ , cosA, cosB, cosC

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 14 퐸푥17. ให A = (2, −1,1), B = (0,1,2), C = (−1,2, −2)

퐶퐷⃗ ที่มีขนาด 6 หนวย และมีทิศทาง ตรงขามกับ 퐴퐵⃗

จงหา พิกัดของจุด 퐷

วิธีทํา 퐴퐵⃗ =0 − (2)

1 − (−1)2 − (1)

=−221

퐴퐵⃗ = (−2) + 2 + 1 = √9 = 3

เวกเตอร 1 หนวยที่มีทิศทางตรงขามกับ 퐴퐵⃗ = −퐴퐵⃗퐴퐵⃗

∴ 퐶퐷⃗ = −6퐴퐵⃗퐴퐵⃗

=−63

−221

=4

−4−2

∴ 퐷 = (−1 + 4,2 − 4, −2 − 2) = (3, −2, −4) 퐴푛푠.

퐸푥18. ให 푢⃗ = 3횤⃗ + 7횥⃗ − 2푘⃗ , 푣⃗ = 5횤⃗ − 3횥⃗ − 3푘⃗

푤⃗ = 횥⃗ − 푘⃗

จงหา เวกเตอรคูใดตั้งฉากกัน

วิธีทํา 푢⃗ จะตั้งฉากกับ 푣⃗ กตอเมื่อ 푢⃗ ∙ 푣⃗ = 0

푢⃗ =37

−2 , 푣⃗ =

5−3−3

푤⃗ = 01

−1

푢⃗ ∙ 푣⃗ = (3)(5) + (7)(−3) + (−2)(−3) = 0

푢⃗ ∙ 푤⃗ = (3)(0) + (7)(1) + (−2)(−1) = 9

푣⃗ ∙ 푤⃗ = (5)(0) + (−3)(1) + (−3)(−1) = 0

∴ 푢⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗ และ 푤⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗ Ans.

퐸푥19 จงหาคา x เมื่อ 푢⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗

푣⃗ = 4횤⃗ − 횥⃗ + 2푘⃗, 푢⃗ = 횤⃗ + (x − 1)횥⃗ − (x + 1)푘⃗

วิธีทํา 푢⃗ จะตั้งฉากกับ 푣⃗ กตอเมื่อ 푢⃗ ∙ 푣⃗ = 0

푢⃗ =4

−12

, 푣⃗ =1

푥 − 1−x − 1

푢⃗ ∙ 푣⃗ = (4)(1) + (−1)(푥 − 1) + (2)(−푥 − 1) = 0

4 − 푥 + 1 − 2푥 − 2 = 0 ∴ 푥 = 1 퐴푛푠.

17. ให A = (3, −1,2), B = (5,1,3), C = (1, −3, −2)

퐶퐷⃗ ที่มีขนาด 9 หนวย และมีทิศทาง ตรงขามกับ 퐴퐵⃗

จงหา พิกัดของจุด 퐷

18. ให 푢⃗ = 4횤⃗ + 3횥⃗ − 푘⃗ , 푣⃗ = 2횤⃗ − 3횥⃗ − 푘⃗

푤⃗ = 4횥⃗ + 12푘⃗

จงหา เวกเตอรคูใดตั้งฉากกัน

퐸푥19 จงหาคา x เมื่อ 푢⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗

푣⃗ = 3횤⃗ − 2횥⃗ + 푘⃗, 푢⃗ = 횤⃗ + 푥횥⃗ + 5푘⃗

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 15 퐸푥20. ให 푢⃗ = 2횤⃗ − 횥⃗ + 3푘⃗ , 푣⃗ = 7횥⃗ − 4푘⃗

จงหา 푢⃗ × 푣⃗ และ 푣⃗ × 푢⃗

วิธีทํา แบบที่ 1

푢⃗ × 푣⃗ = 2

−13

×07

−4=

(−1)(−4) − (7)(3)(3)(0) − (−4)(2)(2)(7) − (0)(−1)

=4 − 210 + 8

14 − 0=

−178

14 퐴푛푠.

푣⃗ × 푢⃗ = 07

−4×

2−13

=(7)(3) − (−1)(−4)(−4)(2) − (3)(0)(0)(−1) − (2)(7)

=21 − 4−8 − 00 − 14

=17−8

−14 퐴푛푠.

∗∗∗∗ 푢⃗ × 푣⃗ = − 푣⃗ × 푢⃗ ∗∗∗∗∗∗∗


푢⃗ × 푣⃗ = 2

−13

×07

−4=

횤̅ 횥̅ 푘2 −1 30 7 −4

= −1 37 −4 횤̅ − 2 3

0 −4 횥̅ + 2 −10 7 푘

= (4 − 21)횤̅ − (−8 − 0)횥̅ + (14 − 0)푘

= −17횤̅ + 8횥̅ + 14푘

= −17

814

퐴푛푠.

푣⃗ × 푢⃗ = 07

−4×

2−13

=횤̅ 횥̅ 푘0 7 −42 −1 3

= 7 −4−1 3 횤̅ − 0 −4

2 3 횥̅ + 0 72 −1 푘

= (21 − 4)횤̅ − (0 − (−8))횥̅ + (0 − 14)푘

= 17횤̅ − 8횥̅ − 14푘

=17−8

−14 퐴푛푠.

퐸푥20.1. ให 푢⃗ = 횤⃗ − 2횥⃗ − 3푘⃗ , 푣⃗ = 2횤⃗ − 3횥⃗

จงหา 푢⃗ × 푣⃗ และ 푣⃗ × 푢⃗ ใชรูปแบบที่ 1

퐸푥20.2. ให 푢⃗ = 2횤⃗ − 횥⃗ + 2푘⃗ , 푣⃗ = 2횥⃗ − 3푘⃗

จงหา 푢⃗ × 푣⃗ และ 푣⃗ × 푢⃗ ใชรูปแบบที่ 2

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 16 퐸푥21. ให 푢⃗ = 2횤⃗ − 횥⃗ + 푘⃗ , 푣⃗ = 횤⃗ − 횥⃗ + 2푘⃗

จงหา เวกเตอร 1 หนวยที่ตั้งฉากกับ 푢⃗ และ 푣⃗

วิธีทํา ให 푤⃗ เปนเวกเตอร 1 หนวยที่ตั้งฉากกับ 푢⃗ และ 푣⃗

∴ 푤⃗ = ± 푢⃗ × 푣⃗

| 푢⃗ × 푣⃗|

จาก 푢⃗ × 푣⃗ = 2

−11

×1

−12

=(−1)(2) − (−1)(1)

(1)(1) − (2)(2)(2)(−1) − (1)(−1)

=−2 + 11 − 4

−2 + 1=

−1−3−1

|푢⃗ × 푣⃗| = (−1) + (−3) + (−1) = √11

∴ 푤⃗ = ± 푢⃗ × 푣⃗

| 푢⃗ × 푣⃗| = ±1

√11

−1−3−1

퐴푛푠.

퐸푥22. ให 푢⃗ = 횤⃗ − 2횥⃗ + 3푘⃗ , 푣⃗ = 2횤⃗ − 3횥⃗ + 푘⃗

จงหา เวกเตอร 5 หนวยที่มีทิศทางตรงขามกับ 푢⃗ × 푣⃗

วิธีทํา ให 푤⃗ เปนเวกเตอร 5 หนวยที่มีทิศทางตรงขามกับ 푢⃗ × 푣⃗

∴ 푤⃗ = −5 푢⃗ × 푣⃗

| 푢⃗ × 푣⃗|

จาก 푢⃗ × 푣⃗ = 1

−23

×2

−31

=(−2)(1) − (−3)(3)

(3)(2) − (1)(1)(−3)(1) − (2)(−2)

=−2 + 96 − 1

−3 + 4=

751

|푢⃗ × 푣⃗| = (7) + (5) + (1) = √75 = 5√3

∴ 푤⃗ = −5 푢⃗ × 푣⃗

| 푢⃗ × 푣⃗|

= −5

5√3

751

= −1

√3

751

퐴푛푠.

21. ให 푢⃗ = 3횤⃗ − 2횥⃗ + 푘⃗ , 푣⃗ = 2횤⃗ − 3횥⃗ + 2푘⃗

จงหา เวกเตอร 1 หนวยที่ตั้งฉากกับ 푢⃗ และ 푣⃗

22. ให 푢⃗ = 4횤⃗ − 횥⃗ + 2푘⃗ , 푣⃗ = 횤⃗ − 3횥⃗ − 2푘⃗

จงหา เวกเตอร 10 หนวยที่มีทิศทางตรงขามกับ 푢⃗ × 푣⃗

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 17 퐸푥23. ให | 푢⃗ × 푣⃗| = 5 17 , |푢⃗| = 7 , | 푣⃗| = 3

ถา θ เปนมุมแหลม ระหวาง 푢⃗ กับ 푣⃗

จงหา 1) 푡푎푛휃 2) 푢⃗ ∙ 푣⃗

วิธีทํา ถา θ เปนมุมแหลม ระหวาง 푢⃗ กับ 푣⃗

∴ จาก | 푢⃗ × 푣⃗| = |푢⃗|| 푣⃗|sinθ

∴ sinθ = |푢⃗ × 푣⃗|| 푢⃗|| 푣⃗| =

5√17(7)(3) =

5√1721

จาก รูป

∴ tanθ =5√17

4 Ans.

푢⃗ ∙ 푣⃗ = |푢⃗|| 푣⃗|cosθ = (7)(3) = 4 Ans.

퐸푥24. ให 푢⃗ ∙ 푣⃗ = 10, |푢⃗| = 13 , | 푣⃗| = 3


จงหา 1) 푡푎푛휃 2) | 푢⃗ × 푣⃗|

วิธีทํา ถา θ เปนมุมแหลม ระหวาง 푢⃗ กับ 푣⃗

จาก 푢⃗ ∙ 푣⃗ = |푢⃗|| 푣⃗|cosθ

∴ 푐표푠θ = 푢⃗ ∙ 푣⃗

|푢⃗|| 푣⃗| =10

(13)(3) =1039

จาก รูป

∴ tanθ =√1421

39 Ans.

∴ จาก | 푢⃗ × 푣⃗| = |푢⃗|| 푣⃗|sinθ = (13)(3)√1421

39

∴ | 푢⃗ × 푣⃗| = √1421 퐴푛푠.

23. ให | 푢⃗ × 푣⃗| = 10 2 , |푢⃗| = 17 , | 푣⃗| = 3


จงหา 1) 푡푎푛휃 2) 푢⃗ ∙ 푣⃗

24. ให 푢⃗ ∙ 푣⃗ = 89, |푢⃗| = 13 , | 푣⃗| = 7


จงหา 1) 푡푎푛휃 2) | 푢⃗ × 푣⃗|

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 18 퐸푥25. ให 푢⃗ = 2횤⃗ − 3횥⃗ + 푘⃗ , 푣⃗ = 횤⃗ + 2횥⃗ + 3푘⃗

จงหาแสดงวา 푢⃗ × 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푢⃗ และ 푢⃗ × 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗

วิธีทํา 푢⃗ × 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푢⃗ กตอเมื่อ (푢⃗ × 푣⃗) ∙ 푢⃗ = 0

푢⃗ × 푣⃗ =2

−31

×123

= −11−57

(푢⃗ × 푣⃗) ∙ 푢⃗ =−11−57

∙2

−31

= (−11)(2) + (−5)(−3) + (7)(1)

= −22 + 15 + 7 = 0 ∴ 푢⃗ × 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푢⃗ 퐴푛푠.

푢⃗ × 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗ กตอเมื่อ (푢⃗ × 푣⃗) ∙ 푣⃗ = 0

(푢⃗ × 푣⃗) ∙ 푣⃗ =−11−57

∙123

= (−11)(1) + (−5)(2) + (7)(3)

= −11 − 10 + 21 = 0 ∴ 푢⃗ × 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗ 퐴푛푠.

퐸푥26. ให ⊡ 퐴퐵퐶퐷 เปนส่ีเหล่ียมดานขนาน

มี A = (1, −2,3), B = (4,3, −1), C = (5,7, −3),

퐷 = (2,2,1) จงหาพื้นที่ ⊡ 퐴퐵퐶퐷

วิธีทํา พื้นที่ ⊡ 퐴퐵퐶퐷 = 퐴퐵⃗ × 퐴퐷⃗

퐴퐵⃗ =4 − (1)

3 − (−2)−1 − (3)

= 35

−4

퐴퐷⃗ =2 − (1)

2 − (−2)1 − (3)

= 14

−2

퐴퐵⃗ × 퐴퐷⃗ =35

−4×

14

−2=

627

พื้นที่ ⊡ 퐴퐵퐶퐷 = 퐴퐵⃗ × 퐴퐷⃗

= 6 + 2 + 7

= √36 + 4 + 49 = √89 ตารางหนวย 퐴푛푠.

25. ให 푢⃗ = 3횤⃗ − 2횥⃗ − 푘⃗ , 푣⃗ = 횤⃗ + 3횥⃗ + 푘⃗

จงหาแสดงวา 푢⃗ × 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푢⃗ และ 푢⃗ × 푣⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗

26. ให ⊡ 퐴퐵퐶퐷 เปนส่ีเหล่ียมดานขนาน

มี A = (1,2, −1), B = (3,1,2), C = (−2, −1,1),

퐷 = (0, −2,4) จงหาพื้นที่ ⊡ 퐴퐵퐶퐷

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 19 퐸푥27. ให ⊡ 퐴퐵퐶퐷 เปนส่ีเหล่ียมใดๆ

มี A = (1,1, −2), B = (−2,1,1), C = (−3, −2,1),


วิธีทํา พื้นที่ △ 퐴퐵퐶 =1

2퐴퐵⃗ × 퐴퐶⃗

퐴퐵⃗ =−2 − (1)1 − (1)

1 − (−2)=

−303

퐴퐶⃗ =−3 − (1)−2 − (1)1 − (−2)

= −4−33

퐴퐵⃗ × 퐴퐶⃗ =−303

× −4−33

=9

−39

พื้นที่ △ 퐴퐵퐶 =1

2퐴퐵⃗ × 퐴퐶⃗

=12 9 + (−3) + 9

=12 √81 + 4 + 81 =

12 √166 ตารางหนวย 퐴푛푠.

พื้นที่ △ 퐴퐶퐷 =1

2퐴퐶⃗ × 퐴퐷⃗

퐴퐷⃗ =2 − (1)

−1 − (1)3 − (−2)

= 1

−25

퐴퐷⃗ × 퐴퐶⃗ =1

−25

× −4−33

=9

−23−11

พื้นที่ △ 퐴퐶퐷 =1

2퐴퐶⃗ × 퐴퐷⃗

=12 9 + (−23) + (−11)

=12 √81 + 529 + 121 =

12 √731 ตารางหนวย 퐴푛푠.

∴ พื้นที่ ⊡ 퐴퐵퐶퐷 = พื้นที่ △ 퐴퐵퐶 + พื้นที่ △ 퐴퐶퐷

= 12 √166 +

12 √731 =

12 √166 + √731 ตรน. 퐴푛푠.

27. ให ⊡ 퐴퐵퐶퐷 เปนส่ีเหล่ียมใดๆ

มี A = (1,2, −1), B = (−1,1,1), C = (−2, −1,1),


เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 20 퐸푥28. จงหาปริมาตรของกลองที่มี 퐴⃗ , 퐵⃗, 퐶⃗ เปนขอบของกลอง

โดยที่ 퐴⃗ =1

−23

, 퐵⃗ =−47

11, 퐶⃗ =

59

−1


ปริมาตรของกลอง = 퐴⃗ × 퐵⃗ ∙ 퐶⃗

=1 −2 3

−4 7 115 9 −1

1 −2

−4 75 9

= (−7 − 110 − 108) − (105 + 99 − 8)

= (−225) − (196) = −421

∴ ปริมาตรของกลอง = |−421| = 421 ลูกบาศกหนวย 퐴푛푠.


ปริมาตรของกลอง = 퐴⃗ × 퐵⃗ ∙ 퐶⃗

퐴⃗ × 퐵⃗ =1

−23

×−47

11=

−43−23−1

퐴⃗ × 퐵⃗ ∙ 퐶⃗ =−43−23−1

∙59

−1

= (−43)(5) + (−23)(9) + (−1)(−1)

= −215 − 207 + 1 = −421

퐴⃗ × 퐵⃗ ∙ 퐶⃗ = |−421| = 421

∴ ปริมาตรของกลอง = 431 ลูกบาศกหนวย 퐴푛푠.

퐸푥29. จงหา 푐표푠푖푛푒 ของมุมที่กําหนดทิศทางของ 퐴⃗


−36

วิธีทํา 퐴⃗ = 22 + (−3)2 + 62 = √4 + 9 + 36 = 7

∴ cosα =푥 퐴⃗

=27 퐴푛푠.

∴ cosβ =푦 퐴⃗

=−37 퐴푛푠.

∴ cosγ =푧 퐴⃗

=67 퐴푛푠.

28. จงหาปริมาตรของกลองที่มี 퐴⃗ , 퐵⃗, 퐶⃗ เปนขอบของกลอง

โดยที่ 퐴⃗ =−6−32

, 퐵⃗ =22

−1, 퐶⃗ = −

34

12

29. จงหา 푐표푠푖푛푒 ของมุมที่กําหนดทิศทางของ 퐴⃗


−412


แบบทดสอบ ชุดที ่1

1. นักสํารวจออกเดินทางในทิศ 060° เปนระยะทาง 5√3 กิโลเมตร

แลว ออกเดินทางตอไปในทิศ 150°เปนระยะทาง 5 กิโลเมตร

เขาจะอยูหางจากจุดเริ่มตนเปนระยะทางเทาใด

และอยูในทิศทางใดของจุดเริ่มตน … .

1. 5√3 กม. ทิศ 030°

2. 10√3 กม. ทิศ 060°

3. 10√3 กม. ทิศ 090°

4. 10 กม. ทิศ 090°

2. ให 퐴퐵⃗ =−43

−2 และ จุด 퐴 = (2,1, −3) จงหาจุด 퐵

1. (6, −2, −1)

2. (−2,4, −5)

3. (2,2,5)

4. (6,2,1)

3. ให 퐴퐵⃗ =−32

−1 และ จุด 퐵 คือ (3, −2, −1) จงหาจุด 퐴

1. (6,3, −2)

2. (6, −4,0)

3. (6,2,5)

4. (6, −2, −3)

4. ให 2−32 2

− 3푎푏 2

=01 푐

ถา 푢 =푎푏 푐

แลว | 푢| มีคาเทากับขอใด

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. กําหนดให 푢 = 23 , จุด 퐴 (1,2), 퐵(−4,3)

ถา 푤 =푎푏 และ 푤 = 5 푢 − 2퐴퐵⃗

แลว คาของ 1

2푎 + 푏 ตรงกับขอใด

1. 13

2. 23

3. 33

4. 43

6. ให 푢 =< 1, −3,2 > , 푣̅ =< −1,1,1 >

และ 푤 =< 2,6,9 > จงหา 2 푢 − ( 푣̅ − 푤)

1. < 5,1,12 >

2. < 5,1, −12 >

3. < 5, −1,12 >

4. < −5, −1, −12 >

7. จงพิจารณาวา รูปสามเหล่ียมที่มีจุดยอดที่ A(1, 2, 1),

B(– 3, 7, 9) และ C(11, 4, 2) เปนรูปสามเหล่ียม ชนิดใด

1. สามเหล่ียมดานเทา

2. สามเหล่ียมหนาจ่ัว

3. สามเหล่ียมมุมฉาก

4. สามเหล่ียมดานไมเทา

8. จงหา AC เมื่อ

542

AB และ

021

BC

1. √10

2. √38

3. √42

4. √52

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 22 9. ให 푢 = 2횤̅ + 횥̅ − 2푘 และ 푣̅ = 3횤̅ + 2횥̅ − 4푘 และ

푤 = −2횤̅ + 3횥̅ + 2푘 จงหาเวกเตอรขนาดเทากับ|2푢 − 푣̅|

และมีทิศเดียวกับ 푢 + 푤 1. 횥 ̅

2. 4 횥 ̅

3. 4√3 횥 ̅

4. √74 횥 ̅

10. ให 푢 = 912 , 푣̅ = −6

−8 จงหาเวกเตอรขนาด 5 หนวย

ที่มีทิศทางตรงขามกับ 푢 − 3푣 1. 3횤̅ − 4횥 ̅

2. 3횤̅ + 4횥 ̅

3. − 3횤̅ − 4횥 ̅

4. − 3횤̅ + 4횥 ̅

11. กําหนดจุด A(−6,9,0), B(−4,1,3)แลว 퐴퐵⃗ ตรงกับขอใด

1. √67 2. √77 3. √87 4. √97

12. ให 푢 =1

−4 2

, 푣̅ = 36

−4, 푤 =

77 9

แลว ( 푢 − 푣̅) + 푤 ตรงกับขอใด

1. 5 횤̅ − 3횥̅ + 15푘

2. − 5 횤̅ + 3횥̅ + 15푘

3. 5 횤̅ − 3횥̅ − 15푘

4. − 5 횤̅ − 3횥̅ + 15푘

13. กําหนดให 푃(– 4, 6, 2)เปนจุดกึ่งกลางของสวนของ เสนตรง 퐴퐵

ซึ่งมีจุด 퐴 คือ (– 3, 4, 1) และ 퐶 เปนโพรเจกชันของจุด 푃

บนระนาบ 푋푍 ความยาวของสวนของเสนตรง 퐵퐶 ตรงกับขอใด

1. √66 หนวย

2. √69 หนวย

3. √79 หนวย

4. √149 หนวย

14. ให 푢 = 횤̅ − 3횥̅ + 2푘 , 푣̅ = −횤̅ + 횥̅ + 푘

และ w = 2ı̅ + 6ȷ̅ + 9k แลวคาของ 푣̅ + 2(푢 − 3푤)

มีคาเทาไร

1. 11 횤̅ + 41횥̅ + 49푘

2. 11 횤̅ − 41횥̅ − 49푘

3. − 11 횤̅ − 41횥̅ − 49푘

4. − 11 횤̅ + 41횥̅ − 49푘

15. ให (−1, −4,8) เปนจุดกึ่งกลางระหวาง จุด 푃(푥 , 푦 , 푧 )

และจุด 푄(2,3,6) แลว 푃푄⃗ ตรงกับขอใด

1. − 6 횤̅ − 14횥̅ + 4푘

2. 6 횤̅ + 14횥̅ − 4푘

3. 3 횤̅ + 7횥̅ − 2푘

4. − 3 횤̅ − 7횥̅ + 2푘

16. ให 푢 = 2횤̅ − 2횥̅ + 푘 , 퐴 = (1,0,0), 퐵 = (푎, 푏, 푐)

และ 퐴퐵⃗ เปนเวกเตอร 6 หนวย มีทิศทางเดียวกับ 푢

จงหาวา 푎 + 푏 + 푐 มีคาเทาไร 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 23 17. พิจารณาเวกเตอรที่กําหนดใหตอไปนี้

ก. PQ ⃗มีจุดเริ่มตนที่ P(1, 4, 3)และจุดส้ินสุดที่ Q(– 2, 0, 1)

ข. 푢 = 3횤̅ + 4횥̅ + 2푘

ค. OA ⃗มีจุดเริ่มตนที่จุดกําเนิด และจุดส้ินสุดที่ A(5, 0, 2)

แลว เวกเตอรใดบางที่ขนานกัน

1. PQ ⃗ ขนานกับ 푢

2. 푂퐴 ⃗ ขนานกับ 푢 3. 푂퐴 ⃗ ขนานกับ PQ ⃗ 4. 푂퐴 ⃗ ขนานกับ PQ ⃗และขนานกับ 푢 18. ให A(4, −2, −1), B(5, 1, 3) และ C(−1, 1, 4)

จงหาวา AB ⃗ + 3AC ⃗ + 2CB ⃗ มีคาเทากับขอใด

1. − 2 횤̅ − 12횥̅ + 17푘

2. − 횤̅ + 12횥̅ + 17푘

3. 횤 ̅ − 12횥̅ + 17푘

4. 횤 ̅ + 12횥̅ + 17푘

19. ขอใดเปนเวกเตอร 1 หนวยที่มีทิศทางตรงกันขามกับ

푣 = −3푖 ̅ + 4푗 ̅ + 12푘 เทากับขอใด

1. −3

13 횤̅ +4

13 횥̅ +1213 푘

2. 3

13 횤̅ −4

13 횥̅ −1213 푘

3. −3

13 횤̅ +4

13 횥̅ +1213 푘

4. 3

13 횤̅ −4

13 횥̅ −1213 푘

20. ให 푢 = 2횤̅ − 2횥̅ + 푘 และ A (1,2, −4)เปนจุดๆหนึ่ง

ถา 푢 มีทิศทางเดียวกับ AB ⃗ และ |AB ⃗ | = 9 หนวย

แลว จุด B มีคาเทากับขอใด

1. (3,0, −3)

2. (3, −6,3)

3. (7, −4, −1)

4. (7, −8,1)

21. กําหนดให 푎3 5

+4푏 2

−24

푐 =

31 5

ถา 푢 = 푎푏 푐

แลว |푢| มีคาตรงกับขอใด

1. 3 2. 5

3. 7 4. 9

22. กําหนดให 푢 = −3횤̅ + 4횥̅ − 푘

จงหาเวกเตอร 1 หนวยที่มีทิศทางเดียวกันกับ 푢

1. −1

√26 4 횤̅ − 횥̅ + 3푘

2. 1

√26 3 횤̅ + 4횥̅ − 푘

3. 1

√26 횤̅ − 4횥̅ + 3푘

4 −1

√26 3 횤̅ − 4횥̅ + 푘

23. สามเหล่ียม ABC มี AE , BF และ CD เปนเสนมัธยฐานของ

สามเหล่ียม ABC และให AC⃗ = 푢, BC⃗ = 푣

DC⃗ + AE⃗ + BF⃗ ใหอยูในรูปของ 푢 และ 푣 ตรงกับขอใด

1. 푢 + 푣̅

2. 푢 − 푣̅

3. 12 푢 +

12 푣̅

4 12 푢 −

12 푣̅

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 24 24. ให 푢 ≠ 0, 푣̅ ≠ 0 จงหาจํานวนจริง x ที่ทําให 푢//푣̅ เมื่อ 푢, 푣 มีทิศทางเดียวกัน จากสมการ

푢 + (푥 − 2x)푣̅ = 3x푢 − 푣̅

1. −∞, ∪ (1, ∞)

2. 13 , ∞

3. 13 , 1

4 −∞, − ∪ (1, ∞)

25. ระยะทางจากจุด (−2 , 5 , 4) ไปยังระนาบ 푥 푦 ตรงกับขอใด

1. 2

2. 3

3. 4

4. 5

26. กําหนดให 푢 = 3횤̅ − 횥̅ − 2푘 , 푣̅ = 횤̅ + 2횥̅ − 2푘

และ 푤 = 2푖 ̅ − 푗 ̅ + 푘

โดยมี 푎푢 + 푏푣 − 푐푤 = 푖 ̅ + 5푗 ̅ − 8푘

ถา 푥 = 푎푖 ̅ + 푏푗 ̅ + 푐푘 แลว |푥| มีคาตรงกับขอใด

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

27. นักสํารวจออกเดินทางในทิศ 030° เปนระยะทาง10 กิโลเมตร

แลว ออกเดินทางตอไปในทิศ 150°เปนระยะทาง 5 กิโลเมตร

เขาจะอยูหางจากจุดเริ่มตนเปนระยะทางเทาใด

และอยูในทิศทางใดของจุดเริ่มตน

1. 5√3 กม. ทิศ 030°

2. 5√3 กม. ทิศ 060°

3. 5√5 กม. ทิศ 030°

4. 5√5 กม. ทิศ 060°


1. ให 푐표푠훼푐표푠훽푐표푠훾 เปนโคไซน แสดงทิศทาง

ของ 퐴퐶⃗ เมื่อ 퐵퐴⃗ =64 6

และ 퐵퐶⃗ =85 7

แลว cos(훼 − 훽) มีคาตรงกับขอใด

1. 1 + √5

3

2. 1 − √5

3

3. 2 + √10

6

4. 2√10

6

2. ให 푐표푠훼푐표푠훽푐표푠훾 เปนโคไซน แสดงทิศทางของ 푢

ถา α = 45° และ 푐표푠훽 = 푡푎푛30° แลว 푠푖푛2γ มีคาเทาไร

1. 23

2. 34

3. 45

4. 56

3. เวกเตอร 푢 ซึ่งมีขนาดเทากับ 15 หนวย และ มีโคไซนแสดง

ทิศทาง เทากับ 2

3,1

3และ

2

3 ตามลําดับแลว 푢 ตรงกับขอใด

1. 2 횤̅ + 2횥̅ + 2푘

2. 5 횤̅ + 횥̅ + 5푘

3. 10 횤̅ + 5횥̅ + 10푘

4 5 횤̅ + 10횥̅ + 10푘

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 25 4. ให cos , cos , cos เปนโคไซนแสดงทิศทางของ 푢

คาของ 푠푖푛2α + 푠푖푛2β + 푠푖푛2γ เทากับขอใด

1. − 1 2. 0 3. 1 4. 2

5. กําหนดให 퐴 = (−1,0,2), 퐵 = (2,6,11) จงหาโคไซน แสดงทิศทางของ AB ⃗

1. 1

√7,

2

√7,

3

√7

2. 1

√14,

2√14

,3

√14

3. 3

√14,

6√14

,9

√14

4. 3

2√14,

6√14

,9

2√14

6. ให 푢 = 2횤̅ − 5횥̅ + 푘 , 푣̅ = 횤̅ + 2횥̅ − 푘

และ w = ı̅ + ȷ̅ + k โดยมี u ∙ 푎 = 2, v ∙ 푎 = 1,

และ w ∙ 푎 = 6 แลว |u − 푎| เทากับขอใด 1. √5 2. 2√5 3. √10 4. 2√10

7. ให 푢 =−2−7 2

, 푣̅ =42 1

, 푤 =61

−2

แลว (2 푢 + 3푣) ∙ 푤 มีคาเทากับขอใด

1. 45

2. 38

3. 26

4. 18

8. ให 푣̅ = 6횤̅ − 8횥 ̅, |푢| = 24 และ(푢 − 푣̅) ∙ 푣̅ = 20

ถา 휃 เปนมุมระหวาง 푢 กับ 푣̅

แลวคาของ ( 푢 ∙ 푣)푐표푠2휃 เปนเทาใด

1. 20

2. 30

3. 40

4. 50

9. ให 푢 =−24 5

, 푣̅ = 21

−8, 푤 =

6−5 −3

แลว ( 푢 − 3푤) ∙ (2푣̅ + 5푤) ตรงกับขอใด

1. − 871

2. − 1117

3. − 1331

4. − 1551

10. ถา 푢 และ 푣̅ เปนเวกเตอรหนึ่งหนวยที่ทํามุมกัน 120°

แลว มุมระหวาง 푢 + 푣 และ 푢 ตรงกับขอใด

1. 30°

2. 45°

3. 60°

4. 120°

11. กําหนด 퐴(1, −1), 퐵(5, −4) และ 푃(2,3)

เปนจุดในระนาบ 푋푌 ถา 푄 เปนจุดในระนาบ 푋푌

ที่ 푃푄⃗ = 2퐴퐵⃗ แลว 퐴푃⃗ ∙ 퐵푄⃗ เทากับขอใดตอไปนี ้ 1. − 9

2. − 1

3. 1

4. 9


12. ให 푢 =푥2 1

, 푣̅ =20 3

ถาคา 푠푖푛푒 ของมุมระหวาง

푢 กับ 푣 เทากับ 1 แลว คาของ 푥 ตรงกับขอใด

1. − 1.5

2. 1.5

3. − 3.0

4. 3.0

13. ให 푢 = 횤̅ + 2횥̅ − 푘 และ 푣̅ = 2횤̅ + 횥̅ + 4푘

และ θ เปนระหวาง ( 푢 + 푣) กับ (푢 − 푣)

แลว 푐표푠휃 มีคาเทากับขอใด

1. 13

2. −12

3. −15

4. −59

14. ให 푢 กับ 푣̅ ทํามุมตอกันเทากับ 60° โดยที ่|푢 + 푣̅ | = √37

และ| 푢 − 푣 | = √13 แลว | 푢| + | 푣 | มีคาเทากับขอใด

1. 1

2. 6

3. 7

4. 8

15. ให 푢 + 푣̅ = 2푤 และ 3| 푢| = 6| 푣̅| = 10| 푤|

และ θ เปนระหวาง 푣 กับ 푤 แลว 푐표푠휃 มีคาเทากับขอใด

1. − 35

2. −1320

3. −3940

4. −9

60

16. ให 푢 = 4횤̅ + 3횥 ̅ , |푢| = |푣̅|

และ |u + v| = 8 แลว 푢 ∙ 푣̅ มีคาเทาไร

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

17. ให ∆퐴퐵퐶 มี 퐴퐵⃗ = 푐, 퐵퐶⃗ = 푎, 퐶퐴⃗ = 푏,

และ a + b + c = √13

แลว 퐴퐵⃗ ∙ 퐵퐶⃗ + 퐵퐶⃗ ∙ 퐶퐴⃗ + 퐶퐴⃗ ∙ 퐴퐵⃗ เทากับขอใด

1. √132

2. −√13

2

3. √13

3

4. − √13

3

18. กําหนดให 푢, 푣̅ และ 푤 เปนเวกเตอรซึ่งมีสมบัติ |푢| = |푤|

และ |푢 − 푣| = | 푣 + 푤| ถามุมระหวาง 푢 และ 푣

มีขนาด 휋

5แลวมุมระหวาง 푣 และ 푤 มีขนาดเทาใด

1. 휋5

2. 2휋5

3. 3휋5

4. 4휋5

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 27 19. ให ∆퐴퐵퐶 มี A(3, −2, 1), B(5, 0, 2) และ C(1, 1, −5)

จงหาวา B퐴C มีคาเทากับขอใด

1. 푎푟푐푐표푠−421

2. 푎푟푐푐표푠4

21

3. 푎푟푐푐표푠−521

4. 푎푟푐푐표푠5

21

20. ให | 푢| = 3, | 푢| = 4 และ 푢 กับ 푣̅ ทํามุมกัน 60°

| 푢 − 푣̅| มีคาเทากับขอใด

1. 13

2. 37

3. √13

4. √37

21. ให | 푢| = 2, | 푣̅| = 3, | 푤| = 1, 푢 ∙ 푣̅ = 4,

푢 ∙ 푤 = 5, 푤 ∙ 푣̅ = 3

แลว | 푢 − 2푣̅ + 3푤| มีคาเทากับขอใด

1. 23

2. 27

3. √23

4. √27

22. ให 푢 = 횤̅ − 2횥̅ + 푘 และ 푣̅ = 푎횤̅ − 2횥̅ + 4푘

และ |푢 ∙ 푣 | = 3 แลว 푎 มีคาตรงกับขอใด

1. 5,7

2. − 5, −7

3. − 5, −9

4. − 5, −11

23. กําหนดให 푢 = 3횤̅ + 횥̅ − 푘 , 푣̅ = 2횤̅ − 횥̅ + 3푘

และ 푤 = 7푖 ̅ + 푗 ̅ + 푘 มี 푢 ∙ 푥 = 3, 푣 ∙ 푥 = 20,

푤 ∙ 푥̅ = 23 แลว | 푢 + 푥̅| มีคาตรงกับขอใด

1. √21

2. √29

3. √45

4. √46

24. กําหนดให |푢| = 4, | 푣̅| = 3และ|푢 + 푣̅| = 6

แลว |2푢 − 3푣| มีคาเทากับขอใด

1. √21

2. √39

3. √59

4. √79

25. กําหนดให 푢 = −2횤̅ + 3횥̅ − 푘 , 푣̅ = 횤̅ − 2횥̅ + 푘

แลว 3( 푢 + 푣) ∙ 2( 푢 − 푣) มีคาตรงกับขอใด

1. 45

2. 48

3. 50

4. 58



1. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 횥̅ × 횤̅ = − 푘, 횥̅ × 푘 = 횤 ̅, 횤 ̅ × 푘 = − 횥,̅

ข. 횤 ̅ × 횤̅ = 횥̅ × 횥̅ = 푘 × 푘 = 1

ค. 푢 × 푣̅ = 0 แสดงวา 푢 = 0 หรือ 푣̅ = 0

หรือ 푢 ขนานกับ 푣̅

ขอใดตอไปนี้กลาวไดถูกตอง

1. ถูกตองทุกขอ

2. ผิดทุกขอ 3. ขอ ก. ถูก ขอ ข. ผิด ขอ ค. ถูก 4. ขอ ก. ผิด ขอ ข. ถูก ขอ ค. ผิด

2. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 푖 ̅ × 푖 ̅ = 푗 ̅ × 푗 ̅ = 푘 × 푘 = 0

ข. 푖 ̅ × 푗 ̅ = 푘, 푗 ̅ × 푘 = 푖 ̅

ค. 푖 ̅ × 푘 = −푗,̅ 푗 ̅ × 푖 ̅ = −푘

ขอใดตอไปนี้กลาวไดถูกตอง

1. ถูกตองทุกขอ

2. ถูก 2 ขอ 3. ผิด 2 ขอ

4. ผิดทุกขอ

3. ให 푢 = 3횤̅ + 푎횥̅ − 5푘 และ 푣̅ = 2횤̅ + 2횥̅ + 2푘

จงหาคาของ 푎 ที่ทําให 푢 ตั้งฉากกับ 푣

1. 0

2. 1

3. 2

4. 3

4. ให 푢 = 2횤̅ − 6횥̅ − 3푘 และ 푣̅ = 4횤̅ + 3횥̅ − 푘

จงหาเวกเตอรขนาด 7 หนวยและมีทิศตรงขามกับ 푢 × 푣

1. − 3 횤̅ + 2횥̅ − 6푘

2. 3 횤̅ − 2횥̅ + 6푘

3. 17 −3 횤̅ + 2횥̅ − 6푘

4. 17 3 횤̅ − 2횥̅ + 6푘

5. กําหนดให 푢 = 2횤̅ − 횥̅ + 푘 และ 푣̅ = −횤̅ + 횥̅ − 2푘

แลวเวกเตอรที่มีขนาดเทากับ |푢 ∙ 푣 | และมีทิศทางตั้งฉาก

กับ 푢 และ 푣 ตรงกับขอใด

1. ± 5

√11 횤̅ + 3횥̅ + 푘

2. ± 5

√11 횤̅ − 3횥̅ + 푘

3. ± 5

√11 횤̅ + 3횥̅ − 푘

4 ± 5

√11 − 횤̅ + 3횥̅ + 푘

6. กําหนดให 푢 = 횤̅ + 횥 ̅, 푣̅ = 횥̅ + 푘 , 푤 = 2횤̅ + 푘

มี 푢 ∙ (푣̅ × 푤) มีคาตรงกับขอใด

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

7. กําหนดให 푢 = 2횤̅ − 6횥̅ − 3푘 , 푣̅ = 4횤̅ + 3횥̅ − 푘

푤 เปนเวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกับ 푢 × 푣

และ| 푤| = 35 แลว 푤 มีคาเทากับขอใด

1. 3횤̅ − 2 횥̅ + 6 푘

2. 15횤̅ − 10 횥̅ + 30 푘

3. 37 횤̅ −

27 횥̅ +

67 푘

4. 157 횤̅ −

107 횥̅ +

307 푘

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 29 8. ให 푢 = 2횤̅ − 횥̅ − 3푘 และ 푣̅ = 횤̅ − 2횥̅ + 4푘

จงหา ( 푢 + 푣̅) × (푢 − 푣̅)

1. 20 횤̅ − 22횥̅ + 6푘

2. 20 횤̅ + 22횥̅ + 6푘

3. 20 횤̅ + 22횥̅ − 6푘

4. 20 횤̅ − 22횥̅ − 6푘

9. ให 푢 = 4횤̅ − 2횥 ̅, 푣̅ + 푢 = 6횤̅ + 4횥 ̅, 푤 = 푎횤̅ + 푏횥 ̅

โดยที่ 푎 > 0, 푏 > 0 , |푤| = 2√17

푤 ตั้งฉากกับ (푢 − 푣̅ )แลว 푎 + 푏 มีคาเทากับขอใด

1. 10

2. 15

3. 18

4. 20

10. ให 푢 = 4횤̅ − 5횥̅ + 2푘 , 푣̅ = −횤̅ + 횥̅ − 2푘

และ w = aı̅ + bȷ̅ + ck โดยที่ 푎 + 푏 = 7 , v ∙ w = 7

และมี u ตั้งฉากกับ w แลว w เทากับขอใด 1. − 5 횤̅ − 2횥̅ + 5푘

2. − 5 횤̅ − 2횥̅ − 5푘

3. 5 횤̅ − 2횥̅ + 5푘

4 5 횤̅ + 2횥̅ − 5푘

11. กําหนดให 푢 = 횤̅ − 2횥̅ + 3푘 , 푣̅ = −횤̅ + 횥̅ − 4푘

แลว ( 푢 − 푣) × ( 푢 + 푣) มีคาตรงกับขอใด

1. 5횤̅ − 횥̅ + 2 푘

2. 10횤̅ + 2 횥̅ − 2 푘

3. 7횤̅ − 2 횥̅ + 푘

4. 횤 ̅ + 2 횥̅ − 푘

12. ส่ีเหล่ียม퐴퐵퐶퐷 ที่มีจุดยอดเปน

퐴(1,3,1), 퐵(2,0,1)퐶(1,1,0)และ퐷(0,4,1)ตามลําดับ

แลวพื้นที่ ∆퐴퐵퐷 + พื้นที่ ∆BDC มีคาตรงกับขอใด

1. 1 + √6 ตารางหนวย

2. 2 1 + √6 ตารางหนวย 3. 3 1 + √6 ตารางหนวย

4. 4 1 + √6 ตารางหนวย

13. กลองทรงส่ีเหล่ียมดานขนานที่มี 푢 = 횤̅ + 횥 ̅, 푣̅ = 횥̅ + 푘

푤 = 횤̅ + 푘 เปนดานขอบ จะมีปริมาตรเทากับขอใด

1. 1 ลูกบาศกหนวย 2. 2 ลูกบาศกหนวย

3. 4 ลูกบาศกหนวย


14. ให 퐴퐵⃗ = −횤̅ − 2횥̅ + 3푘 และ 퐴퐶⃗ = 4횤̅ + 2푘

แลวสามเหล่ียม 퐴퐵퐶 มีพื้นที่เทากับเทาใด

1. √53 ตารางหนวย 2. √69 ตารางหนวย 3. √73 ตารางหนวย 4. √79 ตารางหนวย 15. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมดานขนานที่มี 푢 = 3횤̅ + 횥̅ − 2푘 และ 푣̅ = 횤̅ − 3횥̅ + 4푘

เปนเสนทแยงมุมมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 ตารางหนวย 2. 6 ตารางหนวย 3. 5√3 ตารางหนวย 4. 10√3 ตารางหนวย

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 30 16. ให 푢 = 푥횤̅ + 횥̅ − 2푘 , 푣̅ = −2횤̅ + 5횥 ̅

และ w = ı̅ + 푥ȷ̅ + k ถาปริมาตรทรงส่ีเหล่ียมดานขนาน

ที่มี u, v, w เปนดานขอบ มีปริมาตรเทากับ 39 ลูกบาศกหนวย

แลว 푥 มีคาเทาไร

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 17. ให ส่ีเหล่ียมดานขนาน 퐴퐵퐶퐷 มี AB ⃗ = 4횤̅ − 2횥̅ + 4푘

AD ⃗ = 10 และ AB ⃗ ∙ AD ⃗ = 48

แลว พื้นที่ส่ีเหล่ียมดานขนาน 퐴퐵퐶퐷 มคีาเทากับขอใด

1. 36 ตารางหนวย 2. 40 ตารางหนวย 3. 48 ตารางหนวย 4. 60 ตารางหนวย

18. ให 퐴(0,0,0), 퐵(0,4,6)퐶(1,0, −2)และ퐷(0, −4,1)

เปนจุดใดๆ แลวปริมาตรทรงส่ีเหล่ียมดานขนานที่มี AB ⃗, A퐶 ⃗, AD ⃗

เปนขอบ จะมีปริมาตรเทากับขอใด

1. 24 ลูกบาศกหนวย 2. 26 ลูกบาศกหนวย



19. กลอง ดานขนาน มี 푢, 푣̅, 푤 เปนดานประกอบรูป

และ 푢 = 푖 ̅ + 2푗 ̅ − 푘 , 푣 = 3푖 ̅ − 푘 , 푢 = 2푖 ̅ + 3푗 ̅

ปริมาตรรูปทรง ดานขนานนี้ มีคาเทากับขอใด 1. 6 ลบ. หนวย 2. 8 ลบ. หนวย

3. 10 ลบ. หนวย

4 12 ลบ. หนวย

รวมขอสอบ 푃퐴푇 ชุด จํานวนจริง

1. กําหนดให 퐴퐵퐶 เปนรูปสามเหล่ียม และ 퐷 เปนจุดกึ่งกลางดาน 퐵퐶

ถา 퐴퐵 = 4 หนวย, 퐴퐶 = 3หนวย และ 퐴퐷 =5

2 หนวย

แลวดาน 퐵퐶 ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ …

1. 3 หนวย 2. 4 หนวย

3. 5 หนวย

4. 6 หนวย

푃푎푡1 − 52 − ก. ค. −ขอ 12 − เวกเตอร

2. กําหนดให 푢⃗ และ 푣⃗ เปนเวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร 3푢⃗ + 푣⃗ ตั้งฉากกับเวกเตอร 푢⃗ + 3푣⃗

แลวเวกเตอร 5푢⃗ − 푣⃗ มีขนาดเทากับขอใดตอไปนี้ … .

1. 3 หนวย 2. 3√2 หนวย

3. 4 หนวย

4. 4√2 หนวย


3. กําหนดให u⃗ และ v ⃗ เปนเวกเตอรซึ่ง |u⃗ ⋅ v⃗| ≠ |u⃗||v⃗|

ถา a(v⃗ − 2u⃗) + 3u⃗ = b(2u⃗ + v⃗)

แลวคาของ a อยูในชวงใดตอไปนี้ . .

1. [ 0,12 )

2. [ 12 , 1 )

3. [ 1,32 )

4. [ 32 , 2 )


เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 31 4. ให u ⃗และ v⃗ เปนเวกเตอรที่ไมเทากับเวกเตอรศูนยซึ่ง u⃗ ตั้งฉาก

กับ v⃗ และ u⃗ + v⃗ ตั้งฉากกับ u⃗ − v⃗ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. |u⃗| = |v⃗|

ข. u⃗ + 2v⃗ ตั้งฉากกับ 2u⃗ − v⃗

ขอใดตอไปนี้เปนจริง .

1. ก. ถูก และ ข. ถูก

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถูก

4. ก. ผิด และ ข. ผิด

푃푎푡1 − 52 − ต. ค. −ขอ13 − เวกเตอร

5. ให 퐴퐵퐶 เปนรูปสามเหล่ียมที่มี 퐷 เปนจุดบนดาน 퐴퐶 และ

퐹 เปนจุดบนดาน 퐵퐶 ถา 퐴퐷⃗ =1

4퐴퐶⃗, 퐵퐹⃗ =

1

3퐵퐶⃗ และ

퐷퐹⃗ = 푎퐴퐵⃗ + 푏퐵퐶⃗ แลว 푎푏 มีคาเทาใด … .

1. 6

2. 7

3. 8

4. 9

푃푎푡1 − 52 − ต. ค. −ขอ37 − เวกเตอร 6. ให 퐴퐵퐶퐷 เปนรูปส่ีเหล่ียมดานขนาน 푀 เปนจุดบนดาน 퐴퐷

ซึ่ง 퐴푀⃗ =15 퐴퐷⃗ และ 푁 เปนจุดบนเสนทแยงมุม 퐴퐶

ซึ่ง 퐴푁⃗ =16 퐴퐶⃗ ถา 푀푁⃗ = 푎퐴퐵⃗ + 푏퐴퐷⃗

แลว 푎 + 푏 เทากับขอใดตอไปนี้ . 1.

215

2. 15

3. 13

4. 1

푃푎푡 1 − มี. ค. 52 − ขอ24 − เวกเตอร

7. กําหนดให 푢⃗ และ 푣⃗ เปนเวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร 푢⃗ + 2푣⃗ ตั้งฉากกับเวกเตอร 2푢⃗ + 푣⃗

แลว 푢⃗ ⋅ 푣 ⃗ เทากับขอใดตอไปนี้ .

1. −45

2. 0

3. 15

4. 35

푃푎푡 1 − มี. ค. 52 − ขอ25 − เวกเตอร

8. กําหนด 푢 และ 푣 เปนเวกเตอร โดยท่ี 푢⃗ = 푖⃗ + √3푗⃗, |푣⃗| = 3 และ |푢⃗ − 푣⃗| = 4

คาของ |푢⃗ + 푣⃗| เทากับขอใดตอไปนี้ .. 1. √6

2. √10

3. √13

4. 4

푃푎푡1 − 53 − ก. ค. ขอ 16 − เวกเตอร

9. กําหนดให 푢⃗ = 2횤⃗ − 5횥⃗ และ 푣⃗ = 횤⃗ + 2횥⃗

ให 푤⃗ เปนเวกเตอร โดยท่ี 푢⃗ ⋅ 푤⃗ = −11 และ 푣⃗ ⋅ 푤⃗ = 8

ถา 휃 เปนมุมแหลมท่ีเวกเตอร 푤⃗ ทํามุมกับเวกเตอร 5푖⃗ + 푗⃗

แลว 푡푎푛휃 + 푠푖푛2휃 เทากับเทาใด ..

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

푃푎푡1 − 53 − ก. ค. ขอ 32 − เวกเตอร

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 32 10. ให 퐴퐵퐶 เปนรูปสามเหล่ียม ดังรูป

ถามุม ABC = 30°, BAC = 135° และ AD และ AE

แบงครึ่งมุม BAC ออกเปน 3 สวนเทาๆ กัน แลว

EC

BC มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ . .

1. 1

√3

2. √3

3. 1

√2

4. √2 pat1 − ต. ค. 53 ขอ 7 − เวกเตอร

11. กําหนดให 푢⃗ , 푣⃗ และ 푤⃗ เปนเวกเตอรในระนาบ

และ 푥, 푦 เปนจํานวนจริง โดยท่ี

푢⃗ = 푥횤⃗ + 푦횥⃗ , 푣⃗ = 4횤⃗ − 3횥⃗ , 푤⃗ = 2횤⃗ + 횥⃗ ,

ถา | 푢⃗ − 푣⃗ |2 = | 푢⃗ |2 + | 푣⃗ |2 และ 5푥 + 5푦 = 21

แลวคาของ 푢⃗ ⋅ 푤⃗ เทากับขอใดตอไปนี้ . .

1. 5

2. 6

3. 10

4. 14

푝푎푡1 − ต. ค. 53 ขอ 14 − เวกเตอร

12. กําหนดให 푢⃗ , 푣⃗ และ 푤⃗ เปนเวกเตอรในระนาบ

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง …

1. ( 푢⃗ ⋅ 푣⃗ ) ≥ ( 푢⃗ ⋅ 푢⃗ )(푣⃗ ⋅ 푣⃗ )

2. ถา ( 푢⃗ ⋅ 푣⃗ ) = (|푢⃗| ⋅ |푣⃗| ) แลว 푢⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗

3. ถา 푢⃗ + 푣⃗ + 푤⃗ = 0⃗ , | 푢⃗ | = 3, |푣⃗ | = 4

และ | 푤⃗ | = 7แลว 푢⃗ ⋅ 푣⃗ = 12

4. | 푢⃗ − 푣⃗ | = | 푢⃗ | − | 푣⃗ |

푝푎푡1 − ต. ค. 53 ขอ 15 − เวกเตอร

13. ให 푎⃗ และ 푏⃗ เปนเวกเตอร กําหนดโดย 푎⃗ = 횤⃗ +12 횥⃗ − 3푝푘⃗

และ 푏⃗ = −2푝푖⃗ + 2푗⃗ + 푝푘⃗ เมื่อ 푝 เปนจํานวนจริง ถา 푎⃗ ตั้งฉากกับ 푏⃗ และ ขนาดของ 푏 ⃗ เทากับ 3

แลว คาของ 푝 อยูในชวงใดตอไปนี้ . .

1. −3, −32

2. −32 , 0

3. 0,32

4. 32 , 3

푃푎푡1 − 53 − มี. ค. −ขอ 14 − เวกเตอร 14. ให u⃗, v⃗ และ w⃗ เปนเวกเตอรโดย u⃗ = ı⃗ + 2ȷ⃗ + 3k⃗,

v⃗ = 2ı⃗ − dȷ⃗ + k⃗, w⃗ = aı⃗ + bȷ⃗ + ck⃗

เมื่อ a, b, c และ d เปนจํานวนจริง ถา u⃗ ⋅ w⃗ = 2, u⃗ ⋅ (v⃗ + w⃗) = 3, v⃗ + w⃗ = i⃗ + qj⃗ + rk⃗

เมื่อ q, r เปนจํานวนจริง และ w⃗ ขนานกับ −2

3i⃗ +

1

2j⃗ +

1

3k⃗

แลวคาของ a + 4b + 2c เทากับเทาใด …

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4 푃푎푡1 − 53 − มี. ค. −ขอ 33 − เวกเตอร

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร เรียบเรียงโดย….อ.สุทธิ-อ.อารยา คุณวัฒนานนท หนาที่ 33 15. จากรูป 푎⃗ + 푏⃗ + 푐⃗ = 0⃗

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง ….

1. |푎⃗|푐표푠푒푐 35° = |푐⃗|(1 +푐표푡 20°푐표푡 35°)

2. |푎⃗|푐표푠푒푐 20° = |푐⃗|(1 +푐표푡 35°푐표푡 20°)

3. |푎⃗|푐표푠푒푐 35° = |푐⃗|(1 +푡푎푛 20°푡푎푛 35°)

4. |푎⃗ |푐표푠푒푐20° = |푐⃗ |(1 +푡푎푛35°푡푎푛20°)

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ12 − เวคเตอร 16. ให 퐴, 퐵, 퐶 เปนจุดยอดของสามเหล่ียม 푃 เปนจุดกึ่งกลางดาน

퐴퐶, 푄 อยูบน 퐴퐵 ซึ่งทําให 퐴푄: 푄퐵 = 1: 2

ถา 퐴퐵⃗ = 6푖⃗ − 3푗⃗ และ 퐵퐶⃗ = 2푖⃗ + 3푗⃗ จงหา 푃푄⃗ …

1. − 횤⃗ − 2횥⃗

2. 2횤⃗ + 횥⃗

3. − 2횤⃗ − 횥⃗

4. 횤⃗ + 2횥⃗

푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ13 − เวกเตอร 17. กําหนดจุด 퐴(3,0), 퐵 3 + √3, 1 และ 퐶(푎, 푏)

โดยที่ 퐶 อยูในจตุภาคที่ 4

퐴퐵⃗ กับ 퐴퐶⃗ ทํามุมกัน 60° และ|퐴퐶⃗| = 2√3|퐴퐵⃗|

จงหาคาของ 푎2 + 푏2 ….

1. 90

2. 91

3. 92

4. 93 푃푎푡 1 − ธ. ค. 54 − ขอ33 − เวกเตอร

18. กําหนดให 푢⃗ และ 푣⃗ เปนเวกเตอรใดๆ โดยท่ี |푢⃗ | = 1, |푣⃗ | = 3 และ 푢⃗ ทํามุม 60° กับ 푣⃗

คาของ |4푢⃗ − 3푣⃗|

|푢⃗ + 푣⃗| เทากับขอใดตอไปนี้ …

1. 1319

2. 137

3. 6113

4. 7

19

푃퐴푇1 − 54 − มี. ค. ขอ 15 − เวกเตอร

19. รูปสามเหล่ียม 퐴퐵퐶 มีจุดยอดเปน 퐴(푎, 푏), 퐵(4, −6) และ 퐶(1, −4) ถา 푃 เปนจุดบนดาน 퐴퐵ซึ่งอยูหางจากจุด 퐵 เทากับ

0.4 ของระยะระหวาง 퐴 และ 퐵 และเวกเตอร 퐶푃⃗ = 횤⃗ − 2횥⃗

แลว 푏 − 푎 เทากับเทาใด.

1. 5

2. 6

3. 7

4. 8

푃퐴푇1 − 54 − มี. ค. ขอ 36 − เวกเตอร


20. ให 푢⃗, 푣⃗ และ 푤⃗ เปนเวกเตอรบนระนาบที่สอดคลองกับ

푢⃗ + 푣⃗ − 푤⃗ = 0⃗, 푤⃗ ⋅ 푢⃗ = 8 และ 푤⃗ ⋅ 푣⃗ = −2

ถาเวกเตอร 푢⃗ กับ 푤⃗ ทํามุมกัน 푎푟푐푠푖 푛1

√3 และเวกเตอร 푣⃗ กับ 푤⃗

ทํามุมกัน 휋 − 푎푟푐푠푖 푛√2

√3 แลว คาของ |푣⃗|

2+ |푢⃗|

2

เทากับขอใดตอไปนี้ … .

1. 6

2. 10

3. 14

4. 18 푃퐴푇1 − 55 − ต. ค. (15) − เวกเตอร

21. ใหจุด 퐴(1,1), 퐵(0,5) และ 퐶(−3,2) เปนจุดยอดของรูป

สามเหล่ียม 퐴퐵퐶 ให 퐿 เปนเสนตรงที่ผานจุด 퐴 และจุด 퐵

ลากสวนของเสนตรง 퐶퐷 ตั้งฉากกับเสนตรง 퐿 ที่จุด 퐷

แลวเวกเตอร 퐴퐷 เทากับขอใดตอไปนี้ …

1. 8

17(횤⃗ + 4횥⃗)

2. 8

17(횤⃗ − 4횥⃗)

3. 8

17(−횤⃗ + 4횥⃗)

4. 8

17(−횤⃗ − 4횥⃗)

푃퐴푇1 − 55 − มี. ค. −(12) − เวกเตอร 22. กําหนดให 푢⃗ และ 푣⃗ เปนเวกเตอรใดๆ ซึ่งไมใชเวกเตอรศูนย พิจารณาขอความตอไปนี้ ก) |푢⃗ − 푣⃗|

2> |푢⃗|

2− |푣⃗ |

2

ข) ถา 푢⃗ ตั้งฉากกับ 푣⃗ แลว |푢⃗ − 푣⃗|2

= |푢⃗|2

+ |푣⃗ |2



2. ก. ถูก แต ข. ผิด

3. ก. ผิด แต ข. ถูก


푃퐴푇1 − 55 − มี. ค. −(14) − เมทริกซ

23. ให 푢⃗, 푣⃗, 푤⃗ เปนเวกเตอรใน 3 มิติ โดยที ่ 푢⃗ = 2횤⃗ + 2횥⃗ + 푘⃗ , 푣⃗ = 횤⃗ + 횥⃗ − 푘⃗, 푤⃗ = 푎횤⃗ + 푏횥⃗ + 푐푘⃗

โดยที่ 푎, 푏, 푐 เปนจํานวนจริง

แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง

ก. ถา 푤⃗ ตั้งฉากกับทั้ง 푢⃗ และ 푣⃗ แลว 푎 + 푏 = 0

ข. ถา |푤⃗ |

=2

3 และ 푤⃗ ⋅ 푢⃗ = −√3 แลว 푤⃗ กับ 푢⃗ ทํามุมกัน 150°.





푃퐴푇1 − 56 − มี. ค. (15) − เวกเตอร

24. กําหนดให 퐴퐵퐶 เปนรูปสามเหล่ียมที่มีความยาวดาน 퐴퐵 = 5,

퐵퐶 = 12 และมีมุม 퐴퐵퐶퐴퐵퐶 = 60°

ถา 푢⃗ = 퐴퐵⃗, 푣⃗ = 퐵퐶⃗, 푤⃗ = 퐶퐴⃗

แลว(2 푢⃗ − 푣⃗) ∙ 푤⃗ คาของ มีคาเทากับขอใด ….

1. 64

2. 109

3. 114

4. 124

푃퐴푇1 − พ. ย. 57 − (12) − เวกเตอร

25. กําหนดให |푧| แทนคาสัมบูรณของ 푧

และ 푧̅ แทนสังยุค (푐표푛푗푢푔푎푡푒)ของ 푧 เมื่อ 푧 เปนจํานวนเชิงซอน

ถา |푧| + 2푧̅ − 3푧 = 3 − 45푖 แลวคาของ |푧|2 เทากับเทาใด. .

1. 175

2. 225

3. 245

4. 275

푃퐴푇1 − พ. ย. 57 − (9) − เวกเตอร


26. กําหนดให 푎⃗ , 푏⃗ และ 푐⃗ เปนเวกเตอรในระนาบซึ่ง

푎⃗ = 푥횤⃗ +125

횥⃗, 푏⃗ = 6횤⃗ + 푦횥⃗, 푐⃗ = 2횤⃗ + 횥⃗

เมื่อ 푥, 푦 เปนจํานวนจริง

ถา 푏⃗ − 푐⃗ = 5, เวกเตอร 푎⃗ กับ푏⃗ ตั้งฉากกัน

และ 푎⃗ ⋅ 푐⃗ > 0 แลวคาของ 5푎⃗ − 푏⃗2

เทากับเทาใด .

1. 200

2. 202

3. 206

4. 208

푃퐴푇1 − 56 − มี. ค. (45) − เวกเตอร

27. กําหนดให 푢⃗, 푣⃗ และ 푤⃗เปนเวกเตอรใด ๆ ในสามมิติ พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. 푢⃗ ⋅ (푣⃗ × 푤⃗ ) = 푤⃗ ⋅ (푢⃗ × 푣⃗ )

ข. ถา | 푢⃗ | = | 푤⃗ |, |푢⃗ − 푣⃗ | = |푣⃗ + 푤⃗ |

และเวกเตอร 푢⃗ ตั้งฉากกับเวกเตอร 푣⃗

แลวเวกเตอร 푣⃗ตั้งฉากกับเวกเตอร 푤⃗

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง .





푃퐴푇1 − มี. ค. 57 − (13)− เวกเตอร

28. กําหนดให 푎⃗ , 푏⃗ และ 푐⃗ เปนเวกเตอร โดยที่ 1. 푎⃗ + 푏⃗ + 푐⃗ = 0⃗

2. 푎⃗ + 푏⃗ = 5

3. 푏⃗ + 푐⃗ = 3

4. 푏⃗ = √10

พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ถาเวกเตอร 푎⃗ ทํามุม 휃 กับเวกเตอร เมื่อ 0 ≤ 휃 ≤ 휋

แลว 푡푎푛 휃 = 3

(ข) 푎⃗ ⋅ 푐⃗ = −12

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง .

1. (ก)ถูก และ (ข)ถูก

2. (ก)ถูก แต (ข)ผิด

3. (ก)ผิด แต (ข)ถูก

4. (ก)ผิด และ (ข)ผิด

푃퐴푇1 − เม. ย. 57 − (14) − เวกเตอร

29. กําหนดใหเวกเตอร 푢⃗ = 푎 횤⃗ + 2 횥⃗ + 푏 푘⃗

โดยที่ 푎, 푏 เปนจํานวนจริง

ถา 푢⃗ × 푗⃗ = 2 คาของ |푢⃗|2 เทากับขอใด …

1. 5

2. 6

3. 7

4. 8

푃퐴푇1 − เม. ย. 57 − (26) − เวกเตอร


30. กําหนดให 퐴⃗ และ 퐵⃗ เปนเวกเตอรในระนาบ

โดยที่ 퐴⃗ = 16 횤⃗ + 푎 횥⃗ และ 퐵⃗ = 8 횤⃗ + 푏 횥⃗

เมื่อ 푎 และ 푏 เปนจํานวนจริง

ถา 퐴⃗ = 퐵⃗ และเวกเตอร 퐵⃗ ทํามุม 60° กับเวกเตอร 퐴⃗

แลว คาของ (푎 + 푏) เทากับขอใด … .

1. 8

2. 16

3. 64

4. 192

5. 320

푃퐴푇1 − ต. ค. 58 − ขอ16 − เวกเตอร 31. ให 푎⃗ และ 푏⃗ เปนเวกเตอรใด ๆ ที่ไมใชเวกเตอรศูนย

พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ถา 푎⃗ ขนานกับ 푏⃗ แลว 푎⃗ − 푏⃗ = |푎⃗| − 푏⃗

(ข) ถา 푎⃗ − 푏⃗ = |푎⃗| + 푏⃗ แลว 푎⃗ ตั้งฉากกับ 푏⃗

(ค) ถาเวกเตอร 푎⃗ + 푏⃗ ตั้งฉากกับเวกเตอร 푎⃗ − 푏⃗

แลว |푎⃗| = 푏⃗


1. (ก) ถูกตองเพียงขอเดียว

2. (ข) ถูกตองเพียงขอเดียว

3. (ค) ถูกตองเพียงขอเดียว

4. ถูกทั้ง (ก) (ข) และ (ค)

5. ไมมีขอใดถูกตอง

푃퐴푇1 − ต. ค. 58 − ขอ27 − เวกเตอร

32. ให 푎⃗ , 푏⃗ และ 푐 ⃗เปนเวกเตอรบนระนาบ

ซึ่ง 푎⃗ + 푏⃗ + 푐 ⃗ = 0 ⃗ โดยที่ 푎⃗ ทํามุม 135° กับ 푏⃗

푏⃗ ทํามุม 105° กับ 푐 ⃗ และ 푐 ⃗ ทํามุม 120° กับ 푎⃗

ถา | 푎⃗| = 5 หนวยแลวผลบวกของขนาดของเวกเตอร 푏⃗

กับขนาดของเวกเตอร 푐 ⃗ เทากับขอใดตอไปนี้ … .

1. 10 + 2√6

1 + √3

2. 10 + 3√6

1 + √3

3. 10 + 4√6

1 + √3

4. 10 + 5√6

1 + √3

푃퐴푇1 − มี. ค. 58 − (12) − เวกเตอร์

33. ให 푎⃗ , 푏⃗ และ 푐⃗ เปนเวกเตอรในสามมิต ิ

และ 푎⃗ + 푏⃗ = 푡푐⃗ เมื่อ 푡 เปนจํานวนจริงบวก

โดยที่ 푎⃗ = 푖⃗ + 푗⃗ + 푘⃗ และ |푎⃗|2 = 푏⃗ และ|푐⃗| = √2

ถา 푎⃗. 푏⃗ + 푏⃗. 푐⃗ + 푐⃗. 푎⃗ = 9 แลว 푡 มีคาเทาไร …

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. 5

푃퐴푇1 − มี. ค. 59 − (44) − เวกเตอร

60 vector 3 d-full

Education

Transcript of 60 vector 3 d-full