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1 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
6.3 Thermodynamique d’une assemblée de moments localisés sans interaction
6.3.1 Paramagnétisme
En l’absence de champ magnétique les 2J+1 directions sont dégénérées (même énergie)
Soit une assemblée d’atomes (ou d’ions) définie par leur nombre quantique J
z
z
L J Bg ( l)
z
J J Bg ( 2)
z
L J Bg (2)
z
L J Bg (l)
z
L 0
JM J, J 1, , J 1,J z J J JJ J,M M J,M
J J B
Jg
z
J J B Jg M
Jg Facteur gyromagnétique de Landé
0B z
J J Bg J(J 1)
2 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
•En présence de champ magnétique il y a couplage entre le moment magnétique de l’atome
et le champ appliqué
6) Magnétisme des solides
J JZeeman 0E . H .B
Zeeman J 0 B JE g M H
Levée de dégénérescence des 2J+1 niveaux
Thermodynamique statistique d’une assemblée d’atomes indépendants:
NN
i
i 1
Z z z
J
J
J
M JE(M )
M J
z e
B BF k Tln Z Nk Tln z Nf Bf k Tln z
B z
itot
JZeeman
i
E B.
0B 0B
J 0 BE g H
4
0
1
10B
T
E g H eV
3 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
J J J
J J J B 0 J
J J J
M J M J M JE(M ) M g H xM
M J M J M J
z e e e
J B 0 J B
B
Bx g H g
k T
(2J 1)xxJ
x
xsh (2J 1)
1 e 2z e
x1 esh
2
B B
xsh (2J 1)
2f k T ln z k T ln
xsh
2
J
Jz
J
J
Jz
J
M JE
J B J BM J 0
z M JE
M J
zg M e k T
( H) f
z (B)e
Moment magnétique moyen
4 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
zztot J B
at at
JB (y)
M g J 2J 1 2J 1 1 yM coth y coth
V v v 2J 2J 2J 2J
6) Magnétisme des solides
J B 0 s
B B
g J( H) By Jx
k T k T
JB (y) Fonction de Brillouin
1/ 2B (y) th(y)
ss J B
at
NM g J
v V
1B (y) L(y) coth y
y Fonction de Langevin
Aimantation=
Moment/volume
s J Bg J
Ss J
B
BM M B
k T
5 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
y 0
1 ycoth(y)
y 3
J
y 0
J 1B (y) y
3J
Jylim B (y) 1
sylim M(y) M
JB (y)
1/ 2B (y)
JB (y) 12
J
B
By
k T
B ( )
6 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
2
J B
0
B
g J(J 1)M N ( H)
3V k T
2
J B
0
B
gM J(J 1)N
H 3V k T
•Susceptibilité magnétique
6) Magnétisme des solides
C
T
2J
220 0
J B J
B B
N NC g J(J 1)
V 3k V 3k
•Energie et capacité calorifique magnétique
ln Z ln zE N
J B 0 J 0 tot
E Ng J( H)B (y) M H
V V
JJ
M
EC
T
7 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
2
J 1/2 BM B
2B B
B
g B 1C Nk
2k T g Bch
2k T
6) Magnétisme des solides
(g 2)J 1/ 2
1/ 2
M
B
C
Nk
B
B
B
k T
2
B
B
B
k T
Anomalie de Schottky
1
Anomalie de Schottky B Bk T B
Excitation entre deux niveaux séparés de BE B
Moment de spin
8 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
J Théorie semi-classique
ZeemanE .B Bcos
x
y
z
B
B
Bcos2
k T
0 0
Bcos2
k T
0 0
d d sin e
d d sin e
z z z
B
BL
k T
Fonction de Langevin
J
z J B
B
B (y)
Bg J L
k T
9 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
•Ordres de grandeur J B 0 s
B B
g J( H) By
k T k T
24
B
e9,27 10 J / T
2m
T 300K
0H 1T 23
Bk 1,38 10 J / K
3y 2 10 1 Approximation y≈0 justifiée
2
J B 0
B
N J(J 1)g
V 3k T
7
0 4 10
3VÅ
N
2 310 ,10
Remarque importante: dans de nombreux matériaux le magnétisme orbital
est faible du fait de l’influence de l’environnement si bien que l’on a souvent
L 0
J SJg 2
eff B2 S(S 1)
10 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6.3.2 Paramagnétisme en présence d’interactions magnétiques interatomiques
6) Magnétisme des solides
Champ moléculaire agissant en parallèle du champ appliqué
mH M Constante de champ moléculaire
Proportionnelle aux interactions
électrons-électrons
tot mH H H H M
eff
tot
M C M C
H T H M T
M C
H T
C
TC
C
paramagnétique 10K
ferromagnétique 0
ferrimagnétique 0
antiferromagnétique
11 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6.4.1 Origine de l’interaction interatomique
6) Magnétisme des solides
•Interaction dipolaire
01 2 1 2
3 2
3( ) . . .
4dipE r m m m r m r
r r
1m
2m
r
Ordre de grandeur
24 29,2742 10Bm Am
2Ar7
0 4 10 H / m
2230
3
1( ) 10
4 8
BdipE r J
r
( )0.1
dip
B
E rK
k
Beaucoup trop faible pour être à l’origine du ferromagnétisme!!!
6.4 Assemblée de moments localisés en interaction
12 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
1 1 a 1 a a 1(T V ) (r ) (r )
S a 1 b 2 a 2 b 1 S
1(r ) (r ) (r ) (r )
2
T a 1 b 2 a 2 b 1 T
1(r ) (r ) (r ) (r )
2
1 2 1 2 12H T T V V V
2 2 b 2 b b 2(T V ) (r ) (r )
singulet
triplet
3 3
S S S 1 2E H d r d r 3 3
T T T 1 2E H d r d r
S TE E 2J
3 3
a 1 b 2 12 a 2 b 1 1 2J (r ) (r )V (r ) (r )d r d r
S 0
S 1
Intégrale d’échange
1s 2
1T 2
2 électrons en interaction coulombienne
•Interaction d’échange interatomique
6) Magnétisme des solides
13 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
6.4.2 Modèle de Heisenberg
1 2S T
1H (E 3E ) 2J s .s
4
Hamiltonien à deux électrons
Hamiltonien à deux spin 1 2 1 2spinH 2J s .s Js .s
Hamiltonien de Heisenberg i ji, j
i, j
1H J s .s
2
i, jJCouplage d’échange entre les sites i et j
i, jJ 0 Couplage ferromagnétique
i, jJ 0 Couplage antiferromagnétique
S s
J 2J
Remarque: afin de ne pas confondre l’intégrale d’échange
avec le nombre quantique J nous noterons quand ce sera
nécessaire l’intégrale d’échange JH
14 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Molécule d’hydrogène
Courbe de Bethe-Slater-Néel
6) Magnétisme des solides
1 1 1 2 2 2 12
1 2
1 2 2 1 12
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2a b a b
H T V H T V V
Hr r r r r d
aR bRd
1ar 2ar1br
2br
12r
15 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
6.4.3 Thermodynamique d’une assemblée de spin de Heisenberg
ferromagnétisme 1
i j ii, j2
i, j ii j
H J s .s B.
Approximation de champ moyen: si on isole un « spin » il voit un champ effectif
eff m
effj i iB i, j B
i j i iB
B B B
1H g B J s .s g B . s
g
On néglige les fluctuations
B
NM g s
V
ij j ij ij 02
j i j i j iB B B
s1 M VJ s J J M
g g Ng
Hij2 2
1ers voisinsi0 B 0 B
pJ1 V VJ
(g ) N (g ) N
m m0 0B H M
: intégrale d'échange
entre 1ers voisins
HJ
Hamiltonien paramagnétique
avec champ effectif
ii Bg s
js s
ijJ 0
16 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
M C C
H T C T
1 1
2 2 20 B ij2
iB 0 B
( 1)N 1 VC g J
V 3k (g ) N
ij
i
B
J
4k
•Equation « implicite »pour l’aimantation
Bs eff
B
gM M th B
2k T
eff 0B B M
Bs
B
gM M th B M
2k T
1/ 2B (y) th(y)rappel 1
2J 2g
Force de l’interaction
magnétique
17 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
•Solution à champ nul
6) Magnétisme des solides
Bs
B
gM M th M
2k T
s
s
MM M th
T M
s
s c
Mth x
M
M Tx
M T
Hc
B
pJT
4k
s
M
M
x
cT T
cT T
cT T
0x0x
Solution graphique
Bs
gNM
V 2
18 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
T
M
sM
cT
•Température critique H
C
B
pJT
4k
1H 10
J eV
1B 40
k (300K) eV 3
CT 10 K
•Transition de phase ferromagnétique ↔ paramagnétique
matériau Tc (K)
Fe 1043
Co 1394
Ni 631
( )E M
( )E M
19 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
•Comportement en présence d’un champ magnétique
6) Magnétisme des solides
cB B
s B s B
Tg gM Mth (B M) th B
M 2k T M T 2k T
s
B
s c B c
Mth x
M
gM Tx B
M T 2k T
s
M
M
x
cT T
cT T
cT T
0x
Solution graphique
20 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
cT T
6) Magnétisme des solides
Toujours une solution (stable) de moment non nul
(plus de transition de phase)
cT T Une ou deux solutions selon l’amplitude
de l’induction magnétique
0B B (T) Deux solutions (une stable et l’autre métastable)
0B B (T) Une solution stable
( )E M
( )E M
( )E M
21 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
•Susceptibilité magnétique en phase paramagnétique (T>Tc)
6) Magnétisme des solides
CT T
2
BB B
B B
gg g N (B M)M N th (B M)
2V 2k T V 4k T
M 0
C c c 0
c
T T T BB MM M 1
T T
M C
B T T
c
C
T T
2c
0 J B 0
B
T N 1C g
V 4k
HC
B
pJT
4k
BS
gM N
2V
H
2
B
pJ V
(g ) N
Loi de Curie-Weiss
Constante indépendante des interactions
HC
B
pJT
4k Température critique proportionnelle aux interactions
22 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
6.4.4 diamagnétisme
Tous les matériaux ont une « composante » diamagnétique mais elle est le plus souvent noyée par les autres
composantes (para etc..) qui sont plus fortes (et de signe contraire). Le diamagnétisme sera détectable
lorsque les autres composantes sont nulles, c’est-à-dire pour un matériau non magnétique (couches pleines).
2 2 2 22
2 2
2
e B e BH R (x y )
8m 8m
2 2 Z2 2
0 2 0 0 i i 0
i 1
e BE H (x y )
8m
Atome de valence Z
Symétrie sphérique 2 2 210 i 0 0 i 0 0 i 03
x y r
2 2 Z2
0 i 0
i 1
e BE (r )
12m
22
eff
1 F N E N e BM Z r
V B V B V 6m
220
eff
eM NZ r
H V 6m
23 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6.5 Magnétisme itinérant
6) Magnétisme des solides
6.5.1 Rappel sur le magnétisme de spin de l’électron
z
z zs B Bs2
Opérateur moment magnétique
Moment magnétique d’un électron
z
1 0
0 1
z
B si z
B si
Moment magnétique d’une assemblée d’électrons
Soit +N électronsN N
z
tot B(N N )
24 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
6.5.2 « Splitting » Zeeman
.ZeemanH B
0B H 2 B Bs
B
z
0 0
1 0
0 1Zeeman B z BH H H
Décalage rigide des bandes et
0 0B H
0 0B H
Ordre de grandeur
5
0 01 5.610BB H T H eV
25 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
6.5.3 Paramagnétisme de Pauli
E
D(E)
H 0
E
D(E)
H 0
H
B 0H
FE0 F 0 BN D (E ) H
0N N N
0N N N
2
B 0 F 0 B
2
P 0 F 0 BM 2 N 2D (E ) H 2D (E )
0D (E) D (E) D (E)
0 0 BD (E) D (E H)
0 0 BD (E) D (E H)
Densité d’état totale (↑ et ↓) non magnétique
26 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Effet de la température
6) Magnétisme des solides
0 B0
N D (E B)f (E)dE
0 B
0N D (E B)f (E)dE
2 20B B B 0
0 0
dD dfM (N N ) 2 B f (E)dE 2 B D (E) dE
dE dE
2
0 F 0 B2D (E )
Si kBT grand
B F(k T E ) B
df f
dE k T
2 2
B B0
0B B
B n BM 2D (E)f (E)dE
k T k T
2
0 B
B
n
k T
Susceptibilité de type Curie
Peu d’effet de la température
ou semi-conducteurs
Si kBT faible F
df(E E )
dE 2
0 F BM 2D (E ) B
B
(E )
k Tf (E) e
27 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
•Ordres de grandeur
5
B 0 0H 6.10 eV pour H 1T Perturbation très faible
0
32 ( )
2F
F
nD E
E
0
2
F 0 B2D (E ) 2
0 B
F
3n
2E
19
FE eV 1,6 10 J
29 310eNn m
7
0 4 10 H / m
24 2
B 9,2742 10 Am
510
pour un métal pour un
semiconducteur
électrons libres
28 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
6.5.4 Modèle de Stoner et ferromagnétisme
Magnétisme de bandes: « splitting » spontané des bandes
D(E)
E
E
FE0 FN D (E ) E
0D (E) D (E E)
1
0D (E) densité d’état par spin
0N N N
B B B 0 FM (N N ) 2 N 2 D (E ) E
0N N N
29 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Champ moléculaire (polarisation) mH (M) M
M2
pol 0 m 00
1E H (M')dM' M
2
2
pol 0 FE I D (E ) E 2
0 BI 2
6) Magnétisme des solides
Energie de polarisation
2
pol
B
1 ME I
4
2
cin 0 FE D (E ) E
Energie de bandes (énergie cinétique)
Bilan énergétique
B B 0 FM 2 N 2 D (E ) E
2
cin
B 0 F
1 M 1E
4 D (E )
En fonction de M
30 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
2
cin pol
0 F B
1 ME E E I
D (E ) 2
6) Magnétisme des solides
0 FE 0 ID (E ) 1
Critère de Stoner d’apparition du magnétisme
0 FID (E ) 1
I: Paramètre de Stoner (interaction de Coulomb)
I eV
Une forte densité d’état au niveau de Fermi favorise l’apparition du magnétisme
Remarque: dans cette démonstration D0(E) correspondent à des densités
électroniques par atome et non par unité de volume. Le paramètre de Stoner est donc
une énergie et les densités d’état intégrées donnent le nombre d’électrons de valence
par atome
31 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Susceptibilité magnétique
6) Magnétisme des solides
2
0
0 F B
1 ME(M) I M H
D (E ) 2
Energie sous champ magnétique
02
0 F B
d E(M) 1 M0 I H 0
dM D (E ) 2
Minimisation de l’énergie
2
0 B 0 F
F
2 D (E )M
H 1 ID(E )
P
F1 ID(E )
Susceptibilité magnétique
P Susceptibilité magnétique de Pauli amplifiée par les interactions électroniques
Amplification de Stoner
32 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6) Magnétisme des solides
33 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6.5.5 Le nano favorise le magnétisme
6) Magnétisme des solides
D(E)
EW
W Z (R)
Z: coordinence
: intégrale de saut
FE
FZ D(E ) critère de Stoner
La basse dimensionnalité
favorise le magnétisme
34 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
6.5.6 Le diamagnétisme de bande
6) Magnétisme des solides
Le paramagnétisme de Pauli est associé au spin, le moment orbital des électrons libres
est également affecté par le champ magnétique: il s’agit du diamagnétisme de Landau
Dans le modèle d’électrons libres on montre que
PL
3
Si on prend en compte la masse effective on obtient
2
e PL
m
m 3
Ce terme peut devenir dominant pour les faibles masses effectives
Exemple: Bismuth em 0,01m