6 Effort Tranchant-diagramme
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Cours de béton armé8 : Comportement du béton en
cisaillement (avec étriers)
Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction - 2007
BAC3 - HEMES -Gramme
Effort tranchant
Etat fissuré réel
Treillis équivalent deMörsch
� Poutre fictive en treillis
Treillis équivalent
Q/2 QQ Q
Poutre en Béton armé
Bielle en compression
Etrier en traction
Membrure inférieure tendue
Membrure supérieure compriméeq
Théorème statique
� "L'existence d'une distribution interne imaginaire de forces en équilibre avec les forces extérieures donne la certitude que la pièce considérée est capable de supporter des forces supérieures, ou au minimum égales aux forces extérieures considérées."
Analogie de Mörsch
Etriers inclinés
Treillis en V équivalent
Treillis en N équivalent
Etriers droits
Bielles d’inclinaison variable
z ≈ 0,9. d
26.56°≤ θ ≤ 63.43°45° ≤ α ≤ 90°
z cotg α
αθz cotg θ
z
A
B C
z.(cotg θ + cotg α).sin θ
Q Q
Equivalence des efforts verticaux : coupe CC’
sinEd
Scw
VF
ϑ=
αθ
FScw
MEd
VEd
FSc
FSt
C’
C
Effort de compression dans la bielle de béton :
�
………
Rupture de la bielle comprimée
1. .(cot cot ).sin . .Rcw w cdF b z fϑ α ϑν= +
1 0,6.(1 )250
ckfν = −
Capacité de résistance de la bielle :
(Coeff. Réducteur dû à la fissuration transversale)
1. .(cot cot ).sin . .sin
Edw cd
Vb z fϑ α ϑν
ϑ≤ +FScw ≤ FRcw ⇒
2,max 1. . . .(cot cot ).sinEd Rd w cdV V b z fν ϑ α ϑ≤ = +
z cotg α
αθz cotg θ
z
z.(cotg θ + cotg α).sin θ
Effort tranchant qui provoque une rupture des bielles compriméesz ≈ 0,9. d
Equivalence des efforts verticaux : coupe DD’
sinEd
Ssw
VF
α=Effort de traction dans l’ étrier :
αθ
FSsw
MSd
VEd
FSc
FSt D’
D
Cet effort de traction ne doit pas entraîner la plastification de l’étrier (Aw: section totale de l’étrier)
.Ssw w ydF A f≤
………
Traction dans les étriers
αθ
z
s
q(x)
z cotg αz cotg θ
Capacité de résistance des étriers de section A sw répartis
sur z(cot θθθθ + cot αααα) :
. . .(cot cot )sw ydRsw
A z fF
s
ϑ α+=
1 étrier théorique tous les z(cotθ + cotα) doit reprendre FSsw
Or, en pratique, les étriers, chacun de section Asw, sont distants de « s »
En pratique, on peut prendre
z ≈ 0,9. d
Traction dans les étriers
αθ
z
s
q(x)
z cotg αz cotg θ
Capacité de résistance des étriers de section A sw répartis
sur z(cot θθθθ + cot αααα) :
. . .(cot cot )sw ydRsw
A z fF
s
ϑ α+=
FSsw ≤ FRsw ⇒. . .(cot cot )
sinsw ydEd
A z fV
s
ϑ αα
+≤
En résumé : 2 conditions à respecter
αθ
z
s
q(x)
z cotg αz cotg θ
. . .(cot cot )sinsw ywd
Ed
A z fV
s
ϑ αα
+≤
21. . . .(cot cot ).sinEd w cdV b z fν ϑ α ϑ≤ +
z ≈ 0,9. d
(1)
(2)
2 conditions à respecter (α=90°)
. . .cotsw ydEd
A z fV
s
ϑ≤
21. . . .cot .sinEd w cdV b z fν ϑ ϑ≤
En pratique, αααα est pris égal à 90°, donc :
…………………………….
………………………..
(1)
(2)
Exercice 1
. . .cotsw ydEd
A z fV
s
ϑ≤
21. . . .cot .sinEd w cdV b z fν ϑ ϑ≤
Sans regarder les dias qui précèdent, quelle est la condition qui, si elle est respectée, évite une rupture de la bielle de béton comprimée?
(1)
(2)
�
Exercice 2
. . .cotsw ydEd
A z fV
s
ϑ≤
21. . . .cot .sinEd w cdV b z fν ϑ ϑ≤
L’EC2 impose une valeur de cot θ comprise entre 0.5 et 2 (26.56°≤ θ ≤63.43°).Quelle est la valeur de θ conduisant àune densité d’étriers (Asw/s) minimale?
(1)
(2)
�
Exercice 2 : conclusion
La solution la plus économique, pour les étriers, sera celle correspondant à un angle θ :
�
�le plus petit�le plus grand
Exercice 3
2,max 1
1
1
. . . .cot .sin
. . . .cos .sin
sin 2. . . .
2
RD w cd
w cd
w cd
V b z f
b z f
b z f
ν ϑ ϑν ϑ ϑ
ϑν
==
=
Commen évolue, en fonction de θ (si 27°≤ θ ≤ 45°), VRD,max, l’effort tranchant provoquant une rupture par excès de compression dans les bielles comprimées?
�
VRD,max …. quand θ …
…………………………….
…………………………….
……………………
Dimensionnement économique des étriers
Dimensionnement économique des étriers
� On calcule d'abord
� Il faut choisir θ tel que : 26,56°< θ < 63,43°� On calcule ensuite la section Asw et le pas
« s » des étriers par :
1
2.1 = arcsin( )
2 . . Ed
w cd
V
b z fθ
ν 1 0,6.(1 )250
ckfν = −
. .cotsw Ed
ywd
A V
s z f θ=
Exemple
� Calculer les armatures d’effort tranchant (C25/30)
Armatures minimales de cisaillement
�ρw : taux d’armatures d’effort tranchant
�Asw : aire de la section des armatures d’effort tranchant régnant sur la longueur s
�s : espacement des armatures d’effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l’élément
�bw : largeur de l’âme de l’élément
(fck et fyk en MPa),min = 0,08 .
cksww w
w yk
fA
s b fρ ρ= >
Répartition des étriers
Armatures cisaillement : dispositions constructives (EC2)
• L'espacement longitudinal s maximal entre les cours d’armatures d’effort tranchant ne peut être supérieur à sl,max= 0,75d
• L'espacement transversal des brins verticaux dans une série de cadres, étriers ou épingles d’effort tranchant ne peut être supérieur à st,max = 0,75d ≤600 mm.
Armatures cisaillement : dispositions constructives (EC2)
�Si st >st,max ajouter étriers ou épingles
Conséquences du fonctionnement en treillis
� Effort dans la membrure inférieure (=armatures de flexion) augmente
� Bielle d’about : vérification sur appui des efforts concentrés
Poutre en Béton armé
Bielle en compression
Etrier en traction
Membrure inférieure tendue
Membrure supérieure compriméeq
Traction dans les armatures : Ftd
AA
α
MEd
VEd
C’
C
Q
FSc
FScw
al
θ
Ftd
. .td Ed Ed lF z M V a= +
A
Supplément dû à l ’effort tranchantTraction due à la flexion
.Ed Ed Ed Edtd l
M V M MF a
z z z
+ ∆= + =
Traction dans les armatures : Fst
z/2. (cotgθ + cotgα)
αθ
αθ
A
FScw
C
A
B C
MEd
VEd
FSc
Ftd
z
z/2. (cotgθ + cotgα)QQ
Q Qal = z/2. (cotgθ - cotgα)
B
Coupe à mi-longueur de maille
Traction dans l’armature longitudinale
.Ed Ed Ed Edtd l
M V M MF a
z z z
+ ∆= + =
.Ed Ed lM V a∆ =
x
M
dx
dMV
∆∆==Or
Avec
(cot cot )2l
zx a ϑ α∆ = = −D’où
Règle de décalage de l ’enveloppe des moments
x
M1
M2
M3
∆M1
∆M2
∆M3
ν
ν
ν
Variable
constante
EC2
Effet à l’appui
z
R
q.z.cotg θ Q = qw
L
w = z.(cotg θ + cotg α)
q.z.cotg θ
R E
Equilibre nœud E
FScw
Ftd
θθ α
. .cot
sin sinScw
R q z RF
θθ θ
−= ≃
tantd
RF
θ=
q
Règle du décalage
Ftd
al
L
EdM
z
� Poutre sur 2 appuis (effort dans l’armature)
Règle du décalage
� Poutre sur 3 appuis (effort dans l’armature)
Ftd
al
LL L
EdM
z
Vérifications à effectuer au droit de l'appui
θ
Longueur d’ancrage
2 1.sin 2.( ).cosa a h dθ θ= + −
� la section des armatures inférieures
� la contrainte de compression sur appui σσσσRd,1
� la contrainte de compression dans la bielle d'about σσσσRd,2
Vérifications à effectuer au droit de l'appui
θ
� la section des armatures inférieures
,min, . tan
ED appuitds appui
yd yd
VFA
f f θ= =
Vérifications à effectuer au droit de l'appui� la section des
armatures inférieures
� la contrainte de compression sur appui σσσσRd,1
� la contrainte de compression dans la bielle d'about σσσσRd,2
θ
max(σRd,1,σRd,2) ≤ 0.85 ν ν ν ν ’ fcdavec
ν ν ν ν ’ = 1 - fck /250 (fck en MPa)
Si largeur appui insuffisante…
Si largeur appui insuffisante…
Exemple
� Vérifier la poutre aux appuis (C25/30)