6. BÖLÜM

VEKTÖR UZAYLARI

n-BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Tanım: Eğer n pozitif bir tam sayı ise sıralı n-sayı, gerçel

sayılar kümesindeki n adet sayının (a1, a2,…, an) bir

dizisidir. Tüm sıralı n-sayılarının kümesi n-boyutlu

uzay olarak adlandırılır ve n ile gösterilir.

1 2, , , :1 n

n ia a a i n için a

VEKTÖR UZAYI

Tanım: V boş olmayan bir küme ve n n-boyutlu uzay (cisim)

olsun. Aşağıdaki önermeler doğru ise V kümesi n

uzayı üstünde bir vektör uzayıdır.

VEKTÖR UZAYI 1. V kümesinde + ile gösterilen ve adına toplama denilen

bir işlem tanımlanmıştır. Bu işlemin aşağıdaki özellikleri vardır.

a. Her u,vV için u+v tanımlıdır ve u+vV.

V kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

b. Her u,v,wV için (u+v)+w=u+(v+w)

V kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

c. 0V ve her uV için u+0=0+u

V kümesinde toplama işleminin birim elemanı vardır 0 ile gösterilir.

d. her uV için V kümesinde –u ile gösterilen ve u+(-u)=0 ve (-u)+u=0

eşitliklerini sağlayan bir –u elemanı vardır ve V

kümesinde toplamaya göre ters elemanı temsil eder.

e. Her u,vV için u+v=v+u özelliği vardır. V kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

VEKTÖR UZAYI

V V , (a,u)au biçiminde, adına skalerle çarpma

işlemi denilen bir fonksiyon tanımlanmıştır ve bu fonksiyon aşağıdaki önermeleri doğrular:

a. Her a ve her u,vV için a(u+v)=au+av.

b. Her ,a b ve her uV için (a+b)u=au+bu.

c. Her ,a b ve her uV için (ab)u=a(bu).

d. nin çarpmaya göre birim elemanı 1 olduğuna göre V nin her elemanı için 1u=u.

VEKTÖR UZAYI

Not: Verilen tanımda 1a-1d önermeleri (V,+) ikilisinin bir

grup olduğunu gösterir. 1e önermesi ise (V,+) grubunun değişmeli grup

olduğunu gösterir.

Tanım: Bir vektör uzayının her bir elemanına vektör denir.

ALT VEKTÖR UZAYI

Tanım: V kümesi, n uzayı üstünde bir vektör uzayı ve H

kümesi ise, V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Aşağıdaki iki önerme doğru ise H kümesi V

kümesinin bir alt vektör uzayıdır denir.

1. Her u,vH için u+vH

H kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. 2. Her a ve her uH için auH

H kümesi skalerle çarpma işlemine göre kapalıdır.

• İki vektör birbirleriyle çarpılabilir fakat bölünemez.

• İç çarpım ve vektörel çarpım, vektör uzaylarında yer almaz.

VEKTÖR UZAYI

Örnek: En temel örnek n uzayında vektörlerin toplanması ve çarpılmasıdır(iç çarpım)

Örnek: n uzayının herhangi doğrusal bir alt uzayı da bir vektör uzayıdır. Alt uzayın tanımı göz önüne

alınarak, vektörlerle birlikte vektörlerin toplamları ve çarpımları tanımlı oldukları alt uzayda anlamlıdır.

VEKTÖRLERİN DOĞRUSAL KOMBİNASYONU

Tanım: V kümesi, n uzayı üstünde bir vektör uzayı ve E

kümesi, 1 2, , , nE v v v ise, V nin boş olmayan sonlu bir alt kümesi olsun. uzayından (cisminden) herhangi 1 2, , , nc c c elemanları alınarak elde edilen,

1 1 2 2 n nc c c w v v v

vektörüne 1 2, , , nv v v vektörlerinin doğrusal kombinasyonu denir.

Bkz. Soru 1

DOĞURAN(BAZ) VEKTÖRLER

Tanım: V vektör uzayının her v vektörü, yine bu uzayın 1 2, , , nv v v gibi n tane vektörünün doğrusal

kombinasyonu olarak;

1 1 2 2 n n i ic c c c v v v v v

şeklinde ifade edilebiliyorsa, bu vektörler kümesine, 1 2, , , nv v v vektörleri tarafından türetilmiş (gerilmiş)

bir vektör uzayı denir. 1 2, , , nv v v vektörlerine uzayın türeten (gergi) vektörleri ya da baz vektörler denir.

DOĞRULMUŞ UZAY

Tanım: 1 2, , , nS v v v baz vektörler kümesi ile türetilmiş

bir W doğrusal uzayı, lin S ya da 1 2lin , , , nv v v

ile gösterilir. Bkz. Soru 2

DOĞRULMUŞ UZAY Teorem: 1 2, , , nα α α ve 1 2, , , kβ β β kümeleri bir V

vektör uzayının alt kümeleri olsun. 1 j n

olacak şekilde her j doğal sayısı için jα vektörü,

1 2, , , kβ β β kümesinin bir doğrusal kombinasyonu,

1 1 2 2

1

k

j j j kj k ij j

i

c c c c

α β β β β

ise

1 2 1 2lin , , , lin , , ,n kα α α β β β

EN KÜÇÜK ALT UZAY Teorem: 1 2, , , nv v v , V vektör uzayındaki vektörler olsun. a. 1 2, , , nv v v vektörlerinin tüm doğrusal

kombinasyonlarının oluşturduğu W kümesi V vektör uzayının bir alt kümesidir.

b.Eğer 1 2, , , nv v v vektörlerini içeren V vektör uzayının en küçük alt uzayı W ise 1 2, , , nv v v

vektörlerini içeren V vektör uzayının tüm diğer alt uzayları W kümesini içerir.

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK

Tanım: Eğer 1 2, , , nS v v v boş olmayan bir vektörler kümesi ise,

1 1 2 2 n nc c c v v v 0

vektör denkleminin, 1 2 0nc c c

ile tanımlanan en az bir çözümü vardır. Tek çözüm bu sıfır çözümü ise vektörler doğrusal bağımsızdırlar. En az bir 0ic olacak şekilde çözüm var ise vektörler doğrusal bağımlıdır.

Bkz. Soru 3

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: m uzayında,

1 11 21, 1, , mv v vv , 2 12 22, 2, , mv v vv , …,

1 2 ,, ,m m m mmv v vv vektörleri verilmiş olsun. 1, , mv v vektör kümesinin doğrusal bağımsız olması için,

11 12 1

21 22 2

1 2

0

m

m

m m mm

v v v

v v v

v v v

olması gerekli ve yeterlidir.

Bkz. Soru 3

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: İki ya da daha fazla vektör içeren bir S kümesi,

a. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerden en az biri bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak ifade edilebiliyor ise

doğrusal bağımlıdır. b. ancak ve ancak S kümesindeki vektörlerin hiç biri

bu kümedeki diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak ifade edilemiyor ise

doğrusal bağımsızdır.

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK

Teorem: m uzayında, 1, , nv v vektörleri verilsin. m<n ise

1, , nv v kümesi doğrusal bağımlıdır.

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN GEOMETRİK YORUMU

2 ya da 3 boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine yerleştirilmiş iki vektör ancak ve ancak, aynı doğru üzerinde yer almıyor ise bağımsızdırlar.

Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımsız

DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN GEOMETRİK YORUMU

3 boyutlu uzayda başlangıç noktaları orijine yerleştirilmiş üç vektör ancak ve ancak, aynı düzlem üzerinde yer almıyor ise bağımsızdırlar.

Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımsız

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Düzlemsel analitik geometride, düzlemdeki bir P noktasına ait (a,b) koordinatları, birbirine dik iki koordinat ekseni üzerine P noktasının izdüşüm değerlerini belirtir. Her bir koordinat çifti bu düzlemdeki bir ve yalnız bir noktaya karşılık gelir.

Koordinat sistemi düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı çiftleri arasında bire bir bir ilişki tanımlar.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ

Birbirine dik eksenlerden oluşan koordinat sistemi en çok kullanılan sistemdir. Bununla birlikte bu düzlemde birbirine paralel olmayan her

hangi iki doğru da bir koordinat sistemi tanımlamak için kullanılabilir.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ

Amaç; bir koordinat sistemi kavramını vektör uzayları üzerinden genellemektir. Başlangıç aşaması, bu koordinat sistemini oluşturan eksenler yerine vektörlerin kullanılmasına imkan tanıyan bir formülasyon tanımlamaktır. Her bir koordinat ekseni uzunluğu 1 birim olan bir vektör ile değiştirilir. Örneği v1 ve v2 gibi.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ

P düzlemdeki bir nokta ise OP vektörü, v1 ve v2 vektörlerinin doğrusal kombinasyonu; OP=av1+bv2

olarak yazılabilir. Vektör formülünde yer alan a ve b sayıları P noktasının bu koordinat sistemindeki koordinat değerleridir.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ

Tanım: Bir koordinat sistemini belirleyen vektörlere baz vektörler denir. Birim uzunlukta olmaları şart değildir. Bir koordinat sistemi baz vektörler kümesi ile tanımlandığında, baz vektörlerin uzunlukları koordinat eksenleri üzerindeki ardışık tam sayılar arasındaki mesafeyi belirler.

BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ

BAZ: TABAN

Tanım:Eğer V her hangi bir vektör uzayı ise ve

1 2, , , nS v v v , V vektör uzayındaki bir vektörler kümesi ise, aşağıdaki iki şartı sağlaması durumunda S kümesi baz olarak adlandırılır.

a. S kümesi doğrusal bağımsızdır. b.S kümesi V vektör uzayını türetir.

Matematikte bir problem ilk kez oluşturulduğunda en çok bilinen

ve kullanılan standart koordinatlardır. Örneğin problem 3 uzayında

tanımlanmış ise x, y ve z ile tanımlanan kartezyen koordinatlar kullanılır.

Bu koordinat sisteminde tanımlı standart baz,

321

1

0

0

0

1

0

0

0

1

eee zyxzyx

z

y

x

eşitlikleri ile verilebilir.

321 ,, eeeS

kümesi 3 için standart baz vektörlerdir.

STANDART BAZ

STANDART BAZ Bir n uzayındaki birim vektörler 1 1,0, ,0e , 2 0,1, ,0e ,…, 0,0, ,1n e

ise bu vektörlerin oluşturduğu küme, 1 2, , , nS e e e

n uzayında doğrusal bağımsız bir kümedir. n uzayındaki her hangi bir 1 2, , , nv v vv vektörü

1 1 2 2 n nv v v v e e e

şeklinde yazılabileceği için S kümesi aynı zamanda n vektör uzayını türetir. Tanım: 1 2, , , nS e e e kümesi n vektör uzayı için bir

bazdır ve standart baz olarak adlandırılır:

n uzayında tanımlı standart baz nS ee ,...,1 vektörlerin önemli

iki özelliği:

Standart baz vektörler birim uzunluğa sahiptir.

1 i

T

iiii eeeee

Standart baz vektörler çifterli olarak ortogonaldir. 0 i

T

iji eeee , ji için

Bu iki özellik,

ji

jiee ijji

,0

,1

şeklinde özetlenebilir. Burada ij Kronecker deltadır ve birim matrisin

elemanlarını tanımlar.

STANDART BAZ

Yukarıdaki eşitliklerden görülebileceği gibi verilen v ve w

gibi iki sütun vektörü için v.w iç çarpımı ile wvT

matris

çarpımı aynı sonucu verir. Burada sonuç bir skalerdir.Bununla birlikte

Tvw şeklinde tanımlanan dış çarpım sonucunda bir

kare matris elde edilir. Standart baz vektörlerin dış çarpımı ile aşağıdaki ilginç matrisler elde edilir.

STANDART BAZ

T

111 eeπ

001

0

0

1

000

000

001

T

nnn eeπ

100

1

0

0

100

000

000

STANDART BAZ

iπ matrislerinde i-inci köşegen eleman 1 olup, diğer tüm elemanlar sıfırdır.

T

jj

T

iili eeeeππ

T

jiji eδe

olduğundan,

ji

jii

li0

πππ

olur.

Ayrıca köşegen elemanları n ,...,, 21 olan bir D köşegen matrisi,

nnππD ...11

şeklinde yazılabilir.

STANDART BAZ

Bazı özel problemler için, problemi basitleştiren farklı bir koordinat

sistemi de olabilir. Örneğin; bir gezegenin güneş çevresindeki hareketi

ile ilgilenildiğinde güneş, orijin noktasına konularak problemin çözümü

kutupsal koordinatlarda gerçekleştirilebilir.

Standart bazdan farklı vektörlerin tanımladığı vektör kümesi genellikle,

nS vv ,...,1

şeklinde tanımlanır.

FARKLI BAZ YAPILARI

BAZ: TABAN

Teorem 6.1: Eğer 1 2, , , nS v v v kümesi bir V vektör uzayının bazı ise, V vektör uzayındaki her v

vektörü

1 1 2 2 n nc c c v v v v

olacak şekilde tek bir doğrusal kombinasyonla ifade edilebilir.

Bkz. Soru 4

Bkz. Soru 5

BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR

Tanım: Eğer 1 2, , , nS v v v kümesi bir V vektör uzayının bazı ise ve herhangi bir v vektörü

1 1 2 2 n nc c c v v v v

ile tanımlanmış ise 1 2, , , nc c c skalerleri S bazına göre v vektörünün koordinatlarıdır ve

n

s

c

c

c

2

1

v

ile gösterilir. Bkz. Soru 6

Teorem: n uzayında tanımlı bir v vektörünün koordinatları eşsizdir.

İspat: 2 uzayında tanımlı bir v vektörü için iki koordinat kümesinin olduğu varsayılsın:

2211 vvv cc

2211 vvv dd

BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR

BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR

Bu iki ifade birbirinden çıkarılarak,

2221110 vv dcdc

21, vv baz vektörleri, doğrusal bağımsız olduğu için 011 dc ve

022 dc olmalıdır. Sonuç olarak 11 dc ve 22 dc bulunur. Bu sonuç koordinatların eşsiz olduğunu kanıtlar.

Elde edilen sonuç n için genellenebilir.

Eğer bir n uzayı için bir baz vektörler kümesi nS vv ,...,1

tanımlanmış ise, bu vektör uzayındaki bir v vektörünün bu baza göre

koordinatları, baz vektörlerin oluşturduğu,

nvvA ,...,1

matrisi ve bilinmeyen koordinat vektörünün

n

s

c

c

1

v

oluşturduğu

vAv s

doğrusal denklem sistemi çözülerek elde edilir.

BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR

Standart baz gibi önemli özelliklere sahip diğer baz yapıları da

ortogonal ve ortanormal bazlardır.

Ortogonal baz npp ,...,1 vektörler kümesindeki tüm vektörler

ikişerli olarak birbirine diktir(ortogonaldir).

0jipp , ji için

Ortanormal baz nuu ,...,1 vektörler kümesindeki tüm vektörler

ortogonal olmalarının yanında, aynı zamanda birim uzunluğa sahiptir.

ijji δuu

ORTOGONAL-ORTANORMAL BAZLAR

Teorem: bir ortanormal baz nuu ,...,1 için v vektörü,

nn uvuuvuv ...11

i

ii uvu

şeklinde ifade edilebilir.

ORTANORMAL BAZLAR

ORTANORMAL BAZLAR

İspat: n için bir ortanormal baz nT uu ,...,1 olsun.

T bir baz olduğu için n ’deki bir v vektörü baz vektörlerin

doğrusal kombinasyonu olarak,

nncc uuv ...11

yazılabilir.

ORTANORMAL BAZLAR T kümesindeki herhangi bir vektör ile v vektörünün iç çarpımı, iu

vektörleri ortanormal olduğundan,

inniiiii ccc uuuuuuvu ......11

0...1...01 ni ccc

ic

Elde edilen sonuç kullanılarak,

1111 ... uvuuvuv

ispat tamamlanır.

BAZ ve BOYUT

Tanım: Sıfırdan farklı bir vektör uzayı V, eğer baz vektörler kümesi 1 2, , , nv v v sonlu sayıda vektörü içeriyor ise sonlu boyutlu olarak adlandırılır. Aksi halde sonsuz boyutlu vektör uzayı denir.

BAZ ve BOYUT Teorem: Eğer 1 2, , , nS v v v kümesi bir V vektör

uzayının bazı ise V vektör uzayındaki n adetten

fazla vektör içeren her küme doğrusal bağımlıdır.

Teorem: Sonlu boyutlu bir vektör uzayı için her hangi iki baz küme aynı sayıda vektöre sahiptir.

Tanım: Sonlu boyutlu bir V vektör uzayının boyutu baz vektör kümesindeki vektör sayısıdır ve

dim(v)

ile gösterilir

BAZ ve BOYUT

Teorem: V boyutu n olan bir vektör uzayı olsun. a. 1 2, , , rS v v v kümesi V vektör uzayındaki doğrusal bağımsız vektörlerin oluşturduğu bir küme ise ve eğer r<n ise, S kümesi V vektör uzayının bir bazı olacak şekilde 1 2, , ,r r n v v v vektörleri dahil edilerek genişletilebilir. Burada V vektör uzayının baz kümesi;

1 2 1 2, , , , , , ,r r r nS v v v v v v

b. Eğer W, V vektör uzayının bir alt uzayı ise; dim dimW V .

Ancak ve ancak W=V ise dim dimW V

SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisi

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A

olsun. A matrisinin satır vektörleri; 1 11 12 1, , na a ar

2 21 22 2, , na a ar

1 2, ,m m m mna a ar

ve sütun vektörleri:

11

21

1

1m

a

a

a

c ,

12

22

2

2m

a

a

a

c , ,

1

2

n

n

n

mn

a

a

a

c

SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAYI

Boyutu mn olan bir A matrisi sütun vektörlerine göre,

1 2 nA c c c

ya da satır vektörlerine göre,

1

2

m

r

rA

r

yazılabilir.

SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY

Teorem: Eğer A ve B satır denk matrisler ise

a. A matrisinin verilen bir sütun vektörü kümesi ancak ve ancak B matrisinin karşılık gelen sütun vektörü kümesi doğrusal bağımsız ise doğrusal bağımsızdır.

b. A matrisinin verilen bir sütun vektörü kümesi ancak ve ancak B matrisinin karşılık gelen sütun vektörü kümesi B matrisinin sütun uzayı için bir baz oluşturuyor ise A matrisinin sütun uzayı için bir baz oluşturur.

Bkz. Soru 9

SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY

Teorem: Eğer bir matris satır echelon yapısında ise satırda ilk 1 (pivot) elemana sahip sütun vektörleri bu matrisin sütun uzayı için bir baz oluşturur.

Bkz. Soru 10

Sütun uzayı için bulunan vektörler orijinal matrisin vektörleridir. Bununla birlikte satır uzayı için yapılan çalışmada bulunan baz vektörler orijinal matrisin vektörleri değildir.

SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAYI

Sonuç olarak bir Ax doğrusal denklem sistemi;

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

Ax

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

n

n

n

m m mn

a a a

a a ax x x

a a a

ya da eşdeğer olarak:

1 1 2 2 n nx x x Ax c c c

SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY

Doğrusal cebir uygulamalarında, n uzayının alt uzayları

genellikle şu iki şekilde ortaya çıkar:

1) doğrusal homojen denklem sisteminin çözüm kümesi

olarak 0Ax (boş uzay) ya da

2) verilen vektörler kümesinin tüm doğrusal

kombinasyonlarının kümesi olarak, bAx [rank(A)]

BOŞ UZAY Bir Matrisin Boş Uzayı:

Bir homojen denklem sisteminin çözüm kümesi, vektör

uzayıyla tanımlanabilir.

Boyutu m×n olan bir A matrisi için boş uzay, 0Ax

denklem sisteminin çözüm kümesidir.

Tanım: Boş Uzay

Boyutu m×n olan bir A matrisinin Null(A) ile gösterilen boş

uzayı, 0Ax homojen denklem sisteminin tüm çözümlerinin kümesidir.

Küme notasyonunda,

0AxxxA veNull n:

A matrisinin boş uzayı )ker(A (çekirdek) olarak adlandırılır.

Not-1: Belirtilen bu küme n uzayının bir alt uzayıdır. Eğer boyutu m×n olan bir matris

inceleniyorsa, Null(A) uzayının elemanları n uzayında tanımlı vektörlerdir.

Not-2: Null(A) uzayının elemanları(hangi vektör uzayına ait oldukları), sadece A matrisinin

sütun sayısına bağlıdır.

Not-3: Homojen denklem sistemlerinde daima en az bir sıfır çözüm (0 vektörü) olduğundan,

0ANull olur. Asıl soru sıfırdan farklı çözümün olup olmadığıdır.

Eğer A matrisinin tersi alınabiliyorsa, 0A Null ’dır. Bunun anlamı:

Eğer A matrisinin tersi alınabiliyorsa, 0Ax homojen denklem sisteminin

sadece sıfır çözümü vardır.

BOŞ UZAY

BOŞ UZAY

Bir uzay için herhangi bir alt uzay (bir matrisin boş uzayı gibi) tanımlamanın en kolay

yolu, o uzay için bir baz tanımlamaktır.

Bir denklem sisteminin çözümünde bA genişletilmiş matrisi üzerine elemanter

satır işlemleri uygulanarak çözüm elde edilmekteydi. Bu nedenle elemanter satır

işlemlerinin doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini değiştirmediği açıktır.

Not-4: Bir matrisin bazı, elemanter işlemler ile matrisi echelon matrise indirgeyerek

belirlenir. Daha sonra 0Ax için çözüm kümesi bulunmalıdır.

Bir matrisin boş uzayı bulunmak istendiğinde, öncelikle bunun için bir baz belirlenmelidir.

Öncelikle Null(A) uzayının elemanlarının, n uzayının elemanları olduğu belirlenmelidir.

BOŞ UZAY

Boyutu mn olan bir A matrisinden elemanter satır işlemleri ile elde edilen matris B olsun. Bu matrislerin

sütun vektörleri sırası ile, 1 2, , , nc c c 1 2, , , n

c c c

olsun. İki matris için homojen doğrusal denklem sistemleri Ax=0 Bx=0

ya da

1 1 2 2 n nx x x c c c 1 1 2 2 n nx x x c c c

BOŞ UZAY

Örnek:

48542

13221

71163

A matrisinin boş uzayı belirlensin.

Bu sistemin genişletilmiş matrisi,

0

0

0

48542

13221

71163

ve echelon yapısı

0

0

0

00000

22100

31021

Sistemin çözümü

tx

sx

tsx

rx

tsrx

5

4

3

2

1

22

32

BOŞ UZAY

ya da

1

0

2

0

3

0

1

2

0

1

0

0

0

1

2

5

4

3

2

1

tsr

x

x

x

x

x

şeklinde yazılabilir.

BOŞ UZAY

0

0

0

1

2

u ,

0

1

2

0

1

v ve

1

0

2

0

3

w

olmak üzere, wvu ,, kümesi Null(A) uzayını tanımlayan baz

vektörlerdir ve Null(A), wvu ,, ’nin bir alt kümesidir. Belirtilen

bu küme doğrusal bağımsızdır ve Null(A) için bir bazdır. Böylece

Null(A), 3 boyutludur ve

1

0

2

0

3

,

0

1

2

0

1

,

0

0

0

1

2

bazıyla 5 uzayının bir alt uzayıdır.

BOŞ UZAY

Teorem: Bir A matrisi üzerinde yapılan elemanter satır işlemleri Null(A) uzayını

değiştirmez.

Tanım: Bir A matrisi için boşluğun boyutu, nullity(A) ile gösterilir ve boş uzayın boyutuna eşittir.

BOŞ UZAY Örnek:

Aşağıda verilen bir A matrisi ele alınsın.

111

113A

Buna göre 1,2,1 vektörü,

0

0

1

2

1

111

113

Sağlanıyorsa A matrisinin boş uzayında yer alır.

BOŞ UZAY

Aynı şekilde 1,1,1 vektörü,

0

0

1

3

1

1

1

111

113

Eştiliğini sağlamadığı için A matrisinin boş uzayında yer almaz.

SATIR-SÜTUN UZAYI

Tanım: Boyutu m×n olan bir A matrisi için,

1. A matrisinin satır uzayı, yine A matrisinin satır vektörleri olan mrr ,...,1 bazının tanımladığı bir uzaydır.

2. A matrisinin sütun uzayı, yine A matrisinin sütun vektörleri olan mcc ,...,1 bazının tanımladığı bir uzaydır.

Not: Bir A matrisinin satır uzayı n uzayının bir alt uzayı, sütun

uzayı ise m uzayının bir alt uzayıdır. Böylece Boyut(satır uzayı(A))≤n ve

Boyut(sütun uzayı(A))≤m olur.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü ile matrisler arasında yakın bir ilişki

olduğuna göre, bir A matrisinin ve bAx denklem sisteminin boş uzayı, satır

uzayı ve sütun uzayı arasında bir ilişki mevcut mudur?

SATIR-SÜTUN UZAYI

SATIR-SÜTUN UZAYI Bilinmeyen vektörü

nx

x

x

2

1

x

olmak üzere, denklem sistemi

nnxxx cccAx ...2211

şeklinde yazılabilir. Böylece bccc nnxxx ...2211 olur.

Bu sistemin bir çözümünün olabilmesi için b vektörü, nccc ,...,, 21

kümesinin tanımladığı uzayda yer almalıdır.

SATIR-SÜTUN UZAYI

Teorem: bAx denklem sistemi, sadece ve sadece b vektörü

A matrisinin sütun uzayında bulunduğunda tutarlıdır.

Teorem: Bir A matrisi üzerinde yapılan elemanter satır işlemleri satır uzayını değiştirmez.

Not: Tüm matrisler eşsiz bir satır-echelon yapıya dönüştürülebilir

Not: Bu teorem bir A matrisinin sütun uzayı için geçerli değildir.

Örnek:

000

121

121

121

)1(21R

İkinci matrisin sütun uzayının tüm ikinci elemanları sıfırken, ilk matris için aynı durum

söz konusu değildir.

SATIR-SÜTUN UZAYI

Teorem: A ve B satır denk matrisler(birinde uygulanan elemanter satır

işlemleriyle diğeri elde edilebiliyorsa) olmak üzere,

1. A matrisinin sütun vektörleri kümesi sadece ve sadece B matrisinde

bu vektörlere karşılıkgelen sütun vektörleri doğrusal bağımsız ise

doğrusal bağımsızdır. 2. A matrisinin sütun vektörleri kümesi sadece ve sadece, B matrisinde

bu vektörlere karşılık gelen sütun vektörleri B matrisinin sütun uzayı için bir baz tanımladığı durumda A matrisinin sütun uzayı için bir baz tanımlar.

Not:

Satır-echelon formdaki bir matrisin sıfır olmayan satırları bağımsızdır. Satır-echelon formdaki bir matrisin sıfır olmayan satırları, matrisin

satır uzayı için bir baz tanımlar.

SATIR-SÜTUN UZAYI

Teorem: Eğer bir A matrisi echelon formda ise,

1. Pivot elemanı 1 olan satır vektörleri A matrisinin satır uzayı için birer baz tanımlar.

2. Pivot elemanı 1 olan sütun vektörleri A matrisinin sütun uzayı için birer baz tanımlar.

Sütun uzayı için bulunan vektörler, orijinal matrisin vektörleridir. Bununla

birlikte, satır uzayı için yapılan çalışmada bulunan baz vektörler, orijinal matrisin vektörleri değildir.

Yukarıdaki iki teoremden anlaşılabileceği üzere, bir matrisin satır uzayı

araştırılıyor ise ilk işlem, matrisi satır echelon yapıya dönüştürmek ve pivot

elemana sahip satırları belirlemektir

SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY

Satır uzayının orijinal matris vektörleri olarak elde edilmesi:

a. Orjinal matrisin transpozunu al.

Bu işlem orijinal A matrisinin satır uzayını AT

matrisinin sütun uzayına dönüştürür. b. AT matrisi için satır echelon matrisi elde et.

Bu işlem AT matrisinin sütun uzayı için baz vektörleri bulacaktır.

c. Bulunan baz sütun vektörlerinin transpozunu al. Bu işlem A matrisinin satır uzayını orijinal vektörler cinsinden elde eder.

Bkz. Soru 11

Elemanter satır işlemleri sonucunda sütun uzayı aynı kalmadığı için, bir matrisin sütun uzayının belirlenmesi kısmen daha zordur. Bir A matrisinin satır-echelon

formdaki yapısı B matrisi olsun. Belirtilen A matrisinin sütunları ncc ,...,1 , B

matrisinin sütunları da ''

1,..., ncc vektörleri olsun. Bu durumda B matrisinin

sütunlarında pivot elemanı 1 olan sütunlara bakılır. A matrisinin sütun uzayında baz oluşturan ic vektörleri, B matrisinin sütunlarında pivot elemanı 1 olan

sütunlara karşılık gelen '

ic vektörlerinin indisi i değerlerine göre belirlenir.

SATIR-SÜTUN UZAYI

RANK VE BOŞLUK (NULLİTY)

Teorem: A herhangi bir matris olmak üzere, A matrisinin

satır uzayı ve sütun uzayı aynı boyuta sahiptir. Tanım: Bir A matrisinin satır uzayı ve sütun uzayının

boyutu A matrisinin rankı olarak adlandırılır.

SATIR-SÜTUN UZAYI

Tanım: Bir matrisin rankı, satır/sütun uzayının boyutuna eşittir.

Teorem: Boyutu m×n olan bir A matrisi için,

AA nullityrankn

SATIR-SÜTUN UZAYI

Örnek: Echelon formdaki A matrisi ele alınsın.

00000

01000

00310

30521

A

Buna göre A matrisinin satır ve sütun uzayları için bir baz bulunuz.

SATIR-SÜTUN UZAYI

Çözüm: Verilen matris echelon formda olduğu için yukarıdaki teorem doğrudan uygulanabilir.

Satır uzayı: 1’lerle başlayan satır vektörleri kümesi bir bazdır. 01000,00310,30521 Satır uzayı 3 boyutludur.

Sütun uzayı:

0

1

0

0

,

0

0

1

2

,

0

0

0

1

Sütun uzayı 3 boyutludur.

Not: Yukarıdaki örnekte satır ve sütun uzaylarının boyutlarının aynı olması tesadüf değildir.

Her zaman satır ve sütun uzaylarının boyutları eşittir.

SATIR-SÜTUN UZAYI

Teorem: Eğer 0x vektörü, bAx denklem sisteminin bir çözümü

ve kvv ,...,1 da A matrisinin boş uzayı için bir baz ise, x vektörü

sadece ve sadece

kkcc vvxx ...110

ise bAx denklem sisteminin bir çözümüdür.

SATIR-SÜTUN UZAYI İspat: bAx denklem sisteminin bir çözümü 0x ve rvv ,...,1 A matrisinin boş uzayı için

bir baz olsun. Eğer x vektörü bAx denklem sisteminin bir çözümü ise bAx 0 ve

AxAx 0 ya da 0xxA 0 olur. Böylece 0xx vektörü A matrisinin boş uzayındadır.

rrccc vvvxx ...22110

Tersine, herhangi rccc ,...,, 21 skalerleri için rrccc vvvxx ...22110 olmak üzere

0x , bAx denklem sisteminin bir çözümü ise x vektörü bAx denklem sisteminin

çözümüdür.

rrccc vvvxAAx ...22110

rrccc AvAvAvAx ...22110

00b ...

Burada iv vektörleri Null(A) uzayı için bir bazdır.

SATIR-SÜTUN UZAYI Boyutu m×n olan bir A matrisi ele alınsın. A matrisi ile çarpım

fonksiyonunun;

Girdileri n uzayında tanımlı vektörler,

Çıktıları ise m uzayında tanımlı vektörlerdir.

A matrisinin boş uzayı, bu fonksiyon ile sıfıra atanan tüm vektörlerin oluşturduğu kümedir.

A matrisinin görüntü kümesi, bu fonksiyonun tüm mümkün çıktılarıdır.

A matrisinin satır uzayı, boş uzaya her zaman dik olan ve satır vektörlerinin bir baz tanımladığı uzaydır.

A matrisinin sütun uzayı,görüntü kümesiyle her zaman aynı olan ve sütun vektörlerinin bir baz tanımladığı uzaydır.

BOŞ UZAY

A matrisi ile

çarpım

BOŞ UZAY

Yukarıdaki şekilde soldaki koyu düzlem boş uzaydır ve bu

düzlemdeki herhangi bir noktanın A matrisi ile çarpımı sıfırdır.

Sağdaki noktalar ise vektörler A matrisi ile çarpıldığında ortaya

çıkabilecek bazı mümkün sonuçları göstermektedir. Yine sağdaki

doğru ise sütun uzayına eşit olan görüntü kümesini göstermektedir.

Soldaki doğru ise satır uzayını göstermektedir.

BOŞ UZAY

Boş uzay

0Axx :

BOŞ UZAY

Görüntü Kümesi

nxAx :

SATIR UZAYI

Satır uzayı

A matrisinin satırlarını kapsamaktadır

SÜTUN UZAYI

Sütun uzayı

A matrisinin sütunlarını kapsamaktadır