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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 120
8.CALCUL PRATIQUE DES FORCES DE
LIAISON
8.1POUTRES DROITES
La poutre droite est un corps unidimensionnel caractris par un
axe qui est une ligne droi t et une section transversale.
8.1.1 Poutre droite simplement appuye
Est une poutre droi te avec un appui simple et une arti culation, les
appuis tant situsaux extrmits.
EXEMPLE 1 :Dterminer les ractions pour la poutre droite simplement appuye, figure 8.1.
Fig. 8.1
Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3x1 - (2x1 + 1x1) =0 gomtrique strictement invariable
E = 3 ; N = 3 ; E - N = 0 isostatique
Le systme des quations dquilibre:
x = 0 >> H1
M1= 0 >> V2M2= 0 >> V1
vrification : y
O
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x = 0 ; H1- 10qa cos 30= 0 H1= 8.7 qa
M1= 0 ; -(q 6a) (a + 3a) - 10qa sin 308a + V29a = 0 V2= 7.11qa
M2= 0 ; +10qa sin 30a + (q 6a) (2a + 3a) - V19a = 0 V1= 3.89qa
vrification. : y = 3.89qa + 7.11qa - 10qa sin 30- (q 6a) = 0
8.1.2 Poutre droite en console
Est une poutre droite qui a un appui de type encastrement une
extrmit.
EXEMPLE 2 :
Dterminer les ractions pour la poutre droite en console, figure 8.2.
Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3 x 1 - (3 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable
E = 3 ; N = 3 ; E - N =0 isostatiqueLe systme des quations
dquilibre:
x = 0 >> H1
y = 0 >> V1
M1= 0 >> M1vrif. : MA
Fig. 8.2
x = 0 ; - H1+1
23q a
= 0 H1= 1.5qa
y = 0 ; V1- qa = 0 V1= qa
M1= 0 ; M1-1
23
1
33q a a
= 0 M1= 1.5qa
2
------------------
vrif. : MA= 1.5qa2+
a3
3
2a3q2
1 - 1.5qa 3a = 0
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 122
8.1.3 Poutre droite avec console
Est une poutre droi te avec un appui simple et une articulation
situent suivent laxe.
EXEMPLE 3 :
Dterminer les ractions pour la poutre droite avec console, figure 8.3.
Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3 x 1- (2 x 1 + 1 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable
E = 3 ; N = 3 ; E - N = 0 isostatique
Le systme des
quationsdquilibre:
x = 0 >> H1
M1= 0 >> V2
M2= 0 >> V1
vrif. : y
Fig. 8.3
x = 0 H1= 0
M1= 0 ; -(20 x 10) (5 - 2)30 x 4 + V2x 8 = 0 V2= 90 kN
M2= 0 ; ( 20 x 10)5 + 30 x 4 - V1x 8 = 0 V1= 140 kN
vrif. : y = 140 - (20 x 10)30 + 90 = 0
EXEMPLE 4 :Dterminer les ractions pour la poutre droite, figure 8.4.
Observation : lappuy simple (2) a une direction incline. Linconnue 2R est
dcompose en deux composantsverticale et horizontale.
Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3 x 1 - (2 x 1 + 1 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable
E = 3 ; N = 3 ; E - N = 0 isostatique
Le systme des quationsdquilibre:
C
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 123
x = 0 >> H1
M1= 0 >> R2
M2= 0 >> V1vrif. : y
Fig. 8.4
x = 0 ; H1- R2cos 30= 0 H1= 9.09 qa
M1= 0 ; -(q 3a) 1.5a - 2qa x 3a + R2sin 30 x 2a = 0 R2= 10.5qa
M2= 0 ; +(q 3a) (1.5a - a) - 2qa x a - V12a = 0 V1= - 0.25qa
vrif. : y = - (q 3a) - 2qa - 0.25qa +10.5qa sin 30= 0
8.2
STRUCTURES
8.2.1 Structure simplement appuye
EXEMPLE 5 :
Dterminer les ractions pour la structure de la figure 8.5.
Fig. 8.5
Caractrisation gomtrique et statique:G1= 3 x 1 - (2 x 1 + 1 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable
E = 3 ; N = 3 ; E - N = 0 isostatique
Les quations: x = 0 >> H1
M1= 0 >> V2
20pa
10pa
p2a
4a4a4a
21
C
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M2= 0 >> V1vrif. : y
x = 0 ; H1+ 10 pa = 0 H1= 10 pa
M1= 0 ; - 20 pa 4a + V28a + (p 4a) 10a + 10 pa 2a = 0 V2= 2,5 pa
M2= 0 ; - V18a + 20 pa 4a + (p 4a) 2a + 10 pa 2a = 0 V1= 13,5 pa
vrif. : y = 13,5 pa - 20 pa + 2,5 pa + (p 4a) = 0
8.2.2 Structure en console
EXEMPLE 6 :
Vrifier vos calcules, fig. 8.6 :
Fig. 8.6
Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3 x 1 - (3 x 1) = 0 gomtrique strictement invariableE = 3 ; N = 3 ; E - N =0 isostatique
Le schma de forces:
Les quations et les rsultats:
4pa
2,5p
13,5p
10pa
20pa10pa
2a
2a2a4a4a
21
20pa
10pa
p2a
4a4a4a
1
4pa
20pa
10pa
2a
2a2a4a4a
V1
H1 1
M1
C
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8.2.3 Structure avec trois appuis simples
EXEMPLE 7 :Vrifier vos calcules, fig. 8.7:
Fig. 8.7
Le schma de forces
Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3 x 1 - (2 x 1 + 1 x 1) = 0 gomtrique strictement invariable
E = 3 ; N = 3 ; E - N = 0 isostatique
x = 0 >> H1
y = 0 >> V1
M1= 0 >> M1
vrif. : MA
4pa
20pa
10pa
2a
2a2a4a4a16pa
10pa 1
20pa2
A
20pa
10pa
p2a
4a4a4a
21
3
A
4pa
V2
V3
H1
20pa10pa
2a
2a2a4a4a
21
3
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 126
x = 0 >> H1
MA= 0 >> V2
M2= 0 >> V3
vrif. : y
Les
rsultats:
8.3POUTRES CONSSOLEE
EXEMPLE 8 :Dterminer les forces de liaisons pour la structure de la figure 8.8.
Fig. 8.8
Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3 x 3 - (3 x 1 + 2 x 2 + 1 x 2) = 0 gomtrique strictement invariableE = 3 x 3 ; N = 3 + 4 + 2 ; E - N = 0 isostatique
I . En appli quant la mthode disolation des corps,Le schma de forces est donne dans la fig. 8.8.a
La structure est compose par trois barres droites. La barre 1-2 est porte
droite ; la barre 2-3-4 est porteuse gauche et porte droite; la barre 4-5 est lecorps porteur.
En appliquant la mthode disolation des corps toutes les forces de liaisons
(extrieures et intrieures) sont mises en vidence.Pour chaque corps on va crit trois quations dquilibre.
2a6a4a 2a2a6a
p
54
32
110pa
20pa2
4pa
27pa
43pa
10pa
20pa
10pa
2a
2a2a4a4a
21
3
C
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 127
Fig. 8.8.a
Corps I
x = 0 H2= 0
M1= 0 V210a(p 6a) (4a + 3a) = 0 V2= 4,2 pa
M2= 0 - V110a + (p 6a) 3a = 0 V1= 1,8 pa
vrification: 1,8 pa(p 6a) + 4,2 pa = 0
Corps II
x = 0 H2H4= 0 H4= 0M3= 0 4,2 pa 2a + V46a(p 8a) (4a - 2a) = 0 V4= 1,27 paM4= 0 4,2 pa 8a - V36a + (p 8a) 4a = 0 V3= 10,93 pa
vrification: - 4,2 pa + 10,93 pa(p 8a) + 1,27 pa = 0
Corps IIIx = 0 H5= 0
y = 0 - 10 pa - 1,27 pa + V5 = 0 V5= 11,27 pa
M5 = 10 pa 4a +1,27 pa 4a + 20 pa2 + M5 = 0 M5= - 65,08 pa
2
vrification: M4= 20 pa2 + 11,27 pa 4a - 65,08 pa2
= 0
V2
2a2a 4a
432
8pa
H4
V4
V3
II
H2
3a3a4a
21 H2
V1
6pa
I
V2
2a2a
5
4 20pa2
H5
V5
III
M5
10pa
H4
V4
C
O
P
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I I . Ou, en appli quant la mthode mixte:Le schma de forces comprit seulement les forces extrieures : actives et deliaisons (ractions), fig. 8.8.b.
Fig. 8.8.b
Pour calculer les ractions on commence aves les parties portes: 1-2, 2-3-4.
Le thorme de l'quilibre desparties
3gh4
1gh2
V0M
V0M
Une fois les ractionssur les parties portesconnues, il est possible de
dterminer les ractions sur la partieporteuse.
Le thorme de la solidification
Vrification densemble:
0M2 lquation de vrification doit tre une quation de tipe momentparce quune inconnue 5M est de tip moment.
Les rsultats:
2a2a3a3a4a 2a2a4a
5
432
110pa
20pa2
8pa
11,27p
10,93p
1,8p
4pa
65,1pa2
2a2a3a3a4a 2a2a4a
5
432
110pa
20pa2
8pa
M5
H5
V5V3V1
4pa
55
5
5
M0M
H0x
V0y
C
O
P
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b) Le thorme de l'quilibre des parties
3dr2
1gh2
H0M
H0M
Vrification pour les forces horizontales : x
0a12xVa10xpa8a4xpa4
0a12xVa8xpa4a2xpa8
1
2
vrification: 0pa4)a4xp9)a8xp(pa8y
0a4xHa6xpa4a2xpa4
0a4xHa6xpa8a4xpa8
3
1
vrification: 0pa4pa4x Les rsultats:
8.4.2. Portique trois articulations, avec des appuis dnivels
EXEMPLE 10 :
Dterminer les ractions pour le portique trois articulations de la figure 8.10.
Fig. 8.10
4a
3
4a 2a 2a2a 2a
1
2
2a
4pa8pa
8pa
4pa
4pa
4pa H3
6a
2a
2a
2a
2pa
2a2a2a
p
32
1
C
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P
I
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On applique les mmes quations mais elles sont couples deux par deux. La
vrification est au finale en appliquant le thorme de la solidification:
0M
0M
dr2
1 >>
33H,V
0M
0M
gh2
3 >> 11 H,V
Vrification
y
x
Faire les calcules et vrifier les rsultats:
8.4.3.Portique trois articulations, avec des appuis totalement dnivels
EXEMPLE 11 :
Dterminer les ractions pour le portique trois articulations avec des appuis
totalement dnivelsde la figure 8.11.
4a
2a
2a
2a
2pa
2a2aa
32
1
2pa8pa
2a a
V1
H3
V3H1
4a
2a
2a
2a
2pa
2a2aa
32
1
2pa8pa
2a a
4,857p
7,143p
H3
2,714p
2,714p
C
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Fig. 8.11
On applique les mmes quations, mais elles sont utilises de la manire
suivante :
31
3dr2
H0M
V0M
0M
0M
gh2
3 >> 11 H,V
Vrification
y
x
Faire les calcules et vrifier les rsultats:
10a
4a
2a 12a
p
321
6a4a
4a V3
H3
12pa
2a 6a 6a
32
1
12pa
V1
H1
6a4a
4a 6pa
12pa
2a 6a 6a
32
1
12pa
18pa
27pa
27pa
C
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APPLICATION 8.1. :
Dterminer les forces de liaisons extrieures (les ractions)pour la structuredonne dans lafigure A.8.1
Fig. A.8.1
Solution :Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3 x 2 - (2 x 3) = 0 gomtrique strictement invariable
E = 3 x 2 ; N = 2 x 3 ; E - N = 0 isostatique
Le schma des
forces :
Les quations:
21
2ba,3
V0M
H0M
112
ha,3H,V
0M
0M
-----------------------
Vrification:
y
x
0a10xVa2xpa10a12pa2
0a4xHa2xpa10
2
2
0a2xpa10a2xpa2a10xV
0a2xpa2a4xHa10xV
1
11
--------------------
Vrification:
0pa2pa4,0pa6,1
0pa10pa5pa5
2pa
10pa2a
2a
2a10a
3
1 2
V1
H1
V2
H2
2pa
10pa
2a10a
2a
2a
3
12
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Les rsultats:
APPLICATION 8.2. :Dterminer les ractions pour la structure donne dans lafigure A.8.2.
Fig. A.8.2
Solution :
La structure de la figure A.8.2 est compose par unportique encastre porteur etunportique trois articulations porte droite.
Caractrisation gomtrique et statique:
G1= 3 x 3 - (3 x 1 + 2 x 3 + 1 x 0) = 0 gomtrique strictement invariableE = 3 x 3 ; N = 2 + 2 + 2 + 3 ; E - N = 0 isostatique
On commence les calculs avec la partie porte 1-2-3, en appliquant le thorme
de lquilibredes parties :
11gh,3
gh,2
V,H0M
0M
Apres la structure porteuse, en appliquant le thorme de la solidification:
0,4p
1,6p
5pa5pa
2pa
10pa
2a10a
2a
2a
3
12
24pa22a
p
4a
4a 6a
4
32
1
C
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P
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0M
0y
0x
4
--------------------
Vrification: 3M
Le schma des
forces :
0a2xpa4a4xVa6xH
0a4xH
11
1
>> pa2V,0H 11
0a10xpa2a8xpa4a3xpa6pa24M
0pa6pa4Vpa200H
24
4
4
>> 2444 pa54M,pa8V,0H
Vrification: 0pa54a6xpa8pa24a3xpa6a2xpa4a4xpa2 22
Les rsultats:
V4
M4H4
4pa 6pa
24pa2
V1
H1
2a
4a
2a2a 3a3a
4
32
1
8pa 54pa2
4pa 6pa
24pa2
M4
2pa
2a
4a
2a2a 3a3a
4
32
1
C
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APPLICATION 8.3. :
Dterminer les forces de liaisons intrieures et extrieures pour la structure de lafigure A.8.3
Fig. A.8.3
Solution :
La structure est compose par deux portiques trois articulations.La structure 4-5-6 est totalementporteet la structure 1-2-3 est porteuse.
La structure porte forme un contour ferm. Pour dterminer les ractions est
ncessaire douvrir le contour.
On doit commencer les
calcules avec la structure 4-5-
6. Donc est ncessaire dedterminer des forces de
liaisons intrieures dans les
articulations 4 et 6.
Structure 4-5-6portique
trois articulations avec desappuis dnivels:
0M
0M
dr5
4 >> 66 H,V
0M
0M
gh5
6 >> 44 H,V
Vrification
y
x
4a 6a
a
2a
2a
3a
p
6
5
4
3
21
2a2a 3a 3a
V4
H4
a
2a
V6
H6
4pa 6pa
6
5
4
4a 6aV1
H1
a
2a
3a
V2
H2
V4
V6H4
H66
4
3
21
C
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P
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S
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 137
La structure 1-2-3portique trois articulations avec les appuis au mme
niveau :
13
31
V0M
V0M
Vrification pour les forces verticales: y
3dr2
1gh2
H0M
H0M
Vrification pour les forces horizontales: x
Vrifier voscalcules :
APPLICATION 8.4. :
Dterminer les ractions en calculant le nombre minime des forces de liaisons
intrieures, fig. A.8.4.
Solution :La structure est compose par quatre sous ensembles:
- la barre 4-6 est une barre droite avec des articulations aux extrmits pas
charge- elle porte le nome le pendule et reprsente une seule liaisonne quia la direction de la barre ; la force de liaison port le nome effort axial ;- aussi la barre 3-5 ;
2a2a 3a 3a
4,5p
5pa
a
2a
H6
4pa 6pa
6
5
4
5pa
5,5p
4,5p
5pa
4a 6a
H1
a
2a
3a
H66
4
3
21
5pa5pa
5pa
5,5p
4,333p
4,333p
C
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 138
- la partie 6-5 est totalement porte;
- la partie 1-4 est simplement appuye et porte droite;- la barre 4-5 est totalement porte;
- la barre 2-4 est une console - la structure porteuse.
Fig. A.8.4
Le schma
des forces :
Les quations:
La structure 5-6
56
5
465
V0M
H0x
N0M
Vrification: y
4a
16pa2
8a4a
2a p
6
54
321
8a4a
2a
2a
V2
M2H2
V1
N354pa
N46
V5
H5
54
21
16pa2
2a
6
5
N46 V5
H5
C
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La structure 1-2-3-4-5
- en appliquant le thorme dquilibre des partis:
1gh4
35dr4
V0M
N0M
- en appliquant le thorme de la solidification:
24
2
2
M0M
V0y
H0x
Vrification: CM
0a8xVpa16
0H0pa16a8xN
52
5
246
>> pa2V;pa2N 546
0a4xVa2x)a4p(
0a8xpa2a8xN
1
45
>> pa2V;pa2N 145
0a8xpa2a8xpa2Ma2x)a4p(a4xpa2
0pa2pa2Vpa2pa2
0H)a4p(
2
2
1
8a2a2a
2a
2a
4pa
4pa
V2
16pa2
H2
2pa
2pa4pa
N46
2pa
2pa
54
21
16pa2
2a
6
5
2pa
2pa
N46
C
C
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>> 2221 pa16M;pa4V;pa4H
Vrificationdensemble: CM 0a10xpa2a2xpa4a4xpa4pa16a2xpa2pa16a2x)a4p( 22
APPLICATION 8.5. :
Dterminer les ractions en calculant le nombre minime des forces de liaisonsintrieures, fig. A.8.5.
Fig. A.8.5
Solution :La structure est compose symtrique et charge symtrique.
On peut faire le schma des forces par moiti parce quon connat que:
- les forces de liaison extrieures sont symtriques;
- dans larticulation qui est place sur laxe de la symtrie il y a seulement une
force de liaison intrieure la force horizontale H (la force verticale intrieure
est nulle).
10pa2 10pa2
6pa
6a
6a
2a2a 2a 2a2a2a
6pa
10pa10pa
31
2
C
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Les quations:
12
1
21
H0M
V0y
H0M
Vrification: CM
Le schma des forces Les rsultats
0a2xpa10pa10a6xHa4xpa10
0Vpa10
0a6xHa2xpa10pa10a6xpa6
21
1
22
pa5H;pa11V;pa11H 112
Vrification: 0a2xpa10a12xpa5pa10a6xpa11a6xpa6 2
V1
H1
2a 2a 2a
6pa
10pa
H2
1
2
10pa2
6a
6a
10pa
5pa
2a 2a 2a
6pa
10pa
11pa
1
2
10pa2
6a
6a
C
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9.POUTRES A TREILLIS
Poutre treillis est un systme plan de barres lies entre elles
par des rotules et qui est li avec le milieu extrieur par un
nombre de li aisons suf fi sant pour la fi xer dans son plan, fi g.
9.1.
Les poutres treillissont utilises comme poutres pour les ponts de voie ferre,
poutres pour les hales industrielles, pour les poteaux qui soutiennent les cbles,pour les grues, pour les coupoles des pavillons d'exposition et pour d'autres
structures grande porte.
Fig. 9.1
Les dnominations caractristiques sont: les nuds, les membrures (semelles)
infrieure et suprieure, les diagonales, les montants, les panneaux [15].
Les nuds sont numrots; les barres portent aussi des nombres diffrents.On remarque que ce systme de corps peut tre aussi compos spatial. Le terme
poutre treillis est utilis seulement pour les systmes plans.
Au point de vu de la forme les poutres treillis sont trs varies, fig. 9.2. Elles
peuvent tre classifies:
a) poutres treillis simples, fig. 9.2.a
b) poutres treillis composes, fig. 9.2.b
c) poutres treillis complexes, fig. 9.2.c.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
13
12
11
1
P2
V3,4
S2,4
I7,9D2,3
P1
nud
membrure(semelle)
infrieuremontant
panneau
membrure
(semelle)
suprieure
diagonale P3
14
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Fig. 9.2
9.1HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES
Les hypothses qui sont en gnrale faites pour le calcul des poutres treillissont les suivantes :
1) Les nudssont considrs comme des articulations idalesen permettantsans aucune restriction la rotation, fig. 9.3.
REMARQUE :
En ralit, par la manire de raliser le nud, la liaison empche en certaines
limites la rotation, elle offre une certaine rigidit.
* L'effet de la rigidit des nuds change les rsultats dans des limites
acceptables, donc l'hypothse "le nud = articulation parfaite" est utilise pour
les poutres treillis avec une porte < 70.0 m.
Fig. 9.3
2)
Les axes des barressont concourants aux nuds (cela dpend de la solutionconstructive).
3) Les barres sont des lments droits entre chaque nud.
p. triangulaire p. trapzodale
(a)
p. parabolique
(b) (c)
6
5
4
3
2
1
C
O
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 144
4) Les forces extrieures effectivement appliques et les forces de liaisonextrieures agissent seulement dans les nuds.
Les consquences de ces hypothses:
1.
Toute barre d'une poutre treillis est une barre qui a deux articulations sesbouts et aucune force entre ces deux points, fig. 9.4.a.
a. b.
Fig. 9.4
2.
Chaque barre se trouve en quilibre sous l'action des forces de liaison dans
les articulations. Ces deux forces ont comme support l'axe de la barre, fig.
9.4.b
Conclusion:Chaque barre d'une poutre treillis est sollicite par une force qui a
la direction de la barre, nomme effort axial, qui peut tre de tension ou de
compression.
Par convention on travail avec l'effort qui agit sur le nud, pas au bout de la
barre, fig. 9.5.
Fig. 9.5
9.2
CARACTERISATION GEOMETRIQUE ET STATIQUE
Pour qu'une poutre treillis soit en quilibre, chaque nud de la poutre doit tre
N21
N12= effort axial
1
22
1 R2R1= R2
R1
i j RjRi
i j
barre
nudsRj
NjNi
NjNiRi
i j
i j RjRi
i j
barre
nudsRj
NjNi
NjNiRi
i j
C
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 146
9.3METHODES POUR LE CALCUL DES EFFORTS DANS LES BARRES.
Pour lespoutres treillis simples, les mthodes de calcul sont :- la mthode des nuds;
- la mthode de la section simple.
Nous allons considrer une poutre treillis avec 3 conditions extrieurs d'appuiset la premire tape est de dterminer ces 3 forces de liaison extrieures en
crivant 3 quations d'quilibre pour l'ensemble de la poutre. On applique le
thorme de la solidification, fig. 9.8:
0M
0M
0x
16
1
11616 V;V;H
vrification y
S
Fig. 9.8
1. La mthode des nuds.
Chaque nud de la poutre est isol. Il doit tre en quilibre
sous l'action des forces extrieures et des efforts des barres.
Dans chaque nud, les forces connues et inconnues forment un systme de
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 1615
14
13
12
11
V1 V16
H16
C
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 147
forces concourantes en plans. Donc on peut crire deux quations d'quilibre
pour chaque nud:
0y
0x
inud (9.2)
Soit lapoutre treillisdonne dans la figure 9.8. Dans quelques barres on aura
des efforts de tension, dans dautres barres on aura des efforts de compression,
mais pour les calcules on considre les efforts inconnus comme des efforts de
tension, fig. 9.9. Bien sure quaprs leffectuation des calcules rsulte lesens
rel des efforts (voire lapplication 9.2).
Fig. 9.9
Pour la poutre donne on peut crire 2x16=32 quations d'quilibre pourdterminer 29 inconnues - les efforts dans les barres. La diffrence entre 32
quations et 29 inconnues reprsente 3 quations qui doivent tre satisfaites,
donc la possibilit de vrifier les rsultats.
REMARQUE:
La succession des nuds n'est pas alatoire. Parce qu'on peut crire seulement
deux quations d'quilibre, il faut commencer et continuer par de nuds o il y a
seulement deux barres d'effort inconnu.
L'avantage de la mthode: elle permet de calculer les efforts dans toutes les
barres. Elle se trouve la base de tous les logiciels spcialiss dans le calcul de
ce type de structure en barre.
Le dsavantage:le grand nombre d'inconnues qu'on doit dterminer sans avoirla possibilit de vrifier la correction qu' la fin.
2. La mthode de la section simple
Cette mthode utilise le thorme d'quilibre des parties, encomprenant par partie un ensemble de barres et de nuds,
f ig. 9.10.b.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 1615
14
13
12
11
V1 V16
H16
C
O
P
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a.
b.
Fig. 9.10
On pratique une section, fig. 9.10.a, qui doit satisfaire les conditions suivantes:
1. La section doit diviser la poutre en deux parties distinctes,
2. De sectionner au maximum trois barres d'effort inconnu.
On choit une de ces deux parties, fig. 9.10.b, qui doit tre en quilibre sousl'action des forces extrieures (connues) et des efforts dans les barres
sectionnes (inconnus).
Sur cette partie agisse un systme de forces coplanaires. On peut crire trois
quations distinctes d'quilibre.
L'avantage de la mthode: elle permet de calculer directement l'effort dans une
barre sans connatre les efforts d'autres barres.
La mthode est aussi utilise surtout pour vrifier les rsultats.
9.4L'IDENTIFICATION DES BARRES AYANT L'EFFORT EGAL A ZERO
Il y a les situations suivantes:
I.Si dans un nud se rencontrent deux barres de directions diffrentes, il y a
deux situations:
I.a On n'agit aucune force extrieure, les efforts dans ces deux barres sont
gaux zro, fig. 9.11.a.
ID
S
d
V1I
D
Sd
V1
CID
S
d
V1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 1615
14
13
12
11
V1 V16
H16
C
O
P
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a. b. c.
Fig.9.11
I.b La force extrieure a la direction d'une barre, l'effort dans la deuxime
barre est gale a zro, fig. 9.11.b
II.Si dans un nud se rencontrent trois barres dont deux ont la mme directionet la troisime a une direction quelconque et sur le nud nagit aucune force
extrieure, fig. 9.11.c, les efforts dans les barres colinaires sont gaux et
leffort dans la troisime barre est nul.
APPLICATION 9.1. :
Dterminer les efforts dans les barres de la poutre treillis, fig. A.9.1.a
a.
Les tapes de calcul:
b.Fig. A.9.1
12
N1
N2x
X
Y
0
0
N2
2Px
y
N1
N
N
1
2
P
0
N3 N23
x
N1
N N
N
1 2
3
0
6a
3a 3a 3a
6P
0
0
2P
H2V2
H17
6
5
4
3
2
1
6a
3a 3a 3a
6P2P
C
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1. Vrification de la condition pour laquelle la poutre est isostatique
2n (b + 3) = 2 x 7 - (11 + 3) = 0 gomtrique: strictement invariable
2. Dterminer les ractions dans les liaisons extrieures. Le schma des forcesest donn dans la figure 9.1.b
x:Verif
P11H0M
P11H0M
P8V0y
12
21
2
3. Identifier les barres ayant l'effort gal zro
V1,2 = 0le cas Ib ; V3,4 = 0le cas II
4. Dterminer les efforts dans les barres en utilisant une de deux mthodes de
calcul.
* en appliquant la mthode des nuds
555,0sin;832,0cos;895,0sin;447,0cos
Lisolation du nud 1 donne la valeur de leffort P11N 31
On peut passer au nud 2:
4232 N;N0y0x)2(
V2
H2
N23N210 N24
2
6a
3a
00
3a 3a
6P2P
2P
8P
11P 9P 9P
1,11P
10,81P
12,62P
12,62P
11P
11P
7
6
5
4
3
2
1
C
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0sinNsinN0P8
0P11cosNcosN
3242
3242
>> P62,12N;P11,1N 4232
Maintenant le nud 3:
5363 N;N0y
0x)3(
0cosP11,1sinN
0P11cosP11,1NcosN
63
5363
>> P9N;P8,1N 5363
Le nud 4
P62,12NNP62,12N;0N 42644243
Le nud 5
P2N;P9NN0y
0x)5( 657535
Le nud 7
6757 NN0y
0x
)7(
0sinNP6
0NcosN
67
5767
>> P9N;P81,10N 5767
Lquilibre du nud 6 peut tre utilis commevrification:
N63
N64
N67N65
6
N53
N56
N57
2P5
N75
N76
6P
7
N32N340
N31
N36
N35
3
C
O
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0P2sinP62,12sinP81,10sinP8,1y
0cosP81,10cosP8,1cosP61,12x)6(
APPLICATION 9.2. :
En utilisant les schmas suivants dterminer les efforts dans les barres notes de la poutre
a treillis de la figure A.9.2
a.
b.
Fig. A.9.2
Solution :Vrification de la condition pour laquelle la poutre est isostatique
2n (b + 3) = 2 x 16 - (29 + 3) = 0 gomtrique: strictement invariable
Le schma des forces est donn dans la figure 9.1.b.
La dtermination des ractions dans les liaisons extrieures:
2a
a
8P4P
a a a a aa a a
c
c
V16V1
H16
2a
a
8P 4P
a a a a aa a a
a
a
b
b
d
d10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 1615
14
13
12
11
C
O
P
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y:Verif
V0M
V0M
H0x
116
161
16
P8V;P4V;0H 11616
Lidentification des barres ayant l'effort gal zro aucune barre
La dtermination des efforts dans les barres en utilisant une des deux mthodes
de calcul.
Pour dterminer les efforts dans les barres 5-6 et 4-6la section a-a
645
65C
N0M
N0M
P4NP79.1N
64
65
894.05a
a2sin;447.0
5a
acos
On peut dterminer leffort dans la barre 8-9 en deux modes :
i) la section b-b pour dterminer leffort dans la barre 7-9 et aprs lisolement
du nud 9 pour dterminer leffort dans la barre 8-9
N46N56
N57
V1
a
a
aa 8P
a a a2a
7
6
5
4
1
C
N68
N79
N78
V1
1,5a
a
bb
8P
a a a a2a
9
8
7
6
C
1
N98
N911N97
9
C
O
P
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978 N0M
0y
0x >> 89119 N;N
P98.2N 97 P67.2N;P98.2N 89119
929.025.7a
a5.2sin;371.0
25.7a
acos
447.025.1a
a5.0sin;894.0
25.1a
acos
ii) la section b-b pour dterminer leffort dans la barre 6-8 et aprs lasection c-c pour dterminer leffort dans la barre 8-9
867 N0M
P20.3N 86
98D N0M
P67.2N 98
a5h;a2x
Pour dterminer leffort dans la barre
11-13la section d-d
111312 N0M
P58.3N 1113
N87
N86V16
N89
N11
9
cc
H16
h
1,5a
a
4P
x a aa a a
9
8
7
6
16
11
D
N1311
N1412
N1312H16
V16
a
a
dd
4P
a a a 2a
16
14
13
12
11
C
C
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 155
APPLICATION 9.3. :
Dterminerles efforts dans les barres notes de la poutre a treillis, fig. A.9.3.a
a.
b.
Fig. A.9.3
Solution :Vrification de la condition pour laquelle la poutre est isostatique
2n - (b + 3) = 2 x 15 - (26 + 4) = 0 gomtrique: strictement invariable
Observation : le schma statique de la structure est un portique troisarticulations.
Le schma de calcul est dans la figure A.9.2.b
3a
6a
3a
6P
3a 3a 3a3a 3a
20P6a
C
B
A
3a
6a
3a3a 3a 3a3a
3a
00 0
c
c
ba
a
20P
b
6a
HA
VA
HC
VC
HC
VC
HB
VB
3a
00000
6P
CA
B
C10
9
8
7
6
5
4
3
2
1312
11
C
O
P
I
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 156
Les ractions dans les liaisons extrieures: du point de vue statique la structure
est une ossature avec trois articulations totalement dniveles
0P10P20P10y
0P3P6P3x:Verif
P10V0M
P3)(H0M
P3)(H0MP10V0M
BA
BdrC
AB
A
gh
C
Les forces des liaisons intrieures ont les valeurs P10V;P3H CC
Les barres avec les efforts nuls sont 2-3, 3-4, 4-5, 5-6
10-11, 11-8, 8-9, 9-6
6-7
12-C, 12-B
Donc leffort dans la barre note 0N 54
La section a-a est utilise pour dterminer les efforts dans la barre 5-7
832,0cos
555,0sin
P18N
0a3xsinNa4xcosNa9xP10
N0M
75
7575
756
Leffort dans la barre 6-7 est zro, dtermin avec les rgles connues de la
thorie. Si nous ne connaissons pas a, on peut dterminer leffort dans la barre6-7 en deux modes :
HA=3P
aa N46
N560
N57
2a
2a
3a3a 3a
VA=10P
A
7
6
5
4
C
O
P
I
T
D
E
PE
S
IT
E
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 157
i) en appliquant la mthode
de la sectionsection b-b
Parce que leffort dans la barre 5-6 est connu on crit:
0N0M 76C
ii) en appliquant lisolement du nud7,
leffort P18N 57
9767 N;N0y
0x)7(
0P20sinNNsinN
0cosNcosN
976757
9757
>> 0N;P18NN 679757
Pour dterminer les efforts dans la barre 12-C, B-C et
B-13 on fait la section c-c ; leffort 0N C12 dtermin avec les rgles connues
CB
13B
N0y
N0x
0NsinNP10
0cosNP3
CB13B
13B
>> P16N;P71,6N CB13B
447,0cos;894,0sin
Si leffort C12N nest pas connu, on peut le dterminer en crivant une
quation de moment par rapport au point B. Il en rsulte 0N C12 .
HC =3P
N67
bb
N97
650
N64
3a3a 3a
2a
2a
2a
VC= 10P
C
97
6
5
4
6a
3a
0=N12C
NB13
NBC
HB=3PVB=10P
B
C
12
20P
N75 N79N76
7
C
O
P
I
T
D
E
PE
S
IT
E
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 158
10.EQILIBRE DES FILS
Le fil idal * est un corps matriel qui se caractrise par les proprits
sui vantes :
- i l a une dimension, la longueur, beaucoup plus grande que les
deux autr es dimensions de la section transversalecorps
unidimensionnel ;
- i l est inextensible ;
- i l est parfaitement fl exible* on peut considrer le fil comme un systme de petites barres
rigides articule entre elles [11, 33].
Ltude de lquilibre dun fil comporte deux aspectes:
-
la dtermination de la forme dquilibre;
- la dtermination de la tension.
Soit le fil AB, fig. 10.1, soumis aux forces distribues p . Une partie ds'PP
charge avec la force lmentaire dsp et les tensions T et TdT , est enquilibre. Les quations vectorielles dquilibre sont :
0M
0R
'P
Fig. 10.1
Il en rsulte:
- lquation diffrentielle dquilibre dun lment de longueur ds:
0pds
Td (10.1)
o: T est la tension, tangente au fil
p est la force distribue, qui agit sur le fil sur lunit de longueur
- la tension a la direction de la tangente au fil.
A
T
B
P
PTdT
ds
dsp
C
O
P
I
T
D
E
PE
S
IT
E
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 159
Lquation vectorielle (10.1) peut tre dcompose sur divers systme de
rfrence:1. si on prend un systme 2. si on prend un systme
cartsien intrinsque (Frenet)kPjPiPP zyx PPPP
0P)ds
dzT(
ds
d
0P)ds
dyT(
ds
d
0P)ds
dxT(
ds
d
z
y
x
0P
0PT
0Pds
dT
o est le rayon de courbure
Fil soumis aux forces concentres fig. 10.2.
Fig. 10.2
La forme dquilibre est une ligne polygonale. Dans chaque point application
dune force, la tension a une discontinuit.
APPLICATION 10.1. :
Pour le fil de la figure A.10.1.a, on doit dterminer:
- les tensions ;- la longueur ;
- la flche du point C
Fig. A.10.1,a
P1P2
A
B C
D
noeud
2
a A D
B C
P 2
P
a a a
C
O
P
I
T
D
E
PE
S
IT
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 160
Solution :
on exprime lquilibre pour lensemble, fig. A.10.1.b; langle est connu.
Fig. A.10.1.b
0cos3
Tcos1
T;0x
02
P3sinTsinT;0y 31
0sinaT32
PaPa2;0M 1D
a2,3CDBCABL10
1
a
fftg;tgaf
5
2tg;
3
P29T;
6
P55T
CBC
31
pour dterminer T2on isole le nud B
0cosTcosT;0x 21
6
101PT2
APPLICATION 10.2. :
Soit le fil de la fig. A.10.2, dterminer:- les tensions dans le fil;
- la flches dans les points B et D.
Solution :Parce que le fil est compos symtrique et charg symtrique, la forme dformeet les tensions sont aussi symtriques.
A D
B C
P
T1 T3
2
P
P
x
y
T1T2
noeud B
C
O
P
I
T
D
E
PE
S
IT
E
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 161
Fig. A.10.6
On exprime lquilibre pour lensemble, lquilibre de la partie CDE etlquilibre de nud C;
a
4
3ff
;P2
17TT;P
2
5TT
DB
3241
On peut faire une vrification en exprimant lquilibre de nud B:
17
4cos;
5
4cos
0
5
4P
2
5
17
4P
2
17x
a a a a
a
B
C
D
E
P
P
P
T1
T2 T3
T4
A
T1
a a a a
a
B
C
D
E
P
P
P
T1
T2 T3
T4
A
T4
P
x
y
T2T3
noeud C
P
x
y
T1
T2
noeud B
C
O
P
I
T
D
E
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S
IT
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Mcanique - Chapitre 8 Prof. Carmen Bucur 162
APPLICATION 10.3. :
Un fil a le poids total G et la longueur totale l, fig. A.10.3.a. Une partie du fil setrouve sur un plan inclin avec langle par rapport lhorizontale et le
coefficient de frottement ; une autre partie de longueur l1 est librementsuspendue.
Dterminer la longueur l1.
a. b.
Fig. A.10.3
Solution :Parce quon suppose que le fil est idal, les problmes spciaux qui apparaissent
dans son point de courbure (au sommet du plan) ne sont pas pris en
considration, fig. A.10.3.a.
indication : *l
Gest le poids de lunit de longueur du fil
* lquilibre de la partie du fil qui se trouve sur le plan, sexprimepour les deux possibilits de la tendance de glissement
cossin1
cossinll
cossin1
cossinl 1
G,
1=?f
1
G
1
G
x
y
Ff
N
tg
O
P
I
T
D
E
PE
S
IT
E