5_dinamika

�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-1

5 Dinamika

� djelovanje sile� masa, inercija http://www.walter-fendt.de/ph11e/collision.htm

� tijelo ne smatramo točkom� podjela

� direktna � nastalo gibanje nastalo djelovanjem sila � inverzna � koje sile su potrebne kako bi ostvarili zadano gibanjeinverzna dinamika

� polo�aj, brzina, akceleracija� orijentacija, kutna brzina, kutna akceleracija� (http://www.cs.unc.edu/~lin/COMP290-72-S2K/eg.html)

� sustavi čestica� sustavi opruga i čestica (tkanina, kosa)� dinamika fluida


� polo�aj, brzina, akceleracija� polo�aj x(t)� brzina v(t) = dx(t)/dt� akceleracija a(t) = dv(t)/dt = d2x(t)/dt2

� za konstantnu akceleraciju� akceleracija a(t) = a0� brzina v(t) = ∫ a(t) dt = a0 t + v0� polo�aj x(t) = ∫ v(t) dt = ½ a0 t2 + v0 t+ x0

� masa, moment, sila, te�ina� masa m� moment P = m v� sila F = dP/dt = m a, F = ∑ Fidjelovanje sila uzrokuje promjenu momenta (akceleracije)� te�ina F = m g, (Zemlja |g| = 9.8 m/s2)� trenje (statičko, dinamičko), opruge, gustoća fluida

� orijentacija, kutna brzina, kutna akceleracija� inercija rotacije, kutni moment, obrtni moment


� silama djelujemo na određenu točku tijela koje ima zadan raspored mase i početno stanje

� ovisno o svojstvima materijala od kojih je izrađeno tijelo različit je učinak interakcije dvaju tijela

� sustavi (diferencijalnih) jednad�bi se rje�avaju postupcima� Eulerov, obrnuti Eulerov postupak� Runge-Kutta� Adams �

� razlike kori�tenih postupaka su u� stabilnosti� konvergenciji� točnosti� brzini izvođenja

Utjecaj različitih parametara:http://www.cs.berkeley.edu/b-cam/Papers/obrien-2002-GMA/index.html bunnies Theend


5.1. Sustavi čestica (engl. particle systems)

� intenzivno se koriste u računalnoj animaciji od 80�tih godina� http://www.siggraph.org/education/materials/HyperGraph/animation/movies/genesisp.mpg genesis

� pravila pona�anja pojedine čestice mogu biti relativno jednostavna, a slo�en izgled posti�e se velikim brojem čestica

� u sustavu se obično definira rađanje, promjene koje se de�avaju tijekom vremena i umiranje čestica

� koriste se� simulacija vatre, vatrometa

� http://www.geocities.com/SiliconValley/Horizon/8943/Programming.html (applet)

� vode � vodoskok, slap� snijeg, ki�a (oborine)� simulacija tkanine� simulacija većih skupina objekata (pauci)

� utjecaj na pojedinu česticu mo�e biti temeljen na fizikalnim zakonima ili mo�emo kombinirati s ne fizikalnim pravilima

� http://www.siggraph.org/education/materials/HyperGraph/animation/movies/particle75_1_89.mov particleFace


Kinematika čestica

� za pojedinu česticu definiramo polo�aj, brzinu i akceleraciju

� zanima nas polo�aj čestice, uz konstantnu akceleraciju ap:

� vektorska jednad�ba: polo�aj, brzina i akceleracija su vektori u 3D� polo�aj slijedi parabolu u 3D prostoru, a parabola le�i u ravnini

∆x

..xvaxva

xvxv

xx

====

==

&

&

2

2

dt(t)d

dt(t)d (t)jaakceleraci

dt(t)d (t)brzina

(t)polo�aj

2 (t)česticepolo�aj

(t)brzina2

00

0

ttdt

tdt

p

p

avxvx

avav

++==

+==

∫

∫


Masa čestica i sile na česticu

� za pojedinu česticu definiramo masu� sila je definirana kao promjena momenta, odnosno Fuk = ma

� zadati početne polo�aje, brzine i mase čestica � ponavljaj za ∆∆∆∆t1. izračunaj sve sile koje djeluju na čestice i odredi ukupnu silu Fuk

2. izračunaj akceleraciju svih čestica ai = Fuki/mi

3. izračunaj brzine i polo�aje čestica postupkom numeričke integracije

m

Fg = mg

Fč

aF mi ==∑ukF

vxav

==

&

&


Postupci numeričke integracije

� Eulerov postupak� jednostavan za implementaciju� dovoljni dobar za većinu čestičnih sustava u animaciji� zbog akumuliranja pogre�ke nije pogodan za simulacije gdje egzaktno

treba odrediti izračunate vrijednosti

� Runge Kutta postupak (vidi APR)

GPU� efikasno kori�tenje memorije teksture za pohranu podataka o česticama(u RGB komponente pohranimo vektor brzine, pozicije, koristimo procesor

slikovnih elemenata � (Pixel shader) za proračun novog stanja

vxav

==

&

&

tt

nnn

nnn

∆+=∆+=

++

+

11

1

vxxavv


5.2. Sustav opruga i čestica (masa): Opruga:

� u ravnote�nom polo�aju suma sila je nula� Hooke-ov zakon

� k konstanta opruge� ∆x pomak iz ravnote�nog polo�aja

Ravnote�no stanje i jednostavno harmonijsko gibanje:http://www.schulphysik.de/ntnujava/springForce/springForce.htmlhttp://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=350.0http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htm

Prigu�eno gibanje � dodajemo silu prigu�enja(gubi se dio energije)� b konstanta prigu�enja� v brzina tereta (u smjeru opruge)

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=39

Ukupna sila:

xksopruge ∆−=F

Fg = mg

Fr= -Fg

vF bb −=

vF bxkmg sukupno −∆−=


Sustav opruga i masa:

� niz kuglica masa mi ve�emo oprugama(http://physics.nad.ru/Physics/English/mech.htm) http://www.mscs.dal.ca/~selinger/lagrange/doublespring.html

x polo�ajl razmak kuglical0 normalna duljina oprugae jed. vektor u smjeru oprugev brzinaa akceleracijam masaF silap moment

Fukupno

xA

F1F2

Fg

vF bxkmg sukupno −∆−= vxavF

a =→=→=→ &&m

ukupno

( )eF llkxk ssopruge −−=∆−= 0

l

( )12 '' vvvF −−=−= bbb

xB

AB

AB

xxxxe

−−=

v1

v2

v1�= v1e

v2 � =v2e

xA

xB


Simulacija tkanine sustavom opruga i masa:

� različite objekte mo�emo opisati sustavom opruga i masahttp://www.andrew.cmu.edu/user/mwkaufma/kaleidoscope/spring.htmlhttp://www.potatoland.org/solid/

� tkaninu mo�emo opisati sustavom opruga i masa(http://student.math.hr/~tambaca/vms/lolic/1/vibracije.html)http://www.andrew.cmu.edu/user/mwkaufma/kaleidoscope/cloth.html

� dodatne opruge smične i pregibne

� druge primjene� http://www.cs.toronto.edu/~arnold/320/05s/lectures/simulation/index.html� http://vau.newmail.ru/struct4.html


Simulacija povezanih i nepovezanih čestica:http://www.cs.ubc.ca/~rbridson/ sand

interpolacija početne i krajnje točke uz C0, C1, C2 kontinuitet(polo�aj, brzina, akceleracija)

izobličavanje objekta � spljo�ti - izdu�i Fizika: http://www-etud.iro.umontreal.ca/~clavetsi/physicsingraphics-details.html fire

dinamika kose:http://www.cs.unc.edu/~geom/HSLOD/ hair


5.3. Dinamika fluida� fluidi - tekućine, plinoviti� kontinuirano mijenjaju oblikpod djelovanjem sile (kruti objekti se pomiču i deformiraju)� fizikalni parametri u opisu fluida

� tlak, gustoća, brzina� viskoznost, povr�inska napetost, smicanje - interakcija s krutim tijelima (kruti fluidi)� promjena vrijednosti ovisno o temperaturi

� tok fluida (ovisno o brzini brzina toka/Mach broj- brzina �irenja zvuka u sredstvu)� nestlačivi Ma < 0.3 - tekućine / stlačivi fluidi - plinovi� laminaran � glatka putanja toka� turbulentan � vrtlo�enje� grijanjem fluidi mogu promijeniti kemijski sastav (svojstva)

� zakon očuvanja mase, energije, linearnog momenta, zakoni termodinamikehttp://www.multires.caltech.edu/teaching/demos/java/stablefluids.htm (applet)http://www-etud.iro.umontreal.ca/~clavetsi/physicsingraphics-details.html water


Navier-Stokesove jednad�be

� opisuju tok Newton-ovog fluida � očuvanje mase i momenta� u - vektor brzine fluida, t - vrijeme� p - tlak

� ρ - gustoća fluida � ν - kinematička viskoznost � unutarnje trenje u fluidu

(npr. gibanje no�a kroz različite fluide daje različit otpor)� f - vanjske sile koje djeluju na fluid

I jednad�ba - izvedenica zakona o očuvanju mase za nestlačive fluide (količina fluida koji uđe u neko određeno područje je jednaka količini fluida koja izađe)II jednad�ba - 4 člana (ovisno o svojstvima fluida neki mogu biti zanemarivi)

� advekcija "ubačen" djelić toka gibat će se u smjeru gradijenta vektora brzine

� razliku tlaka - fluid se giba iz područja vi�eg tlaka u područje ni�eg� difuzija fluida � viskoznost određuje brzinu difuzije� f � suma svih vanjskih sila

(I)0=⋅∇ u

(II)fuuuu +∇+∇−∇⋅−=∂∂ 21)( ν

ρp

t

uu )( ∇⋅

u2∇v


Operatori

� Hamiltonov operator

� gradijent (na skalar)

� divergencija (na vektor)

� Laplaceov operator

Numeričke metode

� računalna dinamika fluida (engl. computational fluid dynamics - CFD). � metoda konačnih razlika FD, (finite volume FV, finite element FE)� za 3D prostor (i, j, k) � aproksimacija prvim članom Taylorovog reda

iz 444444 3444444 2143421

)2(

3

,3

32

,2

2

)1(

,,1

,

...6

)(2

)( +∆

∂∂+∆

∂∂−

∆−

=

∂∂ + x

xux

xu

xuu

xu

jiji

jiji

jixuu

xu jiji

ji ∆−

≈

∂∂ + ,,1

,

( ).,, zyx pppp =∇

2,1,,1

,2

2

)(2

xuuu

xu jijiji

ji ∆+−

≈

∂∂ −+

kz

jy

ix ∂

∂+∂∂+

∂∂=∇

kz

jy

ix ∂

∂+∂∂+

∂∂=∇ φφφφ

zA

yA

xA zyx

∂∂+

∂∂

+∂∂=⋅∇ A

2

2

2

2

2

2

)(zyx ∂

∂+∂∂+

∂∂=∇⋅∇ φφφφ


Diskretizacija prostora

� izračunavanje vrijednosti u sredi�tima elemenata volumena (lijevo)� izračunavanje vrijednosti na rubovima i u sredi�tima ćelija (desno)

pogodnije zbog problema divergencije numeričkih postupaka

Diskretizacija po vremenu

� Eulerov postupak, Runge-Kutta postupci

tlakgustoća

brzina (x)

brzina (y)brzinatlak

gustoća

i-1 i i+1

j-1

j

j+1

( )tt

φ=∂∂u

5_dinamika

Documents

Transcript of 5_dinamika