代数トポロジー⼊入⾨門代数トポロジー⼊入⾨門有向homotopy@simizut22

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I'm not I'm not データサイエンティストデータサイエンティストbut c++erbut c++er

constexprconstexprかわいいよかわいいよconstexpr (*´ωconstexpr (*´ω｀`))

本講義の⽬目的本講義の⽬目的

みんな⼤大好き！！みんな⼤大好き！！代数トポロジーの基礎やります代数トポロジーの基礎やります* 学部で学ぶ基礎的内容なので，知ってる⼈人は寝ててください

今⽇日やること今⽇日やること

曲⾯面の曲⾯面の Morse Morse 理論理論

cell cell 複体の複体の homology homologyできなかったできなかった

やらない事やらない事

多様体論多様体論

⼀一般⼀一般((ココ))ホモロジー理論ホモロジー理論

離散離散 Morse Morse 理論理論

単体的⼿手法単体的⼿手法

層の理論層の理論persistent の理論で使われる

Morse Morse 理論理論

簡単のため簡単のため 2 2 次元次元((曲⾯面曲⾯面))で話を⾏行うで話を⾏行う

可微分な関数可微分な関数//多様体が対象です多様体が対象です

x sin( )x1

などはなどは( 0 ( 0 で微分不可能なのでで微分不可能なので))，今⽇日は考えません，今⽇日は考えません

1 1 変数関数の場合変数関数の場合

1 1 変数関数変数関数 y = f(x) に対し，に対し，

f (x ) = 0′0 なる点なる点 x0 を臨界点と⾔言を臨界点と⾔言

うう

臨界点を臨界点を 2 2 次導関数で分類次導関数で分類

f (x ) = 0 ⇔′′0

f (x ) ≠ 0 ⇔′′0 x0

x0

は⾮非退化は⾮非退化(non-degenerate)(non-degenerate)

は退化は退化(degenerate)(degenerate)

ex)y = x + ax3

1) a = 0退化した臨界点退化した臨界点 0 0 を持つを持つ

2) a > 0臨界点を持たない臨界点を持たない

⾮非退化な臨界点⾮非退化な臨界点3) a < 0

±√ 3−a を持つを持つ

2 2 変数の場合変数の場合

z = f(x, y)がが 2 2 変数関数変数関数(x , y ) ∈ R0 02

の臨界点の臨界点::

では，退化はどう定義する？？では，退化はどう定義する？？２次導関数を使うんだったな２次導関数を使うんだったな......

∇f(x , y ) = = 00 0 ( (x , y )∂x∂f

0 0

(x , y )∂y∂f

0 0)

Hesse Hesse ⾏行列⾏行列

H (p ) =f 0 ( (p )∂x2∂ f2

0

(p )∂y∂x∂ f2

0

(p )∂x∂y∂ f2

0

(p )∂y2∂ f2

0)

p = (x , y )0 0 0 におけるにおける f f のの Hesse Hesse ⾏行列という⾏行列という

2 2 変数関数変数関数 f f に対し次で与える⾏行列をに対し次で与える⾏行列を

f f の臨界点の臨界点 p = (x , y )0 0 0 が⾮非退化が⾮非退化

⇔

detH (p ) = ≠ 0f 0

∣∣∣∣∣ (p )∂x2

∂ f2

0

(p )∂y∂x∂ f2

0

(p )∂x∂y∂ f2

0

(p )∂y2∂ f2

0 ∣∣∣∣∣

Hesse Hesse ⾏行列⾏行列 H (p )f 0 が正則が正則

すなわち

ex1) f(x, y) = x + y2 2

H =f { 20

02

}臨界点臨界点 (0, 0)におけるにおける Hesse Hesse ⾏行列⾏行列

は正則は正則 ⇒⇒ ⾮非退化⾮非退化

臨界点で最⼩小値を持っていることが⾒見える臨界点で最⼩小値を持っていることが⾒見える

ex2) f(x, y) = x − y2 2

H =f { 20

0−2

}臨界点臨界点 (0, 0) におけるにおける Hesse Hesse ⾏行列⾏行列

は正則は正則⇒⇒ ⾮非退化⾮非退化

ex3) f(x, y) = −x − y2 2

臨界点で最⼤大値を持っていることが⾒見える臨界点で最⼤大値を持っていることが⾒見える

ex4) f(x, y) = xy

(0, 0) が⾮非退化特異点が⾮非退化特異点

どこか， x − y2 2 と似ていると似ている......

実際

=( X

Y) ( 2

x+y

2x−y )

とすると

xy = X − Y2 2

となり，座標変換で互いに移り合うとなり，座標変換で互いに移り合う

Morse Morse の補題の補題

T hm(Morse Lemma)p0 をを ff の⾮非退化臨界点とする．このときの⾮非退化臨界点とする．このとき

の周りの座標系の周りの座標系p0 (X, Y )

ff は次のいずれかの形で記述できるは次のいずれかの形で記述できる::

を上⼿手くとることでを上⼿手くとることで

1) f = +X + Y + c2 2

2) f = +X − Y + c2 2

3) f = −X − Y + c2 2

def(index)((⾮非退化臨界点の指数⾮非退化臨界点の指数)) =( =(先の局所座標表⽰示によるマイナス係数の個数先の局所座標表⽰示によるマイナス係数の個数))

f = x + y + c ⇒ 02 2

f = x − y + c ⇒ 12 2

f = −x − y + c ⇒ 22 2

((証明のスケッチ証明のスケッチ))1. 1. 平⾏行移動平⾏行移動 + + 定数を加えて臨界点を原点にもっていく定数を加えて臨界点を原点にもっていく

2. 2. 次の多変数微積分から得られる公式を使う：次の多変数微積分から得られる公式を使う：

f(0, 0) = 0 ⇒ ∃g, h

s.t. f(x, y) = xg(x, y) + yh(x, y)

3. (0,0) 3. (0,0) が臨界点なのでが臨界点なので

g(0, 0) = h(0, 0) = 0

((続続))

4. 4. g, hg, h に対して，上の公式を使うとに対して，上の公式を使うと

g = xh (x, y) + yh (xy)1,1 1,2

h = xh (x, y) + yh (x, y)2,1 2,2

これを，これを， ff に代⼊入してに代⼊入して

f = x H + 2xyH + y H21,1 1,2

22,2

5. Hesse 5. Hesse ⾏行列計算すると⾏行列計算すると......　　

H (0, 0) =f ( 2H1,1

2H1,2

2H1,2

2H2,2)

٩٩( ''ω'' )( ''ω'' )وو 頑張れ頑張れ

((続続))

6. 6. xx に関して平⽅方完成に関して平⽅方完成⇒⇒ X X と置くと置く

f = ±X + y2H1,1

H H −2H1,1 2,2 1,2 2

(*) (*) ⾮非退化と⾮非退化とHesse Hesse ⾏行列の計算から⾏行列の計算から yy の係数の係数≠≠００

7.7.　　((結論結論))yy の係数の符号に応じての係数の符号に応じて

f = ±X ± Y2 2 と書けると書ける

必要なら，必要なら，X, YX, Y の⼊入れ替えを⾏行えばおｋの⼊入れ替えを⾏行えばおｋ ■■

H ≠ 01,1 を仮定してもよいことを⽰示してからを仮定してもよいことを⽰示してから

曲⾯面上の曲⾯面上の Morse Morse 関数関数

今までは局所のみ今までは局所のみこれから⼤大域解析します！！これから⼤大域解析します！！

対象は曲⾯面対象は曲⾯面(2 (2 次元多様体次元多様体) ) ですです

曲⾯面上の関数の臨界点曲⾯面上の関数の臨界点//退化性は局所座標で考える退化性は局所座標で考える i.e.i.e.

f : M → R

の臨界点の臨界点 pp が⾮非退化が⾮非退化

(p) = 0, (p) = 0∂x∂f

∂y∂f

⇔ (x,y)(x,y) をを pp の周りの局所座標系とするとの周りの局所座標系とすると

退化も同様．退化も同様． i.e. i.e.

f : M → R⇔ pp の周りの局所座標系を取った時のの周りの局所座標系を取った時の Hesse Hesse ⾏行列⾏行列

H (p)f が正則⾏行列が正則⾏行列

lem :閉曲⾯面上の閉曲⾯面上の Morse Morse 関数の臨界点は⾼高々有限関数の臨界点は⾼高々有限

f : M → R がが Morse Morse 関数関数

⇔⇔ 全ての臨界点が⾮非退化全ての臨界点が⾮非退化

def :

recall: recall: M M がコンパクトからがコンパクトから f f は最⼤大値は最⼤大値//最⼩小値を持つ最⼩小値を持つ

ex)S = (x, y, z) ∈R ∣x + y + z = 12 { 3 2 2 2 }

(0, 0, ±1)

上の⾼高さ関数上の⾼高さ関数 : : h(x, y, z) = z

Lagrange Lagrange の未定乗数法から臨界点はの未定乗数法から臨界点は

とわかるとわかる

臨界点周りの座標系を標準の臨界点周りの座標系を標準の (x, y)(x, y) で⼊入れるとで⼊入れると

H (0, 0, ±1) =h ( ∓10

0∓1

)より，より，h h はは Morse Morse 関数関数

補⾜足補⾜足((上の逆上の逆 version) version)

T hm

閉曲⾯面閉曲⾯面 M M 上に臨界点が上に臨界点が 2 2 つだけのつだけの Morse Morse 関数が存在関数が存在⇒⇒ M M はは 球⾯面と微分同相球⾯面と微分同相

* * 同相は任意の次元で成⽴立するが，同相は任意の次元で成⽴立するが，

77次元以上では微分同相とは限らない次元以上では微分同相とは限らない(7 (7 次元球⾯面上の次元球⾯面上の 28 28 個の微分構造個の微分構造))

曲⾯面のハンドル分解曲⾯面のハンドル分解

先の球⾯面に関する主張はハンドル分解を通してわかる先の球⾯面に関する主張はハンドル分解を通してわかる

以下，曲⾯面は連結とする以下，曲⾯面は連結とする((めんどいのでめんどいので))

f : M → R 閉曲⾯面上の閉曲⾯面上の Morse Morse 関数に対し関数に対し

def

M := p ∈ M ∣f(p) ≤ tt { }L := p ∈ M ∣f(p) = tt { }

観察：観察：1. 1. MtMt はは tt に関して単調に増⼤大に関して単調に増⼤大

2. 2. ff は最⼤大は最⼤大//最⼩小を持つ最⼩小を持つ

⇒ M = ϕ, M = M−∞ ∞

Morse Morse 関数は閉曲⾯面に対する，関数は閉曲⾯面に対する，⾼高さ関数みたいに思える！！⾼高さ関数みたいに思える！！

何故か？？何故か？？

補⾜足：上向きベクトル場補⾜足：上向きベクトル場def(gradient like vector field)

XX ががMorse Morse 関数関数 ff に適合したに適合した gradient-like gradient-likeベクトル場ベクトル場

⇔1)2)

(X ⋅ f)(p) > 0, p : noncritical

p : critical pt with index λ

X = −2x − ... − 2x1 ∂x1

∂λ ∂xλ

∂

+ 2x + ... + 2xλ+1 ∂xλ+1

∂m ∂xm

∂

ff に対するに対する morse morse の補題を満たす座標系をとるとの補題を満たす座標系をとると

補題補題: f : f に適合した上向きベクトル場は存在するに適合した上向きベクトル場は存在する

def :がが ff の臨界値の臨界値c ∈ R0

⇔ ∃p ∈ M : critial s.t. f(p) = c0

lemma :閉区間閉区間 [b, c][b, c] の中にの中に ff の臨界値がないの臨界値がない

⇒ M ≅ M (diffeo)b c

c: c: 臨界値に対し，臨界値に対し，c c を通るときの変化を⾒見るを通るときの変化を⾒見る i.e. i.e.

M = p ∈ M ∣c − ϵ ≤ f(p) ≤ c + ϵ[c−ϵ,c+ϵ] { }

の変化を追うの変化を追う

a) a) 指数が指数が 0 0 のときのとき

M ≅ M Dc+ϵ c−ϵ ∐ 2

c) c) 指数が指数が 2 2 のときのとき

M ≅ M ∪ Dc+ϵ c−ϵ ∂D22

b) b) 指数が指数が 1 1 のときのとき簡単のため, c=0 とする

Morse の補題から p の周りで

f(x, y) = x − y2 2

臨界点周りで等⾼高線が動いていく(hyperbolic)

M ≅ M ∪ D × Dϵ −ϵ ∂D ×D1 11 1

a) a) 指数が指数が 0 0 のときのとき

M ≅ M Dc+ϵ c−ϵ ∐ 2

b) b) 指数が指数が 1 1 のときのとき

M ≅ M ∪ D × Dϵ −ϵ ∂D ×D1 11 1

c) c) 指数が指数が 2 2 のときのとき

M ≅ M ∪ Dc+ϵ c−ϵ ∂D22

それぞれ，取り付けたパーツをそれぞれ，取り付けたパーツを λ-handle λ-handle というという

まとめまとめ臨界値を通るたびに，臨界値を通るたびに，

曲⾯面に曲⾯面に((臨界点の指数に応じた臨界点の指数に応じた) handle ) handle がつけ加わるがつけ加わる

ThmThm((ハンドル分解ハンドル分解))閉曲⾯面は有限個の閉曲⾯面は有限個の handle handle の和で表すことができるの和で表すことができる

補⾜足：補⾜足：

handle handle 分解のテクニックを⽤用いて，分解のテクニックを⽤用いて， Smale Smale は５は５ 次元次元以上の以上の Poincaré Poincaré 予想を解いた予想を解いた(1960)(1960)

The generalized Poincaré conjecture in higherThe generalized Poincaré conjecture in higherdimensionsdimensions

ハンドル体とセル複体ハンドル体とセル複体

セル複体セル複体def(cell)def(cell)

= z ∈R ∣∥z∥ ≤ 1ei { i }

e = − ∂i ei ei : : i-i-セルセル

低次元セルに⾼高次元セルを境界で張り付けることで低次元セルに⾼高次元セルを境界で張り付けることでセル複体が定まるセル複体が定まる

具体的には次のように帰納的に定義する具体的には次のように帰納的に定義する

0-dim) 0-dim)

X =0 ∐λ e0λ の形のものがの形のものが 0 0 次元セル複次元セル複

体体induction) induction)

(i-1)-(i-1)-次元以下のセル複体次元以下のセル複体

h : ∂ → Yi ∐λ eiλ

Xi−1

を使ってを使ってi-i-セルを張り付けるセルを張り付ける i.e. i.e.

X := X ∪ □i i−1hi

∐λ eiλ

が定義されていると仮定が定義されていると仮定

((接着写像接着写像))

例例) ) 球⾯面球⾯面 S2

S = ∪ , h : ∂D = S → ∗2 e0he2 2 1

円盤を境界で潰すことで得られる

例例) ) トーラストーラス T 2

T = e ∪ e ∪ e ∪ e2 0m1

l1 2

m, l はそれぞれ meidian と longitude を表す

ハンドル体とセル複体ハンドル体とセル複体, , 似てるよね．似てるよね．似てない似てない????

写像写像中中柱柱(mapping cylinder)(mapping cylinder)

f : X → Y : continuous

に対し，写像柱を次で与えるに対し，写像柱を次で与える

M := Y ∪ X × If f

ただしただし X × I ⊃ X × 0 ≅ X → Y

(x, 0) ≅ x ↦ f(x)

イメージ図イメージ図

M ∼ Yf h.e.

homotopy homotopy f , g : X → Y がが homotopic homotopic とは，とは，

f f をを g g にに""連続的に連続的に""変形させることができること変形させることができること i.e. i.e.

∃ϕ : X × I → Y : continuous

s.t. ϕ = f , ϕ = g0 1

f : X → Y : continuous がが homotopy homotopy 同値同値

∃g : Y → X s.t.g ∘ f ∼ idX

f ∘ g ∼ idY

例例) ) 可縮な空間可縮な空間D ∼ pt, R ∼ ptm n

例例))S ∼ R ∖ 0 ≁ pt1 2 { }

セル複体とハンドル体の関係セル複体とハンドル体の関係 # #とはとは

N: N: 最⼤大の指数が最⼤大の指数が ll のハンドル体のハンドル体このときこのとき

T hm :

N N は次を満たすは次を満たす ll 次元セル複体次元セル複体XXとホモトピー同値とホモトピー同値

i) ∃h : ∂N → X s.t. N ≅ Mhomeo h

ii) i − handle ↔ i − cell1:1

((証明はしないけどアイデア証明はしないけどアイデア))

M ≅ M ∪ D × Dc +ϵ0 c −ϵ0 ∂D ×Da b

a b

ハンドル分解の途中の式ハンドル分解の途中の式( a-( a-ハンドルを張り付けるハンドルを張り付ける))

D × 0a { } : : ⼼心棒⼼心棒 にに D × Da b : handle : handle を潰すを潰す

: : 円盤は可縮なので，これは円盤は可縮なので，これは homotopy homotopy 同値同値Db

(*) remark:handle 1 個でうまくいっても同時に上⼿手くつぶせるとは限らない

そのためちょっと議論が必要(詳細略)

homotopy homotopy 不変量不変量((特に特に [co]homology) [co]homology) ををハンドル分解を⽤用いて計算できる！！ハンドル分解を⽤用いて計算できる！！

例えば例えば……c :i i i 次の臨界点の個数次の臨界点の個数 (= i (= i 時の時の handle handle の個数の個数))

χ(M) : euler characterinstic

とするととすると

χ(M) = (−1) c∑ ii

補⾜足：補⾜足：morse morse 不等式不等式b :i i i 次次 butchibutchi betti betti 数数に対し

b ≤ ci i

(−1) b ≤ (−1) c∑i=0d i

d−i ∑i=0d i

d−i

1. 1. 弱形弱形

2. 2. 強形強形

セル複体のセル複体の homology homology

時間の都合で割愛時間の都合で割愛