“ しかく”のお勉強第 5 回日曜数学会 LT

s.t.@simizut22

資格？？

資格

四角

Square

Steenrod Square??

(; ･ `д ･ ´) これだっ！！

Steenrod Square の話第 5 回日曜数学会 LT

s.t.@simizut22

内容• homotopy• Eilenberg MacLane 空間• cohomology と (primary) cohomology operation• Steenrod Square• Steenrod 代数Milnor の構造定理

※適宜省略します

1. Homotopy #とは点付き位相空間の間の写像が homotopic とは、写像空間の間の道があること。 i.e. これは同値関係になる。 同値関係による商集合をホモトピー集合といい、 と書く。

1. Homotopy #とは

Path の間の homotopy(endpoint を保つ ) Torus と マグカップの間の変形

＊ Gif アニメは Homotopy(wiki) より拝借

1. Homotopy #とは特に、 の時は特にと書き、 n ” ” 次ホモトピー 群 という ( )※

※“ ” ” ”道 をつなぐことで積が定まり、逆の 道 を考えると逆元が定まる

ちょい正確には

- を使用して写像を足す - 北半球と南半球を反転して写像を反転する

2. Eilenberg MacLane 空間群と自然数 n に対し（の時は可換）、 Eileberg MacLane 空間空間が存在して以下が成立

Eileberg MacLane 空間に対し次が示せる1. 一意 (up-to weak homotopy equiv.)

2. Eilenberg MacLane 空間例：1. : 円周2. 無限次元実射影空間3. 無限次元複素射影空間4. 無限次元レンズ空間 ( 回転で作用 )5. configuration space

3. cohomology と cohomology operationDef( コホモロジー )可換群および自然数 n に対し次の関手を n次 (特異 ) ■コホモロジー関手という 群構造は係数から induce されるもの

3. cohomology と cohomology operationDef(cohomology operation)可換群および自然数 n, q に対し、自然変換

型の cohomology 作用素という 型の cohomology ■作用素全体をで表す

3. cohomology と cohomology operation次の定理が成立する！！！！！！！！定理∵) 米田の補題から次が分かる「自然変換 と が 1-to-1 」これを に使うだけ■

4. Steenrod Squareに対し次を満たす安定 cohomology 作用素が存在する：

1. (Cartan の公式 ) 上の安定 cohomology 作用素を Steenrod 作用素という

4. Steenrod SquareProp(Adem relation)Def(Steenrod 代数 ) で生成される多項式環を Steenrod 代数と言う 加法としての基底は で与えられる

4. Steenrod 代数と Milnor の構造定理Thm(Steenrod 代数の構造に関する Milnor の定理 )1. Steenrod 代数は Hopf 代数の構造も持つ i.e.2. の dual Hopf algebra は polynomial ring になる；

wh/

5. 最後に• 何がうれしいかというと• 球面やリー群のコホモロジーの生成元なんかがこいつらを使ってがちゃがちゃ出てきたりする。• けど、そのはなし泥臭いので省略します (´;ω; ｀ )

𝜋 3 (𝑆2)=ℤ( ☝ ՞ ਊ ՞ ）☝ｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｨﾈ !!!!!!!!!!!

Hopf 不変量はいいぞぉ (ु�´ ･ ω ･ `)ु�(Steenrod Algebra 関係なし )