58210401110 งาน1 ss ครับ

วชาการคดและการตดสนใจ (4000106)

อาจารยศรพร จรรยา

คณะศลปศาสตรและวทยาศาสตร มหาวทยาลยกาฬสนธ

ตรรกศาสตรและการใหเหตผล

ตรรกศาสตร

การศกษาตรรกศาสตรเรมมมาตงแตสมยกรกโบราณ ซงเปนสมยทถอวาเปนตน

ก าเนดของประชาธปไตย และอารยะธรรมของโลกตะวนตกในปจจบน

ในสมยดงกลาวมนษยมการเสาะแสวงหาหลกเกณฑอนแนนอน ทจะชวยใหการ

เจรจาของตนเปนไปอยางมประสทธภาพเพอไดรบการยอมรบความคดเหน

ตรรกศาสตรเปรยบเสมอนเครองมอตดสน ช ผดช ถก หรอเปนเครองมอชวยตดสน

ความสมเหตสมผลของถอยค าพด เนองจากตรรกศาสตรเปนวชาทวาดวยกฎเกณฑ

ทใหเหตผล

ความหมายของตรรกศาสตร

“ตรรกศาสตร” มรากศพทมาจากภาษาสนสกฤษ ถาแปลตรงตามรากศพท

ตรรกศาสตร หมายถง ความรทวาดวยการตรกตรอง

สวนค าทมความหมายตรงกนในภาษาองกฤษ คอ “ Logic ” มรากศพทมากจากภาษากรก คอ Logos หมายถง การเจรจา หรอการสนทนาอยางมเหตผล

จงกลาวไดวา ตรรกศาสตร เปนวชาทวาดวยหลกเกณฑ และวธการในการอาง

เหตผล หรอวชาทวาดวยการใชเหตผล (Science of Reasoning)

ตรรกศาสตรทเกดขนในระยะเรมแรกมลกษณะเปนค ากลาวทเกดจากความคดและ

ความเชอของนกปรชญา

ในยคของอรสโตเตล มการศกษาในแนวทเปนสาขาหนงของวชาปรชญา ตอมา

ไดรบการพฒนาเปน ตรรกศาสตรเชงคณตศาสตร โดยเปลยนขอความทเปนรป

ภาษาทใชในชวตประจ าวนใหอยในรปสญลกษณเพอขจดความก ากวมของภาษา

ตรรกศาสตรสญลกษณ (Symbolic Logic)

ประโยค

ในทางตรรกศาสตรอาจใชสญลกษณแทนขอความตาง ๆ เพราะเมอใช

สญลกษณแลวท าใหสามารถใชกฎเกณฑตาง ๆ ไดมากขนและสะดวกยงขน

ความคดของมนษยแสดงออกไดดวยประโยค

ภาษาทใชในการใหเหตผลจงเกยวของกบประโยค

ดงนนเราจงตองศกษาเกยวกบประโยคแตกไมจ าเปนตองศกษาประโยคทกชนด

เพราะในเรองความคดของมนษยจะแสดงไดดวยประโยคบางชนดเทานน

ตวอยางท 1 แสดงขอความทเปนประโยค

1. ประเทศไทยตงอยในทวปเอเชยอาคเนย (เปนประโยคบอกเลาทเปนจรง)

2. ขอนแกนเปนเมองหลวงของไทย (เปนประโยคบอกเลาทเปนเทจ)

3. วนศกรไมใชวนหยดราชการ (เปนประโยคปฏเสธทเปนจรง)

4. ธงชาตไทยม 3 ส (เปนประโยคบอกเลาทสามารถบอกไดวาเปนจรงหรอเทจ)

5. จงชวยกนรกษาความสะอาด (เปนขอความทแสดงการขอรอง บอกไมไดวาเปนจรงหรอไม)

จากตวอยางจะเหนวาขอ 1 – 4 เปนประโยคทสามารถระบไดวาเปนจรงหรอเปน

เทจซงเราจะเรยกประโยคดงกลาววา ประพจน

สวนขอ 5 ไมเปนประพจนเพราะเปนประโยคทแสดงการขอรอง ซงบอกไมไดวา

เปนจรงหรอเทจ

ประพจน ประพจน (Statement) คอ ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมคา

ความจรง (Truth Value) เปนจรงหรอเทจเพยงอยางใดอยางหนง โดยจะ

เรยกประพจนทเปนจรงวา ประพจนทมคาความจรงเปนจรง (T) และเรยก

ประพจนทเปนเทจวา ประพจนทมคาความจรงเปนเทจ (F)

ประพจน สามารถแบงออกไดเปน 2 ประเภท คอ

1. ประพจนเชงเดยว (Simple Statement)

2. ประพจนเชงประกอบ (Compound Statement)

ประพจนเชงเดยว (Simple Statement)

เปนประพจนทไมมประพจนอนเปนสวนประกอบ และมความจรง

เปนจรง หรอเทจอยางหน งอยางใดในตวเอง โดยทวไปจะใช

ตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพ A, B, C, … หรอ a, b, c, …

แทนประพจนเหลาน

ประพจนเชงประกอบ (Compound Statement)

ประพจนเชงประกอบ หรอประพจนเชงซอน เปนประพจนท มประพจน

เ ชง เด ยวเปนสวนประกอบ โดยใชตว เ ชอมตรรกศาสตร (Logical

Connectives) ในการสรางซงประกอบดวย

“…และ…” เขยนแทนดวยสญลกษณ

“…หรอ…” เขยนแทนดวยสญลกษณ

“ถา…แลว…” เขยนแทนดวยสญลกษณ

“…กตอเมอ…” เขยนแทนดวยสญลกษณ

“…ไมเปนความจรงทวา…” เขยนแทนดวยสญลกษณ ~

ตวอยางท 2 แสดงขอความทเปนประพจน

A แทนประพจน “ 9 เปนจ านวนนบ” มคาความจรงเปนจรง

P แทนประพจน “นกเปนสตวเล ยงลกดวยนม” มคาความจรงเปนเทจ

q แทนประพจน “42 ไมเทากบ 24 มคาความจรงเปนเทจ

ขอความทอยในรปของค าถาม ค าสง ขอรอง อทาน หรอแสดงความ

ปรารถนาจะไมเปนประพจน เพราะไมสามารถบอกความจรงไดวาเปน

จรงหรอเปนเทจ เชน

เสอตวน ราคาเทาไร ค าถาม

หามมยาเสพตดไวในครอบครอง ค าสง

กรณาอยาจอดรถขวางประต ขอรอง

อย! ตกใจหมดเลย อทาน

ฉนอยากเรยนตอระดบอดมศกษา แสดงความปรารถนา

น านงไหลลก ค าพงเพย

ประโยคเปด

ประโยคเปด เปนประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมตวแปร และยงไม

สามารถระบคาความจรงไดวาเปนจรงหรอเปนเทจ แตถาแทนคาตวแปรดวย

คาใดคาหนงแลว ประโยคเปดจะกลายเปนประพจน

ตวอยางท 3 แสดงขอความทเปนประโยคเปด

เขาเปนนกฟตบอลทมชาตไทย

X + 5 = 20

จากขอ 1 ค าวา “เขา” เราไมทราบวาหมายถงใคร จงไมสามารถบอกคาความจรง

ไดวาขอความน เปนจรงหรอเปนเทจ แตถาระบวา “เขา” คอ “สารช อยเยน” จะได

ขอความวา “สารช อยเยน เปนนกฟตบอลทมชาตไทย” ซงเปนประพจน เพราะ

สามารถบอกคาความจรงไดวาขอความน เปนจรง

จากขอ 2 ค าวา “X” เราไมทราบวา หมายถงจ านวนใด จงยงไมสามารถบอกคา

ความจรงไดวาเปนจรงหรอเปนเทจ แตถาระบ “X = 14” จะไดขอความ

“X + 5 = 20” ซงเปนประพจน เพราะสามารถบอกคาความจรงไดวาเปนเทจ

ดงนนจะเหนวาขอความท 1 และ 2 นไมเปนประพจน ทงนเนองจากไม

สามารถบอกคาความจรงไดวาเปนจรงหรอเปนเทจ แตเมอมการระบขอบเขต

หรอความหมายของค าบางค าในขอความวาหมายถงสงใด จะท าใหขอความ

นนกลายเปนประพจน เพราะสามารถบอกคาความจรงไดวาเปนจรงหรอเปน

เทจ เราเรยกขอ 1 และ 2 วาประโยคเปด และเรยกค าวา “เขา” และ “X”

วาตวแปร

“X > 0” เปนประโยคทม X เปนตวแปร

“จ านวนนบ X ทกตวมคามากกวาศนย” เปนประพจน เพราะก าหนด

ขอบเขตของตวแปร X วา “จ านวนนบ X ทกตว” และท าใหประพจนนมคา

ความจรงเปนจรง

“y + 3 = 1” เปนประโยคเปดทม y เปนตวแปร

“มจ านวนเตมบวก y บางจ านวนท y + 3 = 1” เปนประพจน เพราะ

ก าหนดขอบเขตของตวแปร y วา “มจ านวนเตมบวก y บางจ านวน” และท า

ใหประพจนนมคาความจรงเปนเทจ

ค าวา “ทกตว” ในขอ 1 แสดงปรมาณ “ทงหมด” ของจ านวนนบ และค าวา

“บางจ านวน” ในขอ 2 แสดงปรมาณ “บางสวน” ของจ านวนเตมบวก ดงนน

ค าวา “ทก” และ “บาง” จงเปนตวบงปรมาณของสงทตองการพจารณา

ตวบงปรมาณในตรรกศาสตร ม 2 ชนด คอ

1. ตวบงปรมาณ “ทงหมด” หมายถง ทกสงทกอยางทตองการพจารณาในการ

น าไปใชอาจใชค าอนทมความหมายเชนเดยวกบ “ทงหมด” ได ไดแก “ทก”

“ทกๆ” “แตละ” “ใครๆ” เชน คนทกคนตองตาย คนทกๆ คนตองตาย คนแต

ละคนตองตาย ใครๆ กตองตาย

2. ตวบงปรมาณ “บาง” หมายถง บางสวนหรอบางสงบางอยางทตองการพจารณา

ในการน าไปใชอาจใชค าอนทมความหมายเชนเดยวกนได ไดแก “บางอยาง” “ม

อยางนอยหนง” เชน สตวมกระดกสนหลงบางชนดออกลกเปนไข มสตวม

กระดกสนหลงอยางนอยหนงชนดทออกลกเปนไข

รปแบบของประโยคตรรกวทยา

ประพจนหรอประโยคทวไป เมอน ามาพจารณาถงการใหเหตผล ควรจะตอง

เปลยนประโยคเหลานนใหมรปแบบเปนประโยคทางตรรกวทยา ซงรปแบบ

ดงกลาวจะมองคประกอบ 3 สวน คอ

1. ประธาน

2. ตวเชอม

3. ภาคแสดง

รปแบบของประโยคตรรกวทยา

ประธาน มลกษณะเปนค านาม แสดงสงทกลาวถง ซงอาจเปนค าหรอกลมค าก

ไดท าหนาทเปนประธานของประโยค

ตวเชอม เปนค าทอยระหวางประธานกบภาคแสดง ม 2 ประเภท คอ ตวเชอม

ยนยน ไดแก ค าวา”เปน”และตวเชอมปฏเสธ ไดแกค าวา “ไมเปน”

ภาคแสดง มลกษณะเปนค านาม ซงเปนการแสดงออกของประธาน

(ทงประธานและภาคแสดง อาจใชค าวา “เทอม”แทนได)

ตวอยาง 4

นางสาวศศญาเปนคนซอสตย

ประธาน ไดแก

“นางสาวศศญา”

ตวเชอม ไดแก

“เปน”

ภาคแสดง ไดแก

“คนซอสตย”

คนบางคนไมเปนต ารวจ

ประธาน ไดแก

“คนบางคน”

ตวเชอม ไดแก

“ไมเปน”

ภาคแสดง ไดแก

“ต ารวจ”

วธเปล ยนประโยคท วไปเปนประโยคตรรกวทยา ท าไดดงน

1) ก าหนดเทอมแรกเปนประธาน แลวใชค าวา “เปน” หรอ “ไมเปน” แลวแตกรณ เปนตวเชอมหลงประธาน แลวก าหนดเทอมหลงเปนภาคแสดงของ

ประธาน เชน

ประโยคทวไป : นกมปก

ประโยคตรรกวทยา : นก (ประธาน) เปน (ตวเชอม)

สงทมปก (ภาคแสดง)

ประโยคทวไป : ดอกไมบางชนดรบประธานได

ประโยคตรรกวทยา : ดอกไมบางชนด (ประธาน) เปน (ตวเชอม)

สงทรบประธานได (ภาคแสดง)


2) ถาค าวา “ไม” อยภาคแสดง ใหยายค าวา “ไม” มาอยทตวเชอม เพอได

ยงคงมความหมายเชนเดม เชน

ประโยคทวไป : ชมพไมชอบแมว

ประโยคตรรกวทยา : ชมพ (ประธาน) ไมเปน (ตวเชอม)

ผชอบแมว(ภาคแสดง)

หรอ : ชมพ (ประธาน) เปน (ตวเชอม)

ผไมชอบแมว (ภาคแสดง)

(ซงประโยคตรรกวทยาแบบแรกถอวาปกตวาแบบหลงและเปนทนยมกวาแบบหลง)


3) ถาค าวา “ไม” อยทประธานตองพจารณาความหมายแตละกรณดงน

ก) ถามความหมายวา ปฏเสธประธานทงหมด จะสามารถยายค าวา “ไม” มาอยทตวเชอม

เพอใหความหมายไมเปลยนแปลง เชน

ประโยคทวไป : ไมมรถคนใดบนได

ประโยคตรรกวทยา : รถทกคน (ประธาน) ไมเปน (ตวเชอม)

สงทบนได (ภาคแสดง)

ข) ถามความหมายวาปฏเสธประธานเพยงบางสวน จะไมสามารถยายค าวา “ไม” มาอยท

ตวเชอม จะยายมาอยทประธานไมได เพราะท าใหความหมายเปลยนแปลงไปจากเดม เชน

ประโยคทวไป : คนไมขยนบางคนเปนคนยากจน

ถาเปลยนเปน “คนขยนบางคนไมเปนคนยากจน” หรอ “คนขยนบางคนเปนคนทไม

ยากจน” จะเหนวา ความหมายเปลยนแปลงไปจากเดม เพราะคนขยนบางคนอาจเปน ผท

ยากจนหรอไมยากจน กได กรณเชนนจะตองคงประโยคเดมไว

ประพจนเชงประกอบ

ประพจนเชงประกอบ (Compound Statement) เปนประพจนเชงเดยวเปน

สวนประกอบ โดยใชตวเชอม (Connectives)

ในการสราง ถอเปนการเชอมประพจน เนองจากขอความทเราใชในชวตประจ าวน

หรอใชในวชาคณตศาสตรจะมประโยคบางประโยคซงเปลยนแปลงไปจากเดม เมอ

ประโยคนนๆ ถกเชอมดวยตวเชอม (Connectives) ซงเปนค าทจะชวยในการ

สรางประโยคนนๆ ใหมความหมายกวางขวางขนกวาเดม เชน

ถาเรามประโยค 2 ประโยค คอ

P แทน วนนอากาศรอน

q แทน วนนฝนตก

เราสามารถสรางประโยคใหมดวยการเชอมประโยคเขาดวยกนไดดงน

1. วนนอากาศรอนและฝนตก

2. วนนอากาศรอนหรอวนนฝนตก

3. ถาวนนอากาศรอนแลววนนฝนตก

4. วนนอากาศรอนกตอเมอวนนฝนตก

ประพจนเชงประกอบทสรางข นจากประพจนเชงเดยว ดวยตวเช อม

ตรรกศาสตรมดงตอไปน

ประพจนรวม (Conjunction) เปนประพจนท เกดจากการเชอมประพจน

เชงเดยวในลกษณะทเปนการยนยนทงสองสวน ดวยตวเชอม “และ” (and) ซงใช

สญลกษณ “^”

ถาให p และ q แทนประพจนเชงเดยว ประพจนรวมของ p และ q เขยนแทนดวย

สญลกษณ p ^ q อานวา “p และ q” โดยมตารางคาความจรง (truth - table)

ดงน

p q p ^ q

T T T

T F F

F T F

F F F



ประพจนเลอก (Disjunction) เปนประพจนทเกดจากการเชอมประพจนเชงเดยวใน

ลกษณะการรบรองอยางนอยหนงสวน ดวยตวเชอม “หรอ” (or) ซงใชสญลกษณ “ v ”

โดย “ หรอ ” ในความหมายเชงตรรก หมายถง เลอกอยางใดอยางหนง หรอทงสอง ม

ความหมาย เชนเดยวกบ “หรอ/และ”

ถาให p และ q แทนประพจนเชงเดยว ประพจนเลอกของ p และ q เขยนแทนดวย

สญลกษณ p v q อานวา “ p หรอ q ” โดยมตารางคาความจรง (truth - table)

ดงนp q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F



ประพจนแบบเงอนไข (Condition) เปนประพจนทเกดจากการเชอมประพจน

เชงเดยว ในลกษณะแจงเหตสผล โดยแสดงเงอนไขหรอเหตผล เชอมดวยตวเชอม

“ถา...แลว...” (if…then) ซงใชสญลกษณ “ ”

ถาให p และ q แทนประพจนเชงเดยว ประพจนเงอนไขของ p และ q เขยนแทน

ดวยสญลกษณ p q อานวา “ถา p แลว q ” โดยมตารางคาความจรง (truth

- table) ดงน

p q p q

T T T

T F F

F T T

F F T



ประพจนเงอนไขสองทาง (Bicondition) เปนประพจนทเกดจากการเชอม

ประพจนเชงเดยว ดวยตวเชอม “...กตอเมอ...” (…if and only if…) ซงใช

สญลกษณ “ ”

ถาให p และ q แทนประพจนเชงเดยว ประพจนเงอนไขสองทางของ p และ q

เขยนแทนดวยสญลกษณ p q อานวา “p กตอเมอ q” ซงเปนประพจนทม

ความหมายเหมอนกนกบ (p q)^(q p) โดยมตารางคาความจรง (truth

- table) ดงน

p q p q

T T T

T F F

F T F

F F T



ประพจนนเสธ (Negations) หรอปฏเสธ คอ ประพจนทแสดงคาความจรง

ตรงกนขามกบประพจนเดมซงจะใชแทนดวยค าวา ไม (not) ใชสญลกษณ “~”

ลงไปขางหนา

ถาให p แทนประพจนเชงเดยว ประพจนปฏเสธ หรอนเสธของประพจน p เขยน

แทนดวยสญลกษณ ~ p อานวา “นเสธ p” โดยมตารางคาความจรง (truth -

table) ดงน

p ~ p

T F

F T

ก) ในกรณทประพจนเชงประกอบ เกดจากการเชอมประพจนเขาดวยกนโดย

ใชตวเชอมเชงตรรกมากกวา 1 ตวเชอม การเขยนสญลกษณเชงซอน ควร

วเคราะหหาตวเชอมหลกกอน แลวรวมประพจนเชงประกอบทเกดจาก

ตวเชอมอนๆ ไวในวงเลบตามล าดบ เพอขจดความก ากวม ในการวเคราะห

คาความจรง เชน

ถาเดกชายปรชา ดมนม และออกก าลงกายเปนประจ าแลวเขาจะมสขภาพ

แขงแรง

ใหp : เดกชายปรชาดมนมเปนประจ า

q : เดกชายปรชาออกก าลงกายเปนประจ า

r : เดกชายปรชามสขภาพแขงแรง

ขอความขางตนเขยนในรปสญลกษณไดเปน (p ^ q) r

ข) ถานายแดงสอบเขามหาวทยาลยกาฬสนธได แลวนายด าจะขายทนา (เพอสงเสย

นายแดง) แตนายแดงสอบเขามหาวทยาลยกาฬสนธไมได ดงนน นายด าไมได

ขายทนาผนนน

p : นายแดงสอบเขามหาวทยาลยกาฬสนธได

q : นายด าขายทนา

ขอความขางตนเขยนในรปสญลกษณไดเปน {(p q)^~p} ~q

ตวอยางท 5 จงวเคราะหคาความจรงของประพจน

(~ p ^ q) v ~ r เม อก าหนดให p เปนจรง q เปนจรง r เปนเทจ

ขนท 1 ใสคาความจรงของ p, q, r

ขนท 2 หาค าตอบความจรง ~p

และ ~r

ขนท 3 หาคาความจรงของ ~p^q

ขนท 4 หาคาความจรงของ

(~p^q)v~r

แสดงแผนภาพ

(~ p ^ q) v ~ r

F

~ T T ~ F

F

T

T

ตวอยางท 6 จงวเคราะหคาความจรงของประพจน

(~ p v q) r

หมายเหต การวเคราะหคาความจรง

ของประพจนเชงประกอบโดยวธเขยน

แผนภาพ ดงในตวอยางท 6 อาจจะท า

ใหสนลง โดยเขยนคาความจรงท

วเคราะหลงในบรรทดเดยวกนดงน

(~ p v q) r

F

~ T F T

F

F

T

(~ p v q) r

FF TTF F

เมอก ำหนดให p เปนจรง q เปนเทจ r เปนจรง

ตวอยางท 7 ก าหนดให ( p ^ ~q) v (r q) เปนเทจ จง

หาคาความจรงของ p, q และ r

สรป ไดวาคาความจรงของ p, q และ r เปน เทจ, เทจ และจรง

( p ^ ~q) v (r q)

F

F F

FF TT

ในกรณทประพจนเชงประกอบ ประกอบดวยประพจนเชงเดยวหลายประพจน และม

ตวเชอมหลายตว การวเคราะหคาความจรงของประพจนจะท าในวงเลบกอน ถ าไมม

วงเลบตกลงวาใหท าตามล าดบตวเชอมกอนหลง ดงน

เรยงตามความส าคญจากนอยไปมาก

1. ~

2. ^,v

3.

4.

การวเคราะหความจรงของประพจนเชงซอน

กรณท 2 กรณทก าหนดคาความจรงของประพจนเชงเดยวประกอบมาใหจะตอง

วเคราะหทกกรณทเปนไปได ซงจะมกกรณนนขนอยกบจ านวนประพจนเชงเดยวท

เปนสวนประกอบ โดยอาศยหลกการของกฎการนบจะไดวา ถาประพจนเชง ซอน

ประกอบดวย n ประพจนจะตองวเคราะห 2n กรณ และวเคราะหจะท าโดยการสราง

ตารางหาคาความจรง

1. ถาประพจนเชงประกอบนนประกอบดวยประพจนเชงเดยว 1 ประพจน เชน p v ~p,

p ~p, p^~p คาความจรงของประพจนเหลาน ขนอยกบคาความจรงของ p ถา

ทราบคาความจรงของ p แลวสามารถหาคาความจรงของประพจนเชงประกอบเหลาน ได

คาความจรงของ p เปนไปได 2 กรณเทานน คอ จรงหรอเทจ ดงนนในตารางคาความ

จรงจะวเคราะหได 2 กรณ ดงน

ตวอยางท 8 จงหาคาความจรงของประพจน p ~p

p ~p p ~p

T F F

F T T

2. ถาประพจนเชงประกอบนนประกอบดวยประพจนเชงเดยว 2 ประพจน เชน p^~q, (p^q) p, (p v ~q) p คาความจรงของประพจนเหลาน ขนอยกบคาความจรงของประพจน p กบ q ถาทราบคาความจรงทง 2 ประพจนน กสามารถวเคราะหคาความจรงของประพจนเชงประกอบน ได ซงคาความจรงทเปนไปไดของ p กบ q ม 4 กรณ ดงน

เขยนในรปแผนภาพ ม 2 ประพจน

p q

T

TF

F

T

F

เขยนในรปตาราง

p q

T T

T F

F T

F F

ตวอยางท 9 จงวเคราะหคาความจรงของ (p v ~q) ~p

p ~p q ~q p v ~q (p v ~q) ~p

T F T F T F

T F F T T F

F T T F F F

F T F T T T

ถาประพจนเชงประกอบนนประกอบดวยประพจนเชงเดยว 3 ประพจน เชน

(p ^ q) r, (p v r) ~q คาความจรงทเปนไปไดของ p, q และ r ม 8 กรณ

ดงน

เขยนในรปแผนภาพ ม 3 ประพจนp q r

T

FT

T

F T

F

T

FT

F

FT

F

เขยนในรปตาราง

p q r

T T T

T T F

T F T

T F F

F T T

F T F

F F T

F F F

ตวอยางท 10 จงวเคราะหคาความจรงของ (p v q) ~r

p q r p v q ~r (p v q) ~r

T T T T F F

T T F T T T

T F T T F F

T F F T T T

F T T T F F

F T F T T T

F F T F F T

F F F F T T

ประโยคสมมลกน

ประโยคสมมลกน (Equivalent Sentences) คอ การทประพจน 2 ประพจนม

คาความจรงเหมอนกนทกกรณ ถอวาประพจนทง 2 มความหมายเหมอนกน ซง

เขยนแทนดวยสญลกษณ “ ”

ถาประพจน P สมมลกบประพจน Q จะเขยนแทนดวยสญลกษณ P Q แตวา

ประพจน P ไมสมมลกบประพจน Q จะเขยนแทนดวยสญลกษณ P Q

การทดสอบการสมมล ทดสอบได 2 วธ ดงน

1. การสรางตารางคาความจรง

2. การใชสมบตสมมล

การสรางตารางคาความจรง

ตวอยางท 11 จงทดสอบวา (p v ~ p) ~(~p ^ p) หรอไม

ดงนน (p v ~p) สมมลกบ ~(~p ^ p) หรอ (p v ~p) ~(~p ^ p)

p ~p (p v ~ p) (~p ^ p) ~(~p ^ p)

T F T F T

F T T F T

การใชสมบตสมมล

ประพจนทสมมลกนไดแก

1. ~( ~p) p

2. p q ~p v q

3. p q ~q ~p

4. p v p p

5. p ^ p p

6. p v q q v p

7. p ^ q q ^ p

8. p ^ (q v r) (p ^ q) ^ r

9. p v (q v r) (p v q) v r

10. p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r)

11. p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r)

12. ~(p v q) ~p ^ ~q

13. ~(p ^ q) ~p v ~q

14. p q (p q)^(q p)

ตวอยางท 12 จงทดสอบวา (~q ~p) ~(p ^ ~q) หรอไม

วธท า (~q ~p) p q (ขอ 3 )

p q ~p v q (ขอ 2 )

~p v q ~(p ^ ~q) (ขอ 13)

ดงนน (~q ~p) ~(p ^ ~q)

สจนรนดร และ ขอขดแยง

รปแบบของประพจนเชงประกอบทประพจนเชงเดยวจะเปนจรงหรอเปนเทจกตาม

คาความจรงของประพจนจะตองเปนจรงเสมอ เรยกวา สจนรนดร (Tautology)

และรปแบบของประพจนเชงประกอบทประพจนเชงเดยวจะเปนจรงหรอเปนเทจก

ตาม คาความจรงของประพจนจะตองเปนเทจ เสมอ เ รยกวา ขอขดแยง

(Contradiction)

การตรวจสอบสจนรนดร ท าไดดงน

1. การสรางตารางคาความจรง

2. วธการหาขอขดแยง ใชในกรณทตวเชอมรวมของประพจนเปน v ,

3. ในกรณทตวเชอมของประพจนเปน ทดสอบโดยใชสมบตของสมมล

การสรางตารางคาความจรง

ตวอยางท 13 จงทดสอบประพจน [(p ~q) ^ q] ~p เปนสจนรนดร

หรอไม

ดงนน [(p ~q) ^ q] ~p เปนสจนรนดร

p q ~q p

~q

[(p ~q)

^ q]

~p [(p ~q)

^ q] ~p

T T F F F F T

T F T T F F T

F T F T T T T

F F T T F T T

วธการหาขอขดแยง ใชในกรณทตวเช อมรวมของประพจนเปน v ,

วธการ 1. ใหคาความจรงของทงประพจนเปนเทจ

2. หาคาความจรงของประพจนเชงเดยว

3. ท าการทดสอบโดยการแทนคาของประพจนเชงเดยว

- ถาเกดการขดแยง สรปวา เปนสจนรนดร

- ถาไมเกดการขดแยง สรปวา ไมเปนสจนรนดร

ตวอยางท 14 จงทดสอบประพจน [(p ~q) ^ q] ~p เปนสจนรนดร

หรอไม

วธท า [(p ~q) ^ q] ~p

ดงนน มขอขดแยง สรปวาประพจน [(p ~q) ^ q] ~p เปนสจนรนดร

จะได p เปน T q เปน T

F

T F

TT

T F

F

ในกรณทตวเช อมของประพจนเปน ทดสอบโดยใชสมบตของสมมล

เชน โดยท แทนประพจนใด ๆ

ถาทดสอบไดวา ดงนน เปนสจนรนดร

ตวอยางของสจนรนดรทใชบอย ๆ ในคณตศาสตร

1. p v ~p

2. p p v q

3. p v q p

p ^ q q

4. p ^ (q q) q

5. [(p q) ^ ~q] ~p

6. [(p q) ^ (q r)] (p r)

7. [~p (q ^ ~q)] p

8. [(p r) ^ (q r)] [(p v q)

r]

9. [(p v q) ^ ~p] q

10. (p q) ^ (p r) (p q) ^ r

ตวอยางท 15 จงทดสอบวาประพจน ~(~p ^ ~q) (~q p)

เปนสจนรนดร หรอไม

วธท า ~(~p ^ ~q) ~(~p) v ~(~q) (ขอ 13)

~(~p) v ~(~q) p v q (ขอ 1)

p v q ~p q (ขอ 2)

~p q ~q p (ขอ 3)

ดงนน ~(~p ^ ~q) ( ~q p)

สรปไดวา ~(~p ^ ~q) (~q p) เปนสจนรนดร

การใหเหตผล

กระบวนการใหเหตผลในทางตรรกศาสตร เปนกระบวนการทน าประโยคหรอ

ประพจนทก าหนดให ซงเรยกวา “เหต” หรอ ขอก าหนดซงอาจมมากกวา 1 เหตมา

วเคราะหเปนขออาง

ขอสนบสนนหรอแจกแจงความสมพนธ หรอความตอเนอง เพอใหเกดความจรงอน

ใหมหรอไดขอความใหม ซงเรยกวา “ผล” หรอขอสรป

โดยทวไปกระบวนการใหเหตผล แบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ

1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)

2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasonnig)

การใหเหตผลแบบอปนย

การใหเหตผลแบบอปนย เปนกระบวนการคดหาเหตผลจากเหตยอย หรอ

ปรากฏการณขอเทจจรงปลกยอยหลายๆ อน ซงเปนอสระตอกนหรอมความส าคญ

เทาๆ กน และน ามาสรปเปนหลกทวๆ ไป

ตวอยางท 16 เหต 1 คนทกคนตองหายใจ

เหต 2 สตวบกทกชนดตองหายใจ

เหต 3 นกทกชนดตองหายใจ

เหต 4 ปลาทกชนดตองหายใจ

เหต 5 แมลงทกชนดตองหายใจ

ผลสรป สงมชวตทกชนดตองหายใจ

จากตวอยางจะเหนวาเหตแตละเหตเปนอสระตอกน ซงหมายความวาเหตหนงไมได

บงคบใหเกดเหตอกอนหนง แตเหตดงกลาวมความเหมอนกน คอ ความเปนสงทมชวต

การสรปโดยการใชเหตผลแบบอปนยบางครงอาจจะไมเปนจรง อาจจะเปนเพยงความ

นาจะเปน (Probability) เทานน

แตขอดของการสรปผลแบบอปนยกอใหเกดความรและความคดแปลกใหมเพมขน

เหตผลแบบอปนยน ามาใชมากในวธการทางวทยาศาสตรและสถต

การใหเหตผลแบบนรนย

การใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหตผลโดยยอมรบเหตใหญ (Major Premise)

และเหตยอย(Minor Premise) วาเปนจรง และพจารณาความสมพนธระหวางเหต

ใหญกบเหตยอยวามผลบงคบใหเกดผลสรปหรอไมอยางไร

ผลสรปทไดจะเปนจรงไมเปลยนแปลงถาเหตไมเปลยนแปลง

ตวอยางท 17 เหต 1 การพนนทกชนดเปนอบายมข

เหต 2 อบายมขเปนเหตเหตความเสอม

ผลสรป การพนนทกชนดเปนเหตแหงความเสอม

จะเหนวาในการอธบายไมไดขยายความแตอยางใด เพยงเอาแตละประโยคมาเชอมกน

การตรวจสอบความสมเหตสมผล

การใหเหตผลเรมจาก เหตหรอขอก าหนดอาจเกดจากประพจนหลายๆประพจน

ประกอบกน

จากการยอมรบหรอถอตามเหตเหลานน น าไปสผลสรป โดยเขยนในรปของการให

เหตผลไดดงน

เหต : A1

A2

…

An

ผล : B

สามารถเขยนในรปประพจนเงอนไขไดเปน (A1 ^ A2 ^… ^ An)B

โดยท (A1 ^ A2 ^… ^ An) คอ เหตหรอขอก าหนดของ

B คอ ผลหรอขอสรป

การใหเหตผลจะสมเหตสมผลกตอเมอประพจนเงอนไข (A1 ^ A2 ^… ^ An)Bเปนสจนรนดร หมายถงเหตจะเปนตวก าหนดใหเกดผลตามมาอยางแนนอน

แตถาประพจนเงอนไข (A1 ^ A2 ^… ^ An)B ไมเปนสจนรนดร กถอวาการให

เหตผลนน ไมสมเหตสมผล

ตวอยางท 18 จงตรวจสอบวาการใหเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1 : ถาอานภาพออกก าลงกายทกวนแลวอานภาพจะแขงแรง

เหต 2 : อานภาพออกก าลงกายทกวน

ผล : อานภาพแขงแรง

วธท า ให p แทนอานภาพออกก าลงกายทกวน

q แทนอานภาพแขงแรง

เขยนใหอยในรปสญลกษณ ดงน

เหต 1 : pq

เหต 2 : p

ผล : q

พจารณา (เหต 1 ^เหต 2)ผล

จะได [(p q) ^ p] q

ทดสอบความเปนสจนรนดร โดยการสรางตารางคาความจรง

จากตารางพบวาประพจนดงกลาวเปนสจนรนดร ดงนนการใหเหตผลน

สมเหตสมผล

ในกรณทเหตประกอบดวยขอความหลายขอความ และแตละขอความมประพจน

ประกอบหลาย ๆ ประพจน ใหใชเปนกฎส าหรบการอนมาน ในการตรวจสอบความ

สมเหตสมผลของการใหเหตผล

p q pq (pq) ^p [(p q) ^ p] q

T T T T T

T F F F T

F T T F T

F F T F T

กฎส าหรบการอนมาน (Rules of inference)

1. การยนยนขอน า (Modus Ponens :M.P.)

PQ

P

Q

2. การยนยนปฏเสธขอตาม (Modus Tollens : M.T.)

PQ

Q

P

3. ตรรกบทแบบสมมตฐาน (Hypothetical Syllogism : H.S.)

PQ

QR

PR

กฎส าหรบการอนมาน (Rules of inference)4. ตรรกบทแบบการเลอก (Disjunctive Syllogism : D.S.)

PQ

P

Q

5. ทวบทสรางเสรม (Cunstructive Dilemma : C.D.)

PQ

RS

PR

QS

6. ทวบทหกลาง (Destructive Dilemma : D.D.)

PQ

RS

QS

PR


7. การรวมหรอการเชอม (Conjunction : Conj.)

P

Q

PQ

8. การคดออก (Simplification :Simp)

PQ

P

9. การเพม (Addition :Add.)

p

PQ

10. ความจ าเปน (Necessity :Nec)

PQ

PQ

Q


11. กฎของเดอมอรกอง (De Morgan’s Laws)

(PQ)

PQ

(PQ)

PQ

PQ

(PQ)

PQ

(PQ)


12. กฎการสลบท (Commutative Laws)

PQ

QP

PQ

QP

P Q

Q P


13. กฎการเปลยนกลม (Associative Laws)

P(QR)

(PQ) R

P(QR)

(PQ) R

P (Q R)

(P Q) R


14. กฎการแจกแจง (Distributive Laws)

P(QR)

(PQ) (PR)

P (QR)

(PQ) (PR)

(PQ) (PR)

P(QR)

(PQ) (PR)

P (QR)


15. กฎนเสธซอน (Law of double negation)

(P)

P

ตวอยางท 19 จงตรวจสอบวาการใหเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม

เหต 1 : ถานอยขบรถเรวแลวนอยจะเกดอบตเหต

เหต 2 : นอยขบรถเรว

ผล : นอยเกดอบตเหต

วธท า ให P แทน นอยขบรถเรว

Q แทน นอยเกดอบตเหต

เขยนใหอยในรปสญลกษณ ดงน

เหต 1 : PQ

เหต 2 : P

ผล : Q

การใหเหตผลนสมเหตสมผล เพราะอยในรปแบบของการแจกแจงผลตามเหต

(Modus Ponens)

การตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชแผนภาพ

ในการพจารณาความสมเหตสมผล อาจท าไดโดยใชแผนภาพ ซงใชเปนรปปด เชน

วงกลมหรอวงร แทนเทอมตางๆ ซงท าหนาทเปนประธานและภาคแสดงในประโยค

ตรรกวทยา แลวเขยนรปปดเหลานนตามความสมพนธของเหตทก าหนดให จากนน

จงพจารณาความสมเหตสมผลจากแผนภาพทได

แผนภาพทใชในการตรวจสอบความสมเหตสมผล

รปแบบท 1 “ A ทกตวเปน B ”

เขยนวงกลม A และ B ซอนกน โดย A อยภายใน B สวนทแรเงา

แสดงวา “A ทกตวเปน B ”

A

B


รปแบบท 2 “A บางตวเปน B ”

เขยนวงกลม A และ B ตดกน

สวนทแรเงาแสดงวา “A บางตวเปน B ”

A B


รปแบบท 3 “ไมม A ตวใดเปน B ”

เขยนวงกลม A และ B แยกกน

เพอแสดงวา “ไมมA ตวใดเปน B ”

A B


รปแบบท 4 “A บางตวไมเปน B”

เขยนวงกลม A และ B ตดกน

สวนทแรเงาแสดงวา “A บางตวไมเปน B ”

A B

หลกการใชแผนภาพ1. เปลยนประโยคหรอขอความทวไปใหเปนประโยคตรรกวทยา เพอแยก

เทอมและตวเชอม

2. ใชแผนภาพแสดงความสมพนธของเทอมตางๆ ในเหต 1 และ 2 ตาม

รปแบบมาตรฐาน

3. น าแผนภาพในขอ 2 มารวมกนหรอซอนกน จะไดแผนภาพรวมของเหต 1

และเหต 2 ซงแผนภาพรวมดงกลาวอาจเกดไดหลายรปแบบ

4. น าผลสรปทก าหนดมาวเคราะหความสมเหตสมผล โดยพจารณาความ

สอดคลองระหวางผลสรปกบแผนภาพรวม ดงน

4.1 ถาผลสรปไมสอดคลองกบแผนภาพรวมอยางนอย 1 รปแบบแสดง

วาการใหเหตผลน ไมสมเหตสมผล

4.2 ถาผลสรปสอดคลองกบแผนภาพรวมทกรปแบบ แสดงวาการให

เหตผลนสมเหตสมผล

ตวอยางท 20 จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน โดยใช

แผนภาพ

เหต 1 : นกกฬาทกคนเปนคนแขงแรง

เหต 2 : คนแขงแรงทกคนเปนคนขยน

ผล : นกกฬาทกคนเปนคนขยน

วธท า

เหต 1 : นกกฬา ทกคน เปน คนแขงแรง

เหต 2 : คนแขงแรงทกคน เปน คนขยน

ผล : นกกฬาทกคน เปน คนขยน

นกกฬา

คนแขงแรง

จากเหต 1


คนขยน

จากเหต 2

รวมภาพจากเหต 1 และเหต 2 จะได

จากแผนภาพจะเหนวา วงของ “นกกฬา” อยในวงของ “คนขยน” แสดงวา

“นกกฬาทกคนเปนคนขยน”

ซงสอดคลองกบผลทก าหนด ดงนน การใหเหตผลนสมเหตสมผล

นกกฬา


คนขยน

การบาน1) จงตรวจสอบวาการใหเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม (คลายตวอยางท 18)

เหต 1 : ถาวนนฝนตกแลวน าตาลจะไมซกผา

เหต 2 : น าตาลไมไดซกผา

ผล : วนนฝนตก

2) จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน โดยใชแผนภาพ

(คลายตวอยางท 20)

เหต 1 : ชาวกาฬสนธทกคนเปนคนไทย

เหต 2 : ชาวอสานทกคนเปนคนไทย

ผล : ชาวกาฬสนธทกคนเปนชาวอสาน

58210401110 งาน1 ss ครับ

Education

Transcript of 58210401110 งาน1 ss ครับ