业精于勤，荒于嬉，行成于思，毁于随。
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业精于勤，荒于嬉，行成于思，毁于随。. 人教版／全日制普通高级中学教科书（必修）／第一册（下）第五章第九节. 正弦定理 ( 第一课时 ). 湖北 ﹒ 巴东县第一高级中学 向清耀. 美丽的神龙溪 ------- 国家 AAAA 级风景区. 一 . 创设情境. 当你进入神龙溪风景区入口 , 巴东长江大桥将首先让你一饱眼福 , 你想知道她的全长吗 ?. 探究 ④. 二、问题探究. .A. .B. .C. 大桥两端 B 、 C ，在江南（北）边一端选点 A ，建立 Rt△ABC ，∠ C=90 0 ，三边分别为 a 、 b 、 c. B. c. a. C. A. - PowerPoint PPT Presentation
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业精于勤，荒于嬉，行成于思，毁于随。
正弦定理 ( 第一课时 )
湖北﹒巴东县第一高级中学 向清耀
人教版／全日制普通高级中学教科书（必修）／第一册（下）第五章第九节
美丽的神龙溪 ------- 国家 AAAA 级风景区
当你进入神龙溪风景区入口当你进入神龙溪风景区入口 ,, 巴东长巴东长江大桥将首先让你一饱眼福江大桥将首先让你一饱眼福 ,, 你想知你想知道她的全长吗道她的全长吗 ??
一 .创设情境
探究④
.C
二、问题探究
.B .A
A
B
C
ac
b
大桥两端 B 、 C ，在江南（北）边一端选点 A ，建立 Rt△ABC ，∠ C=900 ，三边分别为 a、 b 、 c.
C
c
B
b
A
a
sin
sin
sin
这个结论能否推广到其它三角形中去，使其具有一般性呢？
c
a
c
b
c
c
sinA=
sinB=
sinC=
A
ac
sin
B
bc
sin
C
cc
sin1
探究①
1. 在直角三角形中 , 已证得结论成立 .
aBDC
cBDA sin,sin
所以 BD=csinA=asinC, 即 ,sinsin C
c
A
a
同理可得 ,sinsin C
c
B
b
C
c
B
b
A
a
sinsinsin即：
D
B
c a
CA图 1
过点 B 作 BD AC⊥于 D,
此时有
证法一（几何法）
2. 在锐角三角形中 , 如图 1. 结论是否成立 ?
由 1 、 2 、 3 知，结论成立．
Ca
BDC sinsin ）（且
C
c
B
b
A
a
sinsinsin仿 2 可得
D
3. 在钝角三角形中 , 且角 C 是钝角如图 2 , 结论是否成立 ?
此时也有c
BDA sin
交 AC 延长线于D,
过点 B 作 BD AC⊥，
C
B
ca
A 图2
D
A
c b
CB a
证法二（向量法） :
探究②
问题 1
从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在我们所学的向量知识中，哪一处知识点体现了长度与角的关系呢？
答案向量的数量积， a•b=|a|•|b|cosa
问题2
向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，两者能否转化呢？
答案 可以通过三角函数的诱导公式进行转化。
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin sin
a b c
A B C
证明：
同理，过点 C 作与 垂直的单位向量 ，可得CB�������������� .
sin sin
c b
C Bj
.sin sin sin
a b c
A B C
AC过 A作单位向量 j 垂直于AC CB AB ������������������������������������������
由
| || | cos90 | || | cos(90 ) | || | cos(90 ).j AC j CB C j AB A ����������������������������������������������������������������� �����
∴ asinC=c sinA.sin sin
a c
A C
B
CA
j
两边同乘以单位向量 得 : j ABjCBACj )(
则 ABjCBjACj
三、 归纳总结 归纳：对于一个任意三角形，上面等式均成立。由此，我们得到定理：
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
你还能 从中得出那些结论？思考
四、剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
①
已知两角和一边，求其他角和边 . ②
已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角 .
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
1. ① 在△ ABC 中，若 A ： B ： C=1:2:3 则 a:b:c=__________ 答案：
② 在△ ABC 中 , 若 3a+b=2c,2a+3b=3c, 则 sinA:sinB:sinC=_________ 答案：
及时反馈
2. 在△ ABC 中，已知 c ＝ 10,A ＝ 75º ， C ＝ 45º ，求 b.
2:3:1
3:5:7
探究③
你现在知道怎么测量长江大桥的长度了吗 ?
巴东长江大桥全桥长 2100 米，其中主桥长 900.5米，主跨跨径 388 米，主塔高 212 米，目前为同类型桥梁亚洲第一高塔。
五、小结
提出问题
探究
应用
总结 解决问题
（ 2R 为△ ABC 外接圆直径）
A
a
sin B
b
sin C
c
sin＝ ＝ ＝ 2R求证
:
探究
谢 谢！
