非線形方程式

教科書　第２章　非線形方程式その１

第 6 章　連立一次方程式その３

非線形方程式非線形方程式

二分法ニュートン法

Von Mises 法（改良ニュートン法）加速法

Aitken, Steffensen

2 次以上の代数方程式と非線形方程式を解く方法を考える　　⇒　反復法　　　　　　　　　　収束の問題

ここでは，連立方程式でない場合を考える


二分法非線形方程式　 f (x) = 0y = f (x) の x 軸との交点を求める交点を含む区間 [x1, x2] を半分ずつ狭め

ていく特徴

長所：必ず収束する短所：反復回数が多い

y

y = f(x)

xO x2

x1

xm

解

探索区間解をはさむ探索区間を設定する．


ニュートン法 (Newton-Raphson 法 )

関数を x0 のまわりで Taylor 展開

一次の項まで考慮すると

f(x)=0 となる解

k

k

k

xx

xfx

x

xfx

x

xfxfxf

)()()()()( 02

20

20

0

0 xxx

xx

xfxfxf

)(

)()( 00

x

xfxfxxxfxf

)(

)( ))(()( 00000

点 x0 を通る接線の方程式

)(

)(

0

00 xf

xfxx

)(

)(1

k

kkk xf

xfxx

反復式


ニュートン法 (Newton-Raphson 法 )

接線と x 軸との交点に対する反復法

y

y = f (x)

xOx0x1

傾き f '(x0)

y -f (x0) = f '(x0)(x-x0)

)(

)(

k

kkk xf

xfxx

1


ニュートン法　例題１f(x)=x2-2=0 を解け

f’(x)=2x であるから , ニュートン法の公式より

kk

k

kkk x

xx

xxx

2

2

1

2

22

1

41666667.15.1

25.1

2

12

2

1

001

xxx

初期値を x0=1.5 とすると

41421569.141666667.1

241666667.1

2

12

2

1

112

xxx

41421356.141421569.1

241421569.1

2

12

2

1

223

xxx

41421356.141421356.1

241421356.1

2

12

2

1

334

xxx

小数点 8 位まで一致


ニュートン法と二分法の比較 1 5.5000000000000000000e+00 1.138e+01 2 4.7500000000000000000e+00-3.953e+00 3 5.1250000000000000000e+00 2.393e+00 4 4.9375000000000000000e+00-1.090e+00 5 5.0312500000000000000e+00 5.713e-01 6 4.9843750000000000000e+00-2.791e-01 7 5.0078125000000000000e+00 1.412e-01 8 4.9960937500000000000e+00-7.018e-02 9 5.0019531250000000000e+00 3.519e-02 10 4.9990234375000000000e+00-1.757e-02 11 5.0004882812500000000e+00 8.791e-03 12 4.9997558593750000000e+00-4.394e-03 13 5.0001220703125000000e+00 2.197e-03 14 4.9999389648437500000e+00-1.099e-03 15 5.0000305175781250000e+00 5.493e-04 16 4.9999847412109375000e+00-2.747e-04 17 5.0000076293945312500e+00 1.373e-04 18 4.9999961853027343750e+00-6.866e-05 19 5.0000019073486328125e+00 3.433e-05 20 4.9999990463256835938e+00-1.717e-05 21 5.0000004768371582031e+00 8.583e-06 22 4.9999997615814208984e+00-4.292e-06 23 5.0000001192092895508e+00 2.146e-06 24 4.9999999403953552246e+00-1.073e-06 25 5.0000000298023223877e+00 5.364e-07 26 4.9999999850988388062e+00-2.682e-07 27 5.0000000074505805969e+00 1.341e-07 28 4.9999999962747097015e+00-6.706e-08 29 5.0000000018626451492e+00 3.353e-08 30 4.9999999990686774254e+00-1.676e-08 31 5.0000000004656612873e+00 8.382e-09 32 4.9999999997671693563e+00-4.191e-09 33 5.0000000001164153218e+00 2.095e-09 34 4.9999999999417923391e+00-1.048e-09 35 5.0000000000291038305e+00 5.239e-10

1 7.59562841530054644323400e+002 6.12571526494821849695427e+003 5.33895988477328398147392e+004 5.04548534982205953980383e+005 5.00099912463051943234404e+006 5.00000049873744956130395e+007 5.00000000000012434497876e+008 5.00000000000000000000000e+00

二分法ニュートン法

ニュートン法の方が圧倒的早い


ニュートン法収束の早さ収束の速さを調べる

.)(2

)(

)(

)()()(

)(

)(

2

1

kk

k

k

kkk

k

kkk

xxf

xf

xf

xfxxf

xf

xfxx

0

)(2

1)()()( 2

＝

fxxfxxff kkkk

以下の関係を利用した

区間 I1 において　　　　　　　　　　　とできる2

1 2 kk x

A

Bx

BxfxfA )( ,)(0

2 次収束第 6 章　連立一次方程式その３

収束の速さ一般に，αに収束する反復列が

　のとき，線形収束（一次の収束）また，次のとき

p 次収束であるという

　（ニュートン法は2次の収束）

))(( kkk xAx 1 01 kA ,

M, pxMxp

kk 011


ニュートン法の長所と短所ニュートン法の特徴

収束し始めると，その後の収束は早い．必ずしも，収束しない．重根の場合等単根の場合は，収束性に優れる．遠く離れた初

期値からでも，必ず解に収束する．ニュートン法使用時の注意点

解の見当をつけて初期値を選ぶ．近接した解は分離しにくい．２つの近接解があ

るときは，その両側に初期値を選ぶと分離できることがある．

収束判定が厳しすぎると，収束しないで無限に計算を繰り返すことがある．


Von Mises( フォンミーゼ ) 法

y

y = f(x)

xO x0

x1

x1

)(

)(

01 xf

xfxx k

kk

x2

ニュートン法の改良法発散を防ぐ改良を施した方法

直線の傾きは不変


収束の加速法収束の加速法 ((AitkenAitken の加速法の加速法 ))反復 xk が線形収束のとき，十分大きい k

に対して)( kk xAx 1 )( 12 kk xAx

A を消去すると

kkk

kkk xxx

xxx

12

21

2

)(

kkk

kkkk xxx

xxxy

12

21

2

)(反復式

ニュートン法は線形収束ではないので，適用不可．二分法は

適用可能


SteffensenSteffensen の反復法の反復法反復 xk が線形収束のとき，十分大きい

k に対して

kkk

kkkk zzgzgg

zgzggzggz

)()(

)()()(

2

2

1

)( ),( , *****121 kkkkkk xgxxgxzx

に対して Aitken 加速したものただし，ただし， g(x)g(x) は　は　 x=g(x) x=g(x) を満たす関数を満たす関数f(x)=xf(x)=x22-2=0-2=0 の場合はの場合は

xx

x

xxxg

2

2

1

2

2)(

2


反復法の比較 (1) xaex )exp( kk xax 1

Aitken 加速

Steffensen 反復Newton 反復

a=1.0

1 次収束のものも加速法の適用により，ニュートン法並みに早くなる！


反復法の比較 (1) xaex )exp( kk xax 1

Aitken 加速

Steffensen 反復 Newton 反復

a=3.0

Aitken 加速で発散する場合で

も， Steffensen 反復法なら収束する


縮小写像の幾何学的意味


非線形方程式

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