Дифференциал

Понятие о дифференциале функции.

Определение: Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной.

Теорема 1.Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет производную.Следствие: dy = Теорема 2. Если функция имеет производную, то эта функция имеет дифференциал.Определение. Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т.е. y = x.y= 1, то dy = dx =.Следствие: dy =

.xy x

x.;

dx

dyydxy xx

Свойства дифференциала. Предполагаем, что функции дифференцируемы

1.dc = 0; 2.d(u+c) = du; 3.d(u+v-w) = du+dv-dw; 4.d(cu) = cdu;

5.d(uv) = vdu + udv;

6.d = ;

7.Дифференциал сложной функции. y = f((x)); y = f(u); u = ((x); yx = yu ux dx

yxdx = yu(uxdx) dy = yu uxdx

dy du

v

u2v

udvvdu

dy = yudu – эта формула совпадает по форме с dy = yxdx,

но есть и принципиальное отличие

в x – независимая переменная и dx;

а в dy = yudu u есть функция du .

Из функции dy = yudu Независимость вида дифференциала от

выбора независимой переменной.! Дифференциал функции = произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом аргумент может быть как независимой переменной, так и дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

tyy

txx

tyy

txx

x

u

Таблица дифференциалов функций1.dun = nun-1du

2.dan = an lnadu

3.den - endu

4.d(logau) =

5.d (sinu) = cosudu

6.d(cosu) = -sinudu

7.d(tgu) =

au

du

ln

u

du2cos

8.d(ctgu) = -

9.d(arcsinu) =

10.d(arccosu) = -

11.d(arctgu) =

12.d(arcctgu) = -

13.df(u) = f(u)du.

u

du2sin

21 u

du

21 u

du

21 u

du

21 u

du

Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

y =f(x); x; x+ D(y); y дифференцируема

x

)()( 0 xxxyy ;dyxxyy

.xxyxyxxy

Дифференциалы высших порядков. y =f(x); x – независимая переменная, f(x) – дифференцируемая функция.d f(x) = f(x)dx.Определение. Дифференциалом второго порядка d2f(x) функции y =f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции.

dx – const, dy – функция x.  

.2 xdfdxfd

.2222 dxfdxfdxxfddxdxxfdxfd

xx