冪級數與泰勒級數及馬克勞林級數

組長：李昕穎組員：黃碩彬、張維定、曾于倫、林育賢

在數學中，冪級數是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變數可以是一個或多個。單變數的冪級數形式為：

冪級數中的每一項都是一個冪函數，冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式，在很多方面有類似的性質，可以被看成是「無窮次的多項式」。

冪級數

 

範例 1(1) 這個級數為

若將帶入 0 時，他將會呈現收斂，因此將 0 認為此級數的中心。

(2) 以此類推

若將帶入 1 時，他將會呈現收斂，因此將 1 認為此級數的中心。

(3) 以此類推

若將帶入 -1 時，他將會呈現收斂，因此將 -1 認為此級數的中心。

(1) (2) (3) 法無法判斷級數收斂或發散。

比值檢驗法

範例 2求出使得下列的級數收斂(1)

提示：由比值檢定法　　　　　　　　　

此當數＝ ＜１時收斂，當＝ １時發散。

當ｘ

當ｘ

所以在 -3x。

 

 

冪級數的收斂區間為下列三者其中之一：

(1) 僅在處(2)(-r,r)or[-r,r)or(-r,r]or[-r,r](3) 整個實數線

收斂半徑定義：

 

範例 3< 解答 >

範例 4尋找收斂半徑

(1) 在冪級數中找出收斂半徑：對於此冪級數 ，因此你得到

所以藉由比例測試，此級數對於所有收斂而且其收斂半徑是無窮的。

泰勒定理用來解答尋找冪級數於給定函式的問題，此定理說明如何使用對函式 f 微分，來寫出 f 的冪級數。

假如函數 f 在 x=c 處可由一冪級數來表示，則此冪級數的形式為

若存在區間

泰勒級數及馬克勞林級數

解答：

所以馬可勞林級數為

範例 5

 

資料來源 維基百科：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5

Power Series and Taylor's Theorem: http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_bus/node80.html

微積分課本