数学归纳法的应用

苍南中学 :叶思迁

2005 年 3月

￭ 数学归纳法在恒等式问题、整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中有着广泛的应用。

例 4 、用数学归纳法证明： 42n+1+3n+2(n∈N* ) 能被 13 整除。

证明： 1 ） n=1 时： 4 2×1+1+31+2=91 ，能被 13 整除。 2 ）假设当 n=k(k∈N) 时 , 42k+1+3k+2 能被 13 整除，

当 n=k+1 时： 42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1

=16(42k+1+3k+2)-13•3k+2 …………()∵42k+1+3k+2 及 13•3k+2 均能被 13 整除 ,∴() 式能被 13整除。∴ 42(k+1)+1+3(k+1)+2 也能被 13 整除，即当 n=k+1 时命题仍成立。

由 1 ）、 2 ）可知，对一切 n∈N 原命题均成立。

…… 核心步骤 多退少补（密诀）

例 5 、用数学归纳法证明： x2n-y2n 能被 x+y 整除 (n 为正整数 ) 。

证明： 1 ） n=1 时： x2-y2=(x+y)(x-y), 能被 x+y 整除，命题成立。

2 ）假设当 n=k(k∈N) 时有 x2k - y2k 能被 x+y 整除 , 当 n=k+1 时

由 1 ）、 2 ）可知，对一切 n∈N ， x2n-y2n 都能被 x+y 整除。

=(x2k - y2k)•x2 +y2k(x2 - y2) ……… （）

∵ (x2k - y2k) 和 (x2 - y2) 都能被 x+y 整除，

∴ （）式也能被 x+y 整除。即： n=k+1 时命题也成立

…… 核心步骤多退少补（密诀）

例 6 、求证：当 n 取正奇数时， xn+yn 能被 x+y 整除。

证明： 1 ） n=1 时： x1+y1=x+y ，能被 x+y 整除，命题成立。

2 ）假设 n=k(k 为正奇数 ) 时，有 xk+yk 能被 x+y 整除 ,当 n=k+2 时 :xk+2+yk+2 =xk•x2 +yk•y2

= xk•x2+yk•x2-yk•x2 +yk•y2

=(xk+yk)•x2 - yk(x2-y2)=(xk+yk)•x2 - yk(x-y)(x+y),

∵ 以上两项均能被 x+y 整除，∴ xk+2+yk+2 能被 x+y 整除，即当 n=k+2 时命题仍成立。

由 1 ）、 2 ）可知，对一切正奇数 n ，都有 xn+yn 能被 x+y 整除。

平面上有 条直线，任意两条不平行，任意三条不共点 .

求证：① 共有交点 个 ② 构成线段或射线 条 ③ 把平面分成 部分 .

( 2)n n

)1(2

1)( nnnf

2)( nng

1)1(2

1)( nnnh

例 8 、已知数列 {an} 中， a1= , 其前 n 项和

Sn 满足： (n≥2) ，计算 S1 ， S2 ，

S3 ， S4 ，猜想 Sn ，并证明之。

21

n

nn SSa

3

2

解： S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .3

2

4

3

5

4

6

5

猜想： Sn= ，下证明之。2

1

n

n

证明： 1 ） n=1 时由前可知，猜想正确。 2 ）假设当 n=k(k∈N) 时有： Sk= ,

2

1

k

k

∴ 当 n=k+1 时猜想仍正确。由 1 ）、 2 ）可知，对一切 n∈N 猜想均正确。

………

113

1

2

1

1

1)(

nnnnf求证：例 9、

不等式成立。时：）、证明： ,112

13

31

1

21

1

11

1)1(11

fn

,113

1

2

1

1

1)(,)2

kkkkfNkkn 有：时（）假设

43

1

33

1

23

1

13

1

3

1

2

1)1(

kkkkkkkf

时：当 1kn

1

1

43

1

33

1

23

1)13

1

2

1

1

1(

kkkkkkk

1)43)(33)(23(

21

33

2

43

1

23

11

kkkkkk

∴ 当 n=k+1 时，不等式仍成立。由 1 ）、 2 ）可知，对一切 n∈N ，原不等式均成立。

练习：1 、求证： n3+5n 能被 6 整除。

2 、证明凸 n 边形对角线条数为 f(n)= (n4) 。)3

2

1nn（

3 、数列 {an} 和 {bn} 满足 an,bn,an+1 成等差数列，bn,an+1,bn+1 成等比数列。已知 a1=1,b1=2,a2=3,求 a4,b4, 并猜想 an,bn, 用数学归纳法证明。

（ 3 、 ）2

)1(,

2

)1( 2

nb

nna nn

数学归纳法的应用（之二）：

1 、证明整除问题时注意构造的技巧 ----多退少补，常用增项减项或拆项的方法；

2 、证明几何问题时注意理清 n 从 k 到 k+1 时几何量的变化情况；

3 、“归纳、猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分析问题、解决问题的方法。4 、证明不等式时常用放缩法。

作业：

1 、仔细体会、琢磨数学归纳法的运用规律及题型特点。

2 、完成《创新作业本》中的相关内容

祝同学们学习愉快 人人成绩优异！

2004， 11， 20

哥德巴赫猜想

德国数学家哥德巴赫经过观察 , 发现一个有趣的现象：任何大于 5 的整数 , 都可以表示为三个质数的和 , 他猜想这个命题是正确的 , 但他本人无法给予证明 .1742 年 6 月 6 日 , 哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉 ,欧拉经过反复研究 , 发现问题的关键在于证明任意大于 2 的偶数能表示为两个质数的和 . 于是 ,欧拉对大于 2 的偶数逐个加以验算 ,最后欧拉猜想上述结论是正确的。 6 月 30 日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于 2 的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想 .

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