数学专题二

温故知新

1. 异面直线所成的角

|

1v

2v

21,vv

2v1v

21,vv

1 2

1 2

1 2

1 2

cos cos ,

0 , 02

v vv v

v v

v v

��

��

��

＝＝，

其中，，，

四、教学过程的设计与实施温故知新

2. 直线与平面所成的角

n

B

a

na,2

2

, na

a

n

a

n

直线的方向向量为，平面的法向量为

1 2

1 2

1 2

1 2

sin cos ,

0 , 02

v vv v

v v

v v

��

��

��

＝＝，

其中，，，

3. 求平面的法向量的坐标的一般步骤 :

第一步 ( 设 ): 设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z). 第二步 ( 列 ): 根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组

第三步 ( 解 ): 把 z 看作常数 , 用 z 表示 x 、 y. 第四步 ( 取 ): 取 z 为任意一个正数 ( 当然取得越特殊

越好 ), 便得到平面法向量 n 的坐标 .

1 1 1

2 2 2

0

0

x x y y z z

x x y y z z

温故知新

空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角之一 ---------- 问题。

O

B

A

1. 定义 : 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面

平面角由射线 --点 --射线构成二面角由半平面 --线 --半平面构成

2. 二面角的表示 : l二面角

AB二面角

二面角

l

A

B

P

Q

P l Q 二面角

P AB Q 二面角

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面

研探新知

l

二面角－ l－

二面角 C－ AB－ D

A

B

C

D

3. 二面角的画法

C

EF

D

A B

（ 1 ）平卧式

（ 2 ）直立式

二面角研探新知

思考： 4. 二面角的大小如何度量？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

l

O1

BB1

OAA1

∠A O B ∠A1O1B1

二面角的大小用它的平面角来度量

？显然与 O 的选取无关


注意：二面角的平面角必须满足：

3 ）角的边都要垂直于二面角的棱

1 ）角的顶点在棱上2 ）角的两边分别在两个面内

10

l

O

A

B

A

O

B


本书约定：二面角的平面角的取值范围

是

平面角是直角的二面角叫做直二面角

[0, ]

5. 二面角的取值范围如何？

互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面


探究方法

l

6. 如何求二面角的平面角？

（ 1 ）定义法：cos

S

S 影

（ 2 ）射影面积法：

二面角

O

B

A

例 1 △：如图 ABC在平面内的射影是△ A1BC，

面积分别为 1,S S ，求二面角A－BC－A1的余弦值。

B C

A

A1

D

探究方法

l

AO

B

OBOA,二面角

OBOAAOB ,

问题 1 ：二面角的平面角能否转化成向量的夹角？

AOB

6. 如何求二面角的平面角？

（ 1 ）定义法：

1 21 2

1 2

cos cos ,v v

v vv v

��

��

① 与棱垂直的向量（ 3 ）向量法：

1v��

2v��

二面角

1cosS

S （ 2 ）射影面积法：

1 2,v v ��

二面角

例 2：如图，已知在一个二面角的棱上有两个点 A B，，线段 AC BD，分别在这个二面角的两个面内，

并且都垂直于棱 4 6AB AB cm AC cm ，，，

=8BD cm， =2 17CD cm，求这个二面角的度数。

实践操作

【变式训练】

在 90o二面角的棱上有两个点 A B，，AC BD，分别

是在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱 AB。

已知 =5AB cm， 3AC cm ， =8BD cm，求CD的长。

22=( )CD CA AB BD

��3

7 2

B

S

A

C

D

你能找到所求二面角的棱吗？

问题 2 ：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有什么关系？

例 3：已知 ABCD为直角梯形， 0= =90DAB ABC ， SA平面 ABCD，

11

2SA AB BC AD ，，求面 SAB与面 SCD所成的锐二面角的余弦值。

探究方法

21 ,nn 1 21 2

1 2

cos cos ,n n

n nn n

��

��

二面角

21,nn 1 21 2

1 2

cos cos ,n n

n nn n

��

��

1 2

1 2

1 2

cos cos ,n n

n nn n

��

��

② 平面的法向量（ 3 ）向量法：

即法向量的夹角与二面角的大小相等或互补

实践操作

本题是求二面角的余弦值，可重点关注向

量法求二面角的余弦值 . 本题的特点是图中

没有出现两个平面的交线，不能直接利用

二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹

角解决，利用法向量的夹角解决体现了向

量求解立体几何问题的优越性。


11


启示：

B

S

A

C

D x

y

z

解：则

设1 ( , , )n x y z��

是面 SCD 的法向量，

1 ,n DC��

,xyzA 建立如图所示的空间直角坐标系A ),0,0,0( D ),0,0,

2

1( C ),0,1,1( S ),1,0,0(

1 .n SD��

),1,0,2

1( SD),0,1,

2

1(DC

则

B

S

A

C

D x

y

z


11


令 z=1 解之得

1

2

y

x

02

1

02

1

zx

yx )1,1,2( n

1 21 2

1 2

cos ,| || |

n nn n

n n

��

��3

6

621

1

所求锐二面角的余弦值为：

3

62

1( ,0,0)2

SBA n AD ��

易知面的法向量

小结：利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量。

利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：

找点坐标求法向量坐标

求两法向量夹角定值

建立坐标系

例 4：如图，四边形 ABCD为正方形，

PD⊥平面 ABCD，PD∥ QA，QA=AB=1

2PD．

（I）证明：平面 PQC⊥平面 DCQ；

（II）求二面角 Q—BP—C的余弦值．

x

y

z

1 (1,1,0), (0,0,1), (1, 1,0).DQ DC PQ ��

（）

0, 0.PQ DQ PQ DC ��

即 PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故 PQ⊥平面 DCQ.

又 PQ平面 PQC，所以平面 PQC⊥平面 DCQ.

（2）易求平面 PBC的法向量 (0, 1, 2).n

平面 PBQ的法向量 (1,1,1).m��

15

cos , .5

m n ��

故二面角 Q—BP—C的余弦值为15

.5

1 、二面角的定义从空间一直线出发的两个半

平面所组成的图形叫做二面角

2 、求二面角的平面角方法小结

α

βι

（ 3 ）射影面积法

（ 2 ）向量法

平面的法向量

异面直线的方向向量所成角棱上点为起点

（ 1 ）定义法

l

O

A

B

练习 : 正三棱柱中， D 是 AC 的中点 ,当时，求二面角的余弦值 .

1 1 1ABC A B C1 1AB BC 1D BC C

C

ADB

C1 B1A1

解 : 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz.设底面三角形的边长为 a，侧棱长为 b

3 1( , ,0),

2 2A a a (0, ,0),B a

3 1( , ,0)

4 4D a a

1(0,0, ),C b

1(0, , ),B a b

则 C(0,0,0),

故 1

3 1( , , ),

2 2AB a a b ��

1 (0, , ),BC a b ��

由于 , 所以 1 1AB BC 2 21 1

10

2AB BC a b ��

∴

2

2b a

y

x

z

C

ADB

C1 B1A1

在坐标平面 yoz 中 BCC1 ∵

设面的一个法向量为 BDC1 ( , , )m x y z��

可取＝（ 1 ， 0 ， 0 ）为面的法向量

BCC1∴ n

可求出一个6 2

( , ,1)2 2

m ��

∴ 所求的余弦值为2

2.

练习 :

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