核心數學教學活動二：最短路徑問題

假設，點 A(4, 3, 1) 和平面 E: x+2y+2z=3 ，試求：(1)A 對 E 的正射影點及對稱點；(2)B(5, 2, 6) ，若想在 E 找上一點 P ，使得 PA + PB 為最小，試求 P 的座標。( 取自甲老師 98 年自編講義「空間中的直線與平面」單元，頁 35)

另一個真實的高二數學教學案例

甲老師演示了兩種解法 ( 其一是用「相似形和比例」求解，其二則透過「空間中直線的參數式」求解 ) ，他接著說，第二種解法既快又容易。這是他經常使用的教法，也就是，「一題多解，之後，再強調哪一種方法比較快速又容易」。

開啟這個核心教學活動的數學眼界可是， NTNU 小組的退休諮詢教師邱顯義立即指出，這個數學問題中最根本的概念是「兩點最短距離是直線」：這題應該先讓學生求算，當 A、 B兩點分別在平面 E(或直線 L)不同側的情形，之後，再求 A、 B在 E(或 L)同側的情形。這個順序很重要，因為，兩點間的距離以直線行進時最短，這也很直觀且容易理解。這已經表明，他深刻地理解並覺察到此題中兩點最短距離是直線是一個既根本、初始又易懂的數學基本原理。事實上，他也掌握到這個「既根本、初始又易懂的」數學基本原理在中小學數學課程所扮演的角色。

數學眼界的浮現和運用1.最短路徑問題的數學初始 (primary)概念 其實，這個最短路徑問題是 Heron’s Problem

的延伸，其源頭 ( 或初始 ) 也就是所謂的 Heron Theorem of Light Rays ，茲將相關歷史發展簡述如下：

Euclid ( 大約 300BC) stated in his Optics that Light travels through space along straight lines. In the Catoptrica, he gave the fundamental law of reflection, which states that the plane of incidence of the light ray coincides with its plane of reflection and that, the angle of incidence of the light ray equals its angle of reflection. Heron (400 年後，大約 100AD) saw a more fundamental law behind the law of reflection: Light must always take the shortest path.

2. 重新檢視最短路徑問題教學中數學眼界的三個觀點 ( 給研究生的作業 )

(1)Horizontal (眼界 )

(2)Peripheral (周邊 )

(3)Elementary-on-Advanced (從入門透視進階 )

3. 高中數學教師可以如何運用這樣的數學眼界 ? ( 給研究生的作業 )

(1) 至少可以這樣做：從入門透視進階

(2) 或許還能這樣做：拓展周邊

(3) 希望有機會這樣做：欣賞、遙望眼界