応用数学

計算理工学専攻　張研究室山本有作

物理における数値計算

解析的に求められない式の計算 非線形方程式の解 積分で表示された式の値の計算

データ解析 最小二乗法による実験データのフィッティング フーリエ変換を用いた結晶解析

シミュレーション 分子動力学シミュレーション 流体シミュレーション

数値計算の必要性

数値計算とは

数値計算とは 方程式など数学的に定式化された問題の解を

計算機を用いて求めること 計算の対象

計算機のメモリ内に格納された数値 計算の手順

有限回の演算を用いて（近似的な）解を返すように設計された計算手順（アルゴリズム）

数値計算における有限性

表現できる数値の有限性 表現できる数値は実数の一部のみ 丸め誤差の存在　→　今回の授業で解説

無限大・無限小が扱えない 無限級数の和は有限級数で近似 微積分で現れる無限小は有限の微小量で近似 打ち切り誤差の存在　→　今回の授業で解説

計算能力・記憶領域の有限性 実用的な時間・記憶領域で計算するためには，効率

的なアルゴリズムが必要 収束の次数の概念 計算量のオーダーの概念

授業で学ぶこと

基本的な数値計算法 アルゴリズム 数学的原理

アルゴリズムの振る舞いの解析 計算量 記憶領域 誤差

各アルゴリズムの適用範囲 各アルゴリズム使用の際の注意事項

授業の構成

1. 数値計算における誤差2. 非線形方程式の解法3. 関数の補間4. 数値積分法5. 数値微分法と加速法6. 常微分方程式の解法7. 偏微分方程式の解法8. 連立一次方程式の解法9. 固有値の計算法

テーマ間の関連

連立一次方程式

偏微分方程式

常微分方程式の解法

数値微分法と加速法

数値積分法

関数の補間

非線形方程式

数値計算における誤差

固有値の計算

授業の進め方 (1)

レポート ２回出題 提出は授業後 10 日以内に 3 号館南館 305 号室まで

中間テスト 前半の講義内容について簡単な問題を出題 11/27 または 12/4 に実施予定

授業の進め方 (2) 期末テスト

通常の筆記テスト（昨年度のHPを参照） 出題範囲は本講義全体 出題募集（希望者のみ）

期末試験には，受講者が出題した問題を含める。 出題者には，出題された問題の良さに応じて成績（A，B，Cなど）を保証

質問シート 授業の終わりの５分間に，感想，質問，コメントなどを紙に書いて提出 全部で２、３回実施予定

授業の進め方 (3)

授業のホームページ http://www.na.cse.nagoya-u.ac.jp/~yamamoto　　 /lectures/appliedmathematics2006　　 /appliedmathematics2006.html 授業ノート， C/Javaプログラム，授業に関するお知らせ等は，すべてホームページに掲載の予定

質問など 3 号館南 305 号室　山本まで あるいはメールで　　 yamamoto@na.cse.nagoya-u.ac.jp 　まで

数値計算に関する参考書

水島二郎，柳瀬眞一郎：　「理工学のための数値計算法」，数理工学社， 2002.

杉浦洋：　「数値計算の基礎と応用」，サイエンス社， 1997.

伊理正夫，藤野和建：　「数値計算の常識」，共立出版， 1985.

山本哲朗：　「数値解析入門」，サイエンス社，1976.

森正武：　「数値解析（第２版）」，共立出版，2002.

情報落ちの例 S =Σi=1

n(1/i2) の計算結果（単精度）n 計算結果（単精度）1000 1.64393 4846

2000 1.64443 2068

3000 1.64459 4669

4000 1.64471 3879

4097 1.64472 5323

5000 1.64472 5323

10000 1.64472 5323

50000 1.64472 5323

100000 1.64472 5323

1.64493 0668n = ∞ の真値

・ n = 4097 で情報落ち。・ n をそれ以上増やしても，　和の値は増加しない。

情報落ちを防ぐ方法 (1)

S =Σi=n1 (1/i2) の計算結果（単精度）

n 計算結果（単精度）1000 1.64393 4488

2000 1.64443 4214

3000 1.64460 0749

5000 1.64473 4025

10000 1.64483 4042

100000 1.64492 4045

1.64493 0668n = ∞ の真値

・小さい値の項から足して　いくことで，情報落ちが　生じにくくなる。・ n を増やすと，和の値も　順調に増加する。

情報落ちを防ぐ方法 (2)

S =Σi=1n(1/i2) の計算結果（単精度と倍精

度）n 計算結果（単精度） 計算結果（倍精度）1000 1.64393 4846 1.64393 4567

2000 1.64443 2068 1.64443 4192

3000 1.64459 4669 1.64460 0789

4000 1.64471 3879 1.64468 4098

4097 1.64472 5323 1.64468 9956

5000 1.64472 5323 1.64473 4087

10000 1.64472 5323 1.64483 4072

50000 1.64472 5323 1.64491 4067

100000 1.64472 5323 1.64492 4067

1.64493 0668n = ∞ の真値

安定な漸化式と不安定な漸化式n In

(f) （不安定） In(b) （不安定） 真値

0 9.53101 8×10-2 9.53101 8×10-2

1 4.68982 0×10-2 4.68982 0×10-2

2 3.10180 0×10-2 3.10179 8×10-2

3 2.31533 0×10-2 2.31535 3×10-2

4 1.84670 0×10-2 1.84647 1×10-2

5 1.53300 0×10-2 1.53529 0×10-2

6 1.33667 0×10-2 1.31376 6×10-2

7 9.19010 0×10-2 1.14805 6×10-2 1.14805 6×10-2

8 1.01943 9×10-2 1.01943 9×10-2

9 9.16724 9×10-3 9.16720 4×10-3

10 8.32750 6×10-3 8.32796 6×10-3

11 7.63403 2×10-3 7.62943 6×10-3

12 6.99300 7×10-3 7.03897 6×10-3