廖华安

直角三角形全等的判定

复习提问 :

证明一般两个三角形全等有哪些方法 ?

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1. 在两个三角形中 , 如果有两个角及它们的夹边对应相等 ,那么这两个三角形全等 ( 简记为 A.S.A)

2. 在两个三角形中 , 如果有两个角及其中一个角的对边对应相等 ,那么这两个三角形全等 ( 简记为A.A.S)

3. 在两个三角形中 , 如果有两条边及它们的夹角对应相等 , 那么这两个三角形全等 ( 简记为S.A.S)

4. 在两个三角形中 , 如果有三条边对应相等 , 那么这两个三角形全等 ( 简记为 S.S.S)

3. 在两个三角形中 , 如果有两个角及它们的夹边对应相等 , 那么这两个三角形全等 ( 简记为A.S.A)4. 在两个三角形中 , 如果有两个角及其中一个角的对边对应相等 , 那么这两个三角形全等 ( 简记为 A.A.S)

2. 在两个三角形中 , 如果有两条边及它们的夹角对应相等 , 那么这两个三角形全等 ( 简记为S.A.S)

1. 在两个三角形中 , 如果有三条边对应相等 , 那么这两个三角形全等 ( 简记为 S.S.S)

一般三角形全等的判定方法

判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 ? 为什么 ?1. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形 .

(A.A.S)全等

2. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形 .全等

判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 ? 为什么 ?

( A.S.A)

3. 两直角边对应相等的两个直角三角形 .全等

判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 ? 为什么 ?

( S.A.S)

想一想

对于一般的三角形“ S.S.A” 可不可以证明三角形全等 A

B CD

但直角三角形作为特殊的三角形 ,会不会有自身独特的判定方法呢 ?

动动手 做一做画一个 Rt△ABC, 使得∠ C=90°, 一直角边CA=8cm, 斜边 AB=10cm.

A

B

C

10cm10cm10cm10cm10cm

8cm8cm8cm8cm8cm

动动手 做一做1: 画∠ MCN=90°;

C

N

M

动动手 做一做1: 画∠ MCN=90°;

C

N

M

2: 在射线 CM 上截取 CA=8cm;

A

1: 画∠ MCN=90°;

2: 在射线 CM 上截取 CA=8cm;

动动手 做一做

3: 以 A 为圆心， 10cm 为半径画弧，交射线 CN 于 B;

C

N

M A

B

1: 画∠ MCN=90°;

C

N

M

2: 在射线 CM 上截取 CA=8cm;

B

动动手 做一做

3: 以 A 为圆心， 10cm 为半径画弧，交射线 CN 于 B;

A

4: 连结 AB;

△ABC 即为所要画的三角形

动动手 做一做 比比看

把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？

A

B

C

10cm10cm10cm10cm10cm

8cm8cm8cm8cm8cm

A′

B ′

C ′

10cm10cm10cm10cm10cm

8cm8cm8cm8cm8cm

Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

斜边、直角边公理

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .

简写成“斜边、直角边”或“ HL”

斜边、直角边公理 (HL)

A

B

C

A ′

B′

C ′

∴ 在 Rt△ABC 和 Rt△ 中

AB=

BC=

∴Rt△ABC≌

CBA

BA

CB

∵∠C=∠C′=90°

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .

Rt△ CBA (HL)

用 HL 证明两个直角三角形全等的格式 :在 Rt△___ 和 Rt△___ 中

_____=______

_____=______

∴ Rt△___≌ Rt△___(HL)

例 1已知：如图 ,AC⊥BC, AD⊥BD,Ac=BD求证： BC=AD

A B

D C

证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90°( 垂直的定义 ) 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中

∴ Rt△ ABC≌Rt△ BAD (HL)

BDAC

)BA(AB 公共边

例 3已知：如图，在△ ABC 和△ DEF 中 ,AP 、 DQ 分别是高 ,并且 AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求证：△ ABC≌△ DEF A

B CPD

E FQ

∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E

分析： △ ABC≌△ DEF

Rt△ABP≌Rt△ DEQ

AB=DE,AP=DQ

A

B CPD

E FQ

证明：∵ AP 、 DQ 是△ ABC 和△ DEF 的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在 Rt△ ABP 和 Rt△DEQ 中

{AB=DE

AP=DQ

∴ Rt△ABP≌Rt△ DEQ (HL)∴ ∠B=∠E ( 全等三角形的对应角相等 )在△ ABC 和△ DEF 中

{∠BAC=∠EDF AB=DE∠B=∠E ( 已证 )

∴△ABC≌△ DEF (ASA)

小结

直角三角形全等的

判定

一般三角形全等的

判定“S.A.S”“ A.S.A ”“ A.A.S ”“ S.S.S ”

“ S.A.S ”“ A.S.A ”“ A.A.S ”“ H.L ”

灵活运用各种方法证明直角三角形全等