電腦與數學教學網頁內容
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電腦與數學教學網頁內容. 教學單元 ： 圓錐曲線 國立苑裡高中：張浴民老師 指導教授：陳創義教授. 主題內容二：橢圓. 能掌握 橢圓的定義與基本架構 認識橢圓的要素名稱 橢圓的 標準式與定義式 橢圓的 參數式 橢圓的 軌跡方程式. 橢圓的定義 _1. 定義：在平面上，到兩定點 F 1 與 F 2 的距離和為 2 a ( ) 的所有點 P 所成的圖形為一橢圓，即 。 (1) 2 a 為橢圓之長軸長 (2) 與 為通過 P 點的兩個焦半徑。 - PowerPoint PPT Presentation
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電腦與數學教學網頁內容
教學單元：圓錐曲線 國立苑裡高中：張浴民老師 指導教授：陳創義教授
主題內容二：橢圓 能掌握橢圓的定義與基本架構
認識橢圓的要素名稱 橢圓的標準式與定義式 橢圓的參數式 橢圓的軌跡方程式
橢圓的定義 _1 定義：在平面上，到兩定點 F1與 F2的距離和為
2a( ) 的所有點 P 所成的圖形為一橢圓，即 。
(1) 2a 為橢圓之長軸長 (2) 與 為通過 P 點的兩個焦半徑。 (3) F1與 F2為橢圓的焦點。 (4) 中心： 的中點稱為橢圓的中心，橢圓 的中心為橢圓圖形的幾何對稱中心。
1 2 2PF PF a 1 22a F F
1PF 2PF
1 2F F
橢圓的定義 _2 設 F1與 F2為二定點， P(x,y) 為一動點，滿足 。
(1) ，則 P 點之圖形為一橢圓。 (2) ，則 P 點之圖形為一線段 。
(3) ，則 P 點之圖形為一空集合。
1 2 2PF PF a
1 22a F F
1 22a F F
1 22a F F 1 2F F
橢圓的定義構圖 (同心圓) GSP 構圖
F1F2
橢圓的要素名稱： 1 2 2PF PF a
F1 F2兩定點 F1 與 F2 稱為橢圓焦點O
的中點，稱為橢圓的中心1 2F F
AB
C
D直線 F1F2 與橢圓的交點稱為長軸端點
過兩焦點之弦稱為長軸 ，如AB
過中心 O 垂直長軸的直線而與橢圓相交的點稱為短軸端點，長軸端點與短軸端點合稱為橢圓之頂點
過中心垂直長軸之弦稱為短軸，如 CD
P Q
弦：橢圓上任兩點之連線段稱為弦焦半徑：橢圓上任一點與焦點之連線段焦弦：橢圓上過焦點之弦
M
N
正焦弦：橢圓上過焦點與長軸垂直之弦
橢圓上兩焦點的連線段長稱為焦距
橢圓方程式之標準式 (一 )方程式
中心 O
長軸端點短軸端點焦點長軸長短軸長焦點距離
正焦弦長
2 2
2 2
( 0) ( 0)1
x y
a b
( ,0)a(0, )b
( ,0)c
2a2b
(0,0)
2 2 2( 0, )a b a b c
2c22b
a
x
y
O
A(a,0)B(-a,0)
C(0,b)
D(0,-b)
F1(c,0)
F2(-c,0)
2 ( , )
bP c
a
2 ( , )
bQ c
a
橢圓方程式之標準式 (二 )方程式
中心 O
長軸端點短軸端點焦點長軸長短軸長焦點距離
正焦弦長
2 2
2 2
( 0) ( 0)1
x y
a b
(0, )b( ,0)a
(0, )c
2b2a
(0,0)
2 2 2( 0, )b a b a c
2c22a
b
x
y
O
C(a,0)D(-a,0)
A(0,b)
B(0,-b)
F1(0,c)
F2(0,-c)
2 ( , )
aP c
b
2 ( , )
aQ c
b
橢圓方程式之標準式 (三 )方程式
中心長軸端點短軸端點焦點長軸長短軸長焦點距離
正焦弦長
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
a b
( , )h a k( , )h k b
( , )h c k
2a2b
( , )h k
2 2 2( 0, )a b a b c
2c22b
a
x
y
O
A(h+a,k)B(h-a,k)
C(h,k+b)
D(h,k-b)
F1(h+c,k)F2(h-c,k)
2 ( , )
bP h c k
a
2 ( , )
bQ h c k
a
(h,k)
橢圓方程式之標準式 (四 )方程式
中心 O
長軸端點短軸端點焦點長軸長短軸長焦點距離
正焦弦長
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
a b
( , )h k b( , )h a k
( , )h k c
2b2a
( , )h k
2 2 2( 0, )b a b a c
2c22a
b
x
y
O
C(h+a,k)D(h-a,k)
A(h,k+b)
B(h,k-b)
F1(h,k+c)
F2(h,k-c)
2 ( , )
aP h k c
b
2 ( , )
aQ h k c
b
(h,k)
橢圓方程式之參數式 (一 ) GSP 構圖
y
Ox
M
Na
P
θb
acosθbsinθ
1.解題時機：距離、面積、極值之類型的題目。
2. θ 並非 與 x 軸正向之夾角。OP
3.橢圓 上的點 P ，可設為：
2 2
2 21
x y
a b
cos,0 2
sin
x a
y b
橢圓方程式之參數式 (二 ) GSP 構圖
y
Ox
M
Na
P
θb
acosθbsinθ
1.解題時機：距離、面積、極值之類型的題目。
2. θ 並非 與 x 軸正向之夾角。OP
3.橢圓 上的點 P
，可設為：
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
a b
cos,0 2
sin
x h a
y k b
x=h
y=k
範例 (一 )標準式1.求橢圓：
之
(1) 中心 (2) 長軸端點
(3) 短軸端點 (4) 長軸長
(5) 短軸長 (6) 焦點
(7) 長軸所在直線方程式
(8) 短軸所在直線方程式
(9) 焦點距離 (10) 正焦弦長
2 24 9 8 36 4 0x y x y
範例 (一 )標準式【解】先將橢圓化為標準式：
2 2( 1) ( 2)1
9 4
x y
3, 2 5a b c (1, 2)O :中心(1 , 2) (4, 2), ( 2, 2)a A B 長軸端點：(1, 2 ) (1,0), (1, 4)b C D 短軸端點：
2 6AB a 長軸長 2 4CD b 短軸長
1 2(1 , 2) (1 5, 2), (1 5, 2)c F F 焦點：2 0y 長軸所在直線方程式：1 0x 短軸所在直線方程式：
1 2 2 2 5F F c 焦點距離22 8
3
bPQ
a 正焦弦長
AB
C
D
F1
OF2
P
Q
R
S
範例 (二 )定義式1.求方程式：
之
(1) 圖形為 (2) 二焦點坐標
(3) 長軸長 (4) 短軸長
(5) 正焦弦長 (6) 中心
(7) 長軸所在直線方程式
(8) 短軸所在直線方程式
(9) 長軸端點 (10) 短軸端點
2 2 2 2( 3) ( 1) ( 1) ( 2) 6x y x y
範例 (二 )定義式【解】_1
2 2 2 2( 3) ( 1) ( 1) ( 2) 6x y x y
1 2 1 2( , ), ( 3,1), (1, 2) 2P x y F F PF PF a 令
1 22 6 , 2 5 2 2a c F F a c 圖形為橢圓
1 2 ( 3,1), (1, 2)F F 焦點： 2 6a 長軸長：
2 2 252 2 2 9 11
4b a c 短軸長
211
22 114 3 6
bPQ
a
正焦弦長
1 2
1 1( ) ( 1, )
2 2 A F F 中心
B
D
E
F
A P
Q
R
S
F1
F2
範例 (二 )定義式【解】_2
2 2 2 2( 3) ( 1) ( 1) ( 2) 6x y x y
1 2
1 ( 2) 3
3 1 4 F Fm
�������������� �
1 2 3 4 5 0F F x y �������������� �
長軸所在直線方程式： ：5
4 3 0 8 6 5 0 2
EF x y x y �������������� �
短軸所在直線方程式： ： 即
1 5 2 1
1 3 3( 1, ) ( 2, )
2 2
AB a aAB AF x y
c cAF
������������������������������������������
��������������
1 12 9 17 13( 1, ) ( , ) ( , ) ( , )
2 5 5 5 10 x y B x y
7 23 2 ( , )
2 5 10
B DA D A B B D
、 兩點為長軸端點
B
D
E
F
A P
Q
R
S
F1
F2
範例 (二 )定義式【解】_3
2 2 2 2( 3) ( 1) ( 1) ( 2) 6x y x y
11
2b
1 1
3 ( 2, ) //( 4,3)
2 AF AE AF ������������������������������������������
又
11 11 11(3 ,4 ) 5
2 2 10AE t t AE t t ����������������������������
令
11 3 11 2 11 3 11 1 2 11( , ) ( , ) ( 1 , )
10 10 5 10 2 5 t AE E x y
��������������
11 3 11 2 11 3 11 1 2 11( , ) ( 1 , )
10 10 5 10 2 5 t AF F
��������������
E F 、 兩點為短軸端點
B
D
E
F
A P
Q
R
S
F1
F2
範例 (三 )定義式 21.設
，則：
(1)Γ 圖形表一橢圓時， k 範圍為
(2)Γ 圖形表一線段時， k 範圍為
(3)Γ 圖形不存在時， k 範圍為
2 2 2 2: ( 2) ( 3) ( 10) ( 2)x y x y k
範例 (三 )定義式 2【解】
2 2 2 2: ( 2) ( 3) ( 10) ( 2)x y x y k
1 2 1 2 1 2( , ), ( 2,3), (10, 2) 2 , 2 13P x y F F PF PF a k c F F 令
2 2 13a c k 圖形為橢圓時
1 2( ) 2 2 13F F a c k 圖形為線段時
( ) 2 2 13a c k 圖形為 時 不存在
B
D
E
F
A P
Q
R
S
F1
F2
範例 (四 )參數式1.設 x,y 為實數且 ，則：
(1) x+y 最大為 。
(2) xy 最小為 。
(3) x2+y2 最大為 。
(4) x2 － y ＋ 1 最大為 ，最小為 。
2 2 1
4 9
x y
範例 (四 )參數式【解】2 2
: 14 9
x y 2cos
3sin
x
y
令
2 2(1) 2cos 3sin 2 3 13x y Max
(2) 2cos 3sin 3sin 2 3xy Min 2 2 2 2 2(3) 4cos 9sin 4 5sin 4 5 9x y Max 2 2 2(4) 1 4cos 3sin 1 4(1 sin ) 3sin 1x y
2 23 894sin 3sin 5 4(sin )
8 16
3 89sin
8 16 Max 當
sin 1 2Min 當
範例 (五 )參數式 21.求橢圓
之
(1) 內接正方形面積為 。
(2) 內接矩形最大面積為 。
(3) 內接矩形最大周長為 。
2 2
2 2
1 ( 0)
x ya b
a b
範例 (五 )參數式 2【解】2 2
2 2
: 1 ( 0)
x ya b
a b
cos
sin
x a
y b
令
(1) cos sina b 正方形
tan
a
b
2 22 2
2 22 2
44( cos ) 4 ( )
b a ba a
a ba b
=正方形面積
(2) 4( cos sin ) 2 sin 2 2a b ab ab 內接矩形面積
2 2(3) 4 ( cos sin ) 4a b a b 內接矩形周長
x
y
O
P(x,y)
acosθ
bsinθ
ba
2 2a bθ
範例 (六 )軌跡的應用1.定點繞出之軌跡為橢圓。
2.跟兩圓相切 ( 不論內外切 ) 之圓心軌跡。
已知兩圓內離 ( 大圓包小圓 ) ：橢圓。
已知兩圓外離 ( 大圓不包小圓 ) ：雙曲線。
3.過定點與圓相切之圓心軌跡。
定點在圓內：橢圓。
定點在圓外：雙曲線。
範例 (六 )軌跡的應用 _11.設有定長為 5 之 上有一定點 P ，且
，若 A 點在 y 軸上移動， B 點在x 軸上移動，則 P 所形成之圖形方程式為 。
: 2 : 3AP BP
AB
範例 (六 )軌跡的應用 _1【解】
(0, ), ( ,0), ( , )A a B b P x y令
2 2 2 25 5 25 (1)AB a b a b
3 2 2 3( , ) (0, ) ( ,0) ( , )
5 5 5 5
b aP x y a b 但
5 5 , (1)
3 2 a y b x 代入
2 25 5( ) ( ) 25 3 2
y x
2 2 1
4 9
x yP 為 點軌跡
GSP 構圖
A(0,a)
B(b,0)
P(x,y)23
xO
y
範例 (六 )軌跡的應用 _22.若圓 C 與二定圓
，
相切，則：
(1) 若圓 C 與圓 C1 外切時，則圓 C 之圓心軌跡
方程式為 。
(2) 若圓 C 與圓 C1 內切時，則圓 C 之圓心軌跡
方程式為 。
2 22 : ( 1) 16C x y
2 21 : ( 1) 1C x y
範例 (六 )軌跡的應用 _2【解】_1
2 21 1: ( 1) 1 (1,0) , 1C x y A r 圓心
2 22 2: ( 1) 16 ( 1,0) , 4C x y B r 圓心
( , ) , P x y r令動圓圓心 半徑為
1
+ 4
5
PA r
PB r
PA PB
1
(1,0) , ( 1,0) ( ) (0,0) 2
A B A B ,為橢圓的兩焦點 中心
2 2 22 5 21
4 2 2
ab a c
c AB
GSP 構圖
A(1,0)B(-1,0)x
O
y
2 2
25 21 4 4
1
x yP 點軌跡：
P(x,y)
(1) 外切：
1
r
範例 (六 )軌跡的應用 _2【解】_2
2 21 1: ( 1) 1 (1,0) , 1C x y A r 圓心
2 22 2: ( 1) 16 ( 1,0) , 4C x y B r 圓心
( , ) , P x y r令動圓圓心 半徑為
1
+ 4
3
PA r
PB r
PA PB
1
(1,0) , ( 1,0) ( ) (0,0) 2
A B A B ,為橢圓的兩焦點 中心
2 2 22 3 5
4 2 2
ab a c
c AB
GSP 構圖
2 2
9 5 4 4
1
x yP 點軌跡：
P(x,y)
(2) 內切：
r
1A(1,0)
xO
y
B(-1,0)
範例 (六 )軌跡的應用 _31.過 且與圓
，相內切之動圓圓心軌跡為 。
(3,1) 2 2: ( 3) ( 3) 36C x y
範例 (六 )軌跡的應用 _3【解】
(3,1)A2 2: ( 3) ( 3) 36 (3, 3) , 6C x y B 圓心 半徑
( , ) , P x y r令動圓圓心 半徑為
+ 6
6
PA r
PB r
PA PB
1(3,1) , (3, 3) ( ) (3, 1)
2 A B A B ,為橢圓的兩焦點 中心
2 2 22 6
52 4
ba b c
c AB
GSP 構圖
B(3,-3)x
O
y
2 2 ( 3) ( 1)1
5 9
x yP
點軌跡：
A(3,1)P(x,y)
6-r
r
