基于考试的

基于考试的基于考试的

三明九中张永宁师大专业硕士庄静云

2012 年 3 月

有限与无限思想有限与无限思想

基于考试的基于考试的有限与无限思想有限与无限思想

没有任何其他的问题能像无限那样，从来就深深地触动着人的情感．没有任何其他的观念能像无限那样，对人的理智起了如此激励和有成效的作用．然而也没有任何其他的概念，能像无限那样需要加以阐述了．

——德国数学家希尔伯特（Hilbert David 1862～1943）

飞流直下三千尺，

一、有限与无限思想的考查综述（一）内涵阐释

疑是银河落九天．

一、有限与无限思想的考查综述

有限与无限是物质世界固有的矛盾之一，是反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴．

有限和无限反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系．

（一）内涵阐释

1．定义：


2．关系：

（1）无限由有限构成、无限不能脱离有限而独立存在；

（2）有限包含着无限，有限体现着无限；

（3）有限和无限的辩证统一，在一定意义上说，每一物质客体既是有限的又是无限的，是有限和无限的统一．

（一）内涵阐释

有限体现了具体事物的暂时性、局部性和相对性；

无限表现了物质总体的永恒性、普遍性和绝对性．

一、有限与无限思想的考查综述（一）内涵阐释 3．区别：

将无限的问题化为有限问题来解决；


将有限问题转化为无限问题来解决。

4．方法：


相互依存

5．本质：

相互利用

相互转化

（1 “）知识中体现有限与无限思想”

一、有限与无限思想的考查综述（二）要求概述1.课标要求

（2）方法中渗透“ 有限与无限思想”

一、有限与无限思想的考查综述（二）要求概述2.考纲要求

“有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并可以积累一定的经验．而对无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究转化成对有限的研究，就成了解决无限问题的必经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限思想．


“高考中对有限与无限思想的考查，既可单独考查，亦可在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想．例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的转化思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的也是有限与无限思想，等等．”


《考纲》较《课标》

目标更为明确

方法更为具体

意识更为强烈

理念更为深刻 {


可测性考查主要体现方面

无限化有限

有限化无限

显性考查

隐性考查 {

一、有限与无限思想的考查综述（三）功能剖析课程学习中，注重的是一种体验，是一种感性层面上的认识．

高考考查中，注重的却是一种理解，是一种理性的认识．

可测性评价目标考查 { 知识上的认识

方法上的应用

意识上的运用

考查考生的数学素养


有限与无限思想

蕴含于数学的基本问题与知识中

渗透于数学的解题思维与方法中

根埴于数学的理性精神与文化中 {

二、有限与无限思想的考查回顾 1 ．将无限的问题化为有限来解决．

【例 1 】（ 2005 年高考福建卷 · 理 22 ）

已知数列 na 满足 1a a ，1

11n

n

aa ，我们知道当 a 取不同的值时，得到不

同的数列，如当 a=1时，得到无穷数列： ;,3

5,

2

3,2,1 当

2

1a 时，得到有穷数列：

0,1,2

1 ．

（Ⅰ ）求当 a为何值时 4 0a ；

（Ⅱ ）设数列 nb 满足 11 b ， 1

1( )

1nn

b nb

N ，求证 a取数列 nb 中的任一

个数，都可以得到一个有穷数列 na ；

（Ⅲ ）若 )4(22

3 nan ，求 a的取值范围：

（Ⅰ ） 1 1 21

1 1 1 1, 1 , 1 1 ,n

n

aa a a a

a a a a

3 42 3

1 2 1 1 3 21 , 1 .

1 2 1

a aa a

a a a a

故当2

3a 时， 4 0a ：

考虑到等价性，也可令 4 0a ，从而得到 2

3a ．

1 ．将无限的问题化为有限来解决．

（Ⅱ ）解法一： 11 b ， 11

,1

1

11

nn

nn b

bb

b ，

【解析】

二、有限与无限思想的考查回顾

【例 1 】（ 2005 年高考福建卷 · 理 22 ）


当 1ba 时， 01

11

2 b

a ，

当 2ba 时， 11

1 11

2 bb

a ， 03 a ，

当 3ba 时， 23

2

11 b

ba ，

11

11

1 122

3 bba

a 04 a ：

从而，可归纳出：一般地，当 nba 时， ,01 na 可得一个

含有 1n 项的有穷数列 121 ,., naaa ：

下面用数学归纳法证明：（略）


【例 1 】（ 2005 年高考福建卷 · 理 22 ）


解法二： 1 11

11, , 1.

1n nn n

bb b b

b b

2 11

3 22 1

1 11 2

{ } .

1 1, 1 1 ,

1 11 1 ,...

1 11 1 1. 0.

n n

n nn

nn

n nn

a b a b

a b a ba b

a ba b

a b aa b

取数列中的任一个数不妨设

故 a取数列 nb 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 na ．


【例 1 】（ 2005 年高考福建卷 · 理 22 ）


（Ⅲ）要使 )4(22

3 nan ，即 2

11

2

3

1

na

， 21 1 na

所以，要使 )4(22

3 nan ，当且仅当它的前一项 1na 满足 21 1 na ：

由于 2,12,2

3

，所以只须当 4

3,2

2a

时，都有

2,

2

3na 5n

由12

234

a

aa ，得 2

12

23

2

3

a

a，解此不等式得 0a ．


【例 1 】（ 2005 年高考福建卷 · 理 22 ）


【分析】（ 1）题设中的“有限与无限思想”的味道十足；（ 2）第（Ⅰ）问，通过有限次递推得到具体结论；（ 3）第（Ⅱ）问， “无限的问题”转化到“有限的问题”；通过有限来探讨和发现无限 ,

用数学归纳法进行证明，将对无限的研究化成对有限的研究．解法二是从条件的任意性出发，通过“有限次递推”得到结论，同样也体现了“无限化为有限”方法；

（ 4）第（Ⅲ）问，是对无限个都成立的条件，通过有限次分析、运用来进行求解．

4n


【例 1 】（ 2005 年高考福建卷 · 理 22 ）


【分析】数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理

方法．它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n

＝1(或 n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在 n＝k时命题成立，再证明 n＝k＋1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限．

本题在考查数列知识的同时，重点考查“ 将无限化为有限”的意识，考查考生对“ 有限与无限思想” 的理解及运用能力．


【例 1 】（ 2005 年高考福建卷 · 理 22 ）

1 ．将无限的问题化为有限来解决．【例 2 】（ 2008 年高考辽宁卷 · 理 21 ）

在数列 ,n na b 中， 1 12, 4a b ，且 1, ,n n na b a 成等差数列， 1 1, ,n n nb a b 成等

比数列：

（Ⅰ ）求 2 3 4, ,a a a 及 2 3 4, ,b b b ，由此猜测 ,n na b 的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ ）证明:1 1 2 2

1 1 1 5

12n na b a b a b

．

【解析】

（Ⅰ ）：由条件得 21 1 12 n n n n n nb a a a b b ，

从而可得 2 2 3 3 4 46 9 12 16 20 25a b a b a b ，，，，，．

由此猜测 2( 1) ( 1)n na n n b n ，．

现用数学归纳法证明：（略）（Ⅱ ）略．



【分析】

本题也是通过有限的研究，得出猜想，再用数学归纳法进行证明，充分体现了用“将对无限的研究化成对有限的研究”这种有限与无限的数学思想．


【例 2 】（ 2008 年高考辽宁卷 · 理 21 ）

1 ．将无限的问题化为有限来解决．【例 3 】（ 2009 年高考湖北卷 · 理 19 ）

已知数列 na 的前 n项和 11( ) 22

nn nS a （n为正整数）．

Ⅰ（）令 2nn nb a ，求证数列 nb 是等差数列，并求数列 na 的通项公式；

Ⅱ（）令1

n n

nc a

n

， 1 2 ........n nT c c c 试比较 nT 与

5

2 1

n

n的大小，并予

以证明．

【解析】（I）2n n

na

（II）由（I）得1 1

( 1)( )2

nn n

nc a n

n

，……

33

2n n

nT

5 3 5 ( 3)(2 2 1)3

2 1 2 2 1 2 (2 1)

n

n n n

n n n n nT

n n n



于是确定5

2 1n

nT

n与的大小关系等价于比较 2 2 1n n与的大小

由 2 3 4 52 2 1 1;2 2 2 1;2 2 3 1;2 2 4 1;2 2 5; K

可猜想当 3 2 2 1.nn n 时，可用数学归纳法证明（略）．

本题同样也是通过有限的研究，得出猜想，再用数学归纳法进行证明，充分体现了有限与无限思想．

【分析】


【例 3 】（ 2009 年高考湖北卷 · 理 19 ）

2 ．“逼近”中体现有限与无限思想．【例 4 】（ 2006 年高考福建卷 · 理 16 ）

如图，连接 ABC 的各边中点得到一个新的

1 1 1A B C ，又连接 1 1 1A B C 的各边中点得到 2 2 2A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形： ABC ，

1 1 1A B C ， 2 2 2A B C …，，这一系列三角形趋向于一个点M ．已知 (0,0)A ， (3,0)B ， (2,2)C ，则点 M的坐

标是．5 2

( , )3 3

【分析】“随着三角形的不断生成，在无限逼近” “的过程中，问题由无

” “ ”限向有限进行转化．明显地，这一系列三角形重心相同，致使三角形最终趋向于的这一个点M，必将成为共有的重心，即 ABC 的重心．


2 ．“逼近”中体现有限与无限思想．

【分析】

“课程体系中，以逼近” “ ”思想来体现极限思想，这在新课程高中数学中屡见不鲜．


【例 4 】（ 2006 年高考福建卷 · 理 16 ）

如导数定义、微积分、二分法、渐近线、随机事件的概率等等；

“在逼近” “ ” “思想下的实现由直到曲、由近似到精” “ ”确、由有限到无限的转化．

2 ．“逼近”中体现有限与无限思想．【例 5 】（ 2008 年高考福建卷 · 理 8 ）

若实数 x、y 满足1 0,

0,

x y

x

则x

y的取值范围是

A： (0，1) B： (0， 1 C： (1，+∞) D： [1， +∞ )

【解析】

可设y

kx ，则问题转化为可行区域内的任意点

( , )P x y 与原点O连线OP的斜率 k 的取值范围．



若实数 x、y 满足1 0,

0,

x y

x

则x

y的取值范围是

A： (0，1) B： (0， 1 C： (1，+∞) D： [1， +∞ )

【解析】

由于点P可无限靠近 y轴，则 k趋近；若点 P在直线 1y x 上，并沿该直线向右上方无限延伸，k逐渐减小，并无限趋近于1（两直线在无穷远处相交），从而 1k ；故选 C．

数学中变量的变化趋势是无限变化和有限变化之间的关系，从有限中认识无限，从量变中认识质变，其问题的解决，始终蕴涵着有限与无限思想．

【分析】


【例 5 】（ 2008 年高考福建卷 · 理 8 ）

2 ．“逼近”中体现有限与无限思想．【例 6 】（ 2009 年高考福建卷 · 文 11 ）

若函数 f x 的零点与 4 2 2xg x x 的零点之

差的绝对值不超过 0.25，则 f x 可以是

A. 4 1f x x B. 2( 1)f x x

C. 1xf x e D. 1

2f x In x

【解析】

1

4 1 3

2 0 1

2

易知选项中的四个函数的零点依次为1

4、1、0和

3

2．现在估算 4 2 2xg x x 的零

点，由于 (0) 1g ，1

( ) 12

g ，又 ( )g x 是连续递增函数，所以 ( )g x 惟一的零点1

(0, )2

x ，

明显地，函数 ( ) 4 1f x x 零点1

4与 ( )g x 的零点之差的绝对值不超过 0.25，已满足条件，故

选 A．





A. 4 1f x x B. 2( 1)f x x

C. 1xf x e D. 1

2f x In x

【解析】

1

4 1 3

2 0 1

2

由于 41 1( ) 4 2 24 4

g 3

22

0 ，所以 ( )g x 惟一的零点1 1

( , )4 2

x ，故选 A．


【例 6 】（ 2009 年高考福建卷 · 文 11 ）




A. 4 1f x x B. 2( 1)f x x

C. 1xf x e D. 1

2f x In x

【分析】

1

4 1 3

2 0 1

2

“ ”对近似的研究得到精确的结论； “通过层层逼近”，达到目标所要求的精确结论；

“ ”对二分法的考查，就是对有限与无限思想的考查．


【例 6 】（ 2009 年高考福建卷 · 文 11 ）


已知点 O(0,0)、Q0(0,1)和点 R0(3,1)，记 Q0R0的中点为 P1，取 Q0P1和 P1R0中的一条，记其端点为 Q1、R1，使之满足 1 1| | 2 | | 2 0OQ OR ，记 Q1R1的中点为 P2，取 Q1P2和 P2R1

中的一条，记其端点为 Q2、R2，使之满足 2 2| | 2 | | 2 0OQ OR .依次下去，得到

1 2, , , ,nP P P ，则 0lim | |nn

Q P

.

【分析】

O

0 (0,1)Q 0 (3,1)R 1P

3

1 2P 3P

x

y

“ ” “ ”以无限逼近为背景，以有限逼近为方法，考查极限思想和应

“ ”用，考查极限思想下的分析问题和解决问题的能力，将有限与无限思想的考查发挥到了极致．


【例 7 】（ 2011 年高考上海卷 · 理 14 ）

3 ．“特殊与一般的思想”与之相伴【例 8 】（ 2006 年高考全国卷Ⅱ · 理 22 ）

设数列｛an｝的前 n项和为 Sn，且方程 x2－anx－an＝0有一根为 Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ ）求 a1，a2；（Ⅱ ）求｛an｝的通项公式．

【解析】

（Ⅰ ）将 1nS ，代入方程 x2－anx－an＝0，

可得 0)1()1( 2 nnnn aSaS ……①，

将 1n 和 2n 代入①式，可得 112

a ， 216

a ．


3 ．“特殊与一般的思想”与之相伴


【解析】

（Ⅱ ）当 n≥ 2时，将 an＝Sn－Sn－1代入第（Ⅰ ）问的①式，得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0……②，

由 S1＝a1＝12，根据②式可计算得 S1＝

12，S2＝

23，S3＝

34．

由此猜想 Sn＝n

n＋1，n＝1，2，3 …，．

用数学归纳法证明这个结论．（略）


【例 8 】（ 2006 年高考全国卷Ⅱ · 理 22 ）



【分析】本题依托数列、方程等基本知识，主要考查特殊与一般的思想，事

实上，也在考查有限与无限的思想．

第（Ⅰ ）问的求解过程实际上是根据①式，通过取特殊值，写出数列的前几项，体现了从一般到特殊的过程，也体现了将无限化有限的过程；

第（Ⅱ）问的解决过程中，采用第（Ⅰ ）问的方法求出 1 2 3, ,S S S ，由

1 2 3, ,S S S 的结构特点归纳猜想｛Sn｝的通项公式，然后用数学归纳法证明，这其中体现了从特殊到一般的过程和有限与无限思想．


【例 8 】（ 2006 年高考全国卷Ⅱ · 理 22 ）

3 ．“特殊与一般的思想”与之相伴【例 9 】（ 2006 年高考福建卷 · 理 11 ）

已知 | | 1OA

，| | 3OB

， 0OA OB

，点C在 AOB 内，且 30AOC ，

设OC mOA nOB

( m、n R )，则n

m等于

A．1

3 B．3 C．

3

3 D． 3

【解析】

令 1n ，则 OBOAmOC ，

在 Rt OBC 中， 60tanOBBC 3 ，

而 OAmBC ，所以 3m ， 3n

m．

故选 B．

O A

B C



已知 | | 1OA

，| | 3OB

， 0OA OB

，点C在 AOB 内，且 30AOC ，

设OC mOA nOB

( m、n R )，则n

m等于

A．1

3 B．3 C．

3

3 D． 3

【分析】本题以向量的运算为载体，反映了对特殊与一般思想的考查．另一方面，可以认为本题也体现了有限与无限思想．

无穷多个实数m，n中，必存在m与 n的某种关联，m

n的值是有限且惟一

的，这就是无限化有限的问题；因此，我们可以用具体、有限的特殊值来寻求“ ”这样的关联，这在方法上也是将对无限的研究转化为有限的研究．


【例 9 】（ 2006 年高考福建卷 · 理 11 ）


设不等式组

x 1

x-2y+3 0

y x

所表示的平面区域是 1 ，平面区域是 2 与 1 关于直线

3 4 9 0x y 对称，对于 1中的任意一点 A与 2 中的任意一点 B，| |AB 的最小值等于( )

A．28

5 B．4 C．

12

5 D．2

【解析】

y

3 1

x 3

3

3 4 9 0x y

2 3 0x y y x

| |AB 的最小值，即为区域 1中的点到直线3 4 9 0x y 的距离的最小值的两倍，可看出点（1，1）到直线 3 4 9 0x y 的距离最小，故

| |AB 的最小值为 | 3 1 4 1 9 |2 4

5

，选 B．



设不等式组

x 1

x-2y+3 0

y x

所表示的平面区域是 1 ，平面区域是 2 与 1 关于直线

3 4 9 0x y 对称，对于 1中的任意一点 A与 2 中的任意一点 B，| |AB 的最小值等于( )

A．28

5 B．4 C．

12

5 D．2

【分析】

y

3 1

x 3

3

3 4 9 0x y

2 3 0x y y x

这道题体现的是一般到特殊的思想，也是在无穷对应点中寻求有限的、满足条

“件的对应点，将对无限的研究转化为有限”的研究．


【例 10 】（ 2010 年高考福建卷 · 理 8 ）

3 ．“特殊与一般的思想”与之相伴【例 11 】（ 2010 年高考安徽卷 · 文 15 ）

若 0, 0, 2a b a b ，则下列不等式对一切满足条件的 ,a b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）．

① 1ab ； ② 2a b ； ③ 2 2 2a b ； ④ 3 3 3a b ； ⑤1 1

2a b

【解析】

令 1a b ，排除②④；

由 2 2 1a b ab ab ，命题①正确；

2 2 2( ) 2 4 2 2a b a b ab ab ，命题③正确；

1 1 22

a b

a b ab ab

，命题⑤正确．

答案：①，③，⑤



若 0, 0, 2a b a b ，则下列不等式对一切满足条件的 ,a b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）．

① 1ab ； ② 2a b ； ③ 2 2 2a b ； ④ 3 3 3a b ； ⑤1 1

2a b

【分析】采用特殊值法，举反例推翻错误结论；用均值定理证明正确的结论．

“对于条件 0, 0, 2a b a b ”中的无穷多的a与b，选取有限个特殊值进行研究，本身也体现了有限与无限思想．

“ ”均值定理 —— “大前提， 0, 0, 2a b a b ” —— 小前提，使用正确的推理，得到正确的结论．

这种 “ ” “ ”由一般到特殊的演绎推理，也是将有限问题转化为无限问题来解决．


【例 11 】（ 2010 年高考安徽卷 · 文 15 ）


已知 A，B 分别为曲线 C： 2

2

x

a+ 2y =1（y0，a>0）与 x轴的左、右两个交点，直线 l过

点 B，且与 x轴垂直，S为 l上异于点 B的一点，连结 AS交曲线 C于点 T：

Ⅰ（）若曲线 C为半圆，点 T为圆弧 AB的三等分点，试求出点 S的坐标； Ⅱ（）如图，点M是以 SB为直径的圆与线段 TB的交点，试问：是否存在a，使得 O，

M，S三点共线？若存在，求出 a的值，若不存在，请说明理由．

【解析】

O A B

M

T S

l

x

y

（Ⅰ ）（略）

（Ⅱ ）假设存在 ( 0)a a ，使得 O，M，S三点共线，由于点M在以 SB为直线的圆上，故BT OS ，显然，直线 AS的斜率 k存在且 k>0，可设直线 AS的方程为 ( )y k x a ：



【解析】

O A B

M

T S

l

x

y

由

22

2 2 2 2 2 4 2 221

(1 ) 2 0

( )

xy

a k x a k x a k aay k x a

得

设点2 2 2

2 2( , ), ( ) ,

1T T T

a k aT x y x a

a k

故2 2

2 21T

a a kx

a k

，从而

2 2

2( )

1T T

aky k x a

a k

，

亦即2 2

2 2 2 2

2( , ).1 1

a a k akT

a k a k


【例 12 】（ 2009 年高考福建卷 · 理 19 ）


【解析】

O A B

M

T S

l

x

y

2 2

2 2 2 2

2 2( ,0), (( , ))

1 1

a k akB a BT

a k a k

由( )

x a

y k x a

得 ( ,2 ), ( ,2 ).s a ak OS a ak

由 BT OS ，可得2 2 2 2

2

2 40

1 2

a k a kBT OS

a k

即 2 2 2 22 4 0a k a k

0, 0, 2k a a

经检验，当 2a 时，O，M，S 三点共线，故存在 2a ，使得 O，M，S三点共线．


【例 12 】（ 2009 年高考福建卷 · 理 19 ）


已知 A，B 分别为曲线 C： 2

2

x

a+ 2y =1（y0，a>0）与 x轴的左、右两个交点，直线 l过

点 B，且与 x轴垂直，S为 l上异于点 B的一点，连结 AS交曲线 C于点 T：

Ⅰ（）若曲线 C为半圆，点 T为圆弧 AB的三等分点，试求出点 S的坐标； Ⅱ（）如图，点M是以 SB为直径的圆与线段 TB的交点，试问：是否存在a，使得 O，

M，S三点共线？若存在，求出 a的值，若不存在，请说明理由．

【分析】

O A B

M

T S

l

x

y

较为典型的演绎推理的探究题，通过探“ ” “ ”究、推理，在变量中寻求常量、在

“ ” “ ” “ ”动态中寻求静态、在一般中寻“ ” “ ” “ ”求特殊、在无限中寻求有限，通“ ”过无限研究来解决“ ”有限问题．


【例 12 】（ 2009 年高考福建卷 · 理 19 ）


对于具有相同定义域D的函数 ( )f x 和 ( )g x ，若存在函数 ( )h x kx b （ k，b为常数）

对任给的正数m，存在相应的 0x D 使得当 x D 且 0x x 时，总有0 ( ) ( )

0 ( ) ( )

f x h x m

h x g x m

，

则称直线 :l y kx b 为曲线 ( )y f x 和 ( )y g x 的“ 分渐进性”。给出定义域均为

{ | 1}D x x 的四组函数如下：

① 2( )f x x ， ( )g x x ② ( ) 10 2xf x ，2 3

( )x

g xx

③2 1

( )x

f xx

，

ln 1( )

ln

x xg x

x

④

22( )

1

xf x

x

， ( ) 2( 1 )xg x x e

其中，曲线 ( )y f x 和 ( )y g x 存在“ 分渐近线” 的是（）

A、①④ B、②③ C、②④ D、③④



① 2( )f x x ， ( )g x x ，当 1x 时，不符合条件，所以①不存在；【解析】

② ( ) 10 2xf x ，2 3

( )x

g xx

，由图象可知，符合条件；

3

2y ( ) 10 2xf x

2 3( )

xg x

x

③2 1

( )x

f xx

，

ln 1( )

ln

x xg x

x

，

由于 lnx x ，所以1 1

( ) ( ) 0ln

f x g xx x

，

不符合条件；

④22

( )1

xf x

x

， ( ) 2( 1 )xg x x e ，当 x 时，

1 1( ) ( ) 2( 1) 0

11

xf x g x

ex

，符合条件．故选 C


【例 13 】（ 2010 年高考福建卷 · 理 10 ）


存在分渐近线的充要条件是：

x 时， ( ) ( ) 0f x g x 且 ( ) ( ) 0f x g x ．

【分析】

本题在考查函数概念、图像和性质的同时，充分考查了极限思想，考查了在新定义、新环境下，考生的分析问题、解决问题的能力，考查了考生的有限与无限思想的理解及应用水平．

另一方面，试题也有着较强的推理性与探究意识， “始终围绕着无”限逼近的思想，进行代数、几何等方法通过探究、推理．


【例 13 】（ 2010 年高考福建卷 · 理 10 ）

4 ．导数中的“有限与无限思想” “ ”函数与导数，是考查有限与无限思想主战场．

“ ”以导数知识为载体，所反映出来有限与无限思想的数学思想方法：

（1）研究变量“ ” “ ” “由直到曲、由近似到精确、由有限”到无限的极限的思想方法；

（2）导数与微积分是在初等数学的基础上，用极限的方法开拓了一个新的思路，并抽象成对一般函数的研究方法，为解决实际问题中的数学模型提供了方法.


4 ．导数中的“有限与无限思想”【例 14 】（ 2006 年高考福建卷 · 理 21 ）

已知函数 f(x)=－x 2 +8x，g(x)=6lnx+m （Ⅰ ）求 f(x)在区间[t， t+1]上的最大值 h(t)；

（Ⅱ ）是否存在实数 m，使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，说明理由．

【解析】（I）略


4 ．导数中的“有限与无限思想”

【解析】

x O

y

1 2 3

2) 8 6lnx x x x m （

,0153ln6)(

,07)(

＋极小值

极大值

mx

mx

即 7<m<15－6ln3

（II）令 ) ( ) ( )x g x f x （，

( )x 2( 1)( 3)( 0),

x xx

x


【例 14 】（ 2006 年高考福建卷 · 理 21 ）已知函数 f(x)=－x 2 +8x，g(x)=6lnx+m （Ⅰ ）求 f(x)在区间[t， t+1]上的最大值 h(t)；

（Ⅱ ）是否存在实数 m，使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，说明理由．

2 8 6lnx x x m ，

4 ．导数中的“有限与无限思想”

【分析】本题是从“ 求函数的导数，判断函数的单调性，确定函数在某一区间

的根的个数” 来考查有限与无限的思想．在函数极值定义的描述中，体现了有限与无限的关系：“ 一般地，设函数

( )f x 在点 0x 附近有定义，如果对 0x 附近除 0x 外的所有的点 x ，都有

0( ) ( )f x f x ，我们就说 0( )f x 是函数 ( )f x 的一个极大值”。

“ 附近” 和“ 所有” 都含有有限与无限的辨证关系．首先“ 附近”是个模糊的概念，只有用极限的思想，用由有限到无限

的观点去领悟才能理解其真谛． “ 所有” 也很含糊，由“ 所有的点” 组成的集合是个无限集，不可能

将它们一一取出进行研究．因此，这里的“ 所有”也体现出有限与无限的关系．由此可以看出，极值概念的本身就充满有限与无限的辨证关系．


【例 14 】（ 2006 年高考福建卷 · 理 21 ）

4 ．导数中的“有限与无限思想”【例 15 】（ 2007 年高考全国卷Ⅱ · 文 8 ）

已知曲线4

2xy 的一条切线的斜率为

2

1，则切点的横坐标为

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】本题涉及导数的几何意义的问题，主要考查有限与无限思想：只要设切点坐

标为 P（ 0x ， 0y ），Q为曲线2

4

xy 上异于 P的任意一点，称直线 PQ为曲线的

一条割线，将割线绕着点 P逐渐转动，当点 Q沿着曲线无限接近于点 P，割线 PQ

有一个极限位置，即为过点 P的切线：切线斜率等于导函数 y在 0x x 的值，即

y0 0

1

2x x x ：依题意得 0

1 1

2 2x ，所以 0x =1：选 A：从割线到切线的变化，

体现了有限与无限思想．


4 ．导数中的“有限与无限思想”（2009福建卷文）

已知函数 3 21( ) ,

3f x x ax bx 且 '( 1) 0f

（Ⅰ ）试用含a的代数式表示 b； Ⅱ（）求 ( )f x 的单调区间；

Ⅲ（）令 1a ，设函数 ( )f x 在 1 2 1 2, ( )x x x x 处取得极值，记点 1 1 2 2( , ( )), ( , ( ))M x f x N x f x ，证

明：线段MN与曲线 ( )f x 存在异于M 、 N 的公共点；

（2009福建高考理）

已知函数 3 21( )

3f x x ax bx ，且 '( 1) 0f

（1）试用含 a的代数式表示 b，并求 ( )f x 的单调区间；

（2）令 1a ，设函数 ( )f x 在 1 2 1 2, ( )x x x x 处取得极值，记点 M ( 1x ， 1( )f x )，N( 2x ， 2( )f x )，

P( , ( )m f m )， 1 2x m x ，请仔细观察曲线 ( )f x 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释

以下问题：

（I）若对任意的 m ( 1x ， x 2 )，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M，P 的公共点，试确定 t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点 Q(n ，f(n))， x n< m，使得线段 PQ与曲线 f(x)有异于 P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）


4 ．导数中的“有限与无限思想”（2009福建卷理）

若曲线 3( ) lnf x ax x 存在垂直于 y轴的切线，则实数 a取值范围是_________．

（2010年福建卷，理 20）已知函数 3( )f x x x ，其图象记为曲线C．

（1）求函数 ( )f x 的单调区间；

（2）证明：若对于任意非零实数 1x ，曲线 C与其在点 1 1( , ( ))P x f x 处的切线交于另一点

2 2( , ( ))P x f x ，曲线C与其在点 2 2( , ( ))P x f x 处的切线交于另一点 3 3( , ( ))P x f x ，线段 1 2PP ，

2 3P P 与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为 1S ， 2S ，则 1

2

S

S为定值．


4 ．导数中的“有限与无限思想”（2011 年福建，理 18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y（单位：千克）与销售价格 x（单

位：元/千克）满足关系式 210( 6)3

ay x

x

，其中3 6x ，a为常数，已知销售价格为

5元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．（I）求 a的值（II）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

（2011 年福建，文 22）已知 a，b为常数，且 0a ，函数 ( ) lnf x ax b ax x ， ( ) 2f e （ 2.71828e ……

是自然对数的底数）。（I）求实数b的值；（II）求函数 ( )f x 的单调区间；

（III）当 1a 时，是否同时存在实数 m和M（m M ），使得对每一个 [ , ]t m M ，直线 y t

与曲线 ( )y f x （1

[ , ]x ee

）都有公共点？若存在，求出最小的实数 m和最大的实数M ；

若不存在，说明理由。


【解析】

三、有限与无限思想的考查展望

（Ⅰ ）1

2nan

， nb n

（Ⅱ ）（略）

题 1．（原创）已知数列{ }na 中， 1 1a ，又数列{ }nb 是公差为1的等差数列，其中1

2nn

ba

（ *n N ）．

（Ⅰ ）分别求{ }na 与{ }nb 的通项 na 、 nb ；

（Ⅱ ）对于求出的 na 与 nb ，试分别写出{ }n nb a 、{ }n nb a 、{ }n nb a 、{ }n

n

b

a的最小值；

（III）对于圆锥曲线 nC ：2 2

2 21

1n n

x y

a a

( *)n N ，我们知道当 n变化时，曲线 nC 也发生着

变化，当n ，则曲线 nC 曲线C．

（1）求曲线 1C 的方程；

（2）确定曲线C的方程．

题 1．（III）对于圆锥曲线 nC ：2 2

2 21

1n n

x y

a a

( *)n N ，我们知道当 n变化时，曲线 nC 也发生

着变化，当 n ，则曲线 nC 曲线C．



【解析】


（Ⅲ ）（1）由上可知， 1 1a ， 2

3

2a ，∴ 曲线 1C ：

22 4

19

yx

（2）当 n 时， 12na

n 2 且 1

12 2

1nan

，

∴ 曲线C： 2 2 4x y ．

12na

n


试题的第（Ⅲ）题，以圆锥曲线簇 nC 为背景，一是求特

殊情况下的椭圆方程，二是考查在无穷远处 na 与 1na 的等价

性，体现当离心率 0e 时，椭圆圆，即圆是椭圆的极限．能够很好地体现有限与无限的辨证思想．

【说明】

题 1．（III）对于圆锥曲线 nC ：2 2

2 21

1n n

x y

a a

( *)n N ，我们知道当 n变化时，曲线 nC 也发生

着变化，当 n ，则曲线 nC 曲线C．



题 2．（原创）已知数列{ }na 前 n项和 nS 满足： 22 20n n nS a a （ *n N ）

且 1 0S ．又 1n na a 对 *n N 恒成立．

Ⅰ﹙ ﹚求{ }na 的通项公式 na ；

Ⅱ﹙ ﹚记 2n n nb S a n ，则对于数列{ }nb ：

（1）是否存在正整数m，使 1m mb b 成立．请给出探讨过程；

（2）求 nb 的最小值．

【解析】 Ⅰ（） 5na n

构造函数 3 21( ) ( 12 45 )

2f x x x x （ [1, )x ）


Ⅱ﹙ ﹚（1） 2n n nb S a n 3 21

( 12 45 )2

n n n ，

则 23( ) ( 8 15)

2f x x x

3( 3)( 5)

2x x

题 2．已知数列{ }na 前 n项和 nS 满足： 22 20n n nS a a （ *n N ）且

1 0S ．又 1n na a 对 *n N 恒成立．





【解析】易得 ( )f x 在[1,3)和[5, ) 上分别单调递增、

在[3,5]上单调递减，即 (3) (4) (5)f f f

∴ 数列{ }nb 中，使 1m mb b 成立的有且仅有

3 4 5b b b ，故所求的正整数m为3和4．


（下略）

1 2 3 4 5 x

y 3 21( ) ( 12 45 )

2f x x x x

题 2．已知数列{ }na 前 n项和 nS 满足： 22 20n n nS a a （ *n N ）且

1 0S ．又 1n na a 对 *n N 恒成立．





本题的命题出发点是：当数列的单调性不易求得时，则将数列的函数性进行利用与挖掘．构造一个与数列相对应的连续函数，用函数的单调性来说明数列的单调性，而函数的单调性的证明，用到了导数

“ ”这一工具，更为重要的是，这里是用连续的无穷的曲线 “来解决离”散的点的问题，即将有限问题转化成无限问题来解决，其有限与无限思想体现得十分充分．

【说明】


题 3．（原创）已知 1 和1

2是函数

2 1( )

x

ax bxf x

e

（其中 e是自然对数的底数，

a、b为常数）的两个零点． Ⅰ（）求函数 ( )f x 的解析式，并求曲线 ( )y f x 在 0x 处的切线方程；

Ⅱ（）若 ( )f x 在区间5

( , )2

m m 上是单调函数，求实数m的范围；

Ⅲ（）试讨论 ( )f x 在定义域上是否存在最小值，若存在，则求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【解析】

Ⅰ（） 2a ， 1b ∴，22 1

( )x

x xf x

e


Ⅱ（）由上得2

12( )( 2)2 3 2 2( )

x x

x xx xf x

e e

∴ ( )f x 的单调递增区间是1

( ,2)2

，单调递减区间是1

( , )2

和 (2, ) ，

题 3．已知 1 和1

2是函数

2 1( )

x

ax bxf x

e

（其中e是自然对数的底数，a、b为

常数）的两个零点． Ⅲ（）试讨论 ( )f x 在定义域上是否存在最小值，若存在，则求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【解析】

( )f x 的单调递增区间是1

( ,2)2

，单调递减区间是1

( , )2

和 (2, ) ，


Ⅲ（）对于2

12( 1)( )2 1 2( )

x x

x xx xf x

e e

，

显然，当1

( , 1) ( , )2

x 时， ( ) 0f x 恒成立，

1 1

2

2 x 1

2

而

1( ( )) ( ) 0

2f x f e 极小，

故结合 ( )f x 的单调性可得， ( )f x 在 R上的极小值即为最小值，

从而 min

1( ) ( ( )) ( )

2f x f x f e 极小．

题 3．已知 1 和1

2是函数

2 1( )

x

ax bxf x

e

（其中e是自然对数的底数，a、b为

常数）的两个零点． Ⅲ（）试讨论 ( )f x 在定义域上是否存在最小值，若存在，则求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【说明】


Ⅲ本题的第（）问，通过 ( ) 0f x 且单调递减，来说明曲线以 x轴为渐近线，考查了无限逼近的数学意识，是对有限与无限思想在意识上的充分考查．

有限与无限思想，在高考的考查中，或明或暗，或显或隐． “ ”既有对含有限与无限思想的知识本身的考查，也有通过对各类知识的考查来

“ ”体现有限与无限思想，而更为有重要意义的是：在“ ”有限与无限思想的指导下，考生以此为理念，启发、引导自己的解题思维、解题方向，行之有效地解决问题，从而更好地体现出自己在“ ”数学思想与方法背景下的数学能力．


知识方法的考查是有限的，

结束语高考：

思想素养的考查是无限的；

课题成果的展示是有限的，

抛砖引玉的作用是无限的；

物质生活的财富是有限的，

精神世界的价值是无限的；

教学研究的水平是有限的，

虚心讨教的态度是无限的．

课题：

教师：

本人：

欢迎批评指正欢迎批评指正谢谢谢谢 !!

基于考试的

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