スピノザにおける「存在しない個物」に関する定理スピノザにおける「存在しない個物」に関する定理 黒 川 勲 The Proposition of “Non-Existing
確率モデルによる画像処理における統計的学習理論
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6 November, 20086 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai)IEICE-MIH (Sendai) 11
確率モデルによる画像処理におけ確率モデルによる画像処理における統計的学習理論る統計的学習理論
東北大学 大学院情報科学研究科東北大学 大学院情報科学研究科田中 和之田中 和之
[email protected]@smapip.is.tohoku.ac.jphttp://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/
![Page 2: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/2.jpg)
6 November, 20086 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai)IEICE-MIH (Sendai) 22
ContentsContents
1.1. 序論序論2.2. 確率的画像処理確率的画像処理3.3. 確率伝搬法確率伝搬法4.4. まとめまとめ
![Page 3: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/3.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 3
情報処理の守備範囲の推移
理詰めの情報処理理詰めの情報処理法則・命題群からの予測法則・命題群からの予測
コンピュータの発達により現実化コンピュータの発達により現実化
現実世界の情報処理現実世界の情報処理現象の起こる要因の多様性現象の起こる要因の多様性必要なデータが完全に得られるわけではない.必要なデータが完全に得られるわけではない.大量のデータは得られるが必要な情報の抽出が難し大量のデータは得られるが必要な情報の抽出が難し
い.い.「すぐ分かること」と「本当に知りたいこと」のギャッ「すぐ分かること」と「本当に知りたいこと」のギャップからくる不確実性→何とかして克服したいプからくる不確実性→何とかして克服したい !!!!
数値計算のための情報処理作業手順が与えられている.
確率的情報処理
![Page 4: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/4.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 4
確率的情報処理における計算の壁
不確実性を確率・統計を用いて表現することの代償
起こりやすいことも起こりづらいこともまじめに考慮して計算
計算量的困難
統計的計算技法の改良による計算困難の打破
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 5
たくさんが関連して集まり構成されたシステム:
情報と物理が扱う対象に共通する概念
モノ(物質)分子
0 ,1 101101110001
010011101110101000111110000110000101000000111010101110101010ビッ
ト コト(データ)
分子が集まって物質を形成し,モノになる.
ビットが集まってデータを形成し,コトとなる.
共通点:たくさんが関連
分子同士は引っ張り合っている.
並びをきちんと決めることによって意味のある文章になる.
主な研究対象情報工学:コト
データ物理:モノ
物質・自然現象
More is different in More is different in informatics as wellinformatics as well
![Page 6: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/6.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 6
More is Different
原子
電子原子核
陽子中性子
クォーク
分子化合物
物質
生命材料
社会 宇宙素粒子物理学
物性物理学More is different
P. W. Anderson
![Page 7: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/7.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 7
確率的画像処理確率的画像処理
確率的画像処理手法によるノイズ除去
173
110218100
120219202
190202192
Average
192 202 190
202 219 120
100 218 110
192 202 190
202 173 120
100 218 110
信号処理の知見をもとにした画像処理の確率モデル化
マルコフ確率場モデル 確率的画像処理
基本単位は画素
画素上の数字はディスプレイの光の強度
アルゴリズム化
最も簡単な既存のフィルター
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6 November, 20086 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai)IEICE-MIH (Sendai) 88
ContentsContents
1.1. 序論序論2.2. 確率的画像処理確率的画像処理3.3. 確率伝搬法確率伝搬法4.4. まとめまとめ
![Page 9: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/9.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 9
画像修復の確率モデル
原画像 劣化画像
通信路
雑音
周辺尤度
事前確率尤度事後確率
劣化画像
原画像原画像劣化画像劣化画像原画像
Pr
Pr|Pr|Pr
白色ガウス雑音原画像劣化画像
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 10
2 値画像の事前確率 (Prior Probability)
赤い線が少ないほど確率が高くなるように確率モデルを設計
問題設定画素の周辺の状態が固定されているとき着目画素の状態は?
?
>
== >p p
周りが白ければ着目画素も白くあるべき
![Page 11: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/11.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 11
2 値画像の事前確率 (Prior Probability)2 値画像の事前確率 (Prior Probability)
赤い線が少ないほど確率が高くなるように確率モデルを設計
画素がいくつか集まると周りの画素の状態をよく見ながら自分の状態を決めないといけなくなるもっとたくさん集まったらどうなるか ?
問題設定画素の周辺の状態が固定されているとき着目画素の状態は?
? - ?== >
p p
> >=
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 12
ゆらぎが大きいときに何が実際に起こっているのか ?
p
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0lnp
無秩序状態 秩序状態ゆらぎが大きく点の近くのパターン
p が小さい p が大きい
最近接画素間の共分散
マルコフ連鎖モンテカルロ法によるサンプリング
Markov Network
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 13
ゆらぎが大きいときのパターンを画像処理に使えるか ?
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
ln p
最近接画素間の共分散
p
似ている
Markov Network大小
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 14
強磁性体と確率モデル強磁性体と確率モデル
p p
p p
>
=
=
>
=
=
x
y
画像は各画素ごとの強さの異なる光であらわされる.
0 255
共通点:まわりと同じ状態をとろうとする
Ising モデル
Markov Random Field (MRF) モデル
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 15
Prior Probability in Probabilistic Image Processing
Nijji ff
ZfF 2
2
11Pr
exp
Prior
0005.0 0030.00001.0
Samples are generated by MCMC.
Markov Chain Monte Carlo Method
,,2,1
links the all of Set:N
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 16
Additive White Gaussian Noise
2,0~ Nfg ii
iii gffFgG 2
22 2
1exp
2
1Pr
Histogram of Gaussian Random Numbers
n
Noise Gaussianf
Image Original g
Image Degraded
Degradation Process
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 17
ベイズ統計と画像処理
Bij
jii
ii ffgf 22
2
1
2
1exp
Pr
PrPrPr
gG
fFfFgGgGfF
fg
fF Pr fFgG Pr g原画像 劣化画像事前確率
事後確率加法的白色ガウス雑音または2元対称通信路
計算困難画像処理は平均,分散,共分散の計算に帰着
B :すべての最近接画素対の集合
Ω:すべての画素の集合
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 18
Statistical Estimation of Hyperparameters
z
zFzFgGgG }|Pr{},|Pr{},|Pr{
},|Pr{max arg)ˆ,ˆ(,
gG
f g
Marginalized with respect to F
}|Pr{ fF },|Pr{ fFgG gOriginal Image
Marginal Likelihood
Degraded Imagey
x
},|Pr{ gG
Hyperparameters are determinedso as to maximize the marginal likelihood Pr{G=g|,} with respect to ,
![Page 19: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/19.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 19
Maximization of Marginal Likelihood by EM Algorithm
z
zFzFgGgG }|Pr{},|Pr{},|Pr{ Marginal Likelihood
},|,Pr{ln}',',|Pr{
,',',
z
gGzFgGzF
g
Q
.,,maxarg1,1 :Step-M
},|,Pr{ln)}(),(,|Pr{
,,
:Step-E
,ttQtt
tt
ttQ
z
gGzFgGzF
E-step and M-Step are iterated until convergence:
EM (Expectation Maximization) Algorithm
Q-Function
![Page 20: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/20.jpg)
6 November, 20086 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai)IEICE-MIH (Sendai) 2020
ContentsContents
1.1. 序論序論2.2. 確率的画像処理確率的画像処理3.3. 確率伝搬法確率伝搬法4.4. まとめまとめ
![Page 21: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/21.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 21
計算困難のポイントは何か
2L 通りの和が計算できるか?
FT, FT, FT,21
1 2
,,,x x x
L
L
xxxf
}
}
}
;,,,
F){or Tfor(
F){or Tfor(
F){or Tfor(
;0
21
2
1
L
L
xxxfaa
x
x
x
a
L 重ループ
このプログラムではL=10個のノードで 1秒かかるとしたらL=20個で約 17 分,L=30個で約 12日,L=40個で約 34年かかる.厳密に計算するのは一部の特殊な例
を除いて難しい.
マルコフ連鎖モンテカルロ法
確率伝搬法今回
![Page 22: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/22.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 22
扱いやすい確率モデルのグラフ表現
扱いやすい確率モデルの数理構造
FT,FT,FT,
FT, FT, FT,
),(),(),(
),(),(),(
CBA
A B C
DChDBgDAf
DChDBgDAf
A
B C
D FT, FT, FT,A B C
扱いやすくない確率モデルの数理構造
FT, FT, FT,
),(),(),(A B C
AChCBgBAf
A
B C
FT, FT, FT,A B C
木構造をもつグラフ表現
閉路を含むグラフ表現
別々に和を計算できる
別々に和を計算することが難しい
![Page 23: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/23.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 23
転送行列法=確率伝搬法( 1)
1次元鎖
1
111, ,
1Pr
N
iiiii xxW
ZxX
1 2 1
1
111,1 ,
x x x
k
iiiiikkk
k
xxWxL
kkk xL 1
kkk xR 1
k
k
1 2 1
1
11,1 ,
k k Nx x x
N
kiiiiikkk xxWxR
![Page 24: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/24.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 24
転送行列法=確率伝搬法( 2)
漸化式
kxkkkkkkkkkk xxWxLxL 11,111 ,
kkk xL 1
k
11 kkk xL
1k
m
m m m N
xmmmmmm
mmmmmm
x x x x x xmm
xRxL
xRxL
xXxX
11
11
1 2 1 1 2 1
PrPr
kkk xR 1
k 11 kkk xR
1k kkk
xkkkkkkk xRxxWxR
k
11,111 ,
パスはひとつ
![Page 25: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/25.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 25
閉路のないグラフ上の確率伝搬法
1
111, ,
1Pr
N
iiiii xxW
ZxX
k
k
xkkkkkkkkkkkkk
x x x
k
iiiiikkk
xxWxMxMxM
xxWxM
11,321
111,11
,
,
1 2
閉路が無いことが重要 !!
同じノードは2度通らない
1X
2X 3X
1kX
kX
2kX
3kX
1kX
![Page 26: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/26.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 26
確率的画像処理における確率伝搬法 (Belief Propagation)
着目画素とその近傍画素だけを残すと木構造になる.
確率伝搬法 (Belief Propagation) の統計的近似アルゴリズムとしての転用
![Page 27: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/27.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 27
閉路のあるグラフ上の確率モデルの確率伝搬法 (Belief Propagation)
MM
メッセージに対する固定点方程式
閉路のあるグラフ上でも局所的な構造だけに着目してアルゴリムを構成することは可能.ただし,得られる結果は厳密ではなく近似アルゴリズム
1 2
1
1151141132112
1151141132112
221 ,
,
z z
z
zMzMzMzz
zMzMzMfz
fM
21
3
4
5
平均,分散 , 共分散はこのメッセージを使ってあらわされる
![Page 28: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/28.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 28
確率的画像処理における確率伝搬アルゴリズムの基本構造
ひとつの画素ごとに4種類の更新パターン
4近傍の場合は 3入力 1出力の更新式
画素上での動作の様子の一例
![Page 29: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/29.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 29
Belief Propagation
Input
Output
BP EM
Update Rule of BP
21
3
4
5
![Page 30: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/30.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 30
Maximization of Marginal Likelihood by EM Algorithm
.,,,maxarg1,1,
gttQtt
g
gmf
,ˆ,ˆˆ
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0 20 40 60 80 100
Loopy Belief Propagation
Exact
0006000ˆ
335.36ˆ
.
LBP
LBP
0007130ˆ
624.37ˆ
.
Exact
Exact
![Page 31: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/31.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 31
Image Restoration by MRF and Conventional Filters
2ˆ||
1MSE
i
ii ff
MSE
Statistical Method 327
Lowpass Filter
(3x3) 388
(5x5) 413
Median Filter
(3x3) 486
(5x5) 445
(3x3) Lowpass(3x3) Lowpass (5x5) Median(5x5) MedianMRFMRF
Original ImageOriginal Image Degraded ImageDegraded Image
RestoredRestoredImageImage
![Page 32: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/32.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 32
Digital Images Inpainting based on MRF
Inpu
t
Ou
tpu
t
MarkovRandom
FieldM. Yasuda, J. Ohkubo and K. Tanaka: Proceedings ofCIMCA&IAWTIC2005.
![Page 33: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/33.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 33
結合ガウス・マルコフ確率場モデル
ライン場についての事前情報
![Page 34: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/34.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 34
結合ガウス・マルコフ確率場モデル
原画像 劣化画像 ライン場のない確率場モデル
ライン場を導入した確率場モデル
量子力学的に拡張されたライン場を導入した確率場モデル
![Page 35: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/35.jpg)
6 November, 20086 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai)IEICE-MIH (Sendai) 3535
ContentsContents
1.1. 序論序論2.2. 確率的画像処理確率的画像処理3.3. 確率伝搬法確率伝搬法4.4. まとめまとめ
![Page 36: 確率モデルによる画像処理における統計的学習理論](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081401/56813255550346895d98d978/html5/thumbnails/36.jpg)
6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 36
確率モデルによる画像処理技術入門確率モデルによる画像処理技術入門
ベイズ統計をつかった画像処理ベイズ統計をつかった画像処理画像処理の事前分布画像処理の事前分布磁性体の物理モデルとの類似性磁性体の物理モデルとの類似性確率伝搬法(確率伝搬法( Belief Belief
PropagationPropagation ))
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 37
脳の物理モデルの記憶容量,パーセプトロンの容量の評価に類似の議論
標本平均による統計的性能
11g
Pri
or P
rob
abil
ity
1f
2f
3f
21g
12g
22g
13g
23g
Noi
se
11m
12m
21m
22m
31m
32m
Mar
kov
Net
wor
k推定画像劣化画像
Mean Square Error の標本平均
原画像
スピングラス理論による解析的評価が可能
Nishimori and Wong (1999): Physical Review ENishimori and Wong (1999): Physical Review E
マルコフ連鎖モンテカルロ法
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6 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai) 38
統計的性能評価
fdgdfFfFgGfgh
fdgdgGfFfghM
PrPr1
,Pr1
2
2
gh
g fP
g
事前確率
劣化過程
fgP
f
gfP
事後確率修復画像
原画像 劣化画像
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6 November, 20086 November, 2008 IEICE-MIH (Sendai)IEICE-MIH (Sendai) 3939
ReferencesReferencesReferencesReferences
K. Tanaka: Statistical-Mechanical Approach to K. Tanaka: Statistical-Mechanical Approach to Image Processing (Topical Review), J. Phys. A, Image Processing (Topical Review), J. Phys. A, 3535 (2002). (2002).
A. S. Willsky: Multiresolution Markov Models for A. S. Willsky: Multiresolution Markov Models for Signal and Image Processing, Proceedings of Signal and Image Processing, Proceedings of IEEE, IEEE, 9090 (2002). (2002).
K. Tanaka: Statistical-Mechanical Approach to K. Tanaka: Statistical-Mechanical Approach to Image Processing (Topical Review), J. Phys. A, Image Processing (Topical Review), J. Phys. A, 3535 (2002). (2002).
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