ГЕОМЕТРИЯ

Авторская страничкаИстория

Десять решений одной задачи

Выход

Десять решений одной задачи

bull Ровно 35 лет назад автор этой статьи принял участие в своей первой школьной математической олимпиаде Среди предложенных задач особенно запомнилась такая докажите что сумма углов пятиконечной звезды равна ста восьмидесяти градусам Эта задача настолько ему понравилась что он в течение долгого времени собирал к ней различные решения Помогали ему в этом учителя и школьники Результатом коллективного творчества стала эта статья

Все решения задач можно разделить на 2 группы

1 Решения отравленные ядом цивилизации

2 Собирательные решения

(так остроумно выражался легендарный преподаватель РГПИ АМ Кауфман по поводу решения некоторых задач)

Так как сумма углов звезды равна ста восьмидесяти градусам надо мысленно собрать их в треугольник или в развернутый угол или minus совершенно фантастическое решение minus спроектировать углы на окружности

Начать просмотр решений

РЕШЕНИЕ 1РЕШЕНИЕ 2РЕШЕНИЕ 3РЕШЕНИЕ 4РЕШЕНИЕ 5РЕШЕНИЕ 6РЕШЕНИЕ 7РЕШЕНИЕ 8РЕШЕНИЕ 9РЕШЕНИЕ 10

10 решений

Решение 1 C N P B D M Q A E

Если из суммы углов пяти треугольников NPC PQD RQE AMR BMN вычесть сумму внешних углов пятиугольника MNPQR взятых по два то получится сумма углов пятиконечной звезды которая численно равна180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

R

Решение 2

Рассмотрим пятиугольник ABCDE Сумма углов звезды равна сумме углов пятиугольника ABCDE минус сумма углов треугольников BNC CPD EQDAREAMB плюс сумма внутренних углов пятиугольника MNPQR То есть180deg 3 - 180deg 5 + 180deg 3 = 180degРедко встречается такоеестественное решение Если естьзвезда то должны быть и лучи

C N P B D M Q R A E

O

Решение 3

Соединим точку O взятую внутри звезды с ее вершинами Сумма углов звезды будет равна сумме углов треугольников OBD OCE OAD OBE OAC минус два полных угла при вершине O 180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

C N P B D M Q R A E

O

C N P B D M Q R A E

Решение 4 Соберем углы звезды в

треугольник NCP Угол C уже находится в треугольнике аA + D = CNPB + E = CPNЗдесь и в дальнейшим используетсятеорема о внешнем углетреугольника

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Десять решений одной задачи

bull Ровно 35 лет назад автор этой статьи принял участие в своей первой школьной математической олимпиаде Среди предложенных задач особенно запомнилась такая докажите что сумма углов пятиконечной звезды равна ста восьмидесяти градусам Эта задача настолько ему понравилась что он в течение долгого времени собирал к ней различные решения Помогали ему в этом учителя и школьники Результатом коллективного творчества стала эта статья

Все решения задач можно разделить на 2 группы

1 Решения отравленные ядом цивилизации

2 Собирательные решения

(так остроумно выражался легендарный преподаватель РГПИ АМ Кауфман по поводу решения некоторых задач)

Так как сумма углов звезды равна ста восьмидесяти градусам надо мысленно собрать их в треугольник или в развернутый угол или minus совершенно фантастическое решение minus спроектировать углы на окружности

Начать просмотр решений

РЕШЕНИЕ 1РЕШЕНИЕ 2РЕШЕНИЕ 3РЕШЕНИЕ 4РЕШЕНИЕ 5РЕШЕНИЕ 6РЕШЕНИЕ 7РЕШЕНИЕ 8РЕШЕНИЕ 9РЕШЕНИЕ 10

10 решений

Решение 1 C N P B D M Q A E

Если из суммы углов пяти треугольников NPC PQD RQE AMR BMN вычесть сумму внешних углов пятиугольника MNPQR взятых по два то получится сумма углов пятиконечной звезды которая численно равна180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

R

Решение 2

Рассмотрим пятиугольник ABCDE Сумма углов звезды равна сумме углов пятиугольника ABCDE минус сумма углов треугольников BNC CPD EQDAREAMB плюс сумма внутренних углов пятиугольника MNPQR То есть180deg 3 - 180deg 5 + 180deg 3 = 180degРедко встречается такоеестественное решение Если естьзвезда то должны быть и лучи

C N P B D M Q R A E

O

Решение 3

Соединим точку O взятую внутри звезды с ее вершинами Сумма углов звезды будет равна сумме углов треугольников OBD OCE OAD OBE OAC минус два полных угла при вершине O 180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

C N P B D M Q R A E

O

C N P B D M Q R A E

Решение 4 Соберем углы звезды в

треугольник NCP Угол C уже находится в треугольнике аA + D = CNPB + E = CPNЗдесь и в дальнейшим используетсятеорема о внешнем углетреугольника

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Все решения задач можно разделить на 2 группы

1 Решения отравленные ядом цивилизации

2 Собирательные решения

(так остроумно выражался легендарный преподаватель РГПИ АМ Кауфман по поводу решения некоторых задач)

Так как сумма углов звезды равна ста восьмидесяти градусам надо мысленно собрать их в треугольник или в развернутый угол или minus совершенно фантастическое решение minus спроектировать углы на окружности

Начать просмотр решений

РЕШЕНИЕ 1РЕШЕНИЕ 2РЕШЕНИЕ 3РЕШЕНИЕ 4РЕШЕНИЕ 5РЕШЕНИЕ 6РЕШЕНИЕ 7РЕШЕНИЕ 8РЕШЕНИЕ 9РЕШЕНИЕ 10

10 решений

Решение 1 C N P B D M Q A E

Если из суммы углов пяти треугольников NPC PQD RQE AMR BMN вычесть сумму внешних углов пятиугольника MNPQR взятых по два то получится сумма углов пятиконечной звезды которая численно равна180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

R

Решение 2

Рассмотрим пятиугольник ABCDE Сумма углов звезды равна сумме углов пятиугольника ABCDE минус сумма углов треугольников BNC CPD EQDAREAMB плюс сумма внутренних углов пятиугольника MNPQR То есть180deg 3 - 180deg 5 + 180deg 3 = 180degРедко встречается такоеестественное решение Если естьзвезда то должны быть и лучи

C N P B D M Q R A E

O

Решение 3

Соединим точку O взятую внутри звезды с ее вершинами Сумма углов звезды будет равна сумме углов треугольников OBD OCE OAD OBE OAC минус два полных угла при вершине O 180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

C N P B D M Q R A E

O

C N P B D M Q R A E

Решение 4 Соберем углы звезды в

треугольник NCP Угол C уже находится в треугольнике аA + D = CNPB + E = CPNЗдесь и в дальнейшим используетсятеорема о внешнем углетреугольника

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

РЕШЕНИЕ 1РЕШЕНИЕ 2РЕШЕНИЕ 3РЕШЕНИЕ 4РЕШЕНИЕ 5РЕШЕНИЕ 6РЕШЕНИЕ 7РЕШЕНИЕ 8РЕШЕНИЕ 9РЕШЕНИЕ 10

10 решений

Решение 1 C N P B D M Q A E

Если из суммы углов пяти треугольников NPC PQD RQE AMR BMN вычесть сумму внешних углов пятиугольника MNPQR взятых по два то получится сумма углов пятиконечной звезды которая численно равна180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

R

Решение 2

Рассмотрим пятиугольник ABCDE Сумма углов звезды равна сумме углов пятиугольника ABCDE минус сумма углов треугольников BNC CPD EQDAREAMB плюс сумма внутренних углов пятиугольника MNPQR То есть180deg 3 - 180deg 5 + 180deg 3 = 180degРедко встречается такоеестественное решение Если естьзвезда то должны быть и лучи

C N P B D M Q R A E

O

Решение 3

Соединим точку O взятую внутри звезды с ее вершинами Сумма углов звезды будет равна сумме углов треугольников OBD OCE OAD OBE OAC минус два полных угла при вершине O 180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

C N P B D M Q R A E

O

C N P B D M Q R A E

Решение 4 Соберем углы звезды в

треугольник NCP Угол C уже находится в треугольнике аA + D = CNPB + E = CPNЗдесь и в дальнейшим используетсятеорема о внешнем углетреугольника

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Решение 1 C N P B D M Q A E

Если из суммы углов пяти треугольников NPC PQD RQE AMR BMN вычесть сумму внешних углов пятиугольника MNPQR взятых по два то получится сумма углов пятиконечной звезды которая численно равна180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

R

Решение 2

Рассмотрим пятиугольник ABCDE Сумма углов звезды равна сумме углов пятиугольника ABCDE минус сумма углов треугольников BNC CPD EQDAREAMB плюс сумма внутренних углов пятиугольника MNPQR То есть180deg 3 - 180deg 5 + 180deg 3 = 180degРедко встречается такоеестественное решение Если естьзвезда то должны быть и лучи

C N P B D M Q R A E

O

Решение 3

Соединим точку O взятую внутри звезды с ее вершинами Сумма углов звезды будет равна сумме углов треугольников OBD OCE OAD OBE OAC минус два полных угла при вершине O 180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

C N P B D M Q R A E

O

C N P B D M Q R A E

Решение 4 Соберем углы звезды в

треугольник NCP Угол C уже находится в треугольнике аA + D = CNPB + E = CPNЗдесь и в дальнейшим используетсятеорема о внешнем углетреугольника

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Решение 2

Рассмотрим пятиугольник ABCDE Сумма углов звезды равна сумме углов пятиугольника ABCDE минус сумма углов треугольников BNC CPD EQDAREAMB плюс сумма внутренних углов пятиугольника MNPQR То есть180deg 3 - 180deg 5 + 180deg 3 = 180degРедко встречается такоеестественное решение Если естьзвезда то должны быть и лучи

C N P B D M Q R A E

O

Решение 3

Соединим точку O взятую внутри звезды с ее вершинами Сумма углов звезды будет равна сумме углов треугольников OBD OCE OAD OBE OAC минус два полных угла при вершине O 180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

C N P B D M Q R A E

O

C N P B D M Q R A E

Решение 4 Соберем углы звезды в

треугольник NCP Угол C уже находится в треугольнике аA + D = CNPB + E = CPNЗдесь и в дальнейшим используетсятеорема о внешнем углетреугольника

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Решение 3

Соединим точку O взятую внутри звезды с ее вершинами Сумма углов звезды будет равна сумме углов треугольников OBD OCE OAD OBE OAC минус два полных угла при вершине O 180deg 5 - 360deg 2 = 180deg

C N P B D M Q R A E

O

C N P B D M Q R A E

Решение 4 Соберем углы звезды в

треугольник NCP Угол C уже находится в треугольнике аA + D = CNPB + E = CPNЗдесь и в дальнейшим используетсятеорема о внешнем углетреугольника

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

C N P B D M Q R A E

Решение 4 Соберем углы звезды в

треугольник NCP Угол C уже находится в треугольнике аA + D = CNPB + E = CPNЗдесь и в дальнейшим используетсятеорема о внешнем углетреугольника

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

C N P B D M Q R A E

Решение 5 Рассмотрим треугольник ACE

углы A C и E уже находятся внутри треугольника аB + D = CAE + CEA

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

C N P B D M Q R A E

Решение 6 Собираем углы звезды в

треугольник AREB + D = RAE + REAARE = A + C + E

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D Угол D уже находится там Покажем что PDQ = A + B + C + E Это равенство углов следует из следующих трех равенствPDQ = A + ANPANP = B + BMNBMN = C + E

A

B

C

D

E

PN

M Q

R

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Решение 8

Через точку R проведем прямую LT параллельную BD ТогдаD = LRAB = ERTARE = A + C + EСложив все три равенства получимA + B + C + D + E = 180deg A

B

C

D

E

L TR

M Q

N P

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Решение 9

Это фантастическое решение принадлежит ИФ Шарыгину Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность Воспользуемся теоремой угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг одна из которых расположена внутри этого угла а другая ndash внутри угла вертикального к данному ПолучимA + B + C + D + E = 360deg 2 = 180deg

A

B

C

D

E

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Решение 10

Проведем окружность так чтобы она пересекала стороны всех углов звезды Воспользуемся теоремой угол вершина которого расположена вне круга а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком laquo+raquo или со знаком laquondashraquo То есть сумма углов звезды равна 180deg

A

B

C

D

E

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15

Презентацию готовили ученики

10 класса Нахабинской СОШ

2

Мадрахимов Эльдар

(слева направо)Мишуков ПётрМишуков Павел

Благодарим за помощь и поддержку

учителя математики Горемыкину Майю Валентиновнуучителя информатики Алексакову Нину Владимировну

• Slide 1
• Десять решений одной задачи
• Все решения задач можно разделить на 2 группы
• Решение 1 Решение 2 решение 3 решение 4 решение 5 решение 6 реш
• Решение 1
• Решение 2
• Решение 3
• Решение 4
• Решение 5
• Решение 6
• Решение 7
• Решение 8
• Решение 9
• Решение 10
• Slide 15